Xs cao hochsn

LÝ thuyÕt x¸c suÊt
1 Çc kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ biÕn cè ngÉu nhiªn
1. Kh«ng gian x¸c suÊt
Tr-íc hÕt chóng ta ®-a vµo kh¸i niÖm mét hä A çc tËp con nµo ®ã cña kh«ng gian çc biÕn cè ngÉu nhiªn c¬
b¶n Ω ®-îc gäi lµ σ-®¹i sè nÕu:
1. Ω ∈ A
2. A ∈ A suy ra ΩA ∈ A
3. NÕu A1, A2, ... lµ d·y çc tËp hîp thuéc A, khi ®ã i Ai còng thuéc A.
Trong lÝ thuyÕt x¸c xuÊt, tËp çc biÕn cè ngÉu nhiªn lµ mét σ-®¹i sè A. Mét ¸nh x¹ P tõ A vµo tËp çc sè thùc R
P : A → R
tho¶ m·n çc tiªn ®Ò sau:
1. Víi mäi A ∈ A 0 P(A) 1
2. P(Ω) = 1
3. NÕu A1, A2, ..., Ai, ... lµ çc biÕn cè ngÉu nhiªn ®«i mét xung kh¾c nhau thuéc A, khi ®ã
P
i
Ai =
i
P(Ai)
P(A) ®-îc gäi lµ x¸c suÊt cña biÕn cè ngÉu nhiªn A. Trong lÝ thuyÕt x¸c suÊt (Ω, A, P) ®-îc gäi lµ kh«ng gian x¸c
suÊt.
TÝnh chÊt cña x¸c suÊt
(A) P(∅) = 0.
(B) A ⊂ B ⇒ P(A) P(B).
(C) P(A) = 1 − P(A).
(D) P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB).
(E) P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(BC) − P(AB) − P(AC) + P(ABC).
(F) P(A1 + A2 + ... + An) P(A1) + P(A2) + · · · + P(An).
(G) Víi d·y çc biÕn cè gi¶m dÇn A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ ... (hoÆc t¨ng dÇn A1 ⊂ A2 ⊂ ...), khi ®ã
lim
n→∞
P(An) = P( lim
n→∞
An).
2. øng dông ®Ó tÝnh x¸c suÊt çc biÕn cè ngÉu nhiªn
Kh«ng gian çc biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n gåm n biÕn cè ®ång kh¶ n¨ng
Ω = {ω1, ω2, ..., ωn}, P(ω1) = P(ω2) = ... = P(ωn)
Khi ®ã do P(Ω) = 1, suy ra P(ωi) = 1
n víi mäi i vµ nÕu
A = {ωn1, ωn2 , ..., ωnm} ⇒ P(A) =
m
n
.
1

Ta cßn nãi
P(A) =
Sè tr-êng hîp thuËn lîi cho biÕn cè A
Sè tr-êng hîp ®ång kh¶ n¨ng
.
Tr-êng hîp kh«ng gian çc biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n Ω lµ mét miÒn h×nh häc, gi¶ thiÕt r»ng x¸c suÊt ®Ó biÕn cè
ngÉu nhiªn c¬ b¶n thuéc miÒn A tØ lÖ víi ®é ®o cña A, khi ®ã
P(A) =
®é ®o cña A
®é ®o cña Ω
.
(§é ®o ë ®©y ®-îc hiÓu nh- lµ ®é dµi, diÖn tÝch hoÆc thÓ tÝch tïy theo Ω ®-îc nh¾c ®Õn lµ miÒn h×nh häc nµo).
Bµi tËp 1
1. Gieo liªn tiÕp mét xóc x¾c, kÝ hiÖu Ak lµ biÕn cè: lÇn gieo thø k lµ lÇn ®Çu tiªn mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn.
a. H·y tÝnh P(Ak).
b. T×m x¸c suÊt ®Ó mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn ë mét lÇn gieo nµo ®ã.
c. H·y t×m x¸c suÊt ®Ó sau mét sè lÎ lÇn gieo, mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn.
2. Mét tËp 10 vÐ trong ®ã cã 3 vÐ cã th-ëng. Chän ngÉu nhiªn 5 vÐ, t×m x¸c suÊt ®Ó trong ®ã cã ®óng 2 vÐ cã th-ëng.
3. Mét hép ®ùng 3 bi ®á, 3 bi tr¾ng, 3 bi xanh. Chän ngÉu nhiªn ra 6 viªn bi, t×m x¸c suÊt ®Ó cã ®ñ 3 mµu trong sè 6
viªn bi ®-îc chän ra.
4. Mét chÊt ®iÓm xuÊt ph¸t tõ 0, lang thang ngÉu nhiªn trªn trôc sè, nã dÞch chuyÓn sang ph¶i hoÆc sang tr¸i 1 ®¬n
vÞ víi x¸c suÊt b»ng 1
2. T×m x¸c suÊt ®Ó sau n b-íc, chÊt ®iÓm tíi vÞ trÝ k trªn trôc sè.
3. X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn vµ sù ®éc lËp cña çc biÕn cè ngÉu nhiªn
X¸c suÊt cña A víi ®iÒu kiÖn B x¶y ra, kÝ hiÖu
P(A/B) =
P(AB)
P(B)
Tõ ®Þnh nghÜa x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn, suy ra c«ng thøc nh©n x¸c suÊt
P(AB) = P(A/B)P(B)
P(A1A2 · · ·An) = P(An/A1A2 · · ·An−1)P(An−1/A1A2 · · ·An−2) · · ·P(A2/A1)P(A1)
NhËn xÐt r»ng víi kÝ hiÖu P∗
(A) = P(A/B) lµ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña biÕn cè A víi ®iÒu kiÖn B (B cè ®Þnh), khi ®ã
(Ω, A, P∗
) còng lµ kh«ng gian x¸c suÊt.
Hai biÕn cè A vµ B ®éc lËp nhau nÕu
P(A/B) = P(A) ⇔ P(AB) = P(A)P(B).
Çc biÕn cè A1, A2, ..., An ®éc lËp, nÕu víi bÊt k× k biÕn cè ®«i mét kh¸c nhau Ai1 , Ai2 , ..., Aik k = 2, 3, ...n trong d·y
çc biÕn cè trªn
P(Ai1 Ai2 · · ·Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) · · ·P(Aik )
Trong øng dông thùc tÕ hÖ çc biÕn cè mµ mçi biÕn cè liªn quan tíi mét phÐp thö ngÉu nhiªn trong d·y çc phÐp thö
®-îc tiÕn hµnh ®éc lËp nhau t¹o thµnh hÖ çc biÕn cè ®éc lËp.
§Þnh lÝ 1 (®Þnh lÝ x¸c suÊt ®Çy ®ñ) NÕu A1, A2, ..., An, ... lµ hÖ ®Çy ®ñ çc biÕn cè ngÉu nhiªn, A lµ biÕn cè ngÉu nhiªn
bÊt k×, khi ®ã
P(A) =
∞
i=1
P(A/Ai)P(Ai).
2

Bµi tËp 2
1. Mét chÊt ®iÓm xuÊt ph¸t tõ x = k, lang thang ngÉu nhiªn trªn trôc sè, nã dÞch chuyÓn sang ph¶i hoÆc sang tr¸i 1
®¬n vÞ víi x¸c suÊt b»ng 1
2 . ChÊt ®iÓm dõng l¹i nÕu nã ®¹t tíi çc vÞ trÝ hót x = 0 hoÆc x = n. T×m x¸c suÊt ®Ó mét
lóc nµo ®ã nã dÞch chuyÓn tíi tr¹ng th¸i hót x = 0. (XÝch Markov).
2. R¶i ngÉu nhiªn N viªn bi vµo n hép. Víi ®iÒu kiÖn mét hép x¸c ®Þnh tõ tr-íc (vÝ dô hép thø nhÊt) kh«ng rçng,
t×m x¸c suÊt ®Ó hép ®ã cã ®óng K viªn bi (K ≥ 1).
3. Mét x¹ thñ b¾n bia, x¸c suÊt tróng bia cña x¹ thñ b»ng p. T×m x¸c suÊt ®Ó sau n lÇn b¾n liªn tôc, lÇn b¾n thø n lµ
lÇn ®Çu tiªn x¹ thñ b¾n tróng bia.
4. A vµ B ch¬i mét trß ch¬i nh- sau: A gieo xóc x¾c, kÕt qu¶ gi¶ sö mÆt k chÊm xuÊt hiÖn. A gieo tiÕp ®ång thêi 2
®ång xu k lÇn. NÕu Ýt nhÊt cã mét lÇn x¶y ra biÕn cè c¶ hai ®ång xu cïng xuÊt hiÖn mÆt ngöa, khi ®ã A th¾ng cuéc,
ng-îc l¹i A bÞ thua. Hái trß ch¬i ®ã cã lîi cho A hay B?
5. A vµ B ch¬i mét trß ch¬i nh- sau: A gieo ®ång thêi 2 xóc x¾c. NÕu tæng b»ng 7 hoÆc 11, A th¾ng cuéc, nÕu tæng
b»ng 2,3 hoÆc 12, A thua cuéc. Çc tr-êng hîp cßn l¹i, A lÆp l¹i trß ch¬i cho ®Õn khi cã ng-êi th¾ng ng-êi thua. T×m
x¸c suÊt ®Ó A th¾ng. (§S: 2
3
)
6. Çc hép ®-îc ®¸nh sè 0, 1, 2, ...,N vµ hép mang sè k chøa k bi ®á, N − k bi tr¾ng (k = 0, 1, 2, ..., N). Chän ngÉu
nhiªn mét hép vµ tõ hép nµy chän lÇn l-ît cã hoµn l¹i tõng viªn bi. Gäi An lµ lµ biÕn cè lÇn chän thø n lÊy ®-îc
viªn bi ®á.
a. TÝnh P(A3/A1A2)
b. Gi¶ sö tõ hép ®· chän ngÉu nhiªn chän lÇn l-ît hai viªn bi kh«ng hoµn l¹i. T×m x¸c suÊt ®Ó c¶ hai bi ®· chän lµ
bi ®á.
4. C«ng thøc Bernoulli
Gi¶ sö x¸c suÊt x¶y ra biÕn cè A lµ p. Khi ®ã x¸c suÊt ®Ó trong n lÇn tiÕn hµnh phÐp thö ngÉu nhiªn ®éc lËp nhau
cã ®óng k lÇn x¶y ra A b»ng
Pk;n = Ck
npk
qn−k
(trong ®ã p + q = 1).
Bµi tËp 3
1. T×m x¸c suÊt ®Ó mét gia ®×nh 5 ng-êi con cã ®óng 3 trai, 2 g¸i.
2. BiÕt x¸c suÊt ®Ó ®Êu thñ bãng bµn A th¾ng B ë mçi sÐc lµ p. Hai ®Êu thñ ®Êu víi nhau tèi ®a 5 sÐc, ng-êi nµo
th¾ng tr-íc 3 sÐc lµ ng-êi th¾ng chung cuéc. T×m x¸c suÊt ®Ó ®Êu thñ A th¾ng chung cuéc.
§S:
p X¸c suÊt cÇn t×m: P(A) = p3
(1 + 3q + 6q2
)
0,3 0,16308
0,4 0,31744
0,5 0,5
0,6 0,68256
0,7 0,83692
2 §¹i l-îng ngÉu nhiªn vµ ph©n bè x¸c suÊt
1. Kh¸i niÖm c¬ b¶n
Mét ¸nh x¹ X : Ω → R trªn kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, A, P) tháa m·n
{ω : X(ω) < x} ∈ A víi mäi x ∈ R
®-îc gäi lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn X. Hµm
F(x) = P(X < x) víi mäi x ∈ R
®-îc gäi lµ hµm ph©n bè x¸c suÊt cña ®¹i l-îng ngÉu nhiªn X. HiÓn nhiªn
P(a X < b) = F(b) − F(a)
NÕu tån t¹i mét hµm kh«ng ©m f : R → [0, +∞) sao cho hµm ph©n bè F(x) cña ®¹i l-îng ngÉu nhiªn X tho¶ m·n
F(b) − F(a) = P(a X < b) =
b
a
f(x) dx víi mäi a < b ∈ R,
3

khi ®ã hµm f ®-îc gäi lµ mËt ®é x¸c suÊt cña ®¹i l-îng ngÉu nhiªn X. §¹i l-îng ngÉu nhiªn cã hµm mËt ®é ®-îc
gäi lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn liªn tôc. §Æc biÖt
F(x) =
x
−∞
f(x) dx víi mäi x ∈ R.
T¹i çc ®iÓm hµm mËt ®é liªn tôc F (x) = f(x). Chó ý r»ng ®¹i l-îng ngÉu nhiªn rêi r¹c (®¹i l-îng ngÉu nhiªn mµ
miÒn gi¸ trÞ lµ tËp kh«ng qu¸ ®Õm ®-îc) kh«ng cã hµm mËt ®é, ph©n bè cña nã th-êng ®-îc cho d-íi d¹ng
pn = P(X = xn), n = 0, 1, 2, ... trong ®ã
n
pn = 1
hoÆc d-íi d¹ng b¶ng
X x1 x2 ... xn ...
P p1 p2 ... pn ...
trong ®ã n pn = 1.
TÝnh chÊt hµm ph©n bè, hµm mËt ®é
1. F(−∞) = limx→−∞ F(x) = 0, F(+∞) = limx→+∞ F(x) = 1.
2. Hµm ph©m bè ®¬n ®iÖu t¨ng vµ liªn tôc tr¸i trªn R.
3.
+∞
−∞
f(x) dx = F(+∞) − F(−∞) = 1.
4. Víi ®¹i l-îng ngÉu nhiªn liªn tôc, x¸c suÊt ®Ó X nhËn çc gi¸ trÞ trong mét tËp h÷u h¹n hoÆc v« h¹n ®Õm
®-îc lu«n b»ng 0. Suy ra
P(a X < b) = P(a < b) = P(a X b) = F(b) − F(a).
Bµi tËp 4
1. X lµ sè lçi in sai trong mét trang s¸ch gi¸o khoa NXB Gi¸o dôc. Ng-êi ta biÕt r»ng
P(X = 0) = 0.85, P(X = 1) = 0.1, P(X = 2) = 0.05
Nh- vËy X lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn rêi r¹c nhËn çc gi¸ trÞ 0, 1, 2 vµ b¶ng ph©n bè cña X th-êng ®-îc viÕt d-íi d¹ng
sau
X 0 1 2
P 0.85 0.1 0.05
Hµm ph©n bè cña X khi ®ã b»ng
F(x) =



0 nÕu x 0
0.85 nÕu 0 < x 1
0.95 nÕu 1 < x 2
1 nÕu 2 < x
2. Gäi X lµ sè lÇn b¾n liªn tôc vµo bia cho ®Õn khi tróng bia, p lµ x¸c suÊt tróng bia cña mçi lÇn b¾n. Gi¶ thiÕt çc
lÇn b¾n ®éc lËp nhau, khi ®ã b¶ng ph©n bè cña X
X 1 2 ... n ...
P p qp ... pqn−1
...
(p + q = 1)
3. X lµ ®iÓm chän ngÉu nhiªn trªn ®o¹n [a, b] (gi¶ thiÕt r»ng x¸c suÊt ®Ó X thuéc kho¶ng (u, v) ⊂ [a, b] tØ lÖ víi ®é
dµi ®o¹n [u, v]). Khi ®ã X lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi hµm mËt ®é
f(x) =
1
b−a nÕu a < x b
0 nÕu x a hoÆc x > b
(X ®-îc gäi lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè ®Òu trªn ®o¹n [a, b].)
4. NÕu f(x) lµ hµm mËt ®é cña X, khi ®ã hµm mËt ®é cña Y = aX + b b»ng
g(y) =
1
|a|
f
y − b
a
4

5. T×m hµm mËt ®é cña ξ2
, biÕt ξ ph©n bè ®Òu trªn ®o¹n [−1, 1].
2. K× väng, ph-¬ng sai cña ®¹i l-îng ngÉu nhiªn
Víi c¸c ®¹i l-îng ngÉu nhiªn rêi r¹c cã ph©n bè
X x1 x2 ... xn ...
P p1 p2 ... pn ...
K× väng cña X, kÝ hiÖu E(X) b»ng
E(X) =
∞
i=1
xipi nÕu chuçi héi tô tuyÖt ®èi.
Tr-êng hîp X lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn liªn tôc cã f(x) lµ hµm mËt ®é
E(X) =
+∞
−∞
xf(x)dx nÕu tÝch ph©n héi tô tuyÖt ®èi.
Chó ý r»ng k× väng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ
E(ϕ(X)) =
+∞
−∞
ϕ(x)f(x)dx trong ®ã f(x) lµ hµm mËt ®é cña X.
Ph-¬ng sai D(X) vµ ®é lÖch tiªu chuÈn σX cña X
D(X) = E(X − EX)2
= EX2
− (EX)2
, σX = D(X).
HiÓn nhiªn ph-¬ng sai cña h»ng sè b»ng 0 vµ
D(αX) = α2
D(X).
Bµi tËp 5
1. X lµ sè trÎ s¬ sinh trong mét ngµy ë mét bÖnh viÖn nhá. BiÕt ph©n bè cña X
X 0 1 2 3
P 0.3 0.4 0.2 0.1
Khi ®ã trung b×nh sè trÎ em míi sinh trong mét ngµy b»ng
EX = 0 × 0.3 + 1 × 0.4 + 2 × 0.2 + 3 × 0.1 = 1.1
2. Gäi X lµ sè lÇn gieo xóc x¾c liªn tôc cho ®Õn khi mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn. H·y tÝnh sè lÇn gieo trung b×nh.
3. Mét c«ng viÖc trong x©y dùng dù tÝnh sÏ ®-îc hoµn thµnh trong kho¶ng thêi gian tõ 10 ®Õn 14 ngµy. Gi¶ sö X lµ
sè ngµy c«ng ®Ó hoµn thµnh c«ng viÖc ®ã, ph©n bè cña X ®-îc dù tÝnh nh- sau
X 10 11 12 13 14
P 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1
⇒ E(X) = 11.9 ngµy, D(X) = 1.29
Nhµ thÇu -íc l-îng chi phÝ toµn bé cho c«ng tr×nh gåm 85 triÖu tiÒn vËt liÖu x©y dùng vµ tiÒn nh©n c«ng lµ 1.6 triÖu
®ång mét ngµy c«ng. Khi ®ã chi phÝ toµn bé cho c«ng tr×nh b»ng
Y = 85 + 1.5X (triÖu ®ång)
VËy k× väng hay gi¸ trÞ trung b×nh cña toµn bé chi phÝ lµ
E(Y ) = 85 + 1.5E(X) = 85 + 1.5 × 11.9 = 102.85 (triÖu ®ång)
D(Y ) = 1.52
× D(X) = 1.52
× 1.29 = 2.9025 ⇒ σY =
√
2.9025 = 1.7037
4. K× väng vµ ph-¬ng sai cña ph©n bè ®Òu trªn [a, b]
EX =
a + b
2
, DX =
(a − b)2
12
5

