1. (80)
ข้อสอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์
1.ข้อใดไม่สมมูลกับ ประพจน์ )rq(p ∨→
1. p~)r~q(~ →∧ 2. r)q~p( →∧
3. q)r~p( →∧ 4. )r~q(~p~ ∧→
2.กําหนดเอกภพพัทธ์คือ }2,1,0,1,2{ −− ประพจน์ใดเป็นเท็จ
1. ]xxx[x 2
=+∃ 2. )]1x(n2)1x(n[x 2
−=−∃
3. ]1
2
ee
[x
xx
>
+
∀
−
4. ]x|x|x[x 2
≥+∀
3.ข้อใดต่อไปนี้เป็นเซตอนันต์
1. }35x3|Ix{ <∈ +
2. }05x4x|Ix{ 2
<−−∈
3. { |x R x∈ เป็นจํานวนคู่ที่หารด้วย 3 ลงตัวและ 100}x<
4. { |x R x∈ เป็นจํานวนคี่ที่สอดคล้องอสมการ
2
5 14 0}x x+ − <
4.ให้เซต {A = ∅, {∅}} ข้อใดต่อไปนี้ผิด
1. {{{∅}}} )))A(P(P(P(P⊂
2. 2)A)A(P(n =∩
3. ∅ ))A(P(P∈
4. ∩)}A(P,A{ {{∅}} ≠ ∅
5.จาก 2
| 1 5x x− − < เซตคําตอบของอสมการ เป็นสับเซต
ของช่วงในข้อใด
1. )3,2[− 2. )1,0(
3. )0,2[− 4. ]1,2(−
6.กําหนดให้ Rแทนเซตของจํานวนจริง และ
|}3x||2x|2|x{A +<+∈= R ,
}1x3x|x{B ≤−+∈= R
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. BA ⊂ 2. AB ⊂
3. BA ⊂′ 4. AB ⊂′
7.กําหนด aคือจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่สอดคล้องกับอสมการ
3x2|1x3| +<− และ b คือจํานวนเต็มที่น้อยที่สุดที่สอดคล้อง
กับอสมการ
1x
1
3x
x
−
<
+
ค่าของ ab คือ
1. -6 2. -4 3. 2 4. 10
8.ให้ 1x)x(f 2
−= และ 1x)x(g 3
+= ข้อใดผิด
1. gf + เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง ),0[ ∞
2. gf − เป็นฟังก์ชันเพิ่มลดช่วง ]0,(−∞
3. gf เป็นฟังก์ชันเพิ่มลดช่วง ),0[ ∞
4. fg เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง ),0[ ∞
9.กําหนด RR:f → , RR:g →
2x)7x2(f 1
−=−−
34x8x)5x(g 2
++=+
ค่าของ )0)(gf( − คือ
1. -58 2. -57 3. -43 4. 0
10.กําหนด }1|y|2|x|3|)y,x{(r1 =−= ,
}21y1x|)y,x{(r2 =++−⋅=
แล้ว 1
12 rr RR −− คือ
1. )3,
3
1
()
3
1
,1( ∪−− 2. )3,1(−
3. )3,
3
1
(− 4. )
3
1
,
3
1
(−
11.ถ้า C,B,A ถ้า
3
Csin
5
Bsin
7
Asin
== แล้ว A มีค่าเท่าใด
1. °= 30A 2. °= 45A
3. °= 105A 4. °=120A
12.กําหนดให้
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ −
=−∈=
θ
θ
θθπθ
sin
cos31
)cos1(cot|],0[A
2
ผลบวกของสมาชิกของ A คือข้อใดต่อไปนี้
1.
3
π 2.
3
2π 3. π 4.
3
4π
13.ถ้า
3
4
arctan)x1(arctanxarctan =−+
แล้ว ค่าของ x จะอยู่ในช่วงใด
1. )
3
1
,0( 2. )1,
4
1
( 3. )
4
1
,0( 4. )
3
2
,
2
1
(
14.ถ้า L เป็นสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดตัดของเส้นตรง
07y4x3 =−+ และ 015y12x5 =−+ และตั้งฉากกับเส้นตรง
05yx3 =−+ แล้วสมการเส้นตรง L เท่ากับข้อใด
1. 03x8y24 =−− 2. 041x24y8 =−+
3. 027x8y24 =−+ 4. 031x24y8 =+−
15.จุด A อยู่บนแกน Y และห่างจากจุด (2,2) และ (1,-1) เป็นระยะทาง
เท่ากัน ถ้า B เป็นจุด (4,5) แล้ว สมการของวงกลมที่มี (A,B) เป็น
เส้นผ่านศูนย์กลางคือข้อใด
1. 015y8x4yx 22
=+−−+
2. 012y8x4yx 22
=+−−+
3. 09y6x4yx 22
=+−−+
4. 05y6x4yx 22
=+−−+
16.วงรีรูปหนึ่งมีความยาวของแกนเอกเท่ากับความยาวของ
เลตัสเรกตัมของพาราโบลา 028y8x4x2
=+−−
ถ้าวงรีนี้มีความเยื้องศูนย์กลางเท่ากับ 1
2
แล้ว ความยาว
ของแกนโทของวงรีนี้ คือข้อใดต่อไปนี้
1. 2 หน่วย 2. 32 หน่วย
3. 4 หน่วย 4. 34 หน่วย

2. (81)
17.สมการของเส้นโค้งที่มีผลต่างของระยะจากจุด )y,x( ใด ๆ
บนเส้นโค้งไปยังจุด )1,5(− และ )1,5( กับ 6 คือ สมการใน
ข้อใดต่อไปนี้
1. 1
16
)1x(
9
y 22
=
−
− 2. 1
16
x
9
)1y( 22
=−
−
3. 1
16
)1y(
9
x 22
=
−
− 4. 1
16
y
9
)1x( 22
=−
−
18.กําหนดให้ Rแทนเซตของจํานวนจริง และ
{ }x2x
22)2(9
6255|xA =∈= −
R
ผลบวกของสมาชิกของ A คือข้อใดต่อไปนี้
1. -1 2.
5
2− 3. 0 4.
5
1
19.ค่าของ
2log
192log
2log
24log
12
2
96
2
− ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
1. -4 2. -3 3. 3 4. 4
20.ถ้า 4
8018161ba −=− ค่าของ alogb
คือ
1.
2log
2log1− 2.
2log2
2log1 −
3.
2log4
2log1− 4.
2log6
2log1−
21.กําหนด
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
202
y1x
321
A
เป็นเมตริกซ์เอกฐาน (Singular -Matrix) และให้ )A(C),A(M ijij
แทนไมเนอร์ และโคแฟคเตอร์ ของสมาชิกในตําแหน่ง แถวที่ j
กับหลักที่ j ของเมตริกซ์ A ตามลําดับ ถ้า 5)A(M)A(C 1232 =−
แล้ว ผลบวกของกําลังสองของ x และ y มีค่าเท่ากับข้อใด
1. 3 2. 13 3. 25 4. 33
22.กําหนด Rεb,Rεa
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
b0
0a
A
โดย 01A2A2
=++ ค่าของ ba + คือ
1. -2 2. -1 3. 0 4. 1
23.โดยกระบวนการดําเนินการตามแถว พบว่า
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
568
6710
345
100
010
001
~
100
010
001
z24
0y2
32x
ค่าของ zyx ++ คือข้อใดต่อไปนี้
1. -9 2. -7 3. 5 4. 8
24.กําหนดให้ 8|u|,5|u| =+= ν และ
)u()2u(u −⋅++⋅ ννν มีค่าเท่ากับ 49
จงหาค่าของ |u| ν−
1. 2 2. 2 3. 4 4. 14
25.กําหนดให้ cb2a4u −+=
และ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=
0
1
c,
2
3
b,
1
2
a เวกเตอร์ที่ตั้งฉาก
กับเวกเตอร์ u คือ
1. j8i +− 2. j8i3 +−
3. j2i16 + 4. j9i24 +
26.พิกัดของจุดในข้อใดต่อไปนี้เป็นจุดมุมของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
ที่มีจุดมุมคือ (1,2,3), (1,2,4), (2,2,3), (1,2,3)
1. (3,1,2) 2. (3,2,4)
3. (2,3,4) 4. (2,4,3)
27.ถ้า จํานวนเชิงซ้อน 1Z เป็นคําตอบหนึ่งของสมการ
3 2
3 5 0Z Z Z+ + − = และ 3)i22(Z1 =+−
แล้ว 11 ZZ + เท่ากับข้อใด
1. 4 2. -4 3. 2 4. -2
28.ถ้า
10
i31
i31
Z ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
= แล้ว ตัวผกผันของการบวกของ Z คือ
ข้อใดต่อไปนี้
1. i
2
3
2
1
+− 2. i
2
3
2
1
−−
3. i
2
3
2
1
+ 4. i
2
3
2
1
−
29.กําหนดฟังก์ชันจุดประสงค์และเงื่อนไขบังคับต่อไปนี้
ฟังก์ชันจุดประสงค์ y10x5P +=
เงื่อนไขบังคับ 10y2x ≥+
42y4x7 ≥+
8x0 ≤≤
7y0 ≤≤
ถ้า a และ b เป็นค่าที่มากที่สุด และค่าที่น้อยที่สุด ของ p
ตามลําดับ แล้ว ba − มีค่าเท่ากับข้อใด
1. 50 2. 65 3. 150 4. 165
30.ค่าของ
1nn2
)1n2(531n
lim 2n ++
−++++
∞→
… คือ
1.
4
1 2.
3
1 3.
2
1
4. ไม่สามารถหา lim ได้เป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต์
31.ถ้า
82
28642
lima 3n
n
n
1n
n
−
+++++
= +∞→
∞
=
∑
… แล้ว
…,a25,a25,a25 32
มีพจน์ที่ 5 เป็นเท่าใด
1.
5
1 2. 2
5
1 3. 3
5
1 4. 4
5
1
32.
3
n
1n
n321
lim 2
222
n
−
−
++++
∞→
… มีค่าเท่ากับข้อใด
1. -1 2.
2
1
3. 1 4. หาค่าลิมิตไม่ได้

