тема 3

1. РАЗДЕЛ 3 - МЕТОДЫ
МОДЕЛИРОВАНИЯ
М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Е М О Д Е Л И Р О В А Н И Е Э К О Н О М И Ч Е С К И Х П Р О Ц Е С С О В .
П Р И К Л А Д Н Ы Е М О Д Е Л И О П Т И М И З А Ц И И Э К О Н О М И Ч Е С К И Х П Р О Ц Е С С О В .
Т Е О Р Е Т И Ч Е С К И Е М О Д Е Л И Э К О Н О М И Ч Е С К И Х С И С Т Е М

2. ЛИТЕРАТУРА
1. Математические модели в экономике: учебное по-
собие / И.А. Печерских, А.Г. Семенов; Кемеровский
технологический институт пищевой
промышленности. – Кемерово, 2011. – 191 с.
2. Региональная экономика и пространственное
развитие. В 2 т. Т.1. Региональная экономика. Теория,
модели и методы: учебник для бакалавриата и
магистратуры / под общ. ред. Л.Э. Лимонова. – М.:
Издательство Юрайт, 2014. – 397 с. – Серия:
Бакалавр и магистр. Академический курс.
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

3. ВВЕДЕНИЕ
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

4. МОДЕЛИРОВАНИЕМ НАЗЫВАЕТСЯ
замена
прямого
исследования
какой-то
системы
(«оригинала»)
исследованием
другой системы
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

5. ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
В РАЗНЫХ СИТУАЦИЯХ
1. Понимание и объяснение причин
определенного поведения
оригинала
2. Предсказание поведения
оригинала
3. Разработка и проектирование
технических систем или
экономических планов
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

6. ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
В РАЗНЫХ СИТУАЦИЯХ
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
4. Автоматизация управления техническими
системами и устройствами
5. Улучшение (оптимизация) характеристик той
или иной искусственной системы (технической
или экономической). Модели, которые строятся
с этой целью, называются оптимизационными
6. Обучение (студентов, персонала и т.п.)
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

7. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ С
ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ХАРАКТЕРА ПОЛУЧАЕМОЙ
МОДЕЛИ
1. Вербальная модель –
это просто словесное
описание оригинала
2. Графическое – модель
представляется в виде
некоего изображения
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

8. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ С ТОЧКИ
ЗРЕНИЯ ХАРАКТЕРА ПОЛУЧАЕМОЙ МОДЕЛИ
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
3. Натурное
моделирование, при
котором оригинал
заменяется своим
физическим подобием
(макетом)
4. Математическое
моделирование
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

9. ПО ХАРАКТЕРУ ЗАВИСИМОСТИ ОТ
ВРЕМЕНИ
математические
модели
статические динамические
непрерывные дискретные
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

10. СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ
СИСТЕМЫ-ОРИГИНАЛА
Теоретическое
моделирование
Эмпирическое
моделирование
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

11. ВАЖНЕЙШИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ
• Наличие всех существенных для целей
рассмотрения модели характеристик объектаПолнота
• Прежде всего, поведение адекватной модели
должно приближенно отображать основные
качественные особенности поведения
оригинала
Адекватность
• В зависимости от целей моделирования
точность моделей, признаваемых
адекватными, может быть различной
Точность
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

12. ОСОБЕННОСТИ ЭКОНОМИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
По масштабу моделируемой
системы модели делятся на:
1. Макроэкономические модели.
2. Микроэкономические модели.
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

13. ОСОБЕННОСТИ ЭКОНОМИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
стохастические
детерминированные
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

14. СХЕМА ПРОЦЕССА МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru
Математические модели в экономике: учебное по-
собие / И.А. Печерских, А.Г. Семенов; Кемеровский
технологический институт пищевой промышленности. –
Кемерово, 2011. – 191 с.