3. C¸c ph©n bè th-êng gÆp
1. Ph©n bè nhÞ thøc
X 0 1 ... k ... n
P p0 p1 ... pk ... pn
trong ®ã pk = P(X = k) = Ck
npk
qn−k
, p + q = 1, k = 0, 1, ..., n
NhËn xÐt r»ng ®¹i l-îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè nhÞ thøc cã thÓ biÓu diÔn d-íi d¹ng
X =
n
i=1
Xi
trong ®ã Xi ghi l¹i kÕt qu¶ cña viÖc xuÊt hiÖn hay kh«ng xuÊt hiÖn biÕn cè A trong d·y c¸c phÐp thö ngÉu nhiªn ®éc
lËp (P(A) = p)
Xi =
1 nÕu A x¶y ra trong phÐp thö thø i
0 nÕu A kh«ng x¶y ra trong phÐp thö thø i
2. Ph©n bè Poisson
X 0 1 2 ... k ...
P p0 p1 p2 ... pk ...
trong ®ã
pk = P(X = k) = e−λ λk
k!
, λ > 0, k = 0, 1, 2, ...
3. Ph©n bè h×nh häc
X 1 2 ... n ...
P p qp ... qn−1
p ...
trong ®ã p + q = 1.
4. Ph©n bè mò
X lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè mò, nÕu hµm mËt ®é cña X b»ng
f(x) =
λe−λx
nÕu x > 0
0 nÕu x 0
víi λ > 0
5. Ph©n bè chuÈn
X lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè chuÈn, kÝ hiÖu X ∈ N(m, σ2
) nÕu hµm mËt ®é cña X b»ng
f(x) =
1
√
2πσ
e−
(x−m)2
2σ2
trong ®ã σ > 0, m ∈ R.
Sö dông
I =
∞
0
e−x2
dx =
√
π
2
ta dÔ dµng chøng minh hµm f(x) nãi trªn lµ hµm mËt ®é vµ
EX = m, DX = σ2
.
NhËn xÐt r»ng X ∈ N(m, σ2
) khi vµ chØ khi Z = X−m
σ ∈ N(0, 1). Ng-êi ta th-êng kÝ hiÖu hµm ph©n bè cña
X ∈ N(0, 1)
Φ(x) =
1
√
2π
x
−∞
e− u2
2 du.
Tra b¶ng ph©n bè chuÈn, ta cã
Quy t¾c 3σ NÕu X ∈ N(m, σ2
), khi ®ã
P(m − 3σ X m + 3σ) = P(
X − m
σ
≤ 3) =
1
√
2π
3
−3
e− x2
2 dx = 2Φ(3) − 1 = 0, 9973
6

3 §¹i l-îng ngÉu nhiªn nhiÒu chiÒu
1. Hµm ph©n bè vµ hµm mËt ®é chung
XÐt mét cÆp hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn (ξ, η). NÕu chóng ta ®ång thêi kh¶o s¸t hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ξ vµ
η, chóng ta sÏ coi chóng nh- çc to¹ ®é cña mét vÐc t¬ ngÉu nhiªn (hay mét ®iÓm ngÉu nhiªn) (ξ, η). Çc gi¸ trÞ
cã thÓ cã cña nã lµ çc ®iÓm (x, y) trong mÆt ph¼ng to¹ ®é xOy. Gäi tËp E lµ mét miÒn ph¼ng bÊt k× E ⊂ R2
vµ
Pξ,η(E) = P((ξ, η) ∈ E) lµ x¸c suÊt ®Ó ®iÓm ngÉu nhiªn (ξ, η) ri vµo tËp E. Ng-êi ta gäi Pξ,η(E), víi mäi E ⊂ R2
lµ
®é ®o x¸c suÊt cña çc tËp hîp trªn mÆt ph¼ng sinh bëi vÐc t¬ ngÉu nhiªn (ξ, η).
§Þnh nghÜa 1 Hµm
H(x, y) = P(ξ < x, η < y) = P({ξ ∈ (−∞, x)} · {η ∈ (−∞, y)})
víi mäi x, y ∈ R lµ hµm ph©n bè chung cña hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ξ vµ η (hay cßn gäi lµ hµm ph©n bè ®ång thêi cña
vÐc t¬ ngÉu nhiªn (ξ, η)).
NÕu tån t¹i mét hµm kh«ng ©m h(x, y) ≥ 0 sao cho
P((ξ, η) ∈ E) =
E
h(x, y) dxdy
víi mäi miÒn E cña mÆt ph¼ng. Khi ®ã ta nãi h(x, y) lµ hµm mËt ®é cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn (ξ, η) (hay cßn gäi lµ hµm
mËt ®é chung cña ξ vµ η).
§èi víi çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn rêi r¹c, thay cho hµm ph©n bè ®ång thêi H(x, y) lµ çc x¸c suÊt
P(xi, yj) = P(ξ = xi ∩ η = yj) (hoÆc viÕt gän h¬n P(ξ = xi, η = yj).)
Chóng th-êng ®-îc viÕt d-íi d¹ng b¶ng. §Ó minh ho¹, ta xÐt vÝ dô sau.
VÝ dô
§¹i l-îng ngÉu nhiªn X ®o møc ®é hµi lßng cña ng-êi d©n sèng trong mét khu chung c- míi x©y dùng vµ Y biÓu
thÞ sè n¨m ng-êi d©n sèng trong khu chung c- ®ã. Gi¶ sö møc ®é hµi lßng cña ng-êi ë biÓu thÞ qua çc gi¸ trÞ
X = 1, X = 2, X = 3 hoÆc X = 4 (gi¸ trÞ X cµng lín t-¬ng øng víi møc hµi lßng cµng cao). §¹i l-îng ngÉu nhiªn
Y nhËn çc gi¸ trÞ 1 nÕu ng-êi d©n sèng kh«ng qu¸ 1 n¨m trong khu chung c- ®ã vµ nhËn gi¸ trÞ 2 trong tr-êng hîp
ng-îc l¹i.
X 1 2 3 4 Tæng
Y
1 0.04 0.17 0.18 0.1 0.49
2 0.06 0.15 0.2 0.1 0.51
Tæng 0.1 0.32 0.38 0.2 1
B¶ng ph©n bè trªn cho biÕt, ch¼ng h¹n
P(3, 2) = P(X = 3, Y = 2) = 0.2
lµ x¸c suÊt ®Ó khi chän ngÉu nhiªn mét ng-êi sèng ë khu chung c-, ng-êi ®ã cã møc hµi lßng 3 vµ sèng trªn 1 n¨m
trong khu chung c- ®ã. Cét tæng cho ph©n bè cña Y
P(Y = 1) = 0.49, P(Y = 2) = 0.51
Hµng tæng x¸c ®Þnh ph©n bè cña X
P(X = 1) = 0.1, P(X = 2) = 0.32, P(X = 3) = 0.38, P(X = 4) = 0.2
Tr-êng hîp tån t¹i hµm mËt ®é chung, hiÓn nhiªn
P((X, Y ) ∈ E) =
E
h(x, y) dxdy víi mäi tËp E ⊂ R2
.
H(x, y) = P(X < x, Y < y) =
x
−∞
y
−∞
h(u, v) dudv,
∂2
H
∂x∂y
= h(x, y)
7

F(x) = H(x, +∞) =
x
−∞
+∞
−∞
h(u, v) dv du lµ hµm ph©n bè cña X.
G(y) = H(+∞, y) =
y
−∞
+∞
−∞
h(u, v) du dv lµ hµm ph©n bè cña Y.
Hµm mËt ®é cña X, Y t-¬ng øng lµ
f(x) =
∞
−∞
h(x, y) dy, g(y) =
∞
−∞
h(x, y) dx
§Þnh nghÜa 2 Çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ξ vµ η ®-îc gäi lµ ®éc lËp nhau nÕu víi mäi x, y ∈ R
H(x, y) = P(ξ < x, η < y) = P(ξ < x)P(η < y) = F(x)G(y) ⇔ h(x, y) = f(x)g(y)
§Þnh lÝ 2 Gi¶ sö X, Y cã hµm mËt ®é chung h(x, y), khi ®ã
E (ϕ(X, Y )) =
∞
−∞
∞
−∞
ϕ(x, y)h(x, y) dxdy.
§Æc biÖt nÕu X, Y lµ çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp nhau, khi ®ã
E(XY ) = EX · EY, D(X + Y ) = DX + DY.
VÝ dô
Gi¶ sö hµm mËt ®é chung cña X vµ Y
h(x, y) =
6
5
(x + y2
) nÕu 0 < x < 1, 0 < y < 1
0 trong tr-êng hîp ng-îc l¹i
Sö dông f(x) =
∞
−∞
h(x, y) dy, hµm mËt ®é cña X
f(x) =
6
5
1
0
(x + y2
) dy = 6
5(x + 1
3) nÕu 0 < x < 1
0 nÕu x /∈ (0, 1)
hµm mËt ®é cña Y
g(y) =
6
5
1
0
(x + y2
) dx = 6
5 (1
2 + y2
) nÕu 0 < y < 1
0 nÕu y /∈ (0, 1)
VÝ dô
(X, Y ) ph©n bè ®Òu trªn h×nh trßn t©m (0, 1) b¸n kÝnh b»ng 1. Hµm mËt ®é chung cña X vµ Y
h(x, y) =
1
π nÕu x2
+ (y − 1)2
< 1
0 trong tr-êng hîp ng-îc l¹i
Hµm mËt ®é Y b»ng
g(y) =
∞
−∞
h(x, y) dx =
2
√
2y−y2
π nÕu 0 < y < 2
0 nÕu y /∈ (0, 2)
E(Y ) = 1, D(Y ) =
1
4
Bµi tËp 6
1. Gi¶ sö X vµ Y lµ hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n bè chuÈn N(0, 1). H·y t×m hµm mËt ®é cña
Z = |X|signY .
2. Chän ngÉu nhiªn 2 ®iÓm M vµ N trªn ®o¹n [0, 1], 2 ®iÓm M, N ®ã chia ®o¹n [0, 1] thµnh 3 phÇn, gäi çc ®é dµi
cña 3 ®o¹n th¼ng ®ã t-¬ng øng lµ çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn X1, X2 vµ X3.
a) H·y t×m çc hµm mËt ®é cña X1, X2 vµ X3.
b) H·y tÝnh çc k× väng E(X1), E(X2) vµ E(X3).
2. Ph©n bè cã ®iÒu kiÖn
Gi¶ sö A lµ biÕn cè cã x¸c suÊt P(A) > 0 vµ X lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn tïy ý. Ta cã ®Þnh nghÜa sau
8

§Þnh nghÜa 3 Ng-êi ta gäi hµm
F(x/A) = P(X < x/A) víi ∀x
lµ hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn biÕn cè A x¶y ra. NÕu F(x/A) kh¶ vi, kÝ hiÖu f(x/A) = F (x/A) vµ
F(x/A) = P(X < x/A) =
x
−∞
f(t/A) dt víi ∀x
khi ®ã f(x/A) ®-îc gäi lµ hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn biÕn cè A x¶y ra (hoÆc nãi t¾t lµ hµm mËt ®é
cña X víi ®iÒu kiÖn A).
Ta cã nhËn xÐt r»ng nÕu Ai, i = 1, 2, ... lµ mét hÖ ®Çy ®ñ çc biÕn cè. Khi ®ã theo c«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ, hµm
ph©n bè cña X cã thÓ biÓu diÔn theo çc hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn:
F(x) = P(X < x) =
i
P(X < x/Ai)P(Ai) =
i
F(x/Ai)P(Ai)
®¹o hµm c¶ hai vÕ theo x, ta còng cã kÕt qu¶ t-¬ng tù cho hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn
f(x) =
i
f(x/Ai)P(Ai).
VÝ dô
Mçi ngµy sè ca cÊp cøu tíi mét bÖnh viÖn lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn N tu©n theo luËt Poisson víi tham sè λ. Ng-êi
ta ph©n ra hai lo¹i cÊp cøu: cÊp cøu do tai n¹n giao th«ng (lo¹i A) vµ cÊp cøu v× çc lÝ do kh¸c (lo¹i B). Gi¶ thiÕt r»ng
p lµ x¸c suÊt ®Ó mét ca cÊp cøu thuéc lo¹i A, cÊp cøu do tai n¹n giao th«ng. KÝ hiÖu XA lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn biÓu
thÞ sè ca cÊp cøu thuéc lo¹i A, XB lµ sè ca cÊp cøu thuéc lo¹i B trong ngµy.
1. Víi k, n lµ hai sè nguyªn, h·y tÝnh P(XA = k/N = n).
2. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè ®ång thêi cña (N, XA).
3. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè, k× väng vµ ph-¬ng sai cña XA.
4. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè cña XB.
5. XA vµ XB cã ®éc lËp víi nhau kh«ng?
Lêi gi¶i: N cã ph©n bè Poisson víi tham sè λ.
P(N = n) = e−λ λn
n!
1. Víi k, n lµ hai sè nguyªn, P(XA = k/N = n) = Ck
npk
qn−k
.
2. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè ®ång thêi cña (N, XA)
P(N = n, XA = k) = P(XA = k/N = n)P(N = n) = Ck
npk
qn−k
· e−λ λn
n!
=
=
1
k!(n − k)!
e−λ
λn
pk
qn−k
= e−λ
(λp)k
(λq)n−k 1
k!(n − k)!
víi n ≥ k.
3. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè, k× väng vµ ph-¬ng sai cña XA.
P(XA = k) =
∞
n=k
P(XA = k, N = n) =
∞
n=k
e−λ
(λp)k
(λq)n−k 1
k!(n − k)!
=
= e−λ (λp)k
k!
∞
n=k
(λq)n−k
(n − k)!
= e−λ (λp)k
k!
∞
i=0
(λq)i
i!
= e−λ (λp)k
k!
· eλq
= e−λp (λp)k
k!
4. T-¬ng tù luËt ph©n bè cña XB
P(XB = i) = e−λq (λq)i
i!
9

5. XA vµ XB ®éc lËp víi nhau. ThËt vËy xÐt P(XA = k, XB = i), kÝ hiÖu n = k + i, khi ®ã
P(XA = k, XB = i) = P(XA = k, N = n) = e−λ
(λp)k
(λq)n−k 1
k!(n − k)!
=
= e−λp (λp)k
k!
· e−λq (λq)i
i!
= P(XA = k)P(XB = i), víi mäi k, i ≥ 0.
Gi¶ thiÕt (X, Y ) lµ vÐc t¬ ngÉu nhiªn cã h(x, y) lµ hµm mËt ®é chung. Khi ®ã Y lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn liªn tôc,
hµm mËt ®é cña Y lµ
g(y) =
∞
−∞
h(x, y) dx.
Ta ®Þnh nghÜa x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña biÕn cè {X < x} víi ®iÒu kiÖn Y = y nh- lµ giíi h¹n cña P(X < x/y Y <
y + ∆y) khi ∆y dÇn tíi 0. Hµm
F(x/y) = lim
∆y→0
P(X < x/y Y < y + ∆y)
®-îc gäi lµ hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y, tÊt nhiªn víi gi¶ thiÕt tån t¹i giíi h¹n trªn.
Do ®Þnh nghÜa x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn vµ tÝnh chÊt cña hµm ph©n bè chung
P(X < x/y Y < y + ∆y) =
P(X < x, y Y < y + ∆y)
P(y Y < y + ∆y)
=
H(x, y + ∆y) − H(x, y)
G(y + ∆y) − G(y)
(H(x, y) lµ hµm ph©n bè chung cña X vµ Y , G(y) lµ hµm ph©n bè cña Y ). Chia c¶ tö vµ mÉu cho ∆y, chuyÓn qua
giíi h¹n khi ∆y → 0 ta ®-îc
F(x/y) =
∂
∂y H(x, y)
g(y)
⇒ f(x/y) =
∂
∂x
F(x/y) =
∂2
∂x∂y H(x, y)
g(y)
=
h(x, y)
g(y)
.
f(x/y) ®-îc gäi lµ hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y.
Chó ý r»ng çc hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn còng nh- ph©n bè cã ®iÒu kiÖn ë ®©y chØ ®-îc x¸c ®Þnh t¹i y sao cho
g(y) > 0. T¹i nh÷ng ®iÓm mµ g(y) = 0, hµm mËt ®é f(x/y) ®-îc x¸c ®Þnh tïy ý (®Ó ®¬n gi¶n, t¹i ®ã ng-êi ta th-êng
g¸n cho f(x/y) gi¸ trÞ 0). ViÕt chÝnh x¸c h¬n, mËt ®é cã ®iÒu kiÖn
f(x/y) =
h(x,y)
g(y)
nÕu g(y) > 0
0 nÕu g(y) = 0
T-¬ng tù hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña Y víi ®iÒu kiÖn X = x
g(y/x) =
h(x,y)
f(x) nÕu f(x) > 0
0 nÕu f(x) = 0
Suy ra h(x, y) = f(x/y)g(y) = g(y/x)f(x). Tõ ®ã ta nhËn ®-îc çc c«ng thøc t-¬ng tù nh- c«ng thøc x¸c suÊt ®Çy
®ñ
f(x) =
∞
−∞
h(x, y) dy =
∞
−∞
f(x/y)g(y) dy
g(y) =
∞
−∞
h(x, y) dx =
∞
−∞
g(y/x)f(x) dx
Chó ý r»ng nÕu X, Y lµ çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp nhau khi ®ã çc hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn f(x/y) = f(x)
kh«ng phô thuéc vµo y còng nh- g(y/x) = g(y) kh«ng phô thuéc vµo x.
§Þnh lÝ 3 Gi¶ sö ϕ lµ mét song ¸nh
ϕ : D → T D ⊂ R2
, T ⊂ R2
kh¶ vi t¹i mäi ®iÓm thuéc D. (X, Y ) lµ vÐc t¬ ngÉu nhiªn nhËn çc gi¸ trÞ trong D vµ h(x, y) lµ hµm mËt ®é ®ång thêi
cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn ®ã. Khi ®ã hµm mËt ®é cña (U, V ) = ϕ(X, Y ) b»ng
g(u, v) = h ϕ−1
(u, v) |J(u, v)|
trong ®ã J(u, v) lµ Jacobien cña ϕ−1
.
KÝ hiÖu (x, y) = ϕ−1
(u, v), khi ®ã Jacobien cña ϕ−1
b»ng J(u, v) =
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
=
∂x
∂u
∂y
∂v
−
∂x
∂v
∂y
∂u
10

