Toan tai lieu on thi vao thpt

www.VNMATH.com
V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù nghiÖp trång ng−êi
1
1. §iÓm - §−êng th¼ng
- Ng−êi ta dïng çc ch÷ çi in hoa A,
- BÊt cø h×nh nμo còng lμ mét tËp hîp
çc ®iÓm. Mét ®iÓm còng lμ mét
h×nh.
- Ng−êi ta dïng çc ch÷ çi th−êng a,
b, c, ... m, p, ... ®Ó ®Æt tªn cho çc
®−êng th¼ng (hoÆc dïng hai ch÷ çi
in hoa hoÆc dïng hai ch÷ çi
th−êng, vÝ dô ®−êng th¼ng AB, xy,
... )
- §iÓm C thuéc ®−êng th¼ng a (®iÓm C
n»m trªn ®−êng th¼ng a hoÆc ®−êng
th¼ng a ®i qua ®iÓm C), kÝ hiÖu lμ:
CÎa
- §iÓm M kh«ng thuéc ®−êng th¼ng a
(®iÓm M n»m ngoμi ®−êng th¼ng a
hoÆc ®−êng th¼ng a kh«ng ®i qua
®iÓm M), kÝ hiÖu lμ: MÏa
2. Ba ®iÓm th¼ng hμng
- Ba ®iÓm cïng thuéc mét ®−êng
th¼ng ta nãi chóng th¼ng hμng
- Ba ®iÓm kh«ng cïng thuéc bÊt k×
®−êng th¼ng nμo ta nãi chóng
kh«ng th¼ng hμng.
3. §−êng th¼ng trïng nhau, c¾t nhau, song song
- Hai ®−êng th¼ng AB vμ BC nh−
h×nh vÏ bªn lμ hai ®−êng th¼ng
trïng nhau.
- Hai ®−êng th¼ng chØ cã mét ®iÓm
chung ta nãi chóng c¾t nhau, ®iÓm
chung ®ã ®−îc gäi lμ giao ®iÓm
(®iÓm E lμ giao ®iÓm)
- Hai ®−êng th¼ng kh«ng cã ®iÓm
1
N¨m häc
2011 - 2015
B, C, ... ®Ó ®Æt tªn cho ®iÓm
Tμi liÖu ¤n thi vμo Trung häc Phæ th«ng

TTTTrrrr−−−−êêêênnnngggg TTTTHHHHCCCCSSSS HHHHåååånnnngggg HHHH−−−−nnnngggg - GGGGiiiiaaaa LLLLéééécccc – hhhh¶iiii DDDD−−−−¬nnnngggg
chung nμo, ta nãi chóng song song víi nhau, kÝ hiÖu xy//zt
4. Kh¸i niÖm vÒ tia, hai tia ®èi nhau, hai tia trïng nhau
- H×nh gåm ®iÓm O vμ mét phÇn
®−êng th¼ng bÞ chia ra bëi ®iÓm O
®−îc gäi lμ mét tia gèc O (cã hai
tia Ox vμ Oy nh− h×nh vÏ)
- Hai tia chung gèc t¹o thμnh
®−êng th¼ng ®−îc gäi lμ hai tia
®èi nhau (hai tia Ox vμ Oy trong
h×nh vÏ lμ hai tia ®èi nhau)
- Hai tia chung gèc vμ tia nμy n»m
trªn tia kia ®−îc gäi lμ hai tia
trïng nhau
- Hai tia AB vμ Ax lμ hai tia trïng
nhau
5. §o¹n th¼ng, ®é dμi ®o¹n th¼ng
- §o¹n th¼ng AB lμ h×nh gåm
®iÓm A, ®iÓm B vμ tÊt c¶ c¸c ®iÓm
n»m gi÷a A vμ B
- Hai ®iÓm A vμ B lμ hai mót (hoÆc
hai ®Çu) cña ®o¹n th¼ng AB.
- Mçi ®o¹n th¼ng cã mét ®é dμi. §é
dμi ®o¹n th¼ng lμ mét sè d−¬ng
6. Khi nμo th× AM + MB = AB ?
- NÕu ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm
A vμ B th× AM + MB = AB. Ng−îc
l¹i, nÕu AM + MB = AB th× ®iÓm
M n»m gi÷a hai ®iÓm A vμ B
7. Trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng
- Trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng
AB lμ ®iÓm n»m gi÷a A, B vμ c¸ch
®Òu A, B (MA = MB)
- Trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng
AB cßn gäi lμ ®iÓm chÝnh gi÷a cña
®o¹n th¼ng AB
8. Nöa mÆt ph¼ng bê a, hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau
- H×nh gåm ®−êng th¼ng a vμ mét
phÇn mÆt ph¼ng bÞ chia ra bëi a
®−îc gäi lμ mét nöa mÆt ph¼ng bê a
- Hai nöa mÆt ph¼ng cã chung bê
®−îc gäi lμ hai nöa mÆt ph¼ng ®èi
nhau (hai nöa mÆt ph¼ng (I) vμ (II)
®èi nhau)
Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu
9. Gãc, gãc bÑt
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com
3
- Gãc lμ h×nh gåm hai tia chung
gèc, gèc chung cña hai tia gäi lμ
®Ønh cña gãc, hai tia lμ hai c¹nh
cña gãc
- Gãc xOy kÝ hiÖu lμ xOy hoÆc O
hoÆc ÐxOy
- §iÓm O lμ ®Ønh cña gãc
- Hai c¹nh cña gãc : Ox, Oy
- Gãc bÑt lμ gãc cã hai c¹nh lμ hai
tia ®èi nhau
10. So s¸nh hai gãc, gãc vu«ng, gãc nhän, gãc tï.
- So s¸nh hai gãc b»ng c¸ch so
s¸nh c¸c sè ®o cña chóng
- Hai gãc xOy vμ uIv b»ng nhau
®−îc kÝ hiÖu lμ: xOy = uIv
- Gãc xOy nhá h¬n gãc uIv, ta viÕt:
- Gãc cã sè ®o b»ng 900 = 1v, lμ gãc
vu«ng
- Gãc nhá h¬n gãc vu«ng lμ gãc
nhän
- Gãc lín h¬n gãc vu«ng nh−ng nhá
h¬n gãc bÑt lμ gãc tï.
11. Khi nμo th× xOy + yOz = xOz
- NÕu tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox
vμ Oz th× xOy + yOz = xOz.
- Ng−îc l¹i, nÕu xOy + yOz = xOz
th× tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox vμ
Oz
12. Hai gãc kÒ nhau, phô nhau, bï nhau, kÒ bï
- Hai gãc kÒ nhau lμ hai gãc cã
mét c¹nh chung vμ hai c¹nh cßn
l¹i n»m trªn hai nöa mÆt ph¼ng
®èi nhau cã bê chøa c¹nh chung.
- Hai gãc phô nhau lμ hai gãc cã
tæng sè ®o b»ng 900
- Hai gãc bï nhau lμ hai gãc cã
tæng sè ®o b»ng 1800
- Hai gãc võa kÒ nhau, võa bï
nhau ®−îc gäi lμ hai gãc kÒ bï
3
N¨m häc
2011 - 2015
xOy uIv = uIv xOy

www.VNMATH.com
3 2
3 2
a
13. Tia ph©n gi¸c cña gãc
- Tia ph©n gi¸c cña mét gãc lμ tia
n»m gi÷a hai c¹nh cña gãc vμ t¹o
víi hai c¹nh Êy hai gãc b»ng nhau
- Khi: xOz + zOy = xOy vμ xOz = zOy
= tia Oz lμ tia ph©n gi¸c cña gãc
xOy
- §−êng th¼ng chøa tia ph©n gi¸c
cña mét gãc lμ ®−êng ph©n gi¸c
cña gãc ®ã (®−êng th¼ng mn lμ
®−êng ph©n gi¸c cña gãc xOy)
14. §−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng
a) §Þnh nghÜa: §−êng th¼ng vu«ng
gãc víi mét ®o¹n th¼ng t¹i trung
®iÓm cña nã ®−îc gäi lμ ®−êng trung
trùc cña ®o¹n th¼ng Êy
b) Tæng qu¸t:
a lμ ®−êng trung trùc cña AB
a AB t¹i I
^
IA =IB
15. Çc gãc t¹o bëi mét ®−êng th¼ng c¾t hai ®−êng th¼ng
a) Çc cÆp gãc so le trong:

A1 vμ B3 ;
A4 vμ B2 .
b) Çc cÆp gãc ®ång vÞ:

A1 vμ B1 ;
A2 vμ B2 ;

A3 vμ B3 ;
A4 vμ B4 .
c) Khi a//b th×:

A1 vμ B2 ;
A4 vμ B3 gäi lμ çc cÆp
gãc trong cïng phÝa bï nhau
16. Hai ®−êng th¼ng song song
4 1
4
1
b
B
A
a
A I B

5
a) DÊu hiÖu nhËn biÕt
- NÕu ®−êng th¼ng c c¾t hai ®−êng
th¼ng a, b vμ trong c¸c gãc t¹o
thμnh cã mét cÆp gãc so le trong
b»ng nhau (hoÆc mét cÆp gãc ®ång
vÞ b»ng nhau) th× a vμ b song song
víi nhau
b) Tiªn ®Ò ¥_clÝt
- Qua mét ®iÓm ë ngoμi mét ®−êng
th¼ng chØ cã mét ®−êng th¼ng song
song víi ®−êng th¼ng ®ã
c
c, TÝnh chÊt hai ®−êng th¼ng song song
- NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai ®−êng th¼ng song song th×:
Hai gãc so le trong b»ng nhau;
Hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau;
Hai gãc trong cïng phÝa bï nhau.
d) Quan hÖ gi÷a tÝnh vu«ng gãc víi tÝnh song song
- Hai ®−êng th¼ng ph©n biÖt cïng
vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng thø ba
th× chóng song song víi nhau
- Mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mét
trong hai ®−êng th¼ng song song
th× nã còng vu«ng gãc víi ®−êng
th¼ng kia
e) Ba ®−êng th¼ng song song
- Hai ®−êng th¼ng ph©n biÖt cïng
song song víi mét ®−êng th¼ng thø
ba th× chóng song song víi nhau
a
a//c vμ b//c = a//b c
5
N¨m häc
2011 - 2015
a c
a / / b
^
b c
=
^
c b
c a
^
a / / b
= ^
b
c
b
a
c
b
a
b
a
M
b
a
www.VNMATH.com

17. Gãc ngoμi cña tam gi¸c
a) §Þnh nghÜa: Gãc ngoμi cña mét
tam gi¸c lμ gãc kÒ bï víi mét gãc
cña tam gi¸c Êy
b) TÝnh chÊt: Mçi gãc ngoμi cña tam
gi¸c b»ng tæng hai gãc trong kh«ng
kÒ víi nã
C x
B
A
A
B C
A'
B' C
A
B C
A'
ACx = A + B
18. Hai tam gi¸c b»ng nhau
a) §Þnh nghÜa: Hai tam gi¸c b»ng
nhau lμ hai tam gi¸c cã çc c¹nh
t−¬ng øng b»ng nhau, çc gãc t−¬ng
øng b»ng nhau
ABC A'B'C'
D = D
AB A'B'; AC A'C'; BC B'C'
= = =

A A'; B B'; C C'
Û
= = =
b) Çc tr−êng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c
*) Tr−êng hîp 1: C¹nh - C¹nh - C¹nh
(c.c.c)
- NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nμy b»ng ba
c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam
gi¸c ®ã b»ng nhau
NÕu ABC vμ A'B'C' cã:
AB A'B'
AC A'C' ABC A'B'C'(c.c.c)
BC B'C'
D D
=
= = D = D
=
B' C'
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com
7
*) Tr−êng hîp 2: C¹nh - Gãc - C¹nh
- NÕu hai c¹nh vμ gãc xen gi÷a cña tam
gi¸c nμy b»ng hai c¹nh vμ gãc xen
gi÷a cña tam gi¸c kia th× hai tam
gi¸c ®ã b»ng nhau
AB A'B'
B B' ABC A'B'C'(c.g.c)
BC B'C'
*) Tr−êng hîp 3: Gãc - C¹nh - Gãc (g.c.g)
- NÕu mét c¹nh vμ hai gãc kÒ cña tam
gi¸c nμy b»ng mét c¹nh vμ hai gãc
kÒ cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c
®ã b»ng nhau
B B'
BC B'C' ABC A'B'C'(g.c.g )
C C'
A
B C
A'
B' C'
c) C¸c tr−êng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c vu«ng
Tr−êng hîp 1: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nμy
b»ng hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c
vu«ng ®ã b»ng nhau.
Tr−êng hîp 2: NÕu mét c¹nh gãc vu«ng vμ mét gãc nhän kÒ c¹nh
Êy cña tam gi¸c vu«ng nμy b»ng mét c¹nh gãc vu«ng vμ mét gãc
7
N¨m häc
2011 - 2015
(c.g.c)
D D
=
= = D = D
=

D D
=

= = D = D
=

C'
B'
C A'
B
A
A
B C
A'
B' C'

nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c vu«ng ®ã
b»ng nhau.
Tr−êng hîp 3: NÕu c¹nh huyÒn vμ mét gãc nhän cña tam gi¸c
vu«ng nμy b»ng c¹nh huyÒn vμ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng
kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.
B
A
B'
C A'
Tr−êng hîp 4: NÕu c¹nh huyÒn vμ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam
gi¸c vu«ng nμy b»ng c¹nh huyÒn vμ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam
gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.
19. Quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè trong tam
gi¸c (quan hÖ gi÷a gãc vμ c¹nh ®èi diÖn
trong tam gi¸c)
- Trong mét tam gi¸c, gãc ®èi diÖn víi c¹nh
lín h¬n lμ gãc lín h¬n
DABC : NÕu AC AB th× B C
Trong mét tam gi¸c, c¹nh ®èi diÖn víi gãc lín h¬n th× lín h¬n
DABC : NÕu B C th× AC AB
C'
C'
B'
C A'
B
A
C'
B'
C A'
B
A
A
B C
www.VNMATH.com

