Tải luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán giải tích lớp 11 cho học sinh ở nước CHDCND Lào. ZALO/TELEGRAM 0917 193 864

1. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
VONGSY PHOMANICHAN
PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG GIẢI
TOÁN GIẢI TÍCH LỚP 11 Ở NƢỚC CNDCND LÀO
TẢI MIỄN PHÍ KẾT BẠN ZALO:0917 193 864
DỊCH VỤ VIẾT LUẬN VĂN CHẤT LƯỢNG
WEBSITE: LUANVANTRUST.COM
ZALO/TELEGRAM: 0917 193 864
MAIL:
BAOCAOTHUCTAPNET@GMAIL.COM
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

2. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
VONGSY PHOMANICHAN
PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG GIẢI
TOÁN GIẢI TÍCH LỚP 11 Ở NƢỚC CNDCND LÀO
Chuyên ngành: LL và PP dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.44.01.13
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Nguờihƣớng dẫn khoa học: TS. Trần Việt Cƣờng
THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

3. LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết
quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình
nào khác.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015
Tác giả luận văn
Vongsy PHOMMANICHAN
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNi http://www.lrc.tnu.edu.vn

4. LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Sư
phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Việt Cường.
Qua đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn
của mình, TS. Trần Việt Cường, người thầy đã đưa ra đề tài và tận tình hướng
dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Đồng thời tôi xin trân trọng
bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại học sư phạm Hà
Nội, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành luận
văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, các bạn bè đồng nghiệp và các
thành viên trong lớp cao học Toán K21A đã quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Do thời gian ngắn và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn bản luận văn
không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo tận
tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tôi xin chân thành cảm ơn
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015
Tác giả luận văn
Vongsy PHOMMANICHAN
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNii http://www.lrc.tnu.edu.vn

5. MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ......................................................................................i
LỜI CẢM ƠN...........................................................................................ii
MỤC LỤC................................................................................................iii
NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN............................. iv
DANH MỤC BẢNG ................................................................................. v
MỞ ĐẦU................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài.................................................................................. 1
2. Mục đíchnghiên cứu........................................................................... 2
3. Giả thuyết khoa học ............................................................................ 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.......................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................... 3
7. Cấu trúc của đề tài............................................................................... 3
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................... 4
1.1. Bài tập và chức năng của bài tập toán................................................ 4
1.1.1. Bài tập toán............................................................................... 4
1.1.2. Các chức năng của bài tập toán .................................................. 6
1.2. Một số dạng toán thuộc nội dung Giải tích lớp 11 .............................. 7
1.2.1. Một số dạng toán về giới hạn...................................................... 7
1.2.2. Một số dạng toán về đạo hàm................................................... 11
1.2.3. Một số dạng toán về nguyên hàm, tích phân.............................. 14
1.3. Sự cần thiết phải phát hiện, phòng tránh và sửa chữa những sai lầm
của HS khi giải toán.............................................................................. 16
1.4. Một số dạng sai lầm và nguyên nhân sai lầm của HS THPT khi giải
toán giải tích lớp 11............................................................................... 18
1.4.1. Sai lầm do không hiểu đúng khái niệm...................................... 18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNiii http://www.lrc.tnu.edu.vn

6. 1.4.2. Sai lầm do áp dụng định lý, công thức, quy tắc một cách máy móc
........................................................................................................ 19
1.4.3. Sai lầm do lập luận thiếu lôgic.................................................. 23
1.4.4. Sai lầm do cảm nhận trực quan................................................. 25
1.4.5. Sai lầm do phân chia các trường hợp riêng ................................ 27
1.5. Dạy học chủ đề Giải tích lớp 11 cho HS .......................................... 31
1.5.1. Nội dung chương trình giải tích lớp 11 ở trường phổ thông........ 31
1.5.2. Mục đích, yêu cầu khi dạy học chủ đề Giải tích lớp 11 cho HS.. 32
1.5.3. Một số vấn đề lưu ý trong dạy học giải toán giới hạn, đạo hàm,
nguyên hàm và tíchphân................................................................... 34
1.5.4. Thực trạng giải bài tập nội dung Giải tíchlớp 11 của HS........... 37
1.6. Kết luận chương 1.......................................................................... 39
Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM GIÚP HS THPT PHÒNG
TRÁNH VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM THƢỜNG GẶP KHI
GIẢI TOÁN GIẢI TÍCH LỚP 11 ........................................... 41
2.1. Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp .................................. 41
2.2. Một số biện pháp sư phạm giúp HS THPT phòng tránh và sửa chữa
những sai lầm thường gặp khi giải toán giải tích lớp 11 .......................... 42
2.2.1. Biện pháp 1: Hạn chế và khắc phục những sai lầm thường mắc
phải cho HS thông qua phân tíchcác bài toán có chứa sai lầm............. 42
2.2.2. Biện pháp 2: Hệ thống hóa các dạng và các phương pháp tìm
giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm và tích phân ...................................... 47
2.2.3. Biện pháp 3: Tổ chức cho HS phát hiện thực hành quy tắc thuật
giải, tựa thuật giải.............................................................................. 52
2.3. Kết luận chương 2.......................................................................... 59
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM............................................... 60
3.1. Mục đíchthực nghiệm sư phạm ...................................................... 60
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm....................................................... 60
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
i v

7. 3.3. Đốitượng thực nghiệm sư phạm ..................................................... 61
3.4. Đánh giá thực nghiệm sư phạm....................................................... 62
3.4.1 Phân tích định lượng................................................................. 62
3.4.2. Phân tíchđịnh tính................................................................... 64
3.5. Kết luận chương 3.......................................................................... 65
KẾT LUẬN............................................................................................. 67
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................... 68
PHỤ LỤC
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNv http://www.lrc.tnu.edu.vn

8. NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt Viết đầy đủ
CHDCND
ĐC
GV
HS
THPT
TN
TS
TXĐ
: Cộng hòa dân chủ nhân dân
: Đối chứng
: Giáo viên
: Học sinh
: Trung học phổ thông
: Thực nghiệm
: Tiến sĩ
: Tập xác định
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
i v

9. DANH MỤC BẢNG
Bảng 1.1. Nguyên nhân sai lầm của HS khi học chủ đề giới hạn, đạo hàm,
nguyên hàm và tíchphân............................................................38
Bảng 3.1. Kết quả bài kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm học (Thực hiện
tháng 9 năm 2014).....................................................................61
Bảng 3.2. Bảng phân bổ tần số kết quả kiểm tra 45 phút của HS hai lớp 11A4,
11A6 trường THPT Thêt sa ban khoeng......................................64
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTNv http://www.lrc.tnu.edu.vn

10. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nước Cộng hòa dân chủ nhân dân (CHDCND) Lào đang trong thời kỳ
đổi mới, đòi hỏi Ngành Giáo dục và Đào tạo có những bước đi đổi mới về
mọi mặt, nhằm đào tạo ra những con người lao động có đủ kiến thức, năng lực
sáng tạo, trí tuệ và phẩm chất đạo đức tốt, đáp ứng được yêu cầu nhân lực của
đất nước.
Môn toán là một trong những môn học quan trọng trong trường phổ
thông ở nước CHDCND Lào. Nó có tiềm năng to lớn trong việc phát triển
năng lực cho học sinh (HS) và rèn luyện trí thông minh, sự sáng tạo, đức tính
cần cù kiên nhẫn, cẩn thận của người lao động. Ở trường phổ thông, dạy toán
là dạy hoạt động toán học. Đối với HS có thể xem việc giải toán là hình thức
chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường phổ thông là một
phương tiện có hiệu quả trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư
duy, hình thành các kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt
động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích của dạy học toán.
Tuy nhiên, khi bắt tay vào việc giải toán, HS thường gặp không ít những khó
khăn và mắc phải những sai lầm dẫn đến những yếu kém nhất định trong kết
quả học tập của HS. Một trong những nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó
của HS là giáo viên (GV) chưa chú ý một cách đúng mức trong việc phát
hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho HS ngay trong các giờ dạy học
toán. Vì điều đó nên ở HS nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai
lầm. Hơn nữa, bản thân HS sau nhiều lần mắc phải sai lầm trong giải toán
thường có tâm lý tự ti, thậm chí chán nản, mất lòng tin và mất hứng thú trong
việc học toán.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN1 http://www.lrc.tnu.edu.vn

11. Trong chương trình Giải tích lớp 11 ở nước CHDCND Lào, nội dung
Giải tích gồm các nội dung: Giới hạn, Đạo hàm và Nguyên hàm, tích phân.
Để HS hiểu đúng được bản chất và làm được các dạng toán này không phải là
điều đơn giản vì đây là các nội dung trừu tượng và tương đối khó ở trường
phổ thông. Để giúp HS học tốt môn toán nói chung và học tốt nội dung Giải
tích ở lớp 11 nói riêng thì việc hiểu đúng bản chất bài toán và làm thành thạo
các bài tập là điều rất cần thiết.
Xuất phát từ nhu cầu của bản thân trong việc học tập, tự nghiên cứu các
vấn đề dạy học, tự rèn luyện và nâng cao kĩ năng, nghiệp vụ sư phạm.
Vì vậy, chúng tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài nghiên cứu: Phát hiện và
sửa chữa sai lầm trong giải toán giải tích lớp 11 cho học sinh ở nước
CHDCND Lào.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu, phát hiện những sai lầm thường gặp của HS khi giải toán
Giải tích lớp 11 ở nước CHDCND Lào theo phương diện hoạt động giải toán
để giúp HS khắc phục và sửa chữa những sai lầm đó.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu phát hiện ra được những sai lầm mà HS thường mắc phải và đề xuất
được một số biện pháp sư phạm nhằm giúp HS phát hiện và sửa chữa những sai
lầm đó trong dạy học nội dung Giải tích lớp 11 ở nước CHDCND Lào cho HS
thì sẽ nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề này và qua đó góp phần nâng cao chất
lượng dạy học môn toán ở trường phổ thông nước CHDCND Lào.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của một số nội dung liên quan
đến đề tài.
- Nghiên cứu một số sai lầm thường mắc phải của HS nước CHDCND
Lào trong giải toán Giải tích lớp 11, xác định nguyên nhân chính dẫn đến
những sai lầm đó.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN2 http://www.lrc.tnu.edu.vn

12. - Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục những sai lầm đã
chỉ ra ở trên.
- TN sư phạm để kiểm chứng tính khả thi của các biện pháp sư phạm đã
đề xuất.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu về
phương pháp dạy học môn toán, sách giáo khoa, sách GV, sách bài tập, sách
tham khảo lớp 11 và một số tài liệu khác liên quan đến đề tài.
- Phương pháp điều tra, quan sát: Tiến hành dự giờ một số tiết học
thuộc nội dung Giải tích lớp 11, trao đổi với GV dạy toán ở trường trung học
phổ thông (THPT) ở nước CHDCND Lào. Từ đó, tổng kết những dạng sai
lầm HS thường mắc phải và đề xuất một số biện pháp khắc phục.
- Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của một số chuyên gia về những
sai lầm HS thường mắc phải khi giải toán nội dung Giải tích lớp 11 và hướng
khắc phục.
- Phương pháp TN sư phạm: Thử nghiệm sử phạm để bước đầu kiểm
nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài nghiên cứu.
7. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần “Mở đầu” và “Kết luận” nội dung luân văn được trình bày
trong ba chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2. Một số biện pháp sư phạm giúp HS phổ thông phát hiện và
sửa chữa những sai lầm thường gặp khi giải toán Giải tích lớp 11 ở nước
CHDCND Lào.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN3 http://www.lrc.tnu.edu.vn

13. Chƣơng 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Bàitập và chức năng của bài tập toán
1.1.1. Bài tập toán
Theo Nguyễn Bá Kim [2]: Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn
Toán. Điều căn bản là bài tập toán có vai trò giá mang hoạt động của HS.
Thông qua việc giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định
như: nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc - phương
pháp, những hoạt động phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung, những hoạt
động trí tuệ phổ biến trong Toán học. Do hoạt động của HS liên hệ mật thiết
với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học nên vai trò của bài tập toán
được thể hiện trên ba bình diện sau:
- Về mặt mục tiêu dạyhọc: Bài tập toán thể hiện những chức năng khác
nhau hướng đến việc thực hiện mục đíchdạy học môn Toán như:
+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng
Toán học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học;
+ Phát triển năng lực trí tuệ chung: Rèn luyện các thao tác tư duy, hình
thành các phẩm chất trí tuệ;
+ Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như
những phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán là một phương tiện để cài đặt
nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức
đã học ở phần lý thuyết.
- Về mặt Phương pháp dạy học: Bài tập toán học là giá mang những
hoạt động để HS kiến tạo những nội dung kiến thức nhất định và trên cơ sở đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN4 http://www.lrc.tnu.edu.vn

14. thực hiện các mục đích dạy học khác. Việc người GV khai thác tốt bài tập như
vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự
giác, tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác
nhau. Về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra... Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài
tập là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu tri thức, khả
năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tư duy của HS, cũng như hiệu quả
giảng dạy của người GV.
Bài tập toán với tư cách là một phương pháp dạy học, giữ một vị trí đặc
biệt quan trọng trong việc hoàn thành nhiệm vụ dạy học Toán ở trường phổ
thông. Việc giải bài tập toán có những tác dụng sau:
- Hình thức củng cố, ôn tập, hệ thống hoá kiến thức một cách sinh
động. Khi giải quyết bài toán, HS phải nhớ lại những kiến thức đã học, phải
đào sâu một số khía cạnh nào đó của kiến thức hoặc phải tổng hợp, huy động
nhiều kiến thức để giải quyết được bài tập. Tất cả những thao tác tư duy đó
góp phần củng cố khắc sâu và mở rộng kiến thức cho HS;
- Một trong những phương tiện tốt để phát triển năng lực tư duy, khả
năng sáng tạo cho HS, bồi dưỡng cho HS một phương pháp nghiên cứu khoa
học bởi giải bài tập toán là một hình thức làm việc tự lực của HS. Trong khi
giải bài tập toán, HS phải phân tích, lập luận... từ đó tư duy logic, tư duy sáng
tạo của HS được phát triển và năng lực của HS được nâng cao;
- Xây dựng và củng cố những kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào
thực tế, đời sống... từ đó có tác dụng giáo dục cho HS về phẩm chất đạo đức,
rèn luyện khả năng độc lập suy nghĩ, tính kiên trì dũng cảm khắc phục khó
khăn, tính chính xác khoa học, kích thích hứng thú học tập bộ môn Toán nói
riêng và học tập nói chung;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN5 http://www.lrc.tnu.edu.vn

15. - Đánh giá mức độ kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán
và trình độ phát triển của HS.
Qua những điều nói trên, bài tập toán có những tác dụng to lớn về cả
giáo dục lẫn giáo dưỡng. Vì thế trong giải bài tập toán, mục đích cuối cùng
không chỉ là giúp HS tìm ra đáp số của bài toán (tuy rằng điều này rất quan
trọng và cần thiết) mà HS nắm vững cách giải bài toán, nắm vững được các
kiến thức đã học, đồng thời rèn luyện các năng lực phẩm chất của tư duy, vận
dụng một cách nhuần nhuyễn, linh hoạt sáng tạo trong công việc.
1.1.2. Cácchức năng của bài tập toán
Ở trường phổ thông, dạy học là dạy hoạt động toán học cho HS trong
đó giải toán là hoạt động chủ yếu. Do vậy, dạy bài tập toán có vị trí quan
trọng trong dạy học toán nhằm đạt nhiều mục đích khác nhau thể hiện ở các
chức năng như [2]:
- Chức năng dạy học: Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo
những vấn đề lý thuyết đã học cho HS. Qua đó, HS hiểu được sâu sắc hơn và
biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết các tình huống cụ
thể. Có khi bài tập lại là một định lý, mà vì lý do nào đó không đưa vào lý
thuyết cho nên qua việc giải bài tập HS mở rộng được tầm hiểu biết của mình.
- Chức năng giáo dục: Bài tập nhằm hình thành cho HS thế giới quan
duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của
người lao động mới.
- Chức năng pháttriển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho
HS, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất
của tư duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học,
đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN6 http://www.lrc.tnu.edu.vn

16. 1.2. Một số dạng toán thuộc nội dung Giải tích lớp 11
1.2.1. Mộtsố dạng toán về giới hạn
a) Dạng 1: Dùng định nghĩa để tính giới hạn
Ví dụ 1.1. Tính lim 2
1
x x
Lời giải: Đặt f (x) 2
x 1
Với mọi dãy (xn) mà x  1,n vàlim x , ta có f (x ) 2
n n n
xn 1
Do đó: lim 2  lim 2  2  0
x  1 lim x
x x 1 1
n n
Ví dụ 1.2. Tính lim 2x2 3x1
x1
x1
Lời giải: Đặt f ( x) 2 x 2 3 x1
x1
Với mọi dãy (xn) mà x n  1,n và lim xn1, ta có:
2x2  3x1 2xn 1.xn1
f (xn ) f (x)
n n
  2xn1
xn 1 xn1
Do đó: lim
2x2 3x1  lim2xn 1 2lim xn 1 2 11
x1 x1
b) Dạng 2: Dùng định lí, quy tắc, công thức để tính giớihạn
 Các bài toán áp dụng trực tiếp địnhlí giới hạn
Ví dụ 1.3. Tínhcác giới hạn sau
 x 2 3x2
 4x
a) I = lim x 1  ln  b) I = lim .
1
x x 2 x2 x
Lời giải:
 x 2
a) I = lim x 1 ln 
x x 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN7 http://www.lrc.tnu.edu.vn

17.  x 2
 lim x lim1 lim ln 
x x x x 2

1
2 
 
x
 lim x lim1 lim ln 
2
x x x 1 
 x
b) I = lim 3x 2
 4x 20 .
x 1 3
x2
 Các bài toán không áp dụng trực tiếp địnhlí giới hạn
Khi tính giới hạn mà không thể áp dụng trực tiếp định lí về giới hạn,
chúng ta phải tiến hành biến đổi biểu thức xác định đã cho về dạng áp dụng
được định lí. Sau đây là một số cách biến đổi thường dùng:
- Đối với dãysố:
+ Nếu biểu thức ở dạng phân thức mà tử và mẫu đều chữa các lũy thừa
của n, thì chia cả tử và mẫu cho nk
, với k là số mũ cao nhất.
+ Nếu biểu thức đã cho có chứa n dưới dấu căn, thì có thể nhân cả tử số
và mẫu số với cùng một biểu thức liên hợp.
- Đối với hàm số:
+ Tính lim ux khi lim u

x

 lim v

x

 0
vx
xx0 x x0 xx0
Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước. Cụ thể ta biến đổi:
lim ux lim x x0 Ax lim Axvà tính lim Ax.
vx x x0Bx Bx Bx
x x0 x x0 xx0 xx0
Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số thì ta có thể nhân cả tử và mẫu với
biểu thức liên hợp, trước khi phân tích chúng thành tích để giản ước.
+ Tính lim ux khi lim u

x

 và lim v

x

:
vx
xx0 xx0 xx0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN8 http://www.lrc.tnu.edu.vn

18. Chia cả tử và mẫu cho xn
với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x
(hay phân tíchtử và mẫu thành tíchchứa nhân tử xn
rồi giản ước).
+ Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến x trong dấu căn thức thì ta đưa xk
ra
ngoài dấu căn (với k là số mũ bậc cao nhất của x trong dấu căn), trước khi
chia tử và mẫu cho lũy thừa của x.
+ Tính lim
xx0
lim ux.vxkhi
xx0
  
 v
   
 và lim
 u x x khi lim u x  hoặc
  xx0
 xx0
xx
 0 và
xx 
:
lim u x lim v x
0 0
Nhân và chia với biểu thức liên hợp (nếu có biểu thức chứa biến số
dưới dấu căn thức) hoặc quy đồng mẫu để đưa về cùng một phân thức (nếu
biểu thức chứa nhiều phân thức).
Ví dụ 1.4. Tínhcác giới hạn sau:
 
1 x 2
a) I = lim  x 1  x b) I = lim
x2
x   x4 x 5 3
Lời giải:
   
1 1
a) I lim x 1  x  lim x 1  x 
x2 x2
x  x 
1
    1 1
1 1
 limx x2
 1 1  limx 1 1.
x 2 x2
x
 
x
 
1
1 1
x2
 2
1 2
1
 1  1
2
x 1
x2 1
 lim x .    lim x
x
 11
1
x
 1 1
1
x2 x2
1 1
0  0
 lim x x2  lim x 
2
x

1 1
1 1  1 1
x
x 2 x2

19. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN9 http://www.lrc.tnu.edu.vn

20.  2
b) I lim x
x4 x 5 3
 2  3  2
 lim x . x 5 . x
x4 x 5 3 x 5 3 x 2
lim
x
 4
x 5
3
 lim x 5 3
x
4x 4 x 2x

4 x 2
 4533
422
c) Dạng 3: Xét tính liên tục của các hàm số
 Hàm số liên tục tại một điểm
Ví dụ 1.5. Xét tính liên tục của hàm số fx
x2 9
tại điểm x = -3.
x 3
fx
x2 9  x 3x 3
 x 3 hx nếu
Lời giải: Ta có 
x 3 x 3
x3.
Ta có lim hx lim fx h3 0 .
x3 x3
Do đó, f(x) liên tục tại x = -3.
 Hàm số liên tục trên một khoảng, mộtđoạn
Ví dụ 1.6. Xét tính liên tục của hàm số sau trên TXĐ của nó
fx
x 3
;I(
1
;)
2x1 2
Lời giải:
fx
x 3 1 1
Ta có xác định trong khoảng (, )( ,) .
2x1 2 2
fx f
 1 
Ta có lim  .
x1  2 
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
10

21. Ta thấy f(x) liên tục bên phải của điểm x
1
2 .
xa     2
Ta có lim f x  f a ,x ( 1 ,).
Suy ra f(x) liên tục trong khoảng (1 ;).
2
 Sử dụng tính chất liên tục xác địnhnghiệm của phương trình
Ví dụ 1.7. Xác định nghiệm của phương trình sau trên :
fx x 3 5 x1
Lời giải: Ta có f 'x 3 x2 5 .
Do đó, f 'x 0 3 x2 5 0
x
15
3
x  15 15 
 3 3
f 'x  0  0 
fx 20  3
15
 3
320 15 
3
Vì vậy, phương trình fx x 3 5 x1 có 3 nghiệm là x1, x2 và x3 như
sau: x 15 ; 15  x 15 ; 15  x 
1
3 3 2
3 3 3
1.2.2. Mộtsố dạng toán về đạo hàm
a) Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Ví dụ 1.8. Tínhđạo hàm của hàm số fx x 2 5 x1 bằng định
nghĩa. Lời giải: Ta có fx0 x0
2 5 x01
f x0 h x0 h2 5x0 h1
 x0
2 2x0 hh2 5x0 5h1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
11

22. f x0 h fx0 x0
2 2 x0 h h 2 5 x0 5h 1 x0
2 5 x01
 2x0 h h 2 5h
Do đó, ta có
fx0 h fx0

2x h h 2  5h
 2x0 h 5
0
h h
Suy ra, ta có f 'x0  lim fx0 h fx0
h
h0
 lim2 x0 h 5 2 x0 5.
h0
Vậy, ta có f’(x) = 2x + 5.
b) Dạng 2: Tính đạo hàm bằng công thức
Ví dụ 1.9. Tínhđạo hàm của các hàm số sau
a) Fx x 2x2 2 x 3 b) y
x1
x 2 2x 2
Lời giải:
a) Ta có F 'xx 2'x2 2 x 3 x 2x2 2 x 3'
 x2 2 x 3 x 22 x 2

=3x21
b) Ta có y 'x2 2x 2 2x 2x1
 x 2 2x
x2 2x 22 x2 2x 22
c) Dạng 3: Viết phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
Ví dụ 1.10. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
y  x3 3x21 biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ.
Lời giải: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Do phương trình tiếp tuyến cần
tìm đi qua gốc tọa độ nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng:
y  f 'x0x 3 x0
2 6x0x
Ta có: x0
3 3 x0
2 1 3 x0
2 6x0x0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
12

23.  x0
3 3x0
2 1 3x0
3 6x0
2

 x01

2x
0
3
3x
0
2
1

0

x 1

 0 2
Do vậy, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y3x và y
15
x 4
Ví dụ 1.11. Cho hàm số fx xm
. Tính đạo hàm cấp 3, cấp p (p < m)
và cấp m của hàm số đó.
Lời giải: Ta có
fx mxm

1
f x mm1xm

2
f x mm1m 2xm

3
f p
    
x  m m 1 .... m p1 xm p
f m

x

 m m 1 ....2.1.x0  m!
 
Ví dụ 1.12. Cho hàm số fx2 x 35
. Tính f ''3, f '''3.
Lời giải: Ta có f 'x 5.22 x 34
 102 x 34
.
=> f ''x802 x 33
.
=> f '''x2.2402 x 32
.
Do đó, ta có f ''3 80.33
 2160;
f '''3480.32
 4320.
e) Dạng 5: Tìm vi phân
Ví dụ 1.13. Tìmvi phân của hàm số y x
3
 5 x1.
Lời giải: Ta có y ' 3 x
2
 5 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
13

24. Vậy, ta có dy dx
3
 5 x 1 y ' dx3 x
2
 5dx.
Ví dụ 1.14. Tìm
d
s inx

.
dcosx
Lời giải: Điều kiện x k  , kR .
2
Ta có
dsinx

sinx'
dx

cosx
cot x .
dcosx cosx'
dx -sinx
1.2.3. Mộtsố dạng toán về nguyên hàm, tích phân
a) Dạng 1: Tìm nguyên hàm
Ví dụ 1.15. Tìmnguyên hàm của hàm số f(x) = x2 2x 3 trong
khoảng I R và Fx0 y0 và x0 = 1 thì y0 = 0.
Lời giải: Nếu G(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên I ta có:
Gx
x
33 x2 3x và Fx Gx k
Do x0 1, y0 0 nên ta có Gx0 G1
1
3 1
3
13
3 Ta có kGx0 y0
13
3
Suy ra, ta có Fx
x
33 x2 3x
13
3
b) Dạng 2: Tính tích phân
 Tính bằng địnhnghĩa
5 1 
Ví dụ 1.16. Tính tích phân2   2 dx
2
 x 
Lời giải: Nguyên hàm của hàm số dưới dấu nguyên hàm là
Fx
1
x 2x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
14

25. Ta có F2 1  47 và F5 1 10 49
2 5 5
2
5 1   1 5 63
Do đó, ta có2   2 dx   2x  F5F2 
2
x 10
 x   2
 Tính bằng phương pháp đối biến số
Ví dụ 1.17. Tính tích phân I
1
1 2 1 t 2 dt
Đặt t cos xx0;.
Ta có 1 t 2 1 cos 2 x sin x .
Vì sin x 0 và dt  sin x dtsin xdx
dx
Nên,ta có I
0 2sin xdt
0 2sin x sin xdx2
0 sin2 xdx
Do sin2 x1 cos 2x nên ta có
2
I2 0
1 cos 2xdx 0 1 cos 2x dx

xsin 2x 0 


2    
 2
 Tính bằng phương pháp từng phần

Ví dụ 1.18. Tính I0
2
t sin tdt
   
u t  t u ' t 1
Lời giải: Đặt
v 't sin t vtcost

  
Ta có I0
2
t sin tdtt cos t 0
2
costdt
0
2

 0
2 cos tdt1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
15

26. 
d) Dạng 3: Ứng dụng Tích phân

 Tính diện tích hình phẳng

Ví dụ 1.19. Tínhdiện tíchcủa hình phẳng được giới hạn bởi hai đường

cong c1 sin x và c2 cos x trong khoảng

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong (c1) và
(c2) là: sin x cos x
x  x x 
2
2
Do đó, ta có:

cos x sin xdx sin x cos xdx
S0
2
2
 sin x cos x

 cos xsin x
2
0
2
 2 2


Vì đơn vị của diện tích là 2
3
cm2
6
cm2 nên ta có


S  2 2
6
cm2
12
 2cm2 .
 Tính thể tích của vậtthể


Ví dụ 1.20. Tìmthể tích của hàm số y x2 khi y 0, x 2 xoay quanh
trục hoành.

Lời giải: Theo bài toán ta có V0
2
 x2
2
dx0
2
x4
dx
32
5

.


1.3. Sự cần thiết phải phát hiện, phòng tránh và sửa chữa những sai lầm

của HS khi giải toán

Trong dạy học toán ở phổ thông, đã có rất nhiều quan điểm và ý kiến
nêu ra về những sai lầm của HS. Thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học toán ở
trường phổ thông đã quan tâm đến việc phát hiện và sửa chữa sai lầm cho HS.




Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
16
0;.

27. Tuy nhiên, khả năng giải toán của HS vẫn còn hạn chế do mắc những sai lầm
dẫn đến sai lầm nối tiếp sai lầm. Trình độ học toán của HS đến mức độ nào sẽ
được thể hiện rõ nét qua chất lượng giải toán. Vai trò của bài tập trong dạy
học toán là vô cùng qua trọng, đó là lí do tại sao nhiều công trình nghiên cứu
về phương pháp dạy học môn toán lại gắn với việc xây dựng hệ thống bài tập.
Ngoài ra có thể tham khảo ý kiến của P.M Ecđơnnhiev trong [7]: "Bài tập
được coi là một mắt xích chính của quá trình dạy học toán". Tuy nhiên, nói
như vậy không có nghĩa là GV tách rời việc dạy học giải toán cho HS với dạy
học các khái niệm và định lý toán học. Bởi lẽ, một khi HS mắc phải khó khăn,
sai lầm khi giải một bài toán cụ thể nào đó đồng nghĩa với việc HS đó chưa
nắm vững hoặc chưa vận dụng được nội dung lý thuyết đã học vào thực hành
giải toán. Do đó, khi phát hiện thấy HS còn mắc phải nhiều khó khăn và sai
lầm trong giải toán thì người GV nên nhấn mạnh lại những điểm cần chú ý
trong quá trình dạy học khái niệm và định lý toán học cho HS.
Thực tiễn dạy học cho thấy, HS khi giải toán thường mắc phải nhiều kiểu
sai lầm khác nhau. Từ những sai lầm bình thường về tính toán đến những sai lầm
do biến đổi, do suy luận và thậm chí có những kiểu sai lầm rất khó phát hiện.
Nhìn nhận một cách khách quan, các sai lầm ấy là do chính bản thân người học,
nhưng trong đó cũng có một phần trách nhiệm thuộc về người GV. Bởi vì, GV
chưa chú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa kịp thời
các sai lầm cho HS trong các giờ học toán; cũng có trường hợp GV phát hiện sai
lầm của HS nhưng chưa làm rõ nguyên nhân, nguồn gốc chính dẫn đến sai lầm
đó, hoặc chỉnh sửa một cách qua loa. Vì điều này mà HS không những không
khắc phục được sai lầm mà còn tiếp tục mắc sai lầm.
Mặt khác, với đa số HS phổ thông, môn toán được xem là một trong
những môn học khó. Nếu người GV không nghiên cứu, lường trước được
những khó khăn và sai lầm mà HS thường gặp khi giải toán thì sau vài lần vấp
phải, HS sẽ “sợ” hơn, sẽ mất lòng tin hơn và không còn hứng thú để học toán.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
17

28. Như vậy, có thể khẳng định rằng, việc nghiên cứu những sai lầm của
HS để từ đó lựa chọn ra được những cách thức giảng dạy thích hợp là một
việc làm cấp thiết. Bởi vì, nếu chúng ta hình dung tốt, lường trước được
những sai lầm thì ta sẽ có cách để phòng tránh, ngăn ngừa; còn nếu không thì
đôi khi rơi vào tình trạng “sai lầm nối tiếp sai lầm” và do đó hạn chế đến chất
lượng giáo dục.
1.4. Một số dạng sai lầm và nguyên nhân sai lầm của HS THPT khi giải
toán giải tích lớp 11
1.4.1. Sai lầm dokhông hiểu đúng khái niệm
Thực tiễn sư phạm cho thấy trong quá trình vận dụng khái niệm, việc
không nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niệm sẽ dẫn tới HS hiểu không
trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm. Mặt khác, nhiều khái
niệm Toán học là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó, việc
không nắm vững và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm HS không
hiểu, không có biểu tượng đúng về khái niệm mới.
Sai lầm về các khái niệm Toán học (đặc biệt là các khái niệm ban đầu
có tính chất nền tảng) sẽ dẫn đến việc HS giải các bài toán không chính xác.
Vì vậy, có thể nói sự “mất gốc” của HS về kiến thức Toán học trước hết coi là
sự “mất gốc” về các khái niệm. Từ nhiều nguyên nhân khác nhau có thể dẫn
tới sự nhận thức khái niệm Toán học một cách hình thức biểu hiện ở:
- HS không nắm vững nội hàm và ngoại diên của khái niệm nên nhận
dạng và thể hiện khái niệm sai.
- Hiểu sai ngôn ngữ, kí hiệu trong định nghĩa khái niệm nên diễn đạt và
vận dụng sai khái niệm (khi xây dựng khái niệm khác, khi biến đổi tính toán,
khi suy luận chứng minh).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
18

29. Ví dụ 1.21. Tìmtập xác định của hàm số sau:
 x
khi x 0

 x 1
f (x)
3
x 1
 khi 1  x 0

x 1

Căn cứ vào định nghĩa khái niệm tập xác định “Tập xác định của hàm
số y f (x) là tập hợp tất cả các giá trị thực x sao cho giá trị của biểu thức f(x)
có nghĩa”. Do nhận dạng khái niệm tập xác định của hàm số, HS nhầm lẫn
sang tìm điều kiện để biểu thức f(x) có nghĩa nên kết luận tập xác định là D
1;1 mà thực chất tập xác định của hàm số này là D1;.
Ví dụ 1.22. Khái niệm giới hạn của hàm số là một khái niệm khó hiểu
đối với HS (thậm chí là đối với GV). Khi dạy học khái niệm giới hạn, GV
không quan tâm tới việc giải thích tập xác định của hàm số có vai trò như thế
nào trong tính giới hạn nên khi tính limx1 1 x 2
 x 1, có HS lập
luận như sau:
Ta có: lim 1 x 2
 0 và lim x 1  0 nên theo định lí về giới hạn
x1 x1
tổng của hai hàm số thì limx1 1 x 2
 x 1 0 .
Phân tích lời giải: Thực ra hàm số f (x) 1 x 2
 x1 không có
giới hạn tại x1 vì biểu thức 1 x 2
 x1 chỉ có nghĩa duy nhất tại
điểm x1. Do đó không thể định nghĩa limf (x) vì không thể lấy bất kì dãy
x1
xn với xn thuộc tập xác định, x n1 mà lim xn1.
1.4.2. Sai lầm do áp dụng định lý, công thức, quy tắc một cách máy móc
Theo phương hướng đổimới chương trình và sách giáo khoa thì những
nội dung phức tạp đã được giảm tải, giảm bớt những điều có tính chất “hàn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
19

30. lâm”, giảm bớt những suy luận quá trừu tượng, giảm các phép biến đổi cầu
kỳ. Do đó, HS chỉ giải toán với những phép biến đổi đơn giản, chủ yếu là áp
dụng định lý, các công thức, các quy tắc. Tuy nhiên không phải nội dung định
lý nào cũng được HS nắm bắt trọn vẹn. Khi giải toán, thường HS trong tư thế
rất sẵn sàng vận dụng định lý, công thức, quy tắc vào giả thiết bài toán mà bỏ
qua việc xem xét rằng giả thiết đó có thuộc phạm vi áp dụng được định lý,
công thức hay không. Chính vì thế nhiều khi nhận được kết quả sai nhưng HS
vẫn không phát hiện được vì sao mình đã sai.
Ví dụ 1.23. Tínhgiới hạn của dãy số:
 1

I = lim

n
2
 1

- Một HS giải nhưsau:
 1

1
...
I = lim

n
2
 1 n
2
 2

1
...
1 

n
2
 2 n
2 
 n
1 

2
n

 n
= lim
1
 lim
1
 ... lim
1
 0
n2
 1 n2
 2 n2
 n
(do lim 1  lim 1  .... lim 1 0).
n2
1 n2
2 n2
n
- Phân tích sai lầm: Sai lầm mắc phải trong bài toán trên là do HS đã
áp dung sai định lí về các phép toán trên các giới hạn của dãy số. Định lí đó
chỉ đúng cho các phép toán thực hiện trên một số hữu hạn dãy số có giới hạn.
Nhưng ở cách giải trên, HS đã áp dụng định lí đó cho tổng vô hạn các dãy số
có giới hạn không. Do đó, lời giải của bài toán là không chính xác.
- Lời giải đúng: Ta có
n  1  1 ... 1  n ,n*
n2
 n n2
 1 n2
 2 n2
n n2
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
20

31. Ta có lim
n
 lim
1
1,
n21 1
1n2
 1

1
...
1 1
Do đó I = lim 

n
2
 1 n
2
 2 n
2 
  n
Ví dụ 1.24. Tính lim 2x sin x
x
x
- Một HS giải nhưsau:
lim 2x sin x  lim 2x  lim sin x 213.
x x x
x x x
- Phân tích sai lầm: Lời giải sai do HS không nhớ đúng công thức
lim
sin x
1. Do đó, lời giải của bài toán là không chính xác.
x0 x
- Lời giải đúng: Ta có
lim 2x sin x  lim 2x  lim sin x 202
x x x
x x x
Ví dụ 1.25. Tínhđạo hàm của hàm số y
5
x 3 trên TXĐ của nó.
- Một HS giải nhưsau:
TXĐ:D= R
Ta có y =x 31
do đó y '1x 34
 1 ,x 3 .
5 5 5
5 x  34
- Phân tích sai lầm: Lời giải trên HS đã mắc sai lầm ở chỗ khi viết
1
y5 x 3 x 35 thì phép biến đổi này chỉ đúng trong trường hợp
x 3 0 x 3 , không phải đúng với mọi xR . Do đó, lời giải của bài
toán là chưa chính xác.
- Lời giải đúng:xR ta có y
5
x 3 y
5
 x 3 xem y là hàm số
hợp (theo biến x). Lấy đạo hàm hai vế ta được:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
21

32. y 5
' x 3' 5 y 4
y ' 1
Trường hợp 1: Nếu y 0 x 3 0 x 3 thì (*) vô nghiệm.
Do đó, tại x = 3 hàm số không có đạo hàm.
Trường hợp 2: Nếu y 0 x 3 thì ta
có y '
1
,x 3 .
55x 34

Ví dụ 1.26. Tínhtíchphân: I04 1 x 2 dx
- Một HS giải nhưsau:
Đặt t sin2 x dx costdt

Ta có I04 1 sin 2 t .costdt
 
1 cos 2t



1
0
4 cos2 tdt0
4
2 8 4
- Phân tích sai lầm: Bài toán sai lầm là do HS chưa đổi cận. Do đó, lời
giải của bài toán chưa chính xác.
- Lời giải đúng:
Đặt x sint dx costdt
Đổi cận, ta có
Với x = 0 thì t = 0
Với x  thì t arcsin  .
4
4
Do đó, ta có

0arcsin

1 cos 2t
dt
I0
4
1 sin2 x.costdt 4 2

1
arcsin
1
sin
 arcsin


2444
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
22

33. 1.4.3. Sai lầm dolập luận thiếu lôgic
Suy luận là một trong những hình thức của tư duy. Suy luận là một quá
trình suy nghĩ để rút ra một mệnh đề mới từ một hoặc nhiều mệnh đề đã cho.
Người ta phân biệt hai kiểu suy luận, đó là suy luận quy nạp và suy
luận diễn dịch. Suy luận quy nạp là phép suy luận mà xuất phát từ một hay
nhiều tiền đề đã biết ta rút ra một phán đoán mới bao hàm một tri thức mới.
Kết quả của phép suy luận quy nạp chỉ mang tính chất ước đoán. Còn suy luận
diễn dịch (hay suy diễn) là phép suy luận trong đó tư duy dựa trên một bộ
phận đối tượng để đi đến kết luận chung cho một lớp dối tượng chứa bộ phận
đối tượng ban đầu. Do vậy, suy luận diễn dịch là suy luận đáng tin cậy, kết
quả của phép suy luận này luôn luôn đúng.
Một suy luận thường có cấu trúc logic A B, trong đó A là tiền đề, B
là kết luận. Cách thức logic phản ánh cách thức rút ra kết luận tức là cách lập
luận. Ta thường sử dụng những quy tắc sau đây để suy luận:
AB, A; AB, B; AB, B; AB, A.
B A A B
A1 A2, A2 A3, A3 A4, A;
A
4
P ( x ) x Xx
 X
.
P ( x)
Khi tính giới hạn đạo hàm HS thường mắc một số sai lầm sau:
Ví dụ 1.27. Tínhgiới hạn của hàm số: I = lim 1 x2
1
x
x
- Một HS giải nhưsau:
 
1
1
x 11
x 11
x2
Ta có I lim x
2
 lim  
x x
x x
 
1
 lim 11 0
x2
x 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
23

34. - Phân tích sai lầm: Lời giải trên đã chia cả tử và mẫu của phân thức
1 x2

cho x để khử dạng . Nhưng sailầm ở chỗ khi cho x vào trong dấu

x
căn bậc chẵn không để ý tới việc x. Do đó, lời giải của bài toán là chưa
chính xác.
- Lời giải đúng:
2 

1
1
2 x  1

x 11 x
2
Ta có I = lim  lim  
x x
x x
x 1 11  x 1 11
x
2
x
2
 lim  lim
x x
x x
 

1
 1 
1
x 
x2 x
 lim  
x
x
 
 lim 
1
 11
1
 
x2
x
x 
Ví dụ 1.28. Xét tính liên tục của hàm số sau trên :

 x ví i x 2
5

 x 2
fxx2
ví i x 2

x 2

- Một HS giải nhưsau:
+ Với x 2 ta có fx
x2
 x 2
là hàm phân thức hữu tỉ nên f(x)
x 2
liên tục trên khoảng2;.
+ Với x 2 ta có fx 5 x là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên
nên liên tục trên khoảng; 2.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
24

35. Do đó, hàm số liên tục trên .
- Phân tích sai lầm: Lời giải trên chưa chính xác vì HS đã lầm tưởng
rằng nếu hàm số liên tục trên;a vàa; thì hàm số liên tục trên .
Điều này không đúng vì nếu f(x) liên tục trên

;a thì chỉ tồn tại
xa  
 f
  xa 
 f
 
. Vì vậy chưa đủ
lim f x a chứ chưa chắc đã tồn tại lim f x a
điều kiện để kết luận hàm số liên tục tại x a nên chưa thể kết luận hàm số
liên tục trên .
- Lời giải đúng:
+ Với x 2 ta có fx
x2
 x 2
là hàm phân thức hữu tỉ nên f(x)
x 2
liên tục trên khoảng2;.
+ Với x 2 ta có fx 5 x là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên
nên liên tục trên khoảng; 2.
+ Tại x 2 , ta có:
lim f

x

 lim x2
 x 2  lim x 1x 2 lim x 1 3
x 2 x 2
x2
x2
 x2
x2

x2

x
 x2
5 x

 3
lim f  lim
x2


x


x2


x

 3 nên tồn tại
x2 
x

 3
Vậy ta có: lim f lim f lim f
Mặt khác, ta có f (2) 5 2 3 .
x2 
x

 f

2

nên hàm số liên tục tại x 2
Do đó, ta có lim f
Vậy hàm số f(x) liên tục trên .
1.4.4. Sai lầm docảm nhận trực quan
Trong cuộc sống cũng như trong toán học, cảm nhận và cảm thụ là rất
quan trọng. Trực quan giúp cho ta phát hiện vấn đề, có những bài toán nếu ta
giải nhiều lần thì sẽ phát hiện ra một số quy luật và lần sau khi gặp lại dạng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
25

36. toán như vậy nhìn vào ta có thể dự đoán được cách giải hoặc đáp số của bài
toán đó. Tuy nhiên, trong toán học không chấp nhận việc chứng minh mà
không có những lập luận có căn cứ một cách rõ ràng. Vì vậy, trực quan chỉ là
chỗ dựa khám phá chứ không phải là phép chứng minh. Nếu không nhận thức
được điều đó nhiều khi ta sẽ đưa ra những kết luận sai lầm liên quan đến cảm
nhận trực quan.
Ví dụ 1.29. Tínhgiới hạn của hàm số: I = lim
e 5 x
 e3x
.
x0 x
- Một HS giải nhưsau:
e5 x e3x e5x e3x
I = lim  lim  lim 
x x
x0 x0 x0 x
- Phân tích sai lầm: Sai lầm trên do cảm nhận trực quan của HS, HS đã
ex
1 ex
không nhớ định lý lim 1 mà lại nhớ thành lim  và nghĩ rằng
x
x0 x x
5 3 là phép tính trong R . Do đó, lời giải của bài toán là chưa chính xác.
- Lời giải đúng:
Ta có I = lim e5 x
 1 e3x
1
x
x0
 lim e5 x
 1  lim e3x
1
x x
x0 x0
= lim 5e5 x
 1 lim 3e3x
1
3x
x0 5x x0
= 2.
Ví dụ 1.30. Tìmgiới hạn của hàm số I lim cos x
x0 x
- Một HS giải nhưsau: I lim cos x 1
x0 x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
26

37. - Phân tích sai lầm: Sai lầm trên do cảm nhận trực quan của HS. HS
nhớ định lí lim sin x 1 và nghĩ rằng vai trò của hàm sin và cosin là như nhau
x0 x
nên kết luận lim cos x 1. Do đó, lời giải trên chưa chính xác.
x0 x
- Lời giải đúng:
Ta có I lim cosx  lim sinx .cosx  lim sinx . lim cosx 
sinx
x0 x x0 x x0 x x0 sinx
1.4.5. Sai lầm dophân chia các trường hợp riêng
Phân chia khái niệm là một thao tác thường gặp và trong hoạt động giải
toán cũng vậy ta thường xuyên phải xét trường hợp này, xét trường hợp kia.
Việc xét các trường hợp như vậy có thể gọi chung là phân chia trường hợp.
Mặc dù sách giáo khoa hiện nay đã tinh giảm rất nhiều những bài toán
có chứa tham số. Tuy nhiên, trong quá trình giải toán ở phổ thông, HS còn
phải gặp khá nhiều bài toán liên quan đến hoạt động phân chia trường hợp,
đặc biệt là những bài toán có chứa tham số.
Nhìn nhận từ góc độ tổng quát thì việc phân chia trường hợp trong quá
trình giải toán vô cùng phong phú và đa dạng, nó không theo một khuôn mẫu
cố định nào. Do đó, khi thực hiện HS gặp rất nhiều khó khăn, mắc phải nhiều
sai lầm, thậm chí không tìm ra được cơ sở để tiến hành phân chia các trường
hợp.
Trong quá trình giải toán, nhiều khi chúng ta chia ra một số trường hợp,
có thể hầu hết mọi trường hợp đều có thể dễ dàng kết luận được, nhưng bên
cạnh đó lại có một trường hợp rất khó. Chất lượng của việc giải một bài toán,
trong đó có phân chia trường hợp, là không phụ thuộc vào số trường hợp mình
đã xét; bởi vì đôi khi chỉ một trường hợp nào đó thôi lại là bước khó nhất của
bài toán.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
27

38. 
Ví dụ 1.31. Tínhgiới hạn: I = lim
x

- Một HS giải nhưsau:
  2x
4 x 2
 1
Ta có I = lim 
7
x 
 
  2x 
4x2
 1 4x2
 1
 lim
x 74x2
 1 2x
 lim 4 x
2
 1 4x
2
x 74 x 2
 1 2x
 lim 1  0
x 74 x
2
 1 2x
4 x 2 1 2x
.
7 

2x
- Phân tích sai lầm: Lời giải trên HS đã không xét các giới hạn khi
x  - và x +. Do đó, lời giải của bài toán là chưa chính xác.
- Lời giải đúng:
  2x
4 x 2
 1
Ta có I = lim 
7
x 
 
 lim 4x2 1
 2x
 4x2
 1
 2x


7 4x
2
 1 2x
x
4 x 2
 1 4x2
 lim  
x7 x 2
1 x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
28

39.  lim 1  0 (1)
x 7x
2
 1 x
Ta có xlim 4x 2
 1 2x (2)
Từ (1) và (2) suy ra, không tồn tại giới hạn của hàm số.


4

x 2
Ví dụ 1.32. Cho hàm số f x


ax 2 1

của hàm số f(x) tại x = 5.
- Một HS giải nhưsau:
Ta có lim fx21.
x5
Ta có lim fx limax2
 1 25a+1.
x5
x5

Suy ra lim fx lim fx.
x5

x5

Do đó, không tồn tại lim fx.
x5
Vậy hàm số gián đoạn tại x = 5.
ví i x 5
. Xét tính liên tục
ví i x 5
- Phân tích sai lầm: Trong lời giải trên, HS không để ý ở đây a là tham số
nên mặc định luôn 25a+121. Do đó, lời giải của bài toán là chưa chính xác.
- Lời giải đúng:
Ta có lim fx lim ax2
 1 25a+1 và lim fx21.
x5 x5 x5
Do đó, ta có lim fx lim fx
x5 x5
 25a + 1 = -21 a = - 22 .
25
- Với a = -
22
ta có f5
22
52
121
25 25
Suy ra lim fx f5. Do đó, hàm số f(x) liên tục tại x = 5.
x5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
29

40. - Với a 22 thì không tồn tại lim f

x

. Do đó, hàm số f(x) gián
25 x5
đoạn tại x = 5.
Ví dụ 1.33. Tìm nguyên hàm của hàm số fx
2
3x x 2
trong khoảng (0;) khi Fx0 y0 và x0 1; y0 2 .
- Một HS giải nhưsau:
fx
2    22 5
 
Ta có
3
x x 2 
3 
5
x 2

 2x
/
 C
 
 
Suy ra Fx
22 5 
 x2  2x C .
3 5
 
- Phân tích sai lầm: Trong lời giải trên, bài giải của HS chưa chính xác
vì trường hợp này HS chưa sử dụng hết điều kiện đã cho. Do đó, lời giải của
bài toán là chưa chính xác.
- Lời giải đúng:
fx
2    22 5
 
