Rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông luận văn th s. giáo dục học 7005479

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
ĐỖ ĐÌNH NGÂN
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
HÀ NỘI – 2015

2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
ĐỖ ĐÌNH NGÂN
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 01 11
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Nhụy
HÀ NỘI - 2015

3. i
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại
học Giáo dục- Đại học Quốc Gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo đang công
tác giảng dạy tại trường đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài này.
Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy
PGS.TS. Nguyễn Nhụy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá
trình làm việc để Luận văn được hoàn chỉnh và hoàn thành đúng thời hạn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu cùng các
thầy cô giáo tổ Toán- Tin và các em học sinh trường THPT Khoái Châu –
Khoái Châu – Hưng Yên đã nhiệt tình ủng hộ, giúp đỡ tác giả trong quá trình
thực nghiệm sư phạm để đề tài được thực hiện đáp ứng được yêu cầu đặt ra.
Sự quan tâm giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi của gia đình, bạn bè
và các đồng nghiệp trong quá trình học tập, thực hiện nghiên cứu đề tài là
nguồn động viên, cổ vũ tiếp thêm sức mạnh cho tác giả. Tác giả xin chân
thành cảm ơn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn Luận văn không thể tránh
khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu
của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.
Hưng Yên, ngày 08 tháng 11 năm 2014
Tác giả
Đỗ Đình Ngân

4. ii
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Chữ Viết tắt Chữ viết đầy đủ
ĐKXĐ
GQVĐ
GV
HS
L
SGK
THPT
VN
Điều kiện xác định
Giải quyết vấn đề
Giáo viên
Học sinh
Loại
Sách giáo khoa
Trung học phổ thông
Vô nghiệm

5. iii
MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn ...................................................................................................... i
Danh mục các chữ viết tắt .............................................................................. ii
Mục lục ......................................................................................................... iii
Danh mục các hình ........................................................................................ v
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
................................................................. 6
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán .................................................................. 6
1.1.1. Khái niệm kỹ năng
................................................................................ 6
1.1.2. Kỹ năng giải toán ................................................................................. 7
1.1.3. Vai trò của kỹ năng giải toán ................................................................ 8
1.1.4. Phân loại kỹ năng trong môn Toán ....................................................... 9
1.2. Thực trạng việc dạy học Toán, dạy và học Phương trình lượng giác ở
một số trường Trung học phổ thông ............................................................. 11
1.2.1. Thực trạng dạy học Toán ở một số trường Trung học phổ thông trên
địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên ........................................................ 11
1.2.2. Thực trạng việc học Phương trình lượng giác ở một số trường Trung
học phổ thông trên địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên .......................... 13
1.2.3. Thực trạng việc dạy Phương trình lượng giác ở một số trường Trung
học phổ thông trên địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên .......................... 14
1.2.4. Những khó khăn và sai lầm của học sinh thường gặp khi giải
Phương trình lượng giác ............................................................................... 15
1.3. Một số kỹ năng cơ bản trong giải toán “Phương trình lượng giác” ........ 23
1.3.1. Kĩ năng phân tích định nghĩa khái niệm
.............................................. 23
1.3.2. Kĩ năng phân tích những sai lầm thường mắc phải trong quá trình
giải các bài toán về Phương trình lượng giác ................................................ 24
1.3.3. Kĩ năng hệ thống hóa các dạng toán về Phương trình lượng giác
........ 25
1.3.4. Kĩ năng tính toán ................................................................................ 25

6. iv
CHƯƠNG 2: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI
“PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” CHO HỌC SINH
............................ 26
2.1. Nội dung Phương trình lượng giác trong chương trình Đại số và Giải
tích 11 Trung học phổ thông
......................................................................... 26
2.1.1. Nội dung Phương trình lượng giác trong chương trình Đại số và Giải
tích 11 Trung học phổ thông
......................................................................... 26
2.1.2. Những chú ý khi dạy nội dung Phương trình lượng giác trong
chương trình Đại số và Giải tích 11 Trung học phổ thông ............................ 27
2.2. Xây dựng hệ thống các bài tập trong chủ đề “Phương trình lượng giác”
nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ............................................ 28
2.2.1. Phương trình lượng giác cơ bản .......................................................... 28
2.2.2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ........................................ 35
2.2.3. Phương trình lượng giác có thể đại số hóa .......................................... 40
2.2.4. Phương trình lượng giác có thể biến đổi về tích .................................. 55
2.2.5. Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn ...................... 67
2.2.6. Phương trình lượng giác không mẫu mực ........................................... 80
CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .............................................. 86
3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm .................................. 86
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm ................................................... 86
3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm ................................................... 86
3.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ....................................................... 86
3.3. Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm ......................................... 87
3.3.1. Kế hoạch và đối tượng thực nghiệm sư phạm ..................................... 87
3.3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm .......................................................... 87
3.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm .......................................................... 103
3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm ............................................................. 103
3.5.1. Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm .............................. 103
3.5.2. Kết quả thực nghiệm sư phạm .......................................................... 107
3.6. Tổng kết .............................................................................................. 110
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ........................................................... 111
TÀI LIỆU THAM KHẢO
........................................................................ 112

7. v
DANH MỤC CÁC BIỂU
TT Tên biểu Trang
Biểu đồ 3.1. So sánh kết quả bài kiểm tra số 1 tại trường THPT Khoái
Châu- Hưng Yên
................................................................... 107
Biểu đồ 3.2. So sánh kết quả bài kiểm tra số 2
........................................... 108

8. 1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi
dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức
sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với
hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia
đình và giáo dục xã hội. Đây là một trong những mục tiêu cơ bản và quan
trọng mà Đảng và Nhà nước ta đang hướng tới.
Nghị quyết "Về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp
ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường
định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế" đã được Hội nghị T.Ư 8
(Khóa XI) thông qua. Nghị quyết nêu rõ quan điểm chỉ đạo, mục tiêu và các
nhiệm vụ, giải pháp thực hiện đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo
nước nhà.
Nhằm thực hiện mục tiêu phát triển căn bản và toàn diện giáo dục,
trong những năm gần đây ngành giáo dục đã và đang tích cực tiến hành đổi
mới nhằm nâng cao chất lượng dạy và học. Một trong những khâu then
chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học.
Thực tế cho thấy thói quen "cầm tay chỉ việc" đã trở thành "mẫu số
chung" của giáo viên ở nhiều trường học. Việc đổi mới nhằm khắc phục lối
truyền thụ kiến thức một chiều, ghi nhớ máy móc; phát huy tính tích cực, chủ
động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học, giáo viên tập
trung dạy cách học, cách nghĩ và tự học theo phương châm “giảng ít, học
nhiều”, bồi dưỡng ý thức học tập suốt đời. Đổi mới từ cách học chủ yếu là lắng
nghe và ghi chép sang suy nghĩ và phản hồi tích cực với bạn, với thầy.
Trước đây, lối truyền thụ kiến thức một chiều đã hạn chế năng lực tư
duy của học sinh. Tuy nhiên, kiến thức phải tự làm ra thì mới vững bền, chắc
chắn, cho nên phương pháp dạy học để tự học sinh phát hiện, tìm tòi, sáng
tạo thì kiến thức mới chắc chắn, linh hoạt, nhớ lâu được. Trong dạy học, cần

9. 2
lấy học sinh làm trung tâm, với vai trò là người tự khám phá kiến thức cho
mình; thầy giáo là người hướng dẫn, chỉ đạo việc học chứ không truyền thụ
kiến thức. Khoa học, công nghệ phát triển liên tục, ngành nghề, kỹ thuật
luôn đổi mới đòi hỏi mỗi người phải có năng lực tự học, cho nên ngay bậc
học phổ thông đã phải rèn luyện năng lực tự học cho học sinh. Vì vậy, điều
quan trọng trong đổi mới phương pháp dạy học là phải rèn luyện phương
pháp tự học của học sinh; học sinh tự học trong mối tương tác giữa học sinh
với nhau, tương tác với tài liệu và sách giáo khoa, dưới sự chỉ dẫn của thầy
để chiếm lĩnh được tri thức.
Trong chương trình toán Trung học phổ thông nội dung về “Lượng
giác” được dạy từ lớp 10 đến lớp 11 và đây là một nội dung thường xuất hiện
trong các đề thi đại học, cao đẳng trong nhiều năm nay. Các bài tập về
phương trình lượng giác có nhiều công thức lượng giác khó nhớ, các dạng bài
tập phong phú với nhiều cách giải khác nhau, do đó cần rèn luyện cho học
sinh các kỹ năng giải dạng toán này.
Việc học tập môn Toán được diễn ra trong nhà trường phổ thông chủ
yếu là hoạt động giải toán. Trong quá trình đi tìm và trình bày lời giải cho
bài toán, học sinh thường mắc một số sai lầm và lúng túng không biết sai lầm
từ đâu vì các em thiếu kỹ năng giải toán. Trên thực tế số lượng các bài
tập và các dạng bài tập về phương trình lượng giác cũng rất nhiều, học sinh
không thể giải từng bài một mà cần phải phân lớp các dạng bài. Qua thực tế
giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thường gặp khó khăn mỗi khi giải các bài
tập về lượng giác, do không có kỹ năng giải toán. Từ những kinh nghiệm
qua nhiều năm giảng dạy, tôi đã tổng kết, sắp xếp một cách hệ thống các biện
pháp rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về phương trình lượng giác chương
trình Đại số và Giải tích lớp 11 Trung học phổ thông.
Chính vì những lý do trên nên tôi chọn tên đề tài là:
“Rèn luyện kỹ năng giải toán Phương trình lượng giác cho học
sinh lớp 11 Trung học phổ thông”

