1.
Rパッケージ KFAS を使った
時系列データの解析方法
森林総合研究所 伊東宏樹
2015-09-15
JaLTER公開シンポジウム2015
生物・生態系情報の統合と時系列データの解析
∼生物や生態系の変化を読み解く∼

2.
• 時系列データを、何も考えずに扱うのがよくないの
はわかった……

3.
• 時系列データを、何も考えずに扱うのがよくないの
はわかった……
• とはいえ、BUGSやStanはまだ敷居が高い……

4.
• 時系列データを、何も考えずに扱うのがよくないの
はわかった……
• とはいえ、BUGSやStanはまだ敷居が高い……
• Rパッケージで扱うには……

5.
時系列データを扱う
Rパッケージ
• CRAN Task View: Time Series Analysis
https://cran.r-project.org/view=TimeSeries
• 状態空間モデル (state space model)
• dlm, KFAS など

6.
状態空間モデル
yt-1
αt-1
yt
αt
yt+1
αt+1状態
観測値
ノイズノイズ ノイズ
ノイズ ノイズ ノイズ

7.
できること
• 観測ノイズの除去
• 過去：平滑化
• 現在：フィルタ
• 将来の予測
• システムの推測

8.
KFAS
• Kalman Filter and Smoother for Exponential
Family State Space Models
• ポアソン分布、二項分布など、正規分布以外の分布
を扱える。
• dlmパッケージとくらべると、参考文献は少ない。

9.
実際のデータを解析
Kéry & Schaub Bayesian Population Analysis
Using WinBUGS 第3章のハヤブサのデータ
(falcons.txt)を使用
• http://www.vogelwarte.ch/de/projekte/
publikationen/bpa/complete-code-and-data-
files-of-the-book.html

10.
フランス・ジュラ山脈におけるハヤブサのつがい数

11.
ここですること
• 平滑化（観測ノイズの除去）
• 予測

12.
とりあえず
正規分布を使用したモデリング
観測モデル
システムモデル
観測ノイズ
システムノイズ
yt = ↵t + ✏t, ✏t ⇠ Normal(0, 2
✏ )
↵t = ↵t 1 + ⌘t, ⌘t ⇠ Normal(0, 2
⌘)

13.
KFASでモデリング
> mdl0 <- SSModel(Pairs ~ SSMtrend(degree = 1,
+ Q = list(matrix(NA, 1, 1))),
+ data = falcons, H = matrix(NA, 1, 1),
+ distribution = "gaussian")
> fit0 <- fitSSM(mdl0, inits = c(10,10), method = “BFGS")
推定するパラメーターをNAとしておく。
システムノイズ
観測ノイズ
初期値

14.
平滑化
> out0 <- KFS(fit0$model, smoothing = c("state", "mean"))
> coef(out0)
Time Series:
Start = 1
End = 40
Frequency = 1
[1] 34.00869 44.98658 39.00235 35.98974 20.01106 18.00396 20.99684
[8] 19.99842 17.00474 20.00000 23.00079 26.99843 29.00632 38.99526
[15] 43.00000 47.00473 56.99132 56.00631 63.00001 70.00395 81.99684
[22] 89.99763 95.00553 106.99605 114.00000 121.00315 131.99290 134.00552
[29] 142.99842 149.99764 154.01104 171.97868 163.00788 163.99683 160.98343
[36] 137.03474 156.98109 153.03315 190.97158 192.99840
状態の値を表示
平滑化

15.
平滑化された値
> fitted(out0)
Time Series:
Start = 1
End = 40
Frequency = 1
[1] 34.00869 44.98658 39.00235 35.98974 20.01106 18.00396 20.99684
[8] 19.99842 17.00474 20.00000 23.00079 26.99843 29.00632 38.99526
[15] 43.00000 47.00473 56.99132 56.00631 63.00001 70.00395 81.99684
[22] 89.99763 95.00553 106.99605 114.00000 121.00315 131.99290 134.00552
[29] 142.99842 149.99764 154.01104 171.97868 163.00788 163.99683 160.98343
[36] 137.03474 156.98109 153.03315 190.97158 192.99840
この場合、状態の値と平滑化された値は同じ。

16.
平滑化されていない……😭

17.
ノイズの分散をみると……
> print(fit0$model$Q)
, , 1
[,1]
[1,] 113.038
> print(fit0$model$H)
, , 1
[,1]
[1,] 0.08911987
観測ノイズの値が小さい
←観測ノイズ
←システムノイズ

18.
カウントデータなので

19.
観測モデルをポアソン分布に
↵t = ↵t 1 + ⌘t, ⌘t ⇠ Normal(0, 2
⌘)
yt = Poisson(exp(↵t))
観測モデル
システムモデル

