Уравнениея

1. Уравнения и системы уравнений
Содержание
Показательные уравнения........................................................................................................................1
Логарифмические уравнения...................................................................................................................7
Иррациональные уравнения...................................................................................................................13
Рациональные уравнения.......................................................................................................................19
Тригонометрические уравнения.............................................................................................................28
Уравнения, содержащие знак модуля...................................................................................................37
Показательные уравнения
1. Решить уравнение .
2. Решить уравнение .
3. Решить уравнение
1− х
4. Решить уравнение 2 − х =  
1
2 .
1+ х
5. Решить уравнение 3 х =  
1
3 .
1
6. Решить уравнение 10 − х = 1− х
10 .
7. Решить уравнение 4 х = 3 .
8. Решить уравнение 3 х = 2 .
9. Решить уравнение 5 х +1 = 15 .
10. Решить уравнение 5 2( х +1) = 3 х +1 .
11. Сколько корней имеет уравнение 2 4 õ−1 = 3 ?
2
12. Сколько корней имеет уравнение 3 x −5 õ+1
= 81 ?
13. Сколько корней имеет уравнение 9 õ − 3 x +1 = 6 ?
14. Сколько корней имеет уравнение 2 2 õ+1 + 2 2 x = 5 ?
1

2. 15. Сколько корней имеет уравнение 4 − 2
x+2
õ
=7 ?
16. Сколько корней имеет уравнение 5 2 õ − 3 ⋅ 5 x + 15 = 0 ?
17. Сколько корней имеет уравнение 4 õ − 5 ⋅ 2 x + 2 = 0 ?
18. Сколько корней имеет уравнение 2 3 õ+5 = cos 3 ?
2
−5 õ + 6
19. Сколько корней имеет уравнение 3x = log 2 0,7 ?
20. Сколько корней имеет уравнение e 3−4 x = ln 5 − ln 7 ?
x −1
3
21. Сколько корней имеет уравнение   = log 2 5 − log 2 6 ?
2 3 3
1− õ 7π
22. Сколько корней имеет уравнение 5 = cos
3 ?
x−4
23. Решить уравнение 3 = 27
24. Решить уравнение 3 x − 4 = 27
3 x −4,5
1
25. Решить уравнение   = 125
5
26. Решить уравнение ( 2 −1 ) x− 2
=
3−2 2
1
5х
27. Решите уравнение (1+ 2 ) = ( 2 -1)100
х х
28. Решите уравнение (15+10 2 ) +2( 10 + 5 ) = 3
x −1 x
5 4 8 lg 9
29. Решить уравнение   ⋅  =
6 5 15 lg 27
х х+3
30. Сколько корней имеет уравнение: 3 +1 = ?
х
31.Сколько корней имеет уравнение: π 10-5х = tg(arcsin1)?
32. Сколько целых корней имеет уравнение 2 х − 2 = log2 (4-х) ?
33. Сколько корней имеет уравнение 5 2 õ−1 = a , где a > 0 ?
34. При каких значениях a уравнение 6 3 õ−5 = a имеет корни?
35. При каких значениях a уравнение 2 õ = a 2 + 3a + 9 имеет корни?
36. При каких значениях a уравнение 2 5 x −3 = a имеет 2 корня?
2

3. 37. Сколько корней имеет уравнение 3 x = a , если a > 1 ?
38. При каких значениях a уравнение 0,2 x = a имеет 2 корня?
39. Укажите все значения a , при которых уравнение 3 ⋅ 5 õ − 5 x +2 = a имеет корни?
2х+1
40. Сколько корней имеет уравнение: 2008 = а при а>0 ?
x
41. Сколько корней имеет уравнение 5 −1 = a , если а>0 ?
x −7 , если а ≥ 7 ?
42. Сколько корней имеет уравнение 7 =a
43.Сколько корней имеет уравнение 52х+2 = -а , если 0<a<5 ?
44.При каких значениях а уравнение 5-х+3 = -а имеет решение ?
tgx
45. При каких значениях а уравнение 3 = -а не имеет решения?
46. При каких значениях а уравнение 4tg(2x+3) = a2+2a+4 имеет корни?
х х+3
47. При каких значениях а уравнение 7 ⋅ 3 – 3 = а имеет корни?
64
48. Решить уравнение x +3
= 0.125 x −7 ;
2
x x −1
 4   27 
49. Решить уравнение     = 1;
9  8 
50. Решить уравнение 5 3 x −1 ⋅ 2 3 x −1 = 3 0,1 ;
51. Решить уравнение 5 x −1 = 10 x ⋅ 2 − x ⋅ 5 x +1 ;
52. Решить уравнение 2 − 3 ( ) 3x
= ( 3+2 ) x2
;
53. Решить уравнение 2 − 3 ( ) 2 x −3
=
1
.
7−4 3
54. Решить уравнение 5 3 x −7 = 2 3 x −7 ;
55. Решить уравнение 5 2 x −1 = 3 x −0,5 ;
2 2
56. Решить уравнение 3 x −x
= 2 x− x .
57. Решить уравнение 2 x + 2 − 2 x = 96 ;
58. Решить уравнение 5 ⋅ 7 x −1 + 4 ⋅ 3 x + 3 x +1 − 2 ⋅ 7 x = 0 ;
59. Решить уравнение 4 x − 10 ⋅ 2 x −1 = 24 ;
60. Решить уравнение 4 x + 3 ⋅ 6 x − 4 ⋅ 9 x = 0 ;
3

4. 61. Решить уравнение 2 x −1 + 2 − x −1 = 1 ;
(
62. Решить уравнение 5 + 2 6 ) +(x
3+ 2 ) x
= 12 ;
3− x x −1
x −2 1
63. Решить уравнение 6 −  + 36 2
= 246 ;
6
64. Решить уравнение 64 x = 2 ⋅ 27 x − 36 x ;
2 2 x+2
65. Решить уравнение
4 +2x x
− 12 = 0 ;
1 1
x− x+
66. Решить уравнение
4 −3x 2
=3 2
− 2 2 x −1 ;
x x
2 3 65
67. Решить уравнение   −   = − .
3 2 36
68. Решить уравнение 5 x = 2 ;
69. Решить уравнение 2 3 x −1 = 3 ;
70. Решить уравнение 3 x = ln 3 ;
71. Решить уравнение 2 x = sin 2 .
9 x + y = 729

