1. Теория множеств 2. Сочетания 3. Перестановки

1. Множество - набор различимых предметов,
объединенных по некоторому признаку.

2. Множество - набор различимых предметов,
объединенных по некоторому признаку.
{ … }
{ … , … , … , … , … }

3. Множество - набор различимых предметов,
объединенных по некоторому признаку.
{ … , … , … , … , … }
{ … , … , … , … , … }
{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
Чаще всего обозначаются большими буквами латинского алфавита: A,B,C...

4. { … , … , … , … , … }
{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
Способы задания множеств
1) Перечисление

5. Способы задания множеств
2) Задание посредством свойств
{................. | ……………...}
Описание структуры
объекта
“такое, что” Свойство, которым
обладает объект

6. Способы задания множеств
2) Задание посредством свойств
{................. | ……………...}
{ цвет | ……………...}
{ страна | ……………...}
{ x | ……………...}
{ (x,y) | ……………...}
{ {.....} | ……………...}

7. Способы задания множеств
2) Задание посредством свойств
{................. | ……………...}
{ цвет | присутствует в радуге}
{ страна | находится в Африке}
{ x | ……………...}
{ (x,y) | ……………...}
{ {.....} | ……………...}

8. Способы задания множеств
2) Задание посредством свойств
{ x | ……………...}
{ x | x ∈ ℝ,ℕ,ℤ }
Знак принадлежности
множеству
Целые
Натуральные
Вещественные

9. Способы задания множеств
2) Задание посредством свойств
{ x | ……………...}
{ x | x ∈ ℕ и “делится на 3” }
= {3, 6, 9, ...}

10. Способы задания множеств
2) Задание посредством свойств
{ (x,y) | ……………...}
{ (x,y) | x ∈ {1,2,3,4,5,6}, y ∈ ℤ }

11. Мощность множества
A = {1,2,3,4,5,6,7}
|A| = 7
Обозначение мощности, может быть ∞

12. Подмножества

13. { , , }
Подмножества
{ ∅ }
Мощность 0 1 2 3
{ }
{ }
{ }
{ , }
{ , }
{ , }
{ , , }

14. Действия над множествами
1) Объединение
Обозначение Смысл Пример
⋃
A⋃B
A B
A = {4, 7, 12, 25}
B = {2, 7, 12, 13, 28, 30}
A⋃B = {2,4,7,12,13,25,28,30}

15. Действия над множествами
2) Пересечение
Обозначение Смысл Пример
⋂
A⋂B
A B
A = {4, 7, 12, 25}
B = {2, 7, 12, 13, 28, 30}
A⋂B = {7,12}

16. Действия над множествами
3) Дополнение
Обозначение Смысл Пример
A
A
A = { , , }
X = {цвет | присутствует в радуге}
A = { , , , }X

17. Правило суммы
A B

18. Правило суммы
A B
|A⋃B| = |A|+|B|

19. Правило суммы
A
BA⋂B

20. Правило суммы
A
B
|A⋃B| ≠ |A|+|B|
A⋂B

21. Правило суммы
A
BA⋂B
A’ B’
A = A’ ⋃ (A⋂B)
B = B’ ⋃ (A⋂B)
➕
＝
A⋃B = A’⋃B’⋃(A⋂B)

22. Правило суммы
A⋃B = A’⋃B’⋃(A⋂B)
A
BA⋂B
A’ B’
|A⋃B| = |A’ ⋃ B’ ⋃ (A⋂B)| =
=|A’| + |B’| + |(A⋂B)| =
= |A - (A⋂B)| + |B - (A⋂B)| +
+ |(A⋂B)| = |A| + |B| - |(A⋂B)|
Обобщенное правило суммы: |A| + |B| - |(A⋂B)|

23. Правило суммы
A B
A⋂B
1 12
Тот же результат: |A| + |B| - |(A⋂B)|

24. Декартово произведение
A B = {(a,b) | a ∈ A, b ∈
B}

25. Декартово произведение
A B = {(a,b) | a ∈ A, b ∈
B}
A = {1,2,3}, B = {4,5,6}
A B = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5),
(2,6), (3,4), (3,5), (3,6)}

