Σημειώσεις συνδυαστικής - ΠΛΗ 20

https://www.facebook.com/mathwithcoding
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ
#ΠΛΗ 20
1

Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
• Δεν επιτρέπεται η αναπαραγωγή μέρους ή ολόκληρου
του έργου χωρίς την αναφορά του ονόματος του
δημιουργού
• Δεν επιτρέπεται η αναπαραγωγή μέρους ή ολόκληρου
του έργου για εμπορική χρήση
2

Αρχές απαρίθμησης
Αρχή εγκλεισμού
αποκλεισμού
3

Εισαγωγή
Φυσικοί Αριθμοί ℕ = 0,1,2, …
Ακέραιοι Αριθμοί ℤ = 0,1, −1,2, −2, …
Ρητοί Αριθμοί ℚ =
𝑎
𝑏
, 𝑏 ≠ 0 𝜅𝛼𝜄 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ
Άρρητοι Αριθμοί Όσοι δεν γράφονται σε μορφή πηλίκου πχ 2, 3, 𝜋, 𝑒, …
Πραγματικοί Αριθμοί ℝ Όλοι οι παραπάνω
Πρώτοι: Διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και την μονάδα
Άρτιοι: Οι ακέραιοι που διαιρούνται με το 2 (εκείνοι για τους οποίους ισχύει 𝑥 = 0 mod2)
Περιττοί: Οι ακέραιοι που δεν διαιρούνται με το 2 (εκείνοι για τους οποίους ισχύει 𝑥 = 1 mod2)
4

Α Β
2 επιλογές
3 επιλογές
+
Από μια πόλη Α πραγματοποιούνται καθημερινά 2 αεροπορικά και 3 οδικά δρομολόγια προς την πόλη
Β. Όλα τα δρομολόγια έχουν διαφορετική ώρα αναχώρησης. Πόσες επιλογές έχει κάποιος που θέλει
να ταξιδέψει από την πόλη Α προς την πόλη Β μια συγκεκριμένη ημέρα;
Συνδυαστική Αρχές απαρίθμησης
5

Αν ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται με n τρόπους και ένα ενδεχόμενο Β πραγματοποιείται με m
τρόπους και τα ενδεχόμενα Α και Β δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα, τότε υπάρχουν
𝑚 + 𝑛 τρόποι για να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα δύο ενδεχόμενα.
Χαρακτηριστικό παράδειγμα
Από μια πόλη Α πραγματοποιούνται καθημερινά 2 αεροπορικά και 3 οδικά δρομολόγια προς την πόλη
Β. Όλα τα δρομολόγια έχουν διαφορετική ώρα αναχώρησης. Πόσες επιλογές έχει κάποιος που θέλει να
ταξιδέψει από την πόλη Α προς την πόλη Β μια συγκεκριμένη ημέρα
Περίπτωση 1 Ο ταξιδιώτης πηγαίνει αεροπορικώς από την πόλη Α στην πόλη Β.
Για την Περίπτωση 1 έχει 2 επιλογές
Περίπτωση 2 Ο ταξιδιώτης πηγαίνει οδικώς από την πόλη Α στην πόλη Β.
Για την Περίπτωση 1 έχει 3 επιλογές
Επειδή μπορούμε είτε να πάμε αεροπορικώς είτε οδικώς αθροίζουμε τα παραπάνω αποτελέσματα
Τελικώς έχουμε 𝟐 + 𝟑 = 𝟓 επιλογές
Σημείωση: Την αρχή του αθροίσματος την εφαρμόζουμε, όταν το πρόβλημα σπάει σε περιπτώσεις
Αρχή αθροίσματος
6

7
Α
Β
2 επιλογές 3 επιλογές
Γ
Από μια πόλη Α πραγματοποιούνται καθημερινά το πρωί 2 αεροπορικά δρομολόγια προς την πόλη Β.
Από την πόλη Β πραγματοποιούνται το απόγευμα 3 αεροπορικά δρομολόγια προς την πόλη Γ.
Πόσες επιλογές έχει κάποιους που θέλει να ταξιδέψει από την πόλη Α προς την πόλη Γ μια
συγκεκριμένη ημέρα;

8
8
Α Β
2 επιλογές 3 επιλογές
×
Γ

9
Αν ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται με n τρόπους και ένα ενδεχόμενο Β πραγματοποιείται με m
τρόπους και τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα, τότε υπάρχουν 𝑛 ⋅ 𝑚 τρόποι για να
πραγματοποιηθεί ο συνδυασμός των Α και Β.
Δηλαδή υπάρχουν 𝑛 ⋅ 𝑚 τρόποι να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα ή το ένα μετά το άλλο.
Σημείωση: Την αρχή του γινομένου την εφαρμόζουμε, όταν το πρόβλημα σπάει σε στάδια
Από μια πόλη Α πραγματοποιούνται καθημερινά το πρωί 2 οδικά δρομολόγια προς την πόλη Β. Από
την πόλη Β πραγματοποιούνται το απόγευμα 3 οδικά δρομολόγια προς την πόλη Γ.
Πόσες επιλογές έχει κάποιους που θέλει να ταξιδέψει από την πόλη Α προς την πόλη Γ μια
συγκεκριμένη ημέρα;
Στάδιο 1 Μετάβαση από την Α στην Β. Για το Στάδιο 1 έχουμε 2 επιλογές
Στάδιο 2 Μετάβαση από την Β στην Γ: Για το Στάδιο 2 έχουμε 3 επιλογές
Για κάθε μία από τις 2 επιλογές του Σταδίου 1 έχουμε 3 επιλογές για το Στάδιο 2.
Τελικώς έχουμε 𝟐 × 𝟑 = 𝟔 επιλογές

10

(α) Η Νινέττα θέλει να αγοράσει καινούριο κινητό. Είναι αναποφάσιστη ανάμεσα σε 3 μοντέλα Nokia, 4
μοντέλα Samsung και 2 μοντέλα Apple. Πόσες συνολικά επιλογές έχει;
(β) Η Νινέττα κατέληξε πως θα αγοράσει ένα από τα 2 μοντέλα της Apple. Αν το καθένα βγαίνει σε 4
χρώματα, πόσες είναι οι δυνατές επιλογές;
(γ) Τελικά στο κατάστημα, υπάρχουν διαθέσιμα 2 μοντέλα Nokia σε 2 χρώματα το καθένα και 2 μοντέλα
Samsung σε 3 χρώματα το καθένα. Αν η Νινέττα επιλέξει κάποιο απ’ αυτά πόσες επιλογές έχει;
Συνδυαστική Αρχές απαρίθμησης Άσκηση 1.1
11

(α) Η Νινέττα θέλει να αγοράσει καινούριο κινητό. Είναι αναποφάσιστη ανάμεσα σε 3 μοντέλα Nokia, 4
μοντέλα Samsung και 2 μοντέλα Apple. Πόσες συνολικά επιλογές έχει;
(β) Η Νινέττα κατέληξε πως θα αγοράσει ένα από τα 2 μοντέλα της Apple. Αν το καθένα βγαίνει σε 4
χρώματα, πόσες είναι οι δυνατές επιλογές;
(γ) Τελικά στο κατάστημα, υπάρχουν διαθέσιμα 2 μοντέλα Nokia σε 2 χρώματα το καθένα και 2 μοντέλα
Samsung σε 3 χρώματα το καθένα. Αν η Νινέττα επιλέξει κάποιο απ’ αυτά πόσες επιλογές έχει;
12

Για το ΔΣ (διοικητικό συμβούλιο) ενός συλλόγου έχουν θέσει υποψηφιότητα 5 άτομα για το αξίωμα του
προέδρου, 3 άτομα για το αξίωμα του αντιπροέδρου και 7 άτομα για το αξίωμα του γενικού γραμματέα.
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να σχηματιστεί το ΔΣ(υποθέτουμε πως κανένας δεν έχει
θέσει υποψηφιότητα για 2 ή περισσότερα αξιώματα);
5 επ 3 επ 7 επ
Π Α Γ
Αναπαριστούμε το πρόβλημα ως εξής:
Από τον κανόνα του γινομένου έχουμε 𝟓 ⋅ 𝟑 ⋅ 𝟕 επιλογές
13

Έστω διάνυσμα 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 όπου 𝛼1 ∈ 1,2,3,4,5 , 𝑎2 ∈ 1,2,3 , 𝑎3 ∈ 1,2,3,4,5,6,7
Πόσα διαφορετικά τέτοια διανύσματα υπάρχουν;
Π Α Γ
Αναπαριστούμε το πρόβλημα ως εξής:
Από τον κανόνα του γινομένου έχουμε 𝟓 ⋅ 𝟑 ⋅ 𝟕 επιλογές
14

Συνδυαστική
Αρχές απαρίθμησης Άσκηση 1.4
Οι πινακίδες των αυτοκινήτων αποτελούνται από 3 γράμματα του λατινικού αλφαβήτου
και 4 ψηφία (από το 0 έως το 9)
α) πόσες διαφορετικές πινακίδες μπορώ να φτιάξω;
β) πόσες διαφορετικές πινακίδες μπορώ να φτιάξω, αν το πρώτο γράμμα πρέπει
να είναι το Α;
γ) πόσες διαφορετικές πινακίδες μπορώ να φτιάξω, αν δεύτερο γράμμα πρέπει
να είναι το Ζ και το τελευταίο ψηφίο πρέπει να είναι το 2 ή το 4.
δ) πόσες διαφορετικές πινακίδες μπορώ να φτιάξω, αν δεν επιτρέπεται η επανάληψη
κανενός συμβόλου.
15

Οι πινακίδες των αυτοκινήτων αποτελούνται από 3 γράμματα του λατινικού αλφαβήτου
και 4 ψηφία (από το 0 έως το 9)
α) πόσες διαφορετικές πινακίδες μπορώ να φτιάξω;
β) πόσες διαφορετικές πινακίδες μπορώ να φτιάξω, αν το πρώτο γράμμα πρέπει
να είναι το Α;
16

γ) πόσες διαφορετικές πινακίδες μπορώ να φτιάξω, αν δεύτερο γράμμα πρέπει
να είναι το Ζ και το τελευταίο ψηφίο πρέπει να είναι το 2 ή το 4
δ) πόσες διαφορετικές πινακίδες μπορώ να φτιάξω, αν όλα τα σύμβολα πρέπει αν είναι διαφορετικά.
17

Hunter – 4.7 (σελ. 265)
Πόσες διαφορετικές συμβολοσειρές μήκους 7 μπορούν να σχηματιστούν από ένα αλφάβητο 26
συμβόλων αν δεν επιτρέπονται δύο ίδια γειτονικά σύμβολα;
18

Hunter – 4.9 (σελ. 266)
Πόσες μη κενές συμβολοσειρές μήκους το πολύ 3 μπορούν να σχηματιστούν από ένα αλφάβητο 26
συμβόλων;
19

α) Πόσες διαφορετικές δυαδικές συμβολοσειρές μήκους 6 μπορούν να κατασκευαστούν;
β) Πόσες διαφορετικές δυαδικές συμβολοσειρές μήκους 6, που ξεκινούν με «1» μπορούν να
κατασκευαστούν;
γ) Πόσες διαφορετικές δυαδικές συμβολοσειρές μήκους 6, που τελειώνουν σε «0» μπορούν να
20

Έστω ότι πραγματοποιούμε μια τοποθέτηση χωρίς περιορισμούς.
Συμβολίζουμε 𝜴 το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων που μπορούν να προκύψουν.
Με 𝜴 συμβολίζουμε το πλήθος όλων των δυνατών αποτελεσμάτων
Εν γένει με |𝜜| συμβολίζουμε το πλήθος των στοιχείων του Α
Έστω 𝛢 και 𝛣 δυο τοποθετήσεις που πραγματοποιούνται υπό κάποιον περιορισμό.
Πχ το |𝛺| είναι το πλήθος όλων των δυαδικών συμβολοσειρών και |𝛢| είναι το πλήθος των
συμβολοσειρών που κατασκευάζουμε υπό τον περιορισμό να ξεκινούν από «1».
Όταν αναφερόμαστε σε κάποιο ενδεχόμενο Α, θα έχουμε στο νου μας πως πρόκειται για ένα υποσύνολο
του συνόλου όλων των δυνατών τοποθετήσεων/διανομών.
21

i) Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα (δηλαδή
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅), το πλήθος των τρόπων να
πραγματοποιηθεί το Α ή το Β, δίνεται από τον τύπο
𝜜 ∪ 𝑩 = 𝑨 + |𝑩|
Τον κανόνα αυτόν τον είδαμε ήδη. Μας είναι γνωστός ως Κανόνας του Αθροίσματος
ii) Αν τα ενδεχόμενα Α και Β μπορούν να πραγματοποιηθούν
ταυτόχρονα (δηλαδή 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅), τότε το πλήθος των τρόπων
να πραγματοποιηθεί το Α ή το Β, δίνεται από τον τύπο:
𝜜 ∪ 𝑩 = 𝑨 + 𝑩 − 𝑨 ∩ 𝑩
Αφαιρούμε μία φορά τα κοινά στοιχεία – τα στοιχεία της
τομής – για να μην τα διπλομετρήσουμε.
22

Πόσες διαφορετικές δυαδικές συμβολοσειρές μήκους 6, που ξεκινούν με «1» ή ξεκινούν με «0»
μπορούν να κατασκευαστούν;
Παράδειγμα
23

α) Πόσες διαφορετικές δυαδικές συμβολοσειρές μήκους 6, που ξεκινούν με «1» και τελειώνουν σε «0»
β) Πόσες διαφορετικές δυαδικές συμβολοσειρές μήκους 6, που ξεκινούν με «1» ή τελειώνουν σε «0»
Άσκηση 1.8
24

0
0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1
1
α) Η εικόνα που έχουμε είναι η παρακάτω:
Η πρώτη και η τελευταία παύλα
καταλαμβάνονται με έναν τρόπο.
Στη συνέχεια για κάθε μία από τις
4 παύλες, έχουμε 2 επιλογές
Άρα έχουμε τελικά 𝟐𝟒
δυαδικές συμβολοσειρές μήκους 6, που ξεκινούν με «1» και τελειώνουν σε «0»
α) Πόσες διαφορετικές δυαδικές συμβολοσειρές μήκους 6, που ξεκινούν με «1» και τελειώνουν σε «0»
25

β) Πόσες διαφορετικές δυαδικές συμβολοσειρές μήκους 6, που ξεκινούν με «1» ή τελειώνουν σε «0»
0
0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1
0
0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1
0 ή 1
1
β) Έχουμε τα εξής ενδεχόμενα
0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1
1
𝚨: Το ενδεχόμενο να ξεκινά μια
συμβολοσειρά με «1»
𝚨 = 𝟐𝟓
𝚩: Το ενδεχόμενο να τελειώνει
μια συμβολοσειρά σε «0»
𝚩 = 𝟐𝟓
𝚨 ∩ 𝑩: Το ενδεχόμενο να ξεκινά
μια συμβολοσειρά με «1» και να
τελειώνει σε «0»
𝚨 ∩ 𝚩 = 𝟐𝟒
Το ζητούμενο ενδεχόμενο δίνεται από το Α ∪ 𝐵:
𝛢 ∪ 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 − 𝐴 ∩ 𝐵 = 25
+ 25
− 24
= 2 ⋅ 25
− 24
= 26
− 24
26

iii) Αν τα ενδεχόμενα Α και Β μπορούν να πραγματοποιηθούν
ταυτόχρονα (δηλαδή 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅), τότε το πλήθος των τρόπων να
πραγματοποιηθεί το μόνο το Α ή μόνο το Β, δίνεται από τον τύπο:
𝛍ό𝛎𝛐 𝝉𝝄 𝜜 ή 𝛍ό𝛎𝛐 𝛕𝛐 𝑩 = 𝑨 + 𝑩 − 𝟐 ⋅ 𝑨 ∩ 𝑩
Δηλαδή για να μετρήσουμε τους τρόπους με τους οποίους
πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα Α ή Β, αφαιρούμε 2 φορές
τα κοινά στοιχεία, για να μην τα μετρήσουμε καθόλου
27

Πόσες διαφορετικές δυαδικές συμβολοσειρές μήκους 6, που είτε ξεκινούν με «1» είτε τελειώνουν σε
«0»(αλλά όχι και τα δύο) μπορούν να κατασκευαστούν;
28
0
0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1
0
0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1
0 ή 1
1
Έχουμε τα εξής ενδεχόμενα όπως και πριν
0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1
1
𝚨 = 𝟐𝟓
𝚩: Το ενδεχόμενο να τελειώνει
μια συμβολοσειρά σε «0»
𝚩 = 𝟐𝟓
𝚨 ∩ 𝑩: Το ενδεχόμενο να ξεκινά
μια συμβολοσειρά με «1» και να
τελειώνει σε «0»
𝚨 ∩ 𝚩 = 𝟐𝟒
Το ζητούμενο ενδεχόμενο δίνεται από το:
μόνο το 𝛢 ή μόνο το 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 − 2 ⋅ 𝐴 ∩ 𝐵 =
25
+ 25
− 2 ⋅ 24
= 25
+ 25
− 25
= 25

iv) Για ένα ενδεχόμενο Α, το πλήθος των τρόπων με τους οποίους
δεν πραγματοποιείται το Α δίνεται από τον τύπο:
|𝜜΄| = 𝜴 − |𝜜|
Το Α’ ονομάζεται «συμπληρωματικό ενδεχόμενο του Α»
Συχνά είναι πιο εύκολο το να υπολογίσουμε με πόσους τρόπους
πραγματοποιείται το συμπληρωματικό ενδεχόμενο
29

Πόσες διαφορετικές δυαδικές συμβολοσειρές μήκους 6, που δεν ξεκινούν με «111» μπορούν να
Παρατηρήστε πως αν μια συμβολοσειρά δεν ξεκινά με «111», τότε μπορεί να ξεκινά με «001»,
«010» κλπ.
Είναι αρκετά κουραστικό το να υπολογίσουμε το πλήθος των τρόπων με τους οποίους
Ικανοποιείται το ενδεχόμενο ευθέως. Αντιθέτως ο υπολογισμός των τρόπων ικανοποίησης
του συμπληρωματικού ενδεχομένου είναι πιο απλός
0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1
1
𝚨 = 𝟐𝟑
0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1 0 ή 1 𝛀: Όλες οι δυνατές τοποθετήσεις χωρίς
περιορισμούς 𝛀 = 𝟐𝟔
1 1
30

Hunter (20/σελ271)
Πόσες τετραψήφιες δυαδικές συμβολοσειρές υπάρχουν οι οποίες δεν περιέχουν το 000 ή το 111
31

32

33

Αρχές απαρίθμησης Άσκηση 1.12 Θέμα
Κανονική Εξέταση 2018 – Α μέρος – Ερώτημα 4
Να βρείτε ποια ή ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν
Για κάθε 𝑛 ≥ 4, το πλήθος των 𝑛-ψήφιων δυαδικών συμβολοσειρών που είτε αρχίζουν με «11» είτε
τελειώνουν σε «00» (αλλά όχι και τα δυο), ισούται με:
1. Σ/Λ 2𝑛−1
.
2. Σ/Λ 2𝑛−1
− 2𝑛−4
.
3. Σ/Λ 2𝑛−1
− 2𝑛−3
.
4. Σ/Λ Τις (𝑛– 1)-ψήφιες δυαδικές συμβολοσειρές που δεν ξεκινούν με «00».
34

35

1. Σ/Λ 2𝑛−1
.
2. Σ/Λ 2𝑛−1
− 2𝑛−4
.
3. Σ/Λ 2𝑛−1
− 2𝑛−3
.
36

1. Σ/Λ 2𝑛−1
.
2. Σ/Λ 2𝑛−1
− 2𝑛−4
.
3. Σ/Λ 2𝑛−1
− 2𝑛−3
.
37

Να βρείτε το πλήθος των διαιρετών του αριθμού 1400
38

Πόσοι διαφορετικοί τετραγωνικοί πίνακες, με 0 και 1 μεγέθους 5 × 5 μπορούν να
κατασκευαστούν ώστε στην κάτω αριστερά γωνία να έχουν «1» και στην πάνω δεξιά γωνία να
έχουν «0»;
39

Hunter 11/σελ 269
Πόσοι αριθμοί μεταξύ του 1 και 999 (συμπεριλαμβάνονται και τα δύο άκρα) διαιρούνται με το
2 ή το 5;
40

Hunter 11/σελ 269
Πόσοι αριθμοί μεταξύ του 1 και 999 (συμπεριλαμβάνονται και τα δύο άκρα) διαιρούνται με το
2 ή το 5;
41

Hunter: 268→ 1,2,6,12,18,
Πόσες διαφορετικές δυαδικές συμβολοσειρές μήκους 10, που ξεκινούν με «11» ή τελειώνουν
σε «00» μπορούν να κατασκευαστούν;
Πόσες διαφορετικές δυαδικές συμβολοσειρές μήκους 10, που είτε ξεκινούν με «11» είτε
τελειώνουν σε «01»(αλλά όχι και τα δύο) μπορούν να κατασκευαστούν;
Πόσες διαφορετικές δυαδικές συμβολοσειρές μήκους 10 , που δεν ξεκινούν με «1101»
42
Συνδυαστική Αρχές απαρίθμησης Ασκήσεις Εξάσκησης
1
2
3
4

Διατάξεις - Συνδυασμοί
43

Συνδυαστική Μεταθέσεις Εισαγωγικό παράδειγμα
Έστω ότι έχουμε 3 μπάλες: 1 μπλε, 1 κόκκινη,1 πράσινη.
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να τις βάλουμε στη σειρά;
Επειδή έχουμε έναν αρκετά μικρό αριθμό
μπαλών, μπορούμε να καταγράψουμε τα
δυνατά αποτελέσματα.
Παρατηρούμε πως οι 3 διακεκριμένες μπάλες,
μπορούν να μπουν στη σειρά με 6 τρόπους
44

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να βάλω στη σειρά τα γράμματα α,β,γ ;
Κατ’ αρχάς εδώ αξίζει να παρατηρήσουμε πως το εν λόγω πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το
προηγούμενο.
Αντί να διακρίνουμε τις μπάλες, του προηγούμενου προβλήματος, χρησιμοποιώντας χρώματα,
μπορούμε να τις διακρίνουμε με τις ετικέτες «α», «β» και «γ» .
Εδώ θα ακολουθήσουμε μια άλλη προσέγγιση
Για την 1η θέση έχουμε 3 επιλογές
(το γράμμα που χρησιμοποιήσαμε στην 1η θέση δεν μπορούμε να το
ξαναχρησιμοποιήσουμε)
Για την 3η θέση έχουμε 1 επιλογή
(έχουμε χρησιμοποιήσει 2 από τα 3 γράμματα, άρα μας μένει 1)
Άρα τελικά έχουμε 𝟑 ⋅ 𝟐 ⋅ 𝟏 = 𝟔 επιλογές
45

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να βάλω στη σειρά 5 διακεκριμένους ανθρώπους;
Για την 5η θέση έχουμε 1 επιλογή
Άρα τελικά έχουμε 𝟓 ⋅ 𝟒 ⋅ 𝟑 ⋅ 𝟐 ⋅ 𝟏 επιλογές
Ένας συντομότερος τρόπος να γράψουμε το γινόμενο 𝟓 ⋅ 𝟒 ⋅ 𝟑 ⋅ 𝟐 ⋅ 𝟏 είναι 𝟓!.
Διαβάζουμε «πέντε παραγοντικό»
5 επ 4 επ
𝒏 παραγοντικό
Εν γένει με το 𝒏! συμβολίζουμε το γινόμενο 𝟏 ⋅ 𝟐 ⋅ … ⋅ 𝒏 − 𝟏 ⋅ 𝒏
Ορίζουμε 𝟎! = 𝟏
46

47

Συνδυαστική Μεταθέσεις Μοντέλο
𝒏 διακεκριμένα αντικείμενα: με πόσους τρόπους μπορώ να τα βάλω στη σειρά;
𝒏!
Με πόσους διαφορετικούς τρόπος μπορώ να τοποθετήσω 5 διακεκριμένα βιβλία σε ένα ράφι;
Απάντηση:
𝟏 ⋅ 𝟐 ⋅ 𝟑 ⋅ 𝟒 ⋅ 𝟓 = 𝟓!
5 επ 4 επ
48

Συνδυαστική Μεταθέσεις Άσκηση 2.1
α) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να βάλω στη σειρά 6 διακεκριμένους ανθρώπους;
β) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να βάλω στη σειρά 6 διακεκριμένους ανθρώπους, αν
γνωρίζω πως η Μαρία θα κάτσει στην 1η θέση;
49

α) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να βάλω στη σειρά 6 διακεκριμένους ανθρώπους;
β) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να βάλω στη σειρά 6 διακεκριμένους ανθρώπους, αν
γνωρίζω πως η Μαρία θα κάτσει στην 1η θέση;
Λύση
α) Πρόκειται για τη μετάθεση 6 διακεκριμένων μεταξύ τους αντικειμένων. Η απάντηση είναι 6!
β) Εδώ υπάρχει περιορισμός. Φροντίζουμε πάντοτε πρώτα να ικανοποιήσουμε τον περιορισμό
Μ
Τοποθετώ 5 διακεκριμένα αντικείμενα
Στάδιο 1: Τοποθετούμε τη Μαρία στην 1η θέση. Η τοποθέτηση γίνεται με 1 τρόπο
Στάδιο 2: Τοποθετούμε τους υπόλοιπους 5 ανθρώπους στις υπόλοιπες 5 θέσεις με 5! τρόπους
Άρα από τον κανόνα του γινομένου, με δεδομένο ότι τα δύο στάδια πραγματοποιούνται
ταυτόχρονα και ανεξάρτητα, η τοποθέτηση γίνεται με 𝟏 ⋅ 𝟓! = 5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 𝟏𝟐𝟎 τρόπους
50

Έχουμε 5 διακεκριμένα αγόρια και 4 διακεκριμένα κορίτσια. Με πόσους τρόπους μπορούμε να βάλουμε
στη σειρά τα 9 παιδιά, ώστε αγόρια και κορίτσια να κάθονται εναλλάξ;
51

Έχουμε 5 διακεκριμένα αγόρια και 4 διακεκριμένα κορίτσια. Με πόσους τρόπους μπορούμε να βάλουμε
Λύση
Λόγω του πλήθους των αγοριών και των κοριτσιών, η μόνη πιθανή διάταξη είναι η εξής:
Στάδιο 1: Τοποθετούμε τα αγόρια με 𝟓! τρόπους
Στάδιο 2: Τοποθετούμε τα κορτίτσια με 𝟒! τρόπους
Άρα από τον κανόνα του γινομένου, με δεδομένο ότι τα δύο στάδια είναι ανεξάρτητα, η
τοποθέτηση γίνεται με 𝟓! ⋅ 𝟒! τρόπους
Α Α Α Α Α
Κ Κ Κ Κ
52

Έχουμε 4 διακεκριμένα κορίτσια και 4 διακεκριμένα αγόρια. Με πόσους τρόπους μπορούμε να βάλουμε
53

Έχουμε 4 διακεκριμένα κορίτσια και 4 διακεκριμένα αγόρια. Με πόσους τρόπους μπορούμε να βάλουμε
Λύση
Λόγω του πλήθους των αγοριών και των κοριτσιών, έχουμε δύο πιθανές διατάξεις:
Για την Περίπτωση 1
Στάδιο 1: Τοποθετούμε τα αγόρια με 𝟒! τρόπους
Στάδιο 2: Τοποθετούμε τα κορίτσια με 𝟒! τρόπους
Άρα η περίπτωση 1 πραγματοποιείται με 𝟒! ⋅ 𝟒!
τρόπους
Α Α Α Α
Κ Κ Κ Κ
Περίπτωση 1
Περίπτωση 2
Α Α Α Α
Κ Κ Κ Κ
Για την Περίπτωση 2
Στάδιο 1: Τοποθετούμε τα αγόρια με 𝟒! τρόπους
Στάδιο 2: Τοποθετούμε τα κορίτσια με 𝟒! τρόπους
Άρα η περίπτωση 2 πραγματοποιείται με 𝟒! ⋅ 𝟒!
τρόπους
Τελικώς επειδή είτε θα κάτσει κορίτσι στην 1η θέση (Περ. 1) είτε θα κάτσει αγόρι στην 1η θέση(Περ.2 ),
αθροίζουμε τα παραπάνω αποτελέσματα. Δηλαδή έχουμε 𝟒! ⋅ 𝟒! + 𝟒! ⋅ 𝟒! = 𝟐 ⋅ 𝟒! ⋅ 𝟒! = 𝟐 ⋅ 𝟒! 𝟐
54

Έστω ότι έχω 3 μπάλες μπλε χρώματος, ίδιου μεγέθους, ίδιου υλικού (είναι δηλαδή όμοιες).
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να τις βάλω στη σειρά;
55

Έστω ότι έχω 3 μπάλες μπλε χρώματος, ίδιου μεγέθους, ίδιου υλικού (είναι δηλαδή όμοιες).
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να τις βάλω στη σειρά;
Λύση
Προσοχή! Εδώ τα αντικείμενα που έχουμε να τοποθετήσουμε στη σειρά είναι όμοια
Μ’ άλλα λόγια ό,τι τοποθέτηση και να κάνουμε είναι ίδια με όλες τις υπόλοιπες
Δηλαδή η τοποθέτηση γίνεται με 1 τρόπο
56

Συνδυαστική Διατάξεις με επανάληψη Μοντέλο
𝑛 διακεκριμένα αντικείμενα: με πόσους τρόπους μπορώ να βάλω 𝑘(𝑘 ≤ 𝑛) από αυτά στη σειρά, αν
κάθε άντικείμενο μπορώ να το χρησιμοποιήσω όσες φορές θέλω;
𝒏𝒌 Δεν κάθομαι να σκεφτώ ποιο είναι
το 𝑛 και ποιο το 𝑘.
Ζωγραφίζω παύλες και μετράω
επιλογές ανά παύλα.
Χαρακτηριστικό παράδειγμα:
Πλήθος δυαδικών συμβολοσειρών μήκους 10.
Εδώ δεν βολεύει να θυμόμαστε τον τύπο απ’έξω. Όταν καταλάβουμε πως πρόκειται για τέτοιο
πρόβλημα, ζωγραφίζουμε παύλες.
Δηλαδή έχουμε 210
.
Σημείωση: Συχνά στις ερωτήσεις Σ/Λ στις εξετάσεις δίνεται το «ανάποδο αποτέλεσμα».
Εδώ πχ θα μπορούσε να έχει ως επιλογή το 102
.
Για να αποφύγουμε το ενδεχόμενο να μπερδευτούμε, ζωγραφίζουμε παύλες
2 επ 2 επ 2 επ 2 επ 2 επ
2 επ 2 επ
57

Συνδυαστική Διατάξεις με επανάληψη Άσκηση 2.5
Το πλήθος των διαφορετικών συμβολοσειρών μήκους 10 μπορώ να φτιάξω με τα 24
γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου είναι
1. Σ/Λ 1024
αν επιτρέπεται η επανάληψη συμβόλων
2. Σ/Λ 2410
3. Σ/Λ 24! αν επιτρέπεται η επανάληψη συμβόλων
4. Σ/Λ 24! αν δεν επιτρέπεται η επανάληψη συμβόλων
58

Συνδυαστική Διατάξεις με επανάληψη Άσκηση 2.5
Το πλήθος των διαφορετικών συμβολοσειρών μήκους 10 μπορώ να φτιάξω με τα 24
γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου είναι
1. Σ/Λ 1024
2. Σ/Λ 2410
3. Σ/Λ 24! αν επιτρέπεται η επανάληψη συμβόλων
4. Σ/Λ 24! αν δεν επιτρέπεται η επανάληψη συμβόλων
59

Συνδυαστική Διατάξεις χωρίς επανάληψη Πώς προκύπτει ο τύπος
8 δρομείς τρέχουν σε έναν αγώνα δρόμου. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να τους
απονεμηθούν το Χρυσό, το Αργυρό και το Χάλκινο μετάλλιο;
6 επ
8 επ 7 επ
Α
Χρ Χα
Αντιστοιχούμε τα 3 μετάλλια σε 3 διακεκριμένες παύλες
Για την 1η παύλα έχουμε 8 επιλογές
Άρα τελικά έχουμε 𝟖 ⋅ 𝟕 ⋅ 𝟔 επιλογές
Παρατήρηση
Βλέπουμε πως έχουμε ένα 𝟖! από το οποίο λείπει μια ουρίτσα. Λείπει δηλαδή το γινόμενο 𝟓 ⋅ 𝟒 ⋅ 𝟑 ⋅ 𝟐 ⋅ 𝟏
Μπορούμε να εκφράσουμε το παραπάνω γινόμενο χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό του παραγοντικού
ως εξής:
𝟖 ⋅ 𝟕 ⋅ 𝟔 =
𝟖 ⋅ 𝟕 ⋅ 𝟔 ⋅ 𝟓 ⋅ 𝟒 ⋅ 𝟑 ⋅ 𝟐 ⋅ 𝟏
𝟓 ⋅ 𝟒 ⋅ 𝟑 ⋅ 𝟐 ⋅ 𝟏
Πρέπει δηλαδή να διαιρέσουμε κατάλληλο αριθμό, ώστε να απλοποιηθούν οι περιττοί όροι από το 𝟖!
Γενίκευση
60

Συνδυαστική Διατάξεις χωρίς επανάληψη Πώς προκύπτει ο τύπος
𝒏 𝒏 − 𝟏
Γενίκευση
Έχουμε 𝑛 διακεκριμένα αντικείμενα και από αυτά θέλουμε να επιλέξουμε τα 𝑘 με 𝑘 ≤ 𝑛 για να τα
τοποθετήσουμε στη σειρά
…
𝒏 − 𝟐
𝟏 𝟐 𝟑
𝒏 − 𝒌 − 𝟏
𝒌
𝒊
𝒏 − 𝒊 − 𝟏
…
Για την 1η παύλα έχουμε 𝒏 επιλογές
Για την 2η παύλα έχουμε 𝒏 − 𝟏 επιλογές
Για την 3η παύλα έχουμε 𝒏 − 𝟐 επιλογές
Για την 4η παύλα έχουμε 𝒏 − 𝟒 − 𝟏 = 𝒏 − 𝟑 επιλογές
Άρα για την 𝒌 −οστή παύλα θα έχουμε 𝒏 − 𝒌 − 𝟏 επιλογές
Για να φτάσει το γινόμενο μέχρι το 𝒏 − 𝒌 − 𝟏 = 𝒏 − 𝒌 + 𝟏, θα πρέπει να διαιρέσουμε το 𝒏!
με το 𝒏 − 𝒌 !
Στο προηγούμενο παράδειγμα για να φτάσει το γινόμενο μέχρι το 𝟔 και να κρατήσουμε μόνο τους
όρους 𝟖 ⋅ 𝟕 ⋅ 𝟔 από το 8! διαιρέσαμε με το 𝟓! .
Παρατηρούμε ότι το 𝟓 είναι ο προηγούμενος του 𝟔. Ομοίως το 𝒏 − 𝒌 είναι ο προηγούμενος του 𝒏 − 𝒌 + 𝟏.
O τύπος
61

Συνδυαστική Διατάξεις χωρίς επανάληψη Μοντέλο
8 επ
10 επ 9 επ
𝑛 διακεκριμένα αντικείμενα: με πόσους τρόπους μπορώ να βάλω 𝑘 από αυτά στη σειρά, αν κάθε
άντικείμενο μπορώ να το χρησιμοποιήσω το πολύ μία φορά;
𝑷 𝒏, 𝒌 =
𝒏!
𝒏 − 𝒌 !
10 δρομείς τρέχουν σε έναν αγώνα δρόμου. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να
τους απονεμηθούν το Χρυσό, το Αργυρό και το Χάλκινο μετάλλιο;
Α
Χρ Χα
Επιλέγω για να
βάλω στη σειρά
Έχουμε 10 διακεκριμένα αντικείμενα (τους δρομείς) από τα οποία πρέπει να επιλέξουμε 3 και μας
νοιάζει η σειρά με την οποία επιλέγουμε. Τι σημαίνει το ότι μας νοιάζει η σειρά;
Ο δρομέας που θα επιλεγεί 1ος θα πάρει το χρυσό, ο δρομέας που θα επιλεγεί 2ος θα πάρει το
αργυρό και ο δρομέας που θα επιλεγεί 3ος θα πάρει το χάλκινο.
62

Συνδυαστική Διατάξεις χωρίς επανάληψη Άσκηση 2.6
Πόσες διαφορετικές λέξεις μήκους 6 μπορώ να φτιάξω, χρησιμοποιώντας τα γράμματα:
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, 𝑗
υπό τον περιορισμό ότι οι λέξεις αποτελούνται από διαφορετικά μεταξύ τους γράμματα;
63

Συνδυαστική Διατάξεις χωρίς επανάληψη Άσκηση 2.6
Πόσες διαφορετικές λέξεις μήκους 6 μπορώ να φτιάξω, χρησιμοποιώντας τα γράμματα:
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, 𝑗
υπό τον περιορισμό ότι οι λέξεις αποτελούνται από διαφορετικά μεταξύ τους γράμματα;
Λύση
Κατ’αρχάς το γεγονός ότι τα γράμματα πρέπει να είναι διαφορετικά μεταξύ τους σημαίνει πως δεν
επιτρέπεται η επανάληψη κάποιου γράμματος.
Από τα 10 διαθέσιμα γράμματα πρέπει να επιλέξουμε τα 6 για να τα βάλουμε στη σειρά.
Ή ισοδύναμα, από τα 10 διαθέσιμα γράμματα πρέπει να επιλέξουμε τα 6 και μας νοιάζει η σειρά με
την οποία επιλέγουμε.
Έχουμε για 𝑛 = 10 και 𝑘 = 6:
𝑷 𝒏, 𝒌 =
𝒏!
𝒏 − 𝒌 !
=
10!
10 − 6 !
=
10!
4!
=
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4
= 𝟓 ⋅ 𝟔 ⋅ 𝟕 ⋅ 𝟖 ⋅ 𝟗 ⋅ 𝟏𝟎
𝑷 𝒏, 𝒌 =
𝒏!
𝒏 − 𝒌 !
64

Συνδυαστική Σύγκριση των διατάξεων
Διατάξεις με επανάληψη Διατάξεις χωρίς επανάληψη
65

Συνδυαστική Συνδυασμοί χωρίς επανάληψη Πώς προκύπτει ο τύπος
❑ Αρχικά ορίσαμε το 𝒏! που ισούται με το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να
βάλουμε 𝒏 διακεκριμένα αντικείμενα στη σειρά.
❑ Στη συνέχεια διαπιστώσαμε πως το πλήθος των τρόπων να επιλέξουμε 𝒌 από 𝒏 διακεκριμένα
αντικείμενα, αν μας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής ισούται με 𝑷 𝒏, 𝒌 =
𝑛!
𝑛−𝑘 !
❑ Εδώ θα υπολογίσουμε το πλήθος των τρόπων να επιλέξουμε επιλέξουμε 𝒌 από 𝒏 διακεκριμένα
αντικείμενα, αν δεν μας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής.
Θέλουμε δηλαδή να υπολογίσουμε το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να
επιλέξουμε χωρίς επανάληψη από 𝒏 διακεκριμένα αντικείμενα τα 𝒌, αν δεν μας ενδιαφέρει
η σειρά επιλογής.
Παράδειγμα 1
66

Έχουμε 3 διακεκριμένα σφαιρίδια και θέλουμε να επιλέξουμε τα 2 για να βάλουμε σε ένα τσουβάλι
1 2 3
Αν μας νοιάζει η σειρά
1 2
2 1
1 3
3 1
2 3
3 2
Αν δεν μας νοιάζει η σειρά
1 2 3
1
2
1
3
3
2
Παρατηρούμε ότι παίρνοντας τον τύπο 𝑃 3,2 =
3!
3−2 !
= 3! = 𝟔 θα είχαμε μετρήσει διπλάσιο
αριθμό αποτελεσμάτων, αφού στην πραγματικότητα το πλήθος των αποτελεσμάτων είναι 3.
Άρα για να διορθώσουμε το «λάθος» στη μέτρηση θα μπορούσαμε να διαιρέσουμε το 𝑷 𝟑, 𝟐 με 2.
Το «λάθος» στην μέτρηση προκύπτει από το γεγονός ότι την κάθε τοποθέτηση σε την έχουμε
μετρήσει 2 φορές (για την ακρίβεια –όπως θα δούμε στο επόμενο παράδειγμα- την έχουμε μετρήσει
2! φορές Παράδειγμα 2
67

Έχουμε 5 διακεκριμένα σφαιρίδια και θέλουμε να επιλέξουμε τα 3 για να βάλουμε σε ένα τσουβάλι
Κατ’αρχάς αν παίρναμε τον τύπο των διατάξεων θα
μετρούσαμε 𝑷 𝟓, 𝟑 =
5!
5−3 !
επιλογές.
1 2 3 4 5
Έστω ότι έχουμε κάνει την ακόλουθη επιλογή
για το τσουβάλι
Όμως, στο παραπάνω αποτέλεσμα έχουμε μετρήσει την κάθε τοποθέτηση παραπάνω από μία φορές.
Το ερώτημα είναι όμως: πόσες φορές έχουμε μετρήσει την κάθε επιλογή για το τσουβάλι παίρνοντας
𝑷 𝟓, 𝟑 ;
2
4
3
Στο 𝑷 𝟓, 𝟑 την ίδια επιλογή για το τσουβάλι
την έχουμε μετρήσει 𝟑! φορές
3
2 4 3 2
4
3 2 4
3
2 4
2
3
4
2 3
4
Άρα 1 επιλογή για το τσουβάλι μετριέται 𝟑! φορές στο 𝑷 𝟓, 𝟑
Άρα οι 𝒙 επιλογές για το τσουβάλι μετριούνται 𝒙 ⋅ 𝟑! φορές στο 𝑷 𝟓, 𝟑
Άρα 𝑷 𝟓, 𝟑 = 𝒙 ⋅ 𝟑! ισοδύναμα 𝒙 =
𝑷 𝟓, 𝟑
𝟑! Γενίκευση
68

Γενίκευση
Έστω 𝒙 το πλήθος των τρόπων να επιλέξουμε χωρίς επανάληψη από 𝒏 διακεκριμένα
αντικείμενα τα 𝒌 χωρίς να μας νοιάζει η σειρά επιλογής.
Άρα 1 επιλογή χωρίς σειρά μετριέται 𝒌! φορές στο 𝑷 𝒏, 𝒌
Άρα οι 𝒙 επιλογές χωρίς σειρά μετριούνται 𝒙 ⋅ 𝒌! φορές στο 𝑷 𝒏, 𝒌
Αφού λοιπόν στο 𝑃(𝑛, 𝑘) η κάθε επιλογή από τις 𝒙 έχει μετρηθεί 𝒌! φορές έχουμε:
𝑷 𝒏, 𝒌 = 𝒙 ⋅ 𝒌! ⇔ 𝒙 =
𝑷 𝒏, 𝒌
𝒌!
= 𝑷 𝒏, 𝒌 ⋅
𝟏
𝒌!
⇔ 𝒙 =
𝒏!
𝒏 − 𝒌 !
⋅
𝟏
𝒌!
⇔ 𝒙 =
𝒏!
𝒌! 𝒏 − 𝒌 !
Συμβολισμός:
𝑪 𝒏, 𝒌 =
𝒏!
𝒌! 𝒏 − 𝒌 !
Υπενθύμιση:
𝑷 𝒏, 𝒌 =
𝒏!
𝒏 − 𝒌 !
69

Συνδυαστική Συνδυασμοί χωρίς επανάληψη Μοντέλο
𝑛 διακεκριμένα αντικείμενα: με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω 𝑘 (𝑘 ≤ 𝑛) από αυτά, χωρίς
επανάληψη;
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να επιλέξω από 20 βιβλία τα 5 για να τα δωρίσω σε μια
βιβλιοθήκη;
Πρόκειται για την επιλογή 5 αντικειμένων από 20 διακριμένα. Εδώ δεν μας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής.
Σκεφτείτε πως από τα 20 αυτά βιβλία, θα επιλέξουμε τα 5 και θα τα βάλουμε σε ένα σακίδιο.
Από τον τύπο για 𝑛 = 20 και 𝑘 = 5 προκύπτει
𝒏
𝒌
=
𝒏!
𝒌! 𝒏 − 𝒌 !
=
𝟐𝟎!
𝟓! ⋅ 𝟐𝟎 − 𝟓 !
=
𝟐𝟎!
𝟓! 𝟏𝟓!
Σημείωση: Τα σύμβολα
𝑛
𝑘
και 𝐶 𝑛, 𝑘 είναι ισοδύναμα
𝒏
𝒌
= 𝑪 𝒏, 𝒌 =
𝒏!
𝒌! ⋅ 𝒏 − 𝒌 !
Απλά επιλέγω
70

Συνδυαστική Σύγκριση των τύπων P,C
20 διακεκριμένα
20 διακεκριμένα
Δηλαδή επιλέγω χωρίς να
με νοιάζει η σειρά με
𝐶 20,8 =
20!
12!8!
τρόπους
Άρα από τα 20 επιλέγω τα 8 χωρίς
επανάληψη και με νοιάζει η σειρά με την
οποία επιλέγω. Δηλαδή έχουμε
𝑷 𝟐𝟎, 𝟖 =
20!
20−8 !
=
𝟐𝟎!
𝟏𝟐!
τρόπους
Επιλέγω 8 από τα 20. Όποιο επιλεγεί 1ο θα
μπει 1ο στο ράφι, όποιο επιλεγεί 2ο θα μπει
2ο στο ράφι κλπ.
Επιλέγω 8 από τα 20
και τα βάζω πάνω σε
ένα γραφείο.
Τοποθετώ στο
ράφι τα βιβλία
που έχω πάνω
στο γραφείο
με 8! τρόπους.
Δηλαδή, από τον κανόνα του γινομένου, η τοποθέτηση γίνεται με
𝑪 𝟐𝟎, 𝟖 ⋅ 𝟖! =
20!
12!8!
⋅ 8! =
𝟐𝟎!
𝟏𝟐!
τρόπους
Προσέγγιση
1
2
Έστω ότι έχουμε 20 διακεκριμένα βιβλία σε μια βιβλιοθήκη και θέλουμε να επιλέξουμε 8 από αυτά,
για να τα βάλουμε σε ένα ράφι
SOS
71

Συνδυαστική Σύγκριση των τύπων P,C SOS
Παρατηρούμε ότι και οι δύο προσεγγίσεις, στο προηγούμενο παράδειγμα, οδήγησαν στο ίδιο
αποτέλεσμα.
Εν γένει, αν από 𝑛 διακεκριμένα αντικείμενα θέλουμε να επιλέξουμε τα 𝑘 (𝑘 ≤ 𝑛) χωρίς να
επιτρέπεται η επανάληψη για να τα βάλουμε στη σειρά, υπάρχουν οι εξής προσεγγίσεις.
1
Επιλέγουμε με 𝑃 𝑛, 𝑘 =
𝒏!
𝒏−𝒌 !
τρόπους.
Το αντικείμενο που θα επιλεγεί 1ο θα μπει στην 1η θέση, το αντικείμενο που θα επιλεγεί 2ο θα
μπει στην 2η θέση κλπ
2
Στάδιο 1: Επιλέγω 𝑘 από τα 𝑛 χωρίς να με νοιάζει η σειρά επιλογής με 𝐶 𝑛, 𝑘 =
𝑛!
𝑘! 𝑛−𝑘 !
Στάδιο 2: Στη συνέχεια, τοποθετώ τα 𝑘 διακεκριμένα αντικείμενα στη σειρά με 𝑘! τρόπους.
Τελικά, η όλη διαδικασία πραγματοποιείται με
𝑛!
𝑘! 𝑛−𝑘 !
⋅ 𝑘! τρόπους. Απλοποιείται το 𝑘! και
προκύπτει
𝒏!
𝒏−𝒌 !
Δηλαδή 𝑷 𝒏, 𝒌 = 𝑪 𝒏, 𝒌 ⋅ 𝒌! .
To 𝑃(𝑛, 𝑘) επιλέγει για να βάλει στη σειρά.
Το 𝐶(𝑛, 𝑘) απλά επιλέγει.
72

Συνδυαστική Σύγκριση των τύπων P,C SOS
To 𝑷(𝒏, 𝒌) επιλέγει για να βάλει στη σειρά. Το 𝑪(𝒏, 𝒌) απλά επιλέγει.
1 2 3 n
…
𝑛 διακεκριμένα
Επιλέγω 𝑘 για να τα βάλω στη σειρά
𝟏 𝟐 𝟑 𝒌
…
1 2 3 n
…
𝑛 διακεκριμένα
𝒌 𝒌
Και στις δύο περιπτώσεις, όταν επιλεγεί κάποιο αντικείμενο από τα 𝑛 δεν επιτρέπεται να ξαναεπιλεγεί.
Γι’αυτό λέμε ότι η επιλογή γίνεται χωρίς επανάληψη.
Επιλέγω 𝑘 για να τα βάλω σε ένα τσουβάλι
𝑪 𝒏, 𝒌 =
𝒏!
𝒌! ⋅ 𝒏 − 𝒌 !
𝑷 𝒏, 𝒌 =
𝒏!
𝒏 − 𝒌 !
73

Συνδυαστική Σύγκριση των τύπων P,C Ασκησάκι εμπέδωσης
Συνδυασμοί C Διατάξεις P
Σημειώστε το σωστό κουτάκι
C P
C P
C P
C P
C P
C P
Α)Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να επιλέξω από 20
διακεκριμένα βιβλία τα 5 για να τα δωρίσω σε μια βιβλιοθήκη;
Β) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να επιλέξω από 20
διακεκριμένα βιβλία τα 5 για να τα βάλω σε ένα ράφι;
Γ) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να επιλέξω από 20
διακεκριμένα βιβλία τα 5 για να τα δωρίσω σε 1 έναν φίλο;
Δ)Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να επιλέξω από 20
διακεκριμένα βιβλία τα 5 για να τα δωρίσω σε 5 φίλους;
E)Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να επιλέξω από 20
διακεκριμένους ανθρώπους τους 5, για να τους βάλω σε μια επιτροπή με
ισότιμα μέλη;
Ζ)Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να επιλέξω από 20
διακεκριμένα μέλη
74

Συνδυασμοί C Διατάξεις P
Σημειώστε το σωστό κουτάκι
C P
C P
C P
C P
C P
C P
Α)Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να επιλέξω από 20
διακεκριμένα βιβλία τα 5 για να τα δωρίσω σε μια βιβλιοθήκη;
Β) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να επιλέξω από 20
διακεκριμένα βιβλία τα 5 για να τα βάλω σε ένα ράφι;
Γ) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να επιλέξω από 20
διακεκριμένα βιβλία τα 5 για να τα δωρίσω σε 1 έναν φίλο;
E)Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να επιλέξω από 20
ισότιμα μέλη;
Ζ)Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορώ να επιλέξω από 20
διακεκριμένα μέλη
75

76

Συνδυαστική Διατάξεις/Συνδυασμοί Άσκηση 2.7
α) Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν στη σειρά 6 αγόρια και 4 κορίτσια ώστε τα αγόρια να
κάθονται σε διαδοχικές θέσεις;
β) Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν στη σειρά 6 αγόρια και 4 κορίτσια ώστε τα αγόρια και τα
κορίτσια να κάθονται σε διαδοχικές θέσεις;
#σε διαδοχικές θέσεις – super αντικείμενο
77

78

Λύση
α) Θεωρούμε το super αντικείμενο που αποτελείται από όλα τα αγόρια
Έχουμε λοιπόν όλα τα αγόρια μαζί σαν ένα ενιαίο αντικείμενο και τα 4 κορίτσια.
Άρα έχουμε 5 διακεκριμένα αντικείμενα, τα οποία θα τα βάλουμε στη σειρά.
Η τοποθέτηση αυτή γίνεται με 𝟓! τρόπους.
Τώρα, πολλαπλασιάζουμε με 𝟔! για να λάβουμε υπόψιν τους διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους
θα καθίσουν τα αγόρια.
Άρα τελικά η τοποθέτηση γίνεται με 𝟓! ⋅ 𝟔! τρόπους
79

β) Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν στη σειρά 6 αγόρια και 4 κορίτσια ώστε τα αγόρια και
τα κορίτσια να κάθονται σε διαδοχικές θέσεις;
80

β) Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν στη σειρά 6 αγόρια και 4 κορίτσια ώστε τα αγόρια και
τα κορίτσια να κάθονται σε διαδοχικές θέσεις;
Λύση
β) Θεωρούμε το super αντικείμενο που αποτελείται από όλα τα αγόρια και το super αντικείμενο που
αποτελείται από όλα τα κορίτσια.
Έχουμε δύο περιπτώσεις:
Περίπτωση 1: Α Α Α Α Α Α Κ Κ Κ Κ .
Στάδιο 1: Τοποθετούμε τα αγόρια με 6! τρόπους στις προκαθορισμένες θέσεις τους
Στάδιο 2: Τοποθετούμε τα κορίτσια με 4! τρόπους στις προκαθορισμένες θέσεις τους
Από τον κανόνα του γινομένου, η τοποθέτηση γίνεται με 𝟔! ⋅ 𝟒! τρόπους
Περίπτωση 2: Κ Κ Κ Κ Α Α Α Α Α Α
Στάδιο 1: Τοποθετούμε τα αγόρια με 6! τρόπους στις προκαθορισμένες θέσεις τους
Στάδιο 2: Τοποθετούμε τα κορίτσια με 4! τρόπους στις προκαθορισμένες θέσεις τους
Από τον κανόνα του γινομένου, η τοποθέτηση γίνεται με 𝟔! ⋅ 𝟒! τρόπους
Άρα τελικά από τον κανόνα του αθροίσματος, η τοποθέτηση γίνεται με
𝟔! ⋅ 𝟒! + 𝟔! ⋅ 𝟒! = 𝟐 ⋅ 𝟔! ⋅ 𝟒! τρόπους 81

10 βιβλία Ποίησης, 5 βιβλία Μαθηματικών και 7 βιβλία Φιλοσοφίας.
Με πόσους τρόπους μπορώ να τα βάλω σε ένα ράφι ώστε τα βιβλία ίδιου αντικειμένου να είