https://app.box.com/s/7umfcvbv5mgb8mg2kbjzuwfuqjqkhjg4

1. CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM ĐẦY ĐỦ TOÁN 9
NĂM 2024 - CẢ NĂM (ĐHSPHN) - LÍ
THUYẾT TRỌNG TÂM, CÁC DẠNG BÀI TẬP,
BÀI TẬP TỰ LUYỆN (861 TRANG)
WORD VERSION | 2023 EDITION
ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL
TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
C H U Y Ê N Đ Ề D Ạ Y T H Ê M
Đ Ầ Y Đ Ủ T O Á N
Ths Nguyễn Thanh Tú
eBook Collection
Hỗ trợ trực tuyến
Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon
Mobi/Zalo 0905779594
Tài liệu chuẩn tham khảo
Phát triển kênh bởi
Ths Nguyễn Thanh Tú
Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật :
Nguyen Thanh Tu Group
vectorstock.com/28062405
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA
BÀI 1. CĂN BẬC HAI
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nêu được định nghĩa căn bậc hai số học của số không âm.
+ Điều kiện có căn bậc hai của một số thực.
+ Nắm vững quan hệ so sánh của căn bậc hai số học.
 Kĩ năng
+ Tìm được căn bậc hai và căn bậc hai số học của một số.
+ Phân biệt được định nghĩa căn bậc hai và căn bậc hai số học.
+ Biết so sánh các căn bậc hai.
+ Giải được phương trình .
x a

+ Giải được phương trình .
2
x a


2. Trang 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Căn bậc hai số học
Căn bậc hai
Căn bậc hai của một số không âm là số sao cho .
a x 2
x a

Số dương có hai căn bậc hai là hai số đối nhau:
a
Số dương kí hiệu là và số âm kí hiệu là .
a a

Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết .
0 0

Căn bậc hai số học
Với số dương , số được gọi là căn bậc hai số học của .
a a a
Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
Chú ý
Với , ta có .
0
a  2
0
x
a x
x a


  


2. So sánh hai căn bậc hai số học
Với hai số và không âm, ta có
a b
.
a b a b
  
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học của một số
Bài toán 1. Tìm căn bậc hai
Phương pháp giải
Căn bậc hai
Căn bậc hai của một số không âm là số
a x
sao cho .
2
x a

Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta
Ví dụ: Tìm căn bậc hai của 121.
Hướng dẫn giải
Ta có và .
2
11 121
  
2
11 121
 
0
a 
là căn bậc hai
a
số học của a
Số dương
x a

Số âm
x a
 
Căn bậc hai của số là
a
số sao cho
x 2
x a

Căn bậc hai
của 0 là 0
Căn bậc hai số
học của 0 là 0
So sánh
0 a b a b
   
CĂN BẬC HAI
0
a 
Trang 3
viết .
0 0
 Do đó 121 có hai căn bậc hai là 11 và .
11

Ví dụ mẫu
Ví dụ: Tìm căn bậc hai của các số sau:
a) 9. b) 0. c) . d) .
2
1
2
 
 
 
2
3
2

 
 
 
Hướng dẫn giải
a) Ta có và .
2
3 9
  
2
3 9
 
Do đó 9 có hai căn bậc hai là 3 và .
3

b) Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0.
c) Ta có .
2 2
1 1
2 2
   
 
   
   
Do đó có hai căn bậc hai là và .
2
1
2
 
 
 
1
2
1
2

d) Ta có .
2 2
3 3
2 2

   

   
   
Do đó có hai căn bậc hai là và .
2
3
2

 
 
 
3
2
3
2

Bài toán 2. Tìm căn bậc hai số học
Phương pháp giải
Căn bậc hai số học
Với số dương , số được gọi là căn bậc hai số
a a
học của .
a
Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
Ví dụ: Tìm căn bậc hai số học của 121.
Hướng dẫn giải
Ta có .
121 11

Vậy căn bậc hai số học của 121 là 11.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai số học của các số sau:
a) 9. b) 0. c) . d) .
2
1
2
 
 
 
2
3
2

 
 
 
Hướng dẫn giải
a) Ta có . Vậy căn bậc hai số học của 9 là 3.
9 3

b) Căn bậc hai số học của 0 là 0.

3. Trang 4
c) Ta có . Vậy căn bậc hai số học của là .
2
1 1 1
2 4 2
 
 
 
 
2
1
2
 
 
 
1
2
d) Ta có . Vậy căn bậc hai số học của là .
2
3 9 3
2 4 2

 
 
 
 
2
3
2

 
 
 
3
2
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức: .
0,09 3 0,01 2 0,36
 
Hướng dẫn giải
Ta có 0,09 3 0,01 2 0,36
 
0,3 3.0,1 2.0,6
  
0,3 0,3 1,2
  
.
1,2

Bài toán 3. Tìm số không âm thỏa điều kiện cho trước
x
Phương pháp giải
Ví dụ: Tìm số không âm biết:
x
a) . b) .
4
x  2
x 
Với , ta có .
0
x  2
0
a
x a
x a


  


Hướng dẫn giải
a) Ta có . Vậy .
4
x  16
x
  16
x 
b) Ta có .
2
x  4
x
 
Vì không âm nên .
x 0 4
x
 
Vậy .
0 4
x
 
Ví dụ mẫu
Ví dụ: Tìm số không âm biết:
x
a) . b) .
3
x  4 8
x 
c) . d) .
2
x  3 6
x 
Hướng dẫn giải
a) Ta có . Vậy .
3 9
x x
   9
x 
b) Ta có . Vậy .
4 8
x  2 4
x x
    4
x 
c) Ta có . Vậy .
2
x  4
x
  4
x 
d) Ta có 3 6
x  3 36 12
x x
   
Vì là số không âm nên . Vậy .
x 0 12
x
  0 12
x
 
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Tính giá trị các biểu thức:
Trang 5
a) . b) . c) . d) .
0,01 0,81

9 1
16 4
 2 2
41 40
 2 2
58 42

Câu 2: Tìm căn bậc hai của các số sau:
a) 16. b) . c) . d) .
1

2
1
4
 
 
 
2
1
2

 
 
 
Câu 3: Tìm căn bậc hai số học của các số sau:
a) 625. b) . c) . d) .
10

2
1
2
 
 
 
2
3
2

 
 
 
Câu 4: Tìm giá trị của biết:
x
a) . b) . c) . d) .
2
9
x  2 41
1
25
x   2
1 2 0,98
x
  2
9 7 30
x
 
Câu 5: Tìm số thỏa mãn:
x
a) . b) . c) . d) .
2
10 0
x   2
2 6 0
x   2
25 0
x   2
5 125 0
x  
Câu 6: Tìm , biết:
x
a) . b) .
1
x  2
x a

Dạng 2: So sánh các căn bậc hai số học
Bài toán 1. So sánh trực tiếp
Phương pháp giải
Ví dụ: Không dùng máy tính hay bảng số, hãy so
sánh và 5.
26
Dựa vào tính chất:
Với hai số và không âm, ta có
a b
.
a b a b
  
.
a b a b
  
Hướng dẫn giải
Ta có .
2
5 5 25
 
Mà hay .
25 26 25 26
   5 26

Vậy .
5 26

Ví dụ mẫu
Ví dụ: Không dùng máy tính hay bảng số, hãy so sánh
a) và 2. b) 7 và . c) và .
3 43 11
 3

Hướng dẫn giải
a) Ta có mà hay . Vậy .
2 4
 4 3
 4 3
  2 3
 2 3

b) Ta có mà hay .Vậy .
7 49
 49 43
 49 43
  7 43
 7 43

c) Ta có mà hay . Vậy .
3 9
 9 11 9 11 9 11
       3 11
   3 11
  
Bài toán 2. So sánh gián tiếp

4. Trang 6
Phương pháp giải
Ví dụ: Không dùng máy tính hay bảng số, hãy so
sánh và .
3 7
 26
Nếu thì .
;
a b b c
  a c

Hướng dẫn giải
Ta có và
3 4 3 2
   7 9

.
3 7 2 9 3 7 5
      
Mà .
26 25 26 5 26 5 3 7
      
Vậy .
26 3 7
 
Ví dụ mẫu
Ví dụ: Không dùng máy tính hay bảng số, hãy so sánh
a) và .
3 15
 2 26

b) và .
15 1
 10
c) và .
1 2
 51 7

Hướng dẫn giải
a) Ta có ;
3 4 3 2
   15 16 15 4
  
. (1)
3 15 6
  
Lại có 2 1 2 1; 26 25 26 5
     
. (2)
2 26 6
  
Từ (1) và (2) ta có .
2 26 6 3 15
   
Vậy .
2 26 3 15
  
b) Ta có 15 1
 16 1 4 1 3; 10 9 10 3
       
.
10 3 15 1
   
Vậy .
10 15 1
 
c) Ta có ;
2 1 2 1 1 2 0
     
;
51 49 51 7 51 7 0
     
.
1 2 0 51 7
    
Vậy .
1 2 51 7
  
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Không dùng máy tính, so sánh các số sau:
a) và 3. b) và . c) và 2.
10 3 5 2 10 8 1

Câu 2: Không dùng máy tính, hãy so sánh các số thực sau:
Trang 7
a) và 6. b) và .
8 3
 2 5 5
 5 3

Câu 3: So sánh các số sau:
a) và 2. b) và .
26 8
 23 11
 5 10

Câu 4: Không dùng máy tính, hãy so sánh các số thực sau:
a) và 9. b) và .
17 26
 48 13 35

c) và . d) và .
31 19
 6 17
 9 58
 80 59

e) và . f) và .
13 12
 12 11
 5 10 1
  35
ĐÁP ÁN - BÀI 1. CĂN BẬC HAI
Dạng 1: Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học của một số
Câu 1:
a) .
0,01 0,81
 0,1 0,9 1
  
b) .
9 1
16 4

3 1 5
4 2 4
  
c) .
2 2
41 40
   
41 40 41 40 81 9
    
d) .
2 2
58 42
   
58 42 58 42 16.100 1600 40
     
Câu 2:
a) 4 và b) không có căn bậc hai.
4
 1

c) và . d) và .
1
4
1
4

1
2
1
2

Câu 3:
a) 25. b) không có căn bậc hai số học.
10

c) . d) không có căn bậc hai số học.
1
2
2
3
2

 
 
 
Câu 4:
a) Ta có .
2
9
x  3
x
  
b) Ta có .
2 41
1
25
x   2 16 4
25 5
x x
    
c) .
2
1 2 0,98
x
  2
0,01 0,1
x x
    
d) Ta có , không tồn tại .
2
3
x   x
Câu 5:
a) Ta có .
2
10 0
x   2 10
10
10
x
x
x
 
   
 


b) Ta có .
2
2 6 0
x   2 2 3
2 6 3
3
x
x x
x
 
     
 



5. Trang 8
c) Ta có .
2
25 0
x   2 2 5
5
5
x
x
x


     

d) Ta có (vô lý). Không có thỏa mãn.
2
5 125 0
x   2 2
5 125 25
x x
      x
Câu 6:
a) .
1
x  0 1
x
  
b) Nếu thì . Nếu thì . Nếu thì không tồn tại .
0
a  x a
  0
a  0
x  0
a  x
Dạng 2: So sánh các căn bậc hai số học
Câu 1:
a) 3.
10 9
 
b) ; .
 
2
3 5 9.5 45
   
2
2 10 4.10 40
 
Ta có nên .
45 40
 3 5 2 10

c) nên .
8 9 3
  8 1 2
 
Câu 2:
a) Ta có mà và . Vậy .
6 3 3
  3 9
 8 9
  8 9 8 3
   8 3 6
 
b) Xét hiệu . Vậy .
   
2 5 5 5 3 5 2 5 4 0
        2 5 5 5 3
  
Câu 3:
a) , nên .
26 25
 8 9
 26 8 25 9 5 3 2
     
b) .
23 11
 25 10 5 10
   
Câu 4:
a) Ta có . Mà
9 4 5
  16 17;25 26 16 17; 25 26 4 17;5 26
       
.
4 5 17 26
   
Vậy .
9 17 26
 
b) Ta có .
48 49 48 7; 35 36 35 6
      48 35 13 48 13 35
     
c) Ta có .
31 36 31 6; 19 17 31 19 6 17
       
Vậy .
31 19 6 17
  
d) Ta có .
81 80 9 80; 58 59 58 59
        9 58 80 59
   
Vậy .
9 58 80 59
  
e) Ta có
1 1
13 12 ; 12 11
13 12 12 11
   
 
Mà .
1 1
12 11 13 12
13 12 12 11
    
 
Vậy .
13 12 12 11
  
f) Ta có .
5 10 1 4 9 1 6; 35 36 6
         5 10 1 6 35
   
Trang 9
Vậy .
5 10 1 35
  

6. Trang 1
CHUYÊN ĐỀ 1. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA
BÀI 2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC 2
A A

Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa căn thức bậc hai.
+ Nắm vững điều kiện xác định của biểu thức chứa căn thức bậc hai.
+ Hiểu được hằng đẳng thức .
2
A A

 Kĩ năng
+ Giải được phương trình, bất phương trình chứa căn bậc hai.
+ Biết cách xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa.
+ Biết cách so sánh các căn bậc hai.
+ Rút gọn được biểu thức dạng .
2
A
Trang 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Căn thức bậc hai
Căn thức bậc hai
Với là một biểu thức đại số, ta gọi là căn
A A
thức bậc hai của , còn được gọi là biểu thức
A A
lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
Điều kiện xác định
Biểu thức xác định (hay có nghĩa) khi lấy
A A
giá trị không âm.
2. Nhắc lại một số dạng bất phương trình cơ bản
Chia hai vế của bất phương trình cho một số dương
bất kỳ thì bất phương trình không đổi chiều, còn
chia hai vế của bất phương trình cho một số âm thì
bất phương trình đổi chiều.
Với là một số dương:
a
Nếu thì hoặc .
 2
x a
 x a
 x a
 
Nếu thì .
 2
x a
 a x a
  
3. Hằng đẳng thức 2
A A

Định lí
Với mọi số , ta có: .
A 2
A A

Chú ý
Một cách tổng quát, với là một biểu thức, ta có
A
, có nghĩa là:
2
A A

nếu (tức là lấy giá trị không
 2
A A
 0
A  A
âm).
nếu (tức là lấy giá trị âm).
 2
A A
  0
A  A
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
là căn bậc hai của
A A
là biểu thức dưới dấu căn
A A
có nghĩa khi
A 0
A 
2 khi 0
khi 0
A A
A A
A A


  
 


7. Trang 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Giải phương trình, bất phương trình
Bài toán 1. Giải phương trình
Phương pháp giải
Ví dụ: Giải phương trình:
a) . b) .
2
3 12
x  1 2
x  
Với , ta có:
0
a 
Nếu thì hoặc .
 2
x a
 x a
 x a
 
Hướng dẫn giải
a) .
2
3 12
x  2 2
4
2
x
x
x


     

Vậy phương trình có nghiệm .
2; 2
x x
  
Nếu thì .
 x a
 2
x a
 b) .
1 2
x   1 4 3
x x
    
Vậy phương trình có nghiệm .
3
x 
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a) . b) .
2
4
x  2
1 1
x
 
c) . d) .
2
3 6
x  2
9
x  
Hướng dẫn giải
a) Ta có .
2 2
4
2
x
x
x


    

Vậy phương trình có nghiệm .
2; 2
x x
  
b) Ta có .
2
1 1
x
  2
0 0
x x
   
Vậy phương trình có nghiệm .
0
x 
c) Ta có .
2
3 6
x  2
2 2
x x
    
Vậy phương trình có nghiệm .
2; 2
x x
  
d) Ta có .
2
9
x  
Vì là số âm nên phương trình vô nghiệm.
9

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a) . b) .
3 1 2
x   2
5 3
x  
c) . d) .
3 4 1 6
x   2
1 2
x   
Hướng dẫn giải
a) Ta có .
3 1 2
x   3 1 4 3 3 1
x x x
      
Vậy phương trình có nghiệm .
1
x 
Trang 4
b) Ta có .
2
5 3
x   2 2 2
5 9 4
2
x
x x
x


        

Vậy phương trình có nghiệm .
2; 2
x x
  
c) Ta có .
3 4 1 6
x  
5
4 1 2 4 1 4 4 5
4
x x x x
         
Vậy phương trình có nghiệm .
5
4
x 
d) Ta có và nên phương trình vô nghiệm.
2
1 0
x   2 0
 
Bài toán 2. Giải bất phương trình
Phương pháp giải
Ví dụ: Giải các bất phương trình sau
a) . b) .
2
4
x   
2
2 1 9
x  
c) . d) .
2 1 3
x   2 1 5
x  
e) . f) .
2
3
x   1 3
x   
Với số dương ta có
a
thì .
2
x a
 
x a
x a
 

 


thì .
2
x a
 
x a
x a
 

 


Hướng dẫn giải
a) Ta có .
2
4
x 
4 2
2
4
x x
x
x
  

 
   
  


Vậy hoặc .
2
x  2
x  
thì .
2
x a
  a x a
  
thì .
2
x a
  a x a
  
b) Ta có  
2
2 1 9
x  
9 2 1 9
x
    
3 2 1 3
x
    
2 2 4
x
   
.
1 2
x
   
Vậy .
1 2
x
  
thì .
x a
  2
x a

thì .
x a
  2
x a

c) Ta có 2 1 3
x  
2
2 1 3
x
  
2 1 9
x
  
2 10
x
 
.
5
x
 
Vậy .
5
x 
thì .
x a
  2
0 x a
  d) 2 1 5
x  

8. Trang 5
.
2
0
x a x a
    
2
0 2 1 5
x
   
0 2 1 25
x
   
1 2 24
x
   
.
1
12
2
x
   
Vậy .
1
12
2
x
   
Đặc biệt:
Khi thì bất phương trình
0
a 
có nghiệm với mọi
2 2
; ; ;
x a x a x a x a
   
thỏa mãn điều kiện xác định, còn bất phương
x
trình vô nghiệm.
2 2
; ; ;
x a x a x a x a
   
Chú ý: với mọi thỏa điều kiện
2
0; 0
x x
  x
xác định.
e) 2
3
x  
Vì với mọi .
2
0
x  x
Mà nên bất phương trình vô nghiệm.
3 0
 
f) .
1 3
x   
Điều kiện xác định: .
1 0 1
x x
   
Vì với mọi .
1 0
x   1
x 
Mà nên bất phương trình nghiệm đúng với
3 0
 
mọi thỏa điều kiện xác định.
x
Vậy bất phương trình có nghiệm .
1
x 
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau
a) . b) .
2
3
x  2
5 4
x
 
c) . d) .
 
2
2 3 25
x   2
2 2 0
x x
  
Hướng dẫn giải
a) Ta có nên . Vậy .
2
3
x  3 3
x
   3 3
x
  
b) Ta có nên . Vậy .
2
5 4
x
  2
1 1 1
x x
     1 1
x
  
c) Ta có .
 
2
2 3 25
x  
2 3 5 2 8 4
2 3 5 2 2 1
x x x
x x x
   
  
  
  
      
  
Vậy hoặc .
4
x  1
x  
d) Ta có 2
2 2 0
x x
  
2
2 1 3 0
x x
    
 
2
1 3
x
  
3 1 3
x
    
.
3 1 3 1
x
     
Vậy .
3 1 3 1
x
    
Trang 6
Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau
a) . b) .
3
x  1 3
x  
c) . d) .
4 1 5
x   3 6
x  
Hướng dẫn giải
a) Ta có .
3
x  2
3 9
x x
   
Vậy .
9
x 
b) Ta có 1 3
x  
2
0 1 3
x
   
0 1 9
x
   
.
1 8
x
   
Vậy .
1 8
x
  
c) Ta có 4 1 5
x  
2
0 4 1 5
x
   
0 4 1 25
x
   
1 4 24
x
   
.
1
6
4
x
   
Vậy .
1
6
4
x
  
d) .
3 6
x  
Ta có mà nên bất phương trình vô nghiệm.
3 0
x  6 0
 
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Giải các phương trình sau:
a) . b) .
2
9
x  2
2 2
x
 
c) . d) .
2
4 3
x  2
1
x  
Câu 2: Giải các phương trình sau:
a) . b) .
3 1 2
x   2
1 1
x  
c) . d) .
3 4 3 9
x   2
3 1 2
x   
Câu 3: Giải các bất phương trình sau:
a) . b) .
2
5
x  2
5 4
x
 
c) . d) .
 
2
3 16
x   2
4 2 0
x x
  
Câu 4: Giải các bất phương trình sau:
a) . b) .
2
x  1 2
x  

9. Trang 7
c) . d) .
2 1 3
x   2
3 1 1
x   
Dạng 2: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa
A
Bài toán 1: Biểu thức có nghĩa
A
Phương pháp giải
Ví dụ: Tìm để biểu thức sau có nghĩa:
x
a) . b) .
1 x
 2
9 x

Biểu thức có nghĩa khi .
A 0
A 
Hướng dẫn giải
a) có nghĩa khi .
1 x
 1 0 1
x x
   
Vậy .
1
x 
Chú ý: với mọi thỏa điều kiện xác
 
 
2
0
f x  x
định.
b)
, ta có với mọi nên .
2
9 x
 2
0
x  x 2
9 9
x  
Vậy biểu thức có nghĩa với mọi .
x
Ví dụ mẫu
Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của biểu thức sau:
a) . b) .
6 2x
 2
3 x

c) . d) .
 
2
1
x   
2
1
x
 
Hướng dẫn giải
a) Biểu thức xác định khi
6 2x
 6 2 0
x
 
2 6
x
   
.
3
x
 
Vậy điều kiện xác định là .
3
x 
b) Biểu thức xác định khi
2
3 x
 2
3 0
x
 
2
3
x
 
.
3 3
x
   
Vậy điều kiện xác định .
3 3
x
  
c) Biểu thức xác định khi .
 
2
1
x   
2
1 0
x  
Mà , .
 
2
1 0
x   x

Vậy biểu thức xác định với mọi .
x
d) Biểu thức có nghĩa khi .
 
2
1
x
   
2
1 0
x
  
Trang 8
Mà nên biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi .
 
2
1 0,
x x
     
2
1 0 1
x x
   
Vậy biểu thức xác định khi .
1
x 
Bài toán 2: Biểu thức có nghĩa
B
A
Phương pháp giải
Ví dụ: Tìm để biểu thức sau có nghĩa:
x
a) . b) .
5 6
1
x
x

  
2
1
2
x 
Hướng dẫn giải
Biểu thức có nghĩa khi .
B
A
0
A  a) có nghĩa khi .
5 6
1
x
x


1 0 1
x x
   
Vậy biểu thức có nghĩa khi .
1
x 
Chú ý: với mọi thỏa mãn điều kiện
 
 
2
0
f x  x
xác định.
b) có nghĩa khi .
 
2
1
2
x 
 
2
2 0
x  
Mà  
2
2 0
x  
 
2
2 0
x
  
2 0
x
  
.
2
x
 
Vậy biểu thức có nghĩa khi .
2
x 
Ví dụ mẫu
Ví dụ: Tìm để các biểu thức sau có nghĩa:
x
a) . b) .
1
x
x  2
2 1
1
x
x


c) . d) .
2
2
2 1
x
x x
  2
1
x
x 
Hướng dẫn giải
a) có nghĩa khi .
1
x
x 
1 0 1
x x
   
Vậy biểu thức có nghĩa khi .
1
x 
b) có nghĩa khi .
2
2 1
1
x
x


2
1 0 1 1
x x
     
Vậy biểu thức có nghĩa khi .
1 1
x
  

10. Trang 9
c) có nghĩa khi .
2
2
2 1
x
x x
 
 
2
2
2 1 0 1 0
x x x
     
Mà nên .
 
2
1 0
x x
    
2
1 0 1
x x
   
Vậy biểu thức có nghĩa khi .
1
x 
d) có nghĩa khi .
2
1
x
x 
2
1 0
x  
Mà nên .
2
0
x x
  2 2
1 1, 1 0
x x x x
      
Vậy biểu thức có nghĩa với mọi .
x
Bài toán 3: Biểu thức chứa nhiều căn bậc hai và có mẫu thức
Phương pháp giải
Ví dụ: Tìm để biểu thức sau có nghĩa:
x
a) .
1 1
A x x
   
b) .
2
2 4 1
3
x x
B
x x
  


Hướng dẫn giải
Tìm tất cả các điều kiện của biểu thức chứa căn và
mẫu thức sau đó kết hợp lại.
Chú ý:
Biểu thức có nghĩa khi .
 A 0
A 
Biểu thức có nghĩa khi .

B
A
0
A 
Biểu thức có nghĩa khi .

B
A
0
A 
a) có nghĩa khi:
A
.
1 0 1
1 1
1 0 1
x x
x
x x
  
 
    
 
   
 
Vậy biểu thức có nghĩa khi .
A 1 1
x
  
b) có nghĩa khi:
B
.
 
2
2
2 4
2 4 0 2
0
3 0 3
3 0
3
x
x
x x
x
x x x
x x
x



   
 
 
   
   
  
   
   

Vậy biểu thức có nghĩa khi .
B 2; 3
x x
 
Ví dụ mẫu
Ví dụ: Tìm để các biểu thức sau có nghĩa:
x
a) . b) .
2
1
x
A
x



1 3 6
B x x
   
c) . d) .
 
2
2 1
x
C
x x

 
2
2
1
x
D x
x

  

Hướng dẫn giải
a) có nghĩa khi: .
A
2 0 2
1 2
1 0 1
x x
x
x x
  
 
   
 
  
 
Trang 10
Vậy biểu thức có nghĩa khi .
A 1 2
x
 
b) có nghĩa khi: .
B
1 0 1
2
3 6 0 2
x x
x
x x
  
 
  
 
  
 
Vậy biểu thức có nghĩa khi .
B 2
x 
c) có nghĩa khi: .
C
1 0 1
1
2 0 2
x x
x
x x
  
 
  
 
   
 
Vậy biểu thức có nghĩa khi .
C 1
x 
d) có nghĩa khi: .
D
2 0 2
2 2
2 0 2
1
1 0 1
x x
x
x x
x
x x
  
 
  

 
     
  


 
  
 
Vậy biểu thức có nghĩa khi .
D
2 2
1
x
x
  




Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức sau:
a) . b) .
6 x
 2
1 x

c) . d) .
 
2
2 1
x   
2
2
1
x
 
Câu 2: Tìm để các biểu thức sau có nghĩa:
x
a) . b) .
2
x
x 
2
2
2 1
9
x
x


c) . d) .
2
2
3
4 4 1
x x
x x
 
  2
9
x
x 
Câu 3: Tìm để các biểu thức sau có nghĩa:
x
a) . b) .
3
4
x
A
x



1 2
B x x
   
c) . d) .
 
2
1
2 1
x
C
x x


 
1
1
x
D x
x

  
Dạng 3: Rút gọn biểu thức dạng 2
A
Bài toán 1: Rút gọn biểu thức dạng với là một số có chứa căn bậc hai số học
2
A A
Phương pháp giải
Ví dụ: Tính giá trị biểu thức:
.
6 2 5 6 2 5
P    
Hướng dẫn giải
Đưa biểu thức trong căn bậc hai về dạng bình
phương của một tổng hoặc một hiệu, sau đó áp
6 2 5 6 2 5
P    

11. Trang 11
dụng hằng đẳng thức .
2
A A
 5 2 5 1 5 2 5 1
     
   
2 2
5 1 5 1
   
5 1 5 1
   
5 1 5 1
   
.
2
 
Vậy .
2
P  
Ví dụ mẫu
Ví dụ: Tính giá trị biểu thức:
a) . b) .
 
2
1 2
A   5 2 6
B  
c) . d) .
9 4 5
C  
2 3
2
D


Hướng dẫn giải
a) Ta có .
 
2
1 2 1 2 2 1
A      
Vậy .
2 1
A  
b) Ta có .
 
2
5 2 6 2 2. 2. 3 3 2 3 2 3 2 3
B           
Vậy .
2 3
B  
c) Ta có .
 
2
9 4 5 4 2.2. 5 5 2 5 2 5 5 2
C           
Vậy .
5 2
C  
d) Ta có .
2 3
2
D


 
2
3 1
2 2 3 4 2 3 3 1
2 2 2
2 2

  
   
Vậy .
3 1
2
D


Bài toán 2: Rút gọn biểu thức dạng với là một biểu thức chứa biến
2
A A
Phương pháp giải
Ví dụ: Rút gọn biểu thức:
.
2
6 9
P x x
  
Hướng dẫn giải
Đưa biểu thức trong căn bậc hai về dạng bình 2
6 9
P x x
  
Trang 12
phương của một tổng hay bình phương của một
hiệu.
2 3
2.3. 3
x x
  
 
2
3
x
 
.
3
x
 
Chú ý: Với là một biểu thức, ta có ,
A 2
A A

có nghĩa là:
nếu (tức là lấy giá trị không
 2
A A
 0
A  A
âm).
nếu (tức là lấy giá trị âm).
 2
A A
  0
A  A
Nếu thì .
3
x  3
P x
 
Nếu thì .
3
x  3
P x
 
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:
a) .
 
2
2
2
A x
 
b) .
2 1
4
B x x
  
c) .
4 2
4 4
C x x x
   
Hướng dẫn giải
a) Ta có .
 
2
2
2
A x
  2 2
2 2
x x
   
b) Ta có .
2 1
4
B x x
  
2 2
2 1 1 1 1
2 .
2 2 2 2
x x x x
   
      
   
   
Nếu thì .

1
2
x 
1
2
B x
 
Nếu thì .

1
2
x 
1
2
B x
 
c) Ta có 4 2
4 4
C x x x
    4 2 2
2.2 2
x x x
   
.
   
2 2
2 2
2 2
x x x x
     
Nếu thì .
 2
x  2
2
C x x
  
Nếu thì .
 2
x  2
2
C x x
  
Ví dụ 2: Cho biểu thức: 2
3 1 4 12 9
P x x x
    
a) Rút gọn biểu thức .
P
b) Tính giá trị của khi .
P 1
x 

12. Trang 13
c) Tính giá trị của khi .
P 2
x 
Hướng dẫn giải
a) Ta có 2
3 1 4 12 9
P x x x
    
 
2 2
3 1 2 2.2 .3 3
x x x
    
 
2
3 1 2 3
x x
   
3 1 2 3
x x
   
Nếu thì .

3
2
x  3 1 2 3 5 4
P x x x
     
Nếu thì .

3
2
x  3 1 2 3 2
P x x x
     
b) Khi thì thay vào biểu thức ta được .
3
1
2
x   1
x  2
P x
  1 2 3
P   
Vậy khi .
3
P  1
x 
c) Khi thì thay vào biểu thức ta được .
3
2
2
x   2
x  5 4
P x
  5.2 4 6
P   
Vậy khi .
6
P  2
x 
Bài toán 3: Giải phương trình chứa biểu thức với là một biểu thức chứa biến
2
A A
Phương pháp giải
Ví dụ: Tìm biết .
x 2
2 1 2 5
x x x
   
Hướng dẫn giải
Đưa biểu thức trong căn bậc hai về dạng bình
phương của một tổng hay bình phương của một
hiệu rồi áp dụng hằng đẳng thức .
2
A A

Ta có 2
2 1 2 5
x x x
   
 
2
1 2 5
x x
   
(1)
1 2 5
x x
   
Chia 2 trường hợp tìm thỏa mãn.
x Nếu thì . Khi đó (1) trở thành:
 1
x  1 1
x x
  
1 2 5 3 6 2
x x x x
      
(thỏa mãn điều kiện )
1
x 
Nếu thì . Khi đó (1) trở thành:
 1
x  1 1
x x
  
1 2 5 4
x x x
    
(không thỏa mãn điều kiện )
1
x 
Vậy .
2
x 
Ví dụ mẫu
Trang 14
Ví dụ 1: Tìm , biết .
x 2
3 4 12 9 4
x x x
   
Hướng dẫn giải
Ta có 2
3 4 12 9 4
x x x
   
 
2 2
3 2 2.2 .3 3 4
x x x
    
 
2
3 2 3 4
x x
   
. (1)
3 2 3 4
x x
   
Nếu thì (1) trở thành

3
2
x  3 2 3 4
x x
  
5 3 4
x
  
5 7
x
 
(không thỏa mãn điều kiện ).
7
5
x
 
3
2
x 
Nếu thì (1) trở thành

3
2
x  3 2 3 4
x x
  
3 4
x
  
(thỏa mãn điều kiện ).
1
x
 
3
2
x 
Vậy .
1
x 
Ví dụ 2: Cho biểu thức .
2
2 6 9 3
Q x x x
    
a) Rút gọn .
Q
b) Tìm biết .
x 7
Q 
Hướng dẫn giải
a) Ta có 2
2 6 9 3
Q x x x
    
 
2
2 3 3
Q x x
    
.
2 3 3
Q x x
    
Nếu thì .
 3
x  2 3 3 3
Q x x x
    
Nếu thì .
 3
x  2 3 3 6
Q x x x
     
b) Ta xét hai trường hợp:
Nếu thì (không thỏa mãn điều kiện ).
 3
x 
7
3 7
3
x x
   3
x 
Nếu thì (thỏa mãn điều kiện ).
 3
x  6 7 1
x x
    3
x 
Vậy thì .
1
x  7
Q 
Bài tập tự luyện dạng 3

13. Trang 15
Câu 1: Tính giá trị biểu thức:
a) . b) .
 
2
3 2
A   6 2 5
B  
c) . d) .
9 4 5
C  
3 5
2
D


Câu 2: Rút gọn biểu thức:
a) . b) .
 
2
2
1
A x
  2
2 1
B x x
  
Câu 3: Cho biểu thức .
2
5 7 4 4
P x x x
    
a) Rút gọn biểu thức .
P
b) Tính giá trị của khi .
P 1
x 
c) Tính giá trị của khi .
P 3
x 
Câu 4: Tìm , biết .
x 2
3 4 4 1 4
x x x
   
Câu 5. Giải các phương trình sau:
a) . b) .
 
2
3 11 6 2
x    2
10 25 27 10 2
x x
   
c) . d) .
2
4 4 27 10 3
x x
   2
2 5 16 4 5
x x
  
e) .
2
4 3 1 4 3
x x
  
Câu 6. Rút gọn các biểu thức sau:
a) .
8 2 10 2 5 8 2 10 2 5
A      
b) .
7 5 7 5
3 2 2
7 2 11
B
  
  

c) .
2 2 2 2 1 1
C     
d) .
1 2 27 2 38 5 3 2
3 2 4
D
   


Câu 7. Cho .
2
4 4 4 4
8 16
1
x x x x
P
x x
    

 
a) Tìm điều kiện của để có nghĩa.
x P
b) Tìm số nguyên để là số nguyên.
x P
Trang 16
ĐÁP ÁN - BÀI 2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC 2
A A

Dạng 1: Giải phương trình, bất phương trình
Câu 1.
a) Ta có . Vậy tập nghiệm của phương trình là .
2 3
9
3
x
x
x


    

 
3;3
S  
b) Ta có . Vậy .
2 2
2 2 0 0
x x x
       
0
S 
c) Ta có . Vậy .
2 2
3
3 2
4 3
4 3
2
x
x x
x




   

 


3 3
;
2 2
S
 
 
 
 
 
 
d) Ta có phương trình vô nghiệm. Vậy .
2
1
x   S  
Câu 2.
a) Ta có . Vậy .
5
3 1 2 3 1 4
3
x x x
      
5
3
S
 
  
 
b) Ta có . Vậy .
2 2 2
1 1 1 1 0 0
x x x x
          
0
S 
c) Ta có . Vậy .
3 4 3 9 4 3 3 4 3 9 4 12 3
x x x x x
             
3
S 
d) Ta có phương trình vô nghiệm. Vậy .
2
3 1 2
x    S  
Câu 3.
a) Ta có . Vậy nghiệm của bất phương trình là .
2
5 5 5
x x
     5 5
x
  
b) Ta có . Vậy nghiệm của bất phương trình là hoặc .
2 2 1
5 4 1
1
x
x x
x


       

1
x  1
x  
c) Ta có .
 
2 3 4 7
3 16
3 4 1
x x
x
x x
  
 
   
 
    
 
Vậy nghiệm của bất phương trình là hoặc .
7
x  1
x  
d) Ta có  
2
2 2
4 2 0 4 4 2 0 2 2
x x x x x
           2 2 2 2 2 2 2
x x
         
.
Vậy nghiệm của bất phương trình là .
2 2 2 2
x
   
Câu 4.
a) Điều kiện . Ta có .
0
x  2 4
x x
  
b) Điều kiện . Ta có .
1
x   1 2 1 4 3
x x x
      
Kết hợp điều kiện ta được .
1 3
x
  
Vậy nghiệm của bất phương trình là .
1 3
x
  

14. Trang 17
c) Điều kiện . Ta có .
1
2
x  2 1 3 2 1 9 5
x x x
      
Kết hợp điều kiện ta được . Vậy nghiệm của bất phương trình là .
1
5
2
x
 
1
5
2
x
 
d) Ta có và nên bất phương trình vô nghiệm. Vậy bất phương trình vô nghiệm.
2
3 1 1 0
x    1 0
 
Dạng 2: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa
A
Câu 1.
a) Điều kiện .
6 0 6
x x
   
b) Điều kiện .
2 2
1 0 1 1 1
x x x
       
c) Ta có do đó với mọi biểu thức luôn có nghĩa.
 
2
2 1 0
x x
   x
d) Ta có do đó không có để biểu
   
2 2
2 2 2 2
0 1 1 1 1 1 0
x x x x x x x x
                 x
thức xác định.
Câu 2.
a) Điều kiện .
2 0 2
x x
   
b) Điều kiện .
2 2
9 0 9 3 3
x x x
       
c) Điều kiện . Mà nên .
 
2
2
4 4 1 0 2 1 0
x x x
       
2
2 1 0
x x
   2 1
4 4 1 0
2
x x x
    
d) Với mọi .
x
Câu 3.
a) . b) .
x 1 2
x
 
c) . d) .
1; 2
x x
  1 1; 0
x x
   
Dạng 3: Rút gọn biểu thức dạng 2
A
Câu 1.
a) . b) .
3 2
A   5 1
B  
c) . d) .
2 5
C  
5 1
2
D


Câu 2.
a) . b) .
2 2
1 1
A x x
    1
B x
 
Câu 3.
a) . b) khi .
5 7 2
P x x
    1
P   1
x 
c) khi .
9
P  3
x 
Câu 4.
Trang 18
2
3 4 4 1 4
x x x
   
 
2
3 2 1 4
x x
   
3 2 1 4
x x
   
4
2 1 4 3
3
x x x
 
    
 
 
2 1 4 3
2 1 3 4
x x
x x
  

    

1 (thoa man dieu kien)
3 (khong thoa man dieu kien)
x
x


  

Vậy .
1
x 
Câu 5.
a) .
     
2
2 2
3 11 6 2 3 3 2
x x
      
3 3 2 6 2
3 3 2 2
x x
x x
 
    
 
 
     
 
 
b) 2
10 25 27 10 2
x x
       
2
2 5 5 2
5 5 2 5 5 2
5 5 2
x
x x
x
   
         
   


.
10 2
2
x
x
  
 



c) 2
4 4 27 10 3
x x
      
2
2
2
4 4 1 28 10 3 2 1 5 3 2 1 5 3
x x x x
            
.
4 3
2 1 5 3 2 4 3 2
2 1 5 3 2 6 3 6 3
2
x
x x
x x
x
 


 
    

  
 

        
 
  


d) 2
2 5 16 4 5
x x
      
2 2
2
2 5 5 21 4 5 5 2 5 1
x x x
        
.
5 2 5 1 5 1
5 2 5 1
5 2 5 1 3 5 1
x x
x
x x
 
    
     
 
      
 
 
e) 2
4 3 1 4 3
x x
          
2 2 2 2
2
4 3 2 3 1 4 3 2 3 2 3 2 3 1
x x x
         
.
1
2 3 2 3 1
2 3 2 3 1
4 3 1
2 3 2 3 1
x
x
x
x
x
  

  
     
 
  
   
 

Câu 6.
a) .
8 2 10 2 5 8 2 10 2 5
A      

15. Trang 19
8 2 10 2 5 8 2 10 2 5
A      
    
2
16 2 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 16 2 64 4 10 2 5
A
          
   
2
16 2 24 8 5 16 2 2 5 2 12 4 5 10 2
         
(do ).
10 2
A
   0
A 
b) .
7 5 7 5
3 2 2
7 2 11
B
  
  

Ta có và .
2
7 5 7 5 14 2 44
2
7 2 11
7 2 11
 
   
   
  

 
 
2
3 2 2 2 1 2 1
    
Vậy .
 
2 2 1 1
B    
c) .
 
2
2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
C            
d)
1 2 27 2 38 5 3 2
3 2 4
D
   


  
5 3 2 2 5 3 2 3 2 4 3 2 4 5 3 2
3 2 4
       


.
 
2
5 3 2 3 2 4 5 3 2
3 2 4
1
3 2 4 3 2 4
    

  
 
Cách khác:
Ta có
  
  
2
3 2 4 2 27 2 38 3 2 4
1 2 27 2 38 3 2 4 2 4 6 2
2
3 2 4 3 2 4 3 2 4
D
   
    
  
  
(1)
3 2 2 2
2
 

(2)
  
5 3 2 3 2 4
5 3 2 2 3 2
2 2
3 2 4
 
 
 

Do vậy .
1 2 27 2 38 5 3 2
3 2 4
D
   


3 2 2 2 3 2 2
1
2 2
  
  
Câu 7.
Trang 20
a) có nghĩa khi và chỉ khi .
P
 
 
2
2
2
2
4
4 0
4 2 0
4 4 0 4
4
4
4 4 0 4 2 0 1 0
8 16
1 0 4
1 0
x
x
x
x x x
x
x x x
x
x x
x


 
 
    
   

 
  
   
  
       
  

 
    
   
  
 

b) Ta có =
2
4 4 4 4
8 16
1
x x x x
P
x x
    

  2
4 4 4 4 4 4 4 4
8 16
1
x x x x
x x
        
 
.
   
2 2
2
4 2 4 2 4 2 4 2
4
4 1
1
x x x x
x
x
         
 
  

 
 
Trường hợp 1: Với ta có .
8
x 
2 8
2 4
4 4
x
P x
x x
   
 
Để là số nguyên thì so sánh điều kiện ta được
P    
4 1;2;4;8 5;8;20;68
x x
    8
x 
.
 
8;20;68
x
Trường hợp 2: Với ta có .
4 8
x
 
4 16
4
4 4
x
P
x x
  
 
Để là số nguyên thì so sánh điều kiện ta được
P      
4 1;2;4;8;16 5;6;8;12;20
x x
    4 8
x
 
.
 
5;6
x
Vậy .
 
5;6;8;20;68
x

16. Trang 1
CHUYÊN ĐỀ
BÀI 3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được định lí với a và b là hai số không âm.
. . ,
a b a b

+ Hiểu được cách áp dụng khai phương của một tích.
+ Hiểu được cách nhân các căn bậc hai các số không âm.
 Kĩ năng
+ Biết cách khai phương của một tích.
+ Biết cách nhân các căn bậc hai.
+ Giải được các bài toán thực hiện phép tính gồm nhiều căn bậc hai.
+ Biết cách rút gọn và tính giá trị biểu thức.
+ Giải được phương trình chứa căn bậc hai.
+ Chứng minh được các đẳng thức chứa căn bậc hai.
Trang 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định lí
Với hai số a và b không âm, ta có . . .
a b a b

Khai phương của một tích
Muốn khai phương một tích của các số không âm,
ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết
quả với nhau.
Nhân các căn bậc hai
Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta
có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai
phương kết quả đó.
Chú ý: Với hai biểu thức A và B không âm, ta có
và ngược lại Đặc
. .
A B A B
 . . .
A B A B

biệt, khi ta có:
0,
A   
2
2
.
A A A
 
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
a, b là hai số không âm
A, B LÀ CÁC BIỂU THỨC KHÔNG ÂM
. .
a b a b

Đặc biệt
Mở rộng
 
2
a a

2
a a

1 2 1 2
. ..... . ......
n n
a a a a a a

Với là các số không âm.
1 2 3
, , ,...., n
a a a a
. .
A B A B

Đặc biệt
Mở rộng
2
A A

 
2
A A

1 2 1 2
. ..... . ......
n n
A A A A A A

Với là các biểu thức
1 2 3
, , ,...., n
A A A A
không âm.

17. Trang 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Khai phương một tích
Bài toán 1. Khai phương một tích các số không âm
Phương pháp giải
Dựa vào quy tắc khai phương của một tích:
Với hai số a và b không âm, ta có
. . .
a b a b

Đưa các tích trong căn về dạng số chính phương
(bình phương của một số) sau đó dựa vào quy tắc
khai phương của một tích.
Ví dụ: Tính
a) b)
9.4. 14,4.160.
Hướng dẫn giải
a) Ta có 9.4 9. 4 3.2 6.
  
b) Ta có 14,4.160 144.16

144. 16

12.4

48.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tính
a) b)
12,1.90. 2500.6,4.0,9.
Hướng dẫn giải
a) Ta có 12,1.90 121.9 121. 9 11.3 33.
   
b) Ta có 2500.6,4.0,9 25.64.9 25. 64. 9 5.8.3 120.
   
Ví dụ 2. Tính
a) b)
2 2
61 60 .
 64.6,25 64.2,25.

Hướng dẫn giải
a) Ta có   
2 2
61 60 61 60 61 60 1.121 1.11 11.
      
b) Ta có  
64.6,25 64.2,25 64. 6,25 2,25
  
64.4

64. 4

8.2

16.

Bài toán 2. Khai phương một tích các biểu thức
Phương pháp giải
Biểu thức có nghĩa khi
A 0.
A 
Ví dụ: Cho các biểu thức và
 
. 1
M x x
 
1.
N x x
 
a) Tìm x để biểu thức M có nghĩa; N có nghĩa.
b) Với giá trị nào của x thì .
M N

Trang 4
Đẳng thức đúng khi hai biểu thức
. .
A B A B

A và B không âm.
Hướng dẫn giải
a) M có nghĩa khi  
. 1 0.
x x  
Trường hợp 1:
0 0
1.
1 0 1
x x
x
x x
 
 
  
 
  
 
Trường hợp 2:
0 0
0.
1 0 1
x x
x
x x
 
 
  
 
  
 
Vậy M có nghĩa khi hoặc
0
x  1.
x 
N có nghĩa khi
0 0
1.
1 0 1
x x
x
x x
 
 
  
 
  
 
Vậy N có nghĩa khi 1.
x 
b) Để M và N đồng thời có nghĩa thì Khi đó
1.
x 
x và là các biểu thức không âm nên
1
x
 
. 1 . 1 .
x x x x M N
    
Vậy để thì
M N
 1.
x 
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Với giá trị nào của x thì    
1 . 2 1. 2 ?
x x x x
    
Hướng dẫn giải
Để đẳng thức có nghĩa thì
   
1 . 2 0
1 0 1
1 0 2.
2 0 2
2 0
x x
x x
x x
x x
x
  

  
 

     
  
  
 
  

Khi thì biểu thức và đều không âm nên
2
x  1
x  2
x 
   
1 . 2 1. 2.
x x x x
    
Vậy với thì
2
x     
1 . 2 1. 2.
x x x x
    
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Tính
a) b)
14,4.90. 250.0,9.
Câu 2: Tính
a) b)
2 2
45 36 .
 81.10,25 81.1,25.

Câu 3: Với giá trị nào của x thì    
2 . 3 2. 3?
x x x x
    

18. Trang 5
Dạng 2: Nhân các căn bậc hai
Bài toán 1: Nhân các căn bậc hai
Phương pháp giải
Dựa vào quy tắc nhân các căn bậc hai:
Với hai số a và b không âm, ta có
. . .
a b a b

Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai mở rộng:
1 2 1 2
. ... . ...
n n
a a a a a a

Với là các số không âm.
1 2
, ,..., n
a a a
Ví dụ. Tính
a) b)
90. 10. 20. 3. 15.
Hướng dẫn giải
a) 90. 10 90.10 900 30.
  
b) 20. 3. 15 20.3.15 900 30.
  
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Tính
a) b)
72. 50. 12,8.1,8.
Hướng dẫn giải
a) Ta có 72. 50
72.50
 36.2.50

36.100 36. 100
 
6.10
 60.

b) Ta có 12,8.1,8 64.0,2.1,8 64.0,36
 
64. 0,36 8.0,6
 
4,8.

Bài toán 2. Nhân phân phối nhiều căn bậc hai
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất phân phối giữa phép nhân với
phép cộng sau đó áp dụng tính chất: Với hai số a và
b không âm, ta có
. .
a b ab

Ví dụ. Tính
a)  
20 5 45 . 5.
 
b)    
3 2 . 3 2 .
 
Hướng dẫn giải
a) Ta có  
20 5 45 . 5
 
20. 5 5. 5 45. 5
  
20.5 5.5 45.5
  
Trang 6
Áp dụng các hằng đẳng thức và tính chất:
Với số không âm a, ta có:
 
2
.
a a

100 25 225
  
10 5 15
  
0.

b) Ta có    
3 2 . 3 2
 
   
2 2
3 2
 
3 2
 
1.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tính
a)    
12 3 . 27 3 .
 
b)    
5 1 . 5 2 .
 
c)   
5 2 1 5 1 .
  
Hướng dẫn giải
a) Ta có    
12 3 . 27 3
 
   
12. 27 3 3. 27 3
   
12.27 12.3 3.27 3.3
   
4.81 4.9 81 9
   
2.9 2.3 9 3
   
18.

b) Ta có    
5 1 . 5 2
 
   
5. 5 2 1. 5 2
   
5. 5 2. 5 5 2
   
5 2. 5 5 2
   
3 5.
 
c) Ta có   
5 2 1 5 1
  
     
5. 5 1 2. 5 1 1. 5 1
     
5 5 10 2 5 1
     
4 10 2.
  
Ví dụ 2. Tính

19. Trang 7
a) b)
 
2
7 2 .
  
2
7 6 .

c) d)
   
5 3 . 5 3 .
     
3 7 . 3 7 .
 
Hướng dẫn giải
a) Ta có      
2 2 2
7 2 7 2. 7. 2 2 7 2 14 2 9 2 14.
        
b) Ta có      
2 2 2
7 6 7 2 7. 6 6 7 2. 42 6 13 2 42.
        
c) Ta có        
2 2
5 3 . 5 3 5 3 5 3 2.
      
d) Ta có      
2
2
3 7 . 3 7 3 7 9 7 2.
      
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Tính
a) b)
18. 8. 12,8.80.
c) d)
 
12. 12 3 .
    
3 1 . 3 2 .
 
Câu 2: Tính
a) b)
 
2
5 2 .
  
2
11 6 .

c) d)
   
7 3 . 7 3 .
     
3 2 . 3 2 .
 
Câu 3: Rút gọn
a)      
3 5 . 10 2 . 3 5 .
  
b)   
4 15 10 6 4 15.
  
c)  
2 4 6 2 5 10 2 .
 
  
 
 
Dạng 3: Rút gọn biểu thức
Phương pháp giải
Trước hết tìm điều kiện của biến để biểu thức có
nghĩa (nếu cần).
Ví dụ. Rút gọn biểu thức:
a) với
2
. 6
3
x
x 0.
x 
b) 3 9
2 . .
8
x
x
Hướng dẫn giải
a) Ta có
2
. 6
3
x
x
Trang 8
Áp dụng quy tắc:
+) Khai phương của một tích.
+) Nhân các căn bậc hai.
+) Hằng đẳng thức.
2
2 12
.6
3 3
x x
x
 
2 2
4 4.
x x
 
2 x

(vì ).
2x
 0
x 
b) Điều kiện xác định: 0.
x 
Ta có
2
3 2
9 9 9 3
2 . .
8 4 4 2
x
x x x
x
  
3
khi 0
2
.
3
khi 0
2
x x
x x




 

 


Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức
a) với b) với
7
7 .
x
x
0.
x 
3
1
.
9
y
y


0.
y 
c) với
5
1
. 8
2
x
x

 0.
x 
Hướng dẫn giải
a) Ta có
7 7
7 . 7 . 49 7.
x x
x x
  
b) Ta có vì
3 3 2
1 1
. .
9 9 9 3 3
y
y y y y
y y
  
   
 
0.
y 
c) Ta có 5 5 4 2
1 1
. 8 .8 4 2 .
2 2
x x x x
x x

   
Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức
a) 3 2
8 . .
x
x
b)  
4 2
4 4 4 .
x y y
 
c)  
2
4 2
16 . 2 1 .
x x x
 
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện xác định 0.
x 
Ta có 3 2 4 khi 0
2
8 . 16 4 .
4 khi 0
x x
x x x
x x
x


   
 


20. Trang 9
b) Ta có
   
 
 
2
2
4 2 4 2
2
2 2 khi 2
4 4 4 4 . 2 2 . 2 .
2 2 khi 2
x y y
x y y x y x y
x y y
  

       
 


c) Ta có        
2 2 2
4 2 2 2 2 2
16 . 2 1 4 2 1 4 1 4 1 .
x x x x x x x x x x
        
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Rút gọn biểu thức
a) với b) với
1
.
x
x
0.
x 
5
1
.
4
y
y


0.
y 
c) với d) với
7
1
. 12
3
x
x

 0.
x 
2
6
27
.
3
x
x
0.
x 
Câu 2: Rút gọn biểu thức
a) 3 4
. .
x
x
b)  
4 2
4 6 9 .
x y y
 
c)
2
4 2 1
16 . .
4
x x x
 
 
 
 
Câu 3: Rút gọn biểu thức với
 
2 2
. 6 9
P x x x
   0 3.
x
 
Dạng 4: Biến đổi một biểu thức về dạng tích
Phương pháp giải
Vận dụng linh hoạt các cách sau:
+) Đặt nhân tử chung.
+) Nhóm các hạng tử.
+) Dùng các hằng đẳng thức.
Ví dụ. Phân tích thành nhân tử
a) 5 5.

b) .
x y y x

Hướng dẫn giải
a) Ta có    
2
5 5 5 5 5. 5 1 .
    
b) Điều kiện xác định: 0; 0.
x y
 
Ta có x y y x

   
2 2
x y y x
 
 .
x y x y
 
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Phân tích thành nhân tử
a) b)
2 . .
x x y y
  4 4 .
x x y y
 
Trang 10
c) d)
.
x x y y
 2
4 2 2.
x x
  
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện xác định: 0, 0.
x y
 
Ta có 2 .
x x y y
 
 
2
2
2
x x y y
  
 
2
.
x y
 
b) Điều kiện xác định: 0, 0.
x y
 
Ta có 4 4
x x y y
 
 
2
2
4 2
x x y y
  
 
2
2 .
x y
 
c) Điều kiện xác định: 0, 0.
x y
 
Ta có x x y y

   
3 3
x y
 
   
. . .
x y x x y y
   
d) Điều kiện xác định: 2.
x 
Ta có 2
4 2 2
x x
  
  
2 2 2 2
x x x
    
 
2 2 2 .
x x
   
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Phân tích thành nhân tử
a) b)
.
x x xy y
   4 3 12.
xy x y
  
Câu 2: Phân tích thành nhân tử
a) b)
4 12 . 9 .
x x y y
  .
4
x
x y y
 
c) d)
8 27 .
x x y y
 2
9 3 3.
x x
  
Câu 3: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: Tính giá trị của biểu thức:
4.
x y z xyz
   
        
4 4 4 4 4 4 .
P x y z y z x z x y xyz
         

21. Trang 11
Dạng 5: Giải phương trình
Bài toán 1. Áp dụng hằng đẳng thức
Phương pháp giải
Áp dụng các hằng đẳng thức
(với )
 
2
2
;
A A A A
  0
A 
Ví dụ. Giải phương trình:  
2
25 1 15.
x  
Hướng dẫn giải
Ta có  
2
25 1 15
x  
5 1 15
x
  
1 3
x
  
1 3
1 3
x
x
 

    

4
.
2
x
x


   

Vậy phương trình có nghiệm: 4;
x  2.
x  
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải phương trình
a) b)
 
 
2
1 4.
x  
 
2
3 2 1 9.
x
c) d)
 
 
2
9 5 6.
x  
  
2
3 1 9.
x
Hướng dẫn giải
a) Ta có  
 
  
      
 
    
 
2 1 4 5
1 4 1 4 .
1 4 3
x x
x x
x x
Vậy phương trình có nghiệm:   
3; 5.
x x
b) Ta có  
 
2
3 2 1 9
x
 
  
   
        
  
      
  
2 2 1 3 2 2 1
2 1 3 2 1 3 .
2 1 3 2 4 2
x x x
x x
x x x
Vậy phương trình có nghiệm:   
2; 1.
x x
c) Ta có  
 
  
         
 
   
 
2 5 2 7
9 5 6 3 5 6 5 2 .
5 2 3
x x
x x x
x x
Vậy phương trình có nghiệm:  
3; 7.
x x
d) Ta có    
      
2 2
3 1 9 1 3.
x x
Vì nên phương trình vô nghiệm.
 
3 0
Trang 12
Bài toán 2. Đặt nhân tử chung
Phương pháp giải
- Tìm điều kiện xác định để biểu thức có nghĩa.
- Phân tích biểu thức trong căn thành nhân tử hoặc
đưa các thừa số ra ngoài dấu căn để được nhân tử
chung.
Ví dụ. Giải phương trình:
a)   
2
1 2 1.
x x
b)    
     
1 4 1 9 1 6.
x x x
Hướng dẫn giải
a)   
2
1 2 1.
x x
Điều kiện xác định:
 
  
 
  
 
  
 
 
2 2
1 0 1
1.
1 0 1
x x
x
x x
Khi đó:   
2
1 2 1
x x
  
     
1 1 2 1 0
x x x
 
    
1. 1 2 0
x x
  
 
  

1 0
1 2
x
x
  
 
 

1 0
1 4
x
x
(thoả mãn điều kiện).
 
 


1
3
x
x
Vậy phương trình có nghiệm  
1; 3.
x x
b)    
     
1 4 1 9 1 6
x x x
Điều kiện xác định: 1.
x
Ta có    
     
1 4 1 9 1 6
x x x
      
1 2. 1 3. 1 6
x x x
  
6. 1 6
x
  
1 1
x
  
1 1
x
(thỏa mãn điều kiện).
  2
x
Vậy phương trình có nghiệm  2.
x
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Giải phương trình

22. Trang 13
a)  
  
2
1 4 1.
x x
b)     
2
9 3 2 1 0.
x x x
c)      
     
1 1 7
9 5 4 5 25 5 2.
3 2 5
x x x
d)  
9
6.
x
x
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện xác định: 1.
x
Ta có  
  
2
1 4 1
x x
 
    
2
1 4 1 0
x x
 
    
1 1 4 0
x x
  
 
   

1 0
1 4 0
x
x
  
 
 

1 0
1 16
x
x
(thoả mãn điều kiện).
 
 


1
17
x
x
Vậy phương trình có nghiệm  
1; 17.
x x
b) Điều kiện xác định:

 
  
 
     
 
 
  
  

2 2
9 0 9
3 0 3 3.
2 1 0 1
2
x x
x x x
x
x
Ta có     
2
9 3 2 1 0
x x x
      
3. 3 3. 2 1 0
x x x x
 
     
3. 3 2 1 0
x x x
  
 
    

3 0
3 2 1 0
x
x x
  
 
   

3 0
3 2 1
x
x x
  
 
  

3 0
3 2 1
x
x x
Trang 14
  
 
  

3 0
3 2 1
x
x x
 
 


3
.
2
x
x
Kết hợp với điều kiện ta có là nghiệm của phương trình.
 3
x
c) Điều kiện xác định:  5.
x
Ta có      
     
1 1 7
9 5 4 5 25 5 2
3 2 5
x x x
      
1 1 7
.3 5 .2. 5 .5. 5 2
3 2 5
x x x
      
5 5 7. 5 2
x x x
   
5. 5 2
x

  
2
5 .
5
x
Vì nên phương trình vô nghiệm.
 
2
0
5
Vậy phương trình vô nghiệm.
d) Điều kiện xác định:  0.
x
Ta có  
9
6
x
x
   
9
6 0
x
x
 
 
9 6
0
x x
x
 
  
2
3 0
x
  3
x
(thỏa mãn điều kiện).
  9
x
Vậy phương trình có nghiệm  9.
x
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1: Giải phương trình
a) b)
 
 
2
1 2.
x  
 
2
9 2 1 3.
x
c) d)
 
 
2
2 1 0.
x  
  
2
1 1.
x
Câu 2: Giải phương trình

23. Trang 15
a)  
  
2
2 2.
x x
b)     
2
1 1 2 1 0.
x x x
c)      
     
4
9 1 4 1 25 1 1.
5
x x x
d)  
16
8.
x
x
Câu 3: Giải phương trình:
       
2 3 2 5 2 2 5 2 2.
x x x x
Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp giải
Ta sử dụng các phương pháp sau:
+) Với thì
 
0; 0
a b   
2 2
.
a b a b
+) Sử dụng phép biến đổi tương đương.
Ví dụ. Cho chứng minh rằng:
 0,
a
  
1 1
a a
Hướng dẫn giải
Ta có   
1 1
a a
 
   
2
2
1 1
a a
    
1 2 1
a a a
(luôn đúng)
  0
a
Dấu “=” xảy ra khi  0.
a
Vậy   
1 1
a a
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Chứng minh rằng: với a, b là hai số không âm (Bất đẳng thức Côsi với hai số không
  2
a b ab
âm).
Hướng dẫn giải
Ta có (luôn đúng với a, b là hai số không âm)
 
        
2
2 2 0 0
a b ab a b ab a b
Dấu “=” xảy ra khi  .
a b
Bài tập tự luyện dạng 6
Câu 1: Chứng minh rằng
a) với a, b, c là các số không âm.
    
a b c ab ba ca
b) với


1
2
x
x
 0.
x
Câu 2: Giải phương trình
Trang 16
       
4 3 2
2 1 17 2 8 17 8 22.
x x x x x x
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Khai phương một tích
Câu 1.
a) 36. b) 15.
Câu 2.
a) 27. b) 27.
Câu 3.
Với thì
3
x     
2 . 3 2. 3.
x x x x
    
Dạng 2. Nhân các căn bậc hai
Câu 1.
a) 12. b) 32. c) 18. d) 5 3 3.

Câu 2.
a) b) c) 4. d)7.
7 2 10.
 17 2 66.

Câu 3.
a)    
3 5 . 10 2 . 3 5
 
  
 
 
   
3 5 . 10 2 . 3 5
 
   
 
 
  
6 2 5 5 1 3 5
 
   
 
 
    
2
5 1 5 1 3 5
   
   
2
5 1 3 5
  
  
6 2 5 3 5
  
8.

b)   
4 15 10 6 4 15
  
  
4 15 5 3 8 15
   
   
4 15 5 3 5 3
   
  
2
4 15 5 3
  
  
4 15 8 2 15
  

24. Trang 17
2.

c)  
2 4 6 2 5 10 2
 
  
 
 
 
2 4 6 2 5 10 2
 
   
 
 
 
2 4 5 1 10 2
 
   
 
 
 
2 3 5 10 2
 
  
 
 
 
2 6 2 5 5 1
 
  
 
 
  
2 5 1 5 1
  
8.

Dạng 3. Rút gọn biểu thức
Câu 1.
a) 1. b) c) d)
2
.
2
y 3
2 .
x
 2
3
.
x
Câu 2.
a) b) c)
2. .
x 2
2 3 .
x y
 

 
 
2
2 1
4 .
2
x x
Câu 3.
Ta có    
2
2 2 2
. 6 9 . 3 . 3 .
P x x x x x x x
      
Vì nên
0
x  .
x x

Vì nên
0 3
x
  3 3 .
x x
  
Vậy  
3 .
P x x
 
Dạng 4. Biến đổi một biểu thức về dạng tích
Câu 1.
a) Điều kiện xác định: 0; 0.
x y
 
Ta có x x xy y
  
2
x x x y y
   
   
. 1 . 1
x x y x
   
   
. 1 .
x y x
  
b) Điều kiện xác định: 0; 0.
x y
 
Trang 18
Ta có 4 3 12
xy x y
  
. 4 3 12
x y x y
   
   
4 3 4
x y y
   
  
3 4 .
x y
  
Câu 2.
a) b)
 
2
2 3 .
x y

2
.
2
x
y
 

 
 
 
c) d)
  
2 3 4 6 . 9 .
x y x x y y
    
3. 3 3 .
x x
  
Câu 3.
Từ giả thiết:  
4 4 4 16.
x y z xyz x y z xyz
        
Ta có     
4 4 16 4
x y z x x y yz
 
     
 
   
4 4 4
x x y z xyz y z yz
 
      
 
 
2
2 .
x x yz
 
Từ đó suy ra:         
4 4 4 4 4 4 8.
x y z y x z z x y xyz
         
Dạng 5. Giải phương trình
Câu 1.
a) b)
1; 3.
x x
   1; 0.
x x
  
c) d) Vô nghiệm.
1.
x  
Câu 2.
a) b) c) d)
2; 3.
x x
  1.
x  2.
x  16.
x 
Câu 3.
Điều kiện Phương trình trở thành:
5
.
2
x 
2 4 6 2 5 2 4 2 2 5 4
x x x x
       
   
2 2
2 5 3 2 5 1 4
x x
      
2 5 3 2 5 1 4
x x
      
 
2 5 1 2 5 1
x x
      
2 5 1 0
x
   

25. Trang 19
2 5 1
x
  
5
3.
2
x
  
Dạng 6. Chứng minh bất đẳng thức
Câu 1.
a) Ta có a b c ab ba ca
    
2 2 2 2 2 2
a b c ab bc ca
     
2 2 2 0
a ab b b bc c c ca a
         
(luôn đúng với a, b, c là các số không âm)
     
2 2 2
0
a b b c c a
      
Dấu “=” xảy ra khi .
a b c
 
b) Ta có
1
2
x
x


1
2 0
x
x

  
2 1
0
x x
x
 
 
(luôn đúng với )
 
2
1
0
x
x

  0
x 
Dấu “=” xảy ra khi 1.
x 
Câu 2.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có:
    2 1 9 17 2 9
2 1 .9 17 2 .9
2 2
x x
x x
   
    
9. 2 1 9. 17 2 18 2 1 17 2 6
x x x x
         
Mặt khác:        
2 2
4 3 2 4 3 2 2 2
8 17 8 22 8 16 8 16 6 4 4 6 6
x x x x x x x x x x x x
                
Do vậy 4 3 2
2
2 1 9
17 2 9
2 1 17 2 8 17 8 22 4.
4 0
4 0
x
x
x x x x x x x
x x
x
  

 

          

 

  

Trang 1
CHUYÊN ĐỀ
BÀI 4. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được định lí với a là số không âm, b là số dương.
a a
b b

+ Hiểu được cách chia các căn bậc hai.
 Kĩ năng
+ Biết cách khai phương một thương.
+ Biết cách chia các căn bậc hai.
+ Giải các bài toán thực hiện phép tính gồm nhiều căn bậc hai.
+ Rút gọn và tính giá trị biểu thức.
+ Giải phương trình chứa căn bậc hai.
+ Chứng minh được các đẳng thức chứa căn bậc hai.

26. Trang 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định lí
Với số a không âm, số b dương ta có .
a a
b b

Khai phương của một thương
Muốn khai phương của một thương trong đó
,
a
b
và ta có thể lần lượt khai phương số a
0
a  0,
b 
và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả
thứ hai.
.
a a
b b

Chia các căn bậc hai
Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn
bậc hai của số b dương, ta có thể chia số a cho số b
rồi khai phương kết quả đó.
.
a a
b
b

Chú ý: Với hai biểu thức và , ta có
0
A 0
B 
.
A A
B B

Ví dụ:
25 25 5
.
16 4
16
 
Ví dụ:
27 27
9 3.
3
3
  
Ví dụ:
   
2
2
2 2 2
1
1 1
.
1 1 1
x
x x
x x x

 
 
  
Trang 3
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Khai phương một thương
Bài toán 1. Khai phương một thương các số dương
Phương pháp giải
Muốn khai phương một thương trong đó
,
a
b
0
a 
và ta có thể lần lượt khai phương số a và số
0,
b 
b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
.
a a
b b

Ví dụ: Tính
a) b)
9
.
4
3 3
: .
4 25
Hướng dẫn giải
a)
9 9 3
.
4 2
4
 
b)
3 3 3 25 25 25 5
: . .
4 25 4 3 4 2
4
   
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tính
a) b) c) d)
16
.
25
0,4
.
0,9
25 1
: .
4 4
25 9
: .
2 2
Hướng dẫn giải
a)
16 16 4
.
25 5
25
 
Hai biểu thức A; B
0; 0
A B
 
 
0; 0
a b
Khai phương một thương
a a
b b

A A
B B

Chia các căn bậc hai
a a
b
b

A A
B
B


27. Trang 4
b)
0,4 4 4 2
.
0,9 9 3
9
  
c)
25 1 25 4
: . 25 5.
4 4 4 1
  
d)
25 9 25 2 25 5
: . .
2 2 2 9 9 3
  
Ví dụ 2. Tính
a) b)
2 2
61 60
.
25

10,25: 64 1,25: 64.

Hướng dẫn giải
a)
  
2 2 61 60 61 60
61 60 1.121 121 11
.
25 25 25 25 5
 

   
b)
10,25 1,25 10,25 1,25 9 3
10,25: 64 1,25: 64 .
64 64 64 64 8

     
Bài toán 2. Khai phương một thương các biểu thức
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức sau
Biểu thức có nghĩa khi
A 0.
A
Đẳng thức đúng khi biểu thức A không
A A
B B

âm và B dương.
Ví dụ: Đẳng thức đúng với những
1 1
x x
y y

 
giá trị nào của x và y?
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định:
0
1
0
.
1 0
1
0
1 0
x
y
x
y
y
x
y


 
  


 
 


 

 


Khi thì biểu thức thỏa mãn điều kiện khai
0
1
x
y
 



phương của một thương.
Vậy với thì .
0
1
x
y
 


 1 1
x x
y y

 
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Với giá trị nào của x thì
1 1
?
2 2
x x
x x
 

 
Hướng dẫn giải
Trang 5
Để đẳng thức có nghĩa thì
1
0
2
1 0 1
2 0 2
2 0 2
1 0
2 0
x
x
x x
x x
x x
x
x
 

 
  
  
      
  
  
 
  

 


Vậy với thì
2
x 
1 1
.
2 2
x x
x x
 

 
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Tính
a) b) c) d)
9
.
25
0,1
.
2,5
25 9
: .
4 4
  3
2 4
5 5
: .
2 2
Câu 2: Tính
a) b)
2 2
45 36
.
9

12,5:81 1,25:81 2,25:81.
 
Câu 3: Với giá trị nào của x thì
1 1
?
x x
x x
 

Dạng 2: Chia các căn bậc hai
Bài toán 1. Chia các căn bậc hai
Phương pháp giải
Dựa vào quy tắc chia các căn bậc hai: Với hai số a
không âm, b là số dương ta có
.
a a
b
b

Ví dụ: Tính
a) b)
20 : 45. 150 : 3 : 2.
Hướng dẫn giải
a)
20 4 2
20 : 45 .
45 9 3
  
b) 150 : 3 : 2 150:3 : 2

50 : 2 50: 2 25 5.
   
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Tính
a) b)
50 : 18. 5 3
3 : 3 .
c) d)
315 : 7 : 5.
3 45
: .
12 20
Hướng dẫn giải
a)
50 50 25 5
50 : 18 .
18 9 3
18
   

28. Trang 6
b)
5 5
5 3 2
3
3
3 3
3 : 3 3 3.
3
3
   
c) 315 : 7 : 5 315: 7 : 5 45 : 5 45: 5 9 3.
    
d)
3 45 3 45 1 9 1 9 1 1
: : : : .
12 20 4 4 4 4 9 3
12 20
    
Bài toán 2. Chia phân phối nhiều căn bậc hai
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất phân phối giữa phép chia với
phép cộng sau đó áp dụng tính chất: Với hai số a
không âm, b dương ta có
.
a a
b b

Ví dụ: Tính  
20 80 45 : 5.
 
Hướng dẫn giải
Ta có  
20 80 45 : 5
 
20 : 5 80 : 5 45 : 5
  
20: 5 80: 5 45: 5
  
4 16 9
  
2 4 3
  
3.

Ví dụ mẫu
Ví dụ. Tính
a) b)
 
2 8 3 18 32 : 2.
   
3 12 2 27 75 : 3.
 
Hướng dẫn giải
a)  
2 8 3 18 32 : 2
 
2 8 : 2 3 18 : 2 32 : 2
  
2 8: 2 3 18: 2 32: 2
  
2 4 3 9 16
  
2.2 3.3 4
  
9.

b)  
3 12 2 27 75 : 3
 
3 12 : 3 2 27 : 3 75 : 3
  
3 12:3 2 27:3 75:3
  
3. 4 2. 9 25
  
Trang 7
6 6 5
  
5.

Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Tính
a) b)
125 : 20. 9 3
3 : 9 : 3.
c) d)
875 : 7 : 5.
7 45
: .
28 180
Câu 2: Tính
a) b)
 
45 20 5 : 5.
 
1 16
7 : 7.
7 7
 
 
 
 
 
c) d)
 
325 117 2 208 : 13.
 
1 16
11 : 11.
11 11
 
 
 
 
 
Dạng 3: Rút gọn biểu thức
Phương pháp giải
Trước hết tìm điều kiện của biến để biểu thức có
nghĩa (nếu cần). Áp dụng quy tắc
- Khai phương của một thương.
- Chia các căn bậc hai.
- Hằng đẳng thức.
Ví dụ: Rút gọn biểu thức
a) với
2
: 6
3
x
x 0.
x 
b) 3
8 : 2 .
x x
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện xác định 0.
x 
2 2 1 1
: 6 .
3 3.6 9 3
x x
x
x
  
b) Điều kiện xác định 0.
x 
(vì
3 3 2
8 : 2 8 : 2 4 2 2
x x x x x x x
   
)
0
x 
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức
a) với b) với
:
9
x
x 0.
x 
3
4
:
9
y
y


0.
y 
c) với d) với
7
1
: 27
3
x
x

 0.
x 
2
6
27
:
3
x
x
0.
x 
Hương dẫn giải

29. Trang 8
a) Với ta có
0,
x  : : 9 3.
9 9
x x
x x
  
b) Với ta có
0,
y 
3 3
3 4 2
4 4 4 9 36 6
: : . .
9 9
y y
y y y y y y
   
   
 
c) Với ta có
0,
x 
 
7 7
8 4
7
1 1 1 1 1
: 27 : 27 .
3 3 81 9
3 . 27
x x
x x x x
x x
  
     

d) Với ta có
0,
x 
2 2 2 6 8 4
6 6
27 27
: : . .
3 3 3 27 81 9
x x x x x x
x x
   
Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức
a) 3 2
8 : .
x
x
b)  
4 2
: 4 4 .
x y y
 
c)  
2
8 2
: 4 4 .
x x x
 
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện xác định: 0.
x 
Ta có 3 3 4 2
2
8 : 8 . 4 2 .
2
x
x x x x
x
  
b) Điều kiện xác định: 2.
y 
Ta có    
2
2
4 2 4
: 4 4 : 2 .
2
x
x y y x y
y
    

c) Điều kiện xác định: 2.
x 
Ta có    
   
4 4
2 2
8 2 8 2
2
2
: 4 4 : 4 4 .
2
2
x x
x x x x x x
x
x
      


Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức với
2
2
2 1
x
P
x x

 
0 1.
x
 
Hướng dẫn giải
Ta có
   
2 2 2
2 2 2
.
2 1 1
1 1
x
x x x
P
x x x
x x
   
  
 
Vì nên
0
x  .
x x

Vì nên
0 1
x
  1 1 .
x x
  
Trang 9
Vậy .
1
x
P
x


Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Rút gọn biểu thức
a) với b) với
3
:
9
x
x 0.
x 
3
2
:
8
y
y
0.
y 
c) với d) với
7
1
: 125
5
x
x

 0.
x 
2
6
1
:
2 2
x
x
0.
x 
Câu 2: Rút gọn biểu thức
a) b) c) d)
2
3
.
3
x
x


2
.
4
x
x


2
2
2 2 2
.
2
x x
x
 
 2
5
.
2 5 5
x
x x

 
Câu 3: Rút gọn biểu thức với
2
2
2 1
x
P
x x

 
1 0.
x
  
Câu 4: Tính giá trị biểu thức
1 1 1
.
5 5 7 7 6 3
1 1 1 2 1
7 13 13 5 7 5
A   
     
Câu 5: Rút gọn biểu thức
a)
5 2 5 10
.
9 3 5 2 14 6 5
A


  
b)
2 3 3 13 48
.
6 2
B
  


c)
2 3 2 3
.
2 2 3 2 2 3
C
 
 
   
Câu 6: Chứng minh rằng
3 3
1 1
2 2 1.
3 3
1 1 1 1
2 2
 
 
   
Dạng 4: Giải phương trình chứa căn thức
Phương pháp giải
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Tìm điều kiện để biểu thức trong căn có
nghĩa.
Bước 2. Nếu hai vế không âm ta bình phương hai
Ví dụ: Giải phương trình
1
2.
2
x
x



Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định:
1
0.
2
x
x




30. Trang 10
vế để khử căn. Suy ra và cùng dấu hoặc
1
x 2
x 1.
x 
Trường hợp 1:
1 0 1
2.
2 0 2
x x
x
x x
 
  
  
 
  
 
Trường hợp 2:
1 0 1
1.
2 0 2
x x
x
x x
 
  
  
 
  
 
Điều kiện xác định: hoặc
1
x  2.
x 
Bình phương hai vế phương trình ta được
 
1
4 1 4 2 1 4 8
2
x
x x x x
x

        

(thỏa mãn ).
7
3 7
3
x x
    2
x 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
7
.
3
x 
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Giải phương trình
a) b)
2 1
1.
1
x
x



1
2.
1
x
x



Hướng dẫn giải
a)
2 1
1.
1
x
x



Điều kiện xác định:
2 1
0.
1
x
x



Suy ra và cùng dấu hoặc
2 1
x 1
x
1
.
2
x 
Trường hợp 1:
1
2 1 0 1
.
2
2
1 0
1
x x
x
x
x

   

  
 
 
   

Trường hợp 2:
1
2 1 0
1.
2
1 0
1
x x
x
x
x

   

   
 
 
   

Điều kiện xác định: hoặc
1
2
x  1.
x  
Bình phương hai vế phương trình ta được
2 1
1 2 1 1 2
1
x
x x x
x

      

Trang 11
(thỏa mãn điều kiện ).
1
2
x 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 2.
x 
b) Điều kiện xác định
 
  
  
 
   
 
1 0 1
1.
1 0 1
x x
x
x x
Bình phương hai vế phương trình ta được
(không thỏa mãn điều kiện)
1 5
4 1 4 4 3 5
1 3
x
x x x x
x
 
         

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài tập tự luyện dạng 4
Giải phương trình
a) b)
2 4
2.
1
x
x



3
2.
1
x
x



ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Khai phương của một thương
Câu 1.
a)
9 9 3
.
25 5
25
 
b)
0,1 1 1 1
.
2,5 25 5
25
  
c)
25 9 25 25 5
: .
4 4 9 3
9
 
  
d)
3 3 4
5 2
2 4 2
5 5 5 .2
: 5 .2 100 10.
2 2 2 .5
   
Câu 2.
a)
  
2 2 45 36 45 36
45 36 9.81
81 9.
9 9 9
 

   
b)
12,5 1,25 2,25 9 1 1
12,5:81 1,25:81 2,25:81 .
81 81 9 3
 
     
Câu 3.

31. Trang 12
Để thì
1 1
x x
x x
 

1
0
1
1 0 1.
0
0
x
x
x
x x
x
x
 


  

    
 


 



Vậy với thì
1
x 
1 1
.
x x
x x
 

Dạng 2. Chia các căn bậc hai
Câu 1.
a)
125 25 5
125 : 20 .
20 4 2
  
b)
9 9 3
9 3 3
3 6
3 3 3
3 : 9 : 3 : 3 : 3 3 : 3 9 3.
3
9 3
     
c)
875 125
875 : 7 : 5 : 5 125 : 5 25 5.
7 5
    
d)
7 45 7 45 1 1
: : : 1.
28 180 4 4
28 180
  
Câu 2.
a)  
45 20 5 : 5 45 : 5 20 : 5 5 : 5 9 4 1 2.
        
b)
1 16 1 16 1 4 4
7 : 7 : 7 : 7 7 : 7 1 .
7 7 7 7 7 7 7
 
        
 
 
 
c)  
325 117 2 208 : 13 325 : 13 117 : 13 2 208 : 13 5 3 8 10.
        
d)
1 16 1 16 1 4 8
11 : 11 : 11 : 11 11: 11 1 .
11 11 11 11 11 11 11
 
        
 
 
 
Dạng 3. Rút gọn biểu thức
Câu 1.
a) Với ta có (do nên ).
0,
x 
3 3
2
9 3 3
: :
9 9
x x
x x
x
x x
    0
x  x x

b) Với ta có
0,
y 
3 3
4 2
2 2 16 4
: : .
8 8
y y
y y y y
  
Trang 13
c) Với ta có
0,
x   
7 7
8 4
1 1 1 1
: 125 : 125 .
5 5 625 25
x x
x x x x
 
    
d) Với ta có
0,
x 
2 2
8 4
6 6
1 1
: : .
2 2
2 2
x x
x x
x x
  
Câu 2.
a) Điều kiện 3 0 3.
x x
    
Ta có
  
2 3 3
3
3.
3 3
x x
x
x
x x
 

  
 
b) Điều kiện 0; 4 0 0; 4.
x x x x
     
Ta có
  
2 2 1
.
4 2
2 2
x x
x x
x x
 
 
 
 
c) Điều kiện 2
2 0 2.
x x
    
Ta có
 
  
2
2
2
2
2 2 2 2
.
2 2
2 2
x
x x x
x x
x x

  
 
 
 
d) Điều kiện  
2
2
2 5 5 0 5 0 5.
x x x x
        
Ta có
 
2
2
5 5 1
.
2 5 5 5
5
x x
x x x
x
 
 
  

Câu 3.
Với ta có
1 0,
x
  
   
2 2 2
2 2 2
.
2 1 1
1 1
x
x x x
P
x x x
x x
   
  
 
Vì nên
1 0
x
   ; 1 1.
x x x x
    
Vậy .
1
x
P
x
 

Câu 4.
Ta có
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
5. 7 13
7 13 5 13 5 7 7 5 13
A   
     
     
     
     
1 1 1 1 1 1
5 7 13 5 7 13 1.
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
5 7 13
7 13 5 13 5 7 7 5 13
 
    
     
 
     
     
     

32. Trang 14
Câu 5.
a) Ta có
 
2
5 2 5 10 5 2 5 10 5 2 5 10
9 3 5 2 3 5
9 3 5 2 14 6 5 9 3 5 2 3 5
A
  
  
  
     
 
     
 
5 2 1 5 10 1 5 10 1 5
5 2 5 10 5 2 5 10
15 5 5 15 5 5 30 10 5
9 3 5 2 3 5 5 6 2 5
  
 
    
  
   
 
 
   
 
2
10 1 5 10 1 5 10 1 5
2 5.
5. 5 1 5. 1 5
5 5 1
  
   
 

b) Ta có
 
2
2 3 3 12 1
2 3 3 13 48 2 3 3 13 2 12
6 2 6 2 6 2
B
  
     
  
  
2 3 3 12 1
2 3 3 12 1 2 3 4 2 3
6 2 6 2 6 2
  
    
  
  
 
2
2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 2 3
6 2 6 2 6 2 6 2
      
   
   
 
 
2
3 1 3 1
2. 4 2 3 3 1
1.
3 1 3 1 3 1
2. 3 1
 
 
    
  

c) Ta có
   
2 2 3 2 2 3
2 3 2 3
2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3
C
 
 
   
   
       
   
   
     
 
 
 
2 2
2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3
2 4 2 3 2 4 2 3 2 3 1 2 3 1
   
   
       
       
2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3
2 3 1 2 3 1
2 3 1 2 3 1
   
   
   
   
     
  
2 2 6 3 3 2 2 6 3 3
2 2 6 2 2 6
3 3 3 3 3 3 3 3
    
 
  
   
6 2 2 6 3 6 18 6 2 2 6 3 6 18
6
      

Trang 15
12 2 2 18 12 2 6 2
2.
6 6
 
  
Câu 6.
Ta có
3 3
1 1
4 2 3 4 2 3
2 2
3 3 2 2 4 2 3 2 2 4 2 3
1 1 1 1
2 2
VT
 
 
   
   
   
   
       
(điều phải chứng minh).
 
 
 
 
 
2 2
3 1 3 1 1
3 1 3 1 1
2 3
2 3 3 1 2 3 3 1
VP
 
       
 
Dạng 4. Giải phương trình chứa căn thức
a) Điều kiện
2
2 4
0 .
1 1
x
x
x x
 

  
  

Bình phương hai vế ta được (thỏa mãn điều kiện).
2 4
4 2 4 4 4 4
1
x
x x x
x

       

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 4.
x  
b) Điều kiện
3 0 3
3.
1 0 1
x x
x
x x
 
  
  
 
   
 
Bình phương hai vế ta được (không thỏa mãn điều kiện).
3 7
4 3 4 4
1 3
x
x x x
x

       

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

33. Trang 1
CHUYÊN ĐỀ
BÀI 5. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được cách biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai và các bài toán liên quan.
 Kĩ năng
+ Biết cách đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
+ Biết cách đưa thừa số vào trong dấu căn.
+ Biết cách khử mẫu biểu thức lấy căn.
+ Biết cách trục căn thức ở mẫu.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Với hai biểu thức A, B mà , ta có
0
B 
2 khi 0
.
khi 0
A B A
A B A B
A B A
 

  
 


Đưa thừa số vào trong dấu căn
Với hai biểu thức A, B mà , ta có
0
B 
, tức là
2
A B A B

Nếu thì .
A 0; 0
B
  2
A B A B

Nếu thì .
0; 0
A B
  2
A B A B
 
Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Với hai biểu thức A, B mà và , ta có
. 0
A B  0
B 
.
A AB
B B

Trục căn thức ở mẫu
* Trường hợp 1:
Với các biểu thức B, C mà thì
0
B  .
C C B
B
B

* Trường hợp 2:
Với các biểu thức A, B, C mà thì
2
0;
A A B
 
 
2
.
C A B
C
A B
A B




Trang 2
* Trường hợp 3:
Với các biểu thức A, B, C mà và thì
0, 0
A B
  A B

 




.
C A B
C
A B
A B
Hai biểu thức và gọi là hai biểu thức liên hợp với nhau.
A B
 A B

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

34. Trang 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Bài toán 1. Đưa thừa số là các số chính phương ra ngoài dấu căn
Phương pháp giải
Biến đổi biểu thức lấy căn thành dạng


tích, trong đó thừa số là bình phương của
một biểu thức.
Khai phương thừa số này và viết kết


quả ra ngoài dấu căn.
Ví dụ: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

a 18. 
b 32.250.
Hướng dẫn giải
Ta có

a 18 9.2 3. 2.
 
Ta có

b 32.250 16.2.25.10

4.5. 20 20. 4.5
 
20.2. 5 40. 5.
 
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a) . b) .
27 1200
c) . d) .
162 0,9
Hướng dẫn giải
a) Ta có 27 9.3 3 3.
 
b) Ta có  
1200 400.3 20 3.
c) Ta có 162 81.2 9 2.
 
d) Ta có 0,9 0,1.9 3 0,1.
 
Ví dụ 2. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a) . b) .
27 1200
c) . d) .
162 0,9
Hướng dẫn giải
a) Ta có 27.6 27.3.2 81.2 9 2.
  
b) Ta có 2
14.7 7.2.7 7 .2 7 2.
  
c) Ta có 8.45 4.2.9.5 2.3. 2.5 6 10.
  
d) Ta có 2
125.10 125.5.2 25 .2 25 2.
  
Trang 4
Bài toán 2. Đưa biểu thức ra ngoài dấu căn
Phương pháp giải
Biến đổi biểu thức lấy căn thành dạng tích


trong đó thừa số là bình phương của một biểu thức.
Khai phương thừa số này và viết kết quả


ra ngoài dấu căn.
Chú ý: Dấu của biểu thức
2 khi 0
.
khi 0
A B A
A B A B
A B A
 

  
 


Ví dụ: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
với .

a 3
18x 0
x 
với

b  
2
32. x y
 .
x y

Hướng dẫn giải
vì

a 3 2
18 2 .9 3 2 3 2
x x x x x x x
   0
x 

b    
2 2
32. 2.16.
x y x y
  
vì
 
4 . 2 4 2
x y y x
    .
x y

Ví dụ mẫu
Ví dụ. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a) với b) với
18x 0.
x  2
4x y 0.
y 
c) d) với
 
2
32 2 3
x 3 2
3 3 1
x x x
   1.
x 
Hướng dẫn giải
a) 18 9.2 3 2 .
x x x
 
b) với
 

 
 

2 2 khi 0
4 2
2 khi 0
x y x
x y x y
x y x
0.
y 
c)  
 
 
2
3
4 2 3 2 khi
2
32 2 3 4 2 3 2 .
3
4 3 2 2 khi
2
x x
x x
x x

 

    
  


d) với
   
3
3 2
3 3 1 1 1 1 1 1
x x x x x x x x
           1.
x 
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a) b) c) d)
48. 1000. 243. 0,4.

35. Trang 5
Câu 2: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a) b) c) d)
27.15. 21.7. 32.45. 125.15.
Câu 3: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
a) với b)
36x 0
x  4 2
3 .
x y
c) d) với .
 
2
8 3 .
x 3 2
3 3 1
x x x
   1
x  
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:
a) b)
48 16.3 4 3.
  1000 100.10 10 10.
 
C. d)
243 81.3 9 3.
 
1
0,4 4.0,1 2 .
10
 
Câu 2:
a) b)
27.15 81.5 9 5.
  21.7 3.7.7 3.49 7 3.
  
c) d)
32.45 16.2.9.5 144.10.
  125.15 625.3 25 3.
 
Câu 3:
a) b)
36 6 .
x x
 4 2 2
3 3.
x y x y

c) d)
 
2
8 3 2 3 2.
x x
      
3
3 2
3 3 1 1 1 1.
x x x x x x
       
Dạng 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn
Phương pháp giải
 Nếu thì ta nâng A lên lũy thừa
0
A
bậc hai rồi viết kết quả vào trong dấu căn:
(với ).
2
A B A B
 A 0; 0
B
 
 Nếu thì ta coi A như là .
0
A  
A
 
Ta nâng lên lũy thừa bậc hai
 
A

Ví dụ: Đưa thừa số vào trong dấu căn

a 3 2. với

b 2
x 0
x 

c .
x x

d .
x
x
y
Hướng dẫn giải

a 2
3 2 3 .2 9.2 18.
  

b   2
2 2 2 .
x x x
    
Điều kiện xác định:

c 0
x 
2 3
. .
x x x x x
 
Trang 6
rồi viết kết quả vào trong dấu căn.
Còn dấu vẫn để trước dấu căn:
" "

(với ).
2
A B A B
  0; 0
A B
 
Điều kiện xác định:

d 0.
x
y

Trường hợp 1: ta có
0, 0,
x y
 
3
2
.
x x x
x x
y y y
 
Trường hợp 2: ta có
0, 0,
x y
 
3
2
.
x x x
x x
y y y
   
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Đưa thừa số vào trong dấu căn
a) b) c) d)
4 5. 3 6.
1
2 .
8
 0,6 10.

Hướng dẫn giải
a) 2
4 5 4 .5 16.5 80.
  
b) 2
3 6 3 .6 9.6 54.
  
c) 2
1 1 1 1
2 2 . 4. .
8 8 8 2
      
d) 2
0,6 10 0,6 .10 0,36.10 3,6.
      
Ví dụ 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
a) b)
. .
x y
y x
3
.
x
x

c) d)
2 1
.
x
x
9
.
x
x

Hướng dẫn giải
a) Điều kiện xác định: Ta có
0
.
0
y
x
y




 

2 2
2
. .
x y x y x y x
y x y x y
y x
 
  
 
 
b) Điều kiện xác định: . Ta có
0
x  2
3 3
. 3 .
x x x
x x
    
c) Điều kiện xác định: . Ta có
0
x  2 4 3
1 1
. .
x x x
x x
 
d) Điều kiện xác định: . Ta có
0
x  2
9 9
. 9 .
x x x
x x
 
    

36. Trang 7
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn
a) b) c) d)
2 5. 3 2.
1
6 .
3
 0,1 20.

Câu 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn
a) b) c) d)
2
. .
y
x
x 3
3
.
x
x
 2
3
1
.
x
x
9
.
3
x
x

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:
a) b)
 
2 5 4. 5 20.  
3 2 9. 2 18.
c) d)
1 1
6 36. 12.
3 3
     0,1 20 0,01. 20 0,2.
    
Câu 2:
a) Điều kiện xác định 0.
y
x

2 4 3
. . .
y y
x x x y
x x
 
b) Điều kiện xác định 0
x 
2
3 3
3 3 3
. .
x x
x
x x
    
c) Điều kiện xác định 0
x 
2 4
3 3
1 1
. .
x x x
x x
 
d) Điều kiện xác định 0
x 
2
9 9
. .
3 9
x x
x
x x
 
    
Dạng 3: Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Phương pháp giải
Ví dụ: Khử mẫu của biểu thức lấy căn

a
2
.
5

b
11
.
3x
Trang 8
Vận dụng công thức: Với hai biểu thức A, B mà
, ta có
. 0; 0
A B B
 
.
A AB
B B

Hướng dẫn giải

a
2 2.5 10 10
.
5 5.5 25 5
  
Điều kiện .

b 0
x 
 
2
11 11.3 33
.
3 3
3
x x
x x
x
 
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn sau
a) . b) . c) . d) .
5
2
11
72
1
8
1
20
Hướng dẫn giải
a)
5 10 10
.
2 4 2
 
b)
11 11.2 22 22
.
72 72.2 144 12
  
c)
1 2 2
.
8 16 4
 
d)
1 5 5
.
20 100 10
 
Ví dụ 2. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
A. . B. . C. . D.
1
2x 3
11
x
1
8x

3
2
x
y
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện xác định: .
0
x 
 
2
1 2 2
.
2 2
2
x x
x x
x
 
b) Điều kiện xác định: .
0
x 
3 4 2
11 11 11
.
x x
x x x
 
c) Điều kiện xác định: .
0
x 
2
1 2 2 2
.
8 4
16 4
x x x
x x
x x
   
   

37. Trang 9
d) Điều kiện xác định: hay hoặc
3
0
x
y
 . 0
x y  0.
x 
3 4 2
2
.2
.
2 4 2
xy
x x y
y y y
 
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Khử mẫu của biểu thức lấy căn
a) b) c) d)
5
.
3
11
.
50
1
.
128
3
.
20
Câu 2: Khử mẫu của biểu thức lấy căn
a) b) c) d)
1
.
x 3 2
11
.
x y
1
.
7x
 2
3
.
x
y
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:
a) b)
5 15
.
3 3

11 22 22
.
50 100 10
 
c) d)
1 2 2
.
128 256 16
 
3 15 15
.
20 100 10
 
Câu 2:
a) Điều kiện xác định: 0
x 
1
.
x
x x

b) Điều kiện xác định: 0; 0.
x y
 
3 2 4 2 2
11 11 11
.
x x
x y x y x y
 
c) Điều kiện xác định: 0
x 
1 7 7
.
7 7
7
x x
x x
x
  
 

d) Điều kiện xác định: 0
y 
2 2
2
3 3
3 .
x
x x y
y
y y
y
 
Trang 10
Dạng 4: Trục căn thức ở mẫu
Bài toán 1: Biểu thức dạng với
C
B
B > 0
Phương pháp giải
Với các biểu thức B,C mà thì
0
B  .
C C B
B
B

Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau
.

a
3
5
.

b
1 2
2

.

c
1
1
x

d
3
.
2 x
Hướng dẫn giải

a
3 3 5
.
5
5


b
 
1 2 2
1 2 2 2
.
2 2
2

 
 
Điều kiện xác định:

c 1
x 
1 1
.
1
1
x
x
x




Điều kiện xác định: .

d 0
x 
3 3
.
2
2
x
x
x

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau
a) . b) . c) . d) .
1
2
11
72
2
8
 5
2 2
Hướng dẫn giải
a) Ta có
1 2
.
4
2

b) Ta có
11 11 2 11 2 11 2
.
12
72 72.2 144
  
c) Ta có
2 2 2 2 2 2 2 2
.
4 2
8 8.2 16
    
   

38. Trang 11
d) Ta có
5 5. 2 10
.
2.2 4
2 2
 
Ví dụ 2. Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau
a) . b) . c) . d) .
1 3
3
 11
18x
2
x y


5
2 1
x
Hướng dẫn giải
a) Ta có
 
1 3 . 3
1 3 3 3
.
3 3
3

 
 
b) Điều kiện xác định : .
0
x 
2
11 11 2 11 2
.
6
18 36
x x
x
x x
 
c) Điều kiện xác định : .
0
x y
 
2
2
.
x y
x y
x y
 




d) Điều kiện xác định :
1
2 1 0 .
2
x x
   
5 5. 2 1
.
2 1
2 1
x
x
x




Bài toán 2: Biểu thức dạng với
C
A ± B
2
0;
A A B
 
Phương pháp giải
Với các biểu thức A, B, C mà thì
2
0;
A A B
 
.
 
2
C A B
C
A B
A B




Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau
.

a
3
5 1

.

b
1 2
2 1


.

c
1
1
x 
.

d
3
2
x
x


Hướng dẫn giải
Ta có

a
   
2
3 5 1 3 5 1
3
.
4
5 1
5 1
 
 


Ta có

b
 
2
1 2
1 2 1 2 2 2
3 2 2.
2 1 1
2 1

  
   


Trang 12
Điều kiện xác định:

c 0; 1.
x x
 
Ta có
1 1
.
1
1
x
x
x




Điều kiện xác định: , ta có

d 0
x 
   
2
3 . 2
3 5 6
.
4
2
2
x x
x x x
x
x
x
 
  
 



Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau
a) . b) . c) . d) .
1
2 1

11
2 1

2 2 1
8 1


5 1
5 3


Hướng dẫn giải
a)
1 2 1
2 1.
2 1
2 1

  


b)
 
 
11 2 1
11
11 2 1 .
2 1
2 1

  


c)
 
2
2 2 1
2 2 1 2 2 1 9 4 2
.
8 1 7
8 1 2 2 1

  
  

 
d)
   
2
5 1 . 5 3
5 1 8 4 5
2 5.
4
5 3
5 3
 
 
    



Ví dụ 2. Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau
a) . b) . c) . d) .
1
2
x 
11
1
x 
2 1
1
x
x


1
3
x
x


Hướng dẫn giải
a) Điều kiện xác định : 0, 4
x x
 




1 2
.
4
2
x
x
x
b) Điều kiện xác định : 0, 1
x x
 
 
11 1
11
.
1
1
x
x
x




c) Điều kiện xác định : 0, 1
x x
 

39. Trang 13
   
2 1 . 1
2 1 2 2 1 2 1
.
1 1 1
1
x x
x x x x x x
x x x
x
 
     
  
  

d) Điều kiện xác định : 0, 9
x x
 
   
1 . 3
1 3 3 4 3
.
9 9 9
3
x x
x x x x x x
x x x
x
 
     
  
  

Bài toán 3: Biểu thức dạng với
C
A ± B
, 0;
A B A B
 
Phương pháp giải
Với các biểu thức A, B, C mà 0; 0
A B
 
và thì
A B

.
 
C A B
C
A B
A B




Hai biểu thức và gọi
A B
 A B

là hai biểu thức liên hợp với nhau.
Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau

a
3
.
5 2


b
1
.
3 2 1
 
Hướng dẫn giải

a
 
3 5 2
3
5 2
5 2




 
3 5 2
3


5 2.
 

b
 
2
1 3 2 1
3 2 1 3 2 1
 

   
3 2 1
4 2 6
 


  
 
2
2
3 2 1 4 2 6
4 2 6
  


4 3 6 2 4 3 4 2 4 2 6
8
    


2 2 4 2 6
8
 


 
 
2 2 6
.
4
Trang 14
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau
a)
1
.
5 3

b)
3 2
.
3 2


c)
2
.
3 2 1
 
Hướng dẫn giải
a)
1 5 3 5 3
.
5 3 2
5 3
 
 


b)
 
2
3 2
3 2
3 2 3. 2 2 5 2 6.
3 2
3 2


     


c)
 
 
 
2
2 3 2 1 2 3 2 1
2
3 2 1 3 2 2.1. 2 1
3 2 1
   
 
    
 
 
2 3 2 1 3 2 1
.
2
2 2
   
 
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Trục căn thức ở mẫu
a) . b) . c) d)
3 3
3
 1 5
5
 2
.
1
x
5
.
2 4
x
Câu 2: Trục căn thức ở mẫu
a) b) c) d)
1
.
3 1

5
.
5 1

3 2 1
.
2 1


7 1
.
7 3


Câu 3: Trục căn thức ở mẫu
a) b) c) d)
1
.
1
x 
11
.
2 3
x 
2 3
.
2
x
x


2 1
.
3
x
x


Câu 4: Trục căn thức ở mẫu
a) b) c) d)
1
.
5 2

5 2
.
5 2


6
.
5 2 3
 
2 10
.
7 2 5
 

40. Trang 15
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:
a)
 
3 3 . 3
3 3 3 3 3
3 1.
3 3
3

 
   
b)
 
1 5 . 5
1 5 5 5
.
5 5
5

 
 
c) Điều kiện xác định: 1
x 
2 2 1
.
1
1
x
x
x




d) Điều kiện xác định: 2
x 
5 5. 2 4 10 20
.
2 4 2 4
2 4
x x
x x
x
 
 
 

Câu 2:
a) b)
1 3 1
.
2
3 1



5 5 5
.
4
5 1



c) d)
  
3 2 1 2 1
3 2 1
7 4 2.
2 1
2 1
 

  


   
2
7 1 . 7 3
7 1
5 2 7.
7 3
7 3
 

   


Câu 3:
a) Điều kiện xác định: 0, 1.
x x
 
1 1
.
1
1
x
x
x




b) Điều kiện xác định:
9
0, .
4
x x
 
 
11. 2 3
11
.
4 9
2 3
x
x
x




c) Điều kiện xác định: 0, 4.
x x
 
   
2 3 . 2
2 3 2 6
.
4 4
2
x x
x x x
x x
x
 
  
 
 

d) Điều kiện xác định: 0, 9.
x x
 
  
2 1 3
2 1 2 7 3
.
9 9
3
x x
x x x
x x
x
 
  
 
 

Trang 16
Câu 4:
a)
1 5 2
.
3
5 2



b)
 
2
5 2
5 2 7 2 10
.
5 2 3
5 2

 
 


c)
 
   
 
2 2
6 5 2 3 6 5 2 3
6 5 2 3
.
2
5 2 3 2 6
5 2 3
     
  
   
d)
 
 
 
 
2
2
2 10. 7 2 5 2 10. 7 2 5
2 10
7 2 5 .
7 2 5 2 10
7 2 5
   
     
  
 
Dạng 5. So sánh hai số
Phương pháp giải
Thực hiện các phép biến đổi đơn giản biểu
thức chứa căn bậc hai rồi so sánh hai kết quả.
Chú ý: Sử dụng tính chất:
Nếu thì
0
A B
  A B

Ví dụ: Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so
sánh
và

a 5 6 6 5.
và

b
2
5
5
.
2 2
Hướng dẫn giải
Ta có

a 5 6 25.6 150
 
và 6 5 36.5 180.
 
mà nên
180 150
 180 150 6 5 5 6.
  
Vậy 6 5 5 6.

Ta có và

b
2 4 32
5 40
5
 
5 5 25
.
8 40
2 2
 
Mà nên
32 25
40 40

32 25 2 5
.
40 40 5 2 2
  
Vậy
2 5
.
5 2 2


41. Trang 17
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần
1 2
69; 6 2; 12; 18.
2 3
 
Hướng dẫn giải
So sánh hai số âm và .
69
 6 2

Ta có .
6 2 36.2 72
    
Vì nên
72 69
 72 69 72 69 6 2 69.
        
Vì và là hai số âm nên là số bé nhất.
69
 6 2
 6 2

So sánh hai số dương
1 2
12; 18.
2 3
Ta có và
1 1 12
12 . 12 3
2 4 4
  
2 4 4.18
18 . 18 8.
3 9 9
  
Vì nên .
8 3

1 2
8 3 12 18
2 3
  
Vậy
1 2
6 2 69 12 18.
2 3
    
Bài tập tự luyện dạng 5
Bài tập cơ bản
Câu 1: Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh
a) và . b) và .
1
2
2
5
3 5 4 2
c) và d) và
2 22
 3 10

5
2
4
1
11
2
Câu 2: Cho So sánh A với 10.
1 1 1 1
.
1 2 3 100
A     

Bài tập nâng cao
Câu 3: Chứng minh
1 1 1 1
2.
2 1 3 2 4 3 2019 2020
    

Câu 4: Chứng minh
1 1 1
1.
2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100
   
  

Trang 18
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:
a) Ta có và .
1 1
2
2

2 4
5
5

Vì nên .
4 1
5 2

4 1
5 2

Vậy
1 2
.
2 5

b) Ta có và .
3 5 9.5 45
  4 2 16.2 32
 
Vì nên .
45 32
 45 32

Vậy 3 5 4 2.

c) Ta có và
2 22 4.22 88
     3 10 9.10 90
    
Vì nên
88 90
 88 90 88 90
    
Vậy 2 22 3 10.
  
d) Ta có và
5 25 25
2 2
4 16 8
 
1 1 11 22
11 . 11 .
2 4 4 8
  
Vậy
5 1
2 11.
4 2

Câu 2:
Ta có
1 1 1 1 1 1 1 1
; ; ;...; .
1 100 2 100 3 100 100 100
   
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức và đẳng thức trên, ta được:
1 1 1 1 1 1 1 1 100
... ... 10.
1 2 3 100 100 100 100 100 100
          
Vậy 10.
A 
Bài tập nâng cao
Câu 3:
Đặt
1 1 1 1
... .
2 1 3 2 4 3 2019 2020
A     
Trước hết, ta xét số hạng tổng quát ( ), ta có
 
1
1
k k

1
k 

42. Trang 19
   
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1 1 1
k
k k
k k
k k
k k k k k k
  
 
     
  
 


  
    
1 1 1 1
1 2
1 1 1
k
k k k k k
    
    
    
 
  
   
 
Ta được
1 1 1
2 ;
2 1 1 2
 
 
 
 
1 1 1
2 ;
3 2 2 3
 
 
 
 
1 1 1
2 .
2019 2020 2019 2020
 
 
 
 
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 ...
2 1 3 2 4 3 2019 2020 1 2 2 3 2019 2020
 
          
 
 

1
2 1 2.
2020
A
 
   
 
 
Vậy 2.
A
Câu 4:
Đặt
1 1 1
...
2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100
B    
  
Xét số hạng tổng quát (với mỗi số tự nhiên )
1
k 
 
1
1 1
k k k k
  
 
   
1 1
1 1 . 1 1
k k k k
k k k k k k k k
  

   
     
   
 
 
2 2
1 1
1 1
k k k k
k k k k
  

   
  
   
 
   
2 2
1 1
1 1
k k k k
k k k k
  

  
 
  
1 1
1 1
k k k k
k k k k
  

  
Trang 20
 
 
1 1
1
k k k k
k k
  


 
   
1 1
1 1
k k k k
k k k k
 
 
 
1 1
.
1
k k
 

Với mỗi số tự nhiên , ta có
1
k 
 
 
1 1 1
. *
1 1 1
k k k k k k
 
   
Áp dụng công thức , ta có
 
*
1 1 1
;
2 1 1 2 1 2
 

1 1 1
;
3 2 2 3 2 3
 

.....................................
1 1 1
.
100 99 99 100 99 100
 

Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được
1 1 1
...
2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100
B    
  
1 1 1 1 1 1
...
1 2 2 3 99 100
      
1 1 1 9
1 .
10 10
1 100
    
Vậy Điều phải chứng minh.
1.
B 
Dạng 6: Rút gọn biểu thức
Phương pháp giải
Thực hiện các phép biến đổi đơn giản
biểu thức chứa căn bậc hai rồi thu gọn các
căn thức đồng dạng hoặc rút gọn các thừa
số chung ở tử và mẫu.
Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau
1
200 50 128
2
 
Hướng dẫn giải
Ta có
1
200 50 128
2
 