10. 3
2. Lịch sử nghiên cứu
Ở nước ta, có nhiều nhà toán học nghiên cứu về Lượng giác như Phan
Huy Khải, Trần Phương, Lê Hồng Đức, … Tuy nhiên, những nghiên cứu đó mới
mang tính định hướng trong nghiên cứu về phương pháp dạy và học Toán.
Ngoài ra, các thầy giáo như Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Bá Kim cũng
đã nhiều lần nói về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy
học môn Toán. Tuy những nghiên cứu đó về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh mới chỉ là lý luận nhưng đã có những gợi mở quan trọng
cho tôi trong quá trình thực hiện đề tài.
Bên cạnh đó cũng có một số luận văn, khóa luận nghiên cứu về vấn đề
rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh nhưng chủ yếu là thông qua các nội
dung Toán học như đạo hàm, tích phân, phép biến hình, phương pháp
vectơ,… nhưng chưa có luận văn nào nghiên cứu về việc rèn luyện kỹ năng
giải Phương trình Lượng giác cho học sinh.
3. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của Luận văn là nghiên cứu xây dựng, phát triển hệ thống bài
tập chủ đề “Phương trình lượng giác” nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh Trung học Phổ thông qua chủ đề này.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán.
- Nghiên cứu thực trạng kỹ năng giải toán của học sinh trong khi học
chủ đề “Phương trình lượng giác”.
- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh và phân tích lý
luận khi dạy học chủ đề “Phương trình lượng giác”.
- Qua thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài để áp
dụng vào giảng dạy.
5. Khách thể, đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
5.1. Khách thể nghiên cứu
Hoạt động dạy và học môn Toán ở một số trường Trung học phổ thông.

11. 4
5.2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
5.2.1. Đối tượng nghiên cứu
Quá trình hình thành kỹ năng giải toán của học sinh.
5.2.2. Phạm vi nghiên cứu
Nội dung chương trình Đại số và Giải tích 11 phần “Phương trình
lượng giác”.
6. Vấn đề nghiên cứu
Trong nghiên cứu này, một số vấn đề sau đây được đưa ra xem xét:
- Kỹ năng và kỹ năng giải toán.
- Vai trò của việc rèn luyện kỹ năng giải toán.
- Dùng những phương pháp nào để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học
sinh khi dạy học chủ đề “Phương trình lượng giác”.
- Những kỹ năng cần rèn luyện khi học chủ đề “Phương trình lượng giác”.
7. Mẫu khảo sát
Kỹ năng giải toán của học sinh ở các lớp 11A2 và 11A3 (Ban cơ bản) của
trường Trung học Phổ thông Khoái Châu – Hưng Yên, năm học 2014– 2015.
8. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được hệ thống bài tập theo từng dạng trong chủ đề
“Phương trình lượng giác” phù hợp, đồng thời có sự hướng dẫn của giáo viên
với các phương pháp sư phạm hợp lý thì có thể hình thành và phát triển các
kỹ năng giải toán cho học sinh.
Thêm vào đó, việc làm này sẽ giúp học sinh khắc sâu kiến thức đã học,
phát huy tính tích cực trong việc tiếp thu kiến thức mới và góp phần nâng cao
hiệu quả giáo dục, đạt mục tiêu dạy học môn Toán.
9. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu sách giáo khoa, các giáo
trình phương pháp giảng dạy toán, các sách tham khảo, các đề thi Đại học –
Cao đẳng trong những năm gần đây, Luận văn, Luận án có liên quan đến chủ
đề Phương trình lượng giác.

12. 5
- Phương pháp quan sát điều tra.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận
văn được chia làm ba chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2. Xây dựng hệ thống các bài tập trong chủ đề “Phương trình
lượng giác” theo hướng rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho học sinh
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

13. 6
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán
1.1.1. Khái niệm kỹ năng
Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng. Những định nghĩa này
thường bắt nguồn từ góc nhìn chuyên môn và quan niệm cá nhân của người
viết. Tuy nhiên hầu hết chúng ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành
khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Kỹ năng học được do quá trình
lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó. Kỹ năng luôn
có chủ đích và định hướng rõ ràng.
Theo tâm lý học, kỹ năng là sự thực hiện có kết quả một hành động
bằng cách vận dụng những tri thức, kinh nghiệm về hành động này để tiến
hành phù hợp với những điều kiện cho phép, vì vậy kỹ năng không chỉ là mặt
kỹ thuật của hành động mà còn biểu hiện năng lực của chủ thể. Nếu tạm thời
tách tri thức và kĩ năng để xem xét riêng thì tri thức thuộc phạm vi nhận thức,
thuộc khả năng “biết”; còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc khả năng
“biết làm”.
Nói đến kỹ năng, A.V. Petrovski viết: Năng lực sử dụng các dữ kiện,
các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những
thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ
lý luận hay thực hành xác định, được gọi là các kỹ năng.
Các nhà giáo dục học cho rằng: mọi kiến thức bao gồm một phần là
thông tin kiến thức thuần túy và một phần là kỹ năng.
GPolya đã khẳng định rằng: “Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải
các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như các phân tích có phê phán
các lời giải và chứng minh nhận được, kỹ năng trong toán học quan trọng hơn
nhiều những kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn”.
Như vậy, có nhiều cách phát biểu khác nhau về kỹ năng, do đó có thể đi
đến một khái niệm chung về kỹ năng. Tuy nhiên trong các cách phát biểu về kỹ

14. 7
năng, vẫn có thể tìm ra những điểm chung, đó là nói đến cách thức, thủ thuật và
trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã thuật và
trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã định. Khi
nói đến khả năng là nói đến triển vọng và kết quả khi hành động sẽ diễn ra.
Khi nói đến kỹ năng là nói đến sự nắm vững cách thức thực hiện các thao tác,
trình tự thực hiện các thao tác. Vậy ta có thể hiểu về kỹ năng như sau:
Kỹ năng là khả năng biết vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm đã có
một cách hợp lý, phù hợp với điều kiện thực tiễn cho phép để thực hiện có kết
quả một hành động hay một hoạt động nào đó. Nói đến kỹ năng là nói đến
cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được
mục đích đã định. Kỹ năng được hình thành và phát triển dựa trên kiến thức,
nó tiếp tục giúp củng cố kiến thức và có thể phát triển thành kỹ năng mới phù
hợp với sự phát triển trí tuệ và rộng hơn là phù hợp với yêu cầu của cuộc
sống. Kỹ năng chính là kiến thức trong hành động, nó hình thành và phát
triển trong hoạt động và bằng hoạt động.
Để một người có kỹ năng hành động phải có các yêu cầu sau đây:
- Có tri thức, kinh nghiệm về hành động, tức là nắm được nội dung,
mục đích, cách thức, điều kiện thực hiện… của hành động.
- Tiến hành hành động theo đúng yêu cầu của nó với thời gian tương ứng.
- Đạt kết quả hành động ngay trong cả điều kiện quen thuộc lẫn cả
những điều kiện thay đổi nhất định.
1.1.2. Kỹ năng giải toán
Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do
đó chủ thể giải toán phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện hành
động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong
những điều kiện khác nhau. Trong giải toán, theo tôi quan niệm về kỹ năng
giải toán của học sinh như sau: "Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng có
mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể,
thực hiện có hiệu quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải bài
toán một cách khoa học"

15. 8
Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức Toán học để giải
các bài tập Toán học (tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh …).
Kỹ năng giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiến
thức, kỹ năng, phương pháp. Học sinh sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá
trình luyện tập, củng cố, đào sâu kiến thức thì kỹ năng được hình thành, phát
triển, đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức Toán học.
Kỹ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực
hiện các hoạt động toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán. Kỹ
năng có thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động.
Kỹ năng vận dụng tri thức coán học vào các môn học khác: Kỹ năng
trên bình diện này thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với những môn
học khác, điều này thể hiện tính liên môn giữa các môn học trong nhà trường
đòi hỏi người giáo viên dạy Toán cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy
học bộ môn.
Kỹ năng vận dụng Toán học vào đời sống: Đây là mục tiêu quan trọng
của môn Toán, nó cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống.
Để thực hiện nhiệm vụ môn Toán trong trường THPT, một trong những
yêu cầu đặc biệt về tri thức và kỹ năng cần chú ý là những tri thức phương
pháp, đặc biệt là những phương pháp có tính chất thuật toán và những kỹ
năng tương ứng. Tuỳ theo nội nội dung toán học mà có những yêu cầu rèn
luyện kỹ năng khác nhau.
1.1.3. Vai trò của kỹ năng giải toán
Trong các mục đích của dạy học môn Toán ở trường phổ thông thì việc
truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn
thực hiện được phải dựa trên mục đích này. Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động
nói chung, kỹ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối
liên hệ giữa học với hành.
Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái
niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành

16. 9
thạo vào việc giải bài tập. Có thể nói, bài tập toán chính là “mảnh đất” để rèn
luyện kỹ năng giải toán. Do đó, để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh,
giáo viên cần tăng cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động
chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ
năng giải toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau:
- Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho,
yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho học
sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán.
- Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các
bài tập, các đối tượng cùng loại.
- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các
kiến thức tương ứng.
Ngoài ra, cần tạo nhu cầu hứng thú cho học sinh, khắc phục những ảnh
hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện các mặt sau:
- Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách
giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức.
- Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán.
- Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán.
Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn
luyện kỹ năng đóng một vai trò quan trọng góp phần bồi dưỡng tư duy toán
học cho học sinh.
1.1.4. Phân loại kỹ năng trong môn Toán
Trong tâm lý - giáo dục, người ta thường chia kỹ năng học tập cơ bản
thành bốn nhóm: kỹ năng nhận thức, kỹ năng thực hành, kỹ năng tổ chức hoạt
động nhận thức và kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá [6,tr. 171].
1.1.4.1. Kỹ năng nhận thức
Kỹ năng nhận thức trong môn Toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: khả
năng nắm bắt một khái niệm, định lý, kỹ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc
trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc [6, tr. 172].

17. 10
Việc rèn cho học sinh kỹ năng nhận thức là rất quan trọng vì:
- Nó giúp chúng ta ứng xử, hành động phù hợp với điều kiện, hoàn
cảnh của mình.
- Nhận ra điểm mạnh của bản thân để phát huy.
- Nhận ra điểm yếu để khắc phục.
- Biết rõ bản thân mình muốn gì, có những năng lực gì, gặp những khó
khăn, thách thức nào để có thể đặt ra cho mình mục tiêu phù hợp và khả thi.
1.1.4.2. Kỹ năng thực hành
Kỹ năng thực hành trong môn Toán bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức
vào hoạt động giải toán, kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn (trong bài
toán hoặc trong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế
[6, tr 173].
Hoạt động giải toán có thể xem là hình thức chủ yếu của hoạt động toán
học đối với mỗi học sinh. Kỹ năng vận dụng tri thức một cách có hiệu quả
vào hoạt động giải toán của học sinh được huấn luyện trong quá trình họ tìm
tòi lời giải của bài toán.
Trong hoạt động giải toán cũng cần chú ý rèn luyện cho học sinh các kỹ
năng như:
- Kỹ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch;
- Kỹ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều song song với nhau;
- Kỹ năng tính toán: đòi hỏi tính đúng, tính nhanh, tính hợp lý. Kỹ năng
này được rèn luyện thông qua bài luyện tập, thông qua tính nhẩm, bảng số,
máy tính...
- Kỹ năng trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, đồ thị hàm số...
- Kỹ năng ước lượng, đo đạc...
- Kỹ năng toán học hoá tình huống thực tiễn.
1.1.4.3. Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức
Để có kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi người học phải có
kế hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực của bản
thân nhằm phấn đấu đạt được mục đích đặt ra trong từng giai đoạn.

18. 11
1.1.4.4. Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá
Người học phải biết tự kiểm tra đánh giá bản thân mình để biết xem
mình đã đạt đến đâu, đạt được cái gì, điểm nào mạnh, điểm nào còn yếu… từ
đó có kế hoạch điều chỉnh hoạt động học tập của bản thân để đạt được kết quả
cao hơn.
Ở trường phổ thông chúng ta thường mới quan tâm tới kết quả kiểm tra
từ phía giáo viên đối với học sinh, từ đó giáo viên có thể điều chỉnh cách dạy
mà chưa quan tâm đến việc học sinh tự kiểm tra đánh giá bản thân.
Các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy… đã xét kỹ năng tự kiểm
tra đánh giá trên các phương diện: kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn
Toán, kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kỹ năng
vận dụng toán học vào đời sống.
1.2. Thực trạng việc dạy học Toán, dạy và học Phương trình lượng giác ở
một số trường Trung học phổ thông
1.2.1. Thực trạng dạy học Toán ở một số trường Trung học phổ thông trên
địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên
Xuất phát từ yêu cầu nâng cao chất lượng đào tạo, Bộ Giáo dục và Đào
tạo có chủ chương đổi mới nội dung và PPDH. Nhưng thực tế ở các trường phổ
thông hiện nay các PPDH chủ yếu vẫn là phương pháp truyền thống. Vấn đề cải
tiến PPDH theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh, tạo cho học sinh rèn
luyện khả năng tự học đã được đặt ra nhưng kết quả chưa đạt được như mong
muốn. Giáo viên đã có ý thức lựa chọn PPDH chủ đạo trong mỗi tình huống điển
hình ở môn Toán nhưng nhìn chung còn có những vấn đề chưa được giải quyết,
phương pháp thuyết trình vẫn còn khá phổ biến. Những PPDH có khả năng phát
huy tính tích cực, độc lập sáng tạo ở học sinh như dạy học phát hiện và giải
quyết vấn đề, dạy học phân hoá, dạy học kiến tạo… thì giáo viên ít sử dụng.
Giáo viên chưa được hướng dẫn một quy trình, một chỉ dẫn hành động để thiết
kế bài giảng phù hợp. Vì vậy khi sử dụng các PPDH mới khó hoàn thành nội
dung chương trình dạy học trong khuôn khổ thời gian quy định.

19. 12
Thực tế ở trường phổ thông hiện nay việc dạy học Toán được mô tả
như sau: Phần lý thuyết giáo viên dạy theo từng chủ đề, theo các bước, đặt
vấn đề, giảng giải dẫn học sinh tới kiến thức, kết hợp đàm thoại, vấn đáp, gợi
mở nhằm uốn nắn những lệch lạc (nếu có), củng cố kiến thức bằng bài tập,
hướng dẫn công việc học tập ở nhà. Phần bài tập, học sinh chuẩn bị ở nhà
hoặc chuẩn bị ít phút tại lớp, giáo viên gọi một hoặc một vài học sinh lên
bảng chữa, những học sinh khác nhận xét lời giải, giáo viên sửa hoặc đưa ra
lời giải mẫu và qua đó củng cố hiểu biết cho học sinh. Một số bài toán sẽ
được phát triển theo hướng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá cho đối
tượng học sinh khá giỏi.
Việc rèn luyện tư duy lô gíc cho học sinh không đầy đủ, thường chú ý
đến việc rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp. Giáo viên ít
khi chú ý đến việc dạy toán bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi
hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngược hoặc các
tình huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất
các giải pháp. Còn nhiều giáo viên sử dụng chủ yếu phương pháp thuyết trình,
đàm thoại chưa chú ý đến nhu cầu hứng thú học sinh trong quá trình học.
Thực tế ở các trường phổ thông hình thức dạy học chưa phong phú, đa
dạng, cách thức truyền đạt chưa sinh động, chưa gây hứng thú cho học sinh,
học sinh nhiều khi tiếp nhận kiến thức còn bị động. Những kỹ năng cần thiết
của việc tự học chưa được chú ý đúng mức. Do vậy việc dạy học Toán ở
trường phổ thông hiện nay còn bộc lộ nhiều khuyết điểm và cần đổi mới. Đó
là học sinh chưa thực sự hoạt động một cách tích cực, chưa chủ động sáng
tạo, chưa được thảo luận để đưa ra khám phá của mình, kỹ năng vận dụng vào
thực tiễn còn yếu. Vai trò của giáo viên chủ yếu vẫn là thông báo kiến thức
dạy học sinh cách chứng minh, phán đoán và một số thói quen làm việc nhất
định chứ chưa kích thích học sinh tìm đoán, sáng tạo bài toán. Hơn nữa do thời
gian hạn chế, khối lượng kiến thức cần truyền đạt theo SGK thì nhiều và phải
dạy đúng phân phối chương trình nên chưa phát huy được tính độc lập, sáng

20. 13
tạo học sinh. Chưa tạo được môi trường để học sinh độc lập khám phá, tìm tòi
và nghiên cứu.
1.2.2. Thực trạng việc học Phương trình lượng giác ở một số trường Trung
học phổ thông trên địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên
Trong quá giảng dạy của mình với những kinh nghiệm và trao đổi với
giáo viên và học sinh cho thấy lượng giác là một chủ đề khá khó đối với nhiều
học sinh trong chương trình toán học trung học phổ thông. Mặc dù, SGK mới
đã có nhiều giảm tải về nội dung và yêu cầu đối với học sinh nhưng để học tốt
phần lượng giác không đơn giản. Qua tìm hiểu từ các em học sinh đa số các
em đều có những quan điểm chung như:
Việc học lý thuyết:
- Công thức lượng giác rất nhiều nên học sinh hay quên và bị nhầm lẫn.
- Công thức lượng giác học được học ở cuối lớp 10 nên sang đầu lớp 11
học giải phương trình lượng giác thì học sinh lại phải vừa ôn lại công thức đã
học ở lớp 10, lại vừa phải tiếp nhận kiến thức mới. Do đó, học sinh nào không
ôn tập thì việc tiếp thu kiến thức mới sẽ khó khăn. Vì vậy học tập bị ngắt
quãng, dẫn đến lỗ hổng kiến thức trong không ít học sinh.
- Để vận dụng được công thức lượng giác đúng và linh hoạt thì phải
dành khá nhiều thời gian cho việc làm bài tập.
Khi làm bài tập:
- Việc tính toán, tư duy đối với phần lượng giác khác khá nhiều so với
đại số nên học sinh phần lớn là gặp khó khăn khi bắt đầu học, dễ gây chán nản
cho học sinh.
- Do lượng giác là lĩnh vực khác nhiều so với đại số nên học sinh khó
diễn đạt và trình bày nhất là đối với bài toán lượng giác có điều kiện.
- Khi làm bài tập học sinh thường vận dụng một cách máy móc theo
những dạng phương trình lượng giác cơ bản nên khi gặp những bài toán
không phải dạng đã gặp thì học sinh lúng túng, không giải quyết được.
- Để nắm được phương pháp giải các phương trình cơ bản một cách
vững chắc, nhuần nhuyễn phải mất một thời gian dài. Trong khi đó thời lượng

