...

1. Історична довідка про квадратніІсторична довідка про квадратні
рівняння та методи їхрівняння та методи їх
’розв язування’розв язування
автор: Шершнєв Володимир Вікторовичавтор: Шершнєв Володимир Вікторович

2. Квадратні рівняння в історії людстваКвадратні рівняння в історії людства
XIII-XVII ст. н.е.
VIII-IX ст. н.е.
VІ-V cт. до н.е
Європа
Близький Схід
Стародавня Індія
Стародавня Греція
Стародавній Вавилон
2000 р.
до н.е.
V-VI ст. н.е.

3. Квадратні рівняння вКвадратні рівняння в
Давньому ВавилоніДавньому Вавилоні
Вже приблизно за 2000 років до нашої ери вавилоняни знали, як
розв’язвати квадратні рівняння. Розв’язування їх в Стародавньому
Вавілоні було тісно пов'язане з практичними завданнями (вимірювання
площі земельних ділянок, земельні роботи, військові потреби).
Були відомі способи розв’язування як повних, так і неповних
квадратних рівнянь.

4. Але багата теоретична основа математики Вавилона неАле багата теоретична основа математики Вавилона не
мала цілісного характеру і зводилася до наборумала цілісного характеру і зводилася до набору
розрізнених прийомів, позбавлених доказової бази.розрізнених прийомів, позбавлених доказової бази.
Систематичний доказовий підхід у математиці з'явивсяСистематичний доказовий підхід у математиці з'явився
тільки у греків.тільки у греків.
При розв’язуванні використовувалася геометрична термінологіяПри розв’язуванні використовувалася геометрична термінологія
(добуток ab називали площею, abc - об'ємом, і т. д.). Наведемо приклади(добуток ab називали площею, abc - об'ємом, і т. д.). Наведемо приклади
рівнянь, які розвязували вавилоняни:рівнянь, які розвязували вавилоняни:
Вавилонський
клинопис

5. Квадратні рівняння в СтародавнійКвадратні рівняння в Стародавній
ГреціїГреції
В Стародавній Греції у VI ст. до н. е. було дві наукові школи математиків:
Піфагорійці ( Піфагор) та Іонійці (Фале́с Міле́тський)
Картина Рафаеля Санті “Піфагорійці”

6. Квадратні рівняння в СтародавнійКвадратні рівняння в Стародавній
ГреціїГреції
Квадратні рівняння у стародавній ГреціїКвадратні рівняння у стародавній Греції
розв'язувалися за допомогою геометричних побудов.розв'язувалися за допомогою геометричних побудов.
Методи, які не пов'язувалися з геометрією,Методи, які не пов'язувалися з геометрією,
вперше наводить лише Діофант Александрійський увперше наводить лише Діофант Александрійський у
III ст. н.е.III ст. н.е.
У своїх книгах «Арифметика» він наводитьУ своїх книгах «Арифметика» він наводить
приклади розв'язування неповних квадратнихприклади розв'язування неповних квадратних
рівнянь.рівнянь.
Його книги з описом способів розв'язання повнихЙого книги з описом способів розв'язання повних
квадратних рівнянь до нашого часу не збереглисяквадратних рівнянь до нашого часу не збереглися..
Титульна сторінка
книги “Арифметика”

7. Метод розв’язування квадратного рівнянняМетод розв’язування квадратного рівняння
у Стародавній Греціїу Стародавній Греції
Цей метод можна розглянути на прикладіЦей метод можна розглянути на прикладі
рівняння: урівняння: у22
+ 6у – 16 = 0.+ 6у – 16 = 0.
Рівняння можна перетворити на рівносильнеРівняння можна перетворити на рівносильне
уу22
+ 6у = 16, або у+ 6у = 16, або у22
+ 6у + 9 = 16 + 9,+ 6у + 9 = 16 + 9,
уу22
+ 6у + 9 = 25.+ 6у + 9 = 25.
Геометрично це означає, що можнаГеометрично це означає, що можна
побудувати квадрат із стороною поділеною напобудувати квадрат із стороною поділеною на
відрізки довжиною y і 3 (див. рис. 1). Площавідрізки довжиною y і 3 (див. рис. 1). Площа
цього квадрату складається з площ окремих йогоцього квадрату складається з площ окремих його
частин S=yчастин S=y22
+6y+9. Але за умовою рівняння S=25.+6y+9. Але за умовою рівняння S=25.
Це означає що сторона цього квадрата y+3=5Це означає що сторона цього квадрата y+3=5
або y+3=-5 Отже уабо y+3=-5 Отже у11 = 2, у= 2, у22 = – 8.= – 8.
y 3
3y
S=y2
S=3y
S=3y S=9
y 3
3y
Рис. 1