3. (82)
33.จากรูป ถ้าพื้นที่ของบริเวณที่แรเงา เท่ากับ 6 ตารางหน่วย
แล้ว
∫−
2
1
dx)x(f เท่ากับข้อใด
1. 10 2. 6 3.
3
22 4.
3
19
34.สมการของเส้นตรงซึ่งตั้งฉากกับเส้นสัมผัสของเส้นโค้ง
x5x2xy 23
+−= ที่จุด (1,4) คือสมการในข้อใดต่อไปนี้
1. 017y4x =−+ 2. 017y4x =+−
3. 017xy4 =−+ 4. 017xy4 =++
35.ถ้ากําหนดความชันของเส้นโค้งที่จุด )y,x( ใดๆ เป็น
5x4x3 2
−− แล้วสมการของเส้นโค้งที่ผ่านจุด (1,-6) คือ
สมการในข้อใดต่อไปนี้
1. x5x2xy 23
−−= 2. x5x4x3y 23
−−=
3. 1x5xxy 23
−−−= 4. 2x5x2x3y 23
−−−=
36.ข้อใดต่อไปนี้ผิด
1. 12
n
n
3
n
2
n
1
n n
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
…
2. )r,n(C
1r
rn
)1r,n(c
+
−
=+
3. )!n(2)n2(6.4.2 =…
4.
)!4n(
)!3n(
)9n()4n()1n(n 222
−
+
=−−−
37.รถโรงเรียน 2 คัน คันหนึ่งมี 6 ที่นั่ง และอีกคันหนึ่งมี 9 ที่นั่ง
จํานวนวิธีที่ครูจะจัดให้เด็กนักเรียนจํานวน 13 คน นั่งรถ
โรงเรียนทั้ง 2 คัน เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 1,716 วิธี 2. 2,431 วิธี
3. 3,003 วิธี 4. 3,718 วิธี
38.ต้องการสร้างจํานวนคี่บวกให้มีค่ามากกว่า 150 และน้อยกว่า
750 โดยใช้ตัวเลข 1,2,7,8 ได้จํานวนทั้งหมดเท่ากับข้อใด
ต่อไปนี้
1. 75 จํานวน 2. 85 จํานวน
3. 105 จํานวน 4. ไม่มีคําตอบถูก
39.สมศรีมีผ้าเช็ดหน้าที่แตกต่างกัน 8 ผืน ต้องการแจกผ้าเช็ดหน้า
ให้กับเพื่อนของเขา 2 คน โดยที่คนหนึ่งได้รับ 2 ผืน อีกคนหนึ่ง
ได้รับ 3 ผืน จะมีวิธีการแบ่งทั้งหมดกี่วิธี
1. 560 วิธี 2. 1120 วิธี
3. 3360 วิธี 4. 6720 วิธี
40.จากการสํารวจความคิดเห็นของนักศึกษาในมหาวิทยาลัยขอนแก่น
ซึ่งเป็นนักศึกษาชาย 40% เกี่ยวกับความคิดเห็นเรื่องการขึ้นราคา
นํ้ามันเชื้อเพลิง พบว่า นักศึกษาชายเห็นด้วยกับการขึ้นราคานํ้ามัน
70% ส่วนนักศึกษาหญิงเห็นด้วยกับการขึ้นราคานํ้ามันเพียง 15%
ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มเลือกนักศึกษามาหนึ่งคนที่จะเป็นนักศึกษา
ชาย หรือนักศึกษาที่เห็นด้วยกับการขึ้นราคานํ้ามันจะเท่ากับข้อใด
ต่อไปนี้
1. 0.28 2. 0.49 3. 0.77 4. 0.94
41.สัมประสิทธิ์ของ 2
x จากการกระจาย 105
)
x2
a
x( + คือข้อใด
1. 2
2
a
2
45 2. 4
3
a
2
105
3. 6
5
a
2
105 4. 8
8
a
2
45
42.จากตารางแจกแจงความถี่ของความยาวของทารกแรกเกิด 45 คน
ที่มีมัธยฐานอยู่ในช่วง 41-48 เซนติเมตร ถ้าทารกแรกเกิดที่มี
ความยาวน้อยกว่า 40.5 เซนติเมตร มีอยู่16 คน และทารกแรก
เกิดที่มีความยาวน้อยกว่า 48.5 เซนติเมตร มีอยู่24 คนแล้ว มัธยฐาน
มีค่าเท่ากับข้อใด
1. 44 2. 45 3. 46 4. 47
43.ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของยอดขายต่อสัปดาห์ของขนมไทยชนิดหนึ่ง
เท่ากับ 1,100 บาท จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ถ้ามัธยฐาน และฐานนิยม เท่ากับ 1,000 และ 950 บาท
ตามลําดับแล้ว เส้นโค้งของความถี่เป็นแบบเบ้ลาด
ทางขวา
ข. ถ้ามัธยฐาน และฐานนิยม เท่ากับ 1,300 และ 1,200
บาท ตามลําดับแล้ว เส้นโค้งของความถี่เป็นแบบเบ้
ลาดทางซ้าย
ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด
3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
44.ถ้า 4321 x,x,x,x เป็นข้อมูลชุดหนึ่ง ที่มีค่าฐานนิยม
และมัธยฐานคือ 0 พิสัยคือ 12 และมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ 1
แล้ว ค่าของ ∑=
−
4
1i
2
i )1x( คือข้อใดต่อไปนี้
1. 76 2. 78 3. 80 4. 82

4. (83)
45.บริษัทแห่งหนึ่งขายยางรถยนต์4 ชนิด คือ G,F,B และ
คํานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
อายุการใช้งานของยางรถยนต์(หน่วยเป็นเดือน) ได้ดังนี้
ยางรถยนต์ชนิดใด มีการกระจายของอายุการใช้งานน้อยที่สุด
1. B 2. F 3. G 4. M
46.ในการสอบคัดเลือกเข้าศึกษาในสถาบันอุดมศึกษาแห่งหนึ่ง
นายวีระวัฒน์เข้าสอบ 4 วิชา คือ คณิตศาสตร์ 1 เคมี ฟิสิกส์และ
ชีววิทยา สมมติว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ของคะแนนแต่ละวิชา และคะแนนของนายวีระวัฒน์ เป็นดังนี้
นายวีระวัฒน์ทําคะแนนวิชาใดได้ดีที่สุด
1. คณิตศาสตร์ 1 2. เคมี
3. ฟิสิกส์ 4. ชีววิทยา
47.กําหนดให้ 4,3,2,5,6,4 เป็นข้อมูลชุดที่ 1
654321 y,y,y,y,y,y เป็นข้อมูลชุดที่ 2
โดยที่ 2x3y ii −=
จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดที่ 2 น้อยกว่า ค่าเฉลี่ยเลข
คณิตของข้อมูลชุดที่ 1 อยู่6
ข. สัมประสิทธิ์การแปรผันของชุดที่ 2 น้อยกว่า
สัมประสิทธิ์การแปรผันของชุดที่ 1 อยู่6
ค. ความแปรปรวนของข้อมูลชุดที่ 2 เป็น 3 เท่า ของความ
แปรปรวนของข้อมูลชุดที่ 1
ข้อใดสรุปถูกต้อง
1. ถูก 1 ข้อ 2. ถูก 2 ข้อ
3. ถูกทุกข้อ 4. ผิดทุกข้อ
48.ในการทดสอบความสามารถของนักเรียน 100 คน ได้ค่าเฉลี่ย
เลขคณิตของคะแนน สอบเป็น 50 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น
15 มีนักเรียน 99 คน ที่ได้คะแนนน้อยกว่ามยุรี ถ้าการแจก
แจงของคะแนนสอบเป็นได้ปกติ มยุรีสอบได้คะแนนเท่าใด
(ตอบเป็นจํานวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด)
กําหนด 33.2z = มีพื้นที่ใต้โค้งปกติ 0.4900
1. 83 2. 84 3. 85 4. 86
49.ข้อมูลการขายสินค้าของบริษัทแห่งหนึ่งมีหน่วยเป็นล้านบาท
ระหว่างปี พ.ศ.2541-2545 เป็นดังนี้
ถ้าความสัมพันธ์ข้อมูลนี้เป็นแบบเส้นตรงแล้ว เราจะทํานาย
มูลค่าการขาย โดยเฉลี่ยใน 6 เดือนแรกของปี พ.ศ.2546 จะมีค่า
เท่ากับข้อใด
1. 13.9 2. 5.15 3. 6.90 4. 6.95
50.ตารางนี้มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสกี่รูป
1. 25 2. 26 3. 29 4. 30
M
ชนิดของยางรถยนต์ B F G M
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
38
3
45
9
24
2
48
6
คณิตฯ1 เคมี ฟิสิกส์ ชีววิทยา
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 27 25 21 35
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 14 16 10 10
คะแนนของนายวีระวัฒน์ 62 57 51 50
พ.ศ. 2541 2542 2543 2544 2545
มูลค่าการขาย (ล้านบาท) 7 10 9 11 13

5. (84)
เฉลยข้อสอบ PAT 1 วัดศักยภาพทางคณิตศาสตร์
1.ตอบข้อ (4)
แนวคิด )rq(p ∨→
)rq(p~ ∨∨≡ ตามกฎของ 6 ของ PB
r)qp(~ ∨∨≡ จัดกลุ่มใหม่นะครับ
~ ( ~ )p q r≡ ∧ ∨ ดึงนิเสธออกมา
r)q~p( →∧≡ สมมูลกับข้อ (2) หรือ )rq(p ∨→
)rq(p~ ∨∨≡
q)rp(~ ∨∨≡ จัดกลุ่มใหม่
q)r~p(~ ∨∧≡ ดึงนิเสธออกมา
q)r~p( →∧≡ สมมูลกับข้อ (3) หรือ )rq(p ∨→
p~)rq(~ →∨≡ กฎ สลับที่
p~)r~q(~ →∧≡ สมมูลกับข้อ (1)
ดังนั้น )rq(p ∨→ ไม่สมมูลกับข้อ (4)
2.ตอบข้อ (3) มี 0x = ทําให้ 1
2
ee xx
>
+ −
เป็นเท็จ
(1) มี 2x = ทําให้ 2
xxx =+ เป็นจริง
(2) มี 2x = ทําให้ )1x(n2)1x(n 2
−=− เป็นจริง
(4) |x|x2
=∵
x|x|2|x|x2
≥=+∴ เสมอ
3.ตอบข้อ (3)
แนวคิด
ตัวเลือก (1) ผิดเพราะ 35
, 3 35,
3
x I x x+
∈ < ∴ <
ดังนั้น 11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1x =
∴ จึงเป็นเซตจํากัดนับจํานวนสมาชิกได้
ตัวเลือก (2) ผิดเพราะ 05x4x,Ix 2
<−−∈
แยกปลากรอบ (ไม่ใช่) ตัวประกอบดีกว่า
0)1x)(5x( <+− จับแต่ละวงเล็บเท่ากับ 0 ใส่ช่วงเปิด
+ - +
-1 5
Ix ∈ และ ( 1,5)x∈ − ดังนั้น 4,3,2,1,0x =
∴ จึงเป็นเซตจํากัดอีกแล้วครับท่าน
ตัวเลือก (3) ถูกเพราะ Rx ∈ และ x เป็นจํานวนเต็ม
คู่ที่หารด้วย 3 ลงตัว และ 100x < มีค่าดังนี้
………… ,24,18,12,6,0,,78,84,90,96x −−−−=
∴ จึงเป็นเซตอนันต์(เจอเสียที)
ตัวเลือก (4) ผิดเพราะ Rx ∈ และ x เป็นจํานวนเต็มคี่
ที่สอดคล้องกับ 014x5x2
<−+
0)7x)(2x( <+−
+ - +
-7 2
x เป็นจํานวนเต็มคี่ และ )2,7(x −∈
ดังนั้น 1,1,3,5x −−−= ∴ จึงเป็นเซตจํากัดนับได้ครับ
4.ตอบข้อ (4)
แนวคิด ข้อ 1. ถูก เพราะ จาก ∅ )A(P∈
ดังนั้น {∅} )A(P⊂ จากกฎการตัดปีกกา ของ PB
และ{{∅}} ))A(P(P⊂ จากกฎการเติม P ของ PB
ข้อ 2.ถูก เพราะ =∩ A)A(P {∅,{∅}}
ข้อ 3.ถูก เพราะ เซตว่างย่อมเป็นสมาชิกของ Power Set เสมอ
ข้อ 4.ผิด เพราะ สมาชิกใน 2 เซตไม่ซํ้ากันเลย ดังนั้นผลการ
intersection = ∅
5.ตอบข้อ (1)
5|1xx| 2
<−−
51xx5 2
<−−<−
1xx5 2
−−<− และ 51xx 2
<−−
แยกคิด 2 กรณี แล้วนํามา อินเตอร์เซทชั่นกันครับ
กรณีที่ .I 1xx5 2
−−<−
04xx2
>+−
แยก factor ไม่ได้ต้องทําเป็นกําลัง 2 สมบูรณ์พิจารณา
0
4
15
4
1
xx2
>++−
0
4
15
2
1
x
2
>+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
0
2
1
x
2
≥⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−∵ เสมอ
0
4
15
2
1x
2
>+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
∵
เสมอ
เซตคําตอบ ในกรณีนี้ คือ R (น้องของพ่อ ! ล้อเล่น )
กรณีที่ .II 51xx2
<−−
06xx 2
<−−
0)2x)(3x( <+−
+ - +
-2 3
เซตคําตอบคือ (-2, 3)
เซตคําตอบ ของอสมการ 5|1xx| 2
<−−
ได้จากคําตอบในกรณีที่ .I และ .II มาอินเตอร์เซกซัน
∴ เซตคําตอบคือ )3,2(R −∩ )3,2(−=

6. (85)
6.ตอบข้อ (4) AB ′⊂
แนวคิดA
3x2x2 +<+ ยกกําลัง 2 ดีกว่าครับพี่น้อง
22
)3x()2x2( +<+
222
)3x()2x(2 +<+ ตรงนี้กระจายหรือใช้ผลต่าง
กําลัง 2 ก็ได้ครับ
9x6x)4x4x(4 22
++<++ พี่บุ๋มเลือกกระจายครับ
9x6x16x16x4 22
++<++
07x10x3 2
<++
0)1x)(7x3( <++
เขียนกราฟคําตอบได้ดังนี้
+ - +
3
7
− -1
ดังนั้น
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−<<−∈= 1,
3
7
1x
3
7
|RxA ,B
1x3x ≤−+
1x3x +≤+
( ) ( )
2 2
3 1 3 0 0x x x x+ ≤ + ∩ + ≥ ∩ ≥
3 2 1 3 0x x x x x+ ≤ + + ∩ ≥ − ∩ ≥
2 2 3 0x x x≤ ∩ ≥ − ∩ ≥
1 3 0x x x≤ ∩ ≥ − ∩ ≥
1 3 0x x x≤ ∩ ≥ − ∩ ≥
1 3 0 1x x x x≥ ∩ ≥− ∩ ≥ → ≥
เขียนกราฟได้ดังนี้
- +
1
ดังนั้นเซต { } [ )∞=≥∈= ,11x|RxB
ตรวจตัวเลือก
(1) BA ⊂ ผิด ดังรูปที่ 1
(2) AB ⊂ ผิด ดังรูปที่ 1
A B
3
7
− -1 1
รูปที่ 1
(3) BA ⊂′ ผิด เพราะ
(3) (2), 4 6 0x− − = ดังรูป
(4) AB ′⊂ ถูก ดังรูปที่ 2
3
7
−
-1 1
รูปที่ 2
7.ตอบข้อ (1) 3x2|1x3| +<−
เข้า FORM 3 ของ PB จะยกกําลัง 2 ก็ได้หรือแยกช่วงก็ได้ครับ
พี่บุ๋มยกกําลัง 2
9x12x41x6x9 22
++<+−
08x18x5 2
<+−
08x18x5 2
<−−
0)4x)(2x5( <−+
4x
5
2
<<
−
∴
a เป็นจํานวนเต็มที่มากที่สุดในช่วง )4,
5
2
(
−
5
2− 4
*3a =∴
จาก
1
3 1
x
x x
<
+ −
0
1x
1
3x
x
<
−
−
+
0
)1x)(3x(
3xxx2
<
−+
−−−
0
)1x)(3x(
3x2x2
<
−+
−−
0
)1x)(3x(
)1x)(3x(
<
−+
+−
+ - + - +
-3 -1 1 3
1x3 −<<− หรือ 3x1 <<
b คือจํานวนเต็มที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องกับช่วง )3,1(U)1,3( −−
2b −=∴
6ab −=∴
8.ตอบข้อ (3)
แนวคิดให้ 1x)x(f 2
−= และ 1x)x(g 3
+=
เนื่องจากความชันของกราฟ )x(f คือ )x(f ′
ตัวเลือก (1) ถูกเพราะจาก
)x(g)x(f)x)(gf( +=+
2332
xx)1x()1x()x)(gf( +=++−=+
0x2x3)x()gf( 2
=+=′+
3
2
,0x,0)2x3(x
−
=∴=+
พิจารณาความชันของกราฟในแต่ละช่วงโดยการกําหนดค่า x
จับใน root มากกว่า
หรือเท่ากับ 0

7. (86)
ในแต่ละช่วง เช่น 1,
2
1
,1
−
− แล้วแทนค่าใน )x()gf( ′+
จะได้เครื่องหมายของความชันดังนี้
01)1(2)1(3)1()gf( 2
>=−+−=−′+
0
4
1
)
2
1
(2)
2
1
(3)
2
1
()gf( 2
<
−
=−+−=−′+
05)1(2)1(3)1()gf( 2
>=+=′+
⊕ Ө ⊕
-1
3
2−
2
1− 0 1
จะได้ว่า )gf( + เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง ),0[ ∞
ตัวเลือก (2) ถูกเพราะจาก
)x(g)x(f)x)(gf( −=−
2332
xx)1x()1x()x)(gf( +−=+−−=−
0x2x3)x()gf( 2
=+−=′−
3
2
,0x,0)2x3(x =∴=+−
พิจารณาความชันของกราฟในแต่ละช่วงโดยการกําหนดค่า x
ในแต่ละช่วง เช่น 1,
2
1
,1− แล้วแทนค่าใน )x()gf( ′+
จะได้เครื่องหมายของความชันดังนี้
05)1(2)1(3)1()gf( 2
>−=−+−−=−′−
0
4
1
)
2
1
(2)
2
1
(3)
2
1
()gf( 2
>=+−=′−
01)1(2)1(3)1()gf( 2
<−=+−=′−
Ө ⊕ Ө
-1 0
2
1
3
2 1
จะได้ว่า )gf( + เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง ),0[ ∞
ตัวเลือก (3) ผิดเพราะจาก
))x(g(f)x)(gf( =
)1x(f)x)(gf( 3
+=
1)1x( 23
−+=
)x3()1x(2)x()gf( 2123 −
+=′
1,0x,0)1x(x6 32
−=∴=+
พิจารณาความชันของกราฟในแต่ละช่วงโดยการกําหนดค่า x
ในแต่ละช่วง เช่น 1,
2
1
,2 −−− แล้วแทนค่าใน )x()gf( ′
จะได้เครื่องหมายของความชันดังนี้
0168)1)2(()2(6)2()gf( 32
<−=+⋅−=−′
0
16
21
)1)
2
1
(()
2
1
(6)
2
1
()gf( 32
>=+−⋅−=−′
012)1)1(()1(6)1()gf( 32
>=+⋅=′
Ө ⊕ ⊕
-2 -1
2
1− 0 1
จะได้ว่า )gf( เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง ),0[ ∞
ตัวเลือก(4) ถูกเพราะจาก
))x(f(g)x)(fg( =
1)1x( 32
+−=
)x2()1x(3)x()fg( 132 −
−=′
1,1,0x,0)1x(x6 22
−=∴=−
พิจารณาความชันของกราฟในแต่ละช่วงโดยการกําหนดค่า x
ในแต่ละช่วง เช่น 2,
2
1
,2 −− แล้วแทนค่าใน
)x()fg( ′
จะได้เครื่องหมายของความชันดังนี้
0108)1)2(()2(6)2()fg( 22
<−=−⋅−=−′
0
16
27
)1)
2
1
(()
2
1
(6)
2
1
()fg( 22
<
−
=−−⋅−=−′
0
16
27
)1)
2
1
(()
2
1
(6)
2
1
()fg( 22
>=−⋅=′
0108)1)2(()2(6)2()fg( 22
>=−⋅=′
Ө Ө ⊕ ⊕
-2 -1
2
1− 0
2
1 1 2
จะได้ว่า )fg( เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง ),0[ ∞
9.ตอบข้อ (2)
จาก *)0(g)0(f)0)(gf( ⋅=⋅
จาก 34x8x)5x(g 2
++=+
ต้องการ )0(g แทน 5x = −
34)5(8)5()0(g 2
+−+−=
344025 +−=
19=
จาก 2x)7x2(f 1
−=−−
ให้ 2x = ทําให้ 0)3(f 1
=−−
นั่นคือ 3)0(f −=
)0(g)0(f)0)(gf( ⋅=⋅∴
193⋅−=
57−=
10.ตอบข้อ (4)
จาก 11 rr D1R =−
}1|y|2|x|3|)y,x({r1 =−=
1|y|2|x|3 =−
|y|21|x|3 =−
0|y| ≥∵ เสมอทําให้ 0|y|2 ≥∵
นั่นคือ 01|x|3 ≥−
1|x|3 ≥
3
1
|x| ≥
3
1
x
−
≤ หรือ
3
1
x ≥