21. 14
ở lớp 11 dành cho phần này chỉ 16 tiết nên học sinh khó có thể mở rộng, tư
duy linh hoạt đối với các dạng bài tập khác. Do đó, để học sinh làm tốt các bài
tập lượng giác khi đi thi đại học thì giáo viên cần có chiến lược giảng dạy tốt
chủ đề này.
- Tính bị động của học sinh khá lớn nên giáo viên vất vả trong quá trình
giảng dạy nếu yêu cầu cao đối với học sinh.
1.2.3. Thực trạng việc dạy Phương trình lượng giác ở một số trường Trung
học phổ thông trên địa bàn huyện Khoái Châu - Hưng Yên
Theo chương trình cải cách giáo dục (từ năm 2007), các công thức
lượng giác được đưa xuống dạy ở cuối lớp 10; phương trình lượng giác được
dạy ở đầu lớp 11. Chính vì vậy đây là nội dung được nhiều thầy cô giáo và
các em học sinh quan tâm. Nhưng để hiểu sâu sắc và thấy được cái hay của
các bài toán lượng giác thì cả giáo viên và học sinh đều phải bỏ rất nhiều thời
gian và công sức nghiên cứu. Giáo viên cần có thời gian giảng dạy vài năm để
đúc rút được kinh nghiệm giảng dạy phần môn học này. Học sinh cũng mất
một khoảng thời gian để vừa ôn lại kiến thức cũ, vừa lĩnh hội kiến thức mới
để có thể làm chủ kiến thức lâu hơn khi học các nội dung khác.
Để tìm hiểu được thực trạng dạy học Phương trình lượng giác ở trường
THPT tôi đã tiến hành dự giờ quan sát, thăm dò ý kiến giáo viên và học sinh
thu được kết quả như sau:
Khi dạy lý thuyết:
- Giáo viên vừa phải lồng ghép việc ôn kiến thức cũ với việc truyền đạt
kiến thức mới trong khi phân phối chương trình còn nhiều bất cập.
- Đây là nội dung khó nên giáo viên thường gặp khó khăn trong việc
phân hoá học sinh, chính vì vậy mất nhiều thời gian phân bậc kiến thức.
- Việc giúp cho học sinh nhớ hết được các công thức lượng giác đòi hỏi
giáo viên phải có nhiều kinh nghiệm mới có thể giúp học sinh nhớ lâu được
các công thức này.
Khi dạy bài tập:

22. 15
- Do dạng bài tập của phần Phương trình lượng giác rất đa dạng và
phong phú, giáo viên phải mất công chọn lọc, tổng hợp, khái quát thành một
hệ thống bài tập phù hợp với trình độ nhận thức của từng học sinh. Đối với
những bài toán quen thuộc thì cách hướng dẫn có phần đơn giản, nhưng gặp
dạng toán không quen thuộc, giáo viên phải mất nhiều thời gian và công sức
để hướng dẫn. Đồng thời giáo viên yêu cầu học sinh về nhà tìm hiểu thêm, tự
học để học tốt phần này.
- Thời gian chữa bài tập trên lớp không nhiều nhưng giáo viên phải
chữa một số lượng lớn bài tập với đầy đủ các dạng và các bước sau:
+ Củng cố lại lý thuyết.
+ Hướng dẫn học sinh dạng bài tập, mô hình hoá các tình huống để vận
dụng công thức cho đúng.
+ Chữa mẫu một số bài tập cơ bản.
+ Hướng dẫn HS cách trình bày lời giải cô đọng, dễ hiểu, xúc tích.
+ Dành nhiều thời gian để tìm hiểu, giải thích những sai lầm của HS.
+ Dành thời gian dạy phân hóa: rèn kỹ năng cho HS trung bình và
hướng dẫn HS khá, giỏi làm bài tập khó để phát triển trí tuệ.
Dạy và học phần Phương trình lượng giác rất vất vả nhưng giáo viên
tạo được hứng thú cho học sinh bằng cách hướng dẫn khuyến khích các em tự
sáng tạo ra bài tập tương tự. Ngoài ra còn giúp các em thử sức với những bài
tập mở rộng hay phát triển bài toán mới…
1.2.4. Những khó khăn và sai lầm của học sinh thường gặp khi giải
Phương trình lượng giác
Việc chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là cần thiết, song
điều quan trọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai sót đó.
Ngoài ra, theo chúng tôi bên cạnh việc chỉ ra những sai lầm, phân tích được
nguyên nhân, giáo viên cũng cần nghiên cứu và đề ra các biện pháp tích cực
nhằm sửa chữa các sai lầm đó, làm được điều này chính là đã nâng cao năng
lực toán học của học sinh. Để tiến hành tốt việc giải phương trình lượng giác,

23. 16
người giáo viên phải có năng lực sư phạm tốt: phải nắm vững chương trình,
có trình độ tư duy toán học tốt, phải nắm chắc trình độ, năng lực học tập và
tính cách của học sinh. Theo tôi, những nguyên nhân chủ yếu dẫn đến các sai
lầm thường gặp của học sinh khi giải các Phương trình lượng giác có thể là:
- Không hiểu được khái niệm, kí hiệu.
- Tính toán nhầm lẫn.
- Nhớ sai công thức.
- Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất hoặc biến đổi phương trình
làm thay đổi tập xác định của phương trình.
- Xét thiếu trường hợp
- Lập luận thiếu lôgic
- Diễn đạt kém
- Không hiểu hoặc hiểu sai đề toán
Như vậy trong hoạt động giải phương trình lượng giác học sinh mắc sai
lầm có nhiều nguyên nhân như: tư duy thuật toán của học sinh còn yếu, tư duy
lô gíc chưa tốt; khả năng lĩnh hội và tái hiện kiến thức còn hạn chế; kỹ năng
tính toán chưa thành thạo. Dưới đây thông qua các ví dụ cụ thể, chúng tôi sẽ
phân tích các dạng sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình
lượng giác, vạch ra một số biện pháp cụ thể nhằm khắc phục những sai lầm đó.
1.2.4.1. Hiểu không đúng khái niệm, ký hiệu
Trong sách giáo khoa đã nêu định nghĩa phương trình dựa vào mệnh đề
chứa biến. Theo định nghĩa này, phương trình
sin x a
 có tập xác định là R
(tập số thực) và có tập nghiệm là tập tất cả các số thực x0 sao cho mệnh đề
0
" "
sin x a
 là mệnh đề đúng. Nếu theo định nghĩa này, trong các phương
trình lượng giác, ẩn x chỉ các số thực cần tìm và x không phải là góc hay cung
lượng giác, do đó x không có số đo, không có đơn vị đo. Tuy nhiên, trong
thực tế vẫn thường gặp các bài toán đơn giản như tìm các góc x (hình học) có
1
sinx
2
 , trong các bài toán như thế x chỉ các góc hình học mà ta vẫn dùng

24. 17
chung một ký hiệu với số đo của nó. Nếu đo góc theo đơn vị độ thì 0
30
x 
hoặc 1500
, nếu đo góc theo radian thì
6
x

 hoặc
5
6
x

 . Bài toán này nếu
được mở rộng thành bài toán tìm tất cả các góc, cung lượng giác x có
1
sinx
2
 thì đáp số là 0 0
30 360
x k
  và 0 0
150 360
x k
  hoặc cũng có
thể chọn đáp số là 2
6
x k


  và
5
2
6
x k


  .
Như vậy trong chương trình, đồng hành cả hai quan niệm về phương
trình lượng giác, do đó trong từng bài toán cụ thể cần nhận thức được là
phương trình được hiểu theo nghĩa nào.
Ví dụ. Giải các phương trình:
   
) 3 1 2
a sin x sin x
    
1
 
0
) 120 2
b sin x cos x
   
2
) 3 2
c cos x sin x
  
3
Trong phương trình (1) nhất thiết phải được hiểu theo nghĩa hàm mệnh
đề và các số 1 và 2 là những số thực. Trong phương trình (2) phải được hiểu
theo nghĩa mở rộng: tìm góc x (hoặc số đo của góc lượng giác tính bằng độ)
thoả mãn đẳng thức  
0
120 2
sin x cos x
  . Trong phương trình (3) có thể
được hiểu theo cả hai nghĩa.
Như vậy học sinh viết kết quả của phương trình (1) dưới dạng
0
3
180
2
x k
  và 0 0
1 45 360
x k
   thì HS đó phạm sai lầm không hiểu đúng
khái niệm và ký hiệu. Tương tự, nếu viết nghiệm của (2) là
7 2
18 3
k
x
 
  và
21
2
18
x k



  thì cũng mắc sai lầm nói trên. Để khắc phục các sai lầm loại
này, cần làm cho học sinh quán triệt quan điểm hàm mệnh đề trong định nghĩa
phương trình lượng giác với nghĩa bổ xung như đã nói ở trên. Mặt khác, để