Ta có
3
x x 2 
3  5
x 2

 2x
/
 C
 
 
Suy ra, ta có Fx
2 2 5 
 x 2
 2x C
3 5
 
2 2 5

Ta có F1 2 2.1C2
 .12
35 
 C2
16
15
14
15

5



5


Vậy, ta có Fx 2 2  2x  14  4 2 x  2x 7 
x2  2
   
3 5 15 9

3 5

    
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
30

41. 1.5. Dạy học chủ đề Giải tích lớp 11 cho HS
1.5.1. Nội dung chương trình giải tích lớp 11 ở trường phổ thông
Chủ đề Giải tích lớp 11 ở trường phổ thông được trình bài trong 56 tiết
với bốn nội dung là: Giới hạn, Đạo hàm, Nguyên hàm và Tíchphân.
- Chủ đề Giới hạn thuộc chương I, được trình bày trong 18 tiết. Đây là
một chương mới, trừu tượng và khó, cung cấp cho HS những kiến thức mở
đầu về giải tích. Chương này gồm 3 bài: Giới hạn của hàm số, giới hạn của
hàm số liên tục và hàm số ngược. Khái niệm giới hạn của hàm số được định
nghĩa thông qua giới hạn của hàm số.
Giới hạn của hàm số có các khái niệm: Giới hạn là 0, giới hạn là một
số thực, giới hạn là +, giới hạn là -, các định lý về giới hạn của hàm số.
Giới hạn hàm số tại một điểm, tại vô cực, giới hạn một bên của hàm số, giới
hạn vô cực. Tiếp đó là các khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, trên một
khoảng, một đoạn, các định lý về giới hạn của hàm số, các quy tắc tìm giới
hạn vô cực, một vài tính chất của hàm số liên tục và một số bảng công thức
quan trọng.
Mục tiêu của chương này là HS nhớ được công thức quan trọng, biết
các định nghĩa, các định lí về giới hạn, các quy tắc tìm giới hạn và biết vận
dụng chúng để tính giới hạn các hàm số.
- Chủ đề đạo hàm, Nguyên hàm thuộc chương II, được trình bài trong
20 tiết. Chương này bao gồm 3 bài: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm, các
quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm của các hàm hợp, đạo hàm cấp n, vi phân.
Mục tiêu của chương này là HS nắm được các khái niệm, các quy tắc tính
đạo hàm, ứng dụng chúng để giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hạm, nắm
được ý nghĩa của đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số...
- Chủ đề tích phân thuộc chương V, được trình bài trong 18 tiết. Chương
này bao gồm 4 bài: tích phân của hàm số liên tục, đặc điểm đại số của tích phân,
cách tính tích phân và sử dụng tích phân tính diện tích và thể tích.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
31

42. Mục tiêu của chương này là HS nắm được công thức quan trọng của tích
phân, cách tính và cách sử dụng chúng trong tính diện tích và thể tích cụ thể.
1.5.2. Mục đích, yêu cầu khi dạy học chủ đề Giải tích lớp 11 cho
HS a) Mục đích, yêu cầu khi dạy học chủ đề Giới hạn lớp 11
- Về kiến thức: HS cần nắm được những nội dung kiến thức sau:
+ Khái niệm giới hạn của hàm số, các phép toán về giới hạn của dãy số
và hàm số.
+ Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn của hàm số tại
vô cực và một số định lí về giới hạn hữu hạn.
+ Định nghĩa giới hạn một bên của hàm số tại một điểm và tại vô cực,
các quy tắc tính giới hạn vô cực và nắm được các dạng vô định.
+ Định nghĩa hàm số liên tục (tại một điểm, trên một khoảng), định lí
về tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục và nội dung định lí: “Nếu
hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c
thuộc (a; b) sao cho f(c) = 0’’.
+ HS biết ứng dụng các định lí, định nghĩa để xét tính liên tục của một
số hàm số đơn giản.
+ HS biết cách chứng minh, biết cácháp dụng định lí về phần tử giá trị
trung gian và hệ quả của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm của
phương trình.
- Về kỹ năng: HS cần có các kỹ năng sau:
+ Biết vận dụng khái niệm, các phép toán và một số công thức thừa
nhận để tính giới hạn của một số dãy số và hàm số đơn giản.
+ Trong một số trường hợp tính được giới hạn của hàm số tại một điểm,
giới hạn một bên của hàm số, giới hạn của hàm số tại .
+ Biết ứng dụng các định lí trên để xét tính liên tục của một hàm số
đơn giản.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
32

43. + Biết chứng minh một phương trình có nghiệm dựa vào định lí về hàm
số liên tục.
b) Mục đích, yêu cầu khi dạy học chủ đề đạohàm, nguyên hàm và
tích phân lớp 11
- Về kiến thức: HS cần biết những kiến thức sau đây:
+ Biết định nghĩa đạo hàm tại một điểm, trên một khoảng.
+ Biết ý nghĩa cơ học và ý nghĩa hình học của đạo hàm.
+ Biết quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số.
+ Biết đạo hàm của hàm số lượng giác.
+ Biết định nghĩa đạo hàm cấp n.
+ Biết tìm vi phân.
+ Nắm được định nghĩa nguyên hàm, tích phân.
+ Biết quy tắc, nhớ công thức nguyên hàm cơ bản.
+ Biết ý nghĩa định nghĩa, quy tắc tính tíchphân.
+ Biết được các phương pháp để tình nguyên hàm, tíchphân.
+ Nắm được công thức tính diện tích của một hình phẳng và thể tích
của một vật tròn xoay.
- Về kỹ năng: HS cần có các kỹ năng sau đây:
+ Tính được đạo hàm của hàm số theo định nghĩa.
+ Biết tìm vận tốc tức thời tại một điểm của một chuyển động.
+ Tính được đạo hàm của các hàm cho ở các dạng: tổng, hiệu, tích,
thương, hàm hợp.
+ Tính được đạo hàm của hàm số lượng giác.
+ Tính được đạo hàm cấp n của một hàm số.
+ Biết tìm vi phân của một số hàm số đơn giản.
+ Biết sử dùng công thức nguyên hàm và giải bài toán về nguyên hàm
được.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
33

44. + Tính được tích phân.
+ Biết vận dùng tích phân vào trong bài toán tính diện tíchvà thể tích.
1.5.3. Mộtsố vấn đề lưu ý trong dạy học giải toán giới hạn, đạohàm,
nguyên hàm và tích phân
a) Một số vấn đề lƣu ý trong dạy học chủ đề giớihạn
Giới hạn là một nội dung khó nhưng lại hết sức quan trọng trong toán
học nói chung và trong lĩnh vực Giải tích nói riêng. Nếu như Đại số đặc trưng
bởi tư duy “hữu hạn” và “rời rạc” thì Giải tích được đặc trưng bởi tư duy “vô
hạn” và “liên tục”. Để phù hợp với nhận thức của HS, khi dạy học giới hạn
GV cần lưu ý:
- Do cấu trúc của định nghĩa là phức tạp nên khi trình bày khái niệm
cho HS, GV cần thông qua các ví dụ cụ thể để giúp HS bước đầu hiểu được
khái niệm này chứ không thể yêu cầu HS hiểu sâu sắc khái niệm này.
- Đối với HS phổ thông, GV chủ yếu giúp các em biết áp dụng các định
lí về giới hạn để thực hành tính một số giới hạn.
- GV cần lưu ý cho HS lim f ( x ) L thì x x0 và x0 có thể không
xx0
thuộc TXĐ của hàm số f(x).
- GV cần giúp HS biết cách tính giới hạn của hàm số f(x) khi giới hạn này
có dạng không xác định, cụ thể như các dạng:
 ,
0
0 , 1

... Kỹ năng khử các
dạng không xác định trên liên quan đến một số phép biến đổi sơ cấp. Vì vậy, kỹ
năng tính lim fx sẽ giúp ích rất lớn trong việc ôn tập toán học cho HS. GV
xx0
nên cho HS nhận dạng các bài toán trước khi tiến hành làm bài và đưa ra một
số kỹ thuật cần nắm vững khi khử dạng vô định.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
34

45. Chẳng hạn: Khử dạng vô định
0
0 là quá trình khử các nhân tử
chung
x x0k
sẽ dừng lại khi nhận được giới hạn xác định, tức là Qkx0 0 . Khi
đó I = lim Px lim Pkx Pkx0 .
Qx Qkx Qkx0
x x0 xx0
Khử dạng vô định 0 của lim f ( x) mà f(x), g(x) chứa căn thức đồng
g ( x)
0 xx0
bậc (hoặc không đồng bậc), ta có phương pháp chung là: Sử dụng các hằng
đẳng thức để nhân liên hợp ở tử hoặc mẫu nhằm trục các nhân tử (x - x0) ra
khỏi căn thức. Đối với căn thức không đồng bậc ta tiến hành thêm bớt rồi
nhân liên hợp.
- Trước khi học hàm số liên tục, HS cũng đã làm quen với khái niệm này
và áp dụng nó từ những lớp dưới (chẳng hạn như: vẽ đồ thị hàm số y = ax + b, y
= ax2
+ bx + c…). Chính vì vậy, khi dạy phần hàm số liên tục cần chú ý:
+ Trước khi dạy định nghĩa hàm số liên tục nên cho HS vẽ đồ thị của
một số hàm số không liên tục ở một số điểm. Sau đó, từ đồ thị của một số
hàm cụ thể (chẳng hạn y =
1
x ) cho HS thấy rõ có những trường hợp đồ thị
không phải là nét liền (vì x = 0 TXĐ), có những trường hợp cho dù f(x) xác
định trên R nhưng đồ thị vẫn không phải là một nét liền (chẳng hạn như đồ
 2  1 nÕu x 0
thị hàm số
x
).
f (x)
nÕu x > 0
3x

+ Ở trường phổ thông, GV cần giúp cho HS thấy được hàm số liên tục
là cơ sở để nghiên cứu đạo hàm của hàm số (bởi vì nếu hàm số không liên tục
thì không có đạo hàm).
+ HS biết vận dụng kiến thức về hàm số liên tục vào giải quyết một số
dạng toán về đồ thị, về phương trình, về bất phương trình...
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
35