72. Решите систему уравнений:  x ;
3 ÷ 3 y +1 = 1

32 x−2 y + 2 ⋅ 3 x − y − 3 = 0

73. Решите систему уравнений:  x ;
3 + 31− y = 4

6 x − 6 y = 30

74. Решите систему уравнений:  x y ;
6 ⋅ 6 = 216

64 2 x + 64 2 y = 12

75. Решите систему уравнений:  x + y ;
64 = 4 2

 x
3 − 5 ⋅ 2 = 4001
x
76. Решите систему уравнений:  ;
3 ⋅ 2 x + 3 x = 8097

3 x − 2 2 y = 65

77. Решите систему уравнений:  x ;
3 − 2 = 5

2 y
4

5. 2 x ⋅ 3 y = 12

78. Решите систему уравнений:  y x ;
2 ⋅ 3 = 18

5 x ⋅ 6 y = 150

79. Решите систему уравнений:  x y ;
6 ⋅ 5 = 180

 x y = 64

80. Решите систему уравнений:  y ;
2 812 = 3x

 2
y = 4 + 8
x
81. Решите систему уравнений:  x +1 .
2 + y + 1 = 0

82. Решить уравнение 2 3 x− 2 = 5 2 x +3 ;
3
83. Решить уравнение
3 ⋅ 2 = 24 ;
x x
x
84. Решить уравнение
5 ⋅8
x x +1
= 100 ;
85. Решить уравнение 2 9 x +9 ⋅ 37 x +3 ⋅ 56 x = 720 x +3 .
86. Решить уравнение 5 x + 3 x = 8 ;
87. Решить уравнение 5 x + 3 x = 8 x ;
88. Решить уравнение 1x + 2 x = 3 x ;
89. Решить уравнение 1x + 2 x + 3 x + 4 x = 10 ;
90. Решить уравнение 2 x = 2 − x ;
91. Решить уравнение 5 x = 7 − 2 x ;
3
92. Решить уравнение 3 =
x
;
x
x 1
93. Решить уравнение 2 = 1+ ;
x
94. Решить уравнение 0,5 x −1 + 0,25 x − 3 x = x+4.
95. Решить уравнение 3 + 5 x = ( 0,3) x ;
2
+2
96. Решить уравнение 3x = sin 3 x ;
97. Решить уравнение ( 2) x 2 +1
= sin x − cos x ;
5

6. 2
−2 x+2
98. Решить уравнение 2x + 2 − x 2 = 3x .
2
99. Сколько корней имеет уравнение: 3 = 1 +
x
;
x
−x
100. Сколько корней имеет уравнение: 2 = 2 − x ;
101. Сколько корней имеет уравнение: 2 õ = x 2 ;
2x + 1
102. Сколько корней имеет уравнение: ( 0,2)
x
= .
x
103. Решить уравнение 6 x − 8 ⋅ 3 x − 9 ⋅ 2 x + 72 = 0 ;
104. Решить уравнение 4 x − 10 ⋅ 2 x + 20 = ( 4 − x2 ) 2
+ x2 ;
105. Решить уравнение 3 x +1
= 9x ;
x −2 −2
106. Решить уравнение 8 = 0,25 x ;
2
+ 2 x+5
107. Решить уравнение 2x = 8 + 4 + 2 + ... ;
108. Решить уравнение ( 0, ( 3) ) 5 x +1 = 27 ;
2 2
109. Решить уравнение 2 sin x
− 2 cos x
= 1;
110. Решить уравнение 3 х 81 - 10 х 9 +3 = 0 .
111. Укажите отрицательный корень уравнения 23х+1 – 22х = 2х+1 – 1.
х 2х+3
112. Укажите количество корней уравнения õ 2 − õ − 6 (2 – 2 ) = 0.
113. Сколько корней имеет уравнение 2 x − 3 lg x = 0 ? ( )
114. Определите, при каких значениях параметра a уравнение 64 x + ( a − 4 ) 8 x + 4 − 2a = 0 имеет
ровно один корень?
115. Определите, при каких значениях параметра a уравнение 16 x − ( 4a − 1) 4 x + 3a 2 − a = 0
имеет ровно один корень?
116. Определите, при каких значениях параметра a уравнение 9 x − 2( 3a − 2 ) 3 x + 5a 2 − 4a = 0
имеет два различных решения?
117. Определите, при каких значениях параметра a уравнение
6.25 x + (1 − 2a ) 2.5 x − 3a 2 + 5a − 2 = 0 не имеет решений?
6

7. ( )
118. Определите, при каких значениях параметра a уравнение 9 x + a 2 + 6 3 x − a 2 + 16 = 0 не
имеет решений?
119. Решите уравнение с параметром a относительно x 4 x − ( a + 3) 2 x + 4a − 4 = 0 ;
3 x +1 + 5 x −1
120. Решите уравнение с параметром a относительно x =a.
5x − 3x
121. Решите уравнение с параметром a относительно x 6.25 x + (1 − 2a ) 2.5 x − 3a 2 + 5a − 2 = 0 ;
5 x + a ⋅ 3x
122. Решите уравнение с параметром a относительно x = a;
5 x+1 + ( a − 3) ⋅ 3 x
2 x +1 − 2 ⋅ 3 x−1
123. Решите уравнение с параметром a относительно x =a;
x
9⋅2 − 4⋅3
x
2x + 3 2x + 7 2a
124. Решите уравнение с параметром a относительно x + x = .
x
2 −2 2 −4 4 − 6 ⋅ 2x + 8
x
Логарифмические уравнения
125. Решить уравнение .
126. Решить уравнение
127. Решить уравнение .
128. Решить уравнение .
129. Решить уравнение log 5, 7 (−x) = 1
130. Решить уравнение log 2 (2 x + 3) = 3
131. Решить уравнение
log 1 (3 x + 1) = −2
2
132. Решить уравнение log 7 (4 − x) = 2
133. Решить уравнение log 2 (1 − x) = 2
1
134. Решить уравнение = −2
log 9 x
1
135. Решить уравнение = −3
log 64 x
2
136. Решить уравнение +1 = 0
log 5 x
137. Решить уравнение 8 log 2 x = 4
138. Решить уравнение 9 log3 x = 27
2
139. Решить уравнение 2 lg x = 2
7

8. 140. Решить уравнение log 4 ( x 2 ) + 2 = 0
141. Решить уравнение log 3 (2 x − 1) − log 3 ( x − 4) = 2
142. Решить уравнение log 0, 2 ( x + 10) + 1 = log 0, 2 ( 2 x − 4)
х −1
143. Решить уравнение log 3 = −1
2x − 1
144. Сколько корней имеет уравнение log 3 ( x − x − 1) = 2 ?
2
143. Сколько корней имеет уравнение lg(5 x + 1) = ln 0,1 ?
144. Сколько корней имеет уравнение lg(2 x + 0,2) = −1 ?
145. Сколько корней имеет уравнение ln x + ln x = 2 ?
2
146. Сколько корней имеет уравнение
( x + 2) log 1 x = 0 ?
3
147. Сколько корней имеет уравнение (x 2
)
− 5 log 3 ( 3 − 2 x ) = 0 ?
148. Сколько корней имеет уравнение x log 4 1 − x 2 = 0 ? ( )
149. Решить уравнение (
x + 1 log 1 x 2 − 3 = 0 ? )
3
150. Решить уравнение log x 2 −3 x 2 = 0,5 ?
160. Решить уравнение lg 2 x = 1 ?
log 3 ( x + 1) = 2 ?
2
161. Решить уравнение
162. Решить уравнение log 3 x − log x 9 = 1 ?
( )
163. Решить уравнение x − 4 x + 3 lg( x − 1) = 0 ?
2
164. При каких значениях a уравнение lg( 2 x + 7 ) = a имеет корни?
165. При каких значениях a уравнение ln 2 x − 8 ln x + a = 0 имеет один корень?
2
166. При каких значениях a уравнение log 3 x + a log 3 x + 9 = 0 имеет один корень?
167. При каких значениях a уравнение ( x − a ) log 2 x = 0 имеет два корня?
168. При каких значениях a уравнение lg a x = 4 имеет два корня?
169. При каких значениях а уравнение a log 2 x − log 4 x + 1 = 0 имеет только один корень?
4
170. При каких значениях а уравнение ( x − 5) log 2 a = 0 имеет только один корень?
(
171. Решить уравнение log 1 x + 4 x + 12 = −2 ;
3
2
)
172. Решить уравнение log 4 ( x + 2 ) = 0,5 ;
173. Решить уравнение log 2 log 3 lg x = 0.5 ;
8