NhËn xÐt 1 Gi¶ sö h(x, y) lµ hµm mËt ®é chung cña (X, Y ). Çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn U vµ V ®-îc x¸c ®Þnh
X = a11U + a12V
Y = a21U + a22V
Khi ®ã mËt ®é chung cña (U, V ) b»ng
g(u, v) = h (a11u + a12v, a21u + a22v) |det(A)|
trong ®ã A =
a11 a12
a21 a22
lµ ma trËn kh«ng suy biÕn.
VÝ dô X vµ Y lµ hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp thuéc N(0, 1). Khi ®ã ξ = X + Y vµ η = X − Y còng ®éc lËp vµ
cã cïng ph©n bè chuÈn (∈ N(0, (
√
2)2
)). ThËt vËy
X = 1
2(ξ + η)
Y = 1
2 (ξ − η)
⇒ | det A| = 1
2
⇒ g(u, v) = 1√
2π
e− (u+v)2
8 · 1√
2π
e− (u−v)2
8 · 1
2
Suy ra
g(u, v) =
1
√
2π
√
2
e− u2
2·2 ·
1
√
2π
√
2
e− u2
2·2
NhËn xÐt 2
1. NÕu X vµ Y lµ hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp, khi ®ã hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y
trïng víi hµm ph©n bè cña X, (kh«ng phô thuéc vµo ®iÒu kiÖn Y = y)
F(x/Y = y) = P(X < x/Y = y) = P(X < x) = F(x).
2. Tæng qu¸t h¬n, gi¶ sö ϕ(x, y) lµ mét hµm hai biÕn bÊt k×, X vµ Y lµ hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp. Khi ®ã
hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña ϕ(X, Y ) víi ®iÒu kiÖn Y = y trïng víi hµm ph©n bè cña ϕ(X, y)
P(ϕ(X, Y ) < x/Y = y) = P(ϕ(X, y) < x.
Ch¼ng h¹n ®Ó tÝnh hµm mËt ®é cña tæng hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp X vµ Y , cã thÓ suy ra tõ nhËn xÐt trªn nh-
sau:
XÐt Z = ϕ(X, Y ) = X + Y , hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña Z víi ®iÒu kiÖn Y = y (kÝ hiÖu H(z/y)), theo nhËn xÐt
trªn b»ng hµm ph©n bè cña ϕ(X, y)(= X + y)
H(z/y) = P(X + y < z) = F(z − y)
®¹o hµm hai vÕ theo z ®Ó x¸c ®Þnh hµm mËt ®é, ta ®-îc mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña Z víi ®iÒu kiÖn Y = y (kÝ hiÖu
h(z/y))
h(z/y) = f(z − y).
¸p dông c«ng thøc "x¸c suÊt ®Çy ®ñ më réng" ®Ó tÝnh hµm mËt ®é cña Z (kÝ hiÖu r(z)), ta ®-îc
r(z) =
∞
−∞
h(z/y)g(y) dy =
∞
−∞
f(z − y)g(y) dy.
§©y chÝnh lµ c«ng thøc x¸c ®Þnh hµm mËt ®é cña tæng hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp.
Hoµn toµn t-¬ng tù ta cã thÓ thiÕt lËp ®-îc çc hµm mËt ®é cña XY vµ X/Y , nÕu X, Y ®éc lËp nhau. B¹n ®äc
tù chøng minh çc kÕt qu¶ sau:
a. Hµm mËt ®é cña XY b»ng
s(z) =
∞
−∞
1
|y|
f(
z
y
)g(y) dy
b. Hµm mËt ®é cña X
Y b»ng
t(z) =
∞
−∞
|y|f(zy))g(y) dy
11

Ch¼ng h¹n ta ph¸c qua çch dÉn d¾t ®Õn kÕt qu¶ a. ®Ó tÝnh hµm mËt ®é cña XY . Tr-íc tiªn ta t×m hµm ph©n bè
cã ®iÒu kiÖn cña XY víi ®iÒu kiÖn Y = y (xÐt hai tr-êng hîp y > 0 vµ y < 0). Hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn ®ã b»ng
hµm ph©n bè cña y · X (kh«ng ®iÒu kiÖn), suy ra, hµm mËt ®é cña y · X b»ng 1
|y| f(z
y ), vËy hµm mËt ®é cña XY
s(z) =
∞
−∞
1
|y|
f(
z
y
)g(y) dy.
Bµi tËp
1. Gi¶ sö X vµ Y lµ hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n bè ®Òu trªn (−1, 1). H·y tÝnh hµm mËt ®é cña
X + Y .
2. Gi¶ sö X vµ Y lµ hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n bè ®Òu trªn (a, b) (®Ó ®¬n gi¶n ta gi¶ thiÕt a, b
lµ çc sè d-¬ng 0 < a < b). H·y tÝnh hµm mËt ®é cña ®¹i l-îng ngÉu nhiªn tÝch XY .
3. Gi¶ sö X vµ Y lµ hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n bè mò víi tham sè λ. H·y tÝnh hµm mËt ®é cña
|X − Y |.
4. Gäi X vµ Y lµ hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp, cã cïng ph©n bè mò víi tham sè λ. KÝ hiÖu g(y/x) lµ hµm mËt
®é cña X + Y víi ®iÒu kiÖn X = x vµ f(x/y) lµ hµm mËt ®é cña X víi ®iÒu kiÖn X + Y = y. H·y x¸c ®Þnh çc hµm
mËt cã ®iÒu kiÖn g(y/x) vµ f(x/y).
3. K× väng cã ®iÒu kiÖn
Gi¶ sö A lµ biÕn cè cã x¸c suÊt P(A) > 0 vµ X lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn tïy ý. T-¬ng tù nh- ®Þnh nghÜa k× väng
cña ®¹i l-îng ngÉu nhiªn, ta cã ®Þnh nghÜa sau
§Þnh nghÜa 4 NÕu X lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn rêi r¹c chØ nhËn çc gi¸ trÞ xi, i = 1, 2, ..., khi ®ã
E(X/A) =
i
xiP(X = xi/A)
®-îc gäi lµ k× väng cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn biÕn cè A x¶y ra.
Tr-êng hîp X lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi f(x/A) lµ hµm mËt ®é cã ®iÒu kiÖn, khi ®ã
E(X/A) =
∞
−∞
xf(x/A) dx
®-îc gäi lµ k× väng cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn biÕn cè A x¶y ra.
NÕu X vµ Y lµ hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi f(x) vµ g(x) lµ çc hµm mËt ®é cña chóng. Gäi f(x/y) lµ hµm
mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y K× väng cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y, ®-îc kÝ hiÖu E(X/Y = y) lµ tÝch
ph©n
E(X/Y = y) =
∞
−∞
xf(x/y) dx,
nÕu tÝch ph©n tån t¹i vµ héi tô tuyÖt ®èi.
T-¬ng tù nh- ®Þnh lÝ x¸c suÊt ®Çy ®ñ, ta th-êng sö dông ®Þnh lÝ sau (cßn gäi lµ ®Þnh lÝ k× väng ®Çy ®ñ)
§Þnh lÝ 4 NÕu A1, A2, ..., An, ... lµ hÖ ®Çy ®ñ çc biÕn cè ngÉu nhiªn, X lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn cã k× väng, khi ®ã
E(X) =
∞
i=1
E(X/Ai)P(Ai).
§Þnh lÝ 5 Gi¶ thiÕt r»ng X vµ Y lµ hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn liªn tôc, tån t¹i k× väng cã ®iÒu kiÖn cña X ®èi víi Y , khi
®ã
E(X) = E(E(X/Y )).
Chøng minh
KÝ hiÖu h(y) = E(X/Y = y) (ng-êi ta gäi h(y) lµ hµm håi quy cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y)
E(h(Y )) =
∞
−∞
h(y)g(y) dy =
∞
−∞
E(X/Y = y)g(y) dy =
12

=
∞
−∞
∞
−∞
xf(x/y) dx g(y) dy =
∞
−∞
x
∞
−∞
f(x/y)g(y)dy dx
MÆt kh¸c f(x) =
∞
−∞
f(x/y)g(y) dy nªn
E(h(Y )) = E(E(X/Y )) =
∞
−∞
xf(x) dx = E(X) ®.p.c.m.
4. T-¬ng quan vµ hÖ sè t-¬ng quan
§Þnh nghÜa 5 NÕu X vµ Y lµ hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn tån t¹i k× väng E(X) vµ E(Y ), khi ®ã
cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))]
®-îc gäi lµ covarian (hay cßn gäi lµ m« men t-¬ng quan) cña X vµ Y .
HiÓn nhiªn nÕu X vµ Y ®éc lËp , khi ®ã
cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))] = E(X − E(X)) · E(Y − E(Y )) = 0
Tr-êng hîp X = Y , khi ®ã covarian cov(X, X) = D(X).
M« men t-¬ng quan cña hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn cã çc tÝnh chÊt sau
i) cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))] = E(XY ) − E(X)E(Y )
ii) cov(αX, Y ) = cov(X, αY ) = αcov(X, Y )
iii) KÝ hiÖu σx = D(X) vµ σy = D(Y ) lµ çc ®é lÖch tiªu chuÈn cña X vµ Y . Khi ®ã
|cov(X, Y )| σxσy.
ThËt vËy xÐt
E[(Y − tX)2
] = E(Y 2
− 2tXY + t2
Y 2
) = E(Y 2
) − 2E(XY )t + E(Y 2
)t2
≥ 0 víi mäi t.
§©y lµ tam thøc bËc hai kh«ng ©m víi mäi t, suy ra
[E(XY )]2
E(X2
)E(Y 2
)hay |E(XY )| E(X2) E(Y 2)
¸p dông bÊt ®¼ng thøc trªn víi X − E(X) vµ Y − E(Y ) thay cho X vµ Y
|cov(X, Y )| = |E[(X − E(X))(Y − E(Y ))]| D(X) D(X) = σxσy.
NhËn xÐt r»ng tõ chøng minh trªn suy ra
|cov(X, Y )| = σxσy ⇔ Y lµ mét hµm bËc nhÊt cña X : Y = aX + b.
§Þnh nghÜa 6
(X, Y ) =
cov(X, Y )
σxσy
=
E[(X − E(X))(Y − E(Y ))]
D(X) D(X)
®-îc gäi lµ hÖ sè t-¬ng quan cña X vµ Y .
HiÓn nhiªn hÖ sè t-¬ng quan cã çc tÝnh chÊt
i) −1 (X, Y ) 1. DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi Y = aX + b (hoÆc X = aY + b)
ii) NÕu X vµ Y ®éc lËp, khi ®ã hÖ sè t-¬ng quan (X, Y ) = 0
HÖ sè t-¬ng quan ®o møc ®é phô thuéc tuyÕn tÝnh gi÷a Y vµ X. NÕu | (X, Y )| xÊp xØ 1 khi ®ã çc ®iÓm ngÉu
nhiªn (X, Y ) gÇn nh- t¹o thµnh mét ®-êng th¼ng trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é. Khi (X, Y ) = 0 ta nãi X vµ Y kh«ng
t-¬ng quan. Chó ý r»ng nÕu X vµ Y ®éc lËp khi ®ã chóng kh«ng t-¬ng quan, ng-îc l¹i tõ sù kh«ng t-¬ng quan cña
X vµ Y kh«ng suy ra chóng ®éc lËp víi nhau.
§Þnh nghÜa 7 KÝ hiÖu c = cov(X, Y ) lµ m« men t-¬ng quan cña X vµ Y . Khi ®ã ma trËn
C =
D(X) c
c D(Y )
®-îc gäi lµ ma trËn covarian (ma trËn t-¬ng quan) cña X vµ Y .
13

Duy tr× çc kÝ hiÖu σx, σy lµ çc ®é lÖch tiªu chuÈn cña X vµ Y , lµ hÖ sè t-¬ng quan cña X vµ Y . Tõ ®Þnh nghÜa
hÖ sè t-¬ng quan suy ra c = σxσy. Khi ®ã ma trËn covarian cã thÓ viÕt d-íi d¹ng
C =
σ2
x σxσy
σxσy σ2
y
Do | | 1 nªn
det(C) =
σ2
x σxσy
σxσy σ2
y
= (1 − 2
)σ2
xσ2
x ≥ 0
Ph-¬ng sai cña ®¹i l-îng ngÉu nhiªn cho ta biÕt ®é lÖch ®¹i l-îng ngÉu nhiªn vµ gi¸ trÞ trung b×nh cña ®¹i l-îng
ngÉu nhiªn ®ã. Ma trËn çc hÖ sè t-¬ng quan còng ®ãng vai trß t-¬ng tù nh- ph-¬ng sai khi xÐt ®é dao ®éng cña vÐc
t¬ ngÉu nhiªn.
Gi¶ sö d lµ ®-êng th¼ng ®i qua (EX, EY ) (gi¸ trÞ trung b×nh cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn (X, Y )) vµ −→n (α, β) lµ vÐc t¬
®¬n vÞ chØ ph-¬ng cña d. Gäi
Z = α(X − EX) + β(Y − EY )
lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (X − EX, Y − EY ) lªn ®-êng th¼ng d. Ph-¬ng sai cña Z sÏ ®-îc tÝnh th«ng qua ma
trËn covarian C nh- sau
D(Z) = α2
E(X − EX)2
+ β2
(Y − EY )2
+ 2αβE(X − EX)E(Y − EY ) =
= α2
σ2
x + β2
σ2
y + 2αβ σxσy
NhËn xÐt r»ng ph-¬ng sai cña Z lµ d¹ng toµn ph-¬ng víi ma trËn covarian C lµ ma trËn cña d¹ng toµn ph-¬ng ®ã.
Do det(C) ≥ 0, nãi chung C lµ ma trËn b¸n x¸c ®Þnh d-¬ng. NÕu X vµ Y ®éc lËp tuyÕn tÝnh (| | < 1), khi ®ã C lµ
ma trËn x¸c ®Þnh d-¬ng thùc sù.
NhËn xÐt 3 Sö dông çc phÐp to¸n ®èi víi ma trËn, ta cã thÓ më réng kh¸i niÖm ma trËn covarian cho nhiÒu ®¹i l-îng
ngÉu nhiªn
Xi, E(Xi) = mi, cov(Xi, Xj) = σij, i, j = 1, 2, ..., n
Khi ®ã ma trËn covarian cña (X1, X2, ..., Xn) lµ
C(X) =




σ11 σ12 · · · σ1n
σ21 σ22 · · · σ2n
· · · · · ·
σn1 σn2 · · · σnn




Gi¶ sö ai, i = 1, 2, ...n lµ çc sè thùc bÊt k×. Khi ®ã
D(
n
i=1
aiXi) = E
n
i=1
ai(Xi − mi)
2
=
=
i j
aiajσij
T-¬ng tù
cov(
n
i=1
aiXi,
n
i=1
biXi) =
i j
aibjσij
KÝ hiÖu A,B,X,M lµ çc vÐc t¬ cét víi çc thµnh phÇn ai, bi, Xi, mi t-¬ng øng. C(X) lµ ma trËn covarian cña X. Tõ
çc ®¼ng thøc trªn suy ra
E(AT
X) = AT
E(X) = AT
M
D(AT
X) = AT
C(X)A
cov(AT
X, BT
X) = AT
C(X)B = BT
C(X)A.
14

4 Hµm ®Æc tr-ng
1. §¹i l-îng ngÉu nhiªn phøc
Trong lÝ thuyÕt x¸c suÊt ng-êi ta sö dông hµm ®Æc tr-ng nh- lµ mét c«ng cô quan träng ®Ó chøng minh çc ®Þnh lÝ
giíi h¹n, ®Ó nghiªn cøu çc ®Æc tr-ng sè cña ®¹i l-îng ngÉu nhiªn nh-: k× väng, ph-¬ng sai... Tr-íc khi dÉn vµo kh¸i
niÖm hµm ®Æc tr-ng, ta cÇn t×m hiÓu mét chót vÒ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn phøc.
Gäi ξ vµ η lµ hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn, khi ®ã ζ = ξ + iη ®-îc gäi lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn phøc. Nã thùc chÊt lµ
mét hµm víi gi¸ trÞ phøc ®-îc x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian çc biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n Ω. K× väng vµ ph-¬ng sai cña
ζ ®-îc x¸c ®ônh nh- sau
E(ζ) = E(ξ) + iE(η)
D(ζ) = E(|ζ − E(ζ)|2
)
Hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn phøc ζ1 = ξ1 +iη2 vµ ζ2 = ξ2 +iη2 ®éc lËp nhau nÕu çc vÐct¬ ngÉu nhiªn (ξ1, η1) vµ (ξ2, η2)
®éc lËp nhau. Sù ®éc lËp cña nhiÒu ®¹i l-îng ngÉu nhiªn phøc còng lµ sù ®éc lËp cña çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn 2
chiÒu. DÔ dµng chøng minh ®-îc khi ®ã
E(ζ1ζ2) = E(ζ1) + E(ζ2)
D(ζ1 + ζ2) = D(ζ1) + D(ζ2)
KÕt qu¶ nµy còng më réng cho tr-êng hîp nhiÒu h¬n hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp.
2. Hµm ®Æc tr-ng vµ çc tÝnh chÊt cña hµm ®Æc tr-ng
Hµm ®Æc tr-ng cña ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ξ ®-îc x¸c ®Þnh trªn R
ϕ(t) = E(eitξ
) = E(cos tξ) + iE(sin tξ)
Tr-êng hîp ξ lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn rêi r¹c
ξ x1 x2 ... xn ...
P p1 p2 ... pn ...
khi ®ã
ϕ(t) =
+∞
n=1
pn cos txn + i
+∞
n=1
pn sin txn =
+∞
n=1
pneitxn
.
NÕu ξ lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi f(x) lµ hµm mËt ®é, hµm ®Æc tr-ng cña ξ
ϕ(t) =
+∞
−∞
f(x) cos tx dx + i
+∞
−∞
f(x) sin tx dx =
+∞
−∞
f(x)eitx
dx.
Hµm ®Æc tr-ng lu«n lu«n tån t¹i vµ chóng cã çc tÝnh chÊt sau
1. Gi¸ trÞ hµm ®Æc tr-ng t¹i t = 0 lu«n b»ng 1, ϕ(0) = 1 vµ |ϕ(t)| 1 víi mäi t ∈ R.
ThËt vËy, ϕ(0) = 1 lµ hiÓn nhiªn. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc E2
(X) leqE(X2
) víi bÊt k× X
|ϕ(t)|2
= E2
(cos tξ) + E2
(sin tξ) E(cos2
tξ) + E(sin2
tξ) = 1.
2. Víi mäi t ∈ R
ϕ(−t) = E(e−itξ
) = E(cos(−t)ξ) + iE(sin(−t)ξ) = ϕ(t).
NÕu ξ cã ph©n bè x¸c suÊt ®èi xøng qua 0 (hay hµm ph©n bè cña ξ vµ −ξ trïng nhau), khi ®ã hµm ®Æc tr-ng
cña ξ nhËn çc gi¸ trÞ thùc vµ ϕ(t) lµ hµm ch½n.
3. Víi çc sè thùc bÊt k× a vµ b, hµm ®Æc tr-ng cña ®¹i l-îng ngÉu nhiªn X = aξ + b b»ng
E(itX) = eibt
ϕ(at).
4. Hµm ®Æc tr-ng ϕ(t) liªn tôc ®Òu trªn toµn bé R.
Chän ε > 0 tïy ý. KÝ hiÖu Aλ lµ biÕn cè |ξ| > λ sao cho P(Aλ) = P(|ξ| > λ) < ε
3. Khi ®ã
ϕ(t) = E(eitξ
/Aλ)P(Aλ) + E(eitξ
/Aλ)P(Aλ). Suy ra
|ϕ(t) − E(eitξ
/Aλ)P(Aλ)| = |E(eitξ
/Aλ)P(Aλ)| ≤ 1 · |P(Aλ)|
ε
3
15

Tõ ®©y ta suy ra
|ϕ(t1) − ϕ(t2)| E(|eit1ξ
− eit2ξ
|/Aλ)P(Aλ) +
2ε
3
E(|(t1 − t2)ξ|/Aλ) +
2ε
3
Do E(|(t1 − t2)ξ|/Aλ) |t1 − t2|λ nªn |ϕ(t1) − ϕ(t2)| ≤ ε nÕu |t1 − t2| < δ = ε
3λ .
5. Hµm ®Æc tr-ng cã tÝnh chÊt ®Æc biÖt quan träng sau ®©y: Gi¶ sö ξ1, ξ2, ..., ξn lµ çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn hoµn
toµn ®éc lËp, khi ®ã hµm ®Æc tr-ng cña tæng X = ξ1 + ξ2 + · · ·ξn b»ng
ϕX
(t) =
n
i=1
ϕξi (t)
Do nhËn xÐt sù ®éc lËp cña nhiÒu ®¹i l-îng ngÉu nhiªn phøc còng lµ sù ®éc lËp cña çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn
nhiÒu chiÒu, nªn kÕt qu¶ trªn ®-îc suy ra tõ ®Þnh lÝ k× väng cña tÝch çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp b»ng tÝch
çc k× väng.
6. NÕu tån t¹i çc m«ment cÊp k, (k = 1, 2, ..., n) cña ξ, khi ®ã hµm ®Æc tr-ng ϕξ(t) kh¶ vi cÇp n vµ
ϕ
(k)
ξ (0) = ik
E(ξk
) (k = 1, 2, ..., n).
Theo gi¶ thiÕt
+∞
−∞
f(x)|x| dx tån t¹i vµ h÷u h¹n nªn
+∞
−∞
xeitx
f(x) dx héi tô ®Òu theo t, suy ra
ϕξ(t) =
+∞
−∞
ixeitx
f(x) dx ⇒ ϕξ(0) = i
+∞
−∞
xf(x) dx = iE(ξ)
LËp luËn t-¬ng tù víi k = 2, ..., n.
7. Ta c«ng nhËn kÕt qu¶ rÊt m¹nh sau ®©y cña hµm ®Æc tr-ng: Çc hµm ph©n bè ®-îc x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi hµm
®Æc tr-ng cña nã. Ngoµi ra nÕu gi¶ thiÕt tÝch ph©n
+∞
−∞ |ϕ(t)| dt < +∞ khi ®ã hµm mËt ®é f(x) liªn tôc, vµ
f(x) =
1
2π
+∞
−∞
ϕ(t)e−itx
dt
8. Cho mét d·y çc hµm ph©n bè F(x), F1(x), F1(x), ... cïng víi çc hµm ®Æc tr-ng t-¬ng øng ϕ(t), ϕ1(t), ϕ2(t), ...
§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó
lim
n→∞
Fn(x) = F(x) t¹i mäi ®iÓm liªn tôc cña F(x)
lµ, víi mäi sè thùc t ∈ R
lim
n→∞
ϕn(t) = ϕ(t).
Bµi tËp 7
1. Hµm ®Æc tr-ng cña ξk(k = 1, 2, ..., n) ph©n bè theo luËt 0, 1
E(eitξk
) = eit
(1 − p) + eit
p = 1 + p(eit
− 1)
Suy ra hµm ®Æc tr-ng cña ph©n bè nhÞ thøc ξ = n
i=1 ξi (do ξ lµ tæng cña çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp
ξi)
ϕ(t) = E(eitξ
) = (1 + p(eit
− 1))n
2. Hµm ®Æc tr-ng cña ph©n bè Poisson
ϕ(t) =
∞
k=0
eitk
e−λ λk
k!
= e−λ
∞
k=0
(λeit
)k
k!
= eλ(eit
−1)
3. Hµm ®Æc tr-ng cña ph©n bè mò
ϕ(t) = λ
+∞
0
e−x(λ−it)
dx =
1
1 − it
λ
4. Hµm ®Æc tr-ng cña ph©n bè ®Òu trªn (−1, 1)
ϕ(t) =
1
2
1
−1
eitx
dx =
sin t
t
16

Chó ý r»ng t-¬ng tù nh- hµm ®Æc tr-ng cña ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ξ víi f(x) lµ hµm mËt ®é, ng-êi ta cßn ®-a vµo
mét hµm kh¸c ®-îc ®Þnh nghÜa nh- sau
G(t) = E(etξ
) =
+∞
−∞
etx
f(x) dx
Kh¸c víi hµm hµm ®Æc tr-ng, hµm G(t) kh«ng ph¶i lu«n lu«n tån t¹i. §èi víi ph©n bè chuÈn ξ ∈ N(0, 1)
G(t) =
1
√
2π
+∞
−∞
etx
e− x2
2 dx =
1
√
2π
+∞
−∞
e− (x−t)2
2 + t2
2 dx =
1
√
2π
+∞
−∞
e− (x−t)2
2 e
t2
2 dx = e
t2
2
Sö dông nã ta cã thÓ tÝnh hµm ®Æc tr-ng cña ph©n bè chuÈn
5. Hµm ®Æc tr-ng cña ph©n bè chuÈn ξ ∈ N(0, 1)
ϕ(t) = G(it) = e
(it)2
2 = e− t2
2
6. Sö dông tÝnh chÊt 3. hµm ®Æc tr-ng cña ph©n bè chuÈn ξ ∈ N(m, σ2
)
ϕ(t) = eimt−σ2 t2
2
7. Hµm ®Æc tr-ng cña ph©n bè χ2
n = ξ2
1 + ξ2
2 + · · · + ξ2
n. §©y lµ tæng cña n ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng
ph©n bè χ2
víi mét bËc tù do. Ta ®· biÕt r»ng hµm mËt ®é cña mçi sè h¹ng b»ng
h(x) =
1√
2πx
e− x
2 nÕu x > 0,
0 nÕu x < 0
Hµm ®Æc tr-ng cña χ2
1 b»ng
ϕξ2
k
(t) =
∞
0
eitx 1
√
2πx
e− x
2 dx =
∞
0
1
√
2πx
e− x
2 (1−2it)
dx =
=
∞
0
2
π
e− u2
2 (1−2it)
du =
1
√
1 − 2it
VËy hµm ®Æc tr-ng cña ph©n bè χ2
n víi n bËc tù do
ϕ(t) = (1 − 2it)− n
2
5 LuËt sè lín vµ ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m
1. Çc d¹ng héi tô vµ kh¸i niÖm vÒ luËt sè lín
Sù æn ®Þnh dÇn cña tÇn suÊt tíi x¸c suÊt cña biÕn cè A chÝnh lµ d¹ng ®¬n gi¶n nhÊt cña luËt sè lín. Ng-êi ta gäi
chung çc quy luËt kh¼ng ®Þnh sù héi tô tíi h»ng sè C cña trung b×nh céng cña d·y n ®¹i l-îng ngÉu nhiªn
Y1 + Y2 + · · · + Yn
n
→ C khi n → ∞
lµ luËt sè lín.
§Þnh nghÜa 8 Cho d·y Yn, n = 1, 2, ... çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn. Ta nãi Yn héi tô theo x¸c suÊt tíi ®¹i l-îng ngÉu
nhiªn Y , kÝ hiÖu Yn
P
→ Y , nÕu víi bÊt k× > 0
lim
n→∞
P(|Yn − Y | > ) = 0.
Ta nãi d·y çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn Xn, n = 1, 2, ... héi tô hÇu ch¾c ch¾n tíi X, kÝ hiÖu Xn
h.c.c
→ X, nÕu
P( lim
n→∞
Xn = X) = 1.
17

Ta cã thÓ chøng minh héi tô hÇu ch¾c ch¾n kÐo theo héi tô theo x¸c suÊt. §iÒu ng-îc l¹i nãi chung kh«ng ®óng. ThËt
vËy
{ω : Xn → X} =
∞
k=1
∞
n=1
∞
m=n
|Xm − X| <
1
k
Gi¶ sö Xn
h.c.c
→ X, suy ra víi mäi ε > 0
P
∞
n=1
∞
m=n
{|Xm − X| < } = lim
n→∞
P
∞
m=n
{|Xm − X| < } = 1.
Do vËy
lim
n→∞
P(|Xm − X| < ε) = 1 hay Xn
P
→ X.
NhËn xÐt r»ng Xn
h.c.c
→ X t-¬ng ®-¬ng víi
lim
n→∞
P
∞
m=n
{|Xm − X| < } = 1 víi mäi ε > 0 ⇔ sup
m≥n
|Xm − X|
P
→ 0.
§Þnh lÝ 6 (Trªb-sÐp) Gi¶ sö X lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn tån t¹i k× väng m = E(X) vµ ph-¬ng sai σ2
= D(X). Khi
®ã víi mäi > 0 ta cã:
P(|X − m| ≥ )
σ2
2
Chøng minh Víi ®¹i l-îng ngÉu nhiªn kh«ng ©m Y , ta biÕt r»ng P(Y ≥ ) E(Y )
. Do ®ã
P(|X − m| ≥ ) = P(|X − m|2
≥ 2
)
E(|X − m|2
)
2
=
σ2
2
.
2. LuËt sè lín vµ ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m
B©y giê ta ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lÝ sau vÒ luËt sè lín
§Þnh lÝ 7 (LuËt yÕu sè lín) Gi¶ sö X1, X2, ... lµ çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng k× väng vµ ph-¬ng sai
E(Xi) = m, D(Xi) = σ2
, i = 1, 2, ...
Khi ®ã X1+X2+...+Xn
n héi tô theo x¸c suÊt tíi m
X1 + X2 + ... + Xn
n
P
→ m
Chøng minh Ta cã
E
X1 + X2 + ... + Xn
n
= m, D
X1 + X2 + ... + Xn
n
=
σ2
n
¸p dông ®Þnh lÝ Trªb-sÐp ta ®-îc ®.p.c.m.
P
X1 + X2 + ... + Xn
n
− m >
σ2
n 2
.
NhËn xÐt r»ng ®Þnh lÝ trªn vÉn ®óng nÕu ta thay gi¶ thiÕt sù ®éc lËp b»ng sù kh«ng t-¬ng quan cña çc ®¹i l-îng ngÉu
nhiªn X1, X2, ...
Cuèi cïng ta ph¸t biÓu, kh«ng chøng minh ®Þnh lÝ sau cña Kolgomorov
§Þnh lÝ 8 (LuËt m¹nh sè lín) Gi¶ sö X1, X2, ... lµ çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng hµm ph©n bè. Khi ®ã
®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó X1+X2+...+Xn
n héi tô hÇu ch¾c ch¾n tíi µ
X1 + X2 + ... + Xn
n
h.c.c
→ µ
lµ tån t¹i k× väng E(Xi) vµ E(Xi) = µ.
Sö dông çc kÕt qu¶ vÒ hµm ®Æc tr-ng ta cã thÓ chøng minh ®Þnh lÝ giíi h¹n sau
18

§Þnh lÝ 9 Cho mét d·y c¸c ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cïng ph©n bè X1, X2, X3, ..., Xn, ... víi E(Xk) = m, D(Xk) =
σ2
víi mäi k = 1, 2, ... Khi ®ã
lim
n→∞
P
X1 + X2 + · · · + Xn − nm
σ
√
n
< x =
1
√
2π
x
−∞
e− u2
2 du
Chøng minh KÝ hiÖu ϕ(t) lµ hµm ®Æc tr-ng cña Xk − m, khi ®ã hµm ®Æc tr-ng cña Xk−m
σ
√
n
b»ng ϕ t
σ
√
n
. øng dông
tÝnh chÊt 6 cña hµm ®Æc tr-ng vµ khai triÓn Taylo ®Õn cÊp 2
ϕ
t
σ
√
n
= 1 −
t2
2n
+ o
1
n
Do tÝnh ®éc lËp cña X1, X2, ..., Xn hµm ®Æc tr-ng cña X1+X2+···+Xn−nm
σ
√
n
b»ng ϕ t
σ
√
n
n
. Suy ra
lim
n→∞
ϕ
t
σ
√
n
n
= lim
n→∞
1 −
t2
2n
+ o
1
n
n
= e− t2
2 .
§©y chÝnh lµ hµm ®Æc tr-ng cña ph©n bè chuÈn thuéc líp N(0, 1), tõ tÝnh chÊt cuèi cïng cña hµm ®Æc tr-ng, suy ra
®iÒu ph¶i chøng minh.
§Æc biÖt khi X cã ph©n bè nhÞ thøc
P(X = k) = Ck
npk
qn−k
, 0 < p < 1, q = 1 − p, 0 k n,
ng-êi ta chøng minh ®-îc r»ng
P(A X B) ≈ Φ
B − np + 1
2
√
npq
− Φ
A − np − 1
2
√
npq
.
(Φ(.) lµ hµm ph©n bè chuÈn thuéc líp N(0, 1))
C«ng thøc nµy cßn ®-îc gäi lµ ®Þnh lÝ Moivre-Laplace.
VÝ dô TØ lÖ häc sinh giái trong mét tr-êng phæ th«ng b»ng 25%.
1. T×m x¸c suÊt ®Ó khi chän ngÉu nhiªn 100 em, sè häc sinh giái dao ®éng tõ 10 ®Õn 20.
2. H·y t×m x¸c suÊt ®Ó khi chän ngÉu nhiªn 500 em, sè häc sinh giái kh«ng Ýt h¬n 120 em.
Gi¶i:
1. Gäi X lµ sè häc sinh giái trong sè 100 em chän ra, X cã ph©n bè nhÞ thøc víi p =0,25 n = 100.
P(X = k) = Ck
npk
qn−k
= Ck
100(0, 25)k
(0, 75)100−k
trong ®ã 0 k 100. Suy ra x¸c suÊt cÇn t×m
P(10 X 20) =
20
k=10
Ck
100(0, 25)k
(0, 75)100−k
.
§Ó tÝnh gÇn ®óng x¸c suÊt trªn, ¸p dông c«ng thøc Moivre-Laplace
P(10 X 20) ≈ Φ(b) − Φ(a).
trong ®ã
a =
10 − 100 · 0, 25 − 1
2
√
100 · 0, 25 · 0, 75
= −3, 58 vµ Φ(a) = Φ(−3, 58) = 0, 000172
b =
20 − 100 · 0, 25 + 1
2
√
100 · 0, 25 · 0, 75
= −1, 04 vµ Φ(b) = Φ(−1, 04) = 0, 14917
VËy
P(10 X 20) ≈ 0, 14917 − 0, 000172 = 0, 148998.
19

2. T-¬ng tù nh- phÇn 1, x¸c suÊt cÇn t×m xÊp xØ
1 − Φ(
120 − 500 · 0, 25 + 1
2
√
500 · 0, 25 · 0, 75
) = 1 − Φ(−0, 465) = 1 − 0, 32 = 0, 68.
Chó ý r»ng nÕu X cã ph©n bè nhÞ thøc mµ n kh¸ lín vµ p ®ñ nhá, cïng víi gi¶ thiÕt limn→∞ np = λ > 0, khi ®ã çc sè
h¹ng cña ph©n bè nhÞ thøc tiÕn dÇn tíi çc sè h¹ng t-¬ng øng cña ph©n bè Poisson
lim
n→∞
Ck
npk
(1 − p)n−k
= e−λ λk
k!
.
Nãi çch kh¸c trong tr-êng hîp nµy
Ck
npk
(1 − p)n−k ∼= e−np (np)k
k!
.
VÝ dô TØ lÖ phÕ phÈm ë mét c«ng ty may mÆc b»ng 1,2%. H·y t×m x¸c suÊt ®Ó trong mét l« hµng 500 chiÕc ¸o s¬ mi,
sè ¸o bÞ lçi kh«ng v-ît qu¸ 11 chiÕc.
p = 0.012 kh¸ nhá, ¸p dông c«ng thøc gÇn ®óng nªu trªn
P(X 11) ≈
11
k=0
e−np (np)k
k!
= 0, 98.
Ta cã thÓ minh häa sù xÊp xØ cña ph©n bè nhÞ thøc víi ph©n bè Poisson t-¬ng øng trong tr-êng hîp
p =
1
32
, n = 64.
b»ng b¶ng so s¸nh d-íi ®©y
Ph©n bè nhÞ thøc Ph©n bè Poisson
k Ck
npk
(1 − p)n−k
e−np (np)k
k!
0 0,131 0,135
1 0,271 0,271
2 0,275 0,271
3 0,183 0,180
4 0,090 0,090
5 0,035 0,036
6 0,011 0,012
7 0,003 0,003
8 0,001 0,001
9 0,000 0,000
(Çc kÕt qu¶ trªn ®-îc tÝnh b»ng Mathematica 4.0)
20

Thèng kª to¸n
1 MÉu ngÉu nhiªn vµ c¸c ®Æc tr-ng mÉu
XÐt mét mÉu ngÉu nhiªn
(X1, X2, ..., Xn)
t-¬ng øng víi ®¹i l-îng ngÉu nhiªn X
E(X) = m, D(X) = σ2
.
Gäi ξ lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn:
P(ξ = xi) =
1
n
víi mäi i = 1, 2, ..., n.
Khi ®ã E(ξ), D(ξ) ®-îc gäi lµ c¸c ®Æc tr-ng mÉu. Ng-êi ta kÝ hiÖu X = E(ξ) lµ k× väng mÉu vµ S2
= D(ξ) lµ ph-¬ng
sai mÉu. HiÓn nhiªn
X =
X1 + X2 + ... + Xn
n
=
1
n
n
i=1
Xi
vµ
S2
=
1
n
n
i=1
(Xi − X)2
=
1
n
n
i=1
X2
i − X
2
.
E(X) =
1
n
n
i=1
E(Xi) = m, D(X) =
1
n2
n
i=1
D(Xi) =
σ2
n
.
§Ó tÝnh k× väng cña ph-¬ng sai mÉu, ta sö dông
1
n
n
i=1
(Xi − X)2
=
1
n
n
i=1
X2
i − X
2
.
Suy ra
E(S2
) =
1
n
E
n
i=1
(Xi − X)2
=
1
n
n
i=1
E(X2
i ) − E(X
2
) =
=
1
n
n
i=1
(m2
+ σ2
) − m2
+
σ2
n
=
n − 1
n
σ2
.
KÝ hiÖu
S∗2
=
n
n − 1
S2
=
1
n − 1
n
i=1
(Xi − X)2
.
Khi ®ã
E(S∗2
) =
n
n − 1
·
n − 1
n
σ2
= σ2
.
S∗2
®-îc gäi lµ lµ ph-¬ng sai mÉu ®iÒu chØnh.
E(X) = m = E(X), E(S∗2
) = σ2
= D(X),
NhËn xÐt 1
1. X kh«ng nh÷ng héi tô theo x¸c suÊt mµ héi tô hÇu ch¾c ch¾n tíi m = E(X).
2. S2
, S∗2
héi tô hÇu ch¾c ch¾n (suy ra còng héi tô theo x¸c suÊt) tíi σ2
khi n → ∞.
21

2 C¸c hµm ph©n bè th-êng gÆp trong thèng kª
Hµm Gamma, Beta vµ tÝnh chÊt hµm Gamma, Beta
A. TÝch ph©n sau héi tô víi mäi x > 0, y > 0
Γ(x) =
+∞
0
e−t
tx−1
dt, B(x, y) =
1
0
tx−1
(1 − t)y−1
dt.
T¸ch Γ(x) thµnh hai tÝch ph©n
Γ(x) =
+∞
0
e−t
tx−1
dt =
1
0
e−t
tx−1
dt +
+∞
1
e−t
tx−1
dt = I1 + I2.
TÝch ph©n I1 héi tô v× víi 0 < x < 1, 0 < t 1, ta cã e−t
tx−1
< 1
t1−x .
TÝch ph©n I2 héi tô v× limt→+∞ e−t
tx+1
= 0, suy ra víi t ®ñ lín e−t
tx−1
< 1
t2 .
B. TÝch ph©n sau héi tô víi mäi x > 0, y > 0.
B(x, y) =
1
0
tx−1
(1 − t)y−1
dt.
T¸ch Γ(x) thµnh hai tÝch ph©n
B(x, y) =
1
0
tx−1
(1 − t)y−1
dt =
c
0
tx−1
(1 − t)y−1
dt +
1
c
tx−1
(1 − t)y−1
dt.
1. Γ(1) = 1.
2. Γ(x + 1) = xΓ(x). ThËt vËy víi x > 0, xÐt
Γ(x + 1) =
+∞
0
e−t
tx
dt = −
+∞
0
tx
de−t
= −tx
e−t
|+∞
0 +
+∞
0
xtx−1
e−t
dt = xΓ(x)
3. limx→0+ Γ(x) = limx→0+
Γ(x+1)
x = +∞.
4. Víi x − k > 0, k lµ sè tù nhiªn bÊt k×
Γ(x) = (x − 1)(x − 2) · · ·(x − k)Γ(x − k) ⇒ suy ra Γ(n) = (n − 1)!
5. Chó ý r»ng Γ(1
2 ) =
√
π, suy ra
Γ(n +
1
2
) =
1 · 3 · · ·(2n − 1)
2n
√
π =
(2n − 1)!!
2n
√
π
6. Ta c«ng nhËn kÕt qu¶ sau ®óng víi mäi sè thùc x > 0, y > 0
B(x, y) =
Γ(x)Γ(y)
Γ(x + y)
.
Ph©n bè Gamma, Beta
1. NÕu Xi ∈ N(mi, σ2
i ), i = 1, 2, ..., n ®éc lËp, khi ®ã trung b×nh mÉu
X =
X1 + X2 + · · · + Xn
n
∈ N(m, σ2
)
trong ®ã
m =
m1 + m2 + · · · + mn
n
, σ2
i =
σ2
1 + σ2
2 + · · · + σ2
n
n
.
22

2. Ph©n bè cña Y = X2
víi X ∈ N(m, σ2
). Hµm mËt ®é cña Y
g(y) = (2σ 2πy)−1
e
−(y+m2 )
2σ2 em
√
y
σ2 + e−m
√
y
σ2 .
NÕu m = 0
g(y) =
1
2σ
√
2π
e
−y
2σ2 y
−1
2 .
Ph©n bè cña Y = X2
lµ tr-êng hîp ®Æc biÖt cña ph©n bè Gamma: G(y, α, p) = const · e−αy
yp−1
.
3. Ph©n bè Gamma lµ ph©n bè cã hµm mËt ®é
G(x, α, p) =
αp
Γ(p)
· e−αx
xp−1
, α > 0, p > 0, x > 0.
M« men cÊp k cña ph©n bè Gamma
mk =
+∞
0
xk αp
Γ(p)
· e−αx
xp−1
dx =
+∞
0
αp
Γ(p)
· e−αx
xk+p−1
dx =
Γ(p + k)
αkΓ(p)
.
V× vËy k× väng vµ ph-¬ng sai cña ph©n bè Gamma lÇn l-ît b»ng
m =
p
α
, σ2
= m2 − m2
1 =
Γ(p + 2)
α2Γ(p)
−
p2
α2
=
p
α2
. (1)
Bµi tËp Gi¶ sö X ph©n bè ®Òu trªn ®o¹n [0, 1]. Chøng minh r»ng Y = − ln X cã ph©n bè Gamma víi çc tham
sè α = 1, p = 1.
4. Ph©n bè Beta lµ ph©n bè cã hµm mËt ®é
B(x, α, β) = [B(α, β)]−1
· xα−1
(1 − x)β−1
=
Γ(α + β)
Γ(α)Γ(β)
· xα−1
(1 − x)β−1
, 0 < x < 1.
§Æc biÖt B(x, 1, 1) = x lµ hµm mËt ®é cña ph©n bè ®Òu trªn ®o¹n [0, 1].
Bµi tËp 1. H·y tÝnh çc m« men cÊp k cña ph©n bè Beta. (B(α+k,β)
B(α,β)
).
Tõ ®ã suy ra k× väng vµ ph-¬ng sai cña nã. (m = α
α+β , σ2
= αβ
(α+β)2(α+β+1) ).
Bµi tËp 2. Gi¶ sö X vµ Y ®éc lËp cã ph©n bè Beta víi çc tham sè (α1, β1) vµ (α2, β2) t-¬ng øng. Chøng minh r»ng
XY còng cã cã ph©n bè Beta víi çc tham sè (α2, β1 + β2), nÕu α1 = α2 + β2.
H-íng dÉn: XÐt phÐp biÕn ®æi u = xy, v = x. Khi ®ã Jac«biªn b»ng 1
v . TÝch ph©n hµm mËt ®é chung cña (U, V )
theo v tõ u ®Õn 1 ta ®-îc mËt ®é cña XY .
Bµi tËp 3. Gi¶ sö X ∈ G(α1, 1) vµ Y ∈ G(α2, 1) ®éc lËp cã ph©n bè Gamma. Khi ®ã u = X
X+Y cã ph©n bè Beta víi
çc tham sè (α1, α2).
H-íng dÉn: XÐt phÐp biÕn ®æi u = x
x+y
, v = y. TÝch ph©n hµm mËt ®é chung theo v tõ 0 ®Õn ∞.
§Þnh lÝ 1 NÕu X ∈ G(α, p1), Y ∈ G(α, p2) ®éc lËp, khi ®ã r = X+Y vµ f = X
Y
còng ®éc lËp. Ngoµi ra r ∈ G(α, p1+p2)
vµ hµm mËt ®é cña f b»ng
Γ(p1 + p2)
Γ(p1)Γ(p2)
·
fp1−1
(1 + f)p1+p2
.
Chøng minh. Hµm mËt ®é cña (X, Y ) b»ng
c · e−αx−αy
xp1−1
yp2−1
.
§æi biÕn x = r sin2
ϕ, y = r cos2
ϕ, 0 < r < +∞, 0 < ϕ < π
2
, khi ®ã Jacobien cña (x, y) b»ng J(r, ϕ) = r sin2ϕ. MËt
®é cña (r, ϕ) b»ng
c · e−αr
rp1+p2−1
(sin ϕ)2p1−1
(cos ϕ)2p2−1
, (2)
®iÒu ®ã chøng tá r vµ ϕ ®éc lËp. Suy ra r = X + Y vµ f = X
Y = tg2
ϕ còng ®éc lËp. Tõ biÓu thøc (2) hiÓn nhiªn
r ∈ G(α, p1 + p2).
§Ó x¸c ®Þnh hµm mËt ®é cña f, ta sö dông phÐp ®æi biÕn ϕ = arctg
√
f, ta thu ®-îc kÕt qu¶
Γ(p1 + p2)
Γ(p1)Γ(p2)
·
fp1−1
(1 + f)p1+p2
.
Chó ý r»ng víi phÐp biÕn ®æi u = 1
1+f , khi ®ã
1
0
up2−1
(1 − u)p1−1
du =
∞
0
fp1−1
(1+f)p1+p2
df.
23

1. Ph©n bè χ2
.
NÕu Xi ∈ N(0, 1), i = 1, 2, ..., n ®éc lËp, khi ®ã ph©n bè cña X2
1 + X2
2 + · · · + X2
n ®-îc gäi lµ ph©n bè χ2
víi
n bËc tù do. Ng-êi ta th-êng kÝ hiÖu χ2
(n) lµ líp c¸c ®¹i l-îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè χ2
víi n bËc tù do. §©y
lµ tr-êng hîp ®Æc biÖt cña ph©n bè Gamma (α = 1
2, p = n
2 ) víi hµm mËt ®é
G(x,
1
2
,
n
2
) =
1
2
n
2 Γ(n
2
)
· e− x
2 x
n
2 −1
, x > 0.
Do ®¼ng thøc (1), k× väng vµ ph-¬ng sai cña ph©n bè χ2
(n) lÇn l-ît b»ng
m = n, σ2
= 2n.
2. Ph©n bè F.
NÕu X1 ∈ χ2
(m), X2 ∈ χ2
(n) ®éc lËp, khi ®ã ph©n bè cña
F =
1
m X1
1
n X2
®-îc gäi lµ ph©n bè F víi (m, n) bËc tù do.
MËt ®é cña X1
X2
b»ng
Γ(m+n
2 )
Γ(m
2 )Γ(n
2 )
·
f
m
2 −1
(1 + f)
m+n
2
.
MËt ®é cña ph©n bè F víi (m, n) bËc tù do b»ng
m
n
m
2
·
Γ(m+n
2
)
Γ(m
2
)Γ(n
2
)
·
x
m
2 −1
(1 + mx
n
)
m+n
2
.
3. Ph©n bè Student (hay cßn gäi lµ ph©n bè t).
NÕu X ∈ χ2
(n) vµ Y ∈ N(0, 1) ®éc lËp, khi ®ã ph©n bè cña
T =
Y
√
X
√
n
®-îc gäi lµ ph©n bè T (hay ph©n bè Student) víi n bËc tù do. Ph©n bè ®ång thêi cña (Y, X) b»ng
c · e− y2
2 e− x
2 x
n
2 −1
.
§æi biÕn y = r sin ϕ, x = r2
cos2
ϕ, 0 < r < +∞, −π
2 < ϕ < π
2 , khi ®ã Jacobien cña (x, y) b»ng J(r, ϕ) =
2r2
cos ϕ. MËt ®é cña (r, ϕ) b»ng
c · e− r2
2 rn
(cos ϕ)n−1
,
®iÒu ®ã chøng tá r vµ ϕ ®éc lËp. Chó ý r»ng hÖ sè c cña c(cos ϕ)n−1
b»ng c = [B(1
2, n
2 )]−1
. §Ó x¸c ®Þnh hµm
mËt ®é cña T, ta sö dông phÐp ®æi biÕn
t =
√
ny
√
x
=
√
ntgϕ hay ϕ = arctg
t
√
n
,
ta ®-îc hµm mËt ®é cña ph©n bè T víi n bËc tù do
S(t, n) =
√
nB
1
2
,
n
2
−1
1 +
t2
n
− n+1
2
=
Γ(n+1
2 )
√
nΓ(n
2 )Γ(1
2)
1 +
t2
n
− n+1
2
.
NÕu X
σ2 ∈ χ2
(n) vµ Y ∈ N(m, σ2
) ®éc lËp, khi ®ã
T =
Y − m
√
X
√
n
cã ph©n bè Student víi n bËc tù do.
KÝ hiÖu S(n) lµ líp c¸c ®¹i l-îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè Student víi n bËc tù do.
24

4. Ph©n bè cña trung b×nh mÉu vµ ph-¬ng sai mÉu.
NÕu Xi ∈ N(m, σ2
), i = 1, 2, ...,n ®éc lËp, khi ®ã
X =
X1 + X2 + · · · + Xn
n
∈ N m,
σ2
n
vµ
n
σ2
S2
=
n − 1
σ2
S∗2
∈ χ2
(n − 1).
ThËt vËy, kÝ hiÖu X = (X1, ..., Xn)T
vµ xÐt phÐp biÕn ®æi trùc giao Y = AX víi ( 1√
n
, 1√
n
, · · · , 1√
n
) lµ hµng thø
nhÊt cña A. Khi ®ã
(a) Y1 = X
√
n
(b) Y 2
1 + · · · + Y 2
n = X2
1 + · · · + X2
n = (Xi − X)2
+ nX
2
⇔ Y 2
2 + · · · + Y 2
n = (n − 1)S∗2
(c) Víi vÐc t¬ m = (m, m, ..., m), ta cã A(X − m) = Y − (m
√
n, 0, ...,0) = (Y1 − m
√
n, Y2, ..., Yn). Suy ra
(Y1 − m
√
n)2
+ Y2 + · · · + Y 2
n = (X1 − m)2
+ (X2 − m)2
+ · · · + (Xn − m)2
.
BiÕt hµm mËt ®é cña X b»ng
c · e−
(xi−m)2
2σ2 .
VËy mËt ®é cña Y b»ng
c · e−
(y1−m
√
n)2+y2+···+y2
n
2σ2 .
§iÒu ®ã chøng tá Y1 = X
√
n ∈ N(m
√
n, σ2
), Yi ∈ N(0, σ2
), i = 2, ..., n ®éc lËp vµ
(n − 1)S∗2
σ2
=
Y 2
2 + · · · + Y 2
n
σ2
∈ χ2
(n − 1).
B©y giê ta suy ra hÖ qu¶ quan träng: T cã ph©n bè Student víi n − 1 bËc tù do, víi
T =
X − m
S∗
√
n =
X − m
S
√
n − 1.
ThËt vËy T b»ng th-¬ng cña 2 ®¹i l-îng ngÉu nhiªn
T =
√
n − 1
X − m
σ
√
n :
S
√
n
σ
trong ®ã X−m
σ
√
n ∈ N(0, 1) vµ nS2
σ2 = (n−1)S∗2
σ2 ∈ χ2
(n − 1).
25

3 Kho¶ng tin cËy cho gi¸ trÞ trung b×nh
(a) MÉu cã ph©n bè chuÈn víi ph-¬ng sai σ2
®· cho. Kho¶ng tin cËy cho
gi¸ trÞ trung b×nh, víi ®é tin cËy 1 − α
X − uα
σ
√
n
< m < X + uα
σ
√
n
,
trong ®ã uα ®-îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P(|u| ≥ uα) = α, u ∈ N(0, 1).
(b) MÉu cã ph©n bè chuÈn víi ph-¬ng sai ch-a biÕt. Kho¶ng tin cËy cho
gi¸ trÞ trung b×nh, víi ®é tin cËy 1 − α
X − tα
S∗
√
n
< m < X + tα
S∗
√
n
,
trong ®ã tα ®-îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P(|t| ≥ tα) = α
(t cã ph©n bè Student víi n − 1 bËc tù do.)
NÕu kÝch th-íc mÉu ®ñ lín (n ≥ 30), mÆc dï ph©n bè mÉu cã thÓ kh«ng
lµ ph©n bè chuÈn, tuy nhiªn ¸p dông luËt giíi h¹n trung t©m ta cã thÓ
sö dông c«ng thøc sau ®Ó tÝnh kho¶ng tin cËy cho gi¸ trÞ trung b×nh,
®é tin cËy 1 − α
X − uα
S∗
√
n
< m < X + uα
S∗
√
n
,
4 Kho¶ng tin cËy cho x¸c suÊt
Cho biÕn cè ngÉu nhiªn víi x¸c suÊt p cÊn ph¶i -íc l-îng. Gi¶ thiÕt p = k
n
lµ tÇn suÊt xuÊt hiÖn cña biÕn cè ®ã. (KÝch th-íc mÉu ®ñ lín - th«ng th-êng
n ≥ 40). Khi ®ã víi ®é tin cËy 1 − α, kho¶ng tin cËy cho x¸c suÊt
p −
uα
√
n
p(1 − p) < p < p +
uα
√
n
p(1 − p),
5 Kho¶ng tin cËy cho ph-¬ng sai cña ph©n bè chuÈn
MÉu cã ph©n bè chuÈn víi ph-¬ng sai σ2
cÊn ph¶i -íc l-îng. Víi ®é tin
cËy 1 − α, kho¶ng tin cËy cho σ2
nS2
χ2
α
2
< σ2
<
nS2
χ2
1− α
2
trong ®ã χ2
α ®-îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P(χ2
> χ2
α) = α,
(χ2
lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè χ2
víi (n − 1) bËc tù do).
26

6 Kho¶ng tin cËy cho hiÖu çc gi¸ trÞ trung b×nh cña ph©n bè chuÈn
6.1 Tr-êng hîp ph-¬ng sai ®· biÕt
Gäi (X1, X2, ..., Xm) lµ mÉu ngÉu nhiªn t-¬ng øng víi ®¹i l-îng ngÉu nhiªn X ∈ N(m1, σ2
1), (Y1, Y2, ..., Yn) lµ mÉu
ngÉu nhiªn t-¬ng øng víi ®¹i l-îng ngÉu nhiªn Y ∈ N(m2, σ2
2). Çc tham sè m1, m2 ch-a biÕt vµ σ2
1, σ2
2 lµ çc tham
sè ®· biÕt. Gi¶ thiÕt tiÕp çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn
X1, X2, ..., Xm, Y1, Y2, ..., Yn
®éc lËp nhau.
DÔ dµng nhËn thÊy
E(X − Y ) = m1 − m2
D(X − Y ) = D(X) + D(Y ) =
σ2
1
m
+
σ2
2
n
Suy ra
u =
(X − Y ) − (m1 − m2)
σ2
1
m
+
σ2
2
n
cã ph©n bè chuÈn, thuéc líp N(0,1).
Kho¶ng tin cËy cho hiÖu çc gi¸ trÞ trung b×nh m1 − m2 víi ®é tin cËy 1 − α
(X − Y ) − uα
σ2
1
m
+
σ2
2
n
< m1 − m2 < (X − Y ) + uα
σ2
1
m
+
σ2
2
n
,
trong ®ã uα ®-îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P((|u| ≥ uα) = α, u ∈ N(0, 1).
NÕu n1, n2 ®ñ lín (≥ 30), ta xÊp xØ c«ng thøc trªn cho hiÖu çc gi¸ trÞ
trung b×nh m1 − m2 c¶ trong tr-êng hîp çc mÉu ®· cho kh«ng tu©n
theo ph©n bè chuÈn, sö dông S∗
1 vµ S∗
2 thay cho σ1, σ2 t-¬ng øng trong
c«ng thøc trªn.
6.2 Tr-êng hîp çc ph-¬ng sai ch-a biÕt vµ b»ng nhau
Gäi (X1, X2, ..., Xm) lµ mÉu ngÉu nhiªn t-¬ng øng víi ®¹i l-îng ngÉu nhiªn X ∈ N(m1, σ2
), (Y1, Y2, ..., Yn) lµ mÉu
ngÉu nhiªn t-¬ng øng víi ®¹i l-îng ngÉu nhiªn Y ∈ N(m2, σ2
). (Chóng cã ph-¬ng sai b»ng nhau). Çc tham sè
m1, m2, σ2
ch-a biÕt vµ gi¶ thiÕt r»ng çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn
X1, X2, ..., Xm, Y1, Y2, ..., Yn
®éc lËp nhau.
DÔ dµng nhËn thÊy
E(X − Y ) = m1 − m2
D(X − Y ) = D(X) + D(Y ) =
σ2
m
+
σ2
n
= σ
m + n
mn
2
Suy ra
u =
(X − Y ) − (m1 − m2)
σ m+n
mn
cã ph©n bè chuÈn, thuéc líp N(0,1). DÔ dµng chøng minh ®-îc
mS2
X + nS2
Y
m + n − 2
27

lµ -íc l-îng kh«ng chÖch cña σ2
. Ng-êi ta chøng minh ®-îc r»ng (thay σ2
trong thèng kª trªn b»ng -íc l-îng cña
nã)
t =
(X − Y ) − (m1 − m2)
mS2
X +nS2
Y
m+n−2
m+n
mn
=
mn(m + n − 2)
m + n
·
(X − Y ) − (m1 − m2)
mS2
X + nS2
Y
cã ph©n bè Student víi m + n − 2 bËc tù do.
§Æc biÖt khi hai gi¸ trÞ trung b×nh b»ng nhau m1 = m2
t =
mn(m + n − 2)
m + n
·
X − Y
mS2
X + nS2
Y
còng cã ph©n bè Student víi m + n − 2 bËc tù do.
Kho¶ng tin cËy cho hiÖu c¸c gi¸ trÞ trung b×nh m1 − m2 víi ®é tin cËy 1 − α b»ng
MÉu {Xi}m
i=1 ∈ N(m1, σ2
) {Yi}n
i=1 ∈ N(m2, σ2
), cã ph©n bè chuÈn víi
ph-¬ng sai σ2
ch-a biÕt. Gi¶ thiÕt c¸c phÇn tö mÉu ®ã ®éc lËp nhau.
(X − Y ) − S.tα
m + n
mn
< m1 − m2 < (X − Y ) + S.tα
m + n
mn
,
trong ®ã kÝ hiÖu S2
=
mS2
X + nS2
Y
m + n − 2
vµ tα ®-îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc
P(|t| ≥ tα) = α (t cã ph©n bè Student víi m + n − 2 bËc tù do.)
7 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ gi¸ trÞ trung b×nh (tr-êng hîp σ2
®· biÕt)
Bµi to¸n 1 vµ quy t¾c kiÓm ®Þnh
®· cho. KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ k×
väng mÉu, møc ý nghÜa α
(H) : m = m0,
víi ®èi thiÕt
(K) : m = m0.
Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕu
X − m0
σ
√
n = |uqs| > uα,
Bµi to¸n 2 vµ quy t¾c kiÓm ®Þnh
28