46. b) Một số vấn đề lưu ý trong dạyhọc chủ đề đạo hàm
- Việc hình thành khái niệm đạo hàm cho HS nên tiến hành theo con
đường quy nạp, thông qua những ví dụ thực tế (tìm vận tốc tức thời của một
chuyển động, tìm hệ số góc tiếp tuyến của một đường cong tạo một điểm
thuộc đường cong đó) để hình thành quy trình tính đạo hàm cho HS.
- Qua định nghĩa đạo hàm f '
x lim
f
x

 f
x0

, GV cần lưu ý
x0x x0x
HS: Đạo hàm của hàm số f(x) tồn tại nếu tồn tại giới hạn lim f ( x ) f ( x0 )
x x
xx0
0
và hàm số f(x) muốn có đạo hàm thì f(x) là hàm số liên tục.
- GV không cần thiết phải cho HS nghiên cứu những điểm tại đó không
có đạo hàm. Tuy nhiên với HS khá giỏi, GV cũng nên giới thiệu thêm về vấn
đề này thông qua một số bài tập. Chẳng hạn như: Chứng minh hàm số y = |x|
không có đạo hàm tại x = 0.
- GV cần rèn luyện cho HS kỹ năng sử dụng bảng đạo hàm đơn giản,
đồng thời cũng cần rèn luyện cho HS ý thức sử dụng các định lý về tính chất
cơ bản của đạo hàm, sử dụng công thức tìm đạo hàm của hàm số hợp.
- Để phục vụ cho việc khảo sát hàm số, có thể cho HS làm các bài tập
liên quan liên quan tới tiếp tuyến của đồ thị, các điểm cực trị, các khoảng
đồng biến, nghịch biến của hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số... Đặc biệt, đối với diện đại trà, GV chỉ yêu cầu HS giải quyết tốt bài toán
tính đạo hàm và một vài bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số đối với hàm
số y = f(x) không quá phức tạp.
- Ngoài ra, để chuẩn bị cho việc HS học nguyên hàm, tích phân trong
giờ bài tập GV cũng nên cho HS làm quen với các dạng bài tập dạng: “Chứng
minh F(x) có đạo hàm là f(x) trong đó F(x) và f(x) cho trước”. Chẳng hạn:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
36

47.  x2
x2
nÕu x 0
Chứng tỏ hàm số F(x) =
 ln x -
có đạo hàm là hàm số
2 4


nÕu x 0

0
x ln x nÕu x 0
.
f ( x)
nÕu x 0

0
c) Một số vấn đề lưu ý trong dạyhọc chủ đề nguyên hàm và tích phân
GV phải quan tâm đến nguyên nhân mắc sai lầm nhất của học sinh khi
giải bài toán về nguyên hàm và tích phân và phải giới tiệu cho sinh viên biết
phân chia cách giải theo từng trường hợp khác nhau. Khi giải các bài toán
nguyên hàm, tích phân dù dễ, hay khó thì đến bước cuối cùng trước khi đưa ra
được kết quả đều phải sử dụng bảng các nguyên hàm cơ bản, có nhiều bài toán
có thể dùng phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp tích phân từng phần,
nhưng cũng chính bài toán đó ta có thể áp dụng các tính chất của nguyên hàm,
tích phân để đưa về sử dụng trực tiếp công thức có trong bảng các Nguyên hàm
cơ bản, tuy nhiên ta sẽ gặp một vài khó khăn trong phương pháp này.
1.5.4. Thực trạng giải bàitập nội dung Giải tích lớp 11 của HS
Để bước đầu tìm hiểu thực trạng dạy học giải bài tập nội dung Giải tích
lớp 11 cho HS phổ thông, chúng tôi đã tiến hành tìm hiểu thực trạng dạy học
Giải tích lớp 11 trường THPT Thêd sa ban khoeng và trường THPT Sa măc
khi xay, tỉnh Luông năm tha, CHDCND Lào. Qua trao đổi với một số GV
toán trực tiếp giảng dạy nội dung này và thăm dò ý kiến HS lớp 11 và nghiên
cứu một số tài liệu liên quan đến vấn đề dạy học nội dung này, chúng tôi nhận
thấy:
a) Đối với GV
Chúng tôi đã tiến hành phát phiếu hỏi (phụ lục) đốivới 20 GV dạy toán
tại trường THPT Thêd sa ban khoeng và trường THPT Sa măc khi xay. Qua
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
37

48. điều tra, các GV đều cho rằng HS còn phạm nhiều sai lầm khi giải toán. Hỏi
về những nguyên nhân dẫn đến sai lầm của HS khi học chủ đề giới hạn, đạo
hàm, nguyên hàm và tích phân các GV cho rằng (bảng 1.1):
Bảng 1.1. Nguyên nhân sai lầm của HS khi học chủ đề
giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm và tích phân
Nguyên nhân sai lầm của HS Ý kiến đồng ý
Không hiểu đúng khái niệm 65.9%
Áp dụng định lý, công thức, quy tắc một cách máy móc 89,3%
Lập luận thiếu logic 46,5%
Cảm nhận trực quan 50%
Phân chia các trường hợp riêng 40,3%
Các GV đều có nhận thức đúng về tầm quan trọng của nội dung giới
hạn, đạo hàm, nguyên hàm và tích phân trong chương trình Giải tích lớp 11
nói riêng và nội dung môn toán nói chung. Các GV đều cho rằng, các kiến
thức của nội dung này được trình bày trong sách GV đảm bảo tính logic, có
liên quan chặt chẽ với nhau do đó thuận lợi cho GV trong quá trình dạy học
theo hướng phát huy tính tích cực học tập của HS.
Tuy nhiên, quá trình học tập và nghiên cứu nội dung giới hạn, đạo hàm,
nguyên hàm và tích phân liên quan đến kiểu tư duy mới đối với HS, đó là tư
duy trừu tượng, cách suy luận hợp lí còn mới lạ đối với HS. Do vậy, GV gặp
nhiều khó khăn trong việc hình thành năng lực này cho HS trong quá trình
dạy học. Các bài tập trong nội dung này thường không có thuật giải chung cho
từng dạng bài do đó khi dạy học giải bài tập người GV thường gặp khó khăn
trong việc hình thành tư duy thuật giải cho HS. Nội dung kiến thức còn tương
đối nhiều trong một tiết dạy do vậy GV gặp khó khăn trong việc vận dụng các
phương pháp dạy học tích cực trong giảng dạy.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
38

49. b) Đối với HS
Chúng tôi đã tiến hành phát phiếu phỏng vấn đối với 223 HS: 108 HS
của trường THPT Thêd sa ban khoeng và 115 HS của trường THPT Sa măc
khi xay. Các HS đều cho rằng nội dung giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm và
tích phân là một nội dung mới lạ nên tạo hứng thú học tập, thu hút sự chú ý
của HS. Tuy nhiên, Giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm và tích phân là bốn nội
dung tương đối khó đối với HS vì nó liên quan đến một năng lực tư duy tương
đối mới với HS. HS chưa thật sự hiểu rõ bản chất các khái niệm, định lí, quy
tắc, công thức do vậy hay nhầm lẫn trong quá trình giải bài tập. HS gặp khó
khăn trong việc tìm ra phương pháp giải bài tập, vì các bài tập ở nội dung này
có nhiều dạng khác nhau. Hệ thống bài tập sách GV chưa thật sự phù hợp để
giúp cho HS trong quá trình tự học của HS. Trong quá trình giải toán, HS còn
phạm nhiều sai lầm.
Qua kết quả điều tra đối với GV và HS cho thấy đa số HS còn mắc
nhiều sai lầm. Vì vậy, việc nghiên cứu những sai lầm của HS khi giải toán và
đề suất các biện pháp khắc phục là vấn đề cấp thiết. Sự cần thiết phải có một
nghiên cứu về các sai lầm của HS khi giải toán trên các phương diện: Thể
hiện, nguyên nhân, ngăn ngừa, khắc phục để bổ sung và hoàn thiện vào
phương pháp giảng dạy môn toán nhằm nâng cao hiệu quả cho việc dạy học
môn toán.
1.6. Kết luận chƣơng 1
Chương 1 của luận văn đã nêu lên được sự cần thiết phải phát hiện,
phòng tránh và sửa chữa những sai lầm của HS khi giải toán. Chỉ ra tầm quan
trọng của bài tập toán và các chức năng của bài tập toán. Đồng thời đề tài đã
điểm qua được chương trình kiến thức giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm và tích
phân trong chương trình toán lớp 11; Nêu ra được một số vấn đề cần lưu ý
trong dạy học chủ đề giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm và tích phân ở lớp 11;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
39

50. Ngoài ra còn chỉ ra được thực trạng phát hiện và sai lầm thường gặp cho HS
trong dạy học giải toán chủ đề giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm và tích phân ở
lớp 11. Từ đó cho thấy rằng giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm và tích phân là
một trong những chủ đề của giải tích cần được chú trọng dạy cho HS.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
40

51. Chƣơng 2
MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM GIÚP HS THPT
PHÒNG TRÁNH VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM THƢỜNG GẶP
KHI GIẢI TOÁN GIẢI TÍCH LỚP 11
2.1. Định hƣớng xây dựng và thực hiện biện pháp
- Định hướng 1: Các biện pháp sư phạm phải thể hiện rõ ý tưởng khắc
phục khó khăn sai lầm cho HS đồng thời làm cho HS nắm vững tri thức và rèn
luyện kỹ năng khi học nội dung Giải tích lớp 11 ở trường phổ thông.
Để khắc phục được một số sai lầm cho HS, GV cần chú trọng rèn luyện
kỹ năng giải toán giải tích lớp 11 cho HS. Đồng thời trong quá trình dạy học,
GV cung cấp cho HS những tri thức về phương pháp để HS có thể tìm tòi, tự
mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được kết quả, tìm được hướng
giải bài toán, giúp HS hiểu được sâu sắc các kiến thức thuộc nội dung Giải
tích lớp 11.
- Địnhhướng 2: Các biện pháp phải thể hiện tính khả thi, có thể thực
hiện được trong quá trình dạy học.
Tính khả thi của biện pháp được hiểu là khả năng thực hiện được, áp
dụng được vào trong thực tế dạy học. Trên cơ sở tôn trọng sách giáo khoa,
phân phối chương trình môn toán hiện nay. Tính khả thi này phụ thuộc nhiều
vào trình độ nhận thức chung và thái độ học tập của HS.
Tính hiệu quả của việc tăng cường liên hệ với thực tiễn trước hết là sự
nắm vững các kiến thức cơ bản của bài học. Tiếp đó là sự thành thạo của HS
trong việc để xử lí các vấn đề đặt ra trong thực tiễn (trong học tập, lao động
sản xuất và trong đời sống). Muốn vậy, những tình huống thực tiễn phải đơn
giản, gần gũi, quen thuộc với HS. Khi liên hệ với thực tiễn, GV cần phải chọn
những vấn đề là những tình huống bám sát với sách giáo khoa và sát với vốn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
41

