[Vnmath.com] he thong kien toan thcs dai so va hinh hoc

www.VNMATH.com
V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù nghiÖp trång ng−êi N¨m häc
2011 -2015
TµiliÖu¤nthivµoTrung häcPhæth«ng
1
1
1. §iÓm - §−êng th¼ng
- Ng−êi ta dïng çc ch÷ çi in hoa A,
B, C, ... ®Ó ®Æt tªn cho ®iÓm
- BÊt cø h×nh nµo còng lµ mét tËp hîp
çc ®iÓm. Mét ®iÓm còng lµ mét
h×nh.
- Ng−êi ta dïng çc ch÷ çi th−êng a,
b, c, ... m, p, ... ®Ó ®Æt tªn cho çc
®−êng th¼ng (hoÆc dïng hai ch÷ çi
in hoa hoÆc dïng hai ch÷ çi
th−êng, vÝ dô ®−êng th¼ng AB, xy,
... )
- §iÓm C thuéc ®−êng th¼ng a (®iÓm C
n»m trªn ®−êng th¼ng a hoÆc ®−êng
th¼ng a ®i qua ®iÓm C), kÝ hiÖu lµ:
C  a
- §iÓm M kh«ng thuéc ®−êng th¼ng a
(®iÓm M n»m ngoµi ®−êng th¼ng a
hoÆc ®−êng th¼ng a kh«ng ®i qua
®iÓm M), kÝ hiÖu lµ: M  a
2. Ba ®iÓm th¼ng hµng
- Ba ®iÓm cïng thuéc mét ®−êng
th¼ng ta nãi chóng th¼ng hµng
- Ba ®iÓm kh«ng cïng thuéc bÊt k×
®−êng th¼ng nµo ta nãi chóng
kh«ng th¼ng hµng.
3. §−êng th¼ng trïng nhau, c¾t nhau, song song
- Hai ®−êng th¼ng AB vµ BC nh−
h×nh vÏ bªn lµ hai ®−êng th¼ng
trïng nhau.
- Hai ®−êng th¼ng chØ cã mét ®iÓm
chung ta nãi chóng c¾t nhau, ®iÓm
chung ®ã ®−îc gäi lµ giao ®iÓm
(®iÓm E lµ giao ®iÓm)
- Hai ®−êng th¼ng kh«ng cã ®iÓm

www.VNMATH.com
Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng
Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu
chung nµo, ta nãi chóng song song víi nhau, kÝ hiÖu xy//zt
4. Kh¸i niÖm vÒ tia, hai tia ®èi nhau, hai tia trïng nhau
- H×nh gåm ®iÓm O vµ mét phÇn
®−êng th¼ng bÞ chia ra bëi ®iÓm O
®−îc gäi lµ mét tia gèc O (cã hai
tia Ox vµ Oy nh− h×nh vÏ)
- Hai tia chung gèc t¹o thµnh
®−êng th¼ng ®−îc gäi lµ hai tia
®èi nhau (hai tia Ox vµ Oy trong
h×nh vÏ lµ hai tia ®èi nhau)
- Hai tia chung gèc vµ tia nµy n»m
trªn tia kia ®−îc gäi lµ hai tia
trïng nhau
- Hai tia AB vµ Ax lµ hai tia trïng
nhau
5. §o¹n th¼ng, ®é dµi ®o¹n th¼ng
- §o¹n th¼ng AB lµ h×nh gåm
®iÓm A, ®iÓm B vµ tÊt c¶ c¸c ®iÓm
n»m gi÷a A vµ B
- Hai ®iÓm A vµ B lµ hai mót (hoÆc
hai ®Çu) cña ®o¹n th¼ng AB.
6. Khi nµo th× AM + MB = AB ?
- NÕu ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm
A vµ B th× AM + MB = AB. Ng−îc
l¹i, nÕu AM + MB = AB th× ®iÓm
M n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ B
7. Trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng
- Trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng
AB lµ ®iÓm n»m gi÷a A, B vµ c¸ch
®Òu A, B (MA = MB)
- Trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng
AB cßn gäi lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña
®o¹n th¼ng AB
- Mçi ®o¹n th¼ng cã mét ®é dµi. §é
dµi ®o¹n th¼ng lµ mét sè d−¬ng
8. Nöa mÆt ph¼ng bê a, hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau
- H×nh gåm ®−êng th¼ng a vµ mét
phÇn mÆt ph¼ng bÞ chia ra bëi a
®−îc gäi lµ mét nöa mÆt ph¼ng bê a
- Hai nöa mÆt ph¼ng cã chung bê
®−îc gäi lµ hai nöa mÆt ph¼ng ®èi
nhau (hai nöa mÆt ph¼ng (I) vµ (II)
®èi nhau)
9. Gãc, gãc bÑt

www.VNMATH.com
2011 -2015
3
3
xÔy  yÔz  xÔz
- Gãc lµ h×nh gåm hai tia chung
gèc, gèc chung cña hai tia gäi lµ
®Ønh cña gãc, hai tia lµ hai c¹nh
cña gãc
- Gãc xOy kÝ hiÖu lµ xÔy hoÆc Oˆ
hoÆc xOy
- §iÓm O lµ ®Ønh cña gãc
- Hai c¹nh cña gãc : Ox, Oy
- Gãc bÑt lµ gãc cã hai c¹nh lµ hai
tia ®èi nhau
10. So s¸nh hai gãc, gãc vu«ng, gãc nhän, gãc tï.
- So s¸nh hai gãc b»ng çch so
s¸nh çc sè ®o cña chóng
- Hai gãc xOy vµ uIv b»ng nhau
®−îc kÝ hiÖu lµ: xÔy  uÎv
- Gãc xOy nhá h¬n gãc uIv, ta viÕt:
xÔy  uÎv  uÎv  xÔy
- Gãc cã sè ®o b»ng 900
= 1v, lµ gãc
vu«ng
- Gãc nhá h¬n gãc vu«ng lµ gãc
nhän
- Gãc lín h¬n gãc vu«ng nh−ng nhá
h¬n gãcbÑt lµ gãctï.
11. Khi nµo th×
- NÕu tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox
vµ Oz th× xÔy  yÔz  xÔz.
- Ng−îc l¹i, nÕu xÔy  yÔz  xÔz
th× tia Oy n»m gi÷a hai tia Ox vµ
Oz
12. Hai gãc kÒ nhau, phô nhau, bï nhau, kÒ bï
- Hai gãc kÒ nhau lµ hai gãc cã
mét c¹nh chung vµ hai c¹nh cßn
l¹i n»m trªn hai nöa mÆt ph¼ng
®èi nhau cã bê chøa c¹nh chung.
- Hai gãc phô nhau lµ hai gãc cã
tæng sè ®o b»ng 900
- Hai gãc bï nhau lµ hai gãc cã
tæng sè ®o b»ng 1800
- Hai gãc võa kÒ nhau, võa bï
nhau ®−îc gäi lµ hai gãc kÒ bï

www.VNMATH.com
13. Tia ph©n gi¸c cña gãc
- Tia ph©n gi¸c cña mét gãc lµ tia
n»m gi÷a hai c¹nh cña gãc vµ t¹o
víi hai c¹nh Êy hai gãc b»ng nhau
- Khi: xÔz  zÔy  xÔy vµ xÔz = zÔy
=> tia Oz lµ tia ph©n gi¸c cña gãc
xOy
- §−êng th¼ng chøa tia ph©n gi¸c
cña mét gãc lµ ®−êng ph©n gi¸c
cña gãc ®ã (®−êng th¼ng mn lµ
®−êng ph©n gi¸c cña gãc xOy)
14. §−êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng
a) §Þnh nghÜa: §−êng th¼ng vu«ng
gãc víi mét ®o¹n th¼ng t¹i trung
®iÓm cña nã ®−îc gäi lµ ®−êng trung
trùc cña ®o¹n th¼ng Êy
b) Tæng qu¸t:
a lµ ®−êng trung trùc cña AB
#
15. Çc gãc t¹o bëi mét ®−êng th¼ng c¾t hai ®−êng th¼ng
a) Çc cÆp gãc so le trong:
ˆ ˆ ˆ ˆ
A1 vµ B3 ; A4 vµ B2 .
b) Çc cÆpgãc ®ång vÞ:
ˆ ˆ ˆ ˆ
A1 vµ B1 ; A2 vµ B2 ;
ˆ ˆ ˆ ˆ
A3 vµ B3 ; A4 vµ B4 .
c) Khi a//b th×:
ˆ ˆ ˆ ˆ
A1 vµ B2 ; A4 vµ B3 gäi lµ çc cÆp
gãc trong cïng phÝa bï nhau
16. Hai ®−êng th¼ng song song
a  AB t¹i I
IA =IB
a
3 A2
4 1
b
3 2B
4 1
a
A I B

www.VNMATH.com
2011 -20155
5
a) DÊu hiÖu nhËn biÕt
- NÕu ®−êng th¼ng c c¾t hai ®−êng
th¼ng a, b vµ trong c¸c gãc t¹o
thµnh cã mét cÆp gãc so le trong
b»ng nhau (hoÆc mét cÆp gãc ®ång
vÞ b»ng nhau) th× a vµ b song song
víi nhau
b) Tiªn ®Ò ¥_clÝt
- Qua mét ®iÓm ë ngoµi mét ®−êng
th¼ng chØ cã mét ®−êng th¼ng song
song víi ®−êng th¼ng ®ã
c
a
b
M b
a
c, TÝnh chÊt hai ®−êng th¼ng song song
- NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai ®−êng th¼ng song song th×:
✓ Hai gãc so le trong b»ng nhau;
✓ Hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau;
✓ Hai gãc trong cïng phÝa bï nhau.
d) Quan hÖ gi÷a tÝnh vu«ng gãc víi tÝnh song song
- Hai ®−êng th¼ng ph©n biÖt cïng
vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng thø ba
th× chóng song song víi nhau
- Mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mét
trong hai ®−êng th¼ng song song
th× nã còng vu«ng gãc víi ®−êng
th¼ng kia
e) Ba ®−êng th¼ng song song
- Hai ®−êng th¼ng ph©n biÖt cïng a
song song víi mét ®−êng th¼ng thø
ba th× chóng song song víi nhau
b
a//c vµ b//c => a//b c
a  c
b  c
a / /b
c  b
a / / b
c  a
c
b
a
c
b
a

www.VNMATH.com
AˆCx  Aˆ  Bˆ
17. Gãc ngoµi cña tam gi¸c
a) §Þnh nghÜa: Gãc ngoµi cña mét
Atam gi¸c lµ gãc kÒ bï víi mét gãc
cña tam gi¸c Êy
b) TÝnh chÊt: Mçi gãc ngoµi cña tam
gi¸c b»ng tæng hai gãc trong kh«ng
kÒ víi nã B
C x
18. Hai tam gi¸c b»ng nhau
a) §Þnh nghÜa: Hai tam gi¸c b»ng A
nhau lµ hai tam gi¸c cã çc c¹nh
t−¬ng øng b»ng nhau, çc gãc t−¬ng
øng b»ng nhau
B C
A'
B' C
b) Çc tr−êng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c
*) Tr−êng hîp 1: C¹nh - C¹nh - C¹nh A
(c.c.c)
- NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy b»ng ba
c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam
gi¸c ®ã b»ng nhau
B C
A'
B' C'
ABC  A 'B'C'

AB  A 'B'; AC  A 'C'; BC  B'C'
A  A ';
ˆ ˆ
B  B';
ˆ ˆ
C C '
ˆ ˆ
NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
AB  A 'B'
AC  A 'C'  ABC  A 'B'C'( c.c.c)
BC  B'C'

www.VNMATH.com
2011 -20157
7
*) Tr−êng hîp 2: C¹nh - Gãc - C¹nh A
(c.g.c)
- NÕu hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam
gi¸c nµy b»ng hai c¹nh vµ gãc xen
gi÷a cña tam gi¸c kia th× hai tam
gi¸c ®ã b»ng nhau B C
A'
B' C'
*) Tr−êng hîp 3: Gãc - C¹nh - Gãc (g.c.g)
A
- NÕu mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam
gi¸c nµy b»ng mét c¹nh vµ hai gãc
kÒ cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c
®ã b»ng nhau
B C
A'
B' C'
c) C¸c tr−êng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c vu«ng
➢ Tr−êng hîp 1: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy
b»ng hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c
vu«ng ®ã b»ngnhau.
B B'
A C A' C'
➢ Tr−êng hîp 2: NÕu mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh
Êy cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc
AB  A 'B'
Bˆ  Bˆ '  ABC  A 'B'C'( c.g.c)
BC  B'C'
Bˆ  Bˆ '
BC  B'C'  ABC  A 'B'C'( g.c.g )
Cˆ  Cˆ '

www.VNMATH.com
ABC : NÕu AC > AB th× Bˆ > Cˆ
nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c vu«ng ®ã
b»ng nhau.
B B'
A C A' C'
➢ Tr−êng hîp 3: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c
vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng
kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.
B B'
A C A' C'
➢ Tr−êng hîp 4: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam
gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam
gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.
B B'
A C A' C'
19. Quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè trong tam A
gi¸c (quan hÖ gi÷a gãc vµ c¹nh ®èi diÖn
trong tam gi¸c)
- Trong mét tam gi¸c, gãc ®èi diÖn víi c¹nh
lín h¬n lµ gãc lín h¬n
B C
✓ Trong mét tam gi¸c, c¹nh ®èi diÖn víi gãc lín h¬n th× lín h¬n
ABC : NÕu Bˆ > Cˆ th× AC > AB

www.VNMATH.com
2011 -20159
9
d
20. Quan hÖ gi÷a ®−êng vu«ng gãc vµ ®−êng xiªn, ®−êng xiªn vµ
h×nh chiÕu
Kh¸i niÖm ®−êng vu«ng gãc, ®−êng xiªn, h×nh chiÕu cña
®−êng xiªn
- LÊy A  d, kÎ AH  d, lÊy B  d vµ B  H. Khi ®ã :
- §o¹n th¼ng AH gäi lµ ®−êng vu«ng Agãc kÎ tõ A ®Õn ®−êng th¼ng d
- §iÓm H gäi lµ h×nh chiÕu cña A trªn
®−êng th¼ng d
- §o¹n th¼ng AB gäi lµ mét ®−êng xiªn
kÎ tõA®Õn ®−êng th¼ngd
- §o¹n th¼ng HB gäi lµ h×nh chiÕu cña
®−êng xiªn AB trªn®.th¼ng d H
Quan hÖ gi÷a ®−êng xiªn vµ ®−êng vu«ng gãc:
Trong c¸c ®−êng xiªn vµ ®−êng vu«ng gãc kÎ tõ mét ®iÓm ë ngoµi
mét ®−êng th¼ng ®Õn ®−êng th¼ng ®ã, ®−êng vu«ng gãc lµ ®−êng
ng¾n nhÊt.
Quan hÖ gi÷a ®−êng xiªn vµ h×nh chiÕu:
Trong hai ®−êng xiªn kÎ tõ mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®−êng th¼ng
®Õn ®−êng th¼ng ®ã, th×:
✓ §−êng xiªn nµo cã h×nh chiÕu lín h¬n th× lín h¬n
✓ §−êng xiªn nµo lín h¬n th× cã h×nh chiÕu lín h¬n
✓ NÕu hai ®−êng xiªn b»ng nhau th× hai h×nh chiÕu b»ng nhau vµ
ng−îc l¹i, nÕu hai h×nh chiÕu b»ng nhau th× hai ®−êng xiªn b»ng
nhau.
21. Quan hÖ gi÷a ba c¹nh cña mét tam gi¸c. BÊt ®¼ng thøc tam
gi¸c
- Trong mét tam gi¸c, tæng ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng lín h¬n
®é dµi c¹nh cßn l¹i.
A
B C
- Trong mét tam gi¸c, hiÖu ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng nhá h¬n
®é dµi c¹nh cßn l¹i.
AC - BC < AB
AB - BC < AC
AC - AB < BC
- NhËn xÐt : Trong mét tam gi¸c, ®é dµi mét c¹nh bao giê còng lín h¬n
AB + AC > BC
AB + BC > AC
AC + BC > AB
B

www.VNMATH.com
hiÖu vµ nhá h¬n tæng ®é dµi hai c¹nh cßn l¹i.
VD: AB - AC < BC < AB + AC

www.VNMATH.com
2011 -201511
11
GA  GB  GC  2
DA EB FC 3
O
B C
O
F G
E
21. TÝnh chÊt ba ®−êng trung tuyÕn cña tam gi¸c
- Ba ®−êng trung tuyÕn cña mét tam gi¸c A
cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm ®ã çch mçi
®Ønh mét kho¶ng b»ng 2
3
trung tuyÕn ®i qua ®Ønh Êy:
®é dµi ®−êng
B C
G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC D
22. TÝnh chÊt ba ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c
- Ba ®−êng ph©n gi¸c cña mét A
tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm.
§iÓm nµy çch ®Òu ba c¹nh cña
tam gi¸c®ã
- §iÓm O lµ t©m ®−êng trßn néi
tiÕp tam gi¸c ABC
B C
23. TÝnh chÊt ba ®−êng trung trùc cña tam gi¸c
- Ba ®−êng trung trùc cña mét tam A
gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm
nµy çch ®Òu ba ®Ønh cña tam gi¸c
®ã
- §iÓm O lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i
tiÕp tam gi¸c ABC
24. Ph−¬ng ph¸p chøng minh mét sè bµi to¸n c¬ b¶n
(sö dông mét trong çc çch sau ®©y)
a) Chøng minh tam gi¸c c©n
1. Chøng minh tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau
2. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau
3. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®−êng trung tuyÕn võa lµ ®−êng cao
4. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®−êng cao võa lµ ®−êng ph©n gi¸c ë
®Ønh
b) Chøng minh tam gi¸c ®Òu
1. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba c¹nh b»ng nhau
2. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba gãc b»ng nhau
3. Chøng minh tam gi¸c c©n cã mét gãc lµ 600
c) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh b×nh hµnh
1. Tø gi¸c cã çc c¹nh ®èi song song lµ h×nh b×nh hµnh
2. Tø gi¸c cã çc c¹nh ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh

www.VNMATH.com
D E
3. Tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh
4. Tø gi¸c cã c¸c gãc ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh
5. Tø gi¸c cã hai ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng
lµ h×nh b×nh hµnh
d) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thang:
Ta chøng minh tø gi¸c ®ã cã hai c¹nh ®èi song song
e) Chøng minh mét h×nh thang lµ h×nh thang c©n
1. Chøng minh h×nh thang cã hai gãc kÒ mét ®¸y b»ng nhau
2. Chøng minh h×nh thang cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau
f) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh ch÷ nhËt
1. Tø gi¸c cã ba gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt
2. H×nh thanh c©n cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt
3. H×nh b×nh hµnh cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt
4. H×nh b×nh hµnh cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau lµ h×nh ch÷ nhËt
g) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thoi
1. Tø gi¸c cã bèn c¹nh b»ng nhau
2. H×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau
3. H×nh b×nh hµnh cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau
4. H×nh b×nh hµnh cã mét ®−êng chÐo lµ ®−êng ph©n gi¸c cña mét
gãc
h) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh vu«ng
1. H×nh ch÷ nhËt cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau
2. H×nh ch÷ nhËt cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc
3. H×nh ch÷ nhËt cã mét ®−êng chÐo lµ ®−êng ph©n gi¸c cña mét gãc
4. H×nh thoi cã mét gãc vu«ng
5. H×nh thoi cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau
25.§−êng trung b×nh cña tam gi¸c, cña h×nh thang
a) §−êng trung b×nh cña tam gi¸c
✓ §Þnh nghÜa: §−êng trung b×nh cña tam gi¸c lµ ®o¹n th¼ng nèi
trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c
✓ §Þnh lÝ: §−êng trung b×nh cña tam gi¸c th× song song víi c¹nh
thø ba vµ b»ng nöa c¹nh Êy
A
DE lµ ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c
B C
DE / / BC, DE  1 BC
2

www.VNMATH.com
2011 -201513
13
AB'  AC'
AB AC
 B'C'/ / BC
B' C' a
E F
b) §−êng trung b×nh cña h×nh thang
✓ §Þnh nghÜa: §−êng trung b×nh cña h×nh thang lµ ®o¹n th¼ng nèi
trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh thang
✓ §Þnh lÝ: §−êng trung b×nh cña h×nh thang th× song song víi hai
®¸y vµ b»ng nöa tæng hai ®¸y
EF lµ ®−êng trung b×nh cña A B
h×nh thang ABCD
D C
26. Tam gi¸c ®ång d¹ng
a) §Þnh lÝ Ta_lÐt trong tam gi¸c:
- NÕu mét ®−êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ c¾t hai
c¹nh cßn l¹i th× nã ®Þnh ra trªn hai c¹nh ®ã nh÷ng ®o¹n th¼ng t−¬ng
øng tØ lÖ
A
B C
b) §Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Ta_lÐt:
- NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ ®Þnh ra trªn
hai c¹nh nµy nh÷ng ®o¹n th¼ng t−¬ng øng tØ lÖ th× ®−êng th¼ng ®ã song
song víi c¹nh cßn l¹i cña tam gi¸c
VÝ dô:
c) HÖ qu¶ cña ®Þnh lÝ Ta_lÐt
; C¸c tr−êng hîp kh¸c t−¬ng tù
- NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ song song víi
c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi cã ba c¹nh t−¬ng øng tØ
lÖ víi ba c¹nh cña tam gi¸c ®· cho. HÖ qu¶ cßn ®óng trong tr−êng hîp
®−êng th¼ng song song víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ c¾t phÇn kÐo dµi
cña hai c¹nh cßn l¹i (B'C'/ / BC  AB'
 AC'  B'C' )
AB AC BC
B'C'/ / BC  AB'
AB'  AC' ; B'B  C'C
AB  AC' ;AC
B' B C'C AB AC
EF//AB, EF//CD, EF  AB  CD
2

www.VNMATH.com
Aˆ  Aˆ '; Bˆ  Bˆ '; Cˆ  Cˆ '
ABC A 'B'C' 
AB  AC  BC  k( tØ sè ®ång d¹ng )
A'B' A 'C' B'C'
M N a
A
A
a
C' B'
A
B C
a
B' C' B C
d) TÝnh chÊt ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c:
- §−êng ph©n gi¸c trong (hoÆc ngoµi) cña mét tam gi¸c chia c¹nh ®èi
diÖn thµnh hai ®o¹n tØ lÖ víi hai c¹nh kÒ cña hai ®o¹n ®ã
A
B D
C
D' B
C
e) §Þnh nghÜa hai tam gi¸c ®ång d¹ng :
- Hai tam gi¸c ®ång d¹ng lµ hai tam gi¸c cã çc gãc t−¬ng øng b»ng
nhau vµ çc c¹nh t−¬ng øng tØ lÖ
f) §Þnh lÝ vÒ hai tam gi¸c ®ång d¹ng:
- NÕu mét ®−êng th¼ng c¾t hai c¹nh cña mét tam gi¸c vµ song song víi
c¹nh cßn l¹i th× nã t¹o thµnh mét tam gi¸c míi ®ång d¹ng víi tam gi¸c
®· cho
A
*) L−u ý: §Þnh lÝ còng ®óng ®èi víi
tr−êng hîp ®−êng th¼ng c¾t phÇn kÐo
dµi hai c¹nh cña tam gi¸c vµ song song
víi c¹nh cßn l¹i B C
g) Çc tr−êng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c
DB  AB
DC AC
D'B  AB
D'C AC
MN / / BC  AMN ABC
S
S

www.VNMATH.com
2011 -201515
15
*)Tr−êng hîp 1: NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi ba c¹nh cña
tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång d¹ng.
A'
A
B
C B' C
*)Tr−êng hîp 2: NÕu hai c¹nh cña tam gi¸c nµy tØ lÖ víi hai c¹nh cña
tam gi¸c kia vµ hai gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®ã b»ng nhau th× hai tam
gi¸c®ång d¹ng
A'
A
B
C B' C'
*)Tr−êng hîp 3: NÕu hai gãc cña tam gi¸c nµy lÇn l−ît b»ng hai gãc
cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ång d¹ng;
A'
A
B
C B' C
h) C¸c tr−êng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c vu«ng
AB  AC  BC  ABCA 'B' A 'C' B'C'
A ' B'C'( c.c.c)
AB  BC
A 'B' B'C'  ABC
Bˆ  Bˆ '
A 'B'C'( c.g.c)
Aˆ  Aˆ '
B  B'
ˆ
ˆ
ABC
A 'B'C'( g.g )
S
S
S

www.VNMATH.com
Aˆ  Aˆ '  90
0
Cˆ  Cˆ '
 ABC A 'B'C'
B'
C A’
Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã:
AB  AC  ABC A 'B'C'
A 'B' A 'C'
Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ A'B'C' cã:
AB  BC  ABC A 'B'C'
A 'B' B'C'
S
*)Tr−êng hîp 1: NÕu hai tam gi¸c vu«ng cã mét gãc nhän b»ng nhau
th× chóng ®ång d¹ng.
B
A C'
*)Tr−êng hîp 2: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ
víi hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c ®ã ®ång
d¹ng.
B'
B
A C A' C'
*)Tr−êng hîp 3: NÕu c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c
vu«ng nµy tØ lÖ víi c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng
kia th× hai gi¸c ®ã ®ång d¹ng.
27. TØ sè hai ®−êng cao, tØ sè diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång
d¹ng
- TØ sè hai ®−êng cao t−¬ng øng cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng tØ
sè ®ång d¹ng
- TØ s« diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng b»ng b×nh ph−¬ng tØ sè
®ång d¹ng
- Cô thÓ : A 'B'C' ABC theo tØ sè k
S
SS

www.VNMATH.com
2011 -201517
17
E F
h
a
S  1 ( a  b)h  EF.h
2
=>
28. DiÖn tÝch c¸c h×nh
S  a.b
b
Chó ý:
1. DiÖn tÝch ®a gi¸c ®Òu n c¹nh, mçi c¹nh cã ®é dµi b»ng a ®−îc tÝnh
theo c«ng thøc S = 1
4
.na 4R 2
 a 2
(R lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i
tiÕp ®a gi¸c ®Òu )
2. Diện tích tam giác:
sABC
= 1
2
.a.ha = 1
2
a.b.sinC = p.r = abc
=4R
+) a, b, c là độ dài các cạnh tương ứng
+) ha là độ dài đường cao ứng với cạnh a
+) C là độ lớn của góc xen giữa hai cạnh a, b
+) p là nửa chu vi của tam giác
+) r là độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
+) R là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
29. Häc sinh cÇn n¾m v÷ng c¸c bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n
h
a
h
a
a
b
a
S  1 ah
2
A 'H'
AH
 k vµ
SA 'B'C'
SABC
 k
2
S  1 ah
2
S  1 ah
2
S  1
2
d  d1 2
d2
d1
p(p  a)( p b)(p  c)
b h
 a
h
a
S  a
2
S  a.h  a.b.sin

www.VNMATH.com
c
b
h
c'
H
b'
a
(dïng th−íc th¼ng, th−íc ®o ®é, th−íc cã chia kho¶ng, compa, ªke)
a) Dùng mét ®o¹n th¼ng b»ng mét ®o¹n th¼ng cho tr−íc;
b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tr−íc;
c) Dùng ®−êng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng cho tr−íc, dùng trung
®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng cho tr−íc;
d) Dùng tia ph©n gi¸c cña mét gãc cho tr−íc;
e) Qua mét ®iÓm cho tr−íc, dùng ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mét ®−êng
th¼ng cho tr−íc;
f) Qua mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®−êng th¼ng cho tr−íc, dùng ®−êng
th¼ng song songvíi mét ®−êng th¼ngcho tr−íc;
g) Dùng tam gi¸c biÕt ba c¹nh, hoÆc biÕt hai c¹nh kÒ vµ gãc xen gi÷a,
hoÆc biÕt mét c¹nh vµ hai gãc kÒ.
30. HÖ thøc l−îng trong tam gi¸c vu«ng (líp 9)
a) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®−êng cao trong tam gi¸c vu«ng
✓ b
2
 ab'
✓ c
2
ac'
✓ a
2
 b
2
c
2 A
(Pi_ta_go)
✓ bc = ah
B C
b) TØ sè l−îng gi¸c cña gãc nhän
✓ §Þnh nghÜa c¸c tØ sè l−îng gi¸c cña gãc nhän
✓ Mét sè tÝnh chÊt cña c¸c tØ sè l−îng gi¸c
+) §Þnh lÝ vÒ tØ sè l−îng gi¸c cña hai gãc phô nhau
Cho hai gãc α vµ β phô nhau. Khi ®ã:
sinα = cosβ; tgα = cotgβ; cosα = sinβ; cotgα = tgβ.
+) Cho 0
0
   90
0
. Ta cã:
0  sin  1; 0  cos  1; sin
2
  co
2
  1s
tg  sin ;
cos
cotg  cos ;
sin
tg.cotg  1
α
cos 
c¹nh kÒ
c¹nh huyÒn
cotg 
c¹nh kÒ
c¹nh ®èi
sin 
c¹nh ®èi
c¹nh huyÒn
tg 
c¹nh ®èi
c¹nh kÒ
✓ h
2
b' c '
✓ 1
b
2
 1
c
2
 1
h
2

www.VNMATH.com
2011 -201519
19
✓ So s¸nh c¸c tØ sè l−îng gi¸c
c) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng
31. §−êng trßn, h×nh trßn, gãc ë t©m, sè ®o cung
0
0
     90  sin  sin ;cos  cos ; tg  tg ;cotg  cotg
0
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
b = a.sinB;
b = a.cosC;
b = c.tgB;
b = c.cotgC;
c = a.sinC
c = a.cosB
c = b.tgC
c = b.cotgB
=> a = b  c  b  c
sinB sinC cosC
cosB

www.VNMATH.com
s® AˆmB  
- §−êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R lµ h×nh
gåm çc ®iÓm çch O mét kho¶ng b»ng
R, kÝ hiÖu (O ; R).
- H×nh trßn lµ h×nh gåm çc ®iÓm n»m


trªn ®−êng trßn vµ çc ®iÓm n»m bªn
trong ®−êng trßn ®ã.
- Trªn h×nh vÏ:
+) Çc ®iÓm A, B, C, D n»m trªn (thuéc)
®−êng trßn; OA = OB = OC = OD = R.
+) M n»m bªn trong ®−êng trßn; OM < R
+) N n»m bªn ngoµi ®−êng trßn; ON > R
+) §o¹n th¼ng AB lµ d©y cung (d©y)
+) CD = 2R, lµ ®−êng kÝnh (d©y cung lín
nhÊt, d©y ®i qua t©m)
+) AˆmB lµ cung nhá (0
0
   180
0
)
+) AˆnB lµ cung lín
+) Hai ®iÓm A, B lµ hai mót cña cung
- Gãc cã ®Ønh trïng víi t©m ®−êng trßn
®−îc gäi lµ gãc ë t©m (AÔB lµ gãc ë t©m
ch¾n cung nhá AmB)
- Gãc bÑt COD ch¾n nöa ®−êng trßn
- Sè ®o cung:
+) Sè ®o cña cung nhá b»ng sè ®o cña
gãc ë t©m ch¾n cung ®ã
( 0
0
   180
0
)
+) Sè ®o cña cung lín b»ng hiÖu gi÷a
3600
vµ sè ®o cña cung nhá (cã chung
hai mót víi cung lín)
+) Sè ®o cña nöa ®−êng trßn b»ng
1800
, sè ®o cña c¶ ®−êng trßn b»ng
3600
32. Quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®−êng kÝnh vµ d©y
- Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh
vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung
®iÓm cña d©y Êy
AB  CD t¹i H => HC = HD
- Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh ®i
qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i
qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy
33. Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng çch tõ t©m ®Õn d©y
s® AˆnB  360
0
 
0
0
   180
0
  180
0

www.VNMATH.com
21
21
34. VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña ®−êng th¼ng vµ ®−êng trßn
a) §−êng th¼ng vµ ®−êng trßn c¾t nhau
(cã hai ®iÓm chung)
- §−êng th¼ng a gäi lµ çt tuyÕn cña (O)
b) §−êng th¼ng vµ ®−êng trßn tiÕp xóc
nhau (cã mét ®iÓm chung)
- §−êng th¼ng a lµ tiÕp tuyÕn cña (O)
- §iÓm chung H lµ tiÕp ®iÓm
d = OH = R
*) TÝnh chÊt tiÕp tuyÕn: NÕu mét ®−êng th¼ng
lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®−êng trßn th× nã vu«ng
gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm.
a lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i H => a  OH
c) §−êng th¼ng vµ ®−êng trßn kh«ng
giao nhau (kh«ng cã ®iÓm chung)
d = OH > R
35. DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn cña®−êng trßn
- §Ó nhËn biÕt mét ®−êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®−êng trßn ta cã
hai dÊu hiÖu sau:
✓ DÊu hiÖu 1: §−êng th¼ng vµ ®−êng trßn chØ cã mét ®iÓm chung
(®Þnh nghÜa tiÕp tuyÕn)
✓ DÊu hiÖu 2: §−êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña ®−êng trßn vµ
vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm ®ã
d = OH < R vµ HA = HB = R
2
OH
2
V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù nghiÖp trång ng−êi
§Þnh lÝ 1: Trong mét ®−êng trßn
a) Hai d©y b»ng nhau th× çch ®Òu t©m
b) Hai d©y çch ®Òu t©m th× b»ng nhau
AB = CD => OH = OK
OH = OK => AB = CD
§Þnh lÝ 2: Trong hai d©y cña mét ®−êng trßn
a) D©y nµo lín h¬n th× d©y ®ã gÇn t©m h¬n
b) D©y nµo gÇn t©m h¬n th× d©y ®ã lín h¬n
AB < CD => OH > OK
OH > OK => AB < CD
N¨m häc
2011 - 2015

www.VNMATH.com
H  O
a  OH t¹i H
 a lµ tiÕp tuyÕn cña (O)
36. TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau; ®−êng trßn néi tiÕp,
bµng tiÕp tam gi¸c
a) §Þnh lÝ: NÕu hai tiÕp tuyÕn cña
mét ®−êng trßn c¾t nhau t¹i mét
®iÓm th×:
✓ §iÓm ®ã çch ®Òu hai tiÕp ®iÓm
✓ Tia kÎ tõ ®iÓm ®ã ®i qua t©m lµ
tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi
hai tiÕp tuyÕn
✓ Tia kÎ tõ t©m ®i qua ®iÓm ®ã lµ
tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi
hai b¸n kÝnh ®i qua çc tiÕp
®iÓm.
b) §−êng trßn nét tiÕp tam gi¸c
- §−êng trßn tiÕp xóc víi ba c¹nh cña
tam gi¸c ®−îc gäi lµ ®−êng trßn néi
tiÕp tam gi¸c, khi ®ã tam gi¸c gäi lµ
tam gi¸c ngo¹i tiÕp ®−êng trßn
- T©m cña ®−êng trßn néi tiÕp tam
gi¸c lµ giao ®iÓm cña çc ®−êng ph©n
gi¸c çc gãc trong cña tam gi¸c
c) §−êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c
- §−êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh
cña mét tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi çc
phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh kia gäi lµ
®−êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c
- T©m cña ®−êng trßn bµng tiÕp lµ
giao ®iÓm cña hai ®−êng ph©n gi¸c
çc gãc ngoµi t¹i hai ®Ønh nµo ®ã
hoÆc lµ giao ®iÓm cña mét ®−êng
ph©n gi¸c gãc trong vµ mét ®−êng
ph©n gi¸c gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh
- Víi mét tam gi¸c cã ba ®−êng
trßn bµng tiÕp (h×nh vÏ lµ
®−êng trßn bµng tiÕp trong
gãc A)
37. VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai ®−êng trßn, tiÕp tuyÕn chung cña
hai ®−êng trßn.
AB  AC;OÂB  OÂC ;AÔB  AÔC

www.VNMATH.com
2011 -201523
23
a) Hai ®−êng trßn c¾t nhau
(cã hai ®iÓm chung)
- Hai ®iÓm A, B lµ hai giao ®iÓm
- §o¹n th¼ng AB lµ d©y chung
R - r < OO' < R + r
- §−êng th¼ng OO’ lµ ®−êng nèi t©m,
®o¹n th¼ng OO’ lµ ®o¹n nèi t©m
*) TÝnh chÊt ®−êng nèi t©m: §−êng nèi
t©m lµ ®−êng trung trùc cña d©y chung
b) Hai ®−êng trßn tiÕp xóc nhau
(cã mét ®iÓm chung)
- §iÓm chung A gäi lµ tiÕp ®iÓm
+) TiÕp xóc ngoµi t¹i A:
OO'  R  r
+) TiÕp xóc trong t¹i A:
OO'  R  r
c) Hai ®−êng trßn kh«ng giao nhau
(kh«ng cã ®iÓm chung)
+) ë ngoµi nhau:
OO'  R  r
+) §ùng nhau:
OO'  R  r
+) §Æc biÖt (O) vµ (O’) ®ång t©m:
OO'  0
d) TiÕp tuyÕn chung cña hai ®−êng
trßn

www.VNMATH.com
BÂC 
1
s® BˆC
2
38. So s¸nh hai cung trong mét ®−êng trßn hay trong hai ®−êng
trßn b»ng nhau.
- Hai cung ®−îc gäi lµ b»ng nhau nÕu chóng cã sè ®o b»ng nhau
- Trong hai cung, cung nµo cã sè ®o lín h¬n ®−îc gäi lµ cung lín h¬n
- KÝhiÖu:
39. Liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y.
*) §Þnh lÝ 1:
Víi hai cung nhá trong mét ®−êng trßn hay trong
hai ®−êng trßn b»ng nhau:
a) Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau
b) Hai d©y b»ng nhau c¨ng hai cung b»ng nhau
*) §Þnh lÝ 2:
Víi hai cung nhá trong mét ®−êng trßn hay trong
hai ®−êng trßn b»ng nhau:
a) Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n
b) D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n
40. Gãc néi tiÕp
a) §Þnh nghÜa:
- Gãc néi tiÕp lµ gãc cã ®Ønh n»m trªn
®−êng trßn vµ hai c¹nh chøa hai d©y cung
cña ®−êng trßn ®ã.
- Cung n»m bªn trong gãc ®−îc gäi lµ cung
bÞ ch¾n
b) §Þnh lÝ:
Trong mét ®−êng trßn, sè ®o cña gãc néi tiÕp
b»ng nöa sè ®o cña cung bÞ ch¾n
c) HÖ qu¶: Trong mét ®−¬ng trßn
BÂC lµ gãc néi tiÕp ch¾n
cung nhá BC(h×nh a) vµ
ch¾n cung lín BC(h×nh b)
+) Çc gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n çc cung b»ng nhau
+) Çc gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n çc cung b»ng
nhau th× b»ng nhau
AˆB  CˆD  AB  CD ; AB  CD  AˆB  CˆD
AˆB  CˆD  AB  CD ; AB  CD  AˆB  CˆD
- TiÕp tuyÕn chung cña hai ®−êng trßn
lµ ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ hai
®−êng trßn ®ã
- TiÕp tuyÕn chung ngoµi kh«ng c¾t
®o¹n nèi t©m
- TiÕp tuyÕn chung trong c¾t ®o¹n nèi
t©m
AˆB  CˆD; EˆF  GˆH  GˆH  EˆF

www.VNMATH.com
2011 -201525
25
e
o
n
BÊC
+) Gãc néi tiÕp (nhá h¬n hoÆc b»ng 900
) cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña
gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung
+) Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn lµ gãc vu«ng.
41. Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung
a) Kh¸i niÖm:
- Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung lµ gãc
cã ®Ønh n»m trªn ®−êng trßn, mét c¹nh lµ mét
tia tiÕp tuyÕn cßn c¹nh kia chøa d©y cung cña
®−êng trßn
- Cung n»m bªn trong gãc lµ cung bÞ ch¾n
- H×nh vÏ:
✓ BÂx ch¾n cung nhá AmB
✓ BÂy ch¾n cung lín AnB
b) §Þnh lÝ:
- Sè ®o cña gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y
cung b»ng nöa sè ®o cña cung bÞ ch¾n
c) HÖ qu¶:
Trong mét ®−êng trßn, gãc t¹o bëi tia tiÕp
tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n
mét cung th× b»ng nhau.
42. Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®−êng trßn. Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi
®−êng trßn.
a) Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®−êng trßn.
- Gãc cã ®Ønh n»m bªn trong ®−êng trßn ®−îc
gäi lµ gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®−êng trßn
d m a
- H×nh vÏ: lµ gãc cã ®Ønh ë bªn trong
®−êng trßn ch¾n hai cung lµ
- Sè ®o cña gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®−êng trßn c
b»ng nöa tæng sè ®o hai cung bÞ ch¾n
b
BÂx  AˆCB 
1
s® AˆmB
2
BÂx  1 s® AˆmB
BÂy  1 s® AˆnB
2
2
BˆnC , AˆmD
BÊC 
s® BˆnC  s® AˆmD
2

www.VNMATH.com
BÊC
AˆMB  
α = 900
b) Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®−êng trßn. E
- Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®−êng trßn lµ gãc cã
®Ønh n»m ngoµi ®−êng trßn vµ çc c¹nh ®Òu
cã ®iÓm chung víi ®−êng trßn
- Hai cung bÞ ch¾n lµ hai cung n»m bªn trong
gãc, h×nh vÏ bªn: lµ gãc cã ®Ønh ë bªn
ngoµi ®−êng trßn, cã hai cung bÞ ch¾n lµ
- Sè ®o cña gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®−êng trßn
b»ng nöa hiÖu sè ®o hai cung bÞ ch¾n
BÊC  s® BˆnC  s® AˆmD
2
43. KÕt qu¶ bµi to¸n quü tÝch cung chøa gãc
a) Bµi to¸n: Víi ®o¹n th¼ng AB vµ gãc 
(0
0
   180
0
) cho tr−íc th× quü tÝch çc ®iÓm
M tháa m·n lµ hai cung chøa gãc 
dùng trªn ®o¹n th¼ng AB
- Hai cung chøa gãc  dùng trªn ®o¹n th¼ng
AB ®èi xøng víi nhau qua AB
- Khi th× hai cung chøa gãc lµ hai nöa
®−êng trßn ®−êng kÝnh AB, suy ra: Quü tÝch
çc ®iÓm nh×n ®o¹n th¼ng AB cho tr−íc d−íi
mét gãc vu«ng lµ ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB
(¸p dông kiÕn thøc nµy ®Ó chøng minh tø gi¸c
néi tiÕp)
AˆmD vµ BˆnC
2
3
1
A m
D
O
B
n
C

www.VNMATH.com
27
27
Aˆ  Cˆ  Bˆ  Dˆ  180
0
c) Çch gi¶i bµi to¸n quü tÝch
Muèn chøng minh quü tÝch (hay tËp hîp) çc ®iÓm M tháa m·n tÝnh
chÊt T lµ mét h×nh H nµo ®ã, ta chøng minh hai phÇn:
PhÇn thuËn: Mäi ®iÓm cã tÝnh chÊt T ®Òu thuéc h×nh H
PhÇn ®¶o: Mäi ®iÓm thuéc h×nh H ®Òu cã tÝnh chÊt T
KÕt luËn: Quü tÝch (hay tËp hîp) çc ®iÓm M cã tÝnh chÊt T lµ h×nh H
44. Tø gi¸c néi tiÕp
a) Kh¸i niÖm tø gi¸c néi tiÕp
- Mét tø gi¸c cã bèn ®Ønh n»m trªn mét ®−êng
trßn ®−îc gäi lµ tø gi¸c néi tiÕp ®−êng trßn (gäi
t¾t lµ tø gi¸c néi tiÕp)
b) §Þnh lÝ:
- Trong mét tø gi¸c néi tiÕp, tæng sè ®o hai gãc
®èi diÖn b»ng 1800
c) DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp
✓ Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800
Tø gi¸c ABCD néi
tiÕp (O), suy ra:
✓ Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi
diÖn
✓ Tø gi¸c cã bèn ®Ønh çch ®Òu mét ®iÓm (mµ ta cã thÓ x¸c ®Þnh
®−îc). §iÓm ®ã lµ t©m cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c
✓ Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i
d−íi mét gãc α
L−u ý: §Ó chøng minh mét tø gi¸c lµ tø gi¸c néi tiÕp ta cã thÓ chøng
minh tø gi¸c ®ã lµ mét trong çc h×nh : H×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng,
h×nh thang c©n.
45. §−êng trßn ngo¹i tiÕp. §−êng trßn néi tiÕp
V× sù nghiÖp gi¸o dôc - V× sù nghiÖp trång ng−êi
b) Çch vÏ cung chøa gãc α
- VÏ ®−êng trung trùc d cña ®o¹n th¼ng AB.
- VÏ tia Ax t¹o víi AB mét gãc ( BÂx = )
- VÏ tia Ay vu«ng gãc víi tia Ax . Gäi O lµ giao
®iÓm cña Ay víi d
- VÏ cung AmB, t©m O b¸n kÝnh OA sao cho
cung nµy n»m ë nöa mÆt ph¼ng bê AB kh«ng
chøa tia Ax.
N¨m häc
2011 - 2015

www.VNMATH.com
46. Mét sè ®Þnh lÝ ®−îc ¸p dông : (kh«ng cÇn chøng minh)
a) §Þnh lÝ 1:
+) T©m cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c vu«ng lµ trung ®iÓm cña
c¹nh huyÒn
+) NÕu mét tam gi¸c cã mét c¹nh lµ ®−êng kÝnh cña ®−êng trßn ngo¹i
tiÕp th× tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c vu«ng
b) §Þnh lÝ 2:
Trong mét ®−êng trßn, hai cung bÞ ch¾n gi÷a hai d©y song song th×
b»ng nhau
c) §Þnh lÝ 3:
Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cña mét
cung th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y c¨ng cung Êy.
d) §Þnh lÝ 4:
Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y
cung (kh«ng ph¶i lµ ®−êng kÝnh) th× chia cung c¨ng d©y Êy thµnh hai
cung b»ng nhau
e) §Þnh lÝ 5:
Trong mét ®−êng trßn, ®−êng kÝnh ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cña mét
cung th× vu«ng gãc víi d©y c¨ng cung Êy vµ ng−îc l¹i, ®−êng kÝnh
vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung c¨ng d©y
Êy.
47. §é dµi ®−êng trßn, ®é dµi cung trßn, diÖn tÝch h×nh trßn,
diÖn tÝch h×nh qu¹t trßn
a) §é dµi ®−êng trßn
C«ng thøc tÝnh ®é dµi ®−êng trßn (chu vi h×nh
- §−êng trßn ®i qua tÊt c¶ c¸c ®Ønh cña mét
®a gi¸c ®−îc gäi lµ ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ®a
gi¸c vµ ®a gi¸c ®−îc gäi lµ ®a gi¸c néi tiÕp
®−êng trßn
- §−êng trßn tiÕp xóc víi tÊt c¶ c¸c c¹nh cña
mét ®a gi¸c ®−îc gäi lµ ®−êng trßn néi tiÕp ®a
gi¸c vµ ®a gi¸c ®−îc gäi lµ ®a gi¸c ngo¹i tiÕp
®−êng trßn
I
- BÊt k× ®a gi¸c ®Òu nµo còng cã mét vµ chØ
mét ®−êng trßn ngo¹i tiÕp, cã mét vµ chØ mét
®−êng trßn néi tiÕp.
- Trong ®a gi¸c ®Òu, t©m cña ®−êng trßn
ngo¹i tiÕp trïng víi t©m cña ®−êng trßn néi
tiÕp vµ ®−îc gäi lµ t©m cña ®a gi¸c ®Òu.

www.VNMATH.com
2011 -201529
29
trßn) b¸n kÝnh R lµ:
HoÆc
Trong ®ã: C : lµ ®é dµi ®−êng trßn
R: lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn
d: lµ ®−êng kÝnh ®−êng trßn
lµ sè v« tØ.
b) §é dµi cung trßn
§é dµi cung trßn n0
lµ:
Trong ®ã: l : lµ ®é dµi cung trßn n0
R: lµ b¸n kÝnh ®−êng trßn
n: lµ sè ®o ®é cña gãc ë t©m
c) DiÖn tÝch h×nh trßn
Trong ®ã:
S : lµ diÖn tÝch h×nh trßn .
R : lµ b¸n kÝnh h×nh trßn .
  3 , 14
d) DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn
HoÆc
Trong ®ã:
S lµ diÖn tÝch h×nh qu¹t trßn cung n0
R lµ b¸n kÝnh
l lµ ®é dµi cung n0
cña h×nh qu¹t trßn
  3 , 14
48. Ph−¬ng ph¸p chøng minh mét sè bµi to¸n h×nh häc th−êng
gÆp khi «n thi vµo THPT
a) Chøng minh tam gi¸c c©n
1. Chøng minh tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau
2. Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng nhau
3. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®−êng trung tuyÕn võa lµ ®−êng cao
4. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ®−êng cao võa lµ ®−êng ph©n gi¸c ë
®Ønh
b) Chøng minh tam gi¸c ®Òu
1. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba c¹nh b»ng nhau
2. Chøng minh tam gi¸c ®ã cã ba gãc b»ng nhau
3. Chøng minh tam gi¸c c©n cã mét gãc lµ 600
c) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh b×nh hµnh
1. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi song song lµ h×nh b×nh hµnh
S   .R2
C =2 R C = d
 3,1415...
l 
 R.n
180
 R2
n
Squat =
360
Squat
A.R

2

www.VNMATH.com
2. Tø gi¸c cã c¸c c¹nh ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh
3. Tø gi¸c cã hai c¹nh ®èi song song vµ b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh
4. Tø gi¸c cã c¸c gãc ®èi b»ng nhau lµ h×nh b×nh hµnh
5. Tø gi¸c cã hai ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng
lµ h×nh b×nh hµnh
d) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thang:
Ta chøng minh tø gi¸c ®ã cã hai c¹nh ®èi song song
e) Chøng minh mét h×nh thang lµ h×nh thang c©n
1. Chøng minh h×nh thang cã hai gãc kÒ mét ®¸y b»ng nhau
2. Chøng minh h×nh thang cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau
f) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh ch÷ nhËt
1. Tø gi¸c cã ba gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt
2. H×nh thanh c©n cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt
3. H×nh b×nh hµnh cã mét gãc vu«ng lµ h×nh ch÷ nhËt
4. H×nh b×nh hµnh cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau lµ h×nh ch÷ nhËt
g) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh thoi
1. Tø gi¸c cã bèn c¹nh b»ng nhau
2. H×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau
3. H×nh b×nh hµnh cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau
4. H×nh b×nh hµnh cã mét ®−êng chÐo lµ ®−êng ph©n gi¸c cña mét
gãc
h) Chøng minh mét tø gi¸c lµ h×nh vu«ng
1. H×nh ch÷ nhËt cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau
2. H×nh ch÷ nhËt cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc
3. H×nh ch÷ nhËt cã mét ®−êng chÐo lµ ®−êng ph©n gi¸c cña mét gãc
4. H×nh thoi cã mét gãc vu«ng
5. H×nh thoi cã hai ®−êng chÐo b»ng nhau
i) Chøng minh hai ®−êng th¼ng vu«ng gãc
✓ Ph−¬ng ph¸p 1: NÕu hai gãc cña mét tam gi¸c cã tæng b»ng 900
th×
tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c vu«ng => gãc cßn l¹i b»ng 900
=> hai
®−êng th¼ng chøa hai c¹nh gãc vu«ng lµ vu«ng gãc víi nhau.
✓ Ph−¬ng ph¸p 2: NÕu mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mét trong hai
®−êng th¼ng song song th× nã còng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng kia
✓ Ph−¬ng ph¸p 3: VËn dông tÝnh chÊt, nÕu mét tam gi¸c cã mét
®−êng trung tuyÕn øng víi mét c¹nh b»ng nöa c¹nh Êy th× tam
gi¸c ®ã lµ tam gi¸c vu«ng => hai ®−êng th¼ng chøa hai c¹nh gãc
vu«ng lµ vu«ng gãc víi nhau.
✓ Ph−¬ng ph¸p 4: VËn dông tÝnh chÊt ba ®−êng cao cña tam gi¸c,
✓ Ph−¬ng ph¸p 5: VËn dông hai gãc kÒ phô nhau (hai gãc kÒ cã tæng
b»ng 900
)
✓ Ph−¬ng ph¸p 6: VËn dông tÝnh chÊt hai c¹nh kÒ cña h×nh ch÷
nhËt, h×nh vu«ng th× vu«ng gãc víi nhau

www.VNMATH.com
2011 -201531
31
✓ Ph−¬ng ph¸p 7: VËn dông tÝnh chÊt cña tam gi¸c c©n
Trong tam gi¸c c©n, ®−êng ph©n gi¸c, ®−êng trung tuyÕn xuÊt
ph¸t tõ ®Ønh ®ång thêi lµ ®−êng cao
✓ Ph−¬ng ph¸p 8: VËn dông tÝnh chÊt hai ®−êng chÐo cña h×nh thoi
vu«ng gãc víi nhau
✓ Ph−¬ng ph¸p 9: VËn dông hai tam gi¸c ®ång d¹ng víi nhau (hoÆc
hai tam gi¸c b»ng nhau), trong ®ã cã mét tam gi¸c vu«ng.
✓ Ph−¬ng ph¸p 10: VËn dông tÝnh chÊt hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc
kÒ bï th× vu«ng gãc víi nhau
✓ Ph−¬ng ph¸p 11: Dùa vµo ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Py - ta - go
✓ Ph−¬ng ph¸p 12: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp cã mét gãc b»ng 900
,
suy ra gãc ®èi diÖn còng b»ng 900
=> hai ®−êng th¼ng chøa hai
c¹nh cña gãc lµ vu«ng gãc víi nhau.
✓ Ph−¬ng ph¸p 13: VËn dông tÝnh chÊt ®−êng nèi t©m
✓ Ph−¬ng ph¸p 14: VËn dông ®Þnh nghÜa ®−êng trung trùc.
✓ Ph−¬ng ph¸p 15: Sö dông tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng
trßn b»ng 900
✓ Ph−¬ng ph¸p 16: Sö dông tÝnh chÊt ®−êng kÝnh cña mét ®−êng
trßn ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y cung kh«ng ®i qua t©m th×
vu«ng gãc víi d©y Êy hoÆc ®−êng kÝnh cña mét ®−êng trßn ®i qua
®iÓm chÝnh gi÷a cña mét cung th× vu«ng gãc víi d©y c¨ng cung Êy
✓ Ph−¬ng ph¸p 17: Sö dông tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn
(tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn lu«n lu«n vu«ng gãc víi b¸n kÝnh t¹i
mót n»m trªn ®−êng trßn); tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn chung cña hai
®−êng trßn.
✓ Ph−¬ng ph¸p 18: D©y cung chung vµ ®−êng nèi t©m cña hai
®−êng trßn th× vu«ng gãc víi nhau
✓ Ph−¬ng ph¸p 19: Sö dông hai gãc kÒ bï b»ng nhau
✓ Ph−¬ng ph¸p 20: Chøng minh mét tam gi¸c b»ng mét tam gi¸c
vu«ng
✓ Ph−¬ng ph¸p 21: Sö dông tÝnh chÊt tam gi¸c c©n
✓ Ph−¬ng ph¸p 22: Chøng minh b»ng ph¶n chøng
k) Chøng minh hai ®−êng th¼ng song song víi nhau
✓ Ph−¬ng ph¸p 1: Chøng minh hai ®−êng th¼ng chøa hai c¹nh ®èi
cña h×nh b×nh hµnh (hoÆc h×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng, h×nh thoi)
✓ Ph−¬ng ph¸p 2: Dùa vµo dÊu hiÖu nhËn biÕt hai ®−êng th¼ng song
song: NÕu ®−êng th¼ng c c¾t hai ®−êng th¼ng a, b vµ trong c¸c gãc
t¹o thµnh cã mét cÆp gãc so le trong b»ng nhau (hoÆc mét cÆp gãc
®ång vÞ b»ng nhau) th× a vµ b song song víi nhau
✓ Ph−¬ng ph¸p 3: Hai ®−êng th¼ng cïng song song víi ®−êng th¼ng
thø ba th× song song víi nhau.
✓ Ph−¬ng ph¸p 4: Hai ®−êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng
thø ba th× song song víi nhau.

www.VNMATH.com
✓ Ph−¬ng ph¸p 5: ¸p dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Ta - lÐt
✓ Ph−¬ng ph¸p 6: Sử dụng tính chất đường trung bình của tam
giác, hình thang
✓ Ph−¬ng ph¸p 7: Sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản
chứng.
m)Chøng minh hai gãc b»ng nhau
✓ Ph−¬ng ph¸p 1: Chøng minh hai gãc ®ã lµ hai gãc t−¬ng øng cña
hai tam gi¸c b»ng nhau
✓ Ph−¬ng ph¸p 2: Chøng minh hai gãc ®ã lµ hai gãc t−¬ng øng cña
hai tam gi¸c ®ång d¹ng
✓ Ph−¬ng ph¸p 3: Chøng minh hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh
✓ Ph−¬ng ph¸p 4: NÕu hai ®−êng th¼ng song song => hai gãc so le
trong b»ng nhau, hai gãc so le ngoµi b»ng nhau, hai gãc ®ång vÞ
b»ng nhau.
✓ Ph−¬ng ph¸p 5: Chøng minh hai gãc cña cïng mét tam gi¸c c©n
✓ Ph−¬ng ph¸p 6: Chøng minh hai gãc cña cïng mét tam gi¸c ®Òu
✓ Ph−¬ng ph¸p 7: Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba
✓ Ph−¬ng ph¸p 8: Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau
kh¸c
✓ Ph−¬ng ph¸p 9: Chøng minh hai gãc cïng phô hoÆc cïng bï víi
mét gãc thø ba
✓ Ph−¬ng ph¸p 10: Chøng minh hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét
cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng nhau
✓ Ph−¬ng ph¸p 11: Chøng minh hai gãc cã sè ®o b»ng nhau.
✓ Ph−¬ng ph¸p 12: Chøng minh hai gãc b»ng tæng (hiÖu) hai gãc
t−¬ng øng b»ngnhau
✓ Ph−¬ng ph¸p 13: Chøng minh hai gãc ®ã lµ hai gãc ë ®¸y cña
h×nh thang c©n
✓ Ph−¬ng ph¸p 14: Sö dông tÝnh chÊt vÒ gãc cña h×nh b×nh hµnh
✓ Ph−¬ng ph¸p 15: Sö dông ®Þnh nghÜa tia ph©n gi¸c cña mét gãc
✓ Ph−¬ng ph¸p 16: Sö dông c¸c gãc b»ng nhau cho tr−íc vµ biÕn ®æi
✓ Ph−¬ng ph¸p 17: Sö dông ph−¬ng ph¸p chøng minh b»ng ph¶n
chøng
✓ Ph−¬ng ph¸p 18: Sử dụng hàm số lượng giác sin, c«sin, tang,
c«tang.
n) Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau
✓ Ph−¬ng ph¸p 1: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng lµ hai c¹nh t−¬ng
øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau
✓ Ph−¬ng ph¸p 2: Sö dông tÝnh chÊt hai ®−êng chÐo cña h×nh b×nh
hµnh, h×nh ch÷ nhËt, h×nh vu«ng c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi
®−êng