9. 174. Решить уравнение log 3 x + 2 16 = 4 ;
175. Решить уравнение ln(1 − x ) 4 = 4 ;
176. Решить уравнение 9 log9 ( x −4 ) = 3 ;
( )
177. Решить уравнение x − 4 ⋅ log 3 ( x + 1) = 0 ;
2
( )
178. Решить уравнение x 2 − 2 x − 8 lg( 2 x − 1) = 0 ;
179. Решить уравнение log 1
3− 2
(( x 2
)(
+ x x 2 + 5 x + 6 − 19 + 2 6 = 2 ; ) )
180. Решить уравнение log 5 log 0,5 log ( −x
(2x 2
)
− x − 6 − 1,5 = 0 . )
181. Решить уравнение log 0.2 ( − 2 − 3x ) = log 0.2 x − 2 ;
2
( )
x+2
182. Решить уравнение lg( x + 2 )( x − 3) = lg ;
x−3
log 1 ( x + 2 )
183. Решить уравнение (
log 0 ,.25 2 x 2 + 4 x +3 ) .
4 = 36 6
184. Решить уравнение log 2 ( 3 − x ) = 3 − log 2 (1 − x ) ;
185. Решить уравнение lg( 5 − 3 x ) − lg( x − 1) = lg( 5 − x ) − lg( 3 x − 1) ;
186. Решить уравнение log 3 x + log 3 ( x − 2 ) = log 3 ( 9 − 2 x ) ;
187. Решить уравнение log 1 ( x + 1) + log 1 ( x − 1) = log 1 ( 7 − 2 x ) ;
3 3 3
x−3 x−3
188. Решить уравнение 2 log 3 + 1 = log 3 ;
x−7 x −1
lg 10 lg ( x ) − 1 = lg x ;
2
189. Решить уравнение + 21
190. Решить уравнение ln 2 ( 2 x + 3) = ln 2 ( 3 x + 2) ;
9( x − 7 )
191. Решить уравнение 0, (
log101 x 2 − 7 x − log101
0, ) x
=0.
192. Решить уравнение lg 2 x − lg x = 2 ;
1 2
193. Решить уравнение + = 1;
5 − log 2 x 1 + log 2 x
9

10. 194. Решить уравнение lg 2 ( 2 x − 1) − lg( 2 x − 1) lg x − 2 lg 2 x = 0 ;
(
195. Решить уравнение lg( lg x ) + lg lg x 3 − 2 = 0 . )
196. Решить уравнение log 2 x + log 4 x + log 8 x = 11 ;
197. Решить уравнение log 3 x + 7 ( 5 x + 3) = log 5 x +3 ( 3x + 7 ) ;
198. Решить уравнение 20 log 4 x x + 7 log16 x x 3 − 3 log x x 2 = 0 ;
2
199. Решить уравнение 3 log x 4 + 2 log 4 x 4 + 3 log16 x 4 = 0 ;
200. Решить уравнение log 3 x 2 −1 x = log 3 x x ;
1
201. Решить уравнение ;
25 log x +1 5
= 2x2 − 7
202. Решить уравнение log 2 +1
(x 2
+ x + 3 = log ) 2 −1
(4 − x 2
)
−x− 3 .
203. Решить уравнение log 2 x 4 + 4 log 2 ( − x ) = 8 ;
( ) (
204. Решить уравнение lg x 3 − 1 − 0,5 lg x 2 − 2 x + 1 = lg 13 ; )
205. Решить уравнение lg 2 x 2 − lg x 3 = lg 10 ;
206. Решить уравнение 2 lg x 2 − lg 2 ( − x ) = 4 ;
207. Решить уравнение log 5 ( x − 8) = 2 + 2 log 5 ( x − 2) ;
2
log 2 ( x + 1) + log 1 ( x + 1) = 2 ;
2 7
208. Решить уравнение 2
2
209. Решить уравнение 4 log 2 ( − x ) + 2 log 4 x 2 + 1 = 0 .
4
210. Решить уравнение x log3 x −2 = 27 ;
100
211. Решить уравнение x lg x = ;
x
212. Решить уравнение x 5−log 2 x −log x 2 = 8 ;
x
1+ lg 2
213. Решить уравнение x = 400 ;
214. Решить уравнение x log 4 x − 2 = 2 8( log 4 x −1) .
10

11. 215. Решить уравнение lg x = 21 − 2 x ;
2
216. Решить уравнение log 4 ( x + 2 ) = ;
x
217. Решить уравнение log 1 x = x ;
3
3
218. Решить уравнение log 2 x + log 3 x + log 5 x = 4 − 4 x ;
219. Решить уравнение log 2 x + log 4 x = 2 x ;
x
1
220. Решить уравнение log 2 x + log 4 x =   .
2
221. Сколько корней имеет уравнение ln x = 2 x −1 ?
222. Сколько корней имеет уравнение log 2 x = x − 2 ?
log 1 x = ( x + 2) ?
2
223. Сколько корней имеет уравнение
2
 13   13 
224. Решить уравнение 2 log 2 1 −  = 3 log 2  2 +  + 12 ;
 2x + 7   x − 3
1
225. Решить уравнение ;
25 log x +1 5
= 2x2 − 7
 π 
226. Решить уравнение x + x + 90 log 2 cos − 0,5 log 2 3  = 0 ;
2
 6 
227. Решить уравнение 5lg x = 50 − x lg 5 ;
228. Решить уравнение 5 log 2 x + 2 x log 2 5 = 15 ;
2 2
229. Решить уравнение 2 log 2 x + x log 2 x = 6 ;
2
230. Решить уравнение 3log 3 x + x log3 x = 162 ;
231. Решить уравнение x 2 log9 8 − x log x 30 + x log3 9 = 0 ;
232. Решить уравнение log 2 5 x − log 5 x + 23 = ( ) +x ;
25 − x 2
2
2
x + 34 = ( 36 − x ) + x ;
2
233. Решить уравнение log 2 6 x − log 6 2 2
11

12. log x 0.125
234. Решить уравнение 9 ⋅ 3 log 2 4 1
x
−  =0;
9
235. Решить уравнение log 2+ 3
( x + 3 ) = log 2− 3
(x − 3) ;
236. Решить уравнение (
lg 4 x − x + 2 = x lg 40 − x ; )
30  1  7  0, 75 
237. Решить уравнение 4− = 4 log 7  4 ⋅    ;
log x 7  7 x 
 
12 5π
238. Решить уравнение log x 2 + log 2 x = arcsin sin ;
π 6
 11π 
239. Решить уравнение log ( x +1) 2 8 + 3 log 4 ( x + 1) = 41 arcsin cos ;
 7 
240. Решить уравнение (x 2
− x +1 ) x 2 −1
= 1;
2 x2 +2 5x
241. Решить уравнение 3x − 4 = 3x − 4 .
log 3 x + log 3 y = 1 + log 3 2
242. Решите систему уравнений  ;
log 25 ( x + y ) = 0,5
log 5 ( log 3 x + log 3 y ) = 0
243. Решите систему уравнений  x− y
;
4 = 16
x 2 + y 2 = 5
244. Решите систему уравнений  ;
lg x + lg y = lg 2
3 x −2 xy = 1
2

245. Решите систему уравнений  ;
2 log 3 ( y + 2 ) = log 3 ( 5 x − 1)

 x log 2 y = 3
246. Решите систему уравнений  ;
 xy = 6

 x+ y =2
247. Решите систему уравнений  ;
log 2 ( x + 1) = 1 + log 4 y

log 3 x + log 3 y = 4
248. Решите систему уравнений  ;
2 lg y − lg x + lg 3 = 0
12

13. x 2 − y 2 = 2
249. Решите систему уравнений  ;
log 2 ( x + y ) − log 2 ( x − y ) = 1
 1
log 2 ( xy ) − log 2 x = 1
2
250. Решите систему уравнений  2 ;
log 2 y 2 + log 2 ( y + 6 ) = 4
 x
 x log 2 3 + log 2 y = y + log 2 x
251. Решите систему уравнений  ;
 x log 3 12 + log 3 x = y + log 3 y
 2
log 2 y + log 2 x ⋅ log 2 y − 2 log 2 x = 0
2
252. Решите систему уравнений  2 ;
2 x y − xy 2 = 1

 x log5 y + y log5 x = 50
253. Решите систему уравнений  .
log 25 x + log 25 y = 1,5
254. При каких значениях параметра a уравнение 2 lg( x + 1) = lg( ax ) имеет единственное
решение?
( )
255. Определите, при каких значениях параметра a уравнение lg x 2 + 6 x + 8 = lg( a − 3 x ) имеет
единственное решение?
256. Сколько корней имеет уравнение x log2 x = ax при каждом значении параметра a ?
257. При каких значениях a уравнение (
log 2 4 x − a = x ) имеет ровно два решения?
258. Решите уравнение с параметром a относительно x ( x − a ) log 2 x = 0 ;
259. Решите уравнение с параметром a относительно x 2 ln( 3 − x ) = ln ( ax ) ;
260. Решите уравнение с параметром a относительно x 2 lg( x + 3) = lg( ax ) ;
2 a−2
261. Решите уравнение с параметром a относительно x 2 2 x−x = ;
a −1
2
2a − x
262. Решите уравнение с параметром a относительно x log a
− log 1 x = 0 .
a a
Иррациональные уравнения
263. Решить уравнение х + 2 ⋅ х + 8 = 4
264. Решить уравнение 1 − 3х ⋅ х + 5 = 4
13

14. 265. Решить уравнение 2 = х−3
х
266. Решить уравнение 3 = х−8
х
267. Решить уравнение 4 = х − 15
х
268. Решить уравнение 8 − 5 х = х 2 − 16
269. Решить уравнение х 2 − 36 = 2 х − 1
270. Решить уравнение 2 х 2 − 3х + 2 = х
271. Решить уравнение 2 х 2 − 3х + 2 = − х
272. Решить уравнение 5х 2 − 4 х + 3 = 2 х
273. Решить уравнение 5 х 2 − 4 х + 3 = −2 х
274. Решить уравнение х 2 + 2 х + 6 = 3х
275. Решить уравнение х + 3 = х +1
276. Решить уравнение х +1 = х −1
277. Решить уравнение х−2 = 4−х
278. Решить уравнение 12 − х ⋅ х + 3 = 6
3
279. Сколько корней имеет уравнение 3x − 1 = log 2 ?
3
4
280. Сколько корней имеет уравнение x 2 − 5x + 4 = 2 ?
2
281. Сколько корней имеет уравнение 3− = cos 2 ?
x−4
(
282. Сколько корней имеет уравнение x 2 − 5 x + 4 x = 0 ? )
283. Найдите сумму корней уравнения ( x − 3) x 2 − 6x + 8 = 0 ?
284. При каких значениях a уравнение 3x −1 = a имеет корни?
14

15. 285. При каких значениях a уравнение x 2 + 4 = a имеет один корень?
286. При каких значениях a уравнение 1 − 2 x = log 2 a имеет корни?
3
287. При каких значениях a уравнение 2 x − 1 + 3 x − 3 = a имеет один корень?
288. При каких значениях a уравнение 2 x + 7 + 2 x − 2 = a имеет один корень?
289. При каких значениях a уравнение x 2 − 10 x + 25 = a 4 имеет два корня?
290. Решить уравнение 3x + 1 = log 2 3 ;
3
291. Решить уравнение 5 x − 1 = log 2 3 ;
292. Решить уравнение x 2 − 1 = sin 2 .
293. Решить уравнение x+8 +3= 7− x ;
294. Решить уравнение 4
5x − 5 + 1 − x 2 = 2 ;
295. Решить уравнение x 2 − 2x + x − x 2 = x ;
296. Решить уравнение x−3 + x = 2;
297. Решить уравнение 4
x + 1 + x 2 − 7 x + 3x − 4 = 0 ;
298. Решить уравнение 4 − x2 + x + 2 = 0 ;
299. Решить уравнение x 2 + 2 x − 3 + x − x 2 = 3x − 3 ;
300. Решить уравнение x 2 − 1 + 1 − x 2 = x 2 + 3x + 2 ;
301. Решить уравнение x 3 + 3x 2 − x = x 2 + 3 x − 1 .
302. Решить уравнение x − x = 30 ;
6
303. Решить уравнение x− = 1;
x
1
304. Решить уравнение 2 x − 3 − = 1;
x−3
305. Решить уравнение 34 x − 1 + 2 x − 1 = 5 ;
15

16. 306. Решить уравнение 3
( x − 1) 2 + 3 x −1 = 2 ;
307. Решить уравнение 3 x 2 + 3x + x2 + x = 0;
308. Решить уравнение x 2 − 7 x + x 2 − 7 x + 18 = 24 ;
309. Решить уравнение x 2 + x2 − x + 9 = x + 3 ;
310. Решить уравнение x 2 − 3x + x 2 − 3x + 5 = 33 − 2 x 2 + 6 x .
311. Решить уравнение x2 − 5 = x +1 ;
312. Решить уравнение x 2 + x + 1 = x2 + 7x − 4 ;
313. Решить уравнение 2x − 3 = 4x − 1 ;
314. Решить уравнение 11 + x = 3 − x − 1 .
(
315. Решить уравнение x 2 − 4 ) x −1 = 0 ;
(
316. Решить уравнение x 2 + 6 x + 5 ) x 2 − 16 = 0 .
317. Решить уравнение x −1 + x + 3 = 2 ;
318. Решить уравнение 2x + 3 − 4 − x = 2 ;
319. Решить уравнение 4 x + 5 − 14 − x = 2 ;
320. Решить уравнение x + x +1 + x + 4 = 3;
321. Решить уравнение 1 − x − x + 3 + 10 − x = 1 ;
322. Решить уравнение 2 x + x−3 = 9− x;
323. Решить уравнение x 3 + 1 + x = 27 − x ;
3
324. Решить уравнение x −1 + x = ;
x −1
325. Решить уравнение 4
17 − x = 3 x + 2 x − 1 ;
326. Решить уравнение 4
x − 1 + 23 3 x + 2 = 4 + 3 − x ;
3
328. Решить уравнение x + x +1 = ;
x −1
16

17. 1
329. Решить уравнение 1 + 2 − x = x −
3
.
x−2
330. Решить уравнение x + 2 = x;
331. Решить уравнение x − 13 = x + 8 − 3 ;
332. Решить уравнение 4 x + 8 − 3x − 2 = 2 ;
333. Решить уравнение − x 2 + x + 30 = −2 x − 10 ;
3x − 1
334. Решить уравнение 4x − 3 = ;
3x − 5
335. Решить уравнение 5 − x + x + 8 = 5;
336. Решить уравнение x = 7x + 2 − 5 − x ;
337. Решить уравнение 11 − x 2 − 2 + x 2 = 3 − x 2
x +1
338. Решить уравнение ( x − 3)( x + 1) + 3( x − 3) = 28 ;
x−3
339. Решить уравнение x 2 − 1 + x 2 + x − 2 = 4 x 2 − 2x + 1 ;
4 x − 1 8x 2 − 2 x − 3
340. Решить уравнение = .
x x
341. Решить уравнение x 2 − 6 x + 9 + x 2 + 2 x + 1 = 5x − 1 ;
342. Решить уравнение x 2 − 4x + 4 + x 2 + 4x + 4 = 4 .
343. Решить уравнение 3
2 − x + 3 x = −1 ;
344. Решить уравнение 3
2 + x + 3 2 − x = 1;
345. Решить уравнение 3
x − 1 + 3 x + 1 = x3 2 ;
346. Решить уравнение 3
x + 7 − 3 x − 2 = 3;
347. Решить уравнение 3
2 x − 2 + 3 x − 3 = 3 3x − 5 .
348. Решить уравнение x + x + 16 = 3 ;
349. Решить уравнение x + x + 9 = 3 − x2 ;
350. Решить уравнение 1 − x 2 = cos x + 3 ;
17

18. 351. Решить уравнение 2x − x2 = x4 + 1;
352. Решить уравнение x + x + 4 = 2 − x2 ;
353. Решить уравнение x + x +9 = 2;
354. Решить уравнение − 2 − x + x + 4 = x 2 + 6 x + 11 .
355. Решить уравнение 2 x 2 + 8x + 7 − 2x 2 − 8x + 7 = 2x ;
356. Решить уравнение x 2 + 5x + 2 − x 2 + x + 1 = 4 x + 1 ;
357. Решить уравнение 2 x 2 + 3x + 5 + 2 x 2 − 3x + 5 = 3x ;
358. Решить уравнение x 2 + 6 x + 2 − x 2 + x + 1 = 5x + 1 ;
1 2 x +1
359. Решить уравнение + = 1.
2x + 3 + x + 1 x+2
360. Решить уравнение 3x 2 − 2 x + 15 + 3 x 2 − 2 x + 8 = 7 ;
361. Решить уравнение x 2 − 3x + x 2 − 3x + 5 = 33 − 2 x 2 + 6 x ;
362. Решить уравнение x+5+2 x+4 − x+8−4 x+4 = x+4 ;
363. Решить уравнение x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = x − 1;
364. Решить уравнение x + 8 + 2 x + 7 + x +1− x + 7 = 4 ;
365. Решить уравнение x + x + 7 + 2 x 2 + 7 x = 35 − 2 x ;
366. Решить уравнение 2 x + 3 + x + 1 = 3x + 2 2 x 2 + 5 x + 3 − 16 ;
369. Решить уравнение x −1 + x + 3 + 2 ( x − 1)( x + 3) = 4 − 2 x .
 x 2 + 4 xy − 3 y 2 = x + 1

370. Решите систему уравнений  ;
x − y = 1

x − 2 y + 1 = 0

371. Решите систему уравнений  ;
 x+ y =2

 x− y+5 =3

372. Решите систему уравнений  ;
 x + y − 5 = −2 x + 11

18

19.  1 1 3
 + =
373. Решите систему уравнений  x y 2;
 xy = 4

 2x − 1 y+2
 + =2
374. Решите систему уравнений  y + 2 2x − 1 ;
 x + y = 12

 x − y = 13

375. Решите систему уравнений  .
3
 x 2 y − 3 xy 2 = 3

1 2
376. Решите систему уравнений 3
x= x + ;
3 3
1 2 5
377. Решите систему уравнений 3
x= x + ;
6 6
1 2 3
378. Решите систему уравнений 4
2x − 1 = x + .
4 4
379. Решите уравнение с параметром a относительно x x−3 = a ;
380. Решите уравнение с параметром a относительно x a − x2 = x −1;
381. Решите уравнение с параметром a относительно x ( x − a ) x − 1 = 0 ;
382. Решите уравнение с параметром a относительно x 2x + 2 − a = x ;
383. Решите уравнение с параметром a относительно x ( x − a ) x + a = 0 ;
384. Решите уравнение с параметром a относительно x x2 − x = a − x .
Рациональные уравнения
385. При каких значениях a уравнение ax = ax имеет один корень?
x x
386. При каких значениях a решением уравнения = является любое действительное число?
a a
x x
387. При каких значениях a решением уравнения = 2 является любое
a + 2a + 4 a + 2a + 4
2
действительное число?
( )
388. При каких значениях a уравнение a 2 − 3a − 4 x = a 2 − 4a − 5 не имеет корней?
19

20. 2 x − 3 y = 5
389. При каких значениях a система уравнений  имеет единственное решение?
− 4 x + 6 y = a
x − 2 y = 1
390. При каких значениях a система уравнений  имеет единственное решение?
ax − 6 y = 3
2 x − 3 y = 1
391. При каких значениях a система уравнений  не имеет решений?
ax + 3 y = −2
( )
392. Решить уравнение x 2 − 2 3 + 1 x + 4 3 = 0 ;
393. Решить уравнение x 2 − x lg 20 + lg 2 = 0 ;
2
394. Решить уравнение x + x log 2 − log 2 3 = 0 ;
2
3
395. Решить уравнение x 2 − ( 2 sin 1 + cos 1) x + sin 2 = 0 .
396. Решить уравнение относительно x x 2 + ( 2 − a ) x + a − 3 = 0 ;
397. Решить уравнение относительно x x 2 + ( 4 − 2a ) x + a 2 − 4a + 3 = 0 .
398. При каких значениях a уравнение имеет два корня x 2 + a − 3 = 0 ;
399. При каких значениях a уравнение имеет два корня x 2 + ax − 3 = 0 ;
400. При каких значениях a уравнение имеет два корня x 2 + ax + 1 = 0 ;
401. При каких значениях a уравнение имеет два корня ax 2 + x − 3 = 0 ;
402. При каких значениях a уравнение имеет два корня a − 1x 2 + ax + a − 1 = 0 ?
x 2 + y 2 = 1
403. При каких значениях a система уравнений  имеет единственное решение?
x − y = a
x 2 + 2x + y 2 − 4 y = 4
404. При каких значениях a система уравнений  имеет два решения?
y = a
2
 5x − 2  2 − 5x
405. Решить уравнение  2 
+ = 0;
 2x  2x 2
x2 + 1 x2 − 1
406. Решить уравнение + 6⋅ 2 −5 = 0;
x2 − 1 x +1
x 2 + 3x + 2 x 2 + 3x + 6
407. Решить уравнение + = 4;
x 2 + 3x + 1 x 2 + 3 x + 3
20

21. 16 20
408. Решить уравнение − =1;
( x + 6)( x − 1) ( x + 2)( x + 3)
x +1 x − 2 x − 3 x + 4
409. Решить уравнение + + + = 4.
x −1 x + 2 x + 3 x − 4
x−a
410. При каких значениях a уравнение = 0 имеет корни?
x + 3x + 2
2
x2 − a2
411. При каких значениях a уравнение = 0 имеет два корня?
x 2 + 3x − 4
( x − 4)( x − a ) =0
412. При каких значениях a уравнение имеет один корень?
x 2
+ ( 2 − 2a ) x − 2a + 1
1 1
x + y = 5

413. Решить систему уравнений  ;
 1 + 1 = 13
 x2 y2

 x + y x − y 13
 + =
414. Решить систему уравнений  x − y x + y 6 ;
 xy = 5

 x + 2y + 3
 =0
415. Решить систему уравнений  y − 1 .
 x 2 + 4 xy + 5 y 2 = 10

(
416. Решить уравнение x 2 + 2 x ) − ( x + 1)
2 2
= 55 ;
( )( ) (
417. Решить уравнение 2 x 2 + 3 x − 2 5 − 6 x − 4 x 2 = −5 2 x 2 + 3 x + 2 ; )
418. Решить уравнение x( x − 1)( x + 1)( x + 2 ) = 24 ;
( )
419. Решить уравнение 4 x 2 − 1 ( x − 1)( x − 2) = 10 ;
 1  2 1 
420. Решить уравнение 2 x +  +1 =  x + 2  .
 x  x 
421. Решить уравнение 4 x 4 − 8 x 3 + 3 x 2 − 8 x + 4 = 0 ;
422. Решить уравнение 6 x 4 + 25 x 3 + 12 x 2 − 25 x + 6 = 0 ;
423. Решить уравнение x 5 + 2 x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1 = 0 ;
424. Решить уравнение 15 x 5 + 34 x 4 + 15 x 3 − 15 x 2 − 34 x − 15 = 0 ;
21

22. 11x − 6
425. Решить уравнение x =
4
;
6 x − 11
426. Решить уравнение x 4 − 5 x 3 + 10 x + 4 = 0 ;
427. Решить уравнение x 4 − 2 x 3 − 11x 2 + 12 x + 36 = 0 .
2
428. Решить уравнение x 2 + 
 x 
 = 8;
 x −1
2
429. Решить уравнение x 2 + 
 x 
 = 3;
 x + 1
25 x 2 74
430. Решить уравнение x + =
2
;
( 5 + 2 x ) 49
2
2 2
 x   x 
431. Решить уравнение   +  = 90 .
 x + 1  x −1
x 2 − 10 x + 15 3x
432. Решить уравнение = 2 ;
x − 6 x + 15 x − 8 x + 15
2
24 x 12 x
433. Решить уравнение = 2 +5;
2 x − 3x + 4 x + x + 2
2
x2 + 4 x 11
434. Решить уравнение + 2 =− ;
x x + 3x + 4 2
x3 + 2x 3
435. Решить уравнение = .
(x 2
−x+2 ) 2
4
(
436. Решить уравнение x 2 + 2 x ) − ( x + 2) ( 2 x
2 2
)
− x = 6( 2 x − 1) ;
2
437. Решить уравнение 3( x + 2) 2 + 2 x 2 − 2 x + 4 ( ) 2
( )
= 5 x3 + 8 ;
2 2
 x −1   x +1  x2 − 1
438. Решить уравнение 2  −  = 2 ;
 x + 2  x − 2 x −4
4x4
439. Решить уравнение 2 x + 1 + = 5x 2 .
2x + 1
440. Найдите целые решения уравнения x 2 − 11 y 2 + 11 = 10 xy ;
441. Найдите целые решения уравнения x 2 − 3 xy + 2 y 2 = 3 ;
442. Найдите целые решения уравнения x 2 − 2 xy − 3 y 2 = 5 .
22

23. ( x − y ) xy = 30
443. Решите систему уравнений  ;
( x + y ) xy = 120
 x 2 + y 2 + 2 xy = 9
444. Решите систему уравнений  ;
x − y = 1
 2
 x + xy + y = 75
2
445. Решите систему уравнений  2 ;
 x − xy + y 2 = 25

 3
 x − y = 26
3
446. Решите систему уравнений  4 ;
 x − y 4 = 20( x + y )

 4
 x + 6 x y + y = 24
2 2 4
447. Решите систему уравнений  3 ;
 x y + xy 3 = 6

 3 3
 x y = −8
446. Решите систему уравнений  3 ;
 x + y 3 = −7

 xy + x + y = −7
447. Решите систему уравнений  ;
 xy + x y = 6
2 2
 x 3 − y 3 = 65

448. Решите систему уравнений  2 ;
 xy − x 2 y = 20

 x 2 − 3 xy + 6 x − 1 = 0

449. Решите систему уравнений  2 ;
 y − xy − 2 = 0

3 x 2 + 2 xy − 9 x − 4 y + 6 = 0

450. Решите систему уравнений  2 ;
5 x + 2 xy − 12 x − 4 y + 4 = 0

 x 2 + y 2 + x + y = 18

451. Решите систему уравнений  2 ;
x − y 2 + x − y = 6

2 x 2 + y 2 + x − 2 y = 1

452. Решите систему уравнений  2 ;
5 x + 2.5 y 2 + 3x − 4 y = 4

x + 2y + 3
 =0
453. Решите систему уравнений  y − 1 ;
 x 2 + 4 xy + 5 y 2 = 10

 x 2 + 3 xy = 18

454. Решите систему уравнений  2 ;
3 y + xy = 6

23

24. 8 x − 3 y = 1
455. Решите систему уравнений  ;
( x + 2 y )( 8 x − 3 y ) = 12
x + y = 7
456. Решите систему уравнений  .
( )
 x − y ( x − y ) = 175
2 2
457. Найдите целые решения уравнения x 2 − 11 y 2 + 11 = 10 xy ;
458. Найдите целые решения уравнения x 2 − 3 xy + 2 y 2 = 3 ;
459. Найдите целые решения уравнения x 2 − 2 xy − 3 y 2 = 5 .
4
 x 2 + 2x 
460. Решить уравнение 
 x  − 16 = 0 ;

 
x 2 − 10 x + 15 3x
461. Решить уравнение = 2 ;
x − 6 x + 15 x − 8 x + 15
2
6 6
 8 + x2   6x 
462. Решить уравнение  2
 x − 8  =  8 − x2  ;

   
2x 3x 1
463. Решить уравнение + 2 = ;
4 x + 3x + 8 4 x − 6 x + 8 6
2
2
 5x − 2  2 − 5x
464. Решить уравнение  2 
+ = 0;
 2x  2x 2
1 1 1 1
465. Решить уравнение + + + = 0;
x −8 x −6 x + 6 x +8
x2 +1 x2 −1
466. Решить уравнение +6 2 −5 = 0;
x2 −1 x +1
1 1 4x
467. Решить уравнение − = ;
1− x 1+ x 1+ x2
x2 −1 x3 − 8
468. Решить уравнение + = x;
( x − 1) 2 ( x − 2) 2
13 1 6
469. Решить уравнение + = 2 ;
x + x − 21 2 x + 7 x − 9
2
x 2 + 3x + 2 x 2 + 3x + 6
470. Решить уравнение 2 + = 4;
x + 3x + 1 x 2 + 3 x + 3
2 x − 1 3x − 1 x − 7
471. Решить уравнение + = +4;
x +1 x + 2 x −1
24

25. 1 1 10
472. Решить уравнение + = ;
x 2
( x − 2) 2
9
6 x 4 + 6 5x 2 + 5
473. Решить уравнение + = 38 ;
x2 x
 1  2 1 
474. Решить уравнение 7 x +  = 9 + 2 x + 2  ;
 x  x 
16 20
475. Решить уравнение − =1;
( x + 6)( x − 1) ( x + 2)( x + 3)
x2 + x +1 7 x +1
476. Решить уравнение = ⋅ ;
x2 − x +1 9 x −1
24 x 12 x
477. Решить уравнение = 2 + 5;
2 x − 3x + 4 x + x + 2
2
x +1 x − 2 x − 3 x + 4
478. Решить уравнение + + + = 4;
x −1 x + 2 x + 3 x − 4
( x + 1) 5 81
479. Решить уравнение = ;
x 5 + 1 11
x 2 + 4x + 4 2x + 6 x 2 + x + 1 2x + 9
480. Решить уравнение − = − ;
x+4 x+2 x +1 x+3
12 3
481. Решить уравнение − 2 = 1.
x + 2x x + 2x − 2
2
3 x 2 − 12 x + 11 1 2 3
482. Решить уравнение = + + ;
( x − 1)( x − 2)( x − 3) x − 1 x − 2 x − 3
x 2 + 2 x + 2 x 2 + 8 x + 20 x 2 + 4 x + 6 x 2 + 6 x + 12
483. Решить уравнение + = + ;
x +1 x+4 x+2 x+3
2 5 2 5
484. Решить уравнение − = − ;
x − 14 x − 13 x − 9 x − 11
4 1 4 1
485. Решить уравнение − − 2 − = 0;
2 x + 3 x − 8 x − 12
3 2
x − 4 2x + 7 x + 6 2x + 3
2
5 21 9 35
486. Решить уравнение + 2 = 2 − 2 ;
x − 2x − 3 x + 2x − 3 x − 4x + 3 x + 4x + 3
2
1 21 3 1
487. Решить уравнение + 3 = 2 + 2 ;
2 x + 3 2 x + 3x − 2 x − 3 x − 1 2 x + 5 x + 3
2
25

26. ( )
488. При каких значениях a сумма корней уравнения 4 x 2 + 2 − a − a 2 x + a 2 − 3 = 0 равна
нулю?
489. При каких значениях a произведение корней уравнения ( a − 2) x 2 + 3x = a 3 − 2a 2 равна
нулю?
490. При каких значениях a все корни уравнения ax 2 − 2a 2 x + 3a 2 − 2a = 0 положительны?
491. При каких значениях a только один корень уравнения x 2 − 2 x( a + 1) + 6a − 3 = 0 больше 2?
491. При каких значениях a корни уравнения x 2 − 2( a − 1) x + 2a + 1 = 0 имеют разные знаки, и
оба по абсолютной величине меньше 4?
492. При каких значениях a корни уравнения ( a + 2) x 2 − 2( 3 − a ) x + 4a = 0 удовлетворяют
условиям x1 < −1 , x 2 > 4 ?
493. Найти значение a , для которых уравнение x 2 − 2(a − 1) ⋅ x + 2(a + 1) = 0 имеет два
положительных корня.
494. Найти значение b , при котором корни уравнения x 2 − 3 x + 2b + 3 = 0 удовлетворяют
условию 5 x1 + 3x2 = 23 .
495. Найти значение c , при котором разность корней уравнения 25 x 2 − 25 x + ñ − 2 = 0 равна
0,2.
496. Найти все значения параметра a , при которых уравнение (à + 1) x 2 + 2ax + 2 = 0 имеет два
различных корня.
497. При каком значении k , корни уравнения x 2 − 2(k − 2) x + k = 0 будут равными?
498. При каком a уравнение ax 2 + 2ax + x = 1 не имеет решений?
499. При каких значениях параметра m квадратный трехчлен
y = (−2m − 1) x 2 + (−2m − 2) x + 2m − 1 имеет корни разных знаков и положительный корень
меньше модуля отрицательного? В ответ записать наибольшее целое отрицательное решение m .
500. При каких значениях параметра m квадратный трехчлен y = (−2m − 2) x 2 + ( −m − 1) x + 2
положителен при всех значениях x ? В ответ записать наименьшее целое решение m .
501. При каком значении k для корней уравнения (k + 1) x 2 + 4 x + k + 3 = 0 выполняется
соотношение 1:4?
502. При каких значениях a и b трехчлен 16 x 2 +144 x + a + b представляет собой полный
квадрат, если известно, что b − a = −7 ?
503. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение x 3 − 3x 2 − 9 x = a имеет два
корня?
26

27. ( )( )
504. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение x 2 − 2 x − 3 x 2 − 6 x + 5 = a
имеет один корень?
( )
505. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение x 3 + x = a x 3 − x имеет ровно
один корень?
( )( )
506. Найдите все значения параметра a , при которых уравнение x 2 − 2 x − 3 x 2 − 6 x + 5 = a
имеет решения?
 y = ( x − b) 2

507. Выясните, при каких значениях параметра b система  имеет единственное
x = ( y − b) 2

решение?
 x 2 + y 2 = 2(1 + a )
508. Найти все значения параметра a , при которых система  имеет два
 xy = 7 − a
решения?
a −1 2x + 7
509. При каких значениях параметра а все решения уравнения =
x + 6 ( x + 2) 2 − x − 22
положительны?
x−a
510. Решите уравнение относительно x = 0;
x −1
2a
511. Решите уравнение относительно x = 1;
x −1
x − 3m 2m + 3 m − 5
512. Решите уравнение относительно x − = ;
x2 − 9 x+3 x−3
(a + 3) x − a
513. Решите уравнение относительно x =0;
ax − 7
ax
514. Решите уравнение относительно x = 2;
3a − x
x 2x 3b − 4
515. Решите уравнение относительно x + = ;
b + 1 x − 2 (b + 1)( x − 2)
(a 2 − 4) x − a − 2
516. Решите уравнение относительно x = 0;
(a + 1) x − 4
1 2
517. Решите уравнение относительно x = ;
x − 2a ax − 1
27