25. 18
hiểu rõ khái niệm phương trình lượng giác, học sinh cần phải nắm chắc khái
niệm hàm số lượng giác.Vì vậy giáo viên cần ý thức việc giảng dạy chu đáo,
kỹ lưỡng bài Hàm số lượng giác, để tạo tiền đề tốt cho việc giảng dạy bài
phương trình lượng giác.
1.2.4.2.Tính toán nhầm lẫn
Ngoài những lỗi phổ biến do tính toán nhầm lẫn như: thực hiện không
đúng các phép toán số học, giải phương trình bậc hai, phương trình đại số
sai... còn một loại nhầm lẫn có tính đặc trưng của hoạt động giải phương trình
lượng giác, đó là việc nhận biết các giá trị đặc biệt của các hàm số lượng giác
để tìm một nghiệm riêng của phương trình lượng giác cơ bản. Chẳng hạn như
nhiều học sinh viết
3
sin
2 6

 do đó đi đến kết quả sai. Điều đáng tiếc là lỗi
này có thể gặp ở tất cả loại học sinh, từ yếu kém đến khá giỏi.Vì vậy giáo
viên cần dành thời gian thích đáng để rèn luyện cho học sinh trong việc giải
các phương trình cơ bản. Một biện pháp có tính chất kỹ thuật để giúp học sinh
khắc phục loại sai lầm này là hướng dẫn học sinh thành lập bảng giá trị hàm
số lượng giác các góc đặc biệt.
1.2.4.3. Nhớ sai công thức, tính chất
Loại sai lầm này cũng khá phổ biến trong học sinh.
Ví dụ 1. Khi giải phương trình  
0
15
2
2
cos x   có học sinh đã "giải"
như sau: vì 0
45
2
2
cos  nên 0 0 0
15 45 60
x x
 
  là một nghiệm của
phương trình, do đó tất cả các nghiệm của phương trình là 0 0
60 360
x k
   .
Giải như vậy học sinh đã làm thừa rất nhiều nghiệm ( 0 0
60 360
x k
   không
là nghiệm của phương trình) và cũng làm thiếu rất nhiều nghiệm (thiếu các
nghiệm 0 0
30 360
x k
   ). Lý do dẫn đến sai lầm trên là học sinh đã lẫn lộn
giữa công thức nghiệm của phương trình cơ bản và phương trình gần cơ bản.
Phương trình đã cho là phương trình gần cơ bản, nếu đặt 0
15
t x
  thì

26. 19
phương trình đã cho dẫn đến phương cơ bản 0
2
cos ; 45
2
t t
  là một nghiệm
của nó và tập nghiệm của phương trình này là 0 0
45 360
t k
   . Trở về ẩn cũ
0 0 0
45 36
5 0
1
x k
 
  ta được các nghiệm của phương trình đã cho là
0 0 0 0
60 360 , 30 360
x k x k
     .
Ví dụ 2. Khi giải phương trình 2cos 2 0
x   có học sinh giải:
2
2cos
2
x   vậy 2
4
3
x

  hay
3
8
x

 .
Do tính tuần hoàn, nghiệm của phương trình là
3
2
8
k
x


 
 , giải
như vậy học sinh đã bỏ sót rất nhiều nghiệm (thiếu các nghiệm
3
(2 1) )
8
x k


    . Nguyên nhân dẫn đến sai lầm là do học sinh đã nhớ sai
hoặc hiểu hình thức, hời hợt tính tuần hoàn của hàm số lượng giác; các em
học sinh đã quên là hàm số 2
y cos x
 tuần hoàn với chu kỳ chứ không
phải 2 như hàm số y cosx
 .
1.2.4.4. Làm thay đổi tập xác định của phương trình
Loại sai lầm này thường gặp khi học sinh thực hiện các phép biến đổi
đồng nhất hoặc biến đổi phương trình.
Ví dụ 1. Giải phương trình
 
tan 2 1 cot 0
x x
   .
Học sinh thường biến đổi như sau:
 
PT tan 2x+1 - cotx
  tan(2 1) tan( )
2
x x

   
2 1
2
x x k


     1
2
x k


     .
Giải như vậy học sinh đã sử dụng một phép biến đổi không tương đương
tan(2 1) tan( )
2
x x

   2 1
2
x x k


     .

27. 20
Phép biến đổi này là biến đổi tương đương với điều kiện cos (2x+1) 0
 hoặc
cos( ) 0
2
x

  . Vì vậy nếu không kiểm tra điều kiện này thì có thể đưa đến
những nghiệm ngoại lai của phương trình. Chẳng hạn nếu giải tương tự như
trên thì phương trình:
tan(2 ) tan( )
6 6
x x
 
   2
6 6 3
x x n x n
  
 
       
nhưng với
3
x n


  thì phương trình tan( ) tan( )
6 2
x n
 

   vô nghĩa.
Do đó phương trình tan(2 ) tan( )
6 6
x x
 
   vô nghiệm (chứ không phải có
nghiệm
3
x n


  ).
Ví dụ 2. Khi giải phương trình 2sin cos 1
x x
   có học sinh đặt ẩn phụ
n
2
ta
t
x
 đưa phương trình về dạng
2
2 2
2.2 1
1
1 1
t t
t t

  
 
2 2
4 1 1
t t t
      
1 1
tan
2 2 2
x
t
     
1
2 ( ) 2
2
x arctg k
    .
Giải như vậy đã làm mất các nghiệm 2
x n
 
  (dễ thấy 2
x n
 
 
cũng là nghiệm của phương trình).
Nguyên nhân dẫn đến sai lầm này là công thức
2
2tan
2
1 tan
2
x
x
sinx

 ;
2
2
1- tan
2
1 tan
2
x
x
cosx


đã làm thu hẹp tập xác định của phương trình do đòi hỏi
2
x
tan có nghĩa.

28. 21
1.2.4.5. Xét thiếu trường hợp
Các sai lầm thuộc loại này thường gặp trong các bài toán không mẫu mực.
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình 2 2
sin sin2 2cos 1
a x x x
   ,
có học sinh đã tiến hành như sau: Chia hai vế phương trình cho 2
cos x và
đặt t = tanx ta được phương trình   2
2
1 1 0
t t
a   
 có
1 (1 ) 2
a a
      .
Với a > 2 thì 0

 phương trình vô nghiệm.
Với a 2
 thì 0

 , phương trình có nghiệm là
1 2 1 2
1 1
a a
t x arctg k
a a

   
   
 
.
Giải như thế học sinh đã phạm nhiều sai lầm: phép chia hai vế phương
trình cho cos x
2
có thể làm mất đi những nghiệm mà 0
cosx  . Mặt khác khi
biện luận phương trình bậc hai, các em đã bỏ quên không xét trường hợp suy
biến (a=1).
Ví dụ 2. Khi giải phương trình
11 5
cos 1
8 8
co
x
x
s 
có học sinh đã giải nhận xét như sau:
11
cos 1
8
5
cos 1
8
x
x





 


nên phương trình xảy ra khi
11
cos 1
8
5
cos 1
8
x
x





 


Giải như vậy đã sót trường hợp
11
cos 1
8
5
cos 1
8
x
x

 



  


Để khắc phục trường hợp này cần làm cho học sinh hiểu rõ cơ sở lý luận của
bất đẳng thức: nếu
, 0
a b
c d
a c





 

thì ac bd
 và dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi a = b, c =
d. Vì vậy chỉ cần sửa lại lập luận trên như sau: vì
11 5
cos 1; cos 1
8 8
x x
  và

29. 22
dấu đẳng thức chỉ xảy ra trong 2 trường hợp
11 5
cos
co 1
8
s
8
x x
  hoặc
11 5
cos
co 1
8
s
8
x x
   .
Trong bài toán này giáo viên nên định hướng cho học sinh biến đổi
phương trình về dạng tổng, dễ lập luận hơn:
PT
1 6 16 3
(cos cos ) 1 cos cos2 2
2 8 8 2
x x x
x
      do vế trái nhỏ hơn hay
bằng 2 nên
3
1
PT 4
2 1
x
cos
cos x



 
 

1.2.4.6. Lập luận thiếu logic thường xảy ra khi học sinh phải giải các bài toán
có tham số
Ví dụ 1. Khi giải bài toán: xác định a để hai phương trình sau tương đương
2cosxcos2x=1+cos2x+cos3x (1)
  
2
4 3 cos 4 1 2
cos x cos x a x a cos x
     (2)
Sau khi biến đổi phương trình thứ nhất thành
cos 1 cos2 cos (2cos 1) 0
x x x x
    
0
1
2
cosx
cosx



 

và phương trình (2) được biến đổi thành
   
2 1 2 3 0
cosx cosx cosx a
   
 
 
0
1
2
3
2
cosx
cosx
a
cosx

 


 

 