www.VNMATH.com
2011 -201533
33
✓ Ph−¬ng ph¸p 3: VËn dông tÝnh chÊt hai c¹nh bªn cña tam gi¸c
c©n b»ngnhau
✓ Ph−¬ng ph¸p 4: VËn dông tÝnh chÊt ba c¹nh cña tam gi¸c ®Òu
b»ng nhau
✓ Ph−¬ng ph¸p 5: VËn dông sù b»ng nhau cña c¸c c¹nh ®èi cña
h×nh b×nh hµnh, h×nh ch÷ nhËt, h×nh thoi , h×nh vu«ng.
✓ Ph−¬ng ph¸p 6: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng mét ®o¹n
th¼ng thø ba
✓ Ph−¬ng ph¸p 7: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng lµ hai c¹nh bªn cña
h×nh thang c©n
✓ Ph−¬ng ph¸p 8: Trong mét ®−êng trßn hoÆc trong hai ®−êng trßn
b»ng nhau, hai d©y c¨ng hai cung b»ng nhau th× b»ng nhau
✓ Ph−¬ng ph¸p 9: Trong mét ®−êng trßn hoÆc trong hai ®−êng trßn
b»ng nhau, hai d©y c¸ch ®Òu t©m th× b»ng nhau
✓ Ph−¬ng ph¸p 10: VËn dông ®Þnh lÝ, nÕu mét ®−êng th¼ng ®i qua
trung ®iÓm mét c¹nh cña tam gi¸c vµ song song víi c¹nh thø hai
th× nã sÏ ®i qua trung ®iÓm cña c¹nh thø ba
✓ Ph−¬ng ph¸p 11: VËn dông ®Þnh nghÜa ®−êng trung trùc cña ®o¹n
th¼ng, ®ịnh nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, định nghĩa
đường trung tuyến của tam giác
✓ Ph−¬ng ph¸p 12: Chøng minh hai đoạn thẳng cã cùng số đo.
✓ Ph−¬ng ph¸p 13: Chøng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn
thẳng thứ ba.
✓ Ph−¬ng ph¸p 14: Chøng minh hai đoạn thẳng cùng bằng tổng,
hiệu, trung bình nhân, . . . , của hai đoạn thẳng bằng nhau
từng đôi một.
✓ Ph−¬ng ph¸p 15: Sö dông tính chất trung tuyến ứng với cạnh
huyền, tính chất cạnh đối diện với góc 300
của tam giác vuông.
✓ Ph−¬ng ph¸p 16: Sö dông tính chất đường phân giác của một
góc.
✓ Ph−¬ng ph¸p 17: Sö dông tính chất của hai đoạn thẳng song
song bÞ chắn giữa bởi hai đường thẳng song song.
✓ Ph−¬ng ph¸p 18: Chứng minh bằng phản chứng.
✓ Ph−¬ng ph¸p 19: Sử dụng các đoạn thẳng bằng nhau cho trước
rồi biến đổi.
✓ Ph−¬ng ph¸p 20: Sử dụng định lí đường trung bình của tam giác
(thuận và đảo).
✓ Ph−¬ng ph¸p 21: Sử dụng tính chất trọng tâm cña tam gi¸c
(tính chất của giao điểm ba đường phân giác cña tam gi¸c),
tính chất của giao điểm ba đường trung trực.
✓ Ph−¬ng ph¸p22:

www.VNMATH.com
Sử dụng bình phương của chúng bằng nhau (có thể sử dụng
định lí Pitago, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam
giác, trong đường tròn để đưa về bình phương của chúng bằng
nhau)
o) Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng
✓ Ph−¬ng ph¸p 1: Lîi dông hai gãc kÒ bï
✓ Ph−¬ng ph¸p 2: VËn dông tiªn ®Ò ¬-clÝt
Qua mét ®iÓm ë ngoµi mét ®−êng th¼ng, chØ cã mét ®−êng th¼ng
song song víi ®−êng th¼ng ®· cho (hai ®−êng th¼ng cïng ®i qua
hai trong ba ®iÓm Êy cïng song song víi ®−êng th¼ng thø ba)
✓ Ph−¬ng ph¸p 3: VËn dông tÝnh chÊt:
Qua mét ®iÓm ë ngoµi mét ®−êng th¼ng, chØ cã mét ®−êng th¼ng
vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng ®· cho (hai ®−êng th¼ng cïng ®i qua
hai trong ba ®iÓm Êy cïng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng thø ba)
✓ Ph−¬ng ph¸p 4: Chøng minh ®−êng th¼ng vÏ qua hai ®iÓm ®i qua
®iÓm cßn l¹i.
✓ Ph−¬ng ph¸p 5: VËn dông tÝnh chÊt cña h×nh b×nh hµnh lµ hai
®−êng chÐo cña chóng c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng.
✓ Ph−¬ng ph¸p 6: Chøng minh ba ®iÓm cïng thuéc mét tia hoÆc mét
®−êng th¼ng
p) Chøng minh ba ®−êng th¼ng ®ång quy
✓ Ph−¬ng ph¸p 1: Dùa vµo tÝnh chÊt çc ®−êng ®ång quy trong tam
gi¸c: Ba ®−êng cao, ba ®−êng trung tuyÕn, ba ®−êng ph©n gi¸c, ba
®−êng trung trùc.
✓ Ph−¬ng ph¸p 2: Chøng minh giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng n»m
trªn ®−êng th¼ng thø ba.
✓ Ph−¬ng ph¸p 3: Chøng minh çc ®−êng cïng ®i qua mét ®iÓm cè
®Þnh.
L−u ý: Çc ph−¬ng ph¸p trªn cã thÓ ®−îc vËn dông bëi nh÷ng kÜ n¨ng
kh¸c nhau.
q) Chøng minh çc ®iÓm cïng thuéc mét ®−êng trßn
✓ Ph−¬ng ph¸p 1: Chøng minh çc ®iÓm çch ®Òu mét ®iÓm cè
®Þnh, kho¶ng çch ®ã lµ b¸n kÝnh cña ®−êng trßn.
✓ Ph−¬ng ph¸p 2: NÕu mét ®iÓm nh×n mét ®o¹n th¼ng d−íi gãc 90
0
,
th× theo quü tÝch cung chøa gãc, ®iÓm ®ã thuéc ®−êng trßn nhËn
®o¹n th¼ng Êy lµ ®−êng kÝnh
✓ Ph−¬ng ph¸p 3: NÕu chøng minh bèn ®iÓm cïng thuéc mét ®−êng
trßn, ta cã thÓ chøng minh tø gi¸c néi tiÕp

www.VNMATH.com
2011 -201535
35
✓ Ph−¬ng ph¸p 4: NÕu chøng minh bèn ®iÓm cïng thuéc mét ®−êng
trßn, ta cã thÓ chøng minh bèn ®iÓm ®ã lµ bèn ®Ønh cña h×nh
vu«ng, h×nh ch÷ nhËt, h×nh thang c©n.
r) Chøng minh quü tÝch cña ®iÓm lµ ®−êng trßn
✓ B−íc 1: T×m ®iÓm cè ®Þnh
✓ B−íc 2: Chøng minh kho¶ng çch cña ®iÓm chuyÓn ®éng víi ®iÓm
cè ®Þnh kh«ng ®æi.
✓ B−íc 3: KÕt luËn.
§iÓm chuyÓn ®éng trªn ®−êng trßn, nhËn ®iÓm cè ®Þnh lµm t©m,
kho¶ng çch kh«ng ®æi lµ b¸n kÝnh.
s) Chøng minh mét tø gi¸c lµ tø gi¸c néi tiÕp
✓ Ph−¬ng ph¸p 1: Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800
✓ Ph−¬ng ph¸p 2: Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong
cña ®Ønh ®èi diÖn
✓ Ph−¬ng ph¸p 3: Tø gi¸c cã bèn ®Ønh çch ®Òu mét ®iÓm (mµ ta cã
thÓ x¸c ®Þnh ®−îc). §iÓm ®ã lµ t©m cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø
gi¸c
✓ Ph−¬ng ph¸p 4: Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa
hai ®Ønh cßn l¹i d−íi mét gãc α
✓ Ph−¬ng ph¸p 5: §Ó chøng minh mét tø gi¸c lµ tø gi¸c néi tiÕp ta
cã thÓ chøng minh tø gi¸c ®ã lµ mét trong çc h×nh : H×nh ch÷
nhËt, h×nh vu«ng, h×nh thang c©n.
✓ Ph−¬ng ph¸p 6: Chøng minh tæng çc gãc ®èi b»ng nhau
*) Thñ thuËt th−êng gÆp:
Sö dông kü thuËt céng gãc
Chøng minh tæng hai gãc ®èi diÖn cña tø gi¸c b»ng tæng ba gãc
cña mét tam gi¸c nµo ®ã
Dùa vµo çc tam gi¸c ®ång d¹ng ®Ó chøng minh gãc ngoµi t¹i mét
®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn.
§Ó chøng minh tø gi¸c nµy néi tiÕp ta cÇn chøng minh th«ng qua
mét tø gi¸c néi tiÕp kh¸c n÷a.
t) Chøng minh mét ®−êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn;
chøng minh mét ®−êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai
®−êng trßn
✓ Ph−¬ng ph¸p 1: Chøng minh ®−êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña
®−êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm ®ã.
H O


a lµ tiÕp tuyÕn cña (O)
a  OH t¹i H

www.VNMATH.com
✓ Ph−¬ng ph¸p 2:
§Ó chøng minh ®−êng th¼ng d tiÕp xóc
víi ®−êng trßn (O) t¹i ®iÓm A ta chøng
minh gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng d víi d©y
AB nµo ®ã b»ng gãc néi tiÕp ch¾n cung
AB.
Cho h×nh vÏ:
NÕu BÂx  AˆCB th× d lµ tiÕp tuyÕn cña
®−êng trßn
✓ Ph−¬ng ph¸p 3: Sö dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ vÒ gãc t¹o bëi tia
tiÕp tuyÕn vµ d©y cung
Cho h×nh vÏ:
NÕu BÂx  1
2
s® AˆmB th× Ax lµ mét tia
tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn
u) Ph−¬ng ph¸p chøng minh mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a çc ®o¹n
th¼ng, çc c¹nh cña hai tam gi¸c, çc ®o¹n th¼ng víi b¸n
kÝnh cña ®−êng trßn , ...
✓ Ph−¬ng ph¸p 1: ¸p dông hÖ thøc l−îng trong tam gi¸c vu«ng
✓ Ph−¬ng ph¸p 2: Chøng hai tam gi¸c ®ång d¹ng
✓ Ph−¬ng ph¸p 3: VËn dông hai cÆp tam gi¸c ®ång d¹ng ®Ó cã tØ sè
trung gian (nguyªn t¾c b¾c cÇu)
a  c
b d   a' hay ab' = a'b
a'  c
b' d
b b'
✓ Ph−¬ng ph¸p 4: VËn dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c
✓ Ph−¬ng ph¸p 5: VËn dông ®Þnh lÝ Py - ta - go
✓ Ph−¬ng ph¸p 6: Ph−¬ng ph¸p ®Þnh l−îng (tÝnh to¸n hai vÕ)
✓ Ph−¬ng ph¸p 7: VËn dông tÝnh chÊt ®−êng ph©n gi¸c trong tam
gi¸c ®Ó cã tØ sè trung gian
49. Ph−¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ h×nh häc THCS
1. Với ba điểm bất kì trong mặt phẳng (không gian) A, B, C ta có:
AC  AB +BC
AC = AB + BC  A, B, C thẳng hàng và B ở giữa A và C
AB  AC  BC
AC – AB = BC  A, B, C thẳng hàng và B ở giữa A và C
2. Trong số các đường xiên và đường vuông góc hạ từ một điểm đến
một đường thẳng trong mặt phẳng ta có:
a

www.VNMATH.com
2011 -201537
37
a) Đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên.
b) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.
3. Trong một tam giác, đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn và
ngược lại.
4. Trong hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau, nếu cạnh
thứ ba của tam giác này lớn hơn cạnh thứ ba của tam giác kia thì góc
đối diện cũng tương ứng lớn hơn và ngược lại.
5. Trong tất cả các đường nối liền hai điểm, đoạn thẳng nối liền hai
điểm đó là ngắn nhất.
6. Trong tất cả các dây cung của đường tròn, đường kính là dây lớn
nhất.
7. Trong một đường tròn, dây nào có độ dài lớn hơn thì khoảng cách từ
đó đến tâm nhỏ hơn và ngược lại.
8. Bất đẳng thức côsi:
Cho a, b là hai số không âm. Ta luôn có: a  b  ab
2
+) Nếu a + b (không đổi) ⇒ ab lớn nhất khi a = b.
+) Nếu ab (không đổi) ⇒ a + b nhỏ nhất khi a = b.
9. Một phân thức với tử và mẫu dương, có tử thức không đổi, phân thức
đạt giá trị lớn nhất nếu mẫu thức đạt giá trị nhỏ nhất và phân thức
đạt giá trị nhỏ nhất nếu mẫu thức đạt giá trị lớn nhất.
ph©n d¹ng vµ ph−¬ng ph¸p gi¶i
e#a
M«n : §¹i Sè - THCS
Website: http://quanghieu030778.violet.vn
I - C¸c lo¹i ph−¬ng tr×nh
1. Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt
- Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng ax + b = 0 (a 0)
- Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x =  b
a

www.VNMATH.com
- Chó ý: NÕu ph−¬ng tr×nh chøa tham sè ta chuyÓn vÒ d¹ng Ax = B vµ
xÐt çc tr−êng hîp sau:
➢ NÕu A  0 ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x =  B
A
➢ NÕu A = 0 , B  0 ph−¬ng tr×nh trë thµnh 0.x = B
=> ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm
➢ NÕu A = 0, B = 0 => ph−¬ng tr×nh v« sè nghiÖm
2. Ph−¬ng tr×nh tÝch
- Ph−¬ng tr×nh tÝch cã d¹ng A(x).B(x) = 0
- Çch gi¶i: A(x).B(x) = 0 <=> A(x) = 0 hoÆc B(x) = 0
A( x)  0
- Tr×nh bµy gän : A(x).B(x) = 0 <=>
B( x)  0
- Më réng: A(x).B(x).C(x) = 0 <=>
3. Ph−¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu
A( x)  0
B( x)  0
C( x)  0
- Gi¶i ph−¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu ta thùc hiÖn theo 4 b−íc:
✓ B−íc 1: T×m §KX§ cña ph−¬ng tr×nh
✓ B−íc 2: Quy ®ång mÉu hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh råi khö mÉu
✓ B−íc 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh võa nhËn ®−îc
✓ B−íc 4: (kÕt luËn)
Trong çc gi¸ trÞ cña Èn t×m ®−îc ë b−íc 3, çc gi¸ trÞ tháa m·n
§KX§ chÝnh lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®· cho, gi¸ trÞ cña x
kh«ng thuéc §KX§ lµ nghiÖm ngo¹i lai (lo¹i ®i)
4. Ph−¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
- §Þnh nghÜa:
A nÕu A  0 A