28. mx
518. Решите уравнение относительно x = 1;
m−x
ax − 4
519. Решите уравнение относительно x = 1;
a−x
3mx − 5 3m − 11 2 x + 7
520. Решите уравнение относительно x + = ;
(m − 1)( x + 3) m −1 x+3
1 a −1 x−a
521. Решите уравнение относительно x a = + ; 13. 2 = 0;
a a( x − 1) x − 4x + 3
2mx + 5
522. Решите уравнение относительно x =0;
x − 10
mx − 3
523. Решите уравнение относительно x = 0;
x −1
1+ x a
524. Решите уравнение относительно x = ;
1− x c
a ( x − 2)
525. Решите уравнение относительно x =0.
x−a
Тригонометрические уравнения
π
526. Решите уравнение sin x = sin .
3
1
527. Решите уравнение sin 2 x = .
2
sin x
528. Укажите наибольший отрицательный корень уравнения =− 3.
2
3
529. Укажите наибольший отрицательный корень уравнения sin x = .
2
1
530. Решите уравнение cos x = − .
2
1
531. Решите уравнение sin x = − .
2
28

29. 2
532. Решите уравнение cos x = − .
3
x
533. Сколько корней на промежутке [ 0; π ] имеет уравнение cos = 0?
3
534. Сколько корней на промежутке [ 0; π ] имеет уравнение sin 3 x = 0 ?
535. Найдите сумму корней уравнения 2 sin 2 x + sin x − 1 = 0 , принадлежащих промежутку [ 0; π ]
.
536. При каких значениях a уравнение sin x = a на промежутке [ 0; π ) имеет два корня?
537. При каких значениях a уравнение sin 3 x = a на промежутке [ 0; π ] имеет четыре корня?
x
538. При каких значениях a уравнение cos = a на промежутке [ 0; π ] имеет корни?
3
539. При каких значениях a уравнение cos 2 x − ( a + 1) cos x + a = 0 на промежутке [ 0; π ] имеет
два корня?
540. При каких, из указанных ниже значениях a , уравнение sin x cos x = a на промежутке [ 0; π ]
имеет два корня?
541. При каких значениях a уравнение sin 2 x = a 2 на промежутке [ 0;2π ] имеет четыре корня?
 π
542. При каких значениях a уравнение ctgx = a на промежутке 0; имеет корни?
 2

 π
543. При каких значениях a уравнение tg 2 x = a на промежутке 0; имеет один корень?
 2

x π 
544. Решить уравнение tg  +  = −1 ;
3 6
545. Решить уравнение cos( π ( x − 6 ) ) = 0 ;
  1  3
546. Решить уравнение cos π  x +   = −
 .
  2 
 2
547. Решить уравнение cos 2 x − 4 cos x − 5 = 0 ;
548. Решить уравнение cos 2 x + sin x + 1 = 0 ;
549. Решить уравнение sin 3 x = cos 6 x .
550. Решить уравнение 5 sin 3 x = 4 cos 3 x ;
551. Решить уравнение sin 2 x + sin x cos x = 2 cos 2 x ;
29

30. 552. Решить уравнение 3 sin 2 x − 3 sin 2 x − 5 cos 2 x = 2 ;
x x x
553. Решить уравнение 3 sin
2
− sin = cos 2 ;
4 2 4
554. Решить уравнение 5 cos 2 x + sin 2 x = 0 .
555. Решить уравнение cos 6 x cos 4 x = sin 6 x sin 4 x ;
 3π   π
556. Решить уравнение 2 sin ( x + π ) sin  3x −  − 2 cos 3 x +  cos( x − 6π ) = 1 .
 2   2
557. Решить уравнение sin 3 x = sin 2 x ;
558. Решить уравнение cos 4 x = sin 5 x ;
559. Решить уравнение sin 5 x − sin x = cos 3 x .
560. Решить уравнение sin 3 x + cos 3x = 1 ;
x x
561. Решить уравнение sin − 3 cos = 2 ;
3 3
13
562. Решить уравнение 2 sin x + 3 cos x = .
2
563. Решить уравнение 2( sin x − cos x ) = 2 − sin x cos x ;
x x
564. Решить уравнение sin + cos − sin x = 1 .
2 2
565. Решить уравнение 8 sin 2 x cos 2 x cos 4 x = 1 ;
x x 1
566. Решить уравнение cos cos cos x = − ;
4 2 8
2
 x x
567. Решить уравнение 1 + sin 3 x =  cos − sin  ;
 2 2
568. Решить уравнение 7tgx + cos 2 x + 3 sin 2 x = 1 .
569. Решить уравнение cos 2 x + cos 2 3x − sin 2 2 x − sin 2 4 x = 0 ;
1
570. Решить уравнение cos πx − sin πx =
4 4
;
2
x x 3
571. Решить уравнение cos
4
+ sin 4 = ;
2 2 4
572. Решить уравнение cos 6 x + sin 6 x = 3 sin 2 x ;
30

31. 573. Решить уравнение cos 3 x sin x + sin 3 x cos x = 1 .
cos 2 x + cos x − 2
574. Решить уравнение = 0;
sin x
cos 3 x cos 2 x + sin 3x sin 2 x + 1 − sin 2 x
575. Решить уравнение = 0.
1 − sin x
πx 
− 1 lg(100 − x 2 ) = 0 ;

576. Решить уравнение  cos
 2 
577. Решить уравнение ( cos x cos 3 x + sin x sin 3x ) 9 − x 2 = 0 ;
578. Решить уравнение ln( sin 2 x ) = ln( cos 2 x ) ;
579. Решить уравнение sin 0,8 x = ( 4 − x2 ) 2
+ x2 − 3 ;
580. Решить уравнение 1 + cos 4 x = sin 4 x ;
581. Решить уравнение 2 sin 2 x + 2 log 2 sin x = 1 ;
582. Решить уравнение (16 cos
2
x
(
− 8) 2 cos 2 x − 10 lg cos x − 1 = 0 .)
583. При каких значениях x числа sin 2 x ; 2 cos 2 x и -4 являются тремя последовательными
членами арифметической прогрессии?
584. Укажите все значения x , при которых числа 1 − sin 4 x ; sin 6 x и 1 + sin 4 x , рассмотренные
в указанном порядке, составляют геометрическую прогрессию.
x
585. Решить уравнение sin cos 2 x = 1 ;
2
586. Решить уравнение sin 2 x + sin 3 x = 2 ;
587. Решить уравнение cos 3x = 3 x ;
588. Решить уравнение 2 cos 2 5 x = 5 x + 5 − x ;
589. Решить уравнение 3sin x = 4 − cos 2 x 2 − 3x ; ( )
590. Решить уравнение cos ( sin x ) = 1 + lg 4 x − 2 x + 1 ;
2 2 2
( )
591. Решить уравнение sin x = x ;
 π
592. Решить уравнение 2 sin  x +  = tgx + ctgx ;
 4
31