9
20. Quan hÖ gi÷a ®−êng vu«ng gãc vμ ®−êng xiªn, ®−êng xiªn vμ
Kh¸i niÖm ®−êng vu«ng gãc, ®−êng xiªn, h×nh chiÕu cña
- LÊy A d, kÎ AH Ï ^ d, lÊy BÎd vμ B ¹ H. Khi ®ã :
- §o¹n th¼ng AH gäi lμ ®−êng vu«ng
- §iÓm H gäi lμ h×nh chiÕu cña A trªn
- §o¹n th¼ng AB gäi lμ mét ®−êng xiªn
- §o¹n th¼ng HB gäi lμ h×nh chiÕu cña
Quan hÖ gi÷a ®−êng xiªn vμ ®−êng vu«ng gãc:
Trong c¸c ®−êng xiªn vμ ®−êng vu«ng gãc kÎ tõ mét ®iÓm ë ngoμi
mét ®−êng th¼ng ®Õn ®−êng th¼ng ®ã, ®−êng vu«ng gãc lμ ®−êng
ng¾n nhÊt.
Quan hÖ gi÷a ®−êng xiªn vμ h×nh chiÕu:
Trong hai ®−êng xiªn kÎ tõ mét ®iÓm n»m ngoμi mét ®−êng th¼ng
®Õn ®−êng th¼ng ®ã, th×:
§−êng xiªn nμo cã h×nh chiÕu lín h¬n th× lín h¬n
§−êng xiªn nμo lín h¬n th× cã h×nh chiÕu lín h¬n
NÕu hai ®−êng xiªn b»ng nhau th× hai h×nh chiÕu b»ng nhau vμ
ng−îc l¹i, nÕu hai h×nh chiÕu b»ng nhau th× hai ®−êng xiªn b»ng
nhau.
21. Quan hÖ gi÷a ba c¹nh cña mét tam gi¸c. BÊt ®¼ng thøc tam
- Trong mét tam gi¸c, tæng ®é dμi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng lín h¬n
A
- Trong mét tam gi¸c, hiÖu ®é dμi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng nhá h¬n
- NhËn xÐt : Trong mét tam gi¸c, ®é dμi mét c¹nh bao giê còng lín h¬n
9
N¨m häc
2011 - 2015
h×nh chiÕu
®−êng xiªn
gãc kÎ tõ A ®Õn ®−êng th¼ng d
®−êng th¼ng d
kÎ tõ A ®Õn ®−êng th¼ng d
®−êng xiªn AB trªn ®.th¼ng d
gi¸c
®é dμi c¹nh cßn l¹i.
AB + AC BC
AB + BC AC
AC + BC AB
®é dμi c¹nh cßn l¹i.
AC - BC AB
AB - BC AC
AC - AB BC
B C
d
H B
A
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com
hiÖu vμ nhá h¬n tæng ®é dμi hai c¹nh cßn l¹i.
VD: AB - AC BC AB + AC

11
21. TÝnh chÊt ba ®−êng trung tuyÕn cña tam gi¸c
- Ba ®−êng trung tuyÕn cña mét tam gi¸c
cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm ®ã çch mçi
®Ønh mét kho¶ng b»ng 2
®é dμi ®−êng
G lμ träng t©m cña tam gi¸c ABC
A
F E
B C
22. TÝnh chÊt ba ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c
- Ba ®−êng ph©n gi¸c cña mét
tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm.
§iÓm nμy çch ®Òu ba c¹nh cña
tam gi¸c ®ã
- §iÓm O lμ t©m ®−êng trßn néi
O
A
G
D
B C
23. TÝnh chÊt ba ®−êng trung trùc cña tam gi¸c
- Ba ®−êng trung trùc cña mét tam
A
gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm
nμy çch ®Òu ba ®Ønh cña tam gi¸c
®ã
24. Ph−¬ng ph¸p chøng minh mét sè bμi to¸n c¬ b¶n
(sö dông mét trong çc çch sau ®©y)
1. Chøng minh tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau
2. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau
3. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®−êng trung tuyÕn võa lμ ®−êng cao
4. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®−êng cao võa lμ ®−êng ph©n gi¸c ë
1. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba c¹nh b»ng nhau
2. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba gãc b»ng nhau
3. Chøng minh tam gi¸c c©n cã mét gãc lμ 600
c) Chøng minh mét tø gi¸c lμ h×nh b×nh hμnh
1. Tø gi¸c cã çc c¹nh ®èi song song lμ h×nh b×nh hμnh
2. Tø gi¸c cã çc c¹nh ®èi b»ng nhau lμ h×nh b×nh hμnh
11
N¨m häc
2011 - 2015
3
trung tuyÕn ®i qua ®Ønh Êy:
GA GB GC 2
= = =
DA EB FC 3
tiÕp tam gi¸c ABC
- §iÓm O lμ t©m ®−êng trßn ngo¹i
tiÕp tam gi¸c ABC
a) Chøng minh tam gi¸c c©n
®Ønh
b) Chøng minh tam gi¸c ®Òu
O
B C
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com
3. Tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song vμ b»ng nhau lμ h×nh b×nh hμnh
4. Tø gi¸c cã c¸c gãc ®èi b»ng nhau lμ h×nh b×nh hμnh
5. Tø gi¸c cã hai ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng
lμ h×nh b×nh hμnh
d) Chøng minh mét tø gi¸c lμ h×nh thang:
Ta chøng minh tø gi¸c ®ã cã hai c¹nh ®èi song song
e) Chøng minh mét h×nh thang lμ h×nh thang c©n
1. Chøng minh h×nh thang cã hai gãc kÒ mét ®¸y b»ng nhau
2. Chøng minh h×nh thang cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau
f) Chøng minh mét tø gi¸c lμ h×nh ch÷ nhËt
1. Tø gi¸c cã ba gãc vu«ng lμ h×nh ch÷ nhËt
2. H×nh thanh c©n cã mét gãc vu«ng lμ h×nh ch÷ nhËt
3. H×nh b×nh hμnh cã mét gãc vu«ng lμ h×nh ch÷ nhËt
4. H×nh b×nh hμnh cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau lμ h×nh ch÷ nhËt
g) Chøng minh mét tø gi¸c lμ h×nh thoi
1. Tø gi¸c cã bèn c¹nh b»ng nhau
2. H×nh b×nh hμnh cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau
3. H×nh b×nh hμnh cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau
4. H×nh b×nh hμnh cã mét ®−êng chÐo lμ ®−êng ph©n gi¸c cña mét
gãc
h) Chøng minh mét tø gi¸c lμ h×nh vu«ng
1. H×nh ch÷ nhËt cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau
2. H×nh ch÷ nhËt cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc
3. H×nh ch÷ nhËt cã mét ®−êng chÐo lμ ®−êng ph©n gi¸c cña mét gãc
4. H×nh thoi cã mét gãc vu«ng
5. H×nh thoi cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau
25. §−êng trung b×nh cña tam gi¸c, cña h×nh thang
a) §−êng trung b×nh cña tam gi¸c
§Þnh nghÜa: §−êng trung b×nh cña tam gi¸c lμ ®o¹n th¼ng nèi
trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c
§Þnh lÝ: §−êng trung b×nh cña tam gi¸c th× song song víi c¹nh
D
A
thø ba vμ b»ng nöa c¹nh Êy
DE lμ ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c
DE / /BC, DE 1 BC
2
=
E
B C

www.VNMATH.com
13
b) §−êng trung b×nh cña h×nh thang
§Þnh nghÜa: §−êng trung b×nh cña h×nh thang lμ ®o¹n th¼ng nèi
trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh thang
§Þnh lÝ: §−êng trung b×nh cña h×nh thang th× song song víi hai
®¸y vμ b»ng nöa tæng hai ®¸y
EF lμ ®−êng trung b×nh cña
A B
E F
D C
26. Tam gi¸c ®ång d¹ng
a) §Þnh lÝ Ta_lÐt trong tam gi¸c:
- NÕu mét ®−êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vμ c¾t hai
c¹nh cßn l¹i th× nã ®Þnh ra trªn hai c¹nh ®ã nh÷ng ®o¹n th¼ng t−¬ng
øng tØ lÖ
A
b) §Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Ta_lÐt:
- NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vμ ®Þnh ra trªn
hai c¹nh nμy nh÷ng ®o¹n th¼ng t−¬ng øng tØ lÖ th× ®−êng th¼ng ®ã song
song víi c¹nh cßn l¹i cña tam gi¸c
= = ; C¸c tr−êng hîp kh¸c t−¬ng tù
c) HÖ qu¶ cña ®Þnh lÝ Ta_lÐt
- NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vμ song song víi
c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thμnh mét tam gi¸c míi cã ba c¹nh t−¬ng øng tØ
lÖ víi ba c¹nh cña tam gi¸c ®· cho. HÖ qu¶ cßn ®óng trong tr−êng hîp
®−êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vμ c¾t phÇn kÐo dμi
cña hai c¹nh cßn l¹i (B'C'/ /BC AB' AC' B'C'
= = = )
AB AC BC
13
N¨m häc
2011 - 2015
h×nh thang ABCD
EF//AB, EF//CD, EF AB CD
= +
2
B'C'/ /BC AB' AC' ;
= =
AB AC
AB' AC' ; B'B C'C
= =
B'B C'C AB AC
VÝ dô: AB' AC' B'C'/ /BC
AB AC
B' C' a
B C

www.VNMATH.com
C' B'
A
A
d) TÝnh chÊt ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c:
- §−êng ph©n gi¸c trong (hoÆc ngoμi) cña mét tam gi¸c chia c¹nh ®èi
diÖn thμnh hai ®o¹n tØ lÖ víi hai c¹nh kÒ cña hai ®o¹n ®ã
C B
=
D'
A
= = =
A
M N a
B C
A
B C
D
DB AB
DC AC
= D'B AB
D'C AC
e) §Þnh nghÜa hai tam gi¸c ®ång d¹ng :
- Hai tam gi¸c ®ång d¹ng lμ hai tam gi¸c cã çc gãc t−¬ng øng b»ng
nhau vμ çc c¹nh t−¬ng øng tØ lÖ
A A '; B B '; C C '
ABC A'B'C' AB AC BC k( tØ sè ®ång d¹ng )
A'B' A'C' B'C'
D D =
= = =
f) §Þnh lÝ vÒ hai tam gi¸c ®ång d¹ng:
- NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vμ song song víi
c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thμnh mét tam gi¸c míi ®ång d¹ng víi tam gi¸c
®· cho
MN / /BC = DAMN DABC
*) L−u ý: §Þnh lÝ còng ®óng ®èi víi
tr−êng hîp ®−êng th¼ng c¾t phÇn kÐo
dμi hai c¹nh cña tam gi¸c vμ song song
víi c¹nh cßn l¹i
g) Çc tr−êng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c
a
B C
B' C'
a
B C
S
S

www.VNMATH.com
15
*)Tr−êng hîp 1: NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nμy tØ lÖ víi ba c¹nh cña
tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng.
A'
B' C
C
A
AB AC BC = = = D ABC D
A'B'C'(c.c.c)
A'B' A'C' B'C'
B
S
*)Tr−êng hîp 2: NÕu hai c¹nh cña tam gi¸c nμy tØ lÖ víi hai c¹nh cña
tam gi¸c kia vμ hai gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®ã b»ng nhau th× hai tam
gi¸c ®ång d¹ng
A'
C' B'
C
A
AB BC
A'B' B'C' ABC A'B'C'(c.g.c)
= D D
B
S
*)Tr−êng hîp 3: NÕu hai gãc cña tam gi¸c nμy lÇn l−ît b»ng hai gãc
cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ång d¹ng;
A'
B' C
C
NÕu D ABC vμ D
A'B'C' cã:
A A'
ABC A'B'C'(g.g )
= D D
B
A
S
h) C¸c tr−êng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c vu«ng
15
N¨m häc
2011 - 2015
D D
D D
=

B B'

=
=

B B'
=

www.VNMATH.com
*)Tr−êng hîp 1: NÕu hai tam gi¸c vu«ng cã mét gãc nhän b»ng nhau
A A' 90
C'
C'
B'
C A’
th× chóng ®ång d¹ng.
D D
= =

0
ABC A'B'C'
C C'
= D D
=
B
A
*)Tr−êng hîp 2: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nμy tØ lÖ
víi hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång
d¹ng.
B'
C A'
Hai tam gi¸c vu«ng ABC vμ A'B'C' cã:
AB AC = = D ABC D
A'B'C'
A'B' A'C'
B
A
*)Tr−êng hîp 3: NÕu c¹nh gãc vu«ng vμ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c
vu«ng nμy tØ lÖ víi c¹nh gãc vu«ng vμ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng
kia th× hai gi¸c ®ã ®ång d¹ng.
Hai tam gi¸c vu«ng ABC vμ A'B'C' cã:
AB BC = = D ABC D
A'B'C'
A'B' B'C'
27. TØ sè hai ®−êng cao, tØ sè diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång
d¹ng
- TØ sè hai ®−êng cao t−¬ng øng cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng tØ
sè ®ång d¹ng
- TØ s« diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng b×nh ph−¬ng tØ sè
®ång d¹ng
- Cô thÓ : DA'B'C' DABC theo tØ sè k
S
S S
S

www.VNMATH.com
17
A'H' S k vμ k
AH S
= A'B'C' 2
= =
b h
h
a
S 1 ah
a a
h
a
b
a
E F
h
d2 h
17
N¨m häc
2011 - 2015
ABC
28. DiÖn tÝch c¸c h×nh
S = a.b S = a2
= S 1 ah
2
a
= + =
S 1 d d
abc
4
a
b
a
2
=
S 1 ah
2
=
S 1 (a b)h EF.h
2
= ×
d1
S = a.h = a.b.sina 1 2
2
Chó ý:
1. DiÖn tÝch ®a gi¸c ®Òu n c¹nh, mçi c¹nh cã ®é dμi b»ng a ®−îc tÝnh
theo c«ng thøc S = 1
4
.na 2 2 4R − a (R lμ b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i
tiÕp ®a gi¸c ®Òu )
2. Dien tích tam giác:
s DABC = 1
2
.a.ha = 1
2
a.b.sinC = p.r =
R
= p( p − a)( p − b)( p − c)
+) a, b, c là do dài các cnh tng ng
+) ha là do dài dng cao ng v i cnh a
+) C là do l n c
a góc xen gia hai cnh a, b
+) p là n

a chu vi c
a tam giác
+) r là do dài bán kính dng tròn noi tiêp tam giác
+) R là do dài bán kính dng tròn ngoi tiêp tam giác.
29. Häc sinh cÇn n¾m v÷ng c¸c bμi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n

(dïng th−íc th¼ng, th−íc ®o ®é, th−íc cã chia kho¶ng, compa, ªke)
a) Dùng mét ®o¹n th¼ng b»ng mét ®o¹n th¼ng cho tr−íc;
b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tr−íc;
c) Dùng ®−êng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng cho tr−íc, dùng trung
®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng cho tr−íc;
d) Dùng tia ph©n gi¸c cña mét gãc cho tr−íc;
e) Qua mét ®iÓm cho tr−íc, dùng ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mét ®−êng
a = c¹nh kÒ
a = c¹nh kÒ
a = a a = a a a =
A
h
b
b'
th¼ng cho tr−íc;
f) Qua mét ®iÓm n»m ngoμi mét ®−êng th¼ng cho tr−íc, dùng ®−êng
th¼ng song song víi mét ®−êng th¼ng cho tr−íc;
g) Dùng tam gi¸c biÕt ba c¹nh, hoÆc biÕt hai c¹nh kÒ vμ gãc xen gi÷a,
hoÆc biÕt mét c¹nh vμ hai gãc kÒ.
30. HÖ thøc l−îng trong tam gi¸c vu«ng (líp 9)
a) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vμ ®−êng cao trong tam gi¸c vu«ng
2 b = ab'
2 c = ac '
2 2 2 a = b + c (Pi_ta_go)
bc = ah
2 h = b'c '