52. kinh nghiệm sẵn có của HS trong đời sống, lao động và sản xuất. Những tình
huống đó phải là những tình huống xuất hiện trong thực tế, chúng sẽ giúp tạo
ra một bức tranh sinh động về bài học giúp HS có thể cảm thụ được tốt nội
dung trên cơ sở niềm vui, hứng thú học tập của HS.
- Địnhhướng 3: Trong quá trình thực hiện các biện pháp, cần quan tâm
đúng mức tới việc tăng cường hoạt động cho người học, phát huy tối đa tính
tích cực, độc lập cho người học.
Các hoạt động cần tăng cường cho người học như: hoạt động nhận
dạng, thể hiện, hoạt động ngôn ngữ, hoạt động trí tuệ... Tính độc lập của HS
thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện ra vấn đề, tự mình phát hiện ra phương
hướng, tìm cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được.
- Địnhhướng 4: Các biện pháp phải được vận dụng trên cơ sở bám sát
nội dung Giải tích lớp 11 ở phổ thông.
2.2. Một số biện pháp sƣ phạm giúp HS THPT phòng tránh và sửa chữa
những sai lầm thƣờng gặp khi giải toán giải tích lớp 11
2.2.1. Biện pháp 1:Hạn chế và khắc phục những sai lầm thường mắc phải
cho HS thông qua phân tích các bài toán có chứa sai lầm
Nhiệm vụ của GV là dự đoán được những sai lầm mà HS thường mắc
phải khi giải toán, phân tích để giúp cho HS thấy được nguyên nhân các sai
lầm đó. Từ đó, HS biết cách hạn chế và khắc phục được những sai lầm mà
bản thân thường mắc phải. Biện pháp này nhằm mục đích hạn chế và khắc
phục những sai lầm mà HS thường xuyên mắc phải trong giải toán giới hạn,
đạo hàm, nguyên hàm và tích phân. Từ đó, giúp HS cảm thấy tự tin khi giải
các bài toán liên quan đến chủ đề này.
Để khắc phục sai lầm Lê Thống Nhất [6] đã dựa vào 3 phương châm: Tính
kịp thời, tính chính xác, tính giáo dục và đưa ra các biện pháp nhằm hạn chế, sửa
chữa sai lầm cho HS, đó là: Trang bị đầy đủ, chính xác các kiến thức về
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
42

53. bộ môn toán; HS thường được thử thách với những bài toán dễ dẫn đến sai lầm
trong lời giải; theo dõi một số sai lầm của HS khi giải toán qua các giai đoạn.
Khắc phục hoàn toàn sai lầm là một vấn đề khó bởi lẽ nguyên nhân dẫn đến sai
lầm là rất đa dạng, dưới đây là một vài đề xuất để khắc phục sai lầm của HS.
Nắm vững nội dung môn toán, đặc biệt là các tình huống điển hình
trong môn toán, dạy học khái niệm. Dạy học định lý, quy tắc, phương pháp và
đặc biệt là dạy học giải bài tập toán. Khi dạy học khái niệm cần chú ý tới nội
hàm, ngoại diên và mối quan hệ giữa các khái niệm; khi dạy học định lý cần
chú ý tới cấu trúc lôgic và giả thiết của định lý.
Trong dạy học giải bài tập toán GV cần chú ý tới các dạng hoạt động
nhằm tích cực hóa hoạt động học tập của HS, làm cho HS chủ động nắm kiến
thức bằng lao động của chính mình, như hoạt động nhận dạng, thể hiện, hoạt
động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ, hoạt động ngôn ngữ. Thông qua
hoạt động này HS mới bộc lộ những sai lầm từ đó dự đoán, phòng tránh và
sửa chữa sai lầm.
Phương pháp dạy học đóng vai trò không nhỏ trong việc phòng tránh
những sai lầm cho HS. Nếu HS quen với các phương pháp dạy học mới khêu
gợi trí tò mò, sáng tạo biết phát hiện và giải quyết những vấn đề cho HS thì
HS sẽ tự tin, năng động, tạo tâm thế vững vàng, hạn chế mắc phải sai lầm
trong giải toán.
Việc xác định hướng giải bài toán có liên quan mật thiết đến việc lựa
chọn phương pháp và công cụ thích hợp để giải toán. Nếu một bài toán mà
không tìm được phương pháp giải phù hợp thì có thể đưa đến các sai lầm như:
Đặt điều kiện, biện luận không hết các trường hợp, không theo trình tự lôgic,
không có cách giải tối ưu...
Ví dụ 2.1. Tínhgiới hạn sau: I = lim 5n 2
 2 5
6 n4
1
n
4
n
4
 5
5
n
3
 3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
43

54. Một HS giải nhưsau:
n 5 2  n.5
6

1
Ta có I lim n
2 n n
5
n
n 4 15  n.5
1 3
n4
n2
n5
 
5
2
5
6

1
n 
n2
n n5
 lim    5
 
n 5 1 3
n 4 1  5 
n
4
n
2
n
5
 
GV: Các em cho biết lời giải của bạn HS trên đã chính xác chưa, có
mắc sai lầm ở đâu không? Nếu có sai lầm thì hãy đưa ra lời giải đúng.
HS: Lời giải trên bạn là chưa chính xác, bạn đã mắc sai lầm ở chỗ
không xét giới hạn hai phía của hàm số.
Lời giải đúng:
n 5 2  n.5
6
 1
I
 lim n
2
n n
5
 5
n
n 4 1
5
 n.5
1

3
n4 n2 n5
n 5 2  n.5 6 1
I
 lim n
2
n
5
 5
n
n n 4 1 5  n.5 1 3
n4 n2 n5
Do I
 I
 5 nên I = 5.
GV lưu ý cho HS: 2m
x2m
 x chứ không phải 2m
x2m
 x , đây cũng là
sai lầm mà HS hay mắc phải. Sai lầm đó là do HS không xác định được dạng
nên không tính giới hạn một phía.
Ví dụ 2.2. Cho hàm số f

x

2x 3. Hãy tìm giới hạn: lim f

x

x1 x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
44

55. Một HS giải nhưsau:
3
2 x 3 2
Ta có lim f
x

 lim  lim x  2
x1
x x x 1
1x
GV: Các em cho biết lời giải của bạn HS trên đã chính xác chưa, có còn
mắc sai lầm ở đâu không? Nếu có sai lầm thì hãy đưa ra lời giải đúng.
HS: Lời giải trên bạn là chưa chính xác, bạn đã mắc sai lầm ở chỗ
không có tập xác định (TXĐ), không xét giới hạn hai phía của hàm số, .
Lời giải đúng: Hàm số đã cho xác định trên;1 và trên1;.
 Giả sửxnlà một dãy số bất kì, thoả mãn xn1 và xn .
23
Ta có lim fx lim 2 xn 3  lim xn  2 .
x1
1
1
x
n
Vậy lim f

x

 lim 2x 3  2 .
x1
x x
 Giả sửxn là một dãy số bất kì, thoả mãn xn1 và xn .
Ta có lim fx lim
2 x
n
3
 lim
x1
Vậy lim f

x

 lim 2x 3  2 .
x1
x x
2
3
x
n 2
1
1
x
n
GV phải chú ý: Với c, k là các hằng số và nguyên dương, ta luôn có:
lim c c; lim c c; lim c  0 và giới hạn hữu hạn của hàm số khi x x
x x x xk 0
vẫn cònđúng khi xhoặc x.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
45

56. sin2
x khi x 0
. Tính f’(0)
Ví dụ 2.3. Cho hàm số f(x)

x

khi x 0

0
Một HS giải nhưsau:
Ta có f(0) = 0 nên suy ra f’(0) = 0’ = 0.
Vậy f’(0) = 0.
GV: Các em cho biết lời giải của bạn HS trên đã chính xác chưa, có
mắc sai lầm ở đâu không? Nếu có sai lầm thì hãy đưa ra lời giải đúng.
HS: Trong lời giải trên bạn HS đã mắc sai lầm là đã thay x = 0 vào f(x)
rồi mới tính đạo hàm của hàm số.
Lời giải đúng:
Ta có f ' 0

 lim f0x f0 lim sin2
x 1.
x x2
 x0 x0
GV nhấn mạnh cho HS: Nếu cứ lập luận bạn HS trong lời giải trên thì
đạo hàm tại một điểm bất kỳ của mọi hàm số đều bằng 0.
Ví dụ 2.4. Tìmvi phân của hàm số y x2
 4x 1x2
 x.
Một HS giải nhưsau:
 1 
Ta có y ' 2x 4x2 xx2
 4x 12x 
2
 x
GV: Các em hãy cho biết lời giải của bạn HS trên đã chính xác chưa, có
mắc sai lầm ở đâu không? Nếu có sai lầm thì hãy đưa ra lời giải đúng.
HS: Trong lời giải trên bạn HS đã giải chưa chính xác vì giải chưa đủ.
Lời giải đúng:
 1 
Ta có y ' 2x 4x2 xx2
 4x 12x 
2
 x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
46

57.   1 
x 2 x x 2
Suy ra dy y ' dx 2 x 4  4 x 12x dx
2
  x
2
Ví dụ 2.5. Tìm 1cos 2xdx
0
Một HS giải nhưsau:
2 2 2
Ta có 1 cos 2xdx 2sin2
xdx 2
0 0 0
sin x dx
GV: Các em hãy cho biết lời giải của bạn HS trên đã chính xác chưa, có
mắc sai lầm ở đâu không? Nếu có sai lầm thì hãy đưa ra lời giải đúng.
HS: Trong lời giải trên bạn HS đã giải chưa chính xác vì giải chưa đủ.
2 2 2
Lời giải đúng: 1 cos 2xdx 2sin
2
xdx 2
0 0 0
sin x dx
Vì sin x

ví i 0 x
sin x
nên ta có

sin x ví i  x 2
2  2
Ta có 
 sin x dx
1 cos 2xdx 2
0  0 
 2 

 
sin xdx
 
 
2 sin xdx
0  
 2
 cos x
0 cos x2
 4 2

sin x dx


2.2.2. Biện pháp 2:Hệ thống hóa các dạng và các phương pháp tìm giới
hạn, đạo hàm, nguyên hàm và tích phân
Việc hệ thống các dạng và các phương pháp giải cho từng dạng bài tập
toán góp phần hạn chế sai lầm cho HS, giúp HS tự tin, chủ động trong quá
trình giải toán.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
47