20.
モデリング
> mdl1 <- SSModel(Pairs ~ SSMtrend(degree = 1,
+ Q = list(matrix(NA, 1, 1))),
+ data = falcons, distribution = "poisson")
> fit1 <- fitSSM(mdl1, inits = c(1), method = “BFGS")
ポアソン分布なので、観測ノイズの分散(H)は指定しない。
ポアソン分布

21.
状態と平滑化された値
> out2 <- KFS(fit2$model, smoothing = c("state", “mean"))
> coef(out1)
Time Series:
Start = 1
End = 40
Frequency = 1
[1] 3.600436 3.646996 3.575282 3.444877 3.231464 3.112745 3.073864 3.046119 3.036783
[10] 3.095805 3.192318 3.312783 3.441466 3.609914 3.742080 3.859742 3.985474 4.054406
[19] 4.152740 4.261904 4.387899 4.486665 4.564497 4.660396 4.732748 4.798104 4.868454
[28] 4.905312 4.960069 5.007768 5.047816 5.117825 5.098279 5.091911 5.062397 4.978895
[37] 5.043466 5.072529 5.218736 5.252747
> fitted(out1)
Time Series:
Start = 1
End = 40
Frequency = 1
[1] 36.61420 38.35927 35.70468 31.33942 25.31670 22.48267 21.62529 21.03356
[9] 20.83810 22.10502 24.34479 27.46143 31.23270 36.96287 42.18565 47.45311
[17] 53.81081 57.65089 63.60806 70.94497 80.47118 88.82469 96.01433 105.67792
[25] 113.60727 121.28031 130.11957 135.00500 142.60367 149.57048 155.68215 166.97180
[33] 163.73988 162.70046 157.96874 145.31379 155.00634 159.57731 184.70053 191.09040

22.
赤色の線が平滑化された値

23.
傾きを組み込んだモデル
観測モデル
システムモデル
yt = Poisson(exp(↵1t))
↵1t = ↵1t 1 + ↵2t 1 + ⌘1t, ⌘1t ⇠ Normal(0, 2
⌘1)
↵2t = ↵2t 1 + ⌘2t, ⌘2t ⇠ Normal(0, 2
⌘2)傾き

24.
モデリング
> mdl2 <- SSModel(Pairs ~ SSMtrend(degree = 2,
+ Q = list(matrix(NA, 1, 1),
+ matrix(NA, 1, 1))),
+ data = falcons, distribution = "poisson")
> fit2 <- fitSSM(mdl2, inits = c(1, 1), method = "BFGS")
2次のトレンドモデル

25.
状態
> out2 <- KFS(fit2$model, smoothing = c("state", "mean"))
> coef(out2)
Time Series:
Start = 1
End = 40
Frequency = 1
level slope
1 3.722354 -0.101679163
2 3.620679 -0.115350974
3 3.505328 -0.128485351
4 3.376839 -0.130461354
5 3.246370 -0.108773871
6 3.137591 -0.074006144
7 3.063584 -0.035537613
8 3.028045 0.005883994
9 3.033929 0.049039924
10 3.082971 0.086906959
（中略）
39 5.181215 0.078153433
40 5.259369 0.078153433

26.
赤色の線が平滑化された値

27.
状態

28.
予測
> n.prediction <- 5
> prd <- predict(fit2$model, n.ahead = n.prediction,
+ type = "response",
+ level = 0.95,
+ interval = "confidence",
+ nsim = 1000)
5年先まで予測
95%信頼区間を計算
シミュレーションの回数
応答変数のスケール

29.
予測値と95%信頼区間

30.
KFASのモデリング関数
• SSMarima: ARIMA（自己回帰和分移動平均）モデル
• SSMcustom: 状態空間モデルの一般式によるモデル
• SSMcycle: 周期モデル
• SSMregression: 回帰モデル
• SSMseasonal: 季節調整モデル
• SSMtrend: トレンドモデル

31.
参考文献

32.
状態空間モデルについては
• 北川源四郎 (2005) 時系列解析入門. 岩波書店
• Commandeur, J.F. and Koopman, S.J. (2007) An introduction
to state space time series analysis. Oxford University Press（和
合肇訳 『状態空間時系列分析入門』 シーエーピー出版, 2008年）
• Petris, G., Petrone S., and Campagnoli P. (2009) Dynamic
linear models with R. Springer（和合肇監訳 萩原淳一郎訳 『Rに
よるベイジアン動的線形モデル』 朝倉書店, 2013年）
• 馬場真哉「状態空間モデル」
http://logics-of-blue.com/category/統計・r/状態空間モデル/

33.
KFAS関連
• Helske J. KFAS: Exponential family state
space models in R
https://cran.r-project.org/web/packages/
KFAS/vignettes/KFAS.pdf
• 小野滋「Commandeur & Koopman『状態空間時
系列分析入門』をRで再現する」
http://elsur.jpn.org/ck/