15. НА ЭТАПЕ ФОРМАЛИЗАЦИИ:
1. Определяются характеристики системы, которые разделяются
на
• параметры модели (характеристики, которые должны быть известны для
построения модели)
•переменные модели, которые должны быть определены в результате
моделирования.
2. Вводятся символические обозначения используемых величин.
3. Производится математическое описание взаимосвязей
между элементами и характеристиками системы – строится
собственно экономико-математическая модель.
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

16. ВИДЫ РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ
•При таком решении результат получается в виде
готовых формул для вычисления функций или
отдельных величин по значениям параметров
процесса.
1. Точное, или
аналитическое.
•получается с некоторой погрешностью, которая не
может быть до конца устранена. Примером
приближенного метода решения является
графическое решение.
2.
Приближенное
решение
•обычно проводится на компьютере. Результат имеет
вид не формулы, а числа или таблицы чисел,
получаемых в результате выполнения компьютерной
програм-мы, реализующей некий алгоритм.
3. Численное
решение
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

17. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
• обычно осуществляется путем сравнения
результатов моделирования с характеристиками
реальной системы. Лучше всего для этого
попытаться применить модель к какой-то уже
существующей системе с известными
характеристиками.
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

18. П Р И К Л А Д Н Ы Е М О Д Е Л И О П Т И М И З А Ц И И Э К О Н О М И Ч Е С К И Х П Р О Ц Е С С О В -
Л И Н Е Й Н О Е П Р О Г Р А М М И Р О В А Н И Е
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

19. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
(ЛП)
область математики, разрабатывающая теорию и
численные методы решения задач нахождения
экстремума линейной функции многих
переменных при наличии линейных ограничений,
связывающих эти переменные.
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

20. ПРИМЕР
• Молочный комбинат освоил выпуск новых сортов сыра:
«Нежный» и «Петровский». Ожидаемый спрос на них
может составить, соответственно, не более 15 и 12 т в
месяц. Поскольку комбинат выпускает также
традиционные виды продукции, каждый из 4 цехов может
выделить на производство сыров ограниченный месячный
ресурс времени. Выделяемые лимиты времени, а также
затраты времени работы каждого цеха на осуществление
технологического процесса при выработке 1 т сыра
каждого сорта, приведены в таблице на сл. слайде, где
также представлены оптовые цены сыров. Определить
оптимальный объем выпуска сыра каждого сорта,
обеспечивающий максимальную выручку от продажи.
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru
Задача и ее решение из:
Математические модели в экономике: учебное пособие / И.А. Печерских, А.Г. Семенов; Кемеровский
технологический институт пищевой промышленности. – Кемерово, 2011. – 191 с.

21. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ЗАДАЧИ
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

22. ИСКОМЫЕ НЕИЗВЕСТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
x1 – объем выпуска
сыра «Нежный» (т
сыра / месяц);
x2 – объем выпуска
сыра «Петровский»
(т сыра / месяц).
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

23. ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ В ВИДЕ СУММЫ
ДОХОДА ОТ ПРОДАЖИ СЫРОВ «НЕЖНЫЙ»
И «ПЕТРОВСКИЙ»
• доход от продажи сыра «Нежный» равен 156*Х1
тыс. руб. в месяц, а от продажи сыра
«Петровский» – 168*Х2 тыс. руб. в месяц.
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

24. ВОЗМОЖНЫЕ ОБЪЕМЫ ПРОИЗВОДСТВА СЫРОВ X1
И X2 ОГРАНИЧИВАЮТСЯ СЛЕДУЮЩИМИ
УСЛОВИЯМИ:
• затраты времени работы каждого цеха на
производство сыров обоих сортов, не могут
превышать месячного лимита времени по
цехам
временными
затратами
• согласно результатам изучения рыночного
спроса объ-ем производства сыра «Нежный»
не должен превышать 15 т в месяц, а сыра
«Петровский» - 12 т в месяц
рыночным спросом
на сыры
• объемы производства сыров не могут быть
отрицатель-ными
неотрицательностью
объемов производства
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

25. ОГРАНИЧЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ
ВРЕМЕННЫМИ ЗАТРАТАМИ
по второму, третьему и четвертому цехам:
по первому цеху:
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

26. ОГРАНИЧЕНИЯ ПО ОБЪЕМУ
ПРОИЗВОДСТВА СЫРОВ СОГЛАСНО
РЫНОЧНОМУ СПРОСУ
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

27. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭТОЙ
ЗАДАЧИ ИМЕЕТ ВИД:
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

28. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ И
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

29. ШАГ 1. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТИ
ДОПУСТИМЫХ РЕШЕНИЙ
• систему ограничений-неравенств запишем в
виде уравнений
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

30. ШАГ 1. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТИ
ДОПУСТИМЫХ РЕШЕНИЙ
Для первой линии при x1 = 0, x2 = 9.43, а при x2 = 0,
x1 = 33.
x1
x2
9,43
33
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

31. ШАГ 1. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТИ
ДОПУСТИМЫХ РЕШЕНИЙ
Аналогичным образом делаем для всех остальных неравенств
Где на рисунке область, общая для всех неравенств?
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

32. ШАГ 2. ПРИРАВНЯЕМ ЦЕЛЕВУЮ
ФУНКЦИЮ К НУЛЮ
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

33. ШАГ 3. СТРОИМ ВЕКТОР-ГРАДИЕНТ
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

34. ШАГ 4. ПЕРЕМЕЩАЯ ПРЯМУЮ ФУНКЦИИ
ПАРАЛЛЕЛЬНО САМОЙ СЕБЕ В НАПРАВЛЕНИИ
ВЕКТОРА-ГРАДИЕНТА
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

35. ШАГ 4. ПЕРЕМЕЩАЯ ПРЯМУЮ ФУНКЦИИ
ПАРАЛЛЕЛЬНО САМОЙ СЕБЕ В НАПРАВЛЕНИИ
ВЕКТОРА-ГРАДИЕНТА
Решив эту систему, получим, что х1 = 15, х2=0.
Что комбинат будет производить?
Только сыр «Нежный»
Какой будет максимальная прибыль?
Какой будет максимальная прибыль?
Fmax=156*15 + 168*0 = 2340 руб
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

36. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ М ОДЕЛИ ЭКОНОМ ИЧЕСКИХ СИСТЕМ -
ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

37. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Q = f (X1, X2, …Xn)
Q – объем выпуска продукта
X – количество ресурсов
1, 2,…, n – ресурсы для производства продукта
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

38. ПРИМЕРЫ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ -
СТЕПЕННАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

39. ПРИМЕРЫ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ
ФУНКЦИЙ - ФУНКЦИЯ КОББА-ДУГЛАСА
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru
Математические модели в экономике: учебное пособие / И.А. Печерских, А.Г. Семенов; Кемеровский
технологический институт пищевой промышленности. – Кемерово, 2011. – 191 с.

40. ПРИМЕРЫ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ
ФУНКЦИЙ - ФУНКЦИЯ КОББА-ДУГЛАСА
Например, для экономики
СССР за 1960-1985 гг. по
результатам анализа
экономических
показателей была
построена
производственная
функция:
Для экономики США за
1950-1979 гг. аналогичная
функция имеет вид
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

41. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ М ОДЕЛИ ЭКОНОМ ИЧЕСКИХ СИСТЕМ -
БА ЛА НСОВА Я МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

42. В.В. ЛЕОНТЬЕВ (1906-1999)
• В. В. Леонтьев родился в Санкт-
Петербурге.
• В 1925 г. окончил Ленинградский
университет.
• В 1925-28 гг. учился в Берлинском
университете.
• В 1928 г., после получения степени
доктора философии, становится
сотрудником Института мировой
экономики при Кильском
университете.
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