26. Декартово произведение
A B = {(a,b) | a ∈ A, b ∈
B}
|A B| = |A| * |B|

27. Декартово произведение
A B C = {(a,b,c) | a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C}
|A B C| = |A| * |B| * |C|

28. Декартово произведение
A B C D = {(a,b,c,d) | a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C, d ∈ D}
|A B C D| = |A| * |B| * |C| * |D|

29. Метод включения-исключения
|A ⋃ B ⋃ C| = |A| + |B| + |C| - |A ⋂ B| - |A ⋂ C| -
- |B ⋂ C| + |A ⋂ B ⋂ C|

30. Метод включения-исключения
|A ⋃ B ⋃ C| = |A| + |B| + |C| - ...
1
1 1
22
2
3
A
B
C

31. Метод включения-исключения
|A ⋃ B ⋃ C| = |A| + |B| + |C| - |A ⋂ B| - |A ⋂ C| -
- |B ⋂ C| + ...
1
1 1
11
1
0
A
B
C

32. Метод включения-исключения
|A ⋃ B ⋃ C| = |A| + |B| + |C| - |A ⋂ B| - |A ⋂ C| -
- |B ⋂ C| + |A ⋂ B ⋂ C|
1
1 1
11
1
1
A
B
C

33. Метод включения-исключения
|Объединения множеств| = сумма (|каждого множества|) -
- сумма (|пересечения всех пар|) +
+ сумма (|пересечения всех троек|) -
- и т.д.

34. { , , }
Подмножества = Сочетания
{ ∅ }
Мощность 0 1 2 3
{ }
{ }
{ }
{ , }
{ , }
{ , }
{ , , }
Сочетания
из 3 по 0 из 3 по 1 из 3 по 2 из 3 по 3

35. Принцип пастуха

36. Принцип пастуха
Если знаем количество ног -
легко посчитать количество овец

37. Принцип пастуха
Если знаем количество ног -
легко посчитать количество овец
Если знаем количество овец -
легко посчитать количество ног

38. Количество сочетаний
n-множество сочетания из n
по m
m-перестановки

39. Количество сочетаний
n-множество сочетания из n
по m
m-перестановки
Знаем мощности

40. Количество сочетаний
1
2
3
(1,2,3)
(1,3,2)
(2,1,3)
(2,3,1)
(3,1,2)
(3,2,1)

41. Количество сочетаний
1
2
3
(1,2,3)
(1,3,2)
(2,1,3)
(2,3,1)
(3,1,2)
(3,2,1)
1 m-сочетание = m! перестановок

42. Количество сочетаний

43. Свойства сочетаний

44. Свойства сочетаний
1)

45. Свойства сочетаний
1)
Соответствует полному или пустому множеству

46. Свойства сочетаний
2)

47. Свойства сочетаний
3)

48. Свойства сочетаний
3)
1 2 3 4 5 6 7

49. Свойства сочетаний
3)
1 2 3 4 5 6 7
Подмножество размера 3

50. Свойства сочетаний
3)
1 2 3 4 5 6 7
Подмножество размера 3
Подмножество размера 4

51. Свойства сочетаний
3)
Принцип биекции: если мы можем
взаимооднозначно разбить элементы двух множеств
по парам, то мощности этих множеств равны

52. Свойства сочетаний
4)

53. Свойства сочетаний
4)
Общее количество подмножеств

54. Свойства сочетаний
4)
1 2 3 4 ……………………………. n

55. Свойства сочетаний
4)
1 2 3 4 ……………………………. n
берем не берем
2

56. Свойства сочетаний
4)
1 2 3 4 ……………………………. n
берем не берем
2 2

57. Свойства сочетаний
4)
1 2 3 4 ……………………………. n
2 2 2
берем не берем

58. Свойства сочетаний
4)
1 2 3 4 ……………………………. n
2 2 2 2 …………………………….. 2
берем не берем

59. Свойства сочетаний
4)
1 2 3 4 ……………………………. n
2 * 2 * 2 * 2 * …………………………….. * 2

60. Свойства сочетаний
5)

61. Свойства сочетаний
5)
Количество подмножеств
четной мощности
Количество подмножеств
нечетной мощности

62. Свойства сочетаний
5)
1
1

63. Свойства сочетаний
5)
1
1
удаление/добавление единицы
удаление/добавление единицы

