2. 𝑔 𝑦1
′
𝑦1 + 𝑦2
′
𝑦2
𝑔2(𝑦2
′
𝑦2)
=
𝑔 𝑦1
′
𝑦1 + 𝑟2
2
𝑔2(𝑟2
2
)
Kepadatan distribusi bersyarat dari 𝑦1 diberikan 𝑦2 ketika 𝑦 = (𝑦1
′
, 𝑦2
′
) memiliki kepadatan 𝑔(𝑦′ 𝑦)
adalah
Distribusi Bersyarat dan Koefisien Korelasi Berganda
di mana kepadatan marjinal 𝑔2(𝑦2
′
𝑦2) diberikan oleh 𝑔2 𝑦2
′
𝑦2 = 𝐶 𝑞 0
∞
𝑔 𝑟1
2
+ 𝑦2
′
𝑦2 𝑟1
𝑞−1
𝑑𝑟1 atau
persamaan (17) dan 𝑟2
2
= 𝑦2
′
𝑦2. Dalam 𝑦1, (25) adalah distribusi berkontur bola (tergantung pada 𝑟2
2
).
Sekarang pertimbangkan 𝑿 = 𝑿𝟏
′
𝑿𝟐
′ ′
dengan kepadatan 𝚲 −
1
2𝑔 𝒙 − 𝒗 ′
𝚲−𝟏
𝒙 − 𝒗 , atau persamaan
(2) Densitas bersyarat dari 𝑋(1) yang diberikan 𝑋(2) = 𝑥(2) adalah
(25)
3. 𝚲11.2
−
1
2𝑔 𝑥 1
− 𝑣 1 ′
− 𝑥 2
− 𝑣 2 ′
𝑩′
𝚲11.2
−1
𝑥(1)
− 𝑣 1
− 𝑩(𝑥(2)
− 𝑣 2
) + (𝑥 2
− 𝑣 2
)′𝚲22
−1
(𝑥(2)
− 𝑣 2
)
÷ 𝑔2 (𝑥 2 − 𝑣 2 )′𝚲22
−1
(𝑥(2) − 𝑣 2 )
= 𝚲11.2
−
1
2 𝑔 𝑥 1 − 𝑣 1 ′
− 𝑥 2 − 𝑣 2 ′
𝑩′ 𝚲11.2
−1
𝑥(1) − 𝑣 1 − 𝑩(𝑥(2) − 𝑣 2 ) + 𝑟2
2
÷ 𝑔2(𝑟2
2
)
𝐸 𝑋 1
𝑥 1
= 𝑣 1
+ 𝑩(𝑥(2)
− 𝑣 2
)
(26)
di mana 𝒓𝟐
𝟐
= (𝒙 𝟐 − 𝒗 𝟐 )′𝚲𝟐𝟐
−𝟏
(𝒙(𝟐) − 𝒗 𝟐 ) dan 𝑩 = 𝚲12𝚲22
−1
. Kepadatan (26) berkontur elips dalam 𝒙(𝟏) −
𝒗 𝟏 − 𝑩(𝒙(𝟐) − 𝒗 𝟐 ) sebagai fungsi dari 𝑥(1). Rata-rata kondisional dari 𝑋(1) yang diberikan 𝑋(2) = 𝑋(2) adalah
(27)
jika 𝐸(𝑅1
2
𝑦2
′
𝑦2 = 𝑟2
2
< ∞ di (25), di mana 𝑅1
2
= 𝑌1
′
𝑌. Juga matriks kovarians bersyarat adalah 𝐸𝑟2
2
/𝑞 𝚲11.2.
Oleh karena itu, Definisi 2.5.2 dari koefisien korelasi parsial berlaku jika 𝜎𝑖𝑗.𝑞+1,…,𝑝 = 11 + 12 22
−1
+ 21
dan Σ . adalah matriks parameter yang diberikan di atas.
Teorema 2.5.2, 2.5.3, dan 2.5.4 benar untuk setiap distribusi berkontur elips 𝐸𝑅2 < ∞
4. 𝐸𝑒𝑖𝑡′𝑂𝑌 =
−∞
∞
…
−∞
∞
𝑒𝑖𝑡′𝑂𝑌𝑔 𝑦′𝑦 𝑑𝑦1 … 𝑑𝑦𝑝
=
−∞
∞
…
−∞
∞
𝑒𝑖𝑡′𝑧
𝑔 𝑧′
𝑧 𝑑𝑧1 … 𝑑𝑧𝑝
= 𝐸𝑒𝑖𝑡′𝑍
𝐸𝑒𝑖𝑡′𝑌
= 𝛷(𝑡′
𝑡)
Fungsi karakteristik dari vektor acak 𝒀 dengan distribusi berkontur bola 𝐸𝑒𝑖𝑡′𝑌 memiliki sifat invarian
terhadap transformasi ortogonal, yaitu,
(28)
dimana 𝒁 = 𝑶𝒀 juga memiliki massa jenis 𝑔(𝑦′𝑦) . Persamaan (28) untuk semua ortogonal 𝑶
menyiratkan 𝐸𝑒𝑖𝑡′𝑍 adalah fungsi dari 𝑡′𝑡. Kami menulis
(29)
Fungsi Karakteristik; Momen
5. Kemudian untuk 𝑿 = 𝝁 + 𝑪𝒀
𝐸𝑒𝑖𝑡′𝑋
= 𝑒𝑖𝑡′𝜇
𝐸𝑒𝑖𝑡′𝐶𝑌
= 𝑒𝑖𝑡𝜇
𝛷(𝑡′
𝐶𝐶′
𝑡)
= 𝑒𝑖𝑡′𝜇
𝛷(𝑡′
Λ𝑡)
(30)
ketika 𝜦 = 𝑪𝑪′
. Sebaliknya, setiap fungsi karakteristik dari bentuk 𝒆𝒊𝒕′𝝁
𝜱(𝒕′
𝜦𝒕) yang bersesuaian dengan
kerapatan sesuai dengan vektor acak 𝑿 dengan kerapatan persamaan (2).
Momen 𝑿 dengan distribusi berkontur elips dapat ditemukan dari fungsi karakteristik 𝒆𝒊𝒕′𝝁
𝜱(𝒕′
𝒕) atau
dari representasi 𝑿 = 𝝁 + 𝑹𝑪𝑼, di mana 𝑪′𝚲−𝟏𝑪 = 𝑰 . Catatan bahwa
𝐸 𝑅2 = 𝐶(𝑝)
0
∞
𝑟𝑝+1𝑔 𝑟2 𝑑𝑟 = −2𝑝𝛷′(0)
𝐸 𝑅4
= 𝐶(𝑝)
0
∞
𝑟𝑝+3
𝑔 𝑟2
𝑑𝑟 = 4𝑝(𝑝 + 2)𝛷′′(0)
(31)
(32)
Pertimbangkan momen orde tinggi dari 𝒀 = 𝑹𝑼. Momen order ganjil 𝑹 adalah 𝟎, dan karenanya momen
order ganjil 𝒀 adalah 0.
6. 𝐸 𝑋𝑖 − 𝜇𝑖 𝑋𝑗 − 𝜇𝑗 𝑋𝑘 − 𝜇𝑘 = 0
1 =
𝑖,𝑗=1
𝑝
𝐸𝑈𝑖
2
𝑈𝑗
2
= 𝑝𝐸𝑈1
4
+ 𝑝 𝑝 − 1 𝐸𝑈1
2
𝑈2
2
Kita punya
(33)
Faktanya, semua momen 𝑿 − 𝝁 orde ganjil adalah 0.
Pertimbangkan 𝐸𝑈𝑖𝑈𝑗𝑈𝑘𝑈𝑙, karena 𝑼′𝑼 = 𝟏
(34)
Integrasi dari 𝐸𝑠𝑖𝑛4
𝜃1 menghasilkan 𝐸𝑈1
4
=
3
𝑝(𝑝+2)
; maka (34) menyiratkan, 𝐸𝑈1
2
𝑈2
2
=
1
𝑝(𝑝+2)
. Oleh
karena itu 𝐸𝑌𝑖
4
=
3𝐸𝑅4
[𝑝(𝑝+2)]
dan 𝐸𝑌1
2
𝑌2
2
=
𝐸𝑅4
[𝑝(𝑝+2)]
. Kecuali 𝑖 = 𝑗 = 𝑘 = 𝑙 atau 𝑖 = 𝑗 ≠ 𝑘 = 𝑙 atau 𝑖 = 𝑘 ≠
𝑗 = 𝑙 atau 𝑖 = 𝑙 ≠ 𝑗 = 𝑘 . kami memiliki 𝐸𝑈𝑖𝑈𝑗𝑈𝑘𝑈𝑙 = 0 . Untuk meringkas 𝐸𝑈𝑖𝑈𝑗𝑈𝑘𝑈𝑙 =
(𝛿𝑖𝑗𝛿𝑘𝑗+𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙+𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑘)
[𝑝(𝑝+2)]
. Momen urutan keempat dari 𝑿 adalah
7. 𝐸(𝑋𝑖 − 𝜇𝑖)(𝑋𝑗 − 𝜇𝑗)(𝑋𝑘 − 𝜇𝑘)(𝑋𝑙 − 𝜇𝑙) =
𝐸𝑅4
𝑝 𝑝 + 2
(𝜆𝑖𝑗𝜆𝑘𝑙 + 𝜆𝑖𝑘𝜆𝑗𝑙 + 𝜆𝑖𝑙𝜆𝑗𝑘)
=
𝐸𝑅4
𝐸𝑅2 2
𝑝
𝑝 + 2