8. Квадратні рівняння в Індії
Перші згадки про квадратні рівняння в ІндіїПерші згадки про квадратні рівняння в Індії
зустрічаються вже в 499 році в трактаті з астрономіїзустрічаються вже в 499 році в трактаті з астрономії
«Аріабхаттіам», написаний індійським астрономом и«Аріабхаттіам», написаний індійським астрономом и
математиком Аріабхатою. В Давній Індії набулиматематиком Аріабхатою. В Давній Індії набули
розповсюдження публічні змагання з розврозповсюдження публічні змагання з розв‘язування‘язування
складних математичних задачскладних математичних задач
Задачі, що розв’язуються за допомогою квадратнихЗадачі, що розв’язуються за допомогою квадратних
рівнянь, зустрічаються в роботах іншого індійського вченогорівнянь, зустрічаються в роботах іншого індійського вченого
Брахмагупти. Брахмагупта запропонував універсальнеБрахмагупти. Брахмагупта запропонував універсальне
правило розв’язування квадратного рівняння видуправило розв’язування квадратного рівняння виду
Його правило по суті співпадає з сучасним правиломЙого правило по суті співпадає з сучасним правилом
розв’язування квадратного рівняння.розв’язування квадратного рівняння.
02
=++ cbxax
Пам'ятник Аріабхаті на території індійського
міжуніверситетського центру астрономії і астрофізіки

9. Квадратні рівняння в Індії
Задача знаменитого індійського математика Бхаскари:
Розділившись на дві зграї,Розділившись на дві зграї,
забавлялись мавпи в гаї.забавлялись мавпи в гаї.
Одна восьма їх в квадратіОдна восьма їх в квадраті
танцювали, вельми раді.танцювали, вельми раді.
А дванадцять на деревахА дванадцять на деревах
підняли веселий регіт,підняли веселий регіт,
що навколо аж гуло.що навколо аж гуло.
Скільки їх всього було?Скільки їх всього було?

10. Розв‘язування задачі Бхаскари:
Нехай було x мавп,
тоді танцювали – мавп
Складемо рівняння:
2
8





 x
Відповідь: 16 , 48 мавп.
012
64
2
=+− x
x
06412642
=⋅+− xx
0768642
=+− xx
32
10247684644 22
=
=⋅−=−=
D
acbD
16
2
3264
48
2
3264
2
1
=
−
=
=
+
=
x
x
x
x
=+





12
8
2

11. Квадратні рівняння на Близькому
Сході
Арабський вчений Мухаммед аль-
Хорезмі був автором слідуючих творів:
Книга про індійську арифметику
(або Книга про індійський рахунок);
Коротка книга про числення алгебри і
алмукабали;
Астрономічні таблиці;
Книга картини Землі;
Книга про побудову астролябії;
Книга про дії за допомогою астролябії;
Книга про сонячний годинник;
Мухаммед аль-Хорезмі
(біля 780 — біля 850)

12. Сторінка Алгебри Аль-
Хорезмі
Книга з алгебри Аль-Хорезмі (Кітаб мухтасаб
ал-джебр в-аль-мукабала) складається з двох
частин — теоретичної (теорія розв’язування
лінійних і квадратних рівнянь, деякі питання
геометрії) і практичної (застосування методів
алгебри в розв’язуванні господарських,
побутових, торгових і юридичних задач —
ділення спадку, складання заповітів, розподіл
майна, вимірювання земель, будівництво
каналів).

13. У теоретичній частині свого трактату Аль-
Хорезмі дає класифікацію рівнянь 1-й і 2-го
ступеня і виділяє шість їх видів:
квадрати дорівнюють кореням: ax2
=bx; квадрати
дорівнюють числу: ax2
=c;
корені дорівнюють числу: ax=c;
квадрати і корені рівні числу: ax2
+bx=c
квадрати і числа дорівнюють кореням: ax2
+c=bx;
корені і числа дорівнюють квадрату: bx+c= ax2
.
Така класифікація пояснюється вимогою, щоб в
обох частинах рівняння стояли додатні члени.
У своїх роботах Аль-Хорезмі не використовував
жодних символів, лише слова.
Арабські математикиАрабські математики

14. Пам'ятник Аль-Хорезмі,
Хіва (Узбекістан)
При розв’язуванні рівнянь дія аль-джебр (заповнення) означала
перенесення від’ємного члена з однієї частини рівняння в іншу, і саме з
цього терміну виникло сучасне слово «алгебра». Дія аль-мукабала
(зіставлення) означала скорочення подібних членів в обох частинах
рівняння. Алгебра Аль-Хорезмі поклала початок розвитку нової
самостійної наукової дисципліни – алгебри. Ця книга була двічі
перекладена в XII столітті на латинську мову і відіграла надзвичайно
важливу роль у розвитку математики в Європі.

15. Квадратні рівняння в ЄвропіКвадратні рівняння в Європі
Формули розв’язування квадратнихФормули розв’язування квадратних
рівняннь в Європі вперше були викладені в 1202рівняннь в Європі вперше були викладені в 1202
році італійським математиком Леона́рдороці італійським математиком Леона́рдо
Піза́нським (Фібоначчі).Піза́нським (Фібоначчі).
Леонардо вивчав праці математиків країнЛеонардо вивчав праці математиків країн
ісламу (таких як Аль-Хорезмі і Абу Каміл);ісламу (таких як Аль-Хорезмі і Абу Каміл);
завдяки арабським перекладам він ознайомивсязавдяки арабським перекладам він ознайомився
також з досягненнями античних та індійськихтакож з досягненнями античних та індійських
математиків.математиків.
На основі засвоєних ним знань ФібоначчіНа основі засвоєних ним знань Фібоначчі
написав ряд математичних трактатів.написав ряд математичних трактатів.
Успадковане від східних математиків вчення про
лінійні і квадратні рівняння стало основою
розвитку алгебри в Європі.
Леона́рдо Піза́нськийЛеона́рдо Піза́нський
(близько 1170 — близько 1250)(близько 1170 — близько 1250)

16. Квадратні рівняння в ЄвропіКвадратні рівняння в Європі
Загальне правило розв’язуванняЗагальне правило розв’язування
квадратних рівнянь зведених до виглядуквадратних рівнянь зведених до вигляду
хх22
+bx=c+bx=c вперше було сформульоване ввперше було сформульоване в
Європі в 1544 р. німецьким вченимЄвропі в 1544 р. німецьким вченим
Міхаелем Штифелем.Міхаелем Штифелем.
З 1535 по 1547 Міхаель ШтифельЗ 1535 по 1547 Міхаель Штифель
був протестантським пастором вбув протестантським пастором в
Хольцдорфе. До цього періоду належатьХольцдорфе. До цього періоду належать
його головні праці в галузі математики.його головні праці в галузі математики.
Міхаель ШтифельМіхаель Штифель
(близько(близько 1487 — 1567)1487 — 1567)

17. Квадратні рівняння в ЄвропіКвадратні рівняння в Європі
Виведення формули розв’язуванняВиведення формули розв’язування
квадратних рівнянь в загальном виглядіквадратних рівнянь в загальном вигляді
aaхх22
+bx+c=0+bx+c=0 з’явилось в роботахв роботах
французського математика Франсуа Віета,французського математика Франсуа Віета,
але Віет визнавав лише додатні кореніале Віет визнавав лише додатні корені
квадратних рівнянь.квадратних рівнянь.
Вієт створив символіку математичноїВієт створив символіку математичної
мови, яка дала можливість проводитимови, яка дала можливість проводити
математичні дослідження з недосяжнимиматематичні дослідження з недосяжними
раніше глибиною і узагальненням.раніше глибиною і узагальненням.
Символіка Вієта була відразу ж оціненаСимволіка Вієта була відразу ж оцінена
науковцями різних країн Європи та внауковцями різних країн Європи та в
подальшому удосконалена.подальшому удосконалена. Франсуа́ Віє́т
(1540-1603)

18. Квадратні рівняння в ЄвропіКвадратні рівняння в Європі
В 17 ст. завдяки працям Декарта , Ньютона та інших вчених формуламВ 17 ст. завдяки працям Декарта , Ньютона та інших вчених формулам
розв’язування квадратних рівнянь було надано сучасний вигляд.розв’язування квадратних рівнянь було надано сучасний вигляд.
Рене Декарт
(1596-1650) Ісаак Ньютон
(1643-1727)

19. Список використаних джерелСписок використаних джерел
1.1. Булгаков П. Г., Розенфельд Б. А., Ахмедов А. А. Мухаммад ал-Хорезми,Булгаков П. Г., Розенфельд Б. А., Ахмедов А. А. Мухаммад ал-Хорезми,
ок. 783 — ок. 850. М.: Наука, 1983.ок. 783 — ок. 850. М.: Наука, 1983.
2.2. Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., 1967.Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., 1967.
3.3. Депман И. Я. История арифметики. (1965)Депман И. Я. История арифметики. (1965)
4.4. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия (подИстория математики с древнейших времён до начала XIX столетия (под
ред. А. П. Юшкевича), М., Наука, 1972.ред. А. П. Юшкевича), М., Наука, 1972.
5.5. Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем иМатвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и
Среднем Востоке. Ташкент: Фан, 1967.Среднем Востоке. Ташкент: Фан, 1967.
6.6. Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М., 1968.Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М., 1968.
7.7. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. ТеорияХрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория
чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. М., 1976.чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. М., 1976.
8.8. http://uk.wikipedia.org/http://uk.wikipedia.org/