(H) : m = m0,
víi ®èi thiÕt
(K) : m > m0.
X − m0
σ
√
n = uqs > uα,
trong ®ã uα ®-îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P((u ≥ uα) = α, u ∈ N(0, 1).
(H) : m m0,
víi ®èi thiÕt
(K) : m > m0.
X − m0
σ
√
n = uqs > uα,
(H) : m = m0 hoÆc (H) : m m0
víi ®èi thiÕt
(K) : m > m0.
X − m0
σ
√
n = uqs > uα,
Hoµn toµn t-¬ng tù, chóng ta sÏ xÐt bµi to¸n kiÓm ®Þnh 1 phÝa n÷a
Bµi to¸n 3
29

(H) : m = m0 hoÆc (H) : m ≥ m0
víi ®èi thiÕt
(K) : m < m0.
X − m0
σ
√
n = uqs < −uα,
8 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ gi¸ trÞ trung b×nh (tr-êng hîp σ2
ch-a biÕt)
ch-a biÕt. KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ
k× väng mÉu, møc ý nghÜa α
(a) Bµi to¸n 1
(H) : m = m0
víi ®èi thiÕt
(K) : m = m0.
X − m0
S∗
√
n > tα,
(b) Bµi to¸n 2
(H) : m = m0 hoÆc (H) : m m0
víi ®èi thiÕt
(K) : m > m0.
Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕu tqs =
X − m0
S∗
√
n > tα,
trong ®ã tα ®-îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P(t ≥ tα) = α
(c) Bµi to¸n 3
(H) : m = m0 hoÆc (H) : m ≥ m0
víi ®èi thiÕt
(K) : m < m0.
Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕu tqs =
X − m0
S∗
√
n < −tα,
30

9 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ sù b»ng nhau cña çc gi¸ trÞ trung b×nh
9.1 Tr-êng hîp ph-¬ng sai ®· biÕt
MÉu {Xi}m
i=1 ∈ N(m1, σ2
1) {Yi}n
i=1 ∈ N(m2, σ2
2), cã ph©n bè chuÈn víi
ph-¬ng sai σ2
1, σ2
2 ®· biÕt. KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ k× väng mÉu, møc ý nghÜa
α
(a) Bµi to¸n 1
(H) : m1 = m2
víi ®èi thiÕt
(K) : m1 = m2.
X − Y
σ2
1
m +
σ2
2
n
> uα,
trong ®ã uα ®-îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P((|u| ≥ uα) = α, u ∈ N(0, 1).
(b) Bµi to¸n 2
(H) : m1 = m2 hoÆc (H) : m1 m2
víi ®èi thiÕt
(K) : m1 > m2.
X − Y
σ2
1
m
+
σ2
2
n
> uα,
(c) Bµi to¸n 3
(H) : m1 = m2 hoÆc (H) : m1 ≥ m2
víi ®èi thiÕt
(K) : m1 < m2.
X − Y
σ2
1
m +
σ2
2
n
< −uα,
NÕu mÉu cã kÝch th-íc ®ñ lín (m, n > 30), mét çch xÊp xØ kh¸ tèt lµ
¸p dông quy t¾c nªu trªn ®Ó kiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt kh«ng, kÓ c¶ tr-êng
hîp ph©n bè mÉu kh«ng cã ph©n bè chuÈn, thay çc ph-¬ng sai σ2
1, σ2
2
trong thèng kª u b»ng çc ph-¬ng sai mÉu ®iÒu chØnh S∗2
X vµ S∗2
Y .
31

9.2 Tr-êng hîp c¸c ph-¬ng sai ch-a biÕt vµ b»ng nhau
MÉu {Xi}m
i=1 ∈ N(m1, σ2
) {Yi}n
i=1 ∈ N(m2, σ2
), cã ph©n bè chuÈn víi
ph-¬ng sai σ2
ch-a biÕt. KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ k× väng mÉu, møc ý nghÜa
α
(a) Bµi to¸n 1
(H) : m1 = m2
víi ®èi thiÕt
(K) : m1 = m2.
mn(m + n − 2)
m + n
·
X − Y
mS2
X + nS2
Y
> tα,
(t cã ph©n bè Student víi m + n − 2 bËc tù do.)
(b) Bµi to¸n 2
(H) : m1 = m2 hoÆc (H) : m1 m2
víi ®èi thiÕt
(K) : m1 > m2.
mn(m + n − 2)
m + n
·
X − Y
mS2
X + nS2
Y
> tα,
(c) Bµi to¸n 3
(H) : m1 = m2 hoÆc (H) : m1 ≥ m2
víi ®èi thiÕt
(K) : m1 < m2.
mn(m + n − 2)
m + n
·
X − Y
mS2
X + nS2
Y
< −tα,
32

10 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ sù b»ng nhau cña çc ph-¬ng sai
Gi¶ sö {Xi}m
i=1 ∈ N(m1, σ2
X) {Yi}n
i=1 ∈ N(m2, σ2
Y ) lµ çc mÉu hoµn toµn
®éc lËp, cã ph©n bè chuÈn. KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ çc ph-¬ng sai, víi møc
ý nghÜa α. Ta s¾p xÕp sao cho S∗
X
2
> S∗
Y
2
(a) Bµi to¸n 1
(H) : σ2
X = σ2
Y
víi ®èi thiÕt
(K) : σ2
X = σ2
Y .
S∗
X
2
S∗
Y
2 > Fα/2,
trong ®ã Fα/2 ®-îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P(F ≥ Fα/2) =
α
2
(F lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ph©n bè F víi m − 1, n − 1 bËc tù do.)
(b) Bµi to¸n 2
(H) : σ2
X = σ2
Y hoÆc (H) : σ2
X ≤ σ2
Y
víi ®èi thiÕt
(K) : σ2
X > σ2
Y .
S∗
X
2
S∗
Y
2
> Fα,
trong ®ã Fα ®-îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P(F ≥ Fα) = α
(F lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ph©n bè F víi m − 1, n − 1 bËc tù do.)
11 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ x¸c suÊt cña biÕn cè ngÉu nhiªn
Gi¶ söA lµ biÕn cè ngÉu nhiªn cã x¸c suÊt P(A) = p ch-a biÕt. Ta sö dông -íc l-îng
p = X =
X1 + X2 + · · · + Xn
n
trong ®ã Xi b»ng 1 hoÆc 0 tïy theo biÕn cè A x¶y ra hoÆc kh«ng x¶y ra ë phÐp thö ngÉu nhiªn thø i, i = 1, 2, ..., n.
(p thùc chÊt lµ tÇn suÊt xuÊt hiÖn cña biÕn cè A). Khi ®ã np cã ph©n bè nhÞ thøc víi
E(np) = np, D(np) = npq, q = 1 − p
víi møc ý nghÜa α cho tr-íc
Ta ®· biÕt, theo ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m
np − np
√
npq
=
√
n
p − p
√
pq
cã ph©n bè xÊp xØ chuÈn (≈ N(0, 1)) khi n ®ñ lín. V× vËy sö dông thèng kª
u = uqs =
√
n
p − p0
p0(1 − p0)
,
u cã ph©n bè xÊp xØ chuÈn N(0,1), khi gi¶ thiÕt (H): p = p0 ®óng.
33

KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ x¸c suÊt cña biÕn cè ngÉu nhiªn.
Gi¶ thiÕt kÝch th-íc mÉu n ®ñ lín (n ≥ 40). KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ x¸c
suÊt, møc ý nghÜa α
(a) Bµi to¸n 1
(H) : p = p0
víi ®èi thiÕt
(K) : p = p0.
√
n
p − p0
p0(1 − p0)
> uα,
trong ®ã uα ®-îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P(|u| ≥ uα) = α
(u cã ph©n bè chuÈn u ∈ N(0, 1).)
(b) Bµi to¸n 2
(H) : p = p0 hoÆc (H) : p p0
víi ®èi thiÕt
(K) : p > p0.
√
n
p − p0
p0(1 − p0)
> uα,
trong ®ã uα ®-îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P(u ≥ uα) = α
(c) Bµi to¸n 3
(H) : p = p0 hoÆc (H) : p ≥ p0
víi ®èi thiÕt
(K) : p < p0.
√
n
p − p0
p0(1 − p0)
< −uα,
trong ®ã uα ®-îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc P(u ≥ uα) = α
Trong bµi to¸n 2, bµi to¸n 3, uα ®-îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc
P(u > uα) = α
trong khi ®ã ë bµi to¸n 1, uα ®-îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc
P(|u| > uα) = α
34

12 KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt vÒ tÝnh phï hîp cña hµm ph©n bè
Gi¶ thiÕt mÉu ngÉu nhiªn gåm n phÇn tö mÉu. Çc phÇn tö mÉu ®-îc ph©n
lo¹i thµnh r nhãm: mçi nhãm chøa ni phÇn tö mÉu, mçi phÇn tö mÉu chØ
thuéc mét nhãm duy nhÊt
n = n1 + n2 + ... + nr =
r
i=1
ni.
XÐt bµi to¸n kiÓm ®Þnh møc ý nghÜa α, gi¶ thiÕt kh«ng sau ®©y:
(H) : X¸c suÊt ®Ó mçi phÇn tö mÉu thuéc nhãm thø i b»ng pi
víi mäi i = 1, 2, ...,r (
r
i=1
pi = 1).
Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕu Q2
=
r
i=1
(ni − npi)2
npi
> χ2
α,
trong ®ã χ2
> χ2
α) = α,
(χ2
víi r − 1 bËc tù do).
Ng-êi ta còng sö dông ph©n bè χ2
®Ó kiÓm ®Þnh çc bµi to¸n vÒ tÝnh phï hîp cña hµm ph©n bè. XÐt bµi to¸n
kiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt:
(H): Mét ®¹i l-îng ngÉu nhiªn X nµo ®ã cã ph©n bè d¹ng F(x, Θ) víi ®èi thiÕt ng-îc l¹i.
Gi¶ sö tham sè Θ = (Θ1, Θ2, ..., Θk) lµ vÐc t¬, gåm k tham sè t¹o thµnh (ch¼ng h¹n nh- d¹ng ph©n bè chuÈn
F(x, Θ) = F(x, m, σ2
) ∈ N(m, σ2
) gåm 2 tham sè thµnh phÇn).
§Ó gi¶i bµi to¸n ®ã, ng-êi ta chän mét mÉu ngÉu nhiªn
(X1, X2, ..., Xn)
t-¬ng øng víi ®¹i l-îng ngÉu nhiªn X vµ chia çc phÇn tö mÉu vµo r nhãm: mçi nhãm chøa ni phÇn tö mÉu, mçi
phÇn tö mÉu chØ thuéc mét nhãm duy nhÊt
n = n1 + n2 + ... + nr =
r
i=1
ni.
Gi¶ sö pi lµ x¸c suÊt ®Ó ®¹i l-îng ngÉu nhiªn X nhËn çc gi¸ trÞ thuéc nhãm thø i, i = 1, 2, ..., r víi ®iÒu kiÖn gi¶
thiÕt (H) ®óng. Khi ®ã
1 = p1 + p2 + ... + pr
HiÓn nhiªn ni lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè nhÞ thøc víi k× väng E(ni) = npi. XÐt thèng kª
Q2
=
r
i=1
(ni − npi)2
npi
trong ®ã pi, i = 1, 2, ...,r lµ x¸c suÊt ®Ó X nhËn çc gi¸ trÞ thuéc nhãm thø i, x¸c suÊt ®ã ®-îc tÝnh th«ng qua hµm
ph©n bè F(x, Θ) mµ Θ = (Θ1, Θ2, ..., Θk) lµ çc -íc l-îng hîp lÝ cùc ®¹i cña çc tham sè Θ1, Θ2, ..., Θk.
Ng-êi ta ®· chøng minh ®-îc r»ng víi n ®ñ lín vµ gi¶ thiÕt (H) lµ ®óng khi ®ã Q2
sÏ cã ph©n bè xÊp xØ ph©n bè
χ2
víi r − k − 1 bËc tù do, k lµ sè tham sè cña ph©n bè F(x, Θ) trong gi¶ thiÕt (H).
(Gi¶ sö ph©n bè F(x, Θ) lµ ph©n bè chuÈn N(m, σ2
), Θ ®-îc coi nh- vÐc t¬ (m, σ2
) vµ sè tham sè cña ph©n bè
b»ng k = 2, tr-êng hîp F(x, λ) lµ ph©n bè mò ch¼ng h¹n sè tham sè cña ph©n bè lµ k = 1,...)
MiÒn b¸c bá cña kiÓm ®Þnh do vËy lµ
W = {(X1, X2, ..., Xn) ∈ Rn
/
r
i=1
(ni − npi)2
npi
> χ2
α}.
35

trong ®ã χ2
> χ2
α) = α, (χ2
víi r − k − 1 bËc
tù do). Ta tãm t¾t quy t¾c trªn trong b¶ng sau
KiÓm ®Þnh sù phï hîp víi hµm ph©n bè chøa tham sè ch-a biÕt.
Gi¶ thiÕt mÉu ngÉu nhiªn gåm n phÇn tö mÉu. Çc phÇn tö mÉu ®-îc ph©n
lo¹i thµnh r nhãm: mçi nhãm chøa ni phÇn tö mÉu, mçi phÇn tö mÉu chØ
thuéc mét nhãm duy nhÊt
n = n1 + n2 + ... + nr =
r
i=1
ni.
XÐt bµi to¸n kiÓm ®Þnh møc ý nghÜa α, gi¶ thiÕt kh«ng sau ®©y:
(H) : MÉu ngÉu nhiªn cã ph©n bè d¹ng F(x, Θ)
Quy t¾c: B¸c bá (H) nÕu Q2
=
r
i=1
(ni − npi)2
npi
> χ2
α,
trong ®ã pi, i = 1, 2, ..., r lµ x¸c suÊt ®Ó X nhËn çc gi¸ trÞ thuéc
nhãm thø i, x¸c suÊt ®ã ®-îc tÝnh th«ng qua hµm ph©n bè F(x, Θ) mµ
Θ = (Θ1, Θ2, ..., Θk) lµ çc -íc l-îng hîp lÝ cùc ®¹i cña çc tham sè
Θ1, Θ2, ..., Θk.
Ph©n vÞ χ2
> χ2
α) = α,
(χ2
víi r − k − 1 bËc tù do).
13 KiÓm ®Þnh vÒ tÝnh ®éc lËp
Ng-êi ta cã thÓ kiÓm ®Þnh vÒ tÝnh ®éc lËp cña çc biÕn cè ngÉu nhiªn, çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn. Chóng ta tr×nh bµy
vÊn ®Ò d-íi d¹ng sau ®©y:
Cho hai hÖ ®Çy ®ñ çc biÕn cè
A1, A2, ..., Ar; B1, B2, ..., Bs.
H·y kiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt hai hÖ ®ã ®éc lËp:
(H): P(AiBj) = P(Ai)P(Bj) víi mäi i = 1, 2, ..., r;j = 1, 2, ...,s.
XÐt mét mÉu ngÉu nhiªn cì n (mÉu gåm n phÇn tö mÉu). Ta ®-a vµo çc kÝ hiÖu sau:
nij lµ sè lÇn x¶y ra biÕn cè tÝch AiBj trong tËp hîp çc phÇn tö mÉu.
ni. =
s
j=1 nij lµ sè lÇn x¶y ra biÕn cè Ai.
n.j =
r
i=1 nij lµ sè lÇn x¶y ra biÕn cè Bj.
HiÓn nhiªn
r
i=1
ni. =
s
j=1
n.j = n
vµ
r
i=1
s
j=1
nij = n.
36

C¸c sè nij ®-îc xÕp vµo b¶ng sau ®©y:
j 1 2 . . . s Tæng
i
1 n11 n12 · · · n1s n1.
2 n21 n22 · · · n2s n2.
. · · · .
. · · · .
. · · · .
r nr1 nr2 · · · nrs nr.
Tæng n.1 n.2 · · · n.s n
Ta tãm t¾t quy t¾c kiÓm ®Þnh trong b¶ng sau
KiÓm ®Þnh vÒ tÝnh ®éc lËp.
Cho hai hÖ ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè
A1, A2, ..., Ar; B1, B2, ..., Bs.
H·y kiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt hai hÖ ®ã ®éc lËp, víi møc ý nghÜa b»ng α:
(H) : P(AiBj) = P(Ai)P(Bj) víi mäi i = 1, 2, ...,r; j = 1, 2, ...,s.
r
i=1
s
j=1
nij −
ni.n.j
n
2
ni.n.j
n
> χ2
α,
trong ®ã χ2
> χ2
α) = α,
(χ2
víi (r − 1)(s − 1) bËc tù do).
Chó ý r»ng xÊp xØ t-¬ng ®èi tèt nÕu ni.n.j
n2 ≥ 5 víi mäi i, j.
37