43. В.В. ЛЕОНТЬЕВ (1906-1999)
• Затем работал экономическим советником в
Нанкине (Китай).
• В 1931 г. Леонтьев переезжает в США, где
работает в течение 44 лет в Гарвардском
университете.
• С 1948 г. директор Службы экономических
исследований.
• С 1975 г. профессор Нью-Йоркского
университета.
• Основатель Института экономического анализа.
• С 1989 г. также консультант при ООН.
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

44. В 1973 г. В. Леонтьев становится лауреатом
Нобелевской премии по экономике «за развитие
метода «затраты—выпуск» и за его применение к
важным экономическим проблемам».
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

45. ОСНОВНЫЕ ТРУДЫ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ
В 1941 г. В. В. Леонтьев выпускает
книгу «Структура американской
экономики, 1919-1929»
«Общеэкономические
проблемы межотраслевого
анализа» [Леонтьев, 2006-2007].
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

46. УПРОЩЕННАЯ ТАБЛИЦА МЕЖОТРАСЛЕВОГО
БАЛАНСА ТРЕХСЕКТОРНОЙ ЭКОНОМИКИ
Выпуск/
Затраты
Сектор1
с/х
Сектор 2
Промышленн
ость
Сектор 3
Дом.
Хозяйство
Общий
выпуск
Сектор 1, с/х 25 20 55
100
бушелей
зерна
Сектор 2
Промышленно
сть
14 6 30
50 ядров
ткани
Сектор 3
Дом.
Хозяйство
(труд)
80 180 -
260 чел-лет
труда
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

47. ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИ
ЛЕОНТЬЕВА
Рассматривается экономика, в которой каждая отрасль
выпускает один и только свой вид продукта;
Взаимосвязь между выпуском и затратами описывается
линейными уравнениями (линейная и постоянная технология);
Вектор спроса на товары считается заданным, т.е. в модели
отсутствуют как таковые оптимизационные задачи потребителей;
Вектор выпуска товаров вычисляется, исходя из спроса, т.е.
отсутствуют как таковые оптимизационные задачи фирм;
Равновесие понимается как строгое равенство спроса и
предложения
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

48. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ
Пусть имеется сектор: отраслей и сектор конечного спроса (сектор
домашних хозяйств),
- выпуск сектора ;
- количество продукции сектора , доставляемое сектору конечного спроса
- текущие затраты продукции отрасли на выпуск отрасли
– затраты -той продукции на производство единицы -той продукции -
коэффициент прямых затрат продукта в секторе
– квадратная матрица порядка – технологическая
матрица
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

49. МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА В ВЕКТОРНО-МАТРИЧНОЙ
ФОРМЕ (Т.Е. МОДЕЛЬ «ЗАТРАТЫ-ВЫПУСК»)
где – вектор - столбец валовых выпусков,
– вектор - столбец конечной продукции
– единичная матрица.
X=AX + Y
(I – A)X = Y
статическая система межотраслевых связей:
матричный
мультипликатор
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

50. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ЛЕОНТЬЕВА
B
По другому называется мультипликатором
Леонтьева или матрицей коэффициентов
полных затрат
Её элементы - коэффициенты показывают потребность в валовом выпуске
продукции отрасли для производства единицы конечной продукции отрасли . Таким
образом, это коэффициенты матричного мультипликатора, показывающего полный
прирост выпуска, первоначальным источником которого является конечный спрос на
продукцию.
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

51. ПРИМЕР. ЗАДАНА МАТРИЦА
СТРУКТУРНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ (AIJ)
потребители
производители
Сектор1
с/х
Сектор 2
Промышленность
Сектор1. С/х 0,25 0,40
Сектор 2.
Промышленность
0,14 0,12
Как будет выглядеть
матрица (I-A)?
Как будет выглядеть
матрица B?
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru

52. ПОЛУЧАЕМ
Т.о.:
(6)
Если , то , .
Из вышеизложенного можно выделить следующие коэффициенты:
Коэффициенты полных затрат
Коэффициенты прямых затрат
И, соответственно, коэффициенты косвенных затрат
© Е. Колчинская, 2017,
ekolch.ucoz.ru