64. Свойства сочетаний
6)

65. Свойства сочетаний
6)
Подмножества с единицей Подмножества без единицы

66. Свойства сочетаний
6)
Подмножества с единицей Подмножества без единицы

67. Свойства сочетаний
6)
Подмножества с единицей Подмножества без единицы

68. Свойства сочетаний
6)

75. 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3 3
4
510105
6 15 20 15 6
7212525217
8 28 46 50 46 28 8
64

76. 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3 3
4
510105
6 15 20 15 6
7212525217
8 28 46 50 46 28 8
64
Уровни
0
1
2
3
4
5
6
7
8

77. 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3 3
4
510105
6 15 20 15 6
7212525217
8 28 46 50 46 28 8
64
Уровни
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Диагонали
0
1
2
3
4
5
6
7
8

78. (0,0)
(x,y)

79. (0,0)
(x,y)
Все искомые пути длины x+y

80. (0,0)
(x,y)
Все искомые пути длины x+y
Всего путей

81. Задача о разбиении числа на слагаемые

82. Задача о разбиении числа на слагаемые

83. Задача о разбиении числа на слагаемые

84. Задача о разбиении числа на слагаемые
Разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых считаются различными.

85. Задача о разбиении числа на слагаемые
Разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых считаются различными.
Пример:
Различны, если

86. Задача о разбиении числа на слагаемые
2 = 2 + 0 + 0
2 = 0 + 2 + 0
2 = 0 + 0 + 2
2 = 1 + 1 + 0
2 = 1 + 0 + 1
2 = 0 + 1 + 1

87. Перевод числа в унарную систему счисления
0 = (пустое место)
1 = 1
2 = 11
3 = 111
4 = 1111
…

88. Перевод числа в унарную систему счисления
8 = 3 + 2 + 0 + 3
8 = 111 + 11 + + 111
в обычной системе счисления
в унарной системе счисления

89. Перевод числа в унарную систему счисления
8 = 3 + 2 + 0 + 3
8 = 111 + 11 + + 111
в обычной системе счисления
в унарной системе счисления
Наблюдение: разложение числа n в унарной системе счисления на m слагаемых имеет
n + m - 1 знак

90. Задача и о разбиении числа на слагаемые
8 = 111 + 11 + + 111 в унарной системе счисления
Наблюдение: разложение числа n в унарной системе счисления на m слагаемых имеет
n + m - 1 знак
……………………………………….
n+m-1 позиция, необходимо выбрать m-1, чтобы поставить “+”

91. Задача о разбиении числа на слагаемые
8 = 111 + 11 + + 111 в унарной системе счисления
Наблюдение: разложение числа n в унарной системе счисления на m слагаемых имеет
n + m - 1 знак
Количество разбиений числа m на n
неотрицательных слагаемых:

92. Задача о сумме треугольных чисел

93. Задача о сумме треугольных чисел

94. Задача о сумме треугольных чисел

95. Задача о сумме треугольных чисел

96. Задача о сумме треугольных чисел

97. Задача о сумме треугольных чисел

98. Задача о сумме треугольных чисел

99. Задача о сумме треугольных чисел
n 1 2 3 4 5
1 3 6 10 15

100. Задача о сумме треугольных чисел
n 1 2 3 4 5
1 3 6 10 15

101. Задача о сумме треугольных чисел
n 1 2 3 4 5
1 3 6 10 15

102. Задача о сумме треугольных чисел

103. Задача о сумме треугольных чисел

104. Задача о сумме треугольных чисел

105. Задача о сумме треугольных чисел

106. Задача о сумме треугольных чисел
Пусть k = 3, а n = 7
3-я диагональ

107. Задача о сумме треугольных чисел
Пусть k = 3, а n = 7
3-я диагональ

108. Задача о сумме треугольных чисел
Пусть k = 3, а n = 7
3-я диагональ

109. Задача о сумме треугольных чисел
Пусть k = 3, а n = 7
3-я диагональ

110. Задача о сумме треугольных чисел
Пусть k = 3, а n = 7
3-я диагональ

111. Задача о сумме треугольных чисел
Пусть k = 3, а n = 7
3-я диагональ

112. Задача о сумме треугольных чисел
Пусть k = 3, а n = 7
3-я диагональ

113. Задача о сумме треугольных чисел
Пусть k = 3, а n = 7
3-я диагональ

118. 1.
2.