1 1 1
+ =
b c h
2 2 2
b) TØ sè l−îng gi¸c cña gãc nhän
§Þnh nghÜa c¸c tØ sè l−îng gi¸c cña gãc nhän
c¹nh ®èi
sin
c¹nh huyÒn
cos
c¹nh huyÒn
a =
c¹nh ®èi
tg
c¹nh kÒ
cotg
c¹nh ®èi
a =
Mét sè tÝnh chÊt cña c¸c tØ sè l−îng gi¸c
+) §Þnh lÝ vÒ tØ sè l−îng gi¸c cña hai gãc phô nhau
Cho hai gãc vμ phô nhau. Khi ®ã:
sin = cos; tg = cotg; cos = sin; cotg = tg.
+) Cho 0 0 0 a 90 . Ta cã:
2 2 0 sina 1; 0 cosa 1; sin a + cos a = 1
tg sin ; cotg cos ; tg .cotg 1
cos sin
a a
a H
c'
c
B C

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com
19
So s¸nh c¸c tØ sè l−îng gi¸c
0 0
0 a1 a2 90 = sina1 sina2 ;cosa1 cosa2 ;tga1 tga2 ;cotga1 cotga2
c) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vμ gãc trong tam gi¸c vu«ng
b = a.sinB; c = a.sinC
b = a.cosC; c = a.cosB
b = c.tgB; c = b.tgC
b = c.cotgC; c = b.cotgB
= a = b c b c
= = =
sinB sinC cosC cosB
31. §−êng trßn, h×nh trßn, gãc ë t©m, sè ®o cung
19
N¨m häc
2011 - 2015

- §−êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R lμ h×nh
gåm çc ®iÓm çch O mét kho¶ng b»ng
R, kÝ hiÖu (O ; R).
- H×nh trßn lμ h×nh gåm çc ®iÓm n»m
trªn ®−êng trßn vμ çc ®iÓm n»m bªn
trong ®−êng trßn ®ã.
- Trªn h×nh vÏ:
+) Çc ®iÓm A, B, C, D n»m trªn (thuéc)
®−êng trßn; OA = OB = OC = OD = R.
+) M n»m bªn trong ®−êng trßn; OM R
+) N n»m bªn ngoμi ®−êng trßn; ON R
+) §o¹n th¼ng AB lμ d©y cung (d©y)
+) CD = 2R, lμ ®−êng kÝnh (d©y cung lín
nhÊt, d©y ®i qua t©m)
+) AmB lμ cung nhá ( 0 0 0 a 180 )
+) AnB lμ cung lín
+) Hai ®iÓm A, B lμ hai mót cña cung
- Gãc cã ®Ønh trïng víi t©m ®−êng trßn
®−îc gäi lμ gãc ë t©m (AOB lμ gãc ë t©m
ch¾n cung nhá AmB)
- Gãc bÑt COD ch¾n nöa ®−êng trßn
- Sè ®o cung:
+) Sè ®o cña cung nhá b»ng sè ®o cña
gãc ë t©m ch¾n cung ®ã
s®AmB = a ( 0 0 0 a 180 )
+) Sè ®o cña cung lín b»ng hiÖu gi÷a
3600 vμ sè ®o cña cung nhá (cã chung
hai mót víi cung lín)
0 0 0 a 180
0 s®AnB = 360 − a
+) Sè ®o cña nöa ®−êng trßn b»ng
1800, sè ®o cña c¶ ®−êng trßn b»ng
3600
32. Quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®−êng kÝnh vμ d©y
- Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh
vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung
®iÓm cña d©y Êy
AB ^ CD t¹i H = HC = HD
- Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh ®i
qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i
qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy
33. Liªn hÖ gi÷a d©y vμ kho¶ng çch tõ t©m ®Õn d©y
a
0 a = 180
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com
21
§Þnh lÝ 1: Trong mét ®−êng trßn
a) Hai d©y b»ng nhau th× çch ®Òu t©m
b) Hai d©y çch ®Òu t©m th× b»ng nhau
AB = CD = OH = OK
OH = OK = AB = CD
§Þnh lÝ 2: Trong hai d©y cña mét ®−êng trßn
a) D©y nμo lín h¬n th× d©y ®ã gÇn t©m h¬n
b) D©y nμo gÇn t©m h¬n th× d©y ®ã lín h¬n
AB CD = OH OK
OH OK = AB CD
34. VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña ®−êng th¼ng vμ ®−êng trßn
a) §−êng th¼ng vμ ®−êng trßn c¾t nhau
(cã hai ®iÓm chung)
- §−êng th¼ng a gäi lμ çt tuyÕn cña (O)
d = OH R vμ HA = HB = 2 2 R −OH
b) §−êng th¼ng vμ ®−êng trßn tiÕp xóc
nhau (cã mét ®iÓm chung)
- §−êng th¼ng a lμ tiÕp tuyÕn cña (O)
- §iÓm chung H lμ tiÕp ®iÓm
*) TÝnh chÊt tiÕp tuyÕn: NÕu mét ®−êng th¼ng
lμ tiÕp tuyÕn cña mét ®−êng trßn th× nã vu«ng
gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm.
a lμ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i H = a ^ OH
c) §−êng th¼ng vμ ®−êng trßn kh«ng
giao nhau (kh«ng cã ®iÓm chung)
35. DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn
- §Ó nhËn biÕt mét ®−êng th¼ng lμ tiÕp tuyÕn cña mét ®−êng trßn ta cã
hai dÊu hiÖu sau:
DÊu hiÖu 1: §−êng th¼ng vμ ®−êng trßn chØ cã mét ®iÓm chung
DÊu hiÖu 2: §−êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña ®−êng trßn vμ
vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm ®ã
21
N¨m häc
2011 - 2015
d = OH = R
d = OH R
(®Þnh nghÜa tiÕp tuyÕn)

www.VNMATH.com
Î
H (O)
a lμ tiÕp tuyÕn cña (O)
a OH t¹i H
=
^
36. TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau; ®−êng trßn néi tiÕp,
bμng tiÕp tam gi¸c
a) §Þnh lÝ: NÕu hai tiÕp tuyÕn cña
mét ®−êng trßn c¾t nhau t¹i mét
®iÓm th×:
§iÓm ®ã çch ®Òu hai tiÕp ®iÓm
Tia kÎ tõ ®iÓm ®ã ®i qua t©m lμ
tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi
hai tiÕp tuyÕn
Tia kÎ tõ t©m ®i qua ®iÓm ®ã lμ
tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi
hai b¸n kÝnh ®i qua çc tiÕp
®iÓm.
AB = AC;OAB = OAC;AOB = AOC
b) §−êng trßn nét tiÕp tam gi¸c
- §−êng trßn tiÕp xóc víi ba c¹nh cña
tam gi¸c ®−îc gäi lμ ®−êng trßn néi
tiÕp tam gi¸c, khi ®ã tam gi¸c gäi lμ
tam gi¸c ngo¹i tiÕp ®−êng trßn
- T©m cña ®−êng trßn néi tiÕp tam
gi¸c lμ giao ®iÓm cña çc ®−êng ph©n
gi¸c çc gãc trong cña tam gi¸c
c) §−êng trßn bμng tiÕp tam gi¸c
- §−êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh
cña mét tam gi¸c vμ tiÕp xóc víi çc
phÇn kÐo dμi cña hai c¹nh kia gäi lμ
®−êng trßn bμng tiÕp tam gi¸c
- T©m cña ®−êng trßn bμng tiÕp lμ
giao ®iÓm cña hai ®−êng ph©n gi¸c
çc gãc ngoμi t¹i hai ®Ønh nμo ®ã
hoÆc lμ giao ®iÓm cña mét ®−êng
ph©n gi¸c gãc trong vμ mét ®−êng
ph©n gi¸c gãc ngoμi t¹i mét ®Ønh
- Víi mét tam gi¸c cã ba ®−êng
trßn bμng tiÕp (h×nh vÏ lμ
®−êng trßn bμng tiÕp trong
gãc A)
37. VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai ®−êng trßn, tiÕp tuyÕn chung cña
hai ®−êng trßn.

www.VNMATH.com
23
- §−êng th¼ng OO’ lμ ®−êng nèi t©m,
®o¹n th¼ng OO’ lμ ®o¹n nèi t©m
*) TÝnh chÊt ®−êng nèi t©m: §−êng nèi
t©m lμ ®−êng trung trùc cña d©y chung
b) Hai ®−êng trßn tiÕp xóc nhau
c) Hai ®−êng trßn kh«ng giao nhau
+) §Æc biÖt (O) vμ (O’) ®ång t©m:
d) TiÕp tuyÕn chung cña hai ®−êng
trßn
23
N¨m häc
2011 - 2015
a) Hai ®−êng trßn c¾t nhau
(cã hai ®iÓm chung)
- Hai ®iÓm A, B lμ hai giao ®iÓm
- §o¹n th¼ng AB lμ d©y chung
R - r OO' R + r
(cã mét ®iÓm chung)
- §iÓm chung A gäi lμ tiÕp ®iÓm
+) TiÕp xóc ngoμi t¹i A:
OO' = R + r
+) TiÕp xóc trong t¹i A:
OO' = R − r
(kh«ng cã ®iÓm chung)
+) ë ngoμi nhau:
OO' R + r
+) §ùng nhau:
OO' R − r
OO' = 0

www.VNMATH.com
- TiÕp tuyÕn chung cña hai ®−êng trßn
lμ ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ hai
®−êng trßn ®ã
- TiÕp tuyÕn chung ngoμi kh«ng c¾t
®o¹n nèi t©m
- TiÕp tuyÕn chung trong c¾t ®o¹n nèi
t©m
38. So s¸nh hai cung trong mét ®−êng trßn hay trong hai ®−êng
trßn b»ng nhau.
- Hai cung ®−îc gäi lμ b»ng nhau nÕu chóng cã sè ®o b»ng nhau
- Trong hai cung, cung nμo cã sè ®o lín h¬n ®−îc gäi lμ cung lín h¬n
- KÝ hiÖu: AB = CD; EF GH = GH EF
39. Liªn hÖ gi÷a cung vμ d©y.
*) §Þnh lÝ 1:
Víi hai cung nhá trong mét ®−êng trßn hay trong
hai ®−êng trßn b»ng nhau:
a) Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau
b) Hai d©y b»ng nhau c¨ng hai cung b»ng nhau
AB = CD = AB = CD ; AB = CD = AB = CD
*) §Þnh lÝ 2:
Víi hai cung nhá trong mét ®−êng trßn hay trong
hai ®−êng trßn b»ng nhau:
a) Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n
b) D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n
AB CD = AB CD ; AB CD = AB CD
40. Gãc néi tiÕp
a) §Þnh nghÜa:
- Gãc néi tiÕp lμ gãc cã ®Ønh n»m trªn
®−êng trßn vμ hai c¹nh chøa hai d©y cung
cña ®−êng trßn ®ã.
- Cung n»m bªn trong gãc ®−îc gäi lμ cung
bÞ ch¾n
b) §Þnh lÝ:
Trong mét ®−êng trßn, sè ®o cña gãc néi
tiÕp b»ng nöa sè ®o cña cung bÞ ch¾n
BAC lμ gãc néi tiÕp ch¾n
cung nhá BC(h×nh a) vμ
ch¾n cung lín BC(h×nh b)
1
BAC
= s® BC
2
c) HÖ qu¶: Trong mét ®−¬ng trßn
+) Çc gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n çc cung b»ng nhau
+) Çc gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n çc cung b»ng
nhau th× b»ng nhau

25
+) Gãc néi tiÕp (nhá h¬n hoÆc b»ng 900) cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña
gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung
+) Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn lμ gãc vu«ng.
41. Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vμ d©y cung
a) Kh¸i niÖm:
- Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vμ d©y cung lμ gãc
cã ®Ønh n»m trªn ®−êng trßn, mét c¹nh lμ mét
tia tiÕp tuyÕn cßn c¹nh kia chøa d©y cung cña
®−êng trßn
- Cung n»m bªn trong gãc lμ cung bÞ ch¾n
- H×nh vÏ:
b) §Þnh lÝ:
- Sè ®o cña gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vμ d©y
cung b»ng nöa sè ®o cña cung bÞ ch¾n
c) HÖ qu¶:
Trong mét ®−êng trßn, gãc t¹o bëi tia tiÕp
tuyÕn vμ d©y cung vμ gãc néi tiÕp cïng ch¾n
mét cung th× b»ng nhau.
25
N¨m häc
2011 - 2015
BAx ch¾n cung nhá AmB
BAy ch¾n cung lín AnB
BAx 1
= ACB
= s®AmB
2
s®BnC s®AmD BEC
= +
BAx 1 s®AmB

2
BAy 1 s®AnB

2
=
=
42. Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®−êng trßn. Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoμi
®−êng trßn.
a) Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®−êng trßn.
- Gãc cã ®Ønh n»m bªn trong ®−êng trßn ®−îc
gäi lμ gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®−êng trßn
- H×nh vÏ: BEC lμ gãc cã ®Ønh ë bªn trong
®−êng trßn ch¾n hai cung lμ BnC , AmD
- Sè ®o cña gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®−êng trßn
b»ng nöa tæng sè ®o hai cung bÞ ch¾n

2
n
m
d a
e
o
c
b
www.VNMATH.com

b) Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoμi ®−êng trßn.
- Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoμi ®−êng trßn lμ gãc cã
®Ønh n»m ngoμi ®−êng trßn vμ çc c¹nh ®Òu
cã ®iÓm chung víi ®−êng trßn
- Hai cung bÞ ch¾n lμ hai cung n»m bªn trong
gãc, h×nh vÏ bªn: BEC lμ gãc cã ®Ønh ë bªn
ngoμi ®−êng trßn, cã hai cung bÞ ch¾n lμ
AmD vμ BnC
- Sè ®o cña gãc cã ®Ønh ë bªn ngoμi ®−êng trßn
b»ng nöa hiÖu sè ®o hai cung bÞ ch¾n
A m
BEC

s®BnC s®AmD = −
2
43. KÕt qu¶ bμi to¸n quü tÝch cung chøa gãc
a) Bμi to¸n: Víi ®o¹n th¼ng AB vμ gãc a
( 0 0 0 a 180 ) cho tr−íc th× quü tÝch çc ®iÓm
M tháa m·n AMB = a lμ hai cung chøa gãc a
dùng trªn ®o¹n th¼ng AB
- Hai cung chøa gãc a dùng trªn ®o¹n th¼ng
AB ®èi xøng víi nhau qua AB
- Khi = 900 th× hai cung chøa gãc lμ hai nöa
®−êng trßn ®−êng kÝnh AB, suy ra: Quü tÝch
çc ®iÓm nh×n ®o¹n th¼ng AB cho tr−íc d−íi
mét gãc vu«ng lμ ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB
(¸p dông kiÕn thøc nμy ®Ó chøng minh tø gi¸c
néi tiÕp)
1
2
3
E
O
D
B
C
n
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com
27
b) Çch vÏ cung chøa gãc
- VÏ ®−êng trung trùc d cña ®o¹n th¼ng AB.
- VÏ tia Ax t¹o víi AB mét gãc a ( BAx =a )
- VÏ tia Ay vu«ng gãc víi tia Ax . Gäi O l giao
®iÓm cña Ay víi d
- VÏ cung AmB, t©m O b¸n kÝnh OA sao cho
cung ny n»m ë nöa mÆt ph¼ng bê AB kh«ng
chøa tia Ax.
c) Çch gi¶i bμi to¸n quü tÝch
Muèn chøng minh quü tÝch (hay tËp hîp) çc ®iÓm M tháa m·n tÝnh
chÊt T lμ mét h×nh H nμo ®ã, ta chøng minh hai phÇn:
PhÇn thuËn: Mäi ®iÓm cã tÝnh chÊt T ®Òu thuéc h×nh H
PhÇn ®¶o: Mäi ®iÓm thuéc h×nh H ®Òu cã tÝnh chÊt T
KÕt luËn: Quü tÝch (hay tËp hîp) çc ®iÓm M cã tÝnh chÊt T lμ h×nh H
44. Tø gi¸c néi tiÕp
a) Kh¸i niÖm tø gi¸c néi tiÕp
- Mét tø gi¸c cã bèn ®Ønh n»m trªn mét ®−êng
trßn ®−îc gäi lμ tø gi¸c néi tiÕp ®−êng trßn (gäi
t¾t lμ tø gi¸c néi tiÕp)
b) §Þnh lÝ:
- Trong mét tø gi¸c néi tiÕp, tæng sè ®o hai gãc
®èi diÖn b»ng 1800
27
N¨m häc
2011 - 2015
Tø gi¸c ABCD néi
tiÕp (O), suy ra:
0 A + C = B + D = 180
c) DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp
Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800
Tø gi¸c cã gãc ngoμi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi
diÖn
Tø gi¸c cã bèn ®Ønh çch ®Òu mét ®iÓm (mμ ta cã thÓ x¸c ®Þnh
®−îc). §iÓm ®ã lμ t©m cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c
Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i
d−íi mét gãc
L−u ý: §Ó chøng minh mét tø gi¸c lμ tø gi¸c néi tiÕp ta cã thÓ chøng
minh tø gi¸c ®ã lμ mét trong çc h×nh : H×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng,
h×nh thang c©n.
45. §−êng trßn ngo¹i tiÕp. §−êng trßn néi tiÕp

www.VNMATH.com
- §−êng trßn ®i qua tÊt c¶ c¸c ®Ønh cña mét
®a gi¸c ®−îc gäi lμ ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ®a
gi¸c vμ ®a gi¸c ®−îc gäi lμ ®a gi¸c néi tiÕp
®−êng trßn
- §−êng trßn tiÕp xóc víi tÊt c¶ c¸c c¹nh cña
mét ®a gi¸c ®−îc gäi lμ ®−êng trßn néi tiÕp ®a
gi¸c vμ ®a gi¸c ®−îc gäi lμ ®a gi¸c ngo¹i tiÕp
®−êng trßn
- BÊt k× ®a gi¸c ®Òu nμo còng cã mét vμ chØ
mét ®−êng trßn ngo¹i tiÕp, cã mét vμ chØ mét
®−êng trßn néi tiÕp.
- Trong ®a gi¸c ®Òu, t©m cña ®−êng trßn
ngo¹i tiÕp trïng víi t©m cña ®−êng trßn néi
tiÕp vμ ®−îc gäi lμ t©m cña ®a gi¸c ®Òu.
I
46. Mét sè ®Þnh lÝ ®−îc ¸p dông : (kh«ng cÇn chøng minh)
a) §Þnh lÝ 1:
+) T©m cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c vu«ng lμ trung ®iÓm cña
c¹nh huyÒn
+) NÕu mét tam gi¸c cã mét c¹nh lμ ®−êng kÝnh cña ®−êng trßn ngo¹i
tiÕp th× tam gi¸c ®ã lμ tam gi¸c vu«ng
b) §Þnh lÝ 2:
Trong mét ®−êng trßn, hai cung bÞ ch¾n gi÷a hai d©y song song th×
b»ng nhau
c) §Þnh lÝ 3:
Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cña mét
cung th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y c¨ng cung Êy.
d) §Þnh lÝ 4:
Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y
cung (kh«ng ph¶i lμ ®−êng kÝnh) th× chia cung c¨ng d©y Êy thμnh hai
cung b»ng nhau
e) §Þnh lÝ 5:
Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cña mét
cung th× vu«ng gãc víi d©y c¨ng cung Êy vμ ng−îc l¹i, ®−êng kÝnh
vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung c¨ng d©y
Êy.
47. §é dμi ®−êng trßn, ®é dμi cung trßn, diÖn tÝch h×nh trßn,
diÖn tÝch h×nh qu¹t trßn
a) §é dμi ®−êng trßn
C«ng thøc tÝnh ®é di ®−êng trßn (chu vi h×nh

www.VNMATH.com
29
R: l b¸n kÝnh ®−êng trßn
d: l ®−êng kÝnh ®−êng trßn
Trong ®ã: l : l ®é di cung trßn n0
R: l b¸n kÝnh ®−êng trßn
n: l sè ®o ®é cña gãc ë t©m
S : l diÖn tÝch h×nh trßn .
R : l b¸n kÝnh h×nh trßn .
p » 3 , 14
p n HoÆc
.
R
2
S l diÖn tÝch h×nh qu¹t trßn cung n0
R l b¸n kÝnh
l l ®é di cung n0 cña h×nh qu¹t trßn
p » 3 , 14
48. Ph−¬ng ph¸p chøng minh mét sè bμi to¸n h×nh häc th−êng
gÆp khi «n thi vμo THPT
a) Chøng minh tam gi¸c c©n
1. Chøng minh tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau
2. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau
3. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®−êng trung tuyÕn võa lμ ®−êng cao
4. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®−êng cao võa lμ ®−êng ph©n gi¸c ë
1. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba c¹nh b»ng nhau
2. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba gãc b»ng nhau
3. Chøng minh tam gi¸c c©n cã mét gãc lμ 600
c) Chøng minh mét tø gi¸c lμ h×nh b×nh hμnh
1. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi song song lμ h×nh b×nh hμnh
29
N¨m häc
2011 - 2015
trßn) b¸n kÝnh R l:
C =2p R HoÆc C =p d
Trong ®ã: C : l ®é di ®−êng trßn
p » 3,1415... l sè v« tØ.
b) §é dμi cung trßn
§é di cung trßn n0 l: p
.
=
R n
180
l
c) DiÖn tÝch h×nh trßn
2 S =p .R
Trong ®ã:
d) DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn
2
S =
quat
R
360
=
quat
S
Trong ®ã:
®Ønh
b) Chøng minh tam gi¸c ®Òu

www.VNMATH.com
2. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi b»ng nhau lμ h×nh b×nh hμnh
3. Tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song vμ b»ng nhau lμ h×nh b×nh hμnh
4. Tø gi¸c cã c¸c gãc ®èi b»ng nhau lμ h×nh b×nh hμnh
5. Tø gi¸c cã hai ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng
lμ h×nh b×nh hμnh
d) Chøng minh mét tø gi¸c lμ h×nh thang:
Ta chøng minh tø gi¸c ®ã cã hai c¹nh ®èi song song
e) Chøng minh mét h×nh thang lμ h×nh thang c©n
1. Chøng minh h×nh thang cã hai gãc kÒ mét ®¸y b»ng nhau
2. Chøng minh h×nh thang cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau
f) Chøng minh mét tø gi¸c lμ h×nh ch÷ nhËt
1. Tø gi¸c cã ba gãc vu«ng lμ h×nh ch÷ nhËt
2. H×nh thanh c©n cã mét gãc vu«ng lμ h×nh ch÷ nhËt
3. H×nh b×nh hμnh cã mét gãc vu«ng lμ h×nh ch÷ nhËt
4. H×nh b×nh hμnh cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau lμ h×nh ch÷ nhËt
g) Chøng minh mét tø gi¸c lμ h×nh thoi
1. Tø gi¸c cã bèn c¹nh b»ng nhau
2. H×nh b×nh hμnh cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau
3. H×nh b×nh hμnh cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau
4. H×nh b×nh hμnh cã mét ®−êng chÐo lμ ®−êng ph©n gi¸c cña mét
gãc
h) Chøng minh mét tø gi¸c lμ h×nh vu«ng
1. H×nh ch÷ nhËt cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau
2. H×nh ch÷ nhËt cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc
3. H×nh ch÷ nhËt cã mét ®−êng chÐo lμ ®−êng ph©n gi¸c cña mét gãc
4. H×nh thoi cã mét gãc vu«ng
5. H×nh thoi cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau
i) Chøng minh hai ®−êng th¼ng vu«ng gãc
Ph−¬ng ph¸p 1: NÕu hai gãc cña mét tam gi¸c cã tæng b»ng 900 th×
tam gi¸c ®ã lμ tam gi¸c vu«ng = gãc cßn l¹i b»ng 900 = hai
®−êng th¼ng chøa hai c¹nh gãc vu«ng lμ vu«ng gãc víi nhau.
Ph−¬ng ph¸p 2: NÕu mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mét trong hai
®−êng th¼ng song song th× nã còng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng kia
Ph−¬ng ph¸p 3: VËn dông tÝnh chÊt, nÕu mét tam gi¸c cã mét
®−êng trung tuyÕn øng víi mét c¹nh b»ng nöa c¹nh Êy th× tam
gi¸c ®ã lμ tam gi¸c vu«ng = hai ®−êng th¼ng chøa hai c¹nh gãc
vu«ng lμ vu«ng gãc víi nhau.
Ph−¬ng ph¸p 4: VËn dông tÝnh chÊt ba ®−êng cao cña tam gi¸c,
Ph−¬ng ph¸p 5: VËn dông hai gãc kÒ phô nhau (hai gãc kÒ cã tæng
b»ng 900)
Ph−¬ng ph¸p 6: VËn dông tÝnh chÊt hai c¹nh kÒ cña h×nh ch÷
nhËt, h×nh vu«ng th× vu«ng gãc víi nhau

www.VNMATH.com
31
Ph−¬ng ph¸p 7: VËn dông tÝnh chÊt cña tam gi¸c c©n
Trong tam gi¸c c©n, ®−êng ph©n gi¸c, ®−êng trung tuyÕn xuÊt
ph¸t tõ ®Ønh ®ång thêi lμ ®−êng cao
Ph−¬ng ph¸p 8: VËn dông tÝnh chÊt hai ®−êng chÐo cña h×nh thoi
Ph−¬ng ph¸p 9: VËn dông hai tam gi¸c ®ång d¹ng víi nhau (hoÆc
hai tam gi¸c b»ng nhau), trong ®ã cã mét tam gi¸c vu«ng.
Ph−¬ng ph¸p 10: VËn dông tÝnh chÊt hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc
Ph−¬ng ph¸p 11: Dùa vμo ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Py - ta - go
Ph−¬ng ph¸p 12: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp cã mét gãc b»ng 900,
suy ra gãc ®èi diÖn còng b»ng 900 = hai ®−êng th¼ng chøa hai
c¹nh cña gãc lμ vu«ng gãc víi nhau.
Ph−¬ng ph¸p 13: VËn dông tÝnh chÊt ®−êng nèi t©m
Ph−¬ng ph¸p 14: VËn dông ®Þnh nghÜa ®−êng trung trùc.
Ph−¬ng ph¸p 15: Sö dông tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng
Ph−¬ng ph¸p 16: Sö dông tÝnh chÊt ®−êng kÝnh cña mét ®−êng
trßn ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y cung kh«ng ®i qua t©m th×
vu«ng gãc víi d©y Êy hoÆc ®−êng kÝnh cña mét ®−êng trßn ®i qua
®iÓm chÝnh gi÷a cña mét cung th× vu«ng gãc víi d©y c¨ng cung Êy
Ph−¬ng ph¸p 17: Sö dông tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn
(tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn lu«n lu«n vu«ng gãc víi b¸n kÝnh t¹i
mót n»m trªn ®−êng trßn); tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn chung cña hai
®−êng trßn.
Ph−¬ng ph¸p 18: D©y cung chung vμ ®−êng nèi t©m cña hai
®−êng trßn th× vu«ng gãc víi nhau
Ph−¬ng ph¸p 19: Sö dông hai gãc kÒ bï b»ng nhau
Ph−¬ng ph¸p 20: Chøng minh mét tam gi¸c b»ng mét tam gi¸c
Ph−¬ng ph¸p 21: Sö dông tÝnh chÊt tam gi¸c c©n
Ph−¬ng ph¸p 22: Chøng minh b»ng ph¶n chøng
k) Chøng minh hai ®−êng th¼ng song song víi nhau
Ph−¬ng ph¸p 1: Chøng minh hai ®−êng th¼ng chøa hai c¹nh ®èi
cña h×nh b×nh hμnh (hoÆc h×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng, h×nh thoi)
Ph−¬ng ph¸p 2: Dùa vμo dÊu hiÖu nhËn biÕt hai ®−êng th¼ng song
song: NÕu ®−êng th¼ng c c¾t hai ®−êng th¼ng a, b vμ trong c¸c gãc
t¹o thμnh cã mét cÆp gãc so le trong b»ng nhau (hoÆc mét cÆp gãc
®ång vÞ b»ng nhau) th× a vμ b song song víi nhau
Ph−¬ng ph¸p 3: Hai ®−êng th¼ng cïng song song víi ®−êng th¼ng
thø ba th× song song víi nhau.
Ph−¬ng ph¸p 4: Hai ®−êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng
thø ba th× song song víi nhau.
31
N¨m häc
2011 - 2015
vu«ng gãc víi nhau
kÒ bï th× vu«ng gãc víi nhau
trßn b»ng 900
vu«ng

www.VNMATH.com
Ph−¬ng ph¸p 5: ¸p dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Ta - lÐt
Ph−¬ng ph¸p 6: S

dng tính chât dng trung bình c
a tam
giác, hình thang

dng phng pháp chng minh bang phn
chng.
m) Chøng minh hai gãc b»ng nhau
Ph−¬ng ph¸p 1: Chøng minh hai gãc ®ã lμ hai gãc t−¬ng øng cña
hai tam gi¸c b»ng nhau
Ph−¬ng ph¸p 2: Chøng minh hai gãc ®ã lμ hai gãc t−¬ng øng cña
hai tam gi¸c ®ång d¹ng
Ph−¬ng ph¸p 3: Chøng minh hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh
Ph−¬ng ph¸p 4: NÕu hai ®−êng th¼ng song song = hai gãc so le
trong b»ng nhau, hai gãc so le ngoμi b»ng nhau, hai gãc ®ång vÞ
b»ng nhau.
Ph−¬ng ph¸p 5: Chøng minh hai gãc cña cïng mét tam gi¸c c©n
Ph−¬ng ph¸p 6: Chøng minh hai gãc cña cïng mét tam gi¸c ®Òu
Ph−¬ng ph¸p 7: Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba
Ph−¬ng ph¸p 8: Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau
kh¸c
Ph−¬ng ph¸p 9: Chøng minh hai gãc cïng phô hoÆc cïng bï víi
mét gãc thø ba
Ph−¬ng ph¸p 10: Chøng minh hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét
cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng nhau
Ph−¬ng ph¸p 11: Chøng minh hai gãc cã sè ®o b»ng nhau.
Ph−¬ng ph¸p 12: Chøng minh hai gãc b»ng tæng (hiÖu) hai gãc
t−¬ng øng b»ng nhau
Ph−¬ng ph¸p 13: Chøng minh hai gãc ®ã lμ hai gãc ë ®¸y cña
h×nh thang c©n
Ph−¬ng ph¸p 14: Sö dông tÝnh chÊt vÒ gãc cña h×nh b×nh hμnh
Ph−¬ng ph¸p 15: Sö dông ®Þnh nghÜa tia ph©n gi¸c cña mét gãc
Ph−¬ng ph¸p 16: Sö dông c¸c gãc b»ng nhau cho tr−íc vμ biÕn ®æi
Ph−¬ng ph¸p 17: Sö dông ph−¬ng ph¸p chøng minh b»ng ph¶n
chøng