8. (87)
1rD แสดงบนเส้นจํานวนได้ดังนี้
3
1
−
3
1
จาก 2r
21y1x =++−
1y21x +−=−
01x ≥−∵
01y2 ≥+−∴ และ 01y ≥+
21y ≤+
41y ≤+
y 3≤
2rR∴ คือ 1 3y− ≤ ≤ เขียนเป็นเส้นจํานวน
ได้ดังนี้
-1 3
)
3
1
,
3
1
(1RR 12 rr
−
=−−
11.ตอบข้อ (4)
แนวคิด
k
3
Csin
5
Bsin
7
Asin
===
k7Asin =
k5Bsin =
k3Csin =
180CBA =++
)CB(180A +−=
)CBsin(Asin +=
CsinBcosCcosBsin +=
22
k251k3x91k5k7 −+−=
22
k2513k9157 −=−−
222
k2259k22525k917049 −=−+−−
65k9170 2
=−
13k9114 2
=−
22
)
14
13
(k91 =−
196
3
k 2
=
14
3
k
±
=
2
3
k7Asin
±
==
(ใช้ได้เฉพาะค่าบวก ∵ เป็นมุมในสามเหลี่ยม)
ถ้า °°=⇒= 120,60A
2
3
Asin
12.ตอบข้อ (4)
แนวคิด
θ
θ
θθ
sin
cos31
)cos1(cot
2
−
=−
θ
θ
θ
θ
θ
sin
cos31
)cos1(
sin
cos 2
−
=−
θθθ 2
cos31)cos1(cot −=−
01coscos2 2
=−+ θθ
0)1)(cos1cos2( =+− θθ
1cos
01cos
2
1
cos
01cos2
−=
=+
=
=−
θ
θ
θ
θ
โจทย์กําหนดให้ [ )πθ ,0∈ ดังนั้น
πθ
π
θ ==
3
ดังนั้นเซต
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
= π
π
,
3
A ผลบวกของสมาชิกของเซต A
คือ
3
4
3
π
π
π
=+
13.ตอบข้อ (2)
ให้ Axarctan = xAtan =∴
B)x1arctan( =− x1Btan −=∴
3
4
arctan)x1(arctanxarctan =−+
BA +
3
4
arctan=
)BA(tan + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
3
4
arctantan
BtanAtan1
BtanAtan
−
+
3
4
=
)x1(x1
)x1(x
−−
−+
3
4
=
2
xx1
1
+− 3
4
=
2
x4x44 +− 3=
1x4x4 2
+− 0=
2
)1x2( − 0=
x
2
1
=
14.ตอบข้อ (1)
แนวคิด หาจุดตัดของเส้นตรง
)1.......(..............................07y4x3 =−+
)2....(..............................015y12x5 =−+
)3.....(..............................021y12x9,3)1( =−+×
06x4,)2()3( =−−
8
5
y,
2
3
x ==∴
ดังนั้นเส้นตรง L ผ่านจุดตัด )
8
5
,
2
3
( และตั้งฉากกับ
เส้นตรง 05yx3 =−+

9. (88)
ซึ่งมีความชัน 3−=
∴ความชันของเส้นตรง
3
1
L =
จากสูตรสมการเส้นตรง )xx(myy 11 −=−
∴สมการเส้นตรง L คือ )
2
3
x(
3
1
8
5
y −=−
2
1
x
3
1
8
5
y −=−
12x815y24 −=−
03x8y24 =−−
15.ตอบข้อ (4)
แนวคิด
เนื่องจากจุด A อยู่บนแกน Y สมมติให้จุด A มีพิกัด )a,0(
จากสูตรระยะห่างระหว่างจุด 2 จุด
2
21
2
21 )yy()xx(d −+−=
เนื่องจากจุด A อยู่จากจุด (2,2) และจุด (1,-1) เป็นระยะ
ทางเท่ากันจะได้ว่า
2222
)1a()10()2a()20( ++−=−+−
ยกกําลังสองทั้งสองข้างจะได้
22
)1a(1)2a(4 ++=++
2a2a8a4a 22
++=+−
1a,6a6 =∴=
ดังนั้น จุด A คือ (0,1) จากสูตรสมการวงกลม
222
r)ky()hx( =−+− จากสูตรจุดกึ่งกลาง
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++
=
2
yy
,
2
xx
)y,x( 2121
จุดศูนย์กลาง )3,2(
2
51
,
2
40
)k,h( =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++
=
รัศมี
2
)51()4,0(
2
|AB|
)r(
22
++−
==
8
2
82
2
32
===
แทนค่าสูตรสมการวงกลม 8)3y()2x(: 22
=−+−
8)9y6y()4x4x( 22
=+−++−
05y6x4yx 22
=+−−+
16.ตอบข้อ (4)
แนวคิด จากสมการพาราโบลา
028y8x4x2
=+−−
28y8x4x2
−=−
222
228y822)x(2x +−=+−
24y8)2x( 2
−=−
)3y(8)2x( 2
−=−
)3y)(2(4)2x( 2
−=−
จากสมการมาตรฐานของพาราโบลา )ky(p4)hx( 2
−=−
จากความยาวลาตัสเรกตัมของพาราโบลา p4=
จะได้ความยาวลาตัสเรกตัมของพาราโบลา 8)2(4 == หน่วย
จากโจทย์กําหนด ความยาวลาตัสเรกตัมของพาราโบลาเท่ากับ
ความยาวแกนเอกของวงรีนั่นคือยาวเท่ากับ 8 หน่วย
จากความยาวแกนเอกของวงรี a2=
นั่นคือ 8a2 = แล้วจะได้ 4a =
จากโจทย์กําหนดให้ความเยื้องศูนย์กลางของวงรี
2
1
a
c
)e( ==
นั่นคือ
2
1
a
c
= แล้วจะได้ 2c =
จากสมการความสัมพันธ์ของวงรี 222
bac −=
นั่นคือ 222
b42 −= แล้ว 3212b ==
จากความยาวแกนโทของวงรี b2=
นั่นคือ 34322 =× หน่วย
17.ตอบข้อ (3)
แนวคิด ให้ )y,x(A เป็นจุดใด ๆ บนเส้นโค้ง และ
ให้ )1,5(B;)1,5(B −′ เป็นจุดคงที่ที่โจทย์
กําหนดให้ และผลต่างของระยะจากจุด
)y,x(A ใด ๆ ไปยังจุด )1,5(B;)1,5(B −′
เท่ากับ 6
6|BAAB| =′−∴
จะเห็นว่าลักษณะดังกล่าวเป็นลักษณะของไฮเพอร์โบลา
ฉะนั้นจุด B และ B′ เป็นจุดโฟกัส และ
3a;6a2 ==
5c;10c2 ==
1635acb 22222
=−=−=
4b =
จากโจทย์กําหนดจะเห็นว่าโฟกัสเป็นจุดที่อยู่ในแนวขนาน
กับแกน X
1
b
)ky(
a
)hx(
2
2
2
2
=
−
−
−
∴
จุด )k,h( อยู่ระหว่าง B กับ B′
)
2
11
,
2
55
()k,h(
+−
=∴
)1,0(=
แทนค่า 1
16
)1y(
9
)0x( 22
=
−
−
−
1
16
)1y(
9
x 22
=
−
−

10. (89)
18.ตอบข้อ (1)
แนวคิดจากสมการ
x2x
22)2(9
6255 =−
x2x
242)2(9
)5(5 =−
)2(42)2(9 x2x
55 =−
นั่นคือ )2(42)2(9 x2x
=−
2)2(9)2(40 xx2
+−=
)22)(12(40 xx2
−−=
จะได้
2x
0x2
22
122
0124
0x2
x2
x
−=
=+
=
=⋅
=−⋅
+
1x
22
022
x
x
=
=
=−
ดังนั้น เซต }1,2{A −= ผลบวกของสมาชิกในเซต A คือ 112 −=+−
19.ตอบข้อ (3)
โจทย์ให้หาค่า
2log
192log
2log
24log
12
2
96
2
=
12log
2log
2log
192log
96log
2log
2log
24log
2log
192log
2log
24log
12
2
96
2
−=−
)2)(log2(log
)12)(log192(log
)2)(log2(log
)96)(log24(log
−=
2log
)12)(log192(log)96)(log24(log
2
−
=
2log
))32)(log(32(log()32)(log(32(log(
2
2653
××−××
=
2log
)8log2log2)(3log2log6()8log2log5)(3log2log3(
2
++−++
=
2log
3log3log2log82log123log3log2log82log15
2
222
−−−++
=
2log
2log3
2
2
=
3=
20.ตอบข้อ (2) 801816180181614
−=−
80.812161 ⋅−=
8081 −=
2029 −=
45 −=
45ba −=−∴
4b5a ===∴
5logalog 4b =
2log2
2log1−
=

11. (90)
21.ตอบข้อ (2)
แนวคิด เนื่องจาก A เป็นเมตริกซ์เอกฐาน
ดังนั้น 0Adet =
0
202
y1x
321
=−
จะได้ 03x4y4 =+−
01xy =+− -----(1)
)A(C32
)A(M32−=
yx3
yx
31
−=−=
)A(M12 y2x2
22
yx
−==
5yx)A(M)A(C 1232 =+=−
จาก (1) และ (2) จะได้ 3x = และ 2y =
13yx 22
=+∴
22.ตอบข้อ (3)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
b0
0a
A
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= 2
2
2
b0
0a
A
01A2A2
=++
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
++
00
00
1b2b0
01a2a
2
2
01a2a2
=++
01b2b2
=+−
0b2a2ba 22
=++−
0)ba(2)ba)(ba( =++−+
0)2ba)(ba( =+−+
0ba =+
23.ตอบข้อ (3)
แนวคิด จากโจทย์โดยกระบวนการดําเนินการตามแถวพบว่า
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
568
6710
345
000
010
001
~
100
010
001
z24
0y2
32x
หมายความว่า
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
z24
0y2
32x
เป็นเมทเริกซ์อินเวอร์สของ
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
568
6710
345
ให้ เมทเริกซ์
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
=
568
6710
345
A
หาเมทเริกซ์อินเวอร์สได้จาก AAdij
Adet
1
A 1
=−
−−−
6
7
4
8
10
5
568
6710
345
Adet
−
−
−
−
−
−−
=
+++
)4)(10)(5()5)(6)(6()3)(7)(8()6)(10)(3()8)(6)(4()5)(7)(5( −−−−−−−−−++−−=
1200180168180192175 −=−−−++=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
−
−−
−
−−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
710
45
68
45
68
710
610
35
58
35
58
610
67
34
56
34
56
67
ACof

12. (91)
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] ⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−−−−
−−−
−−−−
−−−
−−
−−−
−−−−
−−−
=
)4)(10())(5(
)4)(8()6)(5(
)7)(8()6)(10(
)3)(10()6)(5(
)3)(8()5)(5(
)6)(8()5)(10(
)3)(7()6)(4(
)3)(6()5)(4(
)6)(6()5)(7(
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
=
503
212
421
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
=
′
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
=′=
524
012
321
503
212
421
)ACof(AAdj
ดังนั้น
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
−
==−
z24
0y2
32x
524
012
321
524
012
321
1
1
AAdj
Adet
1
A 1
นั่นคือ 1y,1x =−= และ 5z =
ดังนั้น 5511zyx =++−=++
หมายเหตุ ข้อนี้เราสามารถหาคําตอบ โดยการหาเมทเริกซ์-
อินเวอร์ส )A( 1−
ได้อีกวิธีหนึ่ง โดยใช้วิธีการดําเนินตาม
แถว (row operation) ก็ได้
24.ตอบข้อ (2)
แนวคิด 222
||2|||| ννμμνμ +⋅+=+
2
||22564 ννμ +⋅+=
νμν ⋅+= 2||39 2
------(1)
νμννμμμνννμμ ⋅−+⋅+=−⋅++⋅ 22
||2||)()2(
νμνμ ⋅++= 22
||||49
νμν ⋅++= 2
||2549
νμν ⋅+= 2
||24 ------(2)
;)2()1( − 15=⋅νμ แทนใน (2)
จะได้ 2415|| 2
=+ν
9|| 2
=ν
ต้องการหาค่า 222
||2|||| ννμμνμ +⋅+=−
9)15(225 +−=
4=
2|| =−∴ νμ
25.ตอบข้อ (3)
แนวคิด
j8i
044
168
cb2a4 +−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
++−
=−+=μ
เวกเตอร์ νμ ⊥ ก็ต่อเมื่อ 0μ ν• =
3) ถูก 0
2
16
8
1
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
•⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
∵
1) ผิด 0μ ν• ≠
2) ผิด 0μ ν• ≠
4) ผิด 0μ ν• ≠
26.ตอบข้อ (3)
แนวคิดขั้นที่ 1 พิกัดของจุด (1,2,3), (1,2,4), (2,2,3) และ
(1,2,3) เขียนลงบนกราฟแกน Z,Y,X ได้ดังนี้
Z
(1,2,4)
(1,2,3) (1,3,3)
(2,2,3)
Y
X
ขั้นที่ 2 สามารถแสดงจุดมุมของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากได้
ดังนี้
Z
1,2,4)
(1,2,3) (1,3,3)
(2,2,3)
Y
X

13. (92)
ขั้นที่ 3 ตรวจตัวเลือก
Z
[3] (2,3,4)
[2] (3,2,4) [4] (2,4,3)
[1] (3,1,2)
Y
X
ดังนั้นจุดที่เป็นจุดมุมของทรงสี่เหลี่ยมคือจุด (2,3,4)
หมายเหตุ ข้อนี้อาจมีวิธีคิดอีกวิธีคือ หลังจากทราบรูปทรง
สี่เหลี่ยมมุมฉากในขั้นตอนที่สอง แล้ว
เราจะทราบว่า ในแกน X จุดมุมของกล่องจะอยู่ในพิกัด
1x = หรือ 2x = เท่านั้น
ในแกน Y จุดมุมของกล่องจะอยู่ในพิกัด 2y = หรือ
3y = เท่านั้น
ในแกน Z จุดมุมของกล่องจะอยู่ในพิกัด 3z = หรือ
4z = เท่านั้น
ตรวจตัวเลือก [1] (3,1,2) ไม่เป็นจุดมุมของกล่องเพราะ
แกน z,y,x ไม่อยู่ในขอบเขต
[2] (3,2,4) ไม่เป็นจุดมุมของกล่องเพราะ แกน x ไม่อยู่
ในขอบเขต
[3] (2,3,4) ไม่เป็นจุดมุมของกล่องเพราะอยู่ในขอบเขต
ในทุกแกน
[4] (2,4,3) ไม่เป็นจุดมุมของกล่องเพราะ แกน y ไม่อยู่
ในขอบเขต
27.ตอบข้อ (4)
แนวคิดจาก 05Z3ZZ 23
=−++
จากวิธีหารสังเคราะห์ 1Z =
5311 −
521
0521
จะได้ 0)5Z2Z)(1Z( 2
=++−
ดังนั้น
)1(2
)5)(1(442
Z,1Z
−±−
==
)1(2
162
Z,1Z
−±−
==
i21
2
i42
Z,1Z ±−=
±−
==
จาก 3|)i22(Z| 1 =+−
ถ้าให้ i21Z1 +−=
3|)i22()i21(| =+−+−
3|3| =− เป็นจริง
ถ้าให้ i21Z1 +−=
3|)i22()i21(| =+−+−
5169|i43| =−=−− ไม่เป็นจริง
∴ จะได้ i21Z1 −−= และ i21Z1 −−=
2)i21()i21(ZZ 11 −=+−+−−=+∴
28.ตอบข้อ (4)
แนวคิด จากโจทย์
10
i31
i31
z ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
=
คูณด้วยสังยุค
10
i31
i31
i31
i31
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
×
−
+
=
10
3i3i31
3i3i31
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+
−++
=
1010
i
2
3
2
1
4
i322
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +−
=
เปลี่ยน i
2
3
2
1
+− ให้อยู่ในรูปแบบเชิงขั้ว
( )θθ sinicos|z|z +=
จาก
1
4
3
4
1
2
3
2
1
ba|z|
22
22
=+=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=+=
2
3
θ
2
1
−
จาก 3
1
2
2
3
2
1
2
a
b
tan −=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−×=
−
==θ
( ) 3
2
3tan 1 π
θ =−= − (อยู่ในจตุภาคที่ 2)
จาก ( )θθ nsinicos|z|z nn
+=
จะได้
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
3
2
10sini
3
2
10cos)1(z 1010 ππ
3
20
sini
3
20
cos
ππ
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= π
π
π
π
)3(2
3
20
sini)3(2
3
20
cos
3
2
sini
3
2
cos
ππ
+=
i
2
3
2
1
+−=
ตัวผกผันการบวกของ )bia(z + คือ i
2
3
2
1
bia −=−−

14. (93)
29.ตอบข้อ (2)
แนวคิด จากเงื่อนไขบังคับของโจทย์เขียนกราฟได้ดังนี้
จาก y10x5P +=
807010P)7,2( =+=
1158035P)8,7( =+=
501040P)1,8( =+=
502822P)8.2,4,4( =+=
ดังนั้น a มีค่าเท่ากับ 115
b มีค่าเท่ากับ 50
65ba =−
30.ตอบข้อ (3)
จาก )1n2(531 −++++ … เป็นอนุกรมเลขคณิตมี
n พจน์
)]1n2(1[
2
n
)1n2(531 −+=−++++ …
2
n=
1nn2
nn
1nn2
)1n2(531n
2
2
2
++
=
++
−++++ …
1nn2
n
2
2
++
=
2
1
1nn2
)1n2(531n
lim 2n
=
++
−++++
∴
∞→
…
31.ตอบข้อ (3)
82
)12(2
82
2842
3n
n
Bn
n
−
−
=
−
++++
++
…
4
1
)12(8
)12(2
n
n
=
−
−
=
4
1
lim
22
2842
lim
n1n
n
n ∞→+∞→
=
−
++++
∴
…
4
1
=
4
1
a
1n
n
=∴ ∑
∞
=
4
1
aaa 32
=+++ …
4
1
a1
a
=
−
a1a4 −=
1a5 =
5
1
a =
…,a25,a25,a25 32
32
5
1
,
5
1
,
5
1
,1,5
∴ พจน์ที่ 5 เป็น
3
5
1
32.ตอบข้อ (2)
แนวคิด
3
n
1n
n321
y 2
222
−
−
+++
=
………
3
n
)1n()1n(
)1m2()1n(
6
n
−
+−
++
=
3
n
)1n(6
)1m2(n
−
−
+
=
)1n(6
n2n2nn2 22
−
+−+
=
)1n(2
n
−
=
2
1
ylim
n
=
∞→
33.ตอบข้อ (2)
แนวคิด จากสูตร
∫ −=
b
a
dx)]x(g)x(f[A
∫−
−=
2
1
dx)]x(g)x(f[A
∫−
−−=
2
1
2
dx)]xx2()x(f[6
∫ ∫− −
−−=
2
1
2
1
2
dx)xx2(dx)x(f6
∫ ∫− −
−+=∴
2
1
2
1
2
dx)xx2(6dx)x(f
232
3
x
2
x2
6 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+−−+= )
3
1
1()
3
8
4(6
6]
3
4
3
4
[6 =−+=
34.ตอบข้อ (1)
แนวคิด โจทย์กําหนดสมการเส้นโค้งคือ
x5x2xy 23
+−=
∴ ความชันขอเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดใด ๆ คือ
5x4x3
dx
dy
m 2
+−==
ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (1, 4) คือ
45)1(4)1(3m 2
=+−=
∴ สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสของ
เส้นโค้งคือ
)
4
1
m()1x(
4
1
4y 1 −=−−=−
017y4x =−+

15. (94)
35.ตอบข้อ (1)
โจทย์กําหนดความชันของเส้นโค้งที่จุด )y,x( ใดๆ คือ
5x4x3
dx
dy
m 2
−−==
cx5x2xy 23
+−−=∴ )A(..........
และเส้นโค้งผ่านจุด (1, -6)
c)1(5)1(216 23
+−−=−∴
จะได้ 0c =
∴ สมการของเส้นโค้งคือ x5x2xy 23
−−=
36.ตอบข้อ (3)
แนวคิด จาก )n2(642 …⋅⋅⋅
)n2()42)(32)(22)(12( ×⋅⋅××××= …
)n4321(2n
×××××= …
!n2n
= )!n(2≠
ข้ออื่นถูกหมดนะครับ คิดว่าน้องๆคงจะทําได้นะครับ
37.ตอบข้อ (4)
แนวคิด
กรณีที่ 1 เลือกนักเรียน 6 คน จาก 13 คน นั่งรถคันที่ 1
ที่เหลือนั่งคันที่ 2
จํานวนวิธี 1716
!6!7
!13
C 6,13 == วิธี
กรณีที่ 2 เลือกนักเรียน 5 คน จาก 13 คน นั่งรถคันที่ 1
ที่เหลือนั่งคันที่ 2
จํานวนวิธี 1287
!5!8
!13
C 5,13 == วิธี
กรณีที่ 3 เลือกนักเรียน 4 คน จาก 18 คน นั่งรถคันที่ 1
ที่เหลือนั่งคันที่ 2
จํานวนวิธี 715
!4!9
!13
C 4,13 == วิธี
∴ จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะเกิดขึ้นคือ
71512871716 ++ = 3718
38.ตอบข้อ 4 ไม่มีคําตอบที่ถูกต้อง
แนวคิด โจทย์ลักษณะนี้ใช้แผนภาพช่วย
1
7 7
1 1
8 7
1
1 7
1
2 2 7
1
7 7
1
8 7
1
1 7
7 1
2 7
∴ จะสร้างจํานวนคี่ที่บวกที่มีค่ามากกว่า 150
แต่น้อยกว่า 750 ทั้งหมด 16 วิธี
39.ตอบข้อ (2)
แนวคิด (1) เลือกของ 2 ชั้น จาก 8 ชิ้น ได้ 2
8
C วิธี
(2) แจกของใน (1) ให้เด็ก ได้2 วิธี
(3) เลือกของ 3 ชิ้น จาก 6 ชิ้นที่เหลือได้ 3
6
C วิธี
(4) แจกของ 3 ชิ้นใน (3) ให้เด็กได้1 วิธี
∴ แจกได้ทั้งหมด 1C2C 3
6
2
8
⋅⋅⋅=
!3!3!6!2
!62!8
=
!3!3
!8
= 1120= วิธี
40.ตอบข้อ (2)
แนวคิด สมมติให้นักศึกษาทั้งหมด 1,000 คน
กําหนดให้
A แทนนักศึกษาชาย 40% คิดเป็น 400 คน
B แทนนักศึกษาชาย 60% คิดเป็น 600 คน
C แทนนักศึกษาชายที่เห็นด้วยกับการขึ้นราคานํ้ามัน
70% คิดเป็น 280 คน
C′ แทนนักศึกษาชายที่ไม่เห็นด้วยกับการขึ้นราคานํ้ามัน
30% คิดเป็น120 คน
D แทนนักศึกษาชายที่เห็นด้วยกับการขึ้นราคานํ้ามัน
15% คิดเป็น 90 คน
D′ แทนนักศึกษาชายที่ไม่เห็นด้วยกับการขึ้นราคานํ้ามัน
85% คิดเป็น 510 คน
ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มเลือกนักศึกษามาหนึ่งคนที่จะเป็น
นักศึกษาชาย หรือนักศึกษาที่เห็นด้วยกับการขึ้นราคานํ้ามัน
49.0
1000
490
1000
90400
)DA(P ==
+
=∪
41.ตอบข้อ (4)
แนวคิด สัมประสิทธิ์ของ 2
x จากการกระจาย 105
)
x2
a
x( +
คือข้อใด
จากสูตร
1
n r r
r
n
T a b
r
−
+
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
แทนค่าได้
( )
10
5
1
10
2
r
r
r
a
T x
xr
−
+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
จัดรูปอีกนิดนะได้
( )50 6
1
10 1
2
r
r r
rT a x
r
−
+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠

16. (95)
จับ 50- 6r = 2 ได้r = 8 นํา ไปแทนที่ ส.ป.ส. คือ
10 1
2
r
r
a
r
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
ได้ 8
8 8
8
10 1 45
2 28
a a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
42.ตอบข้อ (4)
แนวคิด
ความยาว (ซม.) ความถี่สะสม ความถี่ (f)
5.40≤ 16 16
40.5 – 48.5 24 8
5.48≥ 45 21
รวม 45N =
สูตร ค่ามัธยฐาน
m
L
f
)f
2
N
(1
L)Med(
∑−
+=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −
+=
8
165.22
85.40
5.65.40 +=
47= ซม.
43.ตอบข้อ (2)
แนวคิดให้ 100,1x = บาท
ก) ถูกเพราะ
ค่ามัธยฐาน 000,1)Mod( = บาท
และค่าฐานนิยม 950)Mode( = บาท
xMedMode <<∴
จะได้ว่าเส้นโค้งความถี่เบ้ขวา ดังรูป
xMedMo
ข) ผิดเพราะ 100,1x = บาท
ค่ามัธยฐาน 300,1)Median( = บาท
และค่าฐานนิยม 200,1)Mode( = บาท
ถ้า xMedMode >>
จะได้ว่าเส้นโค้งความถี่เบ้ซ้าย ดังรูป
MoMedx
44.ตอบข้อ (1)
แนวคิด กําหนดให้ 4321 x,x,x,x เป็นข้อมูลที่เรียงจาก
น้อยไปหามาก มัธยฐานมีค่าเท่ากับ 0 โดยที่ตําแหน่ง
มัธยฐานของข้อมูลชุดนี้คือ
5.2
2
14
2
1N
=
+
=
+
นั่นคือ 0
2
xx 32
=
+
0xx 32 =+ .....................(1)
มีพิสัยคือ 12 โดยที่พิสัยคือ MinMax−
นั่นคือ 12xx 14 =− ....................(2)
มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ 1 โดยที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหาได้จาก
1
4
xxxx 4321
=
+++
4xxxx 4321 =+++ .......(3)
จากสมการที่ (1) 4xx 41 =+ ........(4)
)4()2( + 16x2 4 =
8x4 =
จากสมการ (2) 12x8 1 =−
4x1 =
จะได้ข้อมูลเรียงจากน้อยไปมาก คือ 8,x,x,4 32−
และเนื่องจากฐานนิยมคือ 0 นั่นคือจะต้องมีจํานวน 0 อย่างน้อย
2 จํานวน นั่นก็คือ 2x และ 3x
ดังนั้น จะได้ข้อมูลเรียงจากน้อยไปมากทั้งหมด ก็คือ 8,0,0,4−
ค่าของ
2
4
2
3
2
2
2
1
4
1i
2
)1x()1x()1x()1x()1x( −+−+−+−=−∑=
2222
)18()10()10()14( −+−+−+−−=
76491125 =+++=
45.ตอบข้อ (1)
แนวคิด จาก สปส. การแปรผัน
x
s
.)CV( =
078.0
28
3
CVB ==
2.0
45
9
CVF ==
∴ ชนิด B มีการกระจายของข้อมูลน้อยที่สุด
46.ตอบข้อ (3)
แนวคิด นายวีระวัฒน์ทําคะแนนวิชาใดได้ดีที่สุด พิจารณาได้
จากคะแนนมาตรฐาน
s
xx
Z
−
= ของวิชาที่มีค่ามากที่สุด
วิชาคณิตศาสตร์ 5.2
14
2762
s
xx
Z: 1
1 =
−
=
−
=
วิชาเคมี 0.2
16
2557
s
xx
Z: 2
2 =
−
=
−
=
วิชาฟิสิกส์ *0.3
10
2151
s
xx
Z: 3
3 =
−
=
−
=
วิชาชีววิทยา 5.1
10
3550
s
xx
Z: 4
4 =
−
=
−
=
∴ เขาทําคะแนนวิชาฟิสิกส์ได้ดีที่สุด
083.0
24
2
CVG ==
125.0
48
6
CVM ==

17. (96)
47.ตอบข้อ (4)
ข้อมูลชุดที่ 1 มี 4x =
ดังนั้นข้อมูลชุดที่ 2 มี 3 2 3(4) 2 10i iy x= − = − =
และจาก 2x3y ii −= ดังนั้น 3i iSDy SDx=
จะได้ส.ป.ส.แปรผัน ชุดที่ 1 =
4
iSDx
ส.ป.ส.แปรผัน ชุดที่ 2 = 3
10
iSDx และ
2 2
9yi xiSD SD=
จากข้อมูลทั้งหมดจะเห็นว่า ก. ข. ค. ผิดหมดนะครับ
48.ตอบข้อ (3)
0.50 0.4900
33.2z =
33.2z = มีพื้นที่ใต้โค้ง ปกติรวมเป็น 0.99 คะแนน
33.2z = คิดเป็น 99P
จาก
D.S
xx
z
−
=
15
50x33.2 −=
95.84x =
85x =∴
49.ตอบข้อ (4)
แนวคิด ให้ =y มูลค่าการขายต่อปี (ล้านบาท) เนื่อง
จากเป็นข้อมูลอนุกรมเวลาทําได้ดังนี้
ปี พ.ศ. iX iY ii YX
2
iX
2541 -2 7 -14 4
2542 -1 10 -10 1
2543 0 9 0 0
2544 1 11 11 1
2545 2 13 26 4
รวม 0 50 13 10
จากสมการพยากรณ์ Y จาก X
cmXY +=
จะได้สมการปกติ ∑ ∑ += ncXmY ..........(1)
∑ ∑ ∑+= XcxmXY 2 ..........(2)
เนื่องจาก ∑ = 0X
จากสมการ(1)จะได้ 10
5
50
n
Y
c ===
∑
จากสมการ(2)จะได้ 3.1
10
13
X
XY
m 2
===
∑
∑
ดังนั้น จะได้ 10X3.1y +=
แทนค่า 3X = จะได้ 9.1310)3(3.1Y =+=
นั่นคือมูลค่าการขายโดยเฉลี่ยใน 6 เดือนแรกของปี 2546
มีค่า 95.6
2
9.13
==
50.ตอบข้อ (4)
แนวคิด มาจากเรื่องการนับครับ....
แบบที่ 1 1 ช่อง x 1 ช่อง = 4 x 4 = 16 รูป
แบบที่ 2 2 ช่อง x 2 ช่อง = 3 x 3 = 9 รูป
แบบที่ 3 3 ช่อง x 2 ช่อง = 2 x 2 = 4 รูป
แบบที่ 4 4 ช่อง x 4 ช่อง = 1 x 1 = 1 รูป
รวม 304321 2222
=+++ รูป