A nÕu A < 0
- Çc d¹ng ph−¬ng tr×nh
✓ f (x)  0  f( x)  0
f ( x)  k
✓ f (x)  k(k  0 )  f( x)  k 
f( x)  k
✓ f (x) 
f(x)  g( x)g( x) 
f (x)  g( x)
HoÆc f ( x)  g( x)  f ( x)2
g(x)2
f(x)2
g( x)2
 0, ¸p
dông h»ng ®¼ng thøc hiÖu hai b×nh ph−¬ng vµ ®−a vÒ ph−¬ng
tr×nh tÝch (nÕu çc ®a thøc ë hai vÕ lµ bËc nhÊt th× cã thÓ khai
triÓn ngay vµ kh«ng cÇn chuyÓn vÕ)

www.VNMATH.com
2011 -201539
39
f ( x)
f ( x)
f ( x) g( x)
2 2
✓ f (x)  g( x) <=>
f ( x)  0
f (x)  g( x)
f ( x)  0
f(x)  g( x)
hoÆc <=>
g( x)  0
f (x)  g( x)
g(x)  0
f(x)  g( x)
HoÆc <=>
HoÆc <=>
g( x)  0
f (x)  g( x) hoÆc f (x)  g( x)
g( x)  0
f (x)  g( x)
- Chó ý: A
2
 A
2
; A  A vµ A  B  A  B  A  B
5. Ph−¬ng tr×nh v« tØ
✓  A( A  0)  f( x)  A
2
(víi f(x) lµ mét ®a thøc)
✓  g(x) 
f ( x)  0
g( x)  0
f (x)  g( x)2
✓  
f ( x)  0
g( x)  0
f (x)  g( x)
*)L−u ý: HÇu hÕt khi gi¶i ph−¬ng tr×nh chøa Èn trong c¨n, ta cÇn
x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph−¬ng tr×nh vµ c¸c ®iÒu kiÖn t−¬ng
®−¬ng. NÕu kh«ng cã thÓ thö l¹i trùc tiÕp.
6. Ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng
Ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:
ax
4
 bx
2
 c 0 (a  0 )
✓ §Æt x2
= t (t  0 ), ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng trë thµnh ph−¬ng
tr×nh bËc hai Èn t : at
2
 bt  c  0 (*)
✓ Gi¶i ph−¬ng tr×nh (*), lÊy nh÷ng gi¸ trÞ thÝch hîp tháa mãn t  0
✓ Thay vµo ®Æt x2
= t vµ t×m x = ?
7. Ph−¬ng tr×nh bËc cao
a) Ph−¬ng tr×nh bËc ba d¹ng: ax3
+ bx2
+ cx + d = 0
H−íng dÉn: NhÈm nghiÖm (nÕu cã nghiÖm nguyªn th× nghiÖm ®ã
lµ −íc cña h¹ng tö tù do d) hoÆc dïng s¬ ®å Hooc- ne hoÆc dïng
m¸y tÝnh ®Ó t×m nhanh nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh, khi
®ã biÕt mét nghiÖm th× dÔ dµng ph©n tÝch VT d−íi d¹ng tÝch vµ
gi¶i ph−¬ng tr×nh tÝch (hoÆc chia ®a thøc)
b) Ph−¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: ax4
+ bx3
+ cx2
+ dx + e = 0
H−íng dÉn: Ph−¬ng ph¸p t−¬ng tù nh− ph−¬ng tr×nh bËc ba trªn
c) Ph−¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng:

www.VNMATH.com
a
2
x4
+ ax3
+ bx2
+ cx + d = 0 (víi d =
c
).
Ph−¬ng ph¸p:
Víi x = 0, thay vµo ph−¬ng tr×nh vµ kiÓm tra xem x = 0 cã lµ
nghiÖm hay kh«ng ?
Víi x  0. Chia c¶ hai vÕ cho x2
, sau ®ã ta ®Æt t = x +
c
ax
d) Ph−¬ng tr×nh bËc 4 d¹ng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m)
Ph−¬ng ph¸p: §Æt t = x2
+ mx +
e) Ph−¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng:
ab  cd
2
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2
(víi ab = cd = k)
Ph−¬ng ph¸p:
Chia c¶ hai vÕ cho x2
. §Æt t = x +
k
x
II- BÊt ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn
1) §Þnh nghÜa:
Mét bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng ax + b > 0 (hoÆc ax + b < 0) víi a  0
®−îc gäi lµ mét bÊt ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn
2) C¸ch gi¶i: ax + b > 0 <=> ax > - b
NÕu a > 0 th×
NÕu a < 0 th×
x   b
a
x   b
a
3) KiÕn thøc cã liªn quan:
➢ Hai bÊt ph−¬ng tr×nh ®−îc gäi lµ t−¬ng ®−¬ng nÕu chóng cã cïng
tËp nghiÖm vµ dïng kÝ hiÖu <=> ®Ó chØ sù t−¬ng ®−¬ng ®ã
➢ Quy t¾c chuyÓn vÕ: Khi chuyÓn mét h¹ng tö (lµ sè hoÆc ®a thøc) tõ
vÕ nµy sang vÕ kia cña bÊt ph−¬ng tr×nh ta ph¶i ®æi dÊu h¹ng tö
®ã => ta cã thÓ xãa hai h¹ng tö gièng nhau ë hai vÕ
➢ Quy t¾c nh©n: Khi nh©n hai vÕ cña mét bÊt ph−¬ng tr×nh víi cïng
mét sè kh¸c 0, ta ph¶i: Gi÷ nguyªn chiÒu BPT nÕu sè ®ã d−¬ng;
®æi chiÒu BPT nÕu sè ®ã ©m.
4) TÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt ®¼ng thøc
- Víi mäi sè thùc a, b, c ta cã : a > b <=> a + c > b + c
- Víi mäi sè thùc a, b, c, d ta cã : a > b, b > c => a > c (t/c b¾c cÇu)
a > b, c > d => a + c > b + d
a > b > 0, c > d > 0 => ac >
b
- Víi mäi sè thùc a, b, c,
+ NÕu c > 0 th× a > b <=> ac > bc

www.VNMATH.com
2011 -201541
41
b3
b
A2
ab
A
C
A
2
AB
A
B B
A
2
B B
+ NÕu c < 0 th× a > b <=> ac < bc
- Víi a, b lµ hai sè thùc : a > b <=>  vµ a > b <=> a
3
 b
3
- NÕu a  0, b  0 th× a > b <=>  vµ a > b <=> a
2
 b
2
- Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc A
A 
A, nÕu A  0
A, nÕu A < 0.
Ta cã: A2
≥ 0, |A| ≥ 0,  A
- BÊt ®¼ng thøc C« - si: Cho a, b lµ hai sè thùc kh«ng ©m, ta cã:
a  b
2
 DÊu “=” x¶y ra <=> a = b
III – Çc d¹ng bµi tËp cã liªn quan ®Õn biÓu thøc h÷u tØ, c¨n bËc hai, c¨n bËc ba.
1. D¹ng 1 : Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ çc biÓu thøc h÷u tØ
- Khi thùc hiÖn rót gän mét biÓu thøc h÷u tØ ta ph¶i tu©n theo thø
tù thùc hiÖn çc phÐp to¸n : Nh©n chia tr−íc, céng trõ sau. Cßn nÕu biÓu
thøc cã çc dÊu ngoÆc th× thùc hiÖn theo thø tù ngoÆc trßn, ngoÆc vu«ng,
ngoÆc nhän.
- Víi nh÷ng bµi to¸n t×m gi¸ trÞ cña ph©n thøc th× ph¶i t×m ®iÒu
kiÖn cña biÕn ®Ó ph©n thøc ®−îc x¸c ®Þnh (mÉu thøc ph¶i kh¸c 0) 2.
D¹ng 2 : T×m ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã nghÜa
- BiÓu thøc cã d¹ng A
B
x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi B  0
- BiÓu thøc cã d¹ng x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi A  0
- BiÓu thøc cã d¹ng A
B
x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi B > 0
- BiÓu thøc cã d¹ng A  B
x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi
A  0
C  0
- BiÓu thøc cã d¹ng  B
C
x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi
A  0
C  0
3. D¹ng 3 : Rót gän çc biÓu thøc chøa c¨n bËc hai, c¨n bËc ba
LÝ thuyÕt chung:
a) Çc c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc
1)  A
2) 


( víi A  0 vµ B  0)
3) 
A
(víi A  0 vµ B > 0)
4)  A (víi B  0)
a3
a
A
A B

www.VNMATH.com
B
B
A
B
AB
B
A
A B
3
a 3
a
3
a3
3
a
3
b
a b
a b
b b
a a3
b3
a b b ab
3 3
A   (víi A < 0 vµ B  0)
6)  1
B
7) A 
A B
B
(víi AB  0 vµ B  0)
(víi B >0)
C
C ∓ B 2
8) 
 B A  B
2
(víi A  0 vµ A  B )
C
9) C 

∓
A  B
(víi A  0 , B  0 vµ A  B)
3
10)  x  x3
 a vµ ta cã :     a
11) a < b <=> 3
a 
12) 3
ab  .3
b
3
13) Víi b ≠ 0, ta cã: 
a
*) L−u ý:
§Ó rót gän biÓu thøc chøa c¨n thøc bËc hai ta lµm nh− sau :
- Quy ®ång mÉu sè chung (nÕu cã)
- §−a bít thõa sè ra ngoµi dÊu c¨n (nÕu cã)
- Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã)
- Thùc hiÖn çc phÐp tÝnh lòy thõa, khai c¨n, nh©n, chia , …
theo thø tù ®· biÕt ®Ó lµm xuÊt hiÖn çc c¨n thøc ®ång d¹ng
- Céng, trõ çc biÓu thøc ®ång d¹ng (çc c¨n thøc ®ång d¹ng)
b) Çc h»ng ®¼ng thøc quan träng, ®¸ng nhí:
1) (a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(  )2
 a  2  b (a,b  0)
2) (a - b)2
= a2
- 2ab + b2
(  )2
 a  2  b (a,b  0)
3) a2
- b2
= (a + b).(a - b)
a  b (  ).(  ) (a,b  0)
4) (a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
5) (a - b)3
= a3
- 3a2
b + 3ab2
- b3
6) a3
 b3
 (a  b)(a2
 ab  b2
)
a  b         (  )(a   b) (a,b 0)
7) a3
 b3
 (a  b)(a2
 ab  b2
)
5) A  A
2
B (víi A  0 vµ B  0)
A
2
B
A
A B
3
b
3 a
b
a.b
a.b
a a
b a


www.VNMATH.com
2011 -201543
43
a a3
b3
a b a b ab
b c ab ac bc
a2
3 3
a  b         (  )(a   b) (a,b 0)
8) (a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc
9) (   )2
 a  b  c 2  2  2 (a,b,c  0)
10)  a
Ph©n d¹ng bµi tËp chi tiÕt
D¹ng 3.1 : TÝnh – Rót gän biÓu thøc kh«ng cã ®iÒu kiÖn
Rót gän biÓu thøc cã ®iÒu kiÖn
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi biÕt gi¸ trÞ cña biÕn
D¹ng 3.4 : T×m gi¸ trÞ cña biÕn khi biÕt gi¸ trÞ cña biÓu thøc
D¹ng 3.5 : T×m gi¸ trÞ nguyªn cña biÕn ®Ó biÓu thøc nhËn gi¸
trÞ nguyªn
T×m gi¸ trÞ cña biÕn khi biÕt dÊu cña biÓu thøc
Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau khi ®· rót gän
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc
Bµi tËp tæng hîp
IV– Çc d¹ng to¸n vÒ hµm sè
LÝ thuyÕt chung
1) Kh¸i niÖm vÒ hµm sè (kh¸i niÖm chung).
NÕu ®¹i l−îng y phô thuéc vµo ®¹i l−îng thay ®æi x sao cho víi
mçi gi¸ trÞ cña x ta lu«n x¸c ®Þnh ®−îc chØ mét gi¸ trÞ t−¬ng øng
cña y th× y ®−îc gäi lµ hµm sè cña x vµ x ®−îc gäi lµ biÕn sè.
*) VÝ dô: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x +
*) Chó ý:
; ...
Khi ®¹i l−îng x thay ®æi mµ y lu«n nhËn mét gi¸ trÞ kh«ng ®æi th× y
®−îc gäi lµ hµm h»ng.
*) VÝ dô: Çc hµm h»ng y = 2; y = - 4; y = 7; ...
2) Çc çch th−êng dïng cho mét hµm sè
b
a
3
D¹ng 3.2 :
D¹ng 3.3 :
D¹ng 3.6 :
D¹ng 3.7 :
D¹ng 3.8 :
D¹ng 3.9 :

www.VNMATH.com
a) Hµm sè cho bëi b¶ng.
b) Hµm sè cho bëi c«ng thøc.
- Hµm h»ng: lµ hµm cã c«ng thøc y = m (trong ®ã x lµ biÕn, m  )
- Hµm sè bËc nhÊt: Lµ hµm sè cã d¹ng c«ng thøc y = ax + b
Trong ®ã: x lµ biÕn,a,b  , a  0 .
a lµ hª sè gãc, b lµ tung ®é gèc.
Chó ý: NÕu b = 0 th× hµm bËc nhÊt cã d¹ng y = ax (a  0)
- Hµm sè bËc hai: Lµ hµm sè cã c«ng thøc
(trong ®ã x lµ biÕn, a,b,c  , a  0 ).
Chó ý: NÕu c = 0 th× hµm bËc hai cã d¹ng y = ax2
+ bx (a  0 )
NÕu b = 0 vµ c = 0 th× hµm bËc hai cã d¹ng y = ax2
(a  0 )
3) Kh¸i niÖm hµm ®ång biÕn vµ hµm nghÞch biÕn.
Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x  . Víi x1, x2 bÊt k× thuéc R
a) NÕu gi¸ trÞ cña biÕn x t¨ng lªn mµ gi¸ trÞ t−¬ng øng f(x) còng t¨ng
lªn th× hµm sè y = f(x) ®−îc gäi lµ hµm ®ång biÕn.
NÕu x1  x2 mµ f(x1 ) < f(x2 ) th× hµm sè y = f(x) ®ång biÕn trªn R
b) NÕu gi¸ trÞ cña biÕn x t¨ng lªn mµ gi¸ trÞ t−¬ng øng f(x) gi¶m ®i
th× hµm sè y = f(x) ®−îc gäi lµ hµm nghÞch biÕn.
NÕu x1  x2 mµ f(x1 ) > f(x2 ) th× hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn /R
4) DÊu hiÖu nhËn biÕt hµm ®ång biÕn vµ hµm nghÞch biÕn.
a) Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b (a  0 ).
- NÕu a > 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n ®ång biÕn trªn .
- NÕu a < 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn .
b) Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax2
(a  0) cã thÓ nhËn biÕt ®ång biÕn vµ
nghÞch biÕn theo dÊu hiÖu sau:
- NÕu a > 0 th× hµm ®ång biÕn khi x > 0, nghÞch biÕn khi x < 0.
- NÕu a < 0 th× hµm ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0.
5) Kh¸i niÖm vÒ ®å thÞ hµm sè.
§å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c
cÆp gi¸ trÞ t−¬ng øng (x; f(x)) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é.
Chó ý: D¹ng ®å thÞ:
a) Hµm h»ng.
§å thÞ cña hµm h»ng y = m (trong
®ã x lµ biÕn, m  ) lµ mét
®−êng th¼ng lu«n song song víi
trôc Ox.
§å thÞ cña hµm h»ng x = m (trong
®ã y lµ biÕn, m  ) lµ mét
®−êng th¼ng lu«n song song
víi trôc Oy.
y = ax2
+ bx + c

www.VNMATH.com
45
45
b) §å thÞ hµm sè y = ax ( a  0 ) lµ mét ®−êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp çc
®iÓm) lu«n ®i qua gèc to¹ ®é.
*) Çch vÏ: LÊy mét ®iÓm thuéc ®å thÞ kh¸c O(0 ; 0), ch¼ng h¹n
®iÓm A(1 ; a). Sau ®ã vÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm O(0 ; 0)
vµ A(1 ; a) ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y = ax ( a  0 )
c) §å thÞ hµm sè y = ax + b (a,b  0) lµ mét ®−êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp
hîp çc ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm
(
b
, 0).
a
*) Çch vÏ: Cã hai çch vÏ c¬ b¶n
+) Çch 1: X¸c ®Þnh hai ®iÓm bÊt k× nµo ®ã thuéc ®å thÞ, ch¼ng
h¹n nh− sau:
Cho x = 1 => y = a + b, ta ®−îc A(1 ; a + b) Cho
x = -1 => y = - a + b, ta ®−îc A(-1 ; - a + b)
VÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ B ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y
= ax + b ( a,b  0 )
2011 - 2015

www.VNMATH.com
tg  a
+) C¸ch 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc täa ®é, cô thÓ:
Cho x = 0 => y = b, ta ®−îc M(0 ; b)  Oy
Cho y = 0 => x =  b
a
, ta ®−îc N(  b
a
; 0)  Ox
VÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vµ N ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y
= ax + b ( a,b  0 )
d) §å thÞ hµm sè y = ax2
(a  0 ) lµ mét ®−êng cong Parabol cã ®Ønh
O(0;0). NhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng
- §å thÞ ë phÝa trªn trôc hoµnh nÕu a > 0.
- §å thÞ ë phÝa d−íi trôc hoµnh nÕu a < 0. y
O x
a < 0
6) VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai ®−êng th¼ng
*) Hai ®−êng th¼ng y = ax + b ( a  0 ) vµ y = a’x + b’ ( a'  0 )
+ Trïng nhau nÕu a = a’, b = b’.
+ Song song víi nhau nÕu a = a’, b  b’.
+ C¾t nhau nÕu a  a’.
+ Vu«ng gãc nÕu a.a’ = -1 .
*) Hai ®−êng th¼ng ax + by = c vµ a’x + b’y = c’ (a, b, c, a’, b’, c’ ≠ 0)
+ Trïng nhau nÕu a  b  c
a' b' c'
+ Song song víi nhau nÕu a  b
 c
+ C¾t nhau nÕu a  b
a ' b'
a' b' c'
7) Gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng y = ax + b (a  0 ) vµ trôc Ox
Gi¶ sö ®−êng th¼ng y = ax + b (a  0) c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm A.
Gãc t¹o bëi ®−êng th¼ng y = ax + b (a  0 ) lµ gãc t¹o bëi tia Ax vµ
tia AT (víi T lµ mét ®iÓm thuéc ®−êng th¼ng y = ax + b cã tung
®é d−¬ng).
- NÕu a > 0 th× gãc  t¹o bëi ®−êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox ®−îc
tÝnh theo c«ng thøc nh− sau:
dïng).
(cÇn chøng minh míi ®−îc
- NÕu a < 0 th× gãc  t¹o bëi ®−êng th¼ng y = ax + b víi trôc Ox ®−îc
tÝnh theo c«ng thøc nh− sau:
víi (cÇn chøng minh míi ®−îc dïng).
y
a > 0
x
O
tg  a
  1800
 

www.VNMATH.com
2011 -201547
47
y
T
(a > 0)

A O x
y
T
(a < 0)
 
A O x
D¹ng 1: NhËn biÕt hµm sè
D¹ng 2: TÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè, biÕn sè.
D¹ng 3: Hµm sè ®ång biÕn, hµm sè nghÞch biÕn.
a) Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b (a  0 ).
- NÕu a > 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n ®ång biÕn trªn .
- NÕu a < 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn .
b) Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax2
(a  0 ) cã thÓ nhËn biÕt ®ång biÕn vµ
nghÞch biÕn theo dÊu hiÖu sau:
- NÕu a > 0 th× hµm ®ång biÕn khi x > 0, nghÞch biÕn khi x < 0.
- NÕu a < 0 th× hµm ®ång biÕn khi x < 0, nghÞch biÕn khi x > 0.
D¹ng 4: VÏ ®å thÞ hµm sè
§å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c
cÆp gi¸ trÞ t−¬ng øng (x; f(x)) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é.
Chó ý: D¹ng ®å thÞ:
a) Hµm h»ng.
§å thÞ cña hµm h»ng y = m (trong
®ã x lµ biÕn, m  ) lµ mét
®−êng th¼ng lu«n song song víi
trôc Ox.
§å thÞ cña hµm h»ng x = m (trong
®ã y lµ biÕn, m  ) lµ mét
®−êng th¼ng lu«n song song
víi trôc Oy.

www.VNMATH.com
b) §å thÞ hµm sè y = ax ( a  0 ) lµ mét ®−êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hîp çc
®iÓm) lu«n ®i qua gèc to¹ ®é.
*) Çch vÏ: LÊy mét ®iÓm thuéc ®å thÞ kh¸c O(0 ; 0), ch¼ng h¹n
®iÓm A(1 ; a). Sau ®ã vÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm O(0 ; 0)
vµ A(1 ; a) ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y = ax (a  0 )
c) §å thÞ hµm sè y = ax + b (a,b  0) lµ mét ®−êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp
hîp çc ®iÓm) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; b) vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm
(
b
, 0).
a
*) Çch vÏ: Cã hai çch vÏ c¬ b¶n
+) Çch 1: X¸c ®Þnh hai ®iÓm bÊt k× nµo ®ã thuéc ®å thÞ, ch¼ng
h¹n nh− sau:
Cho x = 1 => y = a + b, ta ®−îc A(1 ; a + b) Cho
x = -1 => y = - a + b, ta ®−îc A(-1 ; - a + b)
VÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ B ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y
= ax + b ( a,b  0 )
+) Çch 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi çc trôc täa ®é, cô thÓ:
Cho x = 0 => y = b, ta ®−îc M(0 ; b)  Oy
Cho y = 0 => x =  b
a
, ta ®−îc N(  b
a
; 0)  Ox
VÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vµ N ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y
= ax + b ( a,b  0 )
d) §å thÞ hµm sè y = ax2
(a  0 ) lµ mét ®−êng cong Parabol cã ®Ønh
O(0;0). NhËn trôc Oy lµm trôc ®èi xøng

www.VNMATH.com
2011 -201549
49
2
2
- §å thÞ ë phÝa trªn trôc hoµnh nÕu a > 0.
- §å thÞ ë phÝa d−íi trôc hoµnh nÕu a < 0. y
O x
a < 0
D¹ng 5: §iÓm thuéc vµ kh«ng thuéc ®å thÞ hµm sè.
*) §iÓm thuéc ®−êng th¼ng.
- §iÓm A(xA; yA) (d): y = ax + b (a 0) khi vµ chØ khi yA = axA + b
- §iÓm B(xB; yB) (d): y = ax + b (a 0) khi vµ chØ khi yB= axB + b
*) §iÓm thuéc Parabol : Cho (P) y = ax2
(a  0)
- §iÓm A(x0; y0) (P)  y0 = ax0 .
- §iÓm B(x1; y1) (P)  y1  ax1 .
D¹ng 6: X¸c ®Þnh hµm sè
D¹ng 7: X¸c ®Þnh ®iÓm cè ®Þnh cña hµm sè
*) Ph−¬ng ph¸p:
§Ó t×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®−êng th¼ng y = ax + b (a  0 ; a,b cã chøa
tham sè) lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m, ta lµm nh− sau:
✓ B−íc 1: Gäi ®iÓm cè ®Þnh lµ A(x0; y0) mµ ®−êng th¼ng y = ax + b
lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m
✓ B−íc 2: Thay x = x0; y = y0 vµo hµm sè ®−îc y0 = ax0 + b, ta biÕn ®æi
vÒ d¹ng <=> A( x0 ,y0 ).m  B( x0 ,y0 )  0 , ®¼ng thøc nµy lu«n ®óng
víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè m hay ph−¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm m
✓ B−íc 3: §Æt ®iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm.
(A(x0 ,y0 ).m  B( x0 ,y0 )  0 , cã v« sè nghiÖm  0 0
)A(x ,y )  0
B(x0, y0 )  0
D¹ng 8: T×m giao ®iÓm cña hai ®å thÞ
8.1: T×m giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng.
Giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2
Lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh
y  a1x  b1
y  a2 x b2
8.2: T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña Parabol víi ®−êng th¼ng.
Cho (P) : y = ax2
(a  0) vµ (d) : y = mx + n.
✓ XÐt ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm ax2
= mx + n.
✓ Gi¶i ph−¬ng tr×nh t×m x.
y
a > 0
x
O

www.VNMATH.com
✓ Thay gi¸ trÞ x võa t×m ®−îc vµo hµm sè y = ax2
hoÆc y = mx + n
ta t×m ®−îc y.
+ Gi¸ trÞ cña x t×m ®−îc lµ hoµnh ®é giao ®iÓm.
+ Gi¸ trÞ cña y t×m ®−îc lµ tung ®é giao ®iÓm.
8.3 : T×m sè giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng vµ Parabol.
Cho (P) : y = ax2
(a  0) vµ (d) : y = mx + n.
XÐt ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm ax2
= mx + n. (*)
+ Ph−¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm (  < 0)  (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm
chung.
+ Ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp ( = 0)  (d) tiÕp xóc víi (P).
+ Ph−¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt ( > 0 hoÆc ac < 0)
 (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.
8.4 : T×m gi¸ trÞ cña mét tham sè khi biÕt giao ®iÓm cña hai ®−êng
th¼ng. 8.5: T×m gi¸ trÞ cña 2 tham sè khi biÕt giao ®iÓm cña hai ®−êng
th¼ng.
8.6: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt sè giao ®iÓm cña Parabol vµ ®−êng
th¼ng.
Cho (d) : y = ax + b vµ (P): y = a’x2
(a’  0)(a’, a, b cã chøa tham sè)
XÐt ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm a’x2
= ax + b. (*)
+ (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung
Ph−¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm ( < 0)
+ (d) tiÕp xóc víi (P)  Ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp ( = 0).
NghiÖm kÐp lµ hoµnh ®é ®iÓm tiÕp xóc
+ (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt  Ph−¬ng tr×nh (*) cã hai
nghiÖm ph©n biÖt (  > 0 hoÆc ac < 0). Hai nghiÖm ®ã lµ hoµnh ®é
cña hai giao ®iÓm
8.7: T×m gi¸ trÞ cña tham sè khi biÕt to¹ ®é giao ®iÓm cña Parabol vµ ®−êng
th¼ng.
Cho (d): y = ax + b vµ (P): y = a’x2
(a’  0)
(a’, a, b cã chøa tham sè)
T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó (d) vµ (P) c¾t nhau t¹i A(xA; yA).
C¸ch lµm: Thay täa ®é cña A vµo hµm sè cña (d); (P) ®Ó t×m gi¸ trÞ cña tham
sè.
Dang 9: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm
9.1: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm
A(xA; yA) vµ B(xB; yB) trong ®ã xA  xB vµ yA  yB.
Ph−¬ng ph¸p:
Gäi ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) cÇn lËp ®i qua A vµ B cã d¹ng
y = ax + b (a 0).
Do A(d) thay x = xA; y = yA vµo y = ax + b ta cã yA = axA + b (1)
Do B(d) thay x = xB; y = yB vµo y = ax + b ta cã yB = axB + b (2)

www.VNMATH.com
2011 -201551
51
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh:
yA  axA  b
yB  axB  b
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh nµy t×m ®−îc a, b vµ suy ra ph−¬ng tr×nh
®−êng th¼ng (d) cÇn lËp
9.2: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua M(x0 ; y0) vµ cã hÖ sè
gãc lµ k.
✓ B−íc 1: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cã hÖ sè gãc k cã d¹ng
y = kx + b
✓ B−íc 2: §−êng th¼ng nµy ®i qua M(x0 ; y0) => y0  kx0  b
=> b  y0  kx0
✓ B−íc 3: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cÇn t×m lµ y = kx  y0  kx0
A(m; yA) vµ B(m; yB) trong ®ã yA  yB.
Ph−¬ng ph¸p:
Do A(m; yA) (d): x = m;
Do B(m; yB) (d) : x = m;
VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cÇn lËp lµ: (d): x = m
A(xA; n) vµ B(xB; n) trong ®ã xA  xB.
Ph−¬ng ph¸p:
Do A(xA; n) (d): y = n;
Do B(xB; n) (d) : y = n;
VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cÇn lËp lµ: (d): y = n
9.5: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(xA ; yA) vµ tiÕp
xóc víi ®−êng cong y  ax
2
( a  0)
✓ B−íc 1: Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh cÇn lËp lµ y = a’x + b’
✓ B−íc 2: §−êng th¼ng nµy tiÕp xóc víi ®−êng cong y  ax
2
(a  0 )
khi vµ chØ khi ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm ax
2
 a' x  b' cã
nghiÖm kÐp. Ta cho   0 , t×m ra mét hÖ thøc gi÷a a’ vµ b’ (1)
✓ B−íc 3: §−êng th¼ng ®i qua A(xA ; yA) => yA  a' xA  b' (2)
✓ B−íc 4: Tõ (1) vµ (2) ta cã mét hÖ ph−¬ng tr×nh hai Èn lµ a’ vµ b’.
Gi¶i hÖ t×m ®−îc a’ vµ b’ => ph−¬ng tr×nh cÇn lËp
9.6: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cã hÖ sè gãc lµ k vµ tiÕp xóc
víi ®−êng cong y  ax
2
( a  0)
✓ B−íc 1: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng cÇn t×m gi¶ sö lµ y = ax + b
V× ®−êng th¼ng cã hÖ sè gãc lµ k nªn a = k => y = kx + b
✓ B−íc 2: §−êng th¼ng y = kx + b tiÕp xóc víi ®−êng cong
y  ax
2
(a  0) <=> ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm
kx  b  ax
2
 ax
2
 kx  b  0 cã nghiÖm kÐp

www.VNMATH.com
b1 2

Cho   0( '  0) => b = ?
✓ B−íc 3: Tr¶ lêi
D¹ng 10: Ba ®iÓm th¼ng hµng
10.1 : Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng.
✓ B−íc 1: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm.
✓ B−íc 2: Chøng minh ®iÓm cßn l¹i thuéc ®−êng th¼ng võa lËp.
10.2 : T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ba ®iÓm th¼ng hµng.
✓ B−íc 1: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cã to¹ ®é ®¬n
gi¶n nhÊt.
✓ B−íc 2: Thay to¹ ®é cña ®iÓm cßn l¹i vµo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng
võa lËp. Gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ t×m tham sè.
D¹ng 11: Ba ®−êng th¼ng ®ång qui
11.1 : Chøng minh ba ®−êng th¼ng ®ång qui.
✓ B−íc 1: T×m giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng.
✓ B−íc 2: Chøng minh giao ®iÓm ®ã thuéc ®−êng th¼ng cßn l¹i.
11.2 : T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ba ®−êng th¼ng ®ång qui.
✓ B−íc 1: T×m giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng ®¬n gi¶n nhÊt.
✓ B−íc 2: Thay to¹ ®é giao ®iÓm trªn vµo ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng
cßn l¹i. Gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ t×m tham sè.
D¹ng 12: VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai ®å thÞ cña hai hµm sè
12.1 : VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai ®å thÞ cña hai hµm sè bËc nhÊt
Cho hai ®−êng th¼ng : (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2
+) (d1) c¾t (d2)  a1  a2
+) (d1) // (d2)  a1 = a2
+) (d1)  (d2)  a1 = a2 vµ b1 = b2
+) (d1)  (d2)  a1.a2 = -1 (ph¶i chøng minh míi ®−îc dïng)
12.2 : T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai ®−êng th¼ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn
trôc tung.
Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2
§Ó (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung th× a1  a2 (1)
Gi¶i (1)
Gi¶i (2) vµ chän nh÷ng gi¸ trÞ tho¶ mãn (1).
 b (2)
12.3 : T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hai ®−êng th¼ng c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn
trôc hoµnh.
Cho (d1): y = a1x + b1 vµ (d2): y = a2x + b2
a1  a2 (1)
§Ó (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc hoµnh th× b b
1 2
(2)
a1 a2
L−u ý: ChØ nªn ¸p dông khi hai ph−¬ng tr×nh ®Òu chøa tham sè.

www.VNMATH.com
2011 -201553
53
y  0
D¹ng 13: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®−êng th¼ng y = ax +
b c¾t hai trôc täa ®é Ox, Oy t¹o thµnh mét tam gi¸c cã diÖn
tÝch b»ng c
✓ B−íc 1: §Ó ®å thÞ hµm sè y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh
mét tam gi¸c th× ta cã ®iÒu kiÖn cÇn lµ: a  0, b  0
m
=> ®iÒu kiÖn cña
✓ B−íc 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi hai trôc täa ®é; gi¶ sö A vµ B
lÇn l−ît lµ giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung vµ trôc hoµnh
Ð A(0 ; b) vµ B( b ;0 )
a
✓ B−íc 3: XÐt tam gi¸c vu«ng OAB cã
SOAB = 1
OA.OB  1  b . b  c
2 2 a
=> m = ? (kiÓm tra víi ®iÒu kiÖn ë b−íc 1)
D¹ng 14: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®−êng th¼ng
y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é Ox, Oy t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n
Çch 1:
✓ B−íc 1: §Ó ®å thÞ hµm sè y = ax + b c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh
mét tam gi¸c th× ta cã ®iÒu kiÖn cÇn lµ: a  0, b  0
=> ®iÒu kiÖn cña m
✓ B−íc 2: T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi hai trôc täa ®é; gi¶ sö A vµ B
lÇn l−ît lµ giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung vµ trôc hoµnh
Ð A(0 ; b) vµ B( b ;0 )
a
✓ B−íc 3: Tam gi¸c OAB c©n <=> OA = OB <=> b  b
a
(*)
Gi¶i ph−¬ng tr×nh (*) ta t×m ®−îc gi¸ trÞ cña m (kiÓm tra ®iÒu kiÖn
ë b−íc1)
Çch 2: §å thÞ hµm sè c¾t hai trôc täa ®é t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n khi
vµ chØ khi ®−êng th¼ng y = ax + b song song víi ®−êng th¼ng y = x
hoÆc song song víi ®−êng th¼ng y = - x
D¹ng 15: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó giao ®iÓm cña hai
®−êng th¼ng ax + by = c vµ a’x + b’y = c’ n»m trong çc gãc
phÇn t− cña hÖ trôc täa ®é.
✓ B−íc 1: T×m täa ®é giao ®iÓm A(x ; y) cña hai ®−êng th¼ng, chÝnh
lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh: ax  by  c
✓ B−íc 2:
a' x  b' y  c'
x  0
+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t− thø I th× ®iÒu kiÖn lµ:
y  0
+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t− thø II th× ®iÒu kiÖn lµ:
x  0

www.VNMATH.com
y  0
B  0
+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t− thø III th× ®iÒu kiÖn lµ:
x  0
y  0
+) NÕu A n»m trong gãc phÇn t− thø IV th× ®iÒu kiÖn lµ:
x  0
✓ B−íc 3: T×m m = ?
D¹ng 16:
X¸c ®Þnh gi¸ trÞ tham sè ®Ó ®a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0
✓ B−íc 1: §a thøc f(x) = Ax + B b»ng ®a thøc 0 <=>
A  0
✓ B−íc 2: Gi¶i hÖ nµy t×m ®−îc gi¸ trÞ cña tham sè
V - Çc d¹ng to¸n vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh
LÝ thuyÕt chung
1. §Þnh nghÜa:
HÖ hai ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã d¹ng tæng qu¸t lµ:
ax  by  c
(I) (trong ®ã a, b, c, a’ , b’, c’ cã thÓ chøa tham sè)
a' x  b'y  c'
2. §Þnh nghÜa nghiÖm, tËp nghiÖm
- NghiÖm (x0 ; y0) cña hÖ (I) lµ nghiÖm chung cña hai ph−¬ng tr×nh
trong hÖ
- NÕu hai ph−¬ng tr×nh trong hÖ kh«ng cã nghiÖm chung th× hÖ
ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm
- Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh lµ t×m tÊt c¶ çc nghiÖm (t×m tËp nghiÖm)
cña nã.
*) §iÒu kiÖn ®Ó hÖ hai ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã nghiÖm duy
nhÊt, cã v« sè nghiÖm, v« nghiÖm.
ax  by  c
a' x  b' y  c'
(a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)
+ HÖ cã v« sè nghiÖm nÕu
a

b

c
a' b' c '
+ HÖ v« nghiÖm nÕu
a

b

c
a' b' c'
+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu
a

b
a' b'
+ §iÒu kiÖn cÇn ®Ó hÖ v« nghiÖm hoÆc v« sè nghiÖm lµ
ab’ – a’b = 0
3. Çc ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ hai ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn .

www.VNMATH.com
2011 -201555
55

ax  by  c
a' x  b' y  c'
a) Ph−¬ng ph¸p céng ®¹i sè.
*) Çch gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh b»ng ph−¬ng ph¸p céng ®¹i sè
✓ B−íc1: Nh©n hai vÕ cña mçi ph−¬ng tr×nh víi mét sè thÝch
hîp (nÕu cÇn) sao cho çc hÖ sè cña mét Èn nµo ®ã trong hai
ph−¬ng tr×nh cña hÖ b»ng nhau hoÆc ®èi nhau.
✓ B−íc 2: ¸p dông quy t¾c céng ®¹i sè ®Ó ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh
míi, trong ®ã cã mét ph−¬ng tr×nh mµ hÖ sè cña mét trong
hai Èn b»ng 0 (tøc lµ ph−¬ng tr×nh mét Èn)
✓ B−íc 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh mét Èn võa thu ®−îc, råi suy ra
nghiÖm cña hÖ ®· cho
*) Tæng qu¸t:
+ NÕu cã
ax  by  c (b  b')y  c  c'

ax  b' y  c'
ax  by  c
ax  b' y  c'
(b  b')y  c  c'
+ NÕu cã 
ax  b' y  c'
ax  by  c
ax  b' y  c'
k.ax  kby  kc (kb  b')y  k.c  c'
+ NÕu cã
k.ax  b' y  c'

k.ax  b' y  c'

ax  by  c
b) Ph−¬ng ph¸p thÕ.
*) Çch gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh b»ng ph−¬ng ph¸p thÕ
✓ B−íc 1: Dïng quy t¾c thÕ biÕn ®æi hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho ®Ó
®−îc mét hÖ ph−¬ng tr×nh míi, trong ®ã cã mét ph−¬ng tr×nh
mét Èn
✓ B−íc 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh mét Èn võa cã, råi suy ra nghiÖm
cña hÖ ®· cho
*) Tæng qu¸t:
y  
a
x 
c
ax  by  c y  
a
x 
c
b b
b b 
a' x  b' y  c' a'x  b' y  c' a' x  b' 
a
x 
c
 c '
b b
c) Ph−¬ng ph¸p ®å thÞ
- VÏ hai ®−êng th¼ng biÓu diÔn hai tËp nghiÖm cña hai ph−¬ng
tr×nh trong hÖ
- Dùa vµo ®å thÞ, xÐt vÞ trÝ t−¬ng ®èi cña hai d−êng th¼ng
+) NÕu hai ®−êng th¼ng c¾t nhau th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt,
dùa vµo ®å thÞ ®o¸n nhËn nghiÖm duy nhÊt ®ã, sau ®ã thö l¹i
vµ kÕt luËn nghiÖm cña hÖ
+) NÕu hai ®−êng th¼ng song song th× hÖ v« nghiÖm
+) NÕu hai ®−êng th¼ng trïng nhau th× hÖ cã v« sè nghiÖm

www.VNMATH.com
Chó ý: Cã thÓ ®Æt Èn phô tr−íc khi ¸p dông c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i
hÖ: (¸p dông cho c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu, d−íi dÊu
c¨n bËc hai.)
D¹ng 1: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè
D¹ng 2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh khi biÕt gi¸ trÞ cña tham sè
Ph−¬ng ph¸p:
✓B−íc 1: Thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo hÖ ph−¬ng tr×nh
✓B−íc 2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh kh«ng chøa tham sè võa thu ®−îc.
D¹ng 3: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh theo tham sè
- Dïng ph−¬ng ph¸p céng hoÆc thÕ ®Ó t×m x theo tham sè m (hoÆc y
theo tham sè m), lµm xuÊt hiÖn ph−¬ng tr×nh cã d¹ng :
Ax = B (1) (hoÆc Ay = B)
✓ NÕu A = 0 th× ph−¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 0x = B.
+) Khi B = 0 th× ph−¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 0x = 0
⇒ ph−¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm
=> hÖ ph−¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm
+) Khi B  0 ph−¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm
=> hÖ ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm
✓ NÕu A  0 th× ph−¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt B
A
x  B
=> hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt A
y  y( m)
D¹ng 4: T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm
duy nhÊt, v« nghiÖm, v« sè nghiÖm.
*) §iÒu kiÖn ®Ó hÖ hai ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn cã nghiÖm duy
nhÊt, cã v« sè nghiÖm, v« nghiÖm.
ax  by  c
a' x  b'y  c'
(a, b, c, a’, b’, c’ kh¸c 0)
+ HÖ cã v« sè nghiÖm nÕu
a

b

c
a' b' c'
+ HÖ v« nghiÖm nÕu
a

b

c
a' b' c '
+ HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt nÕu a

b
a' b'
D¹ng 5: T×m gi¸ trÞ tham sè khi biÕt dÊu cña nghiÖm cña hÖ
ph−¬ng tr×nh

www.VNMATH.com
2011 -201557
57
D¹ng 6: T×m gi¸ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh
6.1: T×m mét gi¸ trÞ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh.
Cho hÖ ph−¬ng tr×nh : ax  by  c (1)
ax  by  c (2)
x  x
T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm
0
y  y0
C¸ch 1:
Thay x = x0; y = y0 lÇn l−ît vµo (1) vµ gi¶i.
Thay x = x0; y = y0 lÇn l−ît vµo (2) vµ gi¶i.
C¸ch 2:
Thay x = x0; y = y0 vµo c¶ hai ph−¬ng tr×nh vµ gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh
chøa Èn lµ tham sè
6.2: T×m hai gi¸ trÞ tham sè khi biÕt nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh.
Cho hÖ ph−¬ng tr×nh:
ax  by  c
ax  by  c
cã nghiÖm
x  x0
y  y0
✓B−íc 1: Thay x = x0; y = y0 vµo c¶ hai ph−¬ng tr×nh cña hÖ ph−¬ng
tr×nh ta ®−îc
ax0  by0  c
ax0  by0  c
✓B−íc 2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè.
D¹ng 7: T×m gi¸ trÞ tham sè khi biÕt hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y.
Cho hÖ ph−¬ng tr×nh : ax  by  c (1)
(I)
ax  by  c (2)
Cã nghiÖm (x; y) tho¶ mãn: px + qy = d (3)
✓ B−íc 1: Tr−íc hÕt cÇn t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó hÖ (I) cã
nghiÖm duy nhÊt
✓ B−íc 2: Do (x; y) lµ nghiÖm cña hÖ (I) vµ tho¶ mãn (3) ⇒ (x; y) lµ
nghiÖm cña (1), (2), (3). KÕt hîp 2 ph−¬ng tr×nh ®¬n gi¶n nhÊt ®Ó
®−îc mét hÖ ph−¬ng tr×nh => Gi¶i hÖ t×m nghiÖm thay vµo ph−¬ng
tr×nh cßn l¹i
✓ B−íc 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh chøa Èn lµ tham sè
D¹ng 8: T×m gi¸ trÞ tham sè m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm
duy nhÊt (x0 ; y0) lµ nh÷ng sè nguyªn
✓ B−íc 1: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
✓ B−íc 2: Ph©n tÝch x0 ; y0 d−íi d¹ng
x  a  b
0 A( m)
y  c  d
0
B( m)
víi a, b  Z
víi c, d  Z

www.VNMATH.com
x 0
y0
 Z  b  Z  A( m) ¦ (
b) A( m)
 Z  d  Z  B(m) ¦ (d)
B( m)
 m  ?
*) §Æc biÖt nÕu :
x  a  b
0 A( m)
y  c  d
0
A( m)
víi a, b  Z
víi c, d  Z
=> x0 ,y0  Z  A( m) ¦ C( b,d)  m  ?
D¹ng 9: T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x, y lµ
P(x,y) = ax2
+ bx + c nhËn gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt.
Çch 1:
➢ B−íc 1: Tr−íc hÕt t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó hÖ ph−¬ng
tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt
➢ B−íc 2: BiÕn ®æi biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y lµ:
P(x,y) = kA2
(x) + d (d lµ h»ng sè).
✓ k < 0 ⇒ kA2
(x)  0 ⇒ kA2
(x) + d  d ⇒P(x,y)  d
Gi¸ trÞ lín nhÊt cña P(x,y) b»ng d ®¹t ®−îc khi A(x) = 0.
✓ k > 0 ⇒ kA2
(x)  0 ⇒ kA2
(x) + d  d ⇒ P(x,y)  d
Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P(x,y) b»ng d ®¹t ®−îc khi A(x) = 0.
Çch 2:
P(x,y) = ax2
+ bx + c  ax2
+ bx + c – P(x,y) = 0
✓ B−íc 1: TÝnh  hoÆc ' .
✓ B−íc 2: §Æt ®iÒu kiÖn   0 ('  0)
⇒ Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh chøa Èn P(x,y).
✓ P(x,y)  e ⇒Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P(x,y) b»ng e ®¹t ®−îc
khi
 = ' = 0  x 
b
=
2a
b' .
a
✓ P(x,y)  e ⇒Gi¸ trÞ lín nhÊt cña P(x,y) b»ng e ®¹t ®−îc khi
 = ' = 0  x 
b
=
2a
b'
a
D¹ng 10: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo
tham sè
1. Ph−¬ng ph¸p:
Cho hÖ ph−¬ng tr×nh:
ax  by  c
a' x  b' y  c'
trong ®ã a, b, c, a’, b’, c’ chøa
tham sè m. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo
tham sè m ?
*) Çch 1:

[Vnmath.com] he thong kien toan thcs dai so va hinh hoc

[Vnmath.com] he thong kien toan thcs dai so va hinh hoc

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (11)

Similar to [Vnmath.com] he thong kien toan thcs dai so va hinh hoc

Similar to [Vnmath.com] he thong kien toan thcs dai so va hinh hoc (20)

[Vnmath.com] he thong kien toan thcs dai so va hinh hoc