(𝜎𝑖𝑗𝜎𝑘𝑙 + 𝜎𝑖𝑘𝜎𝑗𝑙 + 𝜎𝑖𝑙𝜎𝑗𝑘)
Kumulan keempat dari komponen ke-i 𝑿 yang distandarisasi dengan deviasi standarnya adalah
𝐸 𝑋𝑖 − 𝜇𝑖
4
𝐸 𝑋𝑖 − 𝜇𝑖
2 2 − 3 =
3𝐸𝑅4
𝑝(𝑝 + 2)
− 3
𝐸𝑅2
𝑝
2
𝐸𝑅2
𝑝
2
= 3
𝐸𝑅4
𝐸𝑅2 2
𝑝
𝑝 + 2
− 1 =
𝛷′′(0)
𝛷′ 0 2 − 1
= 3𝑘
(35)
(36)
mengatakan. Ini dikenal sebagai kurtosis. (Perhatikan bahwa 𝑘 adalah
1
3
𝐸
𝑋𝑖−𝜇𝑖
4
𝐸 𝑋𝑖−𝜇𝑖
2 2 − 1. Kumulan
keempat standar adalah 3𝑘 untuk setiap komponen 𝑿. Kumulan empat dari 𝑋𝑖, 𝑋𝑗, 𝑋𝑘 dan 𝑋𝑙 adalah
8. 𝑘𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐸 𝑋𝑗 − 𝜇𝑖 𝑋𝑗 − 𝜇𝑗 𝑋𝑘 − 𝜇𝑘 𝑋𝑙 − 𝜇𝑙 − (𝜎𝑖𝑗𝜎𝑘𝑙 + 𝜎𝑖𝑘𝜎𝑗𝑙 + 𝜎𝑖𝑙𝜎𝑗𝑘)
= 𝑘(𝜎𝑖𝑗𝜎𝑘𝑙 + 𝜎𝑖𝑘𝜎𝑗𝑙 + 𝜎𝑖𝑙𝜎𝑗𝑘)
𝐸 𝑋𝑗 − 𝜇𝑖 𝑋𝑗 − 𝜇𝑗 𝑋𝑘 − 𝜇𝑘 𝑋𝑙 − 𝜇𝑙 = (1 + 𝑘)(𝜎𝑖𝑗𝜎𝑘𝑙 + 𝜎𝑖𝑘𝜎𝑗𝑙 + 𝜎𝑖𝑙𝜎𝑗𝑘)
(37)
Untuk distribusi normal 𝑘 = 0. Momen orde empat dapat ditulis
(38)
Lebih detail tentang distribusi berkontur elips dapat ditemukan di Fang dan Zhang (1990).
Kelas distribusi berkontur elips menggeneralisasi distribusi normal, memperkenalkan lebih banyak
fleksibilitas; kurtosisnya tidak harus 0. "Permukaan berbentuk lonceng" khas 𝚲 −
1
2𝑔 𝒙 − 𝒗 ′
𝚲−𝟏
(𝒙 − 𝒗)
bisa lebih atau kurang memuncak daripada dalam kasus distribusi normal. Pada sub-bagian berikutnya
diberikan beberapa contoh.
10. (2) Terkontaminasi normal. Distribusi normal yang terkontaminasi adalah campuran dari dua distribusi
normal dengan matriks kovariansi proporsional dan vektor rata-rata yang sama. Kepadatan bisa ditulis
1 − 𝜀
1
2𝜋
𝑝
2 𝑐𝚲
1
2
𝑒− 𝒙−𝝁 ′𝚲−1(𝒙−𝝁)
+ 𝜀
1
2𝜋
𝑝
2 𝑐𝚲
1
2
𝑒
−
1
2
𝑐 𝒙−𝝁 ′𝚲−1(𝒙−𝝁)
,
dimana 𝑐 > 0 dan 0 ≤ 𝜀 ≤ 1. Biasanya 𝜀 agak kecil dan c agak besar
(42)
11. (3) Campuran distribusi normal. Misalkan 𝑤 𝑣 adalah fungsi distribusi kumulatif di atas 0 ≤ 𝑣 ≤ ∞.
Kemudian campuran kepadatan normal ditentukan oleh
0
∞
𝑛 𝑥|𝜇,
1
𝑣2
Σ 𝑑𝑤(𝑣)
(43)
yang merupakan kepadatan berkontur elips. Vektor acak 𝑿 dengan kerapatan ini memiliki
representasi 𝑿 = 𝒘𝒁, di mana 𝒁~𝑁(𝝁, 𝚺) dan 𝑤~𝑤 𝑤 tidak bergantung
Fang, Kotz, dan Ng (1990) telah membahas (43) dan telah memberikan contoh lain dari distribusi
berkontur elips.