dng hàm sô lng giác sin, c«sin, tang,
c«tang.
n) Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau
Ph−¬ng ph¸p 1: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng lμ hai c¹nh t−¬ng
øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau
Ph−¬ng ph¸p 2: Sö dông tÝnh chÊt hai ®−êng chÐo cña h×nh b×nh
hμnh, h×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi
®−êng

www.VNMATH.com
33
Ph−¬ng ph¸p 3: VËn dông tÝnh chÊt hai c¹nh bªn cña tam gi¸c
Ph−¬ng ph¸p 4: VËn dông tÝnh chÊt ba c¹nh cña tam gi¸c ®Òu
Ph−¬ng ph¸p 5: VËn dông sù b»ng nhau cña c¸c c¹nh ®èi cña
h×nh b×nh hμnh, h×nh ch÷ nhËt, h×nh thoi , h×nh vu«ng.
Ph−¬ng ph¸p 6: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng mét ®o¹n
Ph−¬ng ph¸p 7: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng lμ hai c¹nh bªn cña
Ph−¬ng ph¸p 8: Trong mét ®−êng trßn hoÆc trong hai ®−êng trßn
b»ng nhau, hai d©y c¨ng hai cung b»ng nhau th× b»ng nhau
Ph−¬ng ph¸p 9: Trong mét ®−êng trßn hoÆc trong hai ®−êng trßn
b»ng nhau, hai d©y c¸ch ®Òu t©m th× b»ng nhau
Ph−¬ng ph¸p 10: VËn dông ®Þnh lÝ, nÕu mét ®−êng th¼ng ®i qua
trung ®iÓm mét c¹nh cña tam gi¸c vμ song song víi c¹nh thø hai
th× nã sÏ ®i qua trung ®iÓm cña c¹nh thø ba
Ph−¬ng ph¸p 11: VËn dông ®Þnh nghÜa ®−êng trung trùc cña ®o¹n
th¼ng, ®nh nghia trung diem c
a don thang, dnh nghia
dng trung tuyên c
a tam giác
Ph−¬ng ph¸p 12: Chøng minh hai don thang cã cùng sô do.
Ph−¬ng ph¸p 13: Chøng minh hai don thang cùng bang don
Ph−¬ng ph¸p 14: Chøng minh hai don thang cùng bang tong,
hieu, trung bình nhân, . . . , c
a hai don thang bang nhau
tng dôi mot.
Ph−¬ng ph¸p 15: Sö dông tính chât trung tuyên ng v i cnh
huyên, tính chât cnh dôi dien v i góc 300 c
a tam giác vuông.
Ph−¬ng ph¸p 16: Sö dông tính chât dng phân giác c
a mot
góc.
Ph−¬ng ph¸p 17: Sö dông tính chât c
a hai don thang song
song bÞ chan gia bi hai dng thang song song.
Ph−¬ng ph¸p 18: Chng minh bang phn chng.

dng các don thang bang nhau cho tr c

dng dnh lí dng trung bình c
a tam giác

dng tính chât tr!ng tâm cña tam gi¸c
(tính chât c
a giao diem ba dng phân giác cña tam gi¸c),
tính chât c
a giao diem ba dng trung trc.
33
N¨m häc
2011 - 2015
c©n b»ng nhau
b»ng nhau
th¼ng thø ba
h×nh thang c©n
thang th ba.
rôi biên doi.
(thuan và do).
Ph−¬ng ph¸p 22:

www.VNMATH.com
S

dng bình phng c
a chúng bang nhau (có the s

dng
dnh lí Pitago, tam giác dông dng, he thc lng trong tam
giác, trong dng tròn de da vê bình phng c
a chúng bang
nhau)
o) Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hμng
Ph−¬ng ph¸p 1: Lîi dông hai gãc kÒ bï
Ph−¬ng ph¸p 2: VËn dông tiªn ®Ò ¬-clÝt
Qua mét ®iÓm ë ngoμi mét ®−êng th¼ng, chØ cã mét ®−êng th¼ng
song song víi ®−êng th¼ng ®· cho (hai ®−êng th¼ng cïng ®i qua
hai trong ba ®iÓm Êy cïng song song víi ®−êng th¼ng thø ba)
Ph−¬ng ph¸p 3: VËn dông tÝnh chÊt:
Qua mét ®iÓm ë ngoμi mét ®−êng th¼ng, chØ cã mét ®−êng th¼ng
vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng ®· cho (hai ®−êng th¼ng cïng ®i qua
hai trong ba ®iÓm Êy cïng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng thø ba)
Ph−¬ng ph¸p 4: Chøng minh ®−êng th¼ng vÏ qua hai ®iÓm ®i qua
®iÓm cßn l¹i.
Ph−¬ng ph¸p 5: VËn dông tÝnh chÊt cña h×nh b×nh hμnh lμ hai
®−êng chÐo cña chóng c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng.
Ph−¬ng ph¸p 6: Chøng minh ba ®iÓm cïng thuéc mét tia hoÆc mét
®−êng th¼ng
p) Chøng minh ba ®−êng th¼ng ®ång quy
Ph−¬ng ph¸p 1: Dùa vo tÝnh chÊt çc ®−êng ®ång quy trong tam
gi¸c: Ba ®−êng cao, ba ®−êng trung tuyÕn, ba ®−êng ph©n gi¸c, ba
®−êng trung trùc.
Ph−¬ng ph¸p 2: Chøng minh giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng n»m
trªn ®−êng th¼ng thø ba.
Ph−¬ng ph¸p 3: Chøng minh çc ®−êng cïng ®i qua mét ®iÓm cè
®Þnh.
L−u ý: Çc ph−¬ng ph¸p trªn cã thÓ ®−îc vËn dông bëi nh÷ng kÜ n¨ng
kh¸c nhau.
q) Chøng minh çc ®iÓm cïng thuéc mét ®−êng trßn
Ph−¬ng ph¸p 1: Chøng minh çc ®iÓm çch ®Òu mét ®iÓm cè
®Þnh, kho¶ng çch ®ã lμ b¸n kÝnh cña ®−êng trßn.
Ph−¬ng ph¸p 2: NÕu mét ®iÓm nh×n mét ®o¹n th¼ng d−íi gãc 0 90 ,
th× theo quü tÝch cung chøa gãc, ®iÓm ®ã thuéc ®−êng trßn nhËn
®o¹n th¼ng Êy lμ ®−êng kÝnh
Ph−¬ng ph¸p 3: NÕu chøng minh bèn ®iÓm cïng thuéc mét ®−êng
trßn, ta cã thÓ chøng minh tø gi¸c néi tiÕp

www.VNMATH.com
35
Ph−¬ng ph¸p 4: NÕu chøng minh bèn ®iÓm cïng thuéc mét ®−êng
trßn, ta cã thÓ chøng minh bèn ®iÓm ®ã lμ bèn ®Ønh cña h×nh
vu«ng, h×nh ch÷ nhËt, h×nh thang c©n.
r) Chøng minh quü tÝch cña ®iÓm lμ ®−êng trßn
B−íc 1: T×m ®iÓm cè ®Þnh
B−íc 2: Chøng minh kho¶ng çch cña ®iÓm chuyÓn ®éng víi ®iÓm
§iÓm chuyÓn ®éng trªn ®−êng trßn, nhËn ®iÓm cè ®Þnh lμm t©m,
kho¶ng çch kh«ng ®æi lμ b¸n kÝnh.
s) Chøng minh mét tø gi¸c lμ tø gi¸c néi tiÕp
Ph−¬ng ph¸p 1: Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800
Ph−¬ng ph¸p 2: Tø gi¸c cã gãc ngoμi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong
Ph−¬ng ph¸p 3: Tø gi¸c cã bèn ®Ønh çch ®Òu mét ®iÓm (mμ ta cã
thÓ x¸c ®Þnh ®−îc). §iÓm ®ã lμ t©m cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø
gi¸c
Ph−¬ng ph¸p 4: Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa
hai ®Ønh cßn l¹i d−íi mét gãc
Ph−¬ng ph¸p 5: §Ó chøng minh mét tø gi¸c lμ tø gi¸c néi tiÕp ta
cã thÓ chøng minh tø gi¸c ®ã lμ mét trong çc h×nh : H×nh ch÷
nhËt, h×nh vu«ng, h×nh thang c©n.
Ph−¬ng ph¸p 6: Chøng minh tæng çc gãc ®èi b»ng nhau
*) Thñ thuËt th−êng gÆp:
Sö dông kü thuËt céng gãc
Chøng minh tæng hai gãc ®èi diÖn cña tø gi¸c b»ng tæng ba gãc
Dùa vμo çc tam gi¸c ®ång d¹ng ®Ó chøng minh gãc ngoμi t¹i mét
®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn.
§Ó chøng minh tø gi¸c nμy néi tiÕp ta cÇn chøng minh th«ng qua
mét tø gi¸c néi tiÕp kh¸c n÷a.
t) Chøng minh mét ®−êng th¼ng lμ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn;
chøng minh mét ®−êng th¼ng lμ tiÕp tuyÕn chung cña hai
®−êng trßn
Ph−¬ng ph¸p 1: Chøng minh ®−êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña
®−êng trßn vμ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm ®ã.
a lμ tiÕp tuyÕn cña (O)
35
N¨m häc
2011 - 2015
cè ®Þnh kh«ng ®æi.
B−íc 3: KÕt luËn.
cña ®Ønh ®èi diÖn
cña mét tam gi¸c nμo ®ã
Î
H (O)
a OH t¹i H
=
^

www.VNMATH.com
Ph−¬ng ph¸p 2:
§§Ó chøng minh ®−êng th¼ng d tiÕp xóc
víi ®−êng trßn (O) t¹i ®iÓm A ta chøng
minh gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d víi d©y
AB no ®ã b»ng gãc néi tiÕp ch¾n cung
AB.
Cho h×nh vÏ:
NÕu BAx = ACB th× d l tiÕp tuyÕn cña
= th× Ax lμ mét tia
®−êng trßn
Ph−¬ng ph¸p 3: Sö dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ vÒ gãc t¹o bëi tia
tiÕp tuyÕn vμ d©y cung
Cho h×nh vÏ:
NÕu BAx 1 s®AmB
2
tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn
u) Ph−¬ng ph¸p chøng minh mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a çc ®o¹n
th¼ng, çc c¹nh cña hai tam gi¸c, çc ®o¹n th¼ng víi b¸n
kÝnh cña ®−êng trßn , ...
Ph−¬ng ph¸p 1: ¸p dông hÖ thøc l−îng trong tam gi¸c vu«ng
Ph−¬ng ph¸p 2: Chøng hai tam gi¸c ®ång d¹ng
Ph−¬ng ph¸p 3: VËn dông hai cÆp tam gi¸c ®ång d¹ng ®Ó cã tØ sè
trung gian (nguyªn t¾c b¾c cÇu)
a c

= b d
a a' = = hay ab' = a'b
a' c b b'
=
b' d

Ph−¬ng ph¸p 4: VËn dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c
Ph−¬ng ph¸p 5: VËn dông ®Þnh lÝ Py - ta - go
Ph−¬ng ph¸p 6: Ph−¬ng ph¸p ®Þnh l−îng (tÝnh to¸n hai vÕ)
Ph−¬ng ph¸p 7: VËn dông tÝnh chÊt ®−êng ph©n gi¸c trong tam
gi¸c ®Ó cã tØ sè trung gian
49. Ph−¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ h×nh häc THCS
1. V i ba diem bât kì trong mat phang (không gian) A, B, C ta có:
AC£ AB + BC
AC = AB + BC ÛA, B, C thang hàng và B gia A và C
AB − AC £ BC
AC – AB = BC ÛA, B, C thang hàng và B gia A và C
2. Trong sô các dng xiên và dng vuông góc h t mot diem dên
mot dng thang trong mat phang ta có:

www.VNMATH.com
37
a) Dng vuông góc ngan hn m!i dng xiên.
b) Dng xiên nào có hình chiêu l n hn thì l n hn và ngc li.
3. Trong mot tam giác, dôi dien v i góc l n hn là cnh l n hn và
4. Trong hai tam giác có hai cap cnh tng ng bang nhau, nêu cnh
th ba c
a tam giác này l n hn cnh th ba c
a tam giác kia thì góc
dôi dien cung tng ng l n hn và ngc li.
5. Trong tât c các dng nôi liên hai diem, don thang nôi liên hai
6. Trong tât c các dây cung c
a dng tròn, dng kính là dây l n
7. Trong mot dng tròn, dây nào có do dài l n hn thì khong cách t
dó dên tâm nh hn và ngc li.
Cho a, b là hai sô không âm. Ta luôn có: a b ab
37
N¨m häc
2011 - 2015
ngc li.
diem dó là ngan nhât.
nhât.
8. Bât dang thc côsi:
+ ³
2
+) Nêu a + b (không doi) ab l n nhât khi a = b.
+) Nêu ab (không doi) a + b nh nhât khi a = b.
9. Mot phân thc v i t

thc không doi, phân thc
dt giá tr l n nhât nêu mau thc dt giá tr nh nhât và phân thc
dt giá tr nh nhât nêu mau thc dt giá tr l n nhât.
ph©n d¹ ppphhhnnn dddnnnngggg vvvvμμμμ pppphhhh−−−−¬nnnngggg pppphhhh¸pppp ggggiiii¶iiii

MMMM«nnnn :::: §¹iiii SSSSèèèè - TTTTHHHHCCCCSSSS
Website: http://quanghieu030778.violet.vn
IIII - CCCC¸cccc lllloooo¹iiii pppphhhh−−−−¬nnnngggg ttttrrrr××××nnnnhhhh
1. Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt
- Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt lμ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng ax + b = 0 (a¹ 0)
- Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = b
a
−

www.VNMATH.com
- Chó ý: NÕu ph−¬ng tr×nh chøa tham sè ta chuyÓn vÒ d¹ng Ax = B vμ
BA
xÐt çc tr−êng hîp sau:
NÕu A ¹ 0 ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = −
NÕu A = 0 , B ¹ 0 ph−¬ng tr×nh trë thμnh 0.x = B
= ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm
NÕu A = 0, B = 0 = ph−¬ng tr×nh v« sè nghiÖm
=
2. Ph−¬ng tr×nh tÝch
- Ph−¬ng tr×nh tÝch cã d¹ng A(x).B(x) = 0
- Çch gi¶i: A(x).B(x) = 0 = A(x) = 0 hoÆc B(x) = 0
- Tr×nh bμy gän : A(x).B(x) = 0 =
A(x) 0
B(x) 0
=

=
- Më réng: A(x).B(x).C(x) = 0 =
A(x) 0
B(x) 0
C(x) 0
=

=

=
3. Ph−¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu
- Gi¶i ph−¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu ta thùc hiÖn theo 4 b−íc:
B−íc 1: T×m §KX§ cña ph−¬ng tr×nh
B−íc 2: Quy ®ång mÉu hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh råi khö mÉu
B−íc 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh võa nhËn ®−îc
B−íc 4: (kÕt luËn)
Trong çc gi¸ trÞ cña Èn t×m ®−îc ë b−íc 3, çc gi¸ trÞ tháa m·n
§KX§ chÝnh lμ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®· cho, gi¸ trÞ cña x
kh«ng thuéc §KX§ lμ nghiÖm ngo¹i lai (lo¹i ®i)
4. Ph−¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
- §Þnh nghÜa: A nÕu A 0
A
³
=
−
A nÕu A 0
- Çc d¹ng ph−¬ng tr×nh
f (x) = 0 = f (x) = 0

f (x) k
f (x) k(k 0) f (x) k
f (x) k
= = = ± =

= −

f (x) g(x)
f (x) g(x)
=
f (x) g(x)
= =

= −
HoÆc [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 2 f (x) = g(x) = f (x) = g(x) = f (x) − g(x) = 0 , ¸p
dông h»ng ®¼ng thøc hiÖu hai b×nh ph−¬ng vμ ®−a vÒ ph−¬ng
tr×nh tÝch (nÕu çc ®a thøc ë hai vÕ lμ bËc nhÊt th× cã thÓ khai
triÓn ngay vμ kh«ng cÇn chuyÓn vÕ)

www.VNMATH.com
39
³

f (x) 0
f (x) g(x)
f (x) 0
f (x) g(x)
=

£

= −
39
N¨m häc
2011 - 2015
f (x) = g(x) =
hoÆc =
g(x) 0
f (x) g(x)
³
f (x) 0
³
f (x) g(x) g(x) ³
0
³
= = ³
³

g(x) 0
f (x) g(x)
g(x) 0
f (x) g(x)
=

³

= −
HoÆc =
g(x) 0
f (x) g(x) hoÆc f (x) g(x)
³
= = −
HoÆc =
[ ] [ ] 2 2
=
- Chó ý: 2 2 A = A ; A ³ ±A vμ A − B £ A ± B £ A + B
5. Ph−¬ng tr×nh v« tØ
2 f (x) = A(A ³ 0) = f (x) = A (víi f(x) lμ mét ®a thøc)

[ ]2
f (x) g(x)
= =
=

f (x) 0
f (x) g(x) g(x) 0
f (x) g(x)
=
*)L−u ý: HÇu hÕt khi gi¶i ph−¬ng tr×nh chøa Èn trong c¨n, ta cÇn
x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph−¬ng tr×nh vμ c¸c ®iÒu kiÖn t−¬ng
®−¬ng. NÕu kh«ng cã thÓ thö l¹i trùc tiÕp.
6. Ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng
Ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng l ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:
4 2 ax + bx + c = 0 (a ¹ 0)
§Æt x2 = t ( t ³ 0 ), ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng trë thnh ph−¬ng
tr×nh bËc hai Èn t : 2 at + bt + c = 0 (*)
Gi¶i ph−¬ng tr×nh (*), lÊy nh÷ng gi¸ trÞ thÝch hîp tháa m4n t ³ 0
Thay vo ®Æt x2 = t v t×m x = ?
7. Ph−¬ng tr×nh bËc cao
a) Ph−¬ng tr×nh bËc ba d¹ng: ax3 + bx2 + cx + d = 0
H−íng dÉn: NhÈm nghiÖm (nÕu cã nghiÖm nguyªn th× nghiÖm ®ã
l −íc cña h¹ng tö tù do d) hoÆc dïng s¬ ®å Hooc- ne hoÆc dïng
m¸y tÝnh ®Ó t×m nhanh nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh, khi
®4 biÕt mét nghiÖm th× dÔ dng ph©n tÝch VT d−íi d¹ng tÝch v
gi¶i ph−¬ng tr×nh tÝch (hoÆc chia ®a thøc)
b) Ph−¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
H−íng dÉn: Ph−¬ng ph¸p t−¬ng tù nh− ph−¬ng tr×nh bËc ba trªn
c) Ph−¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng:

www.VNMATH.com
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (víi d =
2

c
a
).
Ph−¬ng ph¸p:
Víi x = 0, thay vo ph−¬ng tr×nh v kiÓm tra xem x = 0 cã l
nghiÖm hay kh«ng ?
Víi x ¹ 0. Chia c¶ hai vÕ cho x2, sau ®ã ta ®Æt t = x + c
ax
d) Ph−¬ng tr×nh bËc 4 d¹ng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m)
Ph−¬ng ph¸p: §Æt t = x2 + mx + ab + cd
2
e) Ph−¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (víi ab = cd = k)
Ph−¬ng ph¸p:
Chia c¶ hai vÕ cho x2. §Æt t = x + k
x
IIIIIIII- BBBBÊÊÊÊtttt pppphhhh−−−−¬nnnngggg ttttrrrr××××nh bbbbËËËËcccc nnnnhhhhÊÊÊÊtttt mmmméééétttt ÈÈÈÈnnnn
1) §Þnh nghÜa:
Mét bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng ax + b 0 (hoÆc ax + b 0) víi a ¹ 0
®−îc gäi lμ mét bÊt ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn
2) C¸ch gi¶i: ax + b 0 = ax - b
NÕu a 0 th× x b
a
−
NÕu a 0 th× x b
a
−
3) KiÕn thøc cã liªn quan:
Hai bÊt ph−¬ng tr×nh ®−îc gäi lμ t−¬ng ®−¬ng nÕu chóng cã cïng
tËp nghiÖm vμ dïng kÝ hiÖu = ®Ó chØ sù t−¬ng ®−¬ng ®ã
Quy t¾c chuyÓn vÕ: Khi chuyÓn mét h¹ng tö (lμ sè hoÆc ®a thøc) tõ
vÕ nμy sang vÕ kia cña bÊt ph−¬ng tr×nh ta ph¶i ®æi dÊu h¹ng tö
®ã = ta cã thÓ xãa hai h¹ng tö gièng nhau ë hai vÕ
Quy t¾c nh©n: Khi nh©n hai vÕ cña mét bÊt ph−¬ng tr×nh víi cïng
mét sè kh¸c 0, ta ph¶i: Gi÷ nguyªn chiÒu BPT nÕu sè ®ã d−¬ng;
®æi chiÒu BPT nÕu sè ®ã ©m.
4) TÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt ®¼ng thøc
- Víi mäi sè thùc a, b, c ta cã : a b = a + c b + c
- Víi mäi sè thùc a, b, c, d ta cã : a b, b c = a c (t/c b¾c cÇu)
a b, c d = a + c b + d
a b 0, c d 0 = ac b
- Víi mäi sè thùc a, b, c,
+ NÕu c 0 th× a b = ac bc

www.VNMATH.com
41
+ NÕu c 0 th× a b = ac bc
- Víi a, b lμ hai sè thùc : a b = a3 b3 vμ a b = a3 b3
- NÕu a ³ 0,b ³ 0 th× a b = a b vμ a b = a2 b2
- Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc A
Ta cã: A2 ( 0, |A| ( 0, A2 = A
- BÊt ®¼ng thøc C« - si: Cho a, b lμ hai sè thùc kh«ng ©m, ta cã:
a b ab
+ ³ DÊu “=” x¶y ra = a = b
IIIIIIIII – CCCÇcccc dddd¹nnnngggg bbbbμμμμiiii ttttËËËËpppp ccccãããã lllliiiiªnnnn qqqquuuuaaaannnn ®ÕÕÕÕnnnn bbbbiiiiÓÓÓÓuuuu tttthhhhøøøøcccc hhhh÷÷÷÷uuuu ttttØØØØ,,,, cccc¨nnnn bbbbËËËËcccc hhhhaaaaiiii,,,, cccc¨nnnn bbbbËËËËcccc bbbbaaaa.
1111.... DDDD¹nnnngggg 1111 :::: RRRRóóóótttt ggggäääännnn vvvvμμμμ ttttÝÝÝÝnnnnhhhh ggggiiii¸ ttttrrrrÞÞÞÞ cccçcccc bbbbiiiiÓÓÓÓuuuu tttthhhhøøøøcccc hhhh÷÷÷÷uuuu ttttØØØØ
- Khi thùc hiÖn rót gän mét biÓu thøc h÷u tØ ta ph¶i tu©n theo thø
tù thùc hiÖn çc phÐp to¸n : Nh©n chia tr−íc, céng trõ sau. Cßn nÕu biÓu
thøc cã çc dÊu ngoÆc th× thùc hiÖn theo thø tù ngoÆc trßn, ngoÆc vu«ng,
ngoÆc nhän.
- Víi nh÷ng bμi to¸n t×m gi¸ trÞ cña ph©n thøc th× ph¶i t×m ®iÒu
kiÖn cña biÕn ®Ó ph©n thøc ®−îc x¸c ®Þnh (mÉu thøc ph¶i kh¸c 0)
2.... DDDD¹nnnngggg 2222 :::: TTTT××××mmmm ®iiiiÒÒÒÒuuuu kkkkiiiiÖÖÖÖnnnn ®ÓÓÓÓ bbbbiiiiÓÓÓÓuuuu tttthhhhøøøøcccc ccccãããã nnnngggghhhhÜÜÜÜaaaa
x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi B ¹ 0
- BiÓu thøc cã d¹ng A x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi A ³ 0
- BiÓu thøc cã d¹ng A
x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi B 0
+ x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi
+ x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi
41
N¨m häc
2011 - 2015
A, nÕu A 0
A
³
=
−
A, nÕu A 0.
2
- BiÓu thøc cã d¹ng AB
B
- BiÓu thøc cã d¹ng A B
C
= ³
A 0
C 0
³

- BiÓu thøc cã d¹ng A B
C
A 0
C 0
³
¹
3333.... D¹nnnngggg 3333 :::: RRRRóóóótttt ggggäääännnn cccçcccc bbbbiiiiÓÓÓÓuuuu tttthhhhøøøøcccc cccchhhhøøøøaaaa cccc¨nnnn bbbbËËËËcccc hhhhaaaaiiii,,,, cccc¨nnnn bbbbËËËËcccc bbbbaaaa
LÝ thuyÕt chung:
a) Çc c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc
1) 2 A = A
2) AB = A B ( víi A ³ 0 vμ B ³ 0)
3) A A (víi A 0 vμ B 0)
B B
4) 2 A B = A B (víi B ³ 0)

www.VNMATH.com
5) 2 A B = A B (víi A ³ 0 vμ B ³ 0)
A B 2 = − A B (víi A 0 vμ B ³ 0)
6) A 1 = AB (víi AB ³ 0 vμ B ¹
0)
C = (víi A ³ 0 vμ A ¹
B )
A B A B

= ³ ³ ¹
3 3
B B
7) A A B =
(víi B 0)
B B
C ( A B
) 8) 2
2
± −

9) C( A B )
C (víi A 0 , B 0 vμ A B)
A B A B
± −
3 x3 3 10) a = x = = a vμ ta cã : ( 3 a )3 a 3 = = a
11) a b = 3 a 3 b
12) 3 ab = 3 a .3 b
3
13) Víi b ) 0, ta cã:
3
a 3
ab
b
=
*) L−u ý:
§Ó rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai ta lμm nh− sau :
- Quy ®ång mÉu sè chung (nÕu cã)
- §−a bít thõa sè ra ngoμi dÊu c¨n (nÕu cã)
- Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã)
- Thùc hiÖn çc phÐp tÝnh lòy thõa, khai c¨n, nh©n, chia , …
theo thø tù ®· biÕt ®Ó lμm xuÊt hiÖn çc c¨n thøc ®ång d¹ng
- Céng, trõ çc biÓu thøc ®ång d¹ng (çc c¨n thøc ®ång d¹ng)
b) Çc h»ng ®¼ng thøc quan träng, ®¸ng nhí:
1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
+ = + + ³ ( a b)2 a 2 a.b b (a,b 0)
2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
− = − + ³ ( a b)2 a 2 a.b b (a,b 0)
3) a2 - b2 = (a + b).(a - b)
a − b = ( a + b).( a − b) (a,b ³ 0)
4) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
6) + = + − + a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
+ = + = ( ) + ( ) = + − + ³
a a b b a3 b3 a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
7) − = − + + a3 b3 (a b)(a2 ab b2)

www.VNMATH.com
43
3 3
− = − = ( ) − ( ) = − + + ³
a a b b a3 b3 a b ( a b)(a ab b) (a,b 0)
8) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
9) + + = + + + + + ³ ( a b c)2 a b c 2 ab 2 ac 2 bc (a,b,c 0)
10) = a2 a
Ph©n d¹ng bμi tËp chi tiÕt
D¹nnnngggg 3333....1111 :::: TTTTÝÝÝÝnnnnhhhh – RRRRóóóótttt ggggäääännnn bbbbiiiiÓÓÓÓuuuu tttthhhhøøøøcccc kkkkhhhh«nnnngggg ccccãããã ®iiiiÒÒÒÒuuuu kkkkiiiiÖÖÖÖnnnn
D¹nnnngggg 3333....2222 :::: RRRRóóóótttt ggggäääännnn bbbbiiiiÓÓÓÓuuuu tttthhhhøøøøcccc ccccãããã ®iiiiÒÒÒÒuuuu kkkkiiiiÖÖÖÖnnnn
D¹nnnngggg 3333....3333 :::: TTTTÝÝÝÝnnnnhhhh ggggiiii¸ ttttrrrrÞÞÞÞ ccccññññaaaa bbbbiiiiÓÓÓÓuuuu tttthhhhøøøøcccc kkkkhhhhiiii bbbbiiiiÕÕÕÕtttt ggggiiii¸ ttttrrrrÞÞÞÞ ccccññññaaaa bbbbiiiiÕÕÕÕnnnn
D¹nnnngggg 3333....4444 :::: TTTT××××mmmm ggggiiii¸ ttttrrrrÞÞÞÞ ccccññññaaaa bbbbiiiiÕÕÕÕnnnn kkkkhhhhiiii bbbbiiiiÕÕÕÕtttt ggggiiii¸ ttttrrrrÞÞÞÞ ccccññññaaaa bbbbiiiiÓÓÓÓuuuu tttthhhhøøøøcccc
D¹nnnngggg 3333....5555 :::: TTTT××××mmmm ggggiiii¸ ttttrrrrÞÞÞÞ nnnngggguuuuyyyyªnnnn ccccññññaaaa bbbbiiiiÕÕÕÕnnnn ®ÓÓÓÓ bbbbiiiiÓÓÓÓuuuu tttthhhhøøøøcccc nnnnhhhhËËËËnnnn ggggiiii¸
ttttrrrrÞÞÞÞ nnnngggguuuuyyyyªnnnn
D¹nnnngggg 3333....6666 :::: TTTT××××mmmm ggggiiii¸ ttttrrrrÞÞÞÞ ccccññññaaaa bbbbiiiiÕÕÕÕnnnn kkkkhhhhiiii bbbbiiiiÕÕÕÕtttt ddddÊÊÊÊuuuu ccccññññaaaa bbbbiiiiÓÓÓÓuuuu tttthhhhøøøøcccc
D¹nnnngggg 3333....7777 :::: CCCChhhhøøøønnnngggg mmmmiiiinnnnhhhh bbbbÊÊÊÊtttt ®¼nnnngggg tttthhhhøøøøcccc ssssaaaauuuu kkkkhhhhiiii ®· rrrróóóótttt ggggäääännnn
D¹nnnngggg 3333....8888 :::: TTTT××××mmmm ggggiiii¸ ttttrrrrÞÞÞÞ llllíííínnnn nnnnhhhhÊÊÊÊtttt vvvvμμμμ nnnnhhhháááá nnnnhhhhÊÊÊÊtttt ccccññññaaaa bbbbiiiiÓÓÓÓuuuu tttthhhhøøøøcccc
LÝ thuyÕt chung
1) Kh¸i niÖm vÒ hμm sè (kh¸i niÖm chung).
NÕu ®¹i l−îng y phô thuéc vμo ®¹i l−îng thay ®æi x sao cho víi
mçi gi¸ trÞ cña x ta lu«n x¸c ®Þnh ®−îc chØ mét gi¸ trÞ t−¬ng øng
cña y th× y ®−îc gäi lμ hμm sè cña x vμ x ®−îc gäi lμ biÕn sè.
*) VÝ dô: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x + 3 ; ...
*) Chó ý:
Khi ®¹i l−îng x thay ®æi mμ y lu«n nhËn mét gi¸ trÞ kh«ng ®æi th× y
*) VÝ dô: Çc hμm h»ng y = 2; y = - 4; y = 7; ...
2) Çc çch th−êng dïng cho mét hμm sè
43
N¨m häc
2011 - 2015
D¹nnnngggg 3333....9999 :::: BBBBμμμμiiii ttttËËËËpppp ttttæææænnnngggg hhhhîîîîpppp
IV – CCCÇcccc dddd¹nnnngggg ttttoooo¸nnnn vvvvÒÒÒÒ hhhhμμμμmmmm ssssèèèè
®−îc gäi lμ hμm h»ng.

www.VNMATH.com
a) Hμm sè cho bëi b¶ng.
b) Hμm sè cho bëi c«ng thøc.
- Hμm h»ng: lμ hμm cã c«ng thøc y = m (trong ®ã x lμ biÕn, mÎ)
-
-
Hμm sè bËc nhÊt: Lμ hμm sè cã d¹ng c«ng thøc y = ax + b
Trong ®ã: x lμ biÕn,a,bÎ, a ¹ 0.
a lμ hª sè gãc, b lμ tung ®é gèc.
Chó ý: NÕu b = 0 th× hμm bËc nhÊt cã d¹ng y = ax (a ¹ 0 )
Hm sè bËc hai: L hm sè cã c«ng thøc y = ax2 + bx + c
(trong ®ã x l biÕn, a,b,c Î, a ¹ 0 ).
Chó ý: NÕu c = 0 th× hm bËc hai cã d¹ng y = ax2 + bx (a ¹ 0 )
NÕu b = 0 v c = 0 th× hm bËc hai cã d¹ng y = ax2 (a ¹ 0 )
3) Kh¸i niÖm hμm ®ång biÕn vμ hμm nghÞch biÕn.
Cho hμm sè y = f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x Î. Víi x1, x2 bÊt k× thuéc
R
a) NÕu gi¸ trÞ cña biÕn x t¨ng lªn mμ gi¸ trÞ t−¬ng øng f(x) còng t¨ng
lªn th× hμm sè y = f(x) ®−îc gäi lμ hμm ®ång biÕn.
NÕu x1 x2 mμ f(x1 ) f(x2 ) th× hμm sè y = f(x) ®ång biÕn trªn R
b) NÕu gi¸ trÞ cña biÕn x t¨ng lªn mμ gi¸ trÞ t−¬ng øng f(x) gi¶m ®i
th× hμm sè y = f(x) ®−îc gäi lμ hμm nghÞch biÕn.
NÕu x1 x2 mμ f(x1 ) f(x2 ) th× hμm sè y = f(x) nghÞch biÕn /R
4) DÊu hiÖu nhËn biÕt hμm ®ång biÕn vμ hμm nghÞch biÕn.
a) Hμm sè bËc nhÊt y = ax + b (a ¹ 0).
- NÕu a 0 th× hμm sè y = ax + b lu«n ®ång biÕn trªn .
- NÕu a 0 th× hμm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn .
b) Hm bËc hai mét Èn sè y = ax2 (a ¹ 0 ) cã thÓ nhËn biÕt ®ång biÕn v
nghÞch biÕn theo dÊu hiÖu sau:
- NÕu a 0 th× hm ®ång biÕn khi x 0, nghÞch biÕn khi x 0.
5) Kh¸i niÖm vÒ ®å thÞ hμm sè.
§å thÞ cña hμm sè y = f(x) lμ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c
cÆp gi¸ trÞ t−¬ng øng (x; f(x)) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é.
Chó ý: D¹ng ®å thÞ:
a) Hμm h»ng.
§å thÞ cña hμm h»ng y = m (trong
®ã x lμ biÕn, mÎ) lμ mét
®−êng th¼ng lu«n song song víi
trôc Ox.
§å thÞ cña hμm h»ng x = m (trong
®ã y lμ biÕn, mÎ) lμ mét
®−êng th¼ng lu«n song song
víi trôc Oy.

www.VNMATH.com
45
b) §å thÞ hμm sè y = ax (a ¹ 0 ) lμ mét ®−êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp çc
*) Çch vÏ: LÊy mét ®iÓm thuéc ®å thÞ kh¸c O(0 ; 0), ch¼ng h¹n
®iÓm A(1 ; a). Sau ®ã vÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm O(0 ; 0)
vμ A(1 ; a) ta ®−îc ®å thÞ hμm sè y = ax (a ¹ 0 )
c) §å thÞ hμm sè y = ax + b (a,b ¹ 0) lμ mét ®−êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp
hîp çc ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vμ c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm
( −b
*) Çch vÏ: Cã hai çch vÏ c¬ b¶n
+) Çch 1: X¸c ®Þnh hai ®iÓm bÊt k× nμo ®ã thuéc ®å thÞ, ch¼ng
h¹n nh− sau:
Cho x = 1 = y = a + b, ta ®−îc A(1 ; a + b)
Cho x = -1 = y = - a + b, ta ®−îc A(-1 ; - a + b)
VÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vμ B ta ®−îc ®å thÞ hμm sè y
45
N¨m häc
2011 - 2015
®iÓm) lu«n ®i qua gèc to¹ ®é.
a
, 0).
= ax + b (a,b ¹ 0)

www.VNMATH.com
+) C¸ch 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc täa ®é, cô thÓ:
Cho x = 0 = y = b, ta ®−îc M(0 ; b) ÎOy
Cho y = 0 = x = b
− , ta ®−îc N( b
− ; 0) ÎOx
= ¹
O x
y
a 0
a
a
VÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vμ N ta ®−îc ®å thÞ hμm sè y
= ax + b (a,b ¹ 0)
d) §å thÞ hm sè y = ax2 (a ¹ 0 ) l mét ®−êng cong Parabol cã ®Ønh
O(0;0). NhËn trôc Oy lμm trôc ®èi xøng
- §å thÞ ë phÝa trªn trôc honh nÕu a 0.
- §å thÞ ë phÝa d−íi trôc honh nÕu a 0.
O
x
y
a 0
6) VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai ®−êng th¼ng
*) Hai ®−êng th¼ng y = ax + b ( a ¹ 0) vμ y = a’x + b’ ( a' ¹ 0 )
+ Trïng nhau nÕu a = a’, b = b’.
+ Song song víi nhau nÕu a = a’, b¹ b’.
+ C¾t nhau nÕu a ¹ a’.
+ Vu«ng gãc nÕu a.a’ = -1 .
*) Hai ®−êng th¼ng ax + by = c vμ a’x + b’y = c’ (a, b, c, a’, b’, c’ ) 0)
+ Trïng nhau nÕu a b c
= =
a' b' c '
+ Song song víi nhau nÕu a b c
a' b' c '
+ C¾t nhau nÕu a b
¹
a ' b'
7) Gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng y = ax + b ( a ¹ 0 ) vμ trôc Ox
Gi¶ sö ®−êng th¼ng y = ax + b (a ¹ 0) c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm A.
Gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng y = ax + b (a ¹ 0) lμ gãc t¹o bëi tia Ax vμ
tia AT (víi T lμ mét ®iÓm thuéc ®−êng th¼ng y = ax + b cã tung
®é d−¬ng).
-
-
NÕu a 0 th× gãc a t¹o bëi ®−êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox ®−îc
tÝnh theo c«ng thøc nh− sau: tga = a (cÇn chøng minh míi ®−îc
dïng).
NÕu a 0 th× gãc a t¹o bëi ®−êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox ®−îc
tÝnh theo c«ng thøc nh− sau:
a = − b 1800 víi tgb = a (cÇn chøng minh míi ®−îc dïng).

47
Yy = ax + b
T
x
T
Ph©n dPPPhhhnnn ddd¹nnnngggg bbbbμμμμiiii ttttËËËËpppp cccchhhhiiii ttttiiiiÕÕÕÕtttt
(a 0)
A
y
a
O
D¹ng 2: TÝnh gi¸ trÞ cña hμm sè, biÕn sè.
D¹ng 3: Hμm sè ®ång biÕn, hμm sè nghÞch biÕn.
a) Hμm sè bËc nhÊt y = ax + b (a ¹ 0).
- NÕu a 0 th× hμm sè y = ax + b lu«n ®ång biÕn trªn .
- NÕu a 0 th× hμm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn .
b) Hm bËc hai mét Èn sè y = ax2 ( a ¹ 0) cã thÓ nhËn biÕt ®ång biÕn v
nghÞch biÕn theo dÊu hiÖu sau:
§å thÞ cña hμm sè y = f(x) lμ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c
cÆp gi¸ trÞ t−¬ng øng (x; f(x)) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é.
§å thÞ cña hμm h»ng y = m (trong
®ã x lμ biÕn, mÎ) lμ mét
®−êng th¼ng lu«n song song víi
trôc Ox.
47
N¨m häc
2011 - 2015
D¹ng 1: NhËn biÕt hμm sè
D¹ng 4: VÏ ®å thÞ hμm sè
Chó ý: D¹ng ®å thÞ:
a) Hμm h»ng.
§å thÞ cña hμm h»ng x = m (trong
®ã y lμ biÕn, mÎ) lμ mét
®−êng th¼ng lu«n song song
víi trôc Oy.
A
a
x
y
O
(a 0)
b
Yy = ax + b
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com
b) §å thÞ hμm sè y = ax (a ¹ 0 ) lμ mét ®−êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp çc
− , ta ®−îc N( b
− ; 0) ÎOx
®iÓm) lu«n ®i qua gèc to¹ ®é.
*) Çch vÏ: LÊy mét ®iÓm thuéc ®å thÞ kh¸c O(0 ; 0), ch¼ng h¹n
®iÓm A(1 ; a). Sau ®ã vÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm O(0 ; 0)
vμ A(1 ; a) ta ®−îc ®å thÞ hμm sè y = ax (a ¹ 0 )
c) §å thÞ hμm sè y = ax + b (a,b ¹ 0) lμ mét ®−êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp
hîp çc ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vμ c¾t trôc hoμnh t¹i ®iÓm
( −b
a
, 0).
*) Çch vÏ: Cã hai çch vÏ c¬ b¶n
+) Çch 1: X¸c ®Þnh hai ®iÓm bÊt k× nμo ®ã thuéc ®å thÞ, ch¼ng
h¹n nh− sau:
Cho x = 1 = y = a + b, ta ®−îc A(1 ; a + b)
Cho x = -1 = y = - a + b, ta ®−îc A(-1 ; - a + b)
VÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vμ B ta ®−îc ®å thÞ hμm sè y
= ax + b (a,b ¹ 0)
+) Çch 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi çc trôc täa ®é, cô thÓ:
Cho x = 0 = y = b, ta ®−îc M(0 ; b) ÎOy
Cho y = 0 = x = b
a
a
VÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vμ N ta ®−îc ®å thÞ hμm sè y
= ax + b (a,b ¹ 0)
d) §å thÞ hm sè y = ax2 (a ¹ 0 ) l mét ®−êng cong Parabol cã ®Ønh
O(0;0). NhËn trôc Oy lμm trôc ®èi xøng

www.VNMATH.com
49
- §å thÞ ë phÝa trªn trôc honh nÕu a 0.
- §å thÞ ë phÝa d−íi trôc honh nÕu a 0.
O x
y
a 0
O
x
y
a 0
D¹ng 5: §iÓm thuéc vμ kh«ng thuéc ®å thÞ hμm sè.
- §iÓm A(xA; yA) Î(d): y = ax + b (a¹ 0) khi v) chØ khi yA = axA + b
- §iÓm B(xB; yB) Î(d): y = ax + b (a¹ 0) khi v) chØ khi yB= axB + b
*) §iÓm thuéc Parabol : Cho (P) y = ax2 (a ¹ 0 )
2.
- §iÓm A(x0; y0) Î(P) Ûy0 = ax0
2.
- §iÓm B(x1; y1) Ï(P) Ûy1 ¹ ax1
D¹ng 7: X¸c ®Þnh ®iÓm cè ®Þnh cña hμm sè
*) Ph−¬ng ph¸p:
§Ó t×m ®iÓm cè ®Þnh m) ®−êng th¼ng y = ax + b (a ¹ 0 ; a,b cã chøa
tham sè) lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m, ta lμm nh− sau:
B−íc 1: Gäi ®iÓm cè ®Þnh l) A(x0; y0) mμ ®−êng th¼ng y = ax + b
lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m
B−íc 2: Thay x = x0; y = y0 v)o h)m sè ®−îc y0 = ax0 + b, ta biÕn ®æi
vÒ d¹ng = A(x0 ,y0 ).m + B(x0 ,y0 ) = 0 , ®¼ng thøc nμy lu«n ®óng
víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m hay ph−¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm m
B−íc 3: §Æt ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm.
( A(x0 ,y0 ).m + B(x0 ,y0 ) = 0, cã v« sè nghiÖm =
y a x b
y a x b
= +
= +
49
N¨m häc
2011 - 2015
*) §iÓm thuéc ®−êng th¼ng.
D¹ng 6: X¸c ®Þnh hμm sè
Û
A(x ,y ) 0
0 0
B(x ,y ) 0
=
0 0
)
D¹ng 8: T×m giao ®iÓm cña hai ®å thÞ
8.1: T×m giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng.
Giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2
L) nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh 1 1
2 2
8.2: T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña Parabol víi ®−êng th¼ng.
Cho (P) : y = ax2 (a ¹ 0) vμ (d) : y = mx + n.
XÐt ph−¬ng tr×nh ho)nh ®é giao ®iÓm ax2 = mx + n.
Gi¶i ph−¬ng tr×nh t×m x.