14 Håi quy b×nh ph-¬ng trung b×nh tuyÕn tÝnh
14.1 Çc ®Æc tr-ng mÉu
Trong lÝ thuyÕt x¸c suÊt, chóng ta biÕt r»ng ®Ó ®o mèi quan hÖ gi÷a hai hoÆc nhiÒu ®¹i l-îng ngÉu nhiªn, ng-êi ta
th-êng tÝnh m« men t-¬ng quan, hÖ sè t-¬ng quan gi÷a chóng.
cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))], (X, Y ) =
cov(X, Y )
σxσy
=
E[(X − E(X))(Y − E(Y ))]
D(X) D(X)
.
NÕu X vµ Y lµ hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp khi ®ã hÖ sè t-¬ng quan (X, Y ) = 0. Tr-êng hîp | (X, Y )| = 1,
gi÷a X vµ Y cã mèi quan hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh Y = aX + b. Trong thèng kª, thay v× hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn
X, Y ta xÐt mÉu ngÉu nhiªn
(X1, Y1), (X2, Y2), ..., (Xn, Yn)
Cã thÓ coi chóng nh- çc ®iÓm ngÉu nhiªn trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é. Khi ®ã m« men t-¬ng quan mÉu vµ hÖ sè t-¬ng
quan mÉu ®-îc ®Þnh nghÜa
C(X, Y ) =
1
n
n
i=1
(Xi − X)(Yi − Y ) =
1
n
n
i=1
XiYi − X · Y
r =
1
n
n
i=1(Xi − X)(Yi − Y )
SY SY
=
1
n
n
i=1 XiYi − X · Y
SX SY
,
trong ®ã S2
X , S2
Y lµ ph-¬ng sai mÉu cña X, Y t-¬ng øng
S2
X =
1
n
n
i=1
(Xi − X)2
=
1
n
n
i=1
X2
i − X
2
, S2
Y =
1
n
n
i=1
(Yi − Y )2
=
1
n
n
i=1
Y 2
i − Y
2
.
DÔ dµng chøng minh ®-îc
r =
1
n−1
n
i=1(Xi − X)(Yi − Y )
S∗
X S∗
Y
=
n
i=1 XiYi − nX · Y
n
i=1 X2
i − nX
2 n
i=1 Y 2
i − nY
2
.
Mét vµi lÖnh EXCEL ®Ó tÝnh çc ®Æc tr-ng mÉu
• Trung b×nh mÉu X = AV ERAGE(x1, x2, ..., xn)
• Tæng b×nh ph-¬ng ®é lÖch nS2
X = DEV SQ(x1, x2, ..., xn) =
n
i=1(xi − x)2
.
• Ph-¬ng sai mÉu ®iÒu chØnh S∗2
= V AR(x1, x2, ..., xn)
• Covarian mÉu (t-¬ng quan mÉu) C(X, Y ) = COV AR({x1, x2, ..., xn}, {y1, y2, ..., yn})
• Ph-¬ng sai mÉu S2
X = COV AR(X, X) = COV AR({x1, x2, ..., xn}, {x1, x2, ..., xn})
• HÖ sè t-¬ng quan mÉu r(X, Y ) = CORREL({x1, x2, ..., xn}, {y1, y2, ..., yn}).
Ch¼ng h¹n ta xÐt bµi to¸n dù b¸o ®Ønh lò hµng n¨m trªn s«ng Hång t¹i Hµ néi, ng-êi ta thu thËp çc sè liÖu hµng
n¨m vÒ l-îng m-a trong th¸ng S¸u trªn th-îng nguån s«ng Hång (Xi) vµ ®Ønh lò t-¬ng øng víi n¨m ®ã t¹i Hµ néi
(Yi). Çc sè liÖu gi¶ ®Þnh nh»m gióp ®éc gi¶ nghiªn cøu çch sö dông håi quy trong c«ng viÖc dù b¸o ®-îc cho trong
b¶ng d-íi ®©y
STT N¨m L-îng m-a (X) §Ønh lò (Y ) STT N¨m L-îng m-a (X) §Ønh lò (Y )
1 1969 720 1405 13 1981 690 1337
2 1970 720 1405 14 1982 500 960
3 1971 730 1439 15 1983 460 879
4 1972 590 1133 16 1984 610 1176
5 1973 660 1272 17 1985 710 1382
6 1974 780 1519 18 1986 620 1178
7 1975 770 1524 19 1987 660 1271
8 1976 710 1364 20 1988 620 1194
9 1977 640 1253 21 1989 590 1161
10 1978 670 1324 22 1990 740 1449
11 1979 520 1002 23 1991 640 1225
12 1980 660 1303 24 1992 805 1377
38

NÕu ta minh ho¹ çc cÆp sè liÖu (xi, yi), i = 1, 2, ..., 24 trong b¶ng trªn b»ng çc ®iÓm trªn mÆt ph¼ng, chóng ta
c¶m nhËn thÊy mét mèi liªn hÖ gi÷a l-îng m-a (X) hµng n¨m vµ ®Ønh lò t¹i Hµ néi (Y ), l-îng m-a cµng lín th× lò
do m-a g©y nªn cµng cao. HÖ sè t-¬ng quan mÉu sÏ gi¶i thÝch mèi quan hÖ gi÷a hai ®¹i l-îng: l-îng m-a hµng n¨m
vµ ®Ønh lò t¹i Hµ néi. §Ó tÝnh hÖ sè t-¬ng quan mÉu gi÷a chóng, ta tÝnh çc ®Æc tr-ng k× väng mÉu vµ ph-¬ng sai
mÉu cña X vµ Y
x y S2
x S2
y
1
n
n
i=1 xi
1
n
n
i=1 yi
1
n
n
i=1(xi − x)2 1
n
n
i=1(yi − y)2
658,95833 1272,16667 85, 024252
163, 50712
HÖ sè t-¬ng quan mÉu do vËy b»ng
r =
1
n
n
i=1(xi − x)(yi − y)
SxSy
= 0, 97045.
Dùa vµo hÖ sè t-¬ng quan mÉu, sau nµy ng-êi ta gi¶i thÝch ®-îc møc ®é liªn hÖ gi÷a hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn X
vµ Y khi biÓu diÔn chóng th«ng qua mèi quan hÖ tuyÕn tÝnh.
14.2 Håi quy d¬n gi¶n
Gi¶ sö
(X1, Y1), (X2, Y2), ..., (Xn, Yn)
lµ mÉu ngÉu nhiªn t-¬ng øng víi hai ®¹i l-îng ngÉu nhiªn X vµ Y . Ch¼ng h¹n khi xÐt bµi to¸n dù b¸o ®Ønh lò hµng
n¨m trªn s«ng Hång t¹i Hµ néi ®· nãi trong môc tr-íc. Chóng ta c¶m nhËn ®-îc mèi liªn hÖ gi÷a l-îng m-a (X)
hµng n¨m vµ ®Ønh lò t¹i Hµ néi (Y ), tuy nhiªn kh«ng cã th«ng tin nµo h¬n vÒ mèi liªn hÖ thùc gi÷a X vµ Y , khi ®ã ta
gi¶ thiÕt gi÷a chóng cã mèi quan hÖ tuyÕn tÝnh (bËc nhÊt). MÆt kh¸c do chóng ta xem l-îng m-a vµ ®Ønh lò lµ çc
®¹i l-îng ngÉu nhiªn, v× vËy khi dù b¸o l-îng m-a Y víi ®iÒu kiÖn l-îng m-a X b»ng mét gi¸ trÞ x nµo ®ã, ta chØ
cã thÓ kh¶o s¸t hµm ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña Y . (X cßn gäi lµ biÕn ®éc lËp vµ Y ®-îc gäi lµ biÕn phô thuéc). §Æc
tr-ng quan träng cña ph©n bè cã ®iÒu kiÖn lµ k× väng cã ®iÒu kiÖn E(Y/X = x). V× vËy trong ch-¬ng nµy chóng ta
h¹n chÕ chØ xÐt tr-êng hîp k× väng cã ®iÒu kiÖn E(Y/X = x) lµ hµm tuyÕn tÝnh ®èi víi X
E(Y/X = x) = αx + β.
Chó ý r»ng khi X t¨ng 1 ®¬n vÞ, k× väng cã ®iÒu kiÖn cña Y sÏ t¨ng α
E(Y/X = x + 1) = α(x + 1) + β = αx + β + α = E(Y/X = x) + α.
§Ó chØ ra ®-îc sù phô thuéc hµm ®ã, víi th«ng tin duy nhÊt lµ çc cÆp sè liÖu (xi, yi), i = 1, 2, ...,n, trong bµi to¸n
håi quy ng-êi ta coi xi lµ çc biÓu hiÖn cô thÓ cña biÕn ngÉu nhiªn X, yi lµ çc biÓu hiÖn cô thÓ cña biÕn ngÉu nhiªn
phô thuéc Yi t-¬ng øng. Do ®¼ng thøc trªn, k× väng cã ®iÒu kiÖn cña Yi tho¶ m·n
E(Yi/X = xi) = αxi + β i = 1, 2, ...,n.
Nh- vËy sai sè gi÷a Yi vµ k× väng cã ®iÒu kiÖn E(Yi/X = xi), kÝ hiÖu
εi = Yi − E(Yi/X = xi) = Yi − (αxi + β)
lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn cã k× väng b»ng 0
E(εi) = E(Yi) − E(E(Yi/X = xi)) = E(Yi) − E(Yi) = 0.
VËy mÉu håi quy tuyÕn tÝnh cña Y ®èi víi X ®-îc tãm t¾t nh- sau:
§¹i l-îng ngÉu nhiªn ®éc lËp X nhËn çc gi¸ trÞ xi, khi ®ã
Yi = αxi + β + εi i = 1, 2, ..., n. (3)
39

trong ®ã α, β lµ çc hÖ sè cÇn -íc l-îng, y = αx + β ®-îc gäi lµ ®-êng th¼ng håi quy, εi lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn cã
k× väng E(εi) = 0.
Ta gäi a, b lµ çc -íc l-îng bÊt k× cña çc hÖ sè α, β t-¬ng øng. Khi ®ã ®-êng th¼ng håi quy ®-îc -íc l-îng lµ
®-êng th¼ng
y = ax + b.
§é lÖch (hay t¹m gäi lµ sai sè) gi÷a yi víi ®-êng th¼ng trªn t¹i ®iÓm xi, kÝ hiÖu ei b»ng
ei = yi − (axi + b).
§é lÖch nµy cã thÓ d-¬ng hoÆc ©m tuú theo gi¸ trÞ mÉu (xi, yi) lµ ®iÓm n»m trªn hoÆc n»m d-íi ®-êng th¼ng -íc
l-îng y = ax + b. Mét trong çc ph-¬ng ph¸p -íc l-îng cã nhiÒu -u ®iÓm lµ t×m çc -íc l-îng a, b cña α, β sao cho
tæng b×nh ph-¬ng çc ®é lÖch ei ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Ng-êi ta gäi ph-¬ng ph¸p -íc l-îng nh- vËy lµ ph-¬ng ph¸p
b×nh ph-¬ng bÐ nhÊt. §-êng th¼ng håi quy nhËn ®-îc tõ ph-¬ng ph¸p b×nh ph-¬ng bÐ nhÊt cßn ®-îc gäi lµ håi
quy b×nh ph-¬ng trung b×nh tuyÕn tÝnh.
Çc -íc l-îng a, b cña α vµ β dùa trªn ph-¬ng ph¸p b×nh ph-¬ng bÐ nhÊt, tøc lµ lµm cùc tiÓu hµm
u(a, b) =
n
i=1
(Yi − axi − b)2
.
Bµi to¸n trªn cã thÓ gi¶i mét çch dÔ dµng b»ng çch t×m ®iÓm dõng cña hµm u(a, b) :
∂u
∂a
= −2
n
i=1(Yi − axi − b)xi = 0
∂u
∂b = −2
n
i=1(Yi − axi − b) = 0
Tõ ph-¬ng tr×nh thø hai suy ra
b = Y − ax. (4)
Thay b vµo ph-¬ng tr×nh thø nhÊt, khi ®ã
n
i=1
[(Yi − Y ) − a(xi − x)]xi =
n
i=1
[(Yi − Y ) − a(xi − x)](xi − x) = 0.
Suy ra
a =
n
i=1(xi − x)(Yi − Y )
n
i=1(xi − x)2
=
n
i=1 xiYi − nxY
n
i=1 x2
i − nx2 = r
SY
Sx
, (5)
trong ®ã r lµ hÖ sè t-¬ng quan mÉu
r =
1
n
n
i=1(xi − x)(Yi − Y )
SxSY
=
1
n
n
i=1 xiYi − x · Y
SxSY
. (6)
S2
X , S2
Y lµ ph-¬ng sai mÉu cña X, Y t-¬ng øng
S2
X =
1
n
n
i=1
(Xi − X)2
=
1
n
n
i=1
X2
i − X
2
,
S2
Y =
1
n
n
i=1
(Yi − Y )2
=
1
n
n
i=1
Y 2
i − Y
2
. (7)
VËy hµm håi quy b×nh ph-¬ng trung b×nh tuyÕn tÝnh cã d¹ng
y = ax + b = y + r
Sy
Sx
(x − x).
Trë l¹i vÝ dô vÒ dù b¸o lò, ta ®· tÝnh
x = 658, 95833, y = 1272, 16667, Sx = 85, 02425, Sy = 163, 5071
40

HÖ sè t-¬ng quan mÉu r = 0, 97045. ¸p dông c«ng thøc ®Ó tÝnh çc hÖ sè a vµ b cña ®-êng th¼ng håi quy y = ax+b
a = r
Sy
Sx
= 1, 86623
b = y − rx
Sy
Sx
= 42, 39808.
VËy ®-êng th¼ng håi quy cña Y ®èi víi X
y = 1, 86623x + 42, 39808.
15 Håi quy nhiÒu chiÒu
15.1 Ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng håi quy
Gi¶ sö ta cã k + 1 ®¹i l-îng ngÉu nhiªn Y, X1, X2, ..., Xk m« t¶ k + 1 yÕu tè ngÉu nhiªn cña mét hiÖn t-îng nµo ®ã.
Chóng ta sÏ dù ®o¸n ch¼ng h¹n Y theo çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn cßn l¹i X1, X2, X3, ..., Xk. Nh- ®· biÕt dù b¸o tèt
nhÊt lµ hµm håi quy E(Y/X1, X2, ..., Xk) vµ trong môc nµy ta chØ dù ®o¸n Y b»ng hµm tuyÕn tÝnh cña çc ®¹i l-îng
ngÉu nhiªn cßn l¹i. (NÕu (Y, X1, X2, ..., Xk) cã ph©n bè chuÈn khi ®ã hµm håi quy lµ hµm tuyÕn tÝnh).
E(Y/X1, X2, ..., Xk) = α + β1X1 + β2X2 + · · · + βkXk.
Chóng ta còng gi¶ thiÕt m = E(Y ) = 0, mi = E(Xi) = 0 víi mäi i = 1, 2, ...k. (Tr-êng hîp ng-îc l¹i ta sÏ tÞnh tiÕn
hÖ trôc to¹ ®é tíi ®iÓm (m, m1, m2, ..., mk) trong Rk+1
). Bµi to¸n dù b¸o thùc chÊt lµ t×m çc hÖ sè bi sao cho
E(Y − b1X1 − b2X2 − ... − bkXk)2
→ min.
(§ã lµ ph-¬ng ph¸p b×nh ph-¬ng bÐ nhÊt ®Ó x¸c ®Þnh çc hÖ sè bi), y = b1x1 + b12x2 + ... + b1kxk ®-îc gäi lµ mÆt
ph¼ng håi quy tuyÕn tÝnh.
Gi¶ sö r»ng çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn Y, X1, X2, ..., Xk tån t¹i ph-¬ng sai, hay xÐt chóng trong kh«ng gian L2
gåm çc ®.l.n.n cã k× väng b»ng 0 víi tÝch v« h-íng X, Y = E(XY ) = cov(X, Y ). Khi ®ã ˆY = b1X1 + · · · + bkXk
lµ chiÕu vu«ng gãc cña Y lªn kh«ng gian con sinh bëi X1, X2, ..., Xk:
Xi, Y − ˆY = Xi, Y − b1X1 − b2X2 − ... − bkXk = 0, víi mäi i = 1, ..., k. (8)
KÝ hiÖu c = (cij) lµ ma trËn covarian (cÊp k+1) cña Y, X1, X2, ..., Xk vµ A lµ ma trËn covarian (cÊp k) cña X1, X2, ..., Xk
c =




c00 c01 · · · c0k
c10 c11 · · · c1k
... ... ... ...
ck0 ck1 · · · ckk



 A =




c11 c12 · · · c1k
c21 c22 · · · c2k
... ... ... ...
ck1 ck2 · · · ckk




Gäi Cij lµ phÇn phô ®¹i sè t-¬ng øng víi cij cña ma trËn c. (TÊt nhiªn ta cã thÓ gi¶ thiÕt tiÕp C11 = det A = 0, ®iÒu
®ã lu«n ®óng nÕu X1, X2, ..., Xk ®éc lËp tuyÕn tÝnh). Khi ®ã hÖ ph-¬ng tr×nh (8) cã thÓ viÕt



c11b1 + c12b2 + · · · + c1kbk = c01
c21b1 + c22b2 + · · · + c2kbk = c01
· · · · · · · · ·
ck1b1 + ck2b2 + · · · + ckkbk = c0k
hoÆc d-íi d¹ng ma trËn Ab = c0,
b = (b1, · · · , bk) lµ vÐc t¬ Èn sè, c0 = (c01, · · · , c0k) lµ covarian cña Y víi çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn X1, X2, ..., Xk.
Ph-¬ng tr×nh Ab = c0 cã nghiÖm duy nhÊt
b = A−1
c0 hay bi = −
C0i
C00
i = 1, ..., k. (9)
ThËt vËy, nhËn xÐt r»ng do det(c)c−1
= (Cij)T
= (Cij) hay (Cij)c = det(c)E, hµng thø nhÊt cña (Cij) : (C00, C01, ..., C0k) =
(C00, h) (trong ®ã h = (C01, ..., C0k)) vu«ng víi cét thø i, i 1 cña c, suy ra Ah = −C00c0 hay
b = A−1
c0 = −
1
C00
h ⇔ bi = −
C0i
C00
, i = 1, ..., k. (10)
41

VËy ph-¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng håi quy tuyÕn tÝnh
y =
k
i=1
bixi = −
k
i=1
C0i
C00
xi
Tr-êng hîp mi = 0
y = m +
k
i=1
bi(xi − mi) = m −
k
i=1
C0i
C00
(xi − mi).
Theo çc c«ng thøc trªn, gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña phÇn d- E(Y − ˆY )2
, trong ®ã ˆY = b X hay ˆY = b1X1+b2X2+· · ·+bkXk
b»ng
E(Y − ˆY )2
= Y − ˆY , Y − ˆY = Y − ˆY , Y = D(Y ) − cov(b X, Y ) = c00 − c0A−1
c0. (11)
HÖ sè t-¬ng quan gi÷a Y vµ ˆY ®-îc gäi lµ hÖ sè t-¬ng quan béi, kÝ hiÖu R
R2
=
ˆY , Y
2
D(ˆY )D(Y )
=
(c0A−1
c0)2
b AbD(Y )
=
(c0A−1
c0)2
c0A−1c0D(Y )
=
c0A−1
c0
c00
.
D-íi ®©y chóng ta ®-a ra c«ng thøc tæng qu¸t tÝnh hÖ sè t-¬ng quan béi vµ hÖ sè t-¬ng quan riªng
R = 1 −
det c
c00C00
, ij.(...) =
−Cij
CiiCjj
(12)
ThËt vËy c0A−1
c0 = (c01, ..., c0k), − 1
C00
h = c00 − (C00c00
C00
+ C01c01
C00
+ · · · + C0kc0k
C00
) = c00 − det c
C00
.
Khi kh¶o s¸t mèi t-¬ng quan ta tÝnh hÖ sè t-¬ng quan gi÷a çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn, ch¼ng h¹n ij =
ij(ξi, ξj). §ã lµ ®é ®o toµn phÇn mèi t-¬ng quan gi÷a chóng (cã kÓ ®Õn mèi quan hÖ th«ng qua çc biÕn ngÉu
nhiªn kh¸c: ξ1, ..., ξk). Nh- trªn ta biÕt r»ng cã thÓ ph©n tÝch mét ®¹i l-îng ngÉu nhiªn thµnh tæng cña hai ®¹i
l-îng ngÉu nhiªn kh«ng t-¬ng quan (chiÕu vu«ng gãc xuèng L2(ξ2, ..., ξk)), ch¼ng h¹n xÐt η = ˆη + (η − ˆη) =
ˆη + η0.23...k, ξ1 = ˆξ1 + (ξ1 − ˆξ1) = ˆξ1 + η1.23...k
Cã thÓ coi η0.23...k = η − ˆη lµ phÇn cßn l¹i cña η sau khi ®· lo¹i ®i çc t¸c ®éng tuyÕn tÝnh cña ξ2, ..., ξk vµo
η. T-¬ng tù η1.23...k = ξ1 − ˆξ1 lµ phÇn cßn l¹i cña ξ1 sau khi ®· lo¹i ®i çc t¸c ®éng tuyÕn tÝnh cña ξ2, ..., ξk
vµo ξ1. Khi ®ã hÖ sè t-¬ng quan gi÷a hai phÇn d- ξ1 − ˆξ1 vµ η − ˆη ®-îc gäi lµ hÖ sè t-¬ng quan riªng
(mèi quan hÖ néi t¹i, kh«ng phô thuéc vµo çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn kh¸c: ξ2, ..., ξk) gi÷a ξ1 vµ η. KÝ hiÖu
01.(23...k) = (ξ1 − ˆξ1, η − ˆη). C«ng thøc trªn ®-a ra c«ng thøc tÝnh hÖ sè t-¬ng quan riªng gi÷a ξi vµ ξj.
Chó ý r»ng khi ta dù b¸o Y theo çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn cßn l¹i X1, X2, X3, ..., Xk, chóng ta xÐt trong
kh«ng gian x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn: X1 = x1, X2 = x2, ..., Xk = xk vµ dùa trªn mÉu ngÉu nhiªn
(yi, x1i, x2i, ..., xki), i = 1, 2, ..., n.
Do ®ã cã thÓ nãi trong kh«ng gian x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn çc ®¹i l-îng ngÉu nhiªn yi, i = 1, n tháa m·n m«
h×nh Gauss-Markov
E(yi) = x1iβ1 + x2iβ2 + · · · + xkiβk (13)
D(yi) = σ2
, yi ®éc lËp, σ2
®-îc tÝnh theo c«ng thøc (11).
HoÆc viÕt d-íi d¹ng ma trËn E(Y ) = Xβ, D(Y ) = σ2
I. Nh- vËy tÊt c¶ çc ®Æc tr-ng mÉu trong phÇn nµy
®Òu ®-îc xÐt trong kh«ng gian x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn X1i = x1i, X2i = x2i, ..., Xki = xki.
15.2 Håi quy nhiÒu chiÒu trong thèng kª
15.2.1 Håi quy nhiÒu chiÒu
Trong thèng kª chóng ta cÇn t×m ph-¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng håi quy dùa trªn çc mÉu ngÉu nhiªn quan s¸t ®-îc.
MÉu ngÉu nhiªn lµ çc ®iÓm quan s¸t
(yi, x1i, x2i, ..., xki), i = 1, 2, ..., n.
42

Gi¶ sö gi÷a chóng cã mèi quan hÖ tuyÕn tÝnh
E(Yi/X1 = x1i, X2 = x2i, ..., Xk = xki) = α + β1x1i + β2x2i + ... + βkxki, i = 1, 2, ..., n.
hay
Yi = α + β1x1i + β2x2i + ... + βkxki + εi,
trong ®ã βi lµ çc hÖ sè håi quy cÇn -íc l-îng vµ εi lµ biÕn ngÉu nhiªn cã k× väng b»ng 0.
Gäi a, b1, b2, ..., bk lµ çc -íc l-îng cña çc hÖ sè håi quy α, β1, β2, ..., βk t-¬ng øng, khi ®ã mÉu dù b¸o cña biÕn
ngÉu nhiªn Y øng víi çc gi¸ trÞ (x1, x2, ..., xk) b»ng gi¸ trÞ håi quy
ˆy = a + b1x1 + b2x2 + ... + bkxk.
§Ó sö dông çc kÕt qu¶ cña môc tr-íc, thay v× xÐt mÉu ngÉu nhiªn (y1, y2, ..., yn) cña Y ta xÐt mÉu
(y1 − y, y2 − y, ..., yn − y) (t-¬ng øng víi η mµ E(η) = 0).
T-¬ng tù nh- vËy, gäi ξi, i = 1, k lµ ®¹i l-îng ngÉu nhiªn (Eξi = 0) t-¬ng øng víi mÉu
(xi1 − xi, ..., xin − xi), i = 1, k.
Çc hÖ sè håi quy b1, b2, ..., bk cña η theo ξi ®-îc tÝnh bëi (10) theo c«ng thøc b = A−1
c0, trong ®ã A lµ covarian
mÉu cña ξi, i = 1, k. Chó ý r»ng A còng lµ covarian mÉu cña Xi, i = 1, k. HÖ sè tù do hµm håi quy ˆy =
a + b1x1 + b2x2 + ... + bkxk b»ng
a = y − b1x1 − b2x2 − ... − bkxk
Çc -íc l-îng a, b1, b2, ..., bk cña çc hÖ sè håi quy ®-îc x¸c ®Þnh theo ph-¬ng ph¸p b×nh ph-¬ng bÐ nhÊt, tøc lµ tæng
b×nh ph-¬ng çc ®é lÖch (kÝ hiÖu ei = yi − ˆy = yi − a − b1x1i − b2x2i − ... − bkxki)
SSE =
n
i=1
e2
i =
n
i=1
(yi − a − b1x1i − b2x2i − ... − bkxki)2
−→ min .
Mét çch kh¸c ®Ó dÉn tíi c«ng thøc (9), b = A−1
c0 lµ xÐt bµi to¸n cùc trÞ, t×m β (viÕt d-íi d¹ng ma trËn) sao cho
M =
n
i=1
yi − (α + β1x1i + β2x2i + ... + βkxki)
2
= (η − ξβ)T
(η − ξβ) → min
trong ®ã η = [(y1 − y, y2 − y, ..., yn − y)]T
lµ ma trËn cét, ξ lµ ma trËn n × k gåm çc cét ξi = (xi1 − xi, ..., xin − xi)T
vµ β lµ çc tham sè cÇn -íc l-îng.
§¹o hµm M theo β ta ®-îc D[M] = −2ξT
(η − ξβ) (còng t-¬ng tù nh- (x − a)2
= 2(x − a), chÝnh x¸c h¬n ta
cã thÓ viÕt chi tiÕt çc ®¹o hµm riªng theo tõng biÕn). Suy ra çc ®iÓm dõng cña bµi to¸n cùc trÞ lµ nghiÖm cña ph-¬ng
tr×nh
ξT
(η − ξβ) = 0 hay ˆβ = (ξT
ξ)−1
(ξT
η).
HiÓn nhiªn ξT
ξ = nA vµ ξT
η = nc0. Ta cã c«ng thøc (9), b = A−1
c0
Chó ý r»ng thùc chÊt cña ph-¬ng ph¸p b×nh ph-¬ng bÐ nhÊt lµ ˆη⊥(η − ˆη) ⇔ C(ˆη, η − ˆη) = 0 hoÆc cã thÓ diÔn gi¶i
b»ng viÖc b×nh ph-¬ng c¶ hai vÕ ®¼ng thøc yi − y = (ˆyi − y) + ei, råi céng chóng l¹i theo i
n
i=1
(yi − y)2
=
n
i=1
(ˆyi − y)2
+
n
i=1
e2
i .
§¼ng thøc cã ý nghÜa nh- sau: vÕ tr¸i lµ tæng b×nh ph-¬ng çc ®é lÖch gi÷a çc phÇn tö mÉu cña Y víi gi¸ trÞ trung
b×nh mÉu y, kÝ hiÖu SST (total sum of squares) ®-îc ph©n tÝch thµnh tæng cña hai phÇn: phÇn thø nhÊt lµ tæng b×nh
ph-¬ng çc ®é lÖch gi÷a håi quy ˆyi víi trung b×nh mÉu y (= ˆy) vµ phÇn thø hai lµ phÇn d-: tæng b×nh ph-¬ng çc
sai sè. KÝ hiÖu
SST =
n
i=1
(yi − y)2
= nS2
y = nD(Y ) = nC(Y, Y ) = n||Y ||2
(Tæng b×nh ph-¬ng chung)
SSR =
n
i=1
(ˆyi − y)2
=
n
i=1
(ˆyi − ˆy)2
= nD(ˆY ) = nC(ˆY , ˆY ) = n||ˆY ||2
(Tæng b×nh ph-¬ng håi quy)
SSE =
n
i=1
e2
i = nC(Y − ˆY , Y − ˆY ) = n||Y − ˆY ||2
(Tæng b×nh ph-¬ng sai sè)
43

Do SST = SSR + SSE (hay ||Y ||2
= ||ˆY ||2
+ ||Y − ˆY ||2
), khi ®ã tØ sè
R2
=
SSR
SST
= 1 −
SSE
SST
®-îc gäi lµ hÖ sè x¸c ®Þnh biÓu diÔn lùc cña håi quy. 0 R2
1 vµ khi R2
cµng gÇn víi 1, phÇn d- SSE (tæng
b×nh ph-¬ng çc sai sè) cµng nhá so víi tæng b×nh ph-¬ng çc ®é lÖch chung cña Y . L-u ý r»ng hÖ sè t-¬ng quan
gi÷a Y vµ ˆY lµ cosin cña gãc gi÷a hai vÐc t¬ ®ã, kÝ hiÖu C(Y, ˆY ) = Y, ˆY
cos α =
ˆY , Y
||ˆY || · ||Y ||
=
ˆY , ˆY + Y − ˆY
||ˆY || · ||Y ||
=
ˆY , ˆY
||ˆY || · ||Y ||
=
||ˆY ||2
||ˆY || · ||Y ||
=
SSR
SST
= R.
R ®-îc gäi lµ hÖ sè t-¬ng quan béi cña håi quy. Chó ý r»ng trong mét sè tµi liÖu ng-êi ta nãi ®Õn kh¸i niÖm hÖ
sè x¸c ®Þnh ®iÒu chØnh R
2
= 1 − SSE/(n−k−1)
SST/(n−1) . Ng-êi ta chøng minh ®-îc r»ng
s2
e =
n
i=1 e2
i
n − k − 1
=
SSE
n − k − 1
=
n
n − k − 1
||Y − ˆY ||2
(14)
lµ -íc l-îng kh«ng chÖch cña σ2
(σ2
lµ ph-¬ng sai cña Yi víi ®iÒu kiÖn X1 = x1i, X2 = x2i, ..., Xk = xki). Ta cã thÓ
chøng minh ®iÒu ®ã b»ng çch sö dông çc phÐp biÕn ®æi trùc giao (xem trong RAO). Ta gäi se = s2
e lµ sai sè chuÈn
cña håi quy.
Çch tÝnh sai sè cña çc hÖ sè håi quy bk, bk−1, ..., b2, b1, a sÏ ®-îc tr×nh bµy ngay d-íi ®©y.
Ta cã thÓ chøng minh b = A−1
c0 lµ -íc l-îng kh«ng chÖch cña β1, ..., βk ®ång thêi còng tÝnh ®-îc çc sai sè cña
çc -íc l-îng tham sè ®ã (trong kh«ng gian x¸c suÊt ®iÒu kiÖn).
ThËt vËy nh- trong tr-êng hîp mét chiÒu E(b) = A−1
E(c0)
c0m =
1
n
n
i=1
(xim − xi)(Yi − Y ), m = 1, 2, ..., k.
E(c0m) =
1
n
E
n
i=1
(xim − xi)(Yi − Y ) =
1
n
n
i=1
(xim − xi)[β1(xi1 − x1) + β2(xi2 − x2) + · · ·)]
Hay Ec0 = Aβ, suy ra
E(b) = A−1
Ec0 = A−1
Aβ = β.
HoÆc viÕt d-íi d¹ng vÐc t¬
E(b) = A−1
E(c0) = A−1
E(
1
n
ξT
η) =
1
n
A−1
ξT
E(η) =
1
n
A−1
ξT
ξβ = A−1
Aβ = β ( theo 13).
§Ó tÝnh ph-¬ng sai cña çc bm, ta tÝnh ma trËn covarian cña b = A−1
c0. Çch tÝnh t-¬ng tù nh- trªn
cov(b) = A−1
cov(c0)A−1
= A−1
cov(
1
n
ξT
η)A−1
= A−1 σ2
n2
ξT
ξA−1
=
σ2
n
A−1
. (15)
Do
cov(c0) = cov(
1
n
ξT
η) =
1
n2
ξT
σ2
Iξ =
σ2
n2
ξT
ξ =
σ2
n
A.
Chó ý r»ng do xÐt trong kh«ng gian x¸c suÊt ®iÒu kiÖn nªn σ trong c«ng thøc trªn lµ sai sè cña phÇn d-, nã ®-îc
tÝnh theo c«ng thøc trong m« h×nh (13). Thay σ b»ng -íc l-îng kh«ng chÖch cña nã se trong c«ng thøc nµy ta tÝnh
®-îc çc sai sè cña çc hÖ sè håi quy bm.
44

Thùc hµnh trªn EXCEL
B¶ng sau cho ta sè liÖu quan s¸t ®-îc vÒ s¶n l-îng cña mét gièng c©y trång t¹i nhiÒu ®Þa ph-¬ng cã thæ nh-ìng,
khÝ hËu kh¸c nhau.
STT Y x1 x2
1 590 58 405
2 660 52 450
3 780 133 350
4 770 179 285
5 710 98 330
6 640 72 400
7 670 72 550
8 520 43 480
9 660 62 450
10 690 67 610
11 500 64 380
12 460 33 460
13 610 57 425
STT Y x1 x2
14 710 62 560
15 620 54 420
16 660 48 620
17 620 86 390
18 590 74 350
19 740 95 570
20 730 44 710
21 720 53 700
22 720 77 580
23 640 46 700
24 805 123 560
25 510 26 370
26 673 62 430
SST chØ 26 ®Þa ph-¬ng kh¸c nhau trång gièng c©y ®ã. Çc kÝ hiÖu kh¸c
Y lµ s¶n l-îng cña lo¹i c©y trång
x1 lµ l-îng m-a trong c¶ ®ît gieo trång
x2 lµ toµn bé chi phÝ ®Çu t- khi gieo trång lo¹i c©y ®ã.
Gi¶ thiÕt r»ng m« h×nh håi quy gi÷a Y ®èi víi X1, X2:
Y = α + β1x1 + β2x2 + εi,
Sö dông lÖnh COV AR(Y, X) ®Ó lËp ma trËn covarian


7507.100592 1852.139053 2870.872781
1852.139053 1060.408284 −1448.16568
2870.872781 −1448.16568 14221.48669


Theo (9) çc hÖ sè b1, b2 cña mÆt ph¼ng håi quy (sö dông lÖnh tÝnh ma trËn nghÞch ®¶o vµ nh©n ma trËn
MINV ERSE, MMULT) ta ®-îc
b1 = 2.348974379,b2 = 0.441063371
Suy ra mÆt ph¼ng håi quy y = 2.348974x1 + 0.441063x2 + 274.89068.
SST = nD(Y ) = 26 ∗ COV (Y, Y ) = 195184.6, SSR = nD(ˆY ) = 26 ∗ COV (ˆY , ˆY ) = 146038.47
Sai sè chuÈn cña -íc l-îng
SSE = SST − SSR = 49146.15115, se =
SSE
n − k − 1
=
49146.15115
23
= 46.22541704
HÖ sè t-¬ng quan béi b»ng
R =
SSR
SST
=
√
0.74820684 = 0.865.
§Ó tÝnh sai sè cña çc -íc l-îng hÖ sè håi quy, ta sö dông c«ng thøc (15)
cov(b) =
σ2
n
A−1
=
σ2
26
1060.408284 −1448.16568
−1448.16568 14221.48669
−1
=
=
σ2
26
0.001095359 0.00011154
0.00011154 8.16742E − 05
Thay σ b»ng sai sè chuÈn 46.2254, suy ra ph-¬ng sai cña çc hÖ sè
D(b) =
46.2254
√
26
√
0.001095359 = 0.300035
45

D(a) =
46.2254
√
26
√
8.16742E − 05 = 0.08193
§Ó tÝnh hÖ sè t-¬ng quan riªng gi÷a Y vµ X1 ta sö dông c«ng thøc (12)
01.(2) =
−Cij
CiiCjj
=
−30497670.32
√
12983398 ∗ 98520221
= 0.852727
Chó ý r»ng ta còng cã thÓ tÝnh hÖ sè t-¬ng quan riªng b»ng ®Þnh nghÜa 01.(2) = (Y − ˆY , X1 − ˆX1)
Mét çch kh¸c ®Ó tÝnh çc hÖ sè håi quy, hÖ sè t-¬ng quan béi còng nh- çc sai sè kh¸c lµ sö dông lÖnh {=
LINEST(Y, X, 1, 1)} trong EXCEL (nhÊn ®ång thêi çc phÝm CTRL+SHIFT+ENTER)
0.441063 2.348974 274.89068
0.08193 0.300035 52.1415458
0.7482 46.2254
34.1724 23
146038.4642 49146.151
Hµng thø nhÊt lµ çc hÖ sè håi quy a = 274.89068, b1 = 2.348974, b2 = 0.441063
y = 274.89068 + 2.348974x1 + 0.441063x2
Sai sè trung b×nh cña çc hÖ sè håi quy a vµ b trong hµng thø hai.
D(b1) = 0.300035 D(b2) = 10.08193, D(a) = 52.1415458
Hµng thø ba lµ hÖ sè x¸c ®Þnh R2
= 0.7482 hay hÖ sè t-¬ng quan R = 0.86499 vµ sai sè chuÈn (standard error)
se = 46.2254.
Hµng thø t- cho gi¸ trÞ quan s¸t Fqs = 34.1724 cña ph©n bè F víi (k, 23) bËc tù do. (Trong vÝ dô nµy k = 2).
Hµng thø n¨m lµ çc tæng b×nh ph-¬ng HQ theo Y , kÝ hiÖu lµ SSR = 146038.4642 vµ phÇn d- SSE = 49146.151.
Bµi tËp B¶ng sau cho ta sè liÖu quan s¸t ®-îc vÒ kÕt qu¶ häc tËp cña häc sinh. Gi¶ thiÕt m« h×nh håi quy gi÷a chóng
Y = α + β1x1 + β2x2 + β3x3 + ε,
trong ®ã
Y lµ ®iÓm trung b×nh chung cña häc sinh cuèi n¨m thø nhÊt.
x1 lµ ®iÓm thi tèt nghiÖp phæ th«ng trung häc cña häc sinh.
x2 lµ ®iÓm thi tuyÓn vµo ®¹i häc cña häc sinh.
x3 lµ ®iÓm thi m«n to¸n k× I cña häc sinh.
STT x1 x2 x3 Y
1 45 25 6 5.88
2 43 24.5 7 6.63
3 50 26 7 7.57
4 46 22 8 7.79
5 46 21 5 5.5
6 51 26 8 8.39
7 48 27 9 8.44
8 43 25 8 7.75
9 52 23 6 6.48
10 50 23.5 8 7.81
11 48 25 7 7.12
12 51 22.5 9 8.87
13 55 24 6 6.9
1. ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng håi quy Y theo x1, x2, x3 vµ dù b¸o ®iÓm trung b×nh chung cuèi n¨m thø nhÊt
cho mét häc sinh nÕu ®iÓm thi tèt nghiÖp phæ th«ng trung häc x1 = 53, ®iÓm thi tuyÓn vµo ®¹i häc x2 = 28,
vµ ®iÓm thi m«n to¸n k× I cña häc sinh ®ã x3 = 8.
2. H·y tÝnh hÖ sè t-¬ng quan béi vµ hÖ sè t-¬ng quan riªng gi÷a ®iÓm trung b×nh chung cuèi n¨m thø nhÊt vµ
®iÓm thi tuyÓn vµo ®¹i häc.
3. H·y tÝnh kho¶ng tin cËy cho β1 víi ®é tin cËy 96%. KiÓm ®Þnh gi¶ thiÕt β2 = 0 víi møc ý nghÜa 5%.
46

Xs cao hochsn

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (17)

Viewers also liked

Viewers also liked (14)

Similar to Xs cao hochsn

Similar to Xs cao hochsn (20)

Xs cao hochsn