119. 1.
2.

120. 1.
2.

121. 1.
2.
В каждой скобке x

122. 1.
2.
В каждой скобке x
В n-1 скобке - x, в 1 - y

123. 1.
2.
В каждой скобке x
В n-1 скобке - x, в 1 - y В n-2 скобке - x, в 2 - y

124. 1.
2.
В каждой скобке x
В n-1 скобке - x, в 1 - y В n-2 скобке - x, в 2 - y
В 1 скобке - x, в (n-1) - y
В каждой скобке y

125. Бином Ньютона

126. Бином Ньютона

127. Перестановки

128. Перестановки

129. Перестановки

130. Перестановки
…………………...
…………………...1 2 3 N-1 N
Варианты
Позиции

131. Перестановки
…………………...
…………………...1 2 3 N-1 N
Варианты
Позиции
N

132. Перестановки
…………………...
…………………...1 2 3 N-1 N
Варианты
Позиции
N N-1

133. Перестановки
…………………...
…………………...1 2 3 N-1 N
Варианты
Позиции
N N-1 N-2

134. Перестановки
…………………...
…………………...1 2 3 N-1 N
Варианты
Позиции
N N-1 N-2 2 1

135. Перестановки
…………………...
…………………...1 2 3 N-1 N
Варианты
Позиции
N N-1 N-2 2 1

136. Перестановки

137. Перестановки
…………………...
…………………...1 2 3 K-1 K
Варианты
Позиции

138. Перестановки
…………………...
…………………...1 2 3 K-1 K
Варианты
Позиции
N

139. Перестановки
…………………...
…………………...1 2 3 K-1 K
Варианты
Позиции
N N-1

140. Перестановки
…………………...
…………………...1 2 3 K-1 K
Варианты
Позиции
N N-1 N-2

141. Перестановки
…………………...
…………………...1 2 3 K-1 K
Варианты
Позиции
N N-1 N-2 N-K-2

142. Перестановки
…………………...
…………………...1 2 3 K-1 K
Варианты
Позиции
N N-1 N-2 N-K-2 N-K-1

143. Перестановки
…………………...
…………………...1 2 3 K-1 K
Варианты
Позиции
N N-1 N-2 N-K-2 N-K-1

144. Перестановки с повторениями

145. Мультимножества
Пример (легко понять):

146. Мультимножества
Пример (легко понять):
Формально верно:

147. Перестановки с повторениями

148. Перестановки с повторениями

149. Перестановки с повторениями

150. Перестановки с повторениями

151. Перестановки с повторениями

152. Перестановки с повторениями

153. Перестановки с повторениями

154. Перестановки с повторениями
MISSISSIPPI

155. Перестановки с повторениями
MISSISSIPPI

156. Циклические перестановки

157. Циклические перестановки

158. Циклические перестановки
1
2
3
4
5

159. Циклические перестановки
1
2
3
4
5
1
2
3 4
5

160. Циклические перестановки
1
2
3
4
5
1
2
3 4
5
5
1
2 3
4

161. Циклические перестановки
1
2
3
4
5
1
2
3 4
5
5
1
2 3
4

162. Циклические перестановки
1
2
3
4
5
5
1
2 3
4
5
1
2 3
4

163. Циклические перестановки
5
1
2
3
4

164. Циклические перестановки
5
1
2
3
4
2
3
4
5
1
4
5
1
2
31
2
3
4
5
3
4
5
1
2

165. Циклические перестановки
5
1
2
3
4
Общее количество перестановок с “помеченным местом”

166. Циклические перестановки
5
1
2
3
4
Общее количество перестановок с “помеченным местом”
Для каждых перестановок с “помеченным местом” - одна
без пометок

167. Циклические перестановки
5
1
2
3
4
Общее количество перестановок с “помеченным местом”
Для каждых перестановок с “помеченным местом” - одна
без пометок
Количество перестановок без пометок -

168. Циклические перестановки
5
1
2
3
4
Общее количество перестановок с “помеченным местом”
Для каждых перестановок с “помеченным местом” - одна
без пометок
Количество перестановок без пометок -
А если гостей больше чем мест, то