www.VNMATH.com
Thay gi¸ trÞ x võa t×m ®−îc v)o h)m sè y = ax2 hoÆc y = mx + n
ta t×m ®−îc y.
+ Gi¸ trÞ cña x t×m ®−îc l) ho)nh ®é giao ®iÓm.
+ Gi¸ trÞ cña y t×m ®−îc l) tung ®é giao ®iÓm.
8.3: T×m sè giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng v% Parabol.
Cho (P) : y = ax2 (a ¹ 0) vμ (d) : y = mx + n.
XÐt ph−¬ng tr×nh ho)nh ®é giao ®iÓm ax2 = mx + n. (*)
+ Ph−¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm (D 0) Û(d) v) (P) kh«ng cã ®iÓm
chung.
+ Ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp (D = 0) Û(d) tiÕp xóc víi (P).
+ Ph−¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt (D 0 hoÆc ac 0)
Û(d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.
8.4: T×m gi¸ trÞ cña mét tham sè khi biÕt giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng.
8.5: T×m gi¸ trÞ cña 2 tham sè khi biÕt giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng.
8.6: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt sè giao ®iÓm cña Parabol v% ®−êng
th¼ng.
Cho (d) : y = ax + b vμ (P): y = a’x2 (a’¹ 0)(a’, a, b cã chøa tham sè)
XÐt ph−¬ng tr×nh ho)nh ®é giao ®iÓm a’x2 = ax + b. (*)
+ (d) v) (P) kh«ng cã ®iÓm chung
ÛPh−¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm (D 0)
+ (d) tiÕp xóc víi (P) Û Ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp (D = 0).
NghiÖm kÐp lμ hoμnh ®é ®iÓm tiÕp xóc
+ (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt ÛPh−¬ng tr×nh (*) cã hai
nghiÖm ph©n biÖt (D 0 hoÆc ac 0). Hai nghiÖm ®ã l) ho)nh ®é
cña hai giao ®iÓm
8.7: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt to¹ ®é giao ®iÓm cña Parabol v% ®−êng
th¼ng.
Cho (d): y = ax + b vμ (P): y = a’x2 (a’¹ 0)
(a’, a, b cã chøa tham sè)
T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó (d) v) (P) c¾t nhau t¹i A(xA; yA).
C¸ch l)m: Thay täa ®é cña A v)o h)m sè cña (d); (P) ®Ó t×m gi¸ trÞ cña tham
sè.
Dang 9: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm
9.1: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm
A(xA; yA) v% B(xB; yB) trong ®ã xA ¹ xB v) yA ¹ yB.
Ph−¬ng ph¸p:
Gäi ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) cÇn lËp ®i qua A v) B cã d¹ng
y = ax + b (a¹ 0).
Do AÎ(d) thay x = xA; y = yA v)o y = ax + b ta cã yA = axA + b (1)
Do BÎ(d) thay x = xB; y = yB v)o y = ax + b ta cã yB = axB + b (2)

www.VNMATH.com
51
y ax b
y ax b
Tõ (1) v) (2) ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh: = +
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh nμy t×m ®−îc a, b vμ suy ra ph−¬ng tr×nh
®−êng th¼ng (d) cÇn lËp
9.2: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua M(x0 ; y0) vμ cã hÖ sè
gãc lμ k.
B−íc 1: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cã hÖ sè gãc k cã d¹ng
y = kx + b
B−íc 2: §−êng th¼ng nμy ®i qua M(x0 ; y0) = y0 = kx0 + b
B−íc 3: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cÇn t×m lμ y = kx + y0 − kx0
A(m; yA) v% B(m; yB) trong ®ã yA ¹ yB.
Do A(m; yA) Î(d): x = m;
Do B(m; yB) Î(d) : x = m;
VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cÇn lËp l): (d): x = m
A(xA; n) v% B(xB; n) trong ®ã xA ¹ xB.
Do A(xA; n) Î(d): y = n;
Do B(xB; n) Î(d) : y = n;
VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cÇn lËp l): (d): y = n
9.5: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(xA ; yA) vμ tiÕp
xóc víi ®−êng cong 2 y = ax (a ¹ 0)
B−íc 1: Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh cÇn lËp lμ y = a’x + b’
B−íc 2: §−êng th¼ng nμy tiÕp xóc víi ®−êng cong 2 y = ax (a ¹ 0)
khi vμ chØ khi ph−¬ng tr×nh hoμnh ®é giao ®iÓm 2 ax = a'x + b' cã
nghiÖm kÐp. Ta cho D = 0, t×m ra mét hÖ thøc gi÷a a’ vμ b’ (1)
B−íc 3: §−êng th¼ng ®i qua A(xA ; yA) = yA = a'xA + b' (2)
B−íc 4: Tõ (1) vμ (2) ta cã mét hÖ ph−¬ng tr×nh hai Èn lμ a’ vμ b’.
Gi¶i hÖ t×m ®−îc a’ vμ b’ = ph−¬ng tr×nh cÇn lËp
9.6: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cã hÖ sè gãc lμ k vμ tiÕp xóc
víi ®−êng cong 2 y = ax (a ¹ 0)
B−íc 1: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cÇn t×m gi¶ sö lμ y = ax + b
V× ®−êng th¼ng cã hÖ sè gãc lμ k nªn a = k = y = kx + b
B−íc 2: §−êng th¼ng y = kx + b tiÕp xóc víi ®−êng cong
2 y = ax (a ¹ 0) = ph−¬ng tr×nh hoμnh ®é giao ®iÓm
2 2 kx + b = ax = ax − kx − b = 0 cã nghiÖm kÐp
51
N¨m häc
2011 - 2015
A A
= +
B B
= b = y0 − kx0
Ph−¬ng ph¸p:
Ph−¬ng ph¸p:

www.VNMATH.com
a a (1)
1 2
b b (2)
a a (1)
1 2
b b
1 2
Cho D = 0(D' = 0) = b = ?
B−íc 3: Tr¶ lêi
D¹ng 10: Ba ®iÓm th¼ng hμng
10.1: Chøng minh ba ®iÓm th¼ng h%ng.
B−íc 1: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm.
B−íc 2: Chøng minh ®iÓm cßn l¹i thuéc ®−êng th¼ng võa lËp.
10.2: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ba ®iÓm th¼ng h%ng.
B−íc 1: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cã to¹ ®é ®¬n
gi¶n nhÊt.
B−íc 2: Thay to¹ ®é cña ®iÓm cßn l¹i v)o ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng
võa lËp. Gi¶i ph−¬ng tr×nh v) t×m tham sè.
D¹ng 11: Ba ®−êng th¼ng ®ång qui
11.1: Chøng minh ba ®−êng th¼ng ®ång qui.
B−íc 1: T×m giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng.
B−íc 2: Chøng minh giao ®iÓm ®ã thuéc ®−êng th¼ng cßn l¹i.
11.2: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ba ®−êng th¼ng ®ång qui.
B−íc 1: T×m giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng ®¬n gi¶n nhÊt.
B−íc 2: Thay to¹ ®é giao ®iÓm trªn v)o ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng
cßn l¹i. Gi¶i ph−¬ng tr×nh v) t×m tham sè.
D¹ng 12: VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai ®å thÞ cña hai hμm sè
12.1: VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai ®å thÞ cña hai hμm sè bËc nhÊt
Cho hai ®−êng th¼ng : (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2
+) (d1) c¾t (d2) Û a1 ¹ a2
+) (d1) // (d2) Û a1 = a2
+) (d1) º (d2) Û a1 = a2 v) b1 = b2
+) (d1) ^ (d2) Û a1.a2 = -1 (ph¶i chøng minh míi ®−îc dïng)
12.2: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai ®−êng th¼ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn
trôc tung.
Cho (d1): y = a1x + b1 vμ (d2): y = a2x + b2
§Ó (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung th× ¹
=
1 2
Gi¶i (1)
Gi¶i (2) v) chän nh÷ng gi¸ trÞ tho¶ mXn (1).
12.3: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai ®−êng th¼ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn
trôc ho%nh.
Cho (d1): y = a1x + b1 vμ (d2): y = a2x + b2
§Ó (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc ho)nh th×
¹
− −
=
1 2
(2)
a a
L−u ý: ChØ nªn ¸p dông khi hai ph−¬ng tr×nh ®Òu chøa tham sè.

53
D¹ng 13: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®−êng th¼ng y = ax +
b c¾t hai trôc täa ®é Ox, Oy t¹o thμnh mét tam gi¸c cã diÖn
tÝch b»ng c
B−íc 1: §Ó ®å thÞ hμm sè y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é t¹o thμnh
mét tam gi¸c th× ta cã ®iÒu kiÖn cÇn lμ: a ¹ 0,b ¹ 0 = ®iÒu kiÖn cña
m
B−íc 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi hai trôc täa ®é; gi¶ sö A vμ B
lÇn l−ît lμ giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung vμ trôc hoμnh
B−íc 3: XÐt tam gi¸c vu«ng OAB cã
S= 1 OAB OA.OB 1 = × b . − b =
c
2 2 a
= m = ? (kiÓm tra víi ®iÒu kiÖn ë b−íc 1)
D¹ng 14: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®−êng th¼ng
y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é Ox, Oy t¹o thμnh mét tam gi¸c c©n
Çch 1:
B−íc 1: §Ó ®å thÞ hμm sè y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é t¹o thμnh
mét tam gi¸c th× ta cã ®iÒu kiÖn cÇn lμ: a ¹ 0,b ¹ 0
= ®iÒu kiÖn cña m
B−íc 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi hai trôc täa ®é; gi¶ sö A vμ B
lÇn l−ît lμ giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung vμ trôc hoμnh
B−íc 3: Tam gi¸c OAB c©n = OA = OB = b b
53
N¨m häc
2011 - 2015
A(0 ; b) vμ B( b ;0
− )
a
A(0 ; b) vμ B( b ;0
− )
a
= − (*)
a
Gi¶i ph−¬ng tr×nh (*) ta t×m ®−îc gi¸ trÞ cña m (kiÓm tra ®iÒu kiÖn
ë b−íc1)
Çch 2: §å thÞ hμm sè c¾t hai trôc täa ®é t¹o thμnh mét tam gi¸c c©n
khi vμ chØ khi ®−êng th¼ng y = ax + b song song víi ®−êng th¼ng y =
x hoÆc song song víi ®−êng th¼ng y = - x
D¹ng 15: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó giao ®iÓm cña hai
®−êng th¼ng ax + by = c vμ a’x + b’y = c’ n»m trong çc gãc
phÇn t− cña hÖ trôc täa ®é.
B−íc 1: T×m täa ®é giao ®iÓm A(x ; y) cña hai ®−êng th¼ng, chÝnh
lμ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh:
ax by c
a'x b'y c'
+ =
+ =
B−íc 2:
+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t− thø I th× ®iÒu kiÖn lμ:
x 0
y 0

+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t− thø II th× ®iÒu kiÖn lμ:
x 0
y 0

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com
+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t− thø III th× ®iÒu kiÖn lμ:
x 0
y 0

+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t− thø IV th× ®iÒu kiÖn lμ:
x 0
y 0

= =
¹
B−íc 3: T×m m = ?
D¹ng 16:
X¸c ®Þnh gi¸ trÞ tham sè ®Ó ®a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0
B−íc 1: §a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0 =
A 0
B 0
=
=
B−íc 2: Gi¶i hÖ nμy t×m ®−îc gi¸ trÞ cña tham sè
V - CCCÇcccc dddd¹nnnngggg ttttoooo¸nnnn vvvvÒÒÒÒ hhhhÖÖÖÖ pppphhhh−−−−¬nnnngggg ttttrrrr××××nnnnhhhh
LLLLÝÝÝÝ tttthhhhuuuuyyyyÕÕÕÕtttt cccchhhhuuuunnnngggg
1. §Þnh nghÜa:
HÖ hai ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã d¹ng tæng qu¸t lμ:
ax by c
+ =
+ =
(I)
a' x b'y c '
(trong ®ã a, b, c, a’ , b’, c’ cã thÓ chøa tham sè)
2. §Þnh nghÜa nghiÖm, tËp nghiÖm
- NghiÖm (x0 ; y0) cña hÖ (I) lμ nghiÖm chung cña hai ph−¬ng tr×nh
trong hÖ
- NÕu hai ph−¬ng tr×nh trong hÖ kh«ng cã nghiÖm chung th× hÖ
ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm
- Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh lμ t×m tÊt c¶ çc nghiÖm (t×m tËp nghiÖm)
cña nã.
*) §iÒu kiÖn ®Ó hÖ hai ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã nghiÖm duy
nhÊt, cã v« sè nghiÖm, v« nghiÖm.
ax by c
a' x b'y c '
+ =
+ =
(a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)
+ HÖ cã v« sè nghiÖm nÕu a b c
a' b' c '
+ HÖ v« nghiÖm nÕu a b c
= ¹
a' b' c'
+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu a b
a' b'
+ §iÒu kiÖn cÇn ®Ó hÖ v« nghiÖm hoÆc v« sè nghiÖm lμ
ab’ – a’b = 0
3. Çc ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ hai ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn .

www.VNMATH.com
55
*) Çch gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh b»ng ph−¬ng ph¸p céng ®¹i sè
B−íc1: Nh©n hai vÕ cña mçi ph−¬ng tr×nh víi mét sè thÝch
hîp (nÕu cÇn) sao cho çc hÖ sè cña mét Èn nμo ®ã trong hai
ph−¬ng tr×nh cña hÖ b»ng nhau hoÆc ®èi nhau.
B−íc 2: ¸p dông quy t¾c céng ®¹i sè ®Ó ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh
míi, trong ®ã cã mét ph−¬ng tr×nh mμ hÖ sè cña mét trong
hai Èn b»ng 0 (tøc lμ ph−¬ng tr×nh mét Èn)
B−íc 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh mét Èn võa thu ®−îc, råi suy ra
(b b')y c c '
ax b'y c'
Û + = +
− + =
(b b')y c c'
ax b'y c '
− = −
+ =
k.ax kby kc
k.ax b'y c '
+ =
+ =
55
N¨m häc
2011 - 2015
ax by c
a' x b'y c '
+ =
+ =
a) Ph−¬ng ph¸p céng ®¹i sè.
nghiÖm cña hÖ ®· cho
*) Tæng qu¸t:
+ NÕu cã
ax by c
ax b'y c '
+ =
− + =
+ NÕu cã
ax by c
ax b'y c '
+ =
+ =
Û
+ NÕu cã
ax by c
k.ax b'y c '
+ =
+ =
Û
a c
y x
Û
(kb b')y k.c c'
ax by c
− = −
+ =
b) Ph−¬ng ph¸p thÕ.
*) Çch gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh b»ng ph−¬ng ph¸p thÕ
B−íc 1: Dïng quy t¾c thÕ biÕn ®æi hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho ®Ó
®−îc mét hÖ ph−¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph−¬ng tr×nh
mét Èn
B−íc 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh mét Èn võa cã, råi suy ra nghiÖm
cña hÖ ®· cho
*) Tæng qu¸t:
ax by c
a' x b'y c '
+ =
+ =
Û
a c
y x
b b
a' x b'y c '

= − +
+ =
Û

= − + b b

Toan tai lieu on thi vao thpt

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (11)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Toan tai lieu on thi vao thpt

Similar to Toan tai lieu on thi vao thpt (20)

More from Học Tập Long An

More from Học Tập Long An (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Toan tai lieu on thi vao thpt