Torsión se refiere al torcimiento de una barra recta al ser cargada por momentos (o pares de torsión) que tienden a producir rotación con respecto al eje longitudinal de la barra.

1. TEMA III
TORSIÓN
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
ÁREA DE TECNOLIGÍA
UNIDAD CURRICULAR: RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
PROF.ING. GAUDDY ARCILA.

2. Torsión
▪ Torsión se refiere al torcimiento de una barra recta al ser cargada por
momentos (o pares de torsión) que tienden a producir rotación con
respecto al eje longitudinal de la barra.
▪ Semejante carga se llama par de torsión, momento torsional, par de
torsión o par. Cuando se aplica un par de torsión a un miembro se
desarrolla un esfuerzo cortante en su interior y se crea una deformación
torsional.
▪ Su efecto es de interés primordial en el diseño de ejes de transmisión,
utilizados ampliamente en vehículos y maquinaria.
2

3. TORSIÓN EN BARRAS
3
Se puede ilustrar qué ocurre físicamente cuando un momento de torsión se
aplica a un eje circular hecho de un material muy elástico, como el hule, por
ejemplo.
Cuando se aplica el momento torsor, las secciones circulares se mantienen
como tales, experimentando una rotación en el plano del momento. Las líneas
longitudinales se convierten en hélices que intersectan siempre con el mismo
ángulo a los círculos transversales.

4. “
4
Extraeremos a continuación una
porción cilíndrica y consideraremos un
pequeño elemento cuadrado que se encuentre
en la superficie de dicha porción. Luego de
aplicar el momento torsor, el elemento
diferencial considerado deja de ser cuadrado y
se convierte en un rombo, tal como se muestra.

5. FORMULA DE TORSIÓN
5
Observemos la figura. Si el ángulo θ es muy pequeño, se puede
establecer:
Donde AA’ es el arco que recorre el
punto A al deformarse la barra
debido a torsión, θ es el ángulo de
giro (en radianes) entre dos
secciones transversales
separadas una longitud L, ρ es el
radio de la porción cilíndrica
considerada y θ es la deformación
cortante, en radianes.
L
AA 


 


'
L
AA 


 


'

6. FÓRMULA DE TORSIÓN
6
Para realizar la deducción de una expresión que nos permita hallar la distribución
de esfuerzos cortantes en una sección transversal debido a un momento torsor
aplicado en ella, asumiremos lo siguiente:
- Las secciones circulares permanecen como tales.
- Las secciones transversales se mantienen planas, sin alabearse.
- Las líneas radiales permanecen rectas aún después de la deformación.
- El eje está sometido a la acción de pares torsores.
- Las deformaciones producidas ocurren en el rango elástico del material.

7. FÓRMULA DE TORSIÓN
7

r
max

R
c 
Distribución de esfuerzos cortantes
en una sección transversal de la
barra
Por semejanza triángulos, y basándonos que
la variación de esfuerzo y la deformación son
proporcionales.
El esfuerzo cortante en cualquier radio (r).
r
c
máx 


c
r
máx

 
r

Esfuerzo cortante τ en el radio r que actúa en
el área dA.
R
c 
dr
dA
  T
rdF dA
dF 

 

 dA
r
T 

8. FÓRMULA DE TORSIÓN
8
Donde la integral resultante es una propiedad de área conocida como momento
polar de inercia (“J”). Podemos rescribir entonces la expresión de la forma:
Recordando que anteriormente se estableció que:
Sustituimos esto en la expresión anterior y nos queda:
J
r
T 
 max




max

r
J
T 




9. FÓRMULA DE TORSIÓN
9
Finalmente, obtenemos lo siguiente:
Nótese que, para barras de sección circular,
la variación del esfuerzo cortante es lineal
respecto al radio de la sección. Por otro lado,
como se estudió en el capítulo anterior, el
esfuerzo cortante debe actuar también en otro
plano perpendicular al de la sección
transversal para conseguir el equilibrio del
elemento diferencial.
J
T 




10. Esfuerzos en barras circulares huecas y
macizas
10
Sustituyendo el valor del
esfuerzo cortante τ dado
por la ecuación (5-b),
podemos expresar este
momento elemental
como.
El momento de esta
fuerza con respecto al eje
de la barra es igual a la
fuerza multiplicada por su
distancia desde el centro,
o τρdA.
La distribución de los esfuerzos cortantes que actúan sobre una
sección transversal se representa en las figuras anteriores. Debido
a que dichos esfuerzos actúan continuamente alrededor de la
sección transversal, tienen una resultante en la forma de un
momento que es igual al par de torsión T que actúa sobre la
barra..