Có học sinh đã khẳng định là mọi a, phương trình (1) và (2) không
tương đương vì phương trình sau nhiều nghiệm hơn. Mắc sai lầm đó vì học
sinh nghĩ đơn giản là phương trình
3
cos
2
a
x

 luôn cho những nghiệm khác

30. 23
với nghiệm của 0
cosx  và
1
2
cosx  . Cũng có học sinh cho rằng hai phương
trình chỉ tương đương khi 0
2
3


a
hoặc 1
2
3


a
như thế vẫn sót trường hợp
2
3


a
sx
co vô nghiệm. Sự thực (1) và (2) tương đương với nhau khi và chỉ
khi 0
2
3


a
hoặc
2
1
2
3


a
hoặc
3
1
2
a 
  hoặc
3
1
2
a 
 .
1.3. Một số kỹ năng cơ bản trong giải toán “Phương trình lượng giác”
1.3.1. Kĩ năng phân tích định nghĩa khái niệm
R.AAxnop nói: "Việc tiếp thu tri thức một cách có ý thức được kích
thích bởi việc học sinh tự phân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từng
sai lầm mà mình phạm phải, giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và lý
luận về bản chất của các sai lầm". Một trong những nguyên nhân chủ yếu của
các sai lầm là do trình độ còn hạn chế. Trong đó có thể là học sinh không nắm
vững kiến thức cơ bản về môn Toán mà cơ sở nhất là các định nghĩa và khái
niệm. Do đó khi truyền thụ giáo viên cần lưu ý:
Nắm vững nội dung môn Toán Trung học phổ thông: đặc biệt là các tình
huống điển hình trong môn Toán (Dạy học khái niệm môn Toán, định lý Toán
học, quy tắc, phương pháp và đặc biệt là dạy học giải bài tập Toán học). Khi dạy
khái niệm cần chú ý đến nội hàm, ngoại diên và mối quan hệ giữa các khái niệm,
khi dạy định lý cần chú ý đến cấu trúc lôgic và giả thiết của định lý.
Trong giải Toán để tránh các sai lầm, học sinh cần đặc biệt chú ý tới
các hoạt động nhằm tích cực hóa hoạt động học tập. Đó là các hoạt động nhận
dạng, thể hiện hoạt động Toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ và hoạt động
ngôn ngữ, thông qua các hoạt động này học sinh mới bộc lộ những sai lầm, từ
đó mà dự đoán, phòng tránh và sửa chữa sai lầm.
Đặc biệt phương pháp dạy học đóng vai trò không nhỏ trong việc
phòng ngừa các sai lầm cho học sinh. Nếu học sinh được làm quen với các hệ
thống phương pháp dạy học mới, khêu gợi trí sáng tạo, biết phát hiện và giải

31. 24
quyết vấn đề sẽ tự tin, năng động, tạo tâm thế vững vàng, hạn chế việc mắc
sai lầm trong dạy học giải Toán.
1.3.2. Kĩ năng phân tích những sai lầm thường mắc phải trong quá trình
giải các bài toán về Phương trình lượng giác
Trong quá trình dạy học Toán, để học sinh hạn chế mắc phải các sai
lầm khi giải toán phương trình lượng giác giáo viên cần có kỹ năng phân tích
sai lầm thường gặp của học sinh. Để có được kỹ năng đó khi dạy học nội
dung này chúng ta cần chú ý tuân thủ những phương châm sau:
- Phương châm thứ nhất: Tính kịp thời.
Các biện pháp phải chú ý thích ứng với thời điểm thích hợp. Biện pháp
chỉ phát huy hiệu quả nếu được áp dụng đúng lúc, không thể tuỳ tiện trong
việc phân tích và sửa chữa cũng như hạn chế sai lầm của học sinh. Đặc biệt là
thời gian mà giáo viên tiếp xúc trực tiếp với học sinh là có hạn. Do đó sự
không kịp thời sẽ là sự lãng phí thời gian và giáo viên khó có có điều kiện lấy
lại thời gian đã mất. Tính kịp thời của phương pháp đòi hỏi giáo viên phải có
sự nhanh nhạy trước các tình huống điển hình nhằm tác động đến hoạt động
của học sinh; tính kịp thời đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu và dự đoán trước
các tình huống có thể mắc sai lầm của học sinh; đòi hỏi giáo viên phải luôn ở
vị trí thường trực với mục tiêu dạy học. Các sai lầm càng sửa muộn bao nhiêu
thì sự vất vả của thầy và trò càng tăng thêm bấy nhiêu.
- Phương châm thứ hai: Tính chính xác.
Khi dạy học giáo viên phải đảm bảo độ chính xác từ ngôn ngữ thông
thường đến ngôn ngữ Toán học, phải chỉ ra chính xác nguyên nhân dẫn tới sai
lầm của học sinh trong lời giải. Giáo viên không được phủ nhận lời giải sai
một cách chung chung, phải đánh giá mức độ sai lầm của học sinh.
- Phương châm thứ ba: Tính giáo dục.
Tính giáo dục giúp học sinh thấy được tầm quan trọng trong sự chính
xác của lời giải, giúp học sinh tránh được các sai lầm khi sai lầm chưa xuất
hiện. Tính giáo dục còn giúp cho học sinh có ý chí trong học Toán và giải

32. 25
Toán. Các em có sự kiên trì và cẩn thận để đi tới lời giải đúng, tạo ra thói
quen kiểm tra lời giải và biết cách phủ định các sai lầm trong lập luận. Tính
giáo dục còn giúp học sinh không dấu dốt, dám hỏi khi chưa hiểu và không
bao giờ tự thoả mãn với kết quả đã đạt được.
1.3.3. Kĩ năng hệ thống hóa các dạng toán về Phương trình lượng giác
Việc xác định hướng giải một bài tập có liên quan mật thiết với việc lựa
chọn phương pháp và công cụ thích hợp để giải một bài tập. Theo Nguyễn Thái
Hoè: "Một bài tập chỉ có thể có lời giải tốt khi chọn được phương pháp và công
cụ thích hợp với hướng giải đã có". Không tìm được phương pháp giải phù
hợp với bài tập có thể đưa đến các sai lầm: đặt điều kiện sai, biện luận không
hết các trường hợp, không theo trình tự lôgic, không có cách giải tối ưu....
Muốn giải được bài tập, ngoài các kiến thức cơ bản của môn Toán, các kiến
thức cần thiết của lôgic học, cần phải căn cứ vào hướng đã vạch ra, vào quá
trình tiếp nhận và đặc điểm của bài tập. Cho nên, một yêu cầu cần thiết để học
sinh có thể nhanh chóng tìm ra lời giải cho bài toán là học sinh phải biết hệ
thống các bài tập lượng giác theo các chủ đề thích hợp; đưa ra các phương pháp
giải có thể sử dụng cho từng chủ đề này. Từ đó mới xây dựng được kế hoạch
giải cụ thể và lựa chọn các phương pháp thích hợp.
1.3.4. Kĩ năng tính toán
Trong hoạt động thực tế ở bất kì lĩnh vực nào cũng đòi hỏi kĩ năng tính
toán: tính đúng, tính nhanh, tính hợp lý, cùng các đức tính cẩn thận, chu đáo,
kiên nhẫn. Trong dạy học, giáo viên phải chú ý tránh tình trạng ra ít bài tập
đòi hỏi sự tính toán, đồng thời khi dạy giải bài tập không nên chỉ dừng lại
việc chỉ ra phương hướng làm mà ngại làm các phép tính cụ thể để đi đến kết
quả cuối cùng. Giáo viên cần thường xuyên khuyến khích học sinh tìm tòi các
cách tính toán khác nhau và biết chọn phương án hợp lý nhất.

33. 26
CHƯƠNG 2
BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI
“PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” CHO HỌC SINH
2.1. Nội dung Phương trình lượng giác trong chương trình Đại số và Giải
tích 11 Trung học phổ thông
2.1.1. Nội dung Phương trình lượng giác trong chương trình Đại số và Giải
tích 11 Trung học phổ thông
Trước đây, toàn bộ vấn đề lượng giác nằm trong chương trình Đại số và
Giải tích 11. Trong chương trình mới, phần mở đầu về lượng giác đã được
giới thiệu ở chương cuối của sách giáo khoa Đại số 10, bao gồm các vấn đề,
các khái niệm cơ bản như góc và cung lượng giác, các giá trị lượng giác của
góc (cung) lượng giác và một số công thức lượng giác. Lượng giác lớp 11 là
sự nối tiếp chương trình lượng giác lớp 10.
Việc đưa lượng giác xuống lớp 10 từ lâu đã được nhiều nhà giáo và
nhiều nhà khoa học đề xuất. Ý kiến hợp lý này lẽ ra đã trở thành hiện thực
trong SGK 2000. Nhưng vì nhiều lý do, đến 2006 mới được thực hiện. Sự đổi
mới này còn nhằm tạo điều kiện về thời gian để sớm đưa tổ hợp và đạo hàm
vào chương trình Đại số và Giải tích 11, phục vụ cho hai môn Sinh học và
Vật lí. Điều đó thể hiện rõ tính liên môn của toàn bộ hệ thống chương trình
nói chung.
SGK Đại số và Giải tích 11 mở đầu bằng chương lượng giác, chương
này chỉ còn hai nội dung chủ yếu là tìm hiểu các khái niệm về Hàm số lượng
giác và Phương trình lượng giác, các nội dung này cũng được trình bày hết
sức ngắn gọn, cơ bản.
Trong nội dung Phương trình lượng giác, không yêu cầu học sinh giải
các phương trình đòi hỏi biến đổi phức tạp và không xét các Phương trình
lượng giác có chứa tham số vì đa số các bài toán loại này thường dẫn đến
phần biện luận khá phức tạp. Các vấn đề phức tạp như thế, nếu cần, có thể
đưa vào các chuyên đề tự chọn.

34. 27
Nội dung Bất phương trình lượng giác chỉ được trình bày trong bài học
thêm. Trong hệ thống bài tập cũng không có các bài tập về Bất phương trình
lượng giác.
Phân phối Chương 1: “Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác”
lớp 11 như sau:
§1. Hàm số lượng giác (5 tiết)
Luyện tập (2 tiết)
§2. Phương trình lượng giác cơ bản (4 tiết)
Luyện tập (2 tiết)
§3. Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp (2 tiết)
Luyện tập (2 tiết)
Ôn tập và kiểm tra chương (3 tiết)
SGK yêu cầu về giải các phương trình lượng giác ở đây được giảm nhẹ
rất nhiều so với trước đây. Điều đó thể hiện ở hai điểm cơ bản:
- Chỉ nêu các dạng phương trình đơn giản, không đòi hỏi phải có những
thủ thuật biến đổi lượng giác phức tạp và nếu có các điều kiện kèm theo thì
việc thử lại các điều kiện đó khá đơn giản.
- Không yêu cầu giải và biện luận phương trình lượng giác chứa tham số.
Tuy nhiên, giáo viên cần chú ý rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải các
phương trình lượng giác cơ bản thật thành thạo. Đó là cơ sở để học sinh nâng
cao kỹ năng giải các phương trình phức tạp hơn.
2.1.2. Những chú ý khi dạy nội dung Phương trình lượng giác trong
chương trình Đại số và Giải tích 11 Trung học phổ thông
Để giúp cho học sinh có thể tự làm được các bài tập về Phương trình
lượng giác thì giáo viên cần hệ thống các bài tập theo các dạng cụ thể; các bài
tập phải được chọn lọc cẩn thận để có thể củng cố lý thuyết, rèn luyện kỹ
năng cho học sinh. Đặc biệt, giáo viên cần hướng dẫn học sinh làm các bài tập
đó thật cẩn thận. Những sai sót mắc phải trong quá trình làm bài tập là không
thể tránh khỏi. Vì vậy, khi dạy học sinh giáo viên cần lưu ý nhấn mạnh một số
điểm có tính mấu chốt, quan trọng sau:

35. 28
- Cách viết nghiệm của phương trình và biểu diễn nghiệm đó trên đường
tròn lượng giác.
- Hệ thống hóa các kỹ năng biến đổi lượng giác từ đó học sinh mới có
thể rèn luyện cho mình kỹ năng giải Phương trình lượng giác.
- Rèn luyện kĩ hơn cho học sinh kỹ năng kết hợp, đối chiếu với điều
kiện ban đầu. Phần lớn các sai lầm mà học sinh mắc phải trong nội dung
này là do đặt ĐKXĐ sai hoặc thiếu và khi so với ĐKXĐ lại so một cách
không chính xác.
2.2. Xây dựng hệ thống các bài tập trong chủ đề “Phương trình lượng
giác” nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
2.2.1. Phương trình lượng giác cơ bản
2.2.1.1. Phương trình sinxa
Xét phương trình sinxa (1)
Trường hợp 1: Nếu 1
a  thì phương trình (1) vô nghiệm vì sinx 1
 với
mọi x.
Trường hợp 2: Nếu |a| 1, ta xét 2 khả năng
- Khả năng 1: Nếu a được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt, giả sử  .
Khi đó phương trình sẽ có dạng đặc biệt
2
sinx sin (k )
2
x k
x k
 

  
 

  
   

.
- Khả năng 2: Nếu a không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi
đó đặt sin .
a 
 Ta có:
2
sinx sin (k )
2
x k
x k
 

  
 

  
   

.
hoặc sử dụng công thức sinxa
arcsin 2
arcsin 2
x a k
x a k

 
 

    

Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm.
Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như
; ; ; ; ;2
6 4 2 3
   
 
 
 
 
vì sau khi biến đổi các bài toán thường đưa về các cung
đặc biệt này.

36. 29
CHÚ Ý
a) Phương trình sinx sin
 có các nghiệm là
2
x k
 
  và 2
x k
  
   , k  .
Tổng quát,
( ) ( ) 2
sin f(x) sin g(x) (k )
( ) ( ) 2
f x g x k
f x g x k

 
 

  
   

.
b) Phương trình 0
sinx sin 
 có các nghiệm là
0 0
360
x k

  và 0 0 0
180 360
x k

   , .
k 
Ví dụ 1. Giải phương trình
1
sin
4
x  .
Giải
Ta nhận thấy
1
4
không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt
1
sin .
4


Khi đó ta có:
2
1
sinx= sin sin (k ).
2
4
x k
x
x k
 

  
 

   
   

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm 2
x k
 
  và 2
x k
  
   , k  .
Nhận xét. Cũng có thể giải phương trình trên như sau
1
sinx=
4

1
arcsin 2
4 (k ).
1
arcsin 2
4
x k
x k

 

 



   


Ví dụ 2. Giải phương trình
3
sin(3 )
4 2
x

  .
Giải
Do
3
sin
3 2

 nên
3
sin(3 ) sin(3 ) sin
4 2 4 3
x x
  
    

37. 30
3 2 3 2
4 3 4 3
2 2
3 2 3 2
4 3 4 3
x k x k
x k x k
   
 
   
 
 
      
 
 
 
 
      
 
 
2
36 3
(k )
5 2
36 3
k
x
k
x
 
 

 

 

  


.
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
2 5 2
; (k )
36 3 36 3
k k
x x
   
     .
Ví dụ 3. Giải phương trình
0 2
sin(x+45 )
2
  .
Giải
Trong phương trình này khi giải ta phải chú ý cho học sinh về sử dụng
công thức nghiệm theo đơn vị đo là Độ hay Radian. Trong Ví dụ 1, góc x có
thể chọn đơn vị là Độ hoặc Radian. Nhưng trong Ví dụ 3 này thì đơn vị đo
của góc x phải là độ và công thức nghiệm phải lấy theo công thức số đo về độ.
Ta có: 0 0 0
2
sin(x+45 ) - sin(x+45 ) sin225
2
  
0 0 0
0 0 0 0
45 225 360
45 180 225 360
x k
x k
   
 
   

0 0
0 0
180 360
90 360
x k
x k
  
 
  

Vậy phuơng trình có các nghiệm là 0 0
180 360 ,
x k k
   và
0 0
90 360 ,
x k k
    .
2.2.1.2. Phương trình cosx  a
Ta cũng đi biện luận cosx  a theo a
Trường hợp 1: Nếu 1
a  phương trình vô nghiệm.

38. 31
Trường hợp 2: Nếu 1
a  ta xét 2 khả năng:
- Khả năng 1: Nếu a được biểu diễn qua cosin của góc đặc biệt, giả sử góc .
Khi đó phương trình có dạng
cos cos 2 , k .
x x k
  
     
- Khả năng 2: Nếu a không biểu diễn được qua cosin của góc đặc biệt khi đó
đặt cos
a 
 . Ta có: cos cos 2 , k .
x x k
  
     
Hoặc sử dụng công thức cos arccos 2 , .
x a x a k k

     
Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm.
CHÚ Ý
a) Phương trình cosx cos
 có các nghiệm là
2
x k
 
  và 2
x k
 
   , k  .
Tổng quát,
( ) ( ) 2
cosf(x) cos ( )
( ) ( ) 2
f x g x k
g x
f x g x k


 

     

b) Phương trình 0
cosx cos
 có các nghiệm là
0 0
360
x k

  và 0 0
360
x k

   , k  .
Ví dụ 1. Giải phương trình sau
1
cos
2
x   .
Giải
Do
2 1
cos( ) cos
3 3 2
 
     nên
1
cos
2
x  
2 2
osx= os 2 , .
3 3
c c x k k
 

     
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
2
2 , .
3
x k k


   
Ví dụ 2. Giải phương trình
3cos(2 ) 1
6
x

  .

39. 32
Giải
Ta có:
1
3cos(2 ) 1 cos(2 )
6 6 3
x x
 
     .
Vì  
1
1;1
3
  và
1
3
không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc
 
0;
 
 sao cho
1
cos
3
  .
Suy ra
1
cos(2 ) cos(2 ) cos
6 3 6
x x
 

    
2 2
6 12 2 ( )
2 2
6 12 2
x k x k
k
x k x k
  
  
  
  
 
      
 
  
 
 
       

 

.
Vậy phương trình có hai họ nghiệm , .
12 2
x k k
 

    
Ví dụ 3. Giải phương trình
0 3
cos( 30 )
2
x   .
Giải
Nhận xét. Ở vế trái phương trình xuất hiện đơn vị đo là Độ nên ta phải sử
dụng công thức nghiệm về Độ cho phương trình này.
Vì 0 3
cos30
2
 nên
0 0 0
0
0 0 0
30 30 360
3
cos( 30 )
2 30 30 360
x k
x
x k
   
   
   

0
0 0
360
(k )
60 360
x k
x k
 
 

  

.
Vậy nghiệm của phương trình là 0 0 0
360 ; 60 360 , k .
x k x k
    
2.2.1.3. Phương trình tanx a

Xét phương trình tanx = a theo các bước sau:
Điều kiện: cos 0 , .
2
x x k k


    

40. 33
- Khả năng 1: Nếu a được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt  . Khi đó
phương trình có dạng
tan tan , k .
x x k
  
    
- Khả năng 2: Nếu a không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt,
khi đó đặt tan
a 
 ta được
tan tan , k .
x x k
  
    
Hoặc sử dụng công thức tanx tan x arctan .
k
  
   
Nhận xét. Như vậy với mọi giá trị của a phương trình luôn có nghiệm.
CHÚ Ý
a) Phương trình: tanf(x) tang(x) ( ) ( ) , .
f x g x k k

    
b) Phương trình 0
tan x tan 
 có nghiệm là
0 0
180
x k

  , k  .
Ví dụ 1. Giải phương trình
tan 3
x  .
Giải
Do 3 tan
6

 nên ta có
tanx = 3 tanx = tan , .
6 6
x k k
 

    
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm ,
6
x k k


   .
Chú ý. Ta cũng có thể giải phương trình trên như sau
0 0 0
tanx = 3 tanx = tan30 30 180 ,
x k k
     .
Ví dụ 2. Giải phương trình tan( ) 2
5
x

 
Giải
Do 2 không thể biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt nên ta đặt
tan 2
  .
Từ đó ta có
tan( x) 2 tan( x) tan
5 5
 

    

41. 34
x , .
5 5
k x k k
 
   
        
Vậy phương trình có một họ nghiệm ,
5
x k k

 
    . Trong đó
 xác định bởi tan 2
  .
Nhận xét. Đây không phải là phương trình khó nhưng học sinh rất hay mắc
sai lầm ở bước cuối cùng tìm ra x. Rất nhiều học sinh sau khi biến đổi đến
x
5
k

 
   thì sau đó thường sai ở bước chuyển vế đổi dấu thành
,
5
x k k

 
    .
Ví dụ 3. Giải phương trình
0
tan(3 15 ) 3
x   .
Giải
Ta có: 0
tan60 3
 nên 0 0 0
tan(3 15 ) 3 tan(3 15 ) tan60
x x
    
0 0 0 0 0
3 15 60 180 15 60 , .
x k x k k
       
Vậy phương trình có một họ nghiệm 0 0
15 60 ,
x k k
   .
2.2.1.4. Phương trình cotx a

Xét phương trình cotx a

Điều kiện: sin 0 , .
x x k k

   
- Khả năng 1: Nếu a được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt, giả sử  .
Khi đó phương trình có dạng
cot cot , .
x x k k
  
    
- Khả năng 2: Nếu a không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt,
khi đó đặt cot
a 
 ta được
cot cot , .
x x k k
  
    
Hoặc sử dụng công thức cotx cot x arccot .
k
  
   
Nhận xét. Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm.
CHÚ Ý
a) Phương trình: cotf(x) cotg(x) ( ) ( ) ,
f x g x k k

     .

42. 35
b) Phương trình 0
cot x cot 
 có nghiệm là
0 0
180
x k

  , k  .
Ví dụ 1. Giải phương trình
1
cot( )
4 3
x

  .
Giải
Ta có:
1
cot
3 3

 nên
1
cot( ) cot( ) cot
4 4 3
3
x x
  
    
, .
4 3 12
x k x k k
  
 
        
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm ,
12
x k k


    .
Ví dụ 2. Giải phương trình
0
cot(4x 35 ) 1
   .
Giải
Ta có: 0
cot( 45 ) 1
   nên
0 0 0
cot(4x 35 ) 1 cot(4x 35 ) cot( 45 )
      
0 0 0 0 0
4x 35 45 180 20 45 ,
k x k k
         .
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm 0 0
20 45 ,
x k k
    .
2.2.2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Dạng phương trình: asinx bcosx c
  , trong đó 2 2
0
a b
  .
Bằng cách chia hai vế của phương trình cho 2
2
b
a  và chú ý rằng
1
2
2
2
2
2
2



















 b
a
b
b
a
a
, nên ta có thể đặt 2
2
2
2
sin
,
cos
b
a
b
b
a
a



 
 ,
với  là một góc xác định nào đó.
Khi đó phương trình đã cho trở thành: 2
2
)
sin(
b
a
c
x


 , đây chính là
phương trình lượng giác cơ bản.
Sử dụng cách giải phương trình này ta có thể áp dụng được cho những
phương trình dạng sau
2 2 2 2
sin ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ),
a f x b f x c g x d g x a b c d
     

43. 36
Chú ý. Khi giải phương trình dạng: asinx+bcosx+c=0, để tránh học
sinh áp dụng máy móc lời giải của bài toán tổng quát, ta cần cho học sinh xét
các trường hợp đặc biệt sau:
+ Trường hợp 0
a  , khi đó phương trình đã cho có dạng 0
bcosx c
 
và đây chính là PT lượng giác cơ bản dạng .
cosx a

+ Trường hợp 0,
b  khi đó phương trình đã cho có dạng:
0
asinx c
  và đây chính là PT lượng giác cơ bản dạng .
sinx a

+ Trường hợp 0
c  , đây là trường hợp giáo viên ít chú ý đến cho các
em, vì vậy các em thường xuyên áp dụng cách giải tổng quát. Trong trường
hợp này giáo viên phải hướng học sinh đưa phương trình về dạng
asinx bcosx
  . Từ đó chuyển phương trình về dạng phương trình cơ bản đối
với tang hoặc cotang.
Ví dụ 1. Giải phương trình
sin 2 3cos2 3
x x
  . (1)
Giải
Chia cả hai vế phương trình (1) cho 2 2
1 ( 3) 10
   ta được
1 3 3
sin2 cos2
10 10 10
x x
  .
Đặt
1 3
cos ; sin
10 10
 
  . Lúc đó phương trình (1) viết được
dưới dạng
cos sin2 sin cos2 sin sin(2x ) sin
x
2x 2
( ).
2x 2 x
2
x x
k
k
k
k k
    
 
  

    
    
 

  
 
  
 
     


Vậy phương trình có nghiệm là x ,x (k ).
2
k k

  
    
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng

44. 37
2
sin2 3(1 cos2 ) 2sin cos 6cos
cos 0
(sin 3cos )cos 0
sin 3cos 0
cos 0
(k ).
2
tan 3
arctan3
x x x x x
x
x x x
x x
x x k
x
x k



   


      


  
 
  
 

  

Ví dụ 2. Giải phương trình
3
4cos 5 3sin15 2 3cos5 .
x x x
    
2
Giải
  3
2 4cos 5 3cos5 3sin15 2
x x x
   
cos15 3sin15 2
x x
  
1 3 2
cos15 sin15
2 2 2
2
cos(15 )
3 2
x x
x

  
  
 
2
15 2
3 4 180 15
7 2
15 2
3 4 180 15
x k x k
k
x k x k
   

   

 
     
 
  
 
 
      
 
 
Z .
Vậy phương trình có nghiệm là
2 7 2
; ,
180 15 180 15
x k x k k
   
      Z.
Chú ý. Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi
bắt tay vào giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những
phương trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 3. Giải phương trình
2 2(sin cos )cos 3 cos2
x x x x
   . (3)
Giải
Ta biến đổi phương trình (3)
(3) 2sin2 ( 2 1)cos2 3 2
x x
    
Ta có: 2; b = 2 1; c = 3- 2
a  

45. 38
2 2 2
5 2 2; 11 6 2
a b c
    
Suy ra 2 2 2
.
a b c
 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Chú ý. Đối với phương trình dạng
sin ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) (*)
a P x b Q x c Q x d P x
  
trong đó a, b, c, d thoả mãn 2 2 2 2
a b c d
   > 0 và P(x), Q(x)
không đồng thời là các hàm hằng số. Bằng phép chia cho 2 2
a b
 ta có
(*)    
sin ( ) sin ( )
P x Q x
 
    hoặc
(*)    
cos ( ) cos ( )
P x Q x
 
    trong đó ,
  là các góc phụ
thích hợp. Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 4. Giải phương trình
cos7 sin5 3(cos5 sin7 )
x x x x
   (4)
Giải
(4) cos7 3sin7 3cos5 sin5
x x x x
  
1 3 3 1
cos7 sin7 cos5 sin5
2 2 2 2
x x x x
   
cos cos7 sin sin7 cos cos5 sin sin5
3 3 6 6
x x x x
   
   
cos(7 ) cos(5 )
3 6
x x
 
   
7 5 2
3 6 12
(k )
7 5 2
24 6
3 6
x x k x k
k
x
x x k
  
 
 
 

 
     
 
  
 
   
    

 

.
Vậy phương trình có hai họ nghiệm ; , k .
12 24 6
k
x k x
  

    
Ví dụ 5. Giải phương trình
sin3x + ( 3 - 2)cos3x = 1.
Giải

46. 39
Với bài này học sinh thường giải theo dạng asinx + bcosx = c bằng
cách chia cả hai vế cho 2
2
b
a  . Khi đó đáp số của bài toán không đẹp. Với
cách giải sau ta thu được đáp số tốt hơn.
Do b + c = ( 3 - 2) + 1 = 3 - 1 ≠ 0 nên cos
3
2
x
= 0 không là nghiệm
của phương trình.
Đặt t = tan
3
2
x
sin3x = 2
2
1
t
t

và cos3x =
2
2
1
1
t
t


, phương trình trở thành
2
2
1
t
t

+ ( 3- 2)
2
2
1
1
t
t


= 1
 2t + ( 3 - 2)(1 – t2
) = 1 + t2
 (1 - 3)t2
+
2t + 3 - 3 = 0
2
3
3
tan 1
1 6 3
2 4
2 (k )
3
3 2 2
3
tan 3
2 3
2 9 3
k
x
x
x
k
t
x
x k
t
k x
 


  




 
 
 




    




 


  
  
  
  
Như vậy, tùy từng bài toán ta có thể vận dụng các cách giải khác nhau
không theo khuôn mẫu nhất định để có được lời giải đẹp.
Bài tập rèn luyện
Giải các phương trình sau:
1) 3sin cos 3
x x
 
2) 3
4cos 3sin3 1 3cos
x x x
  
3) 4 4
sin cos 1 2 2sin .cos
x x x x
  
4) 4 4
2( 3sin cos ) 7 sin2 3(cos sin )
x x x x x
   
5)
3 1
8sin
cos sin
x
x x
 
2 2
6) os 3sin2 1 sin
c x x x
  
3
7) sin xsin2 sin3 6cos
x x x
 