11. Esfuerzos en barras circulares huecas y
macizas
11
El momento resultante (igual al par de torsión T) es la suma a lo largo de toda el área
de la sección transversal de todos los momentos elementales:
En donde
Es posible obtener una expresión para el esfuerzo cortante máximo reacomodando la
ecuación, como sigue:
es el momento polar de inercia
de la sección transversal circular.

12. ▪ Aquí
▪ τmáx= el esfuerzo cortante máximo en el eje, que se produce en la superficie externa.
▪ T= el par de torsión resultante que actúa en la sección transversal. Su valor se determina a
partir del método de las secciones y la ecuación de equilibrio de momentos aplicados a la
línea central longitudinal del eje.
▪ J=Ip= el momento polar de inercia del área de la sección transversal.
▪ c=r= radio exterior del eje.
▪ Esta ecuación, conocida como la fórmula de la torsión, muestra que el esfuerzo cortante
máximo es proporcional al par de torsión aplicado T e inversamente proporcional al
momento de inercia polar IP
12
El esfuerzo cortante a una distancia ρ desde el centro de la barra es:

13. EJE SOLIDO
Si el eje tiene una sección transversal circular sólida, el
momento polar J puede determinarse usando un
elemento de área en forma de un aro o anillo diferencial
que tiene un groso dρ y una circunferencia 2πρ, figura.
Para este anillo, dA=2πρdρ
13
𝑱 = න
𝑨
𝝆𝟐
𝒅𝑨 = න
𝟎
𝒄
𝝆𝟐
𝟐𝝅𝝆𝒅𝝆 = 𝟐𝝅 න
𝟎
𝒄
𝝆𝟑
𝒅𝝆 = 𝟐𝝅
𝟏
𝟒
𝝆𝟒
|𝟎
𝒄
𝑱 =
𝝅
𝟐
𝒄𝟒
32
2
4
4
D
r
J



 3
3
16
2
D
T
r
T
máx


 
 Esfuerzo cortante máximo

14. EJE TUBULAR
14
El esfuerzo cortante máximo ocurre en la superficie externa de la barra y varia
linealmente con la posición radial en el interior de la barra. El esfuerzo
cortante mínimo ocurre en la superficie interna. El esfuerzo cortante en
cualquier posición radial se calcula con la ecuación
𝑱 = න
𝑹𝒊
𝑹𝒐
𝒓𝟐
𝟐𝝅𝒓 𝒅𝒓 = 𝟐𝝅 න
𝑹𝒊
𝑹𝒐
𝒓𝟑
𝒅𝒓 =
൯
𝟐𝝅(𝑹𝒐
𝟒
− 𝑹𝒊
𝟒
𝟒
ቁ
𝑱 =
𝝅
𝟐
(𝑹𝒐
𝟒
− 𝑹𝒊
𝟒
 
4
4
2
i
o R
R
J 


 
4
4
32
i
o D
D
J 


𝝉𝒎á𝒙 =
𝟐𝑻𝑹
൯
𝝅(𝑹𝒐
𝟒
− 𝑹𝒊
𝟒
=
𝟏𝟔𝑻𝑫
൯
𝝅(𝑫𝒐
𝟒
− 𝑫𝒊
𝟒

15. ANGULO DE TORSIÓN O DEFORMACIÓN
Aquí se deducirá una relación entre el ángulo de giro Φ de un eje circular y el par de torsión
T ejercido sobre el eje. Se supondrá que la totalidad del eje permanece elástica.
Considerando primero el caso de un eje de longitud L y sección transversal uniforme de
radio c sujeto a un par de torsión T en su extremo libre (figura), se sabe de la sección
anterior el ángulo de giro Φ y la deformación máxima a cortante se relacionan como sigue:
15
Pero, en el rango elástico, el esfuerzo de cedencia no se excede en ninguna parte
del eje, se aplica la ley de Hooke y se tiene que γmáx =τmáx/G o, a partir de la
ecuación 𝜏𝑚á𝑥 = ൗ
𝑇𝑐
𝐽
𝜸𝒎á𝒙 =
𝒄. 𝜙
𝑳
𝛾𝑚á𝑥 =
𝜏𝑚á𝑥
𝐺
=
𝑇. 𝑐
𝐽. 𝐺
Igualando los miembros de la derecha de las ecuaciones (a) y (b), y despejando Φ, se
tiene que:
𝜙 =
𝑇. 𝐿
𝐽. 𝐺
donde Φ se expresa en radianes. La relación obtenida muestra que, dentro del rango elástico, el ángulo
de giro Φ es proporcional al par de torsión T aplicado al eje.

16. SISTEMAS HIPERESTÁTICOS SOMETIDOS A
TORSIÓN
16
Observemos el caso mostrado en la figura. En ella se presentan dos barras
solidarias, de sección transversal circular, empotradas en sus extremos y
sometidas a un par torsor “T” en su unión.
La condición de equilibrio que puede establecerse es la siguiente:
0


 T
T
T C
A
Notemos que tenemos una ecuación y dos incógnitas (“TA” y “TC”). Un segunda relación se
obtiene de las deformaciones debido a los pares torsores. Para poder establecer esta
relación, es necesario primero definir los pares torsores al que están sometidos los
segmentos “AB” y “BC”.
En primer lugar, estudiemos el tramo AB. El torsor aplicado sobre este segmento se
define realizando un corte en la estructura justo antes del punto donde se aplica el
siguiente torsor. Queda entonces:
0

 AB
A T
T AB
A T
T 

17. SISTEMAS HIPERESTÁTICOS SOMETIDOS A
TORSIÓN
17
Luego, aplicamos un procedimiento similar para el siguiente tramo. Al realizar un
corte justo antes del punto de aplicación del siguiente torsor, obtenemos:
0


 BC
A T
T
T A
BC T
T
T 

La condición de deformación que debe cumplirse es la siguiente:
Donde “qB/A” es el ángulo que gira la sección “B” respecto a la “A” y “qB/C” es el ángulo que gira
la sección “B” respecto a la “C”. Nótese que deben ser iguales; entonces:
Sustituyendo “TAB” y “TBC”, obtenemos la segunda ecuación que necesitamos para resolver el
sistema:
BC
BC
BC
BC
AB
AB
AB
AB
G
J
L
T
G
J
L
T





BC
BC
BC
A
AB
AB
AB
A
G
J
L
T
T
G
J
L
T





 )
(
)
(
C
B
A
B 
 

18. RELACIÓN DE MOMENTO
TORSOR Y POTENCIA
18
El interés principal de estudiar el fenómeno de
torsión sobre barras circulares reside en que éstas
se usan ampliamente como ejes para comunicar
potencia, bien sea en conjunto con poleas y correas
ó con engranajes.
Con frecuencia, los ejes y tubos con
secciones circulares se utilizan para transmitir
potencia desarrollada en maquinas. Cuando se
utiliza con este fin, se le somete a un par de torsión
que depende de la potencia generada por la
maquina y de velocidad angular del eje.
La potencia se define como el trabajo realizado por
unidad de tiempo. Por su parte, el trabajo trasmitido
por un eje giratorio es igual al par aplicado por el
ángulo de rotación

19. SISTEMAS HIPERESTÁTICOS SOMETIDOS A
TORSIÓN
19
En el diseño de estos sistemas, emplearemos dos relaciones principalmente. La primera, es
la expresión matemática que indica la potencia que comunica un eje ó una polea:
Donde P es la potencia transmitida, “w” es la velocidad angular y “T” el torsor al que está
sometido el eje, la polea ó el engranaje.
Para la maquinaria, a menudo es necesario informar sobre la frecuencia, f, de un eje
giratorio. Esta es una medida del número de revoluciones o ciclos que realiza el eje cada
segundo y se expresa en hertz (1 Hz= 1 ciclo/s), como 1 ciclo =2π rad, entonces ω=2πf, por
lo que la ecuación para potencia se convierte en
T
f
P .
.
2

w

 T
P

20. DISEÑO DE EJES
20
Cuando se conoce la potencia transmitida por un eje y su frecuencia de rotación, el par de
torsión que se desarrolla en el eje puede determinarse a partir de la ecuación de esfuerzo
máximo cortante, es decir, T=P/2πf. Al conocer T y el esfuerzo cortante permisible para el
material, τperm, es posible determinar el tamaño de la sección transversal del eje empleando la
formula de torsión, siempre y cuando el comportamiento del material sea elástico lineal. De
manera específica, el parámetro geométrico o de diseño J/c se convierte en
𝐽
𝑐
=
𝑇
𝜏𝑝𝑒𝑟𝑚
El eje solido, J=(
𝜋
2
)𝑐4
, por lo tanto, después de la sustitución se puede determinar un valor único
para el radio c del eje. Si el eje es tubular, de modo que 𝐽 = Τ
𝜋 2 (𝑐𝑜
4
− 𝑐𝑖
4)
, el diseño permite un
amplio rango de posibilidades para la solución

21. 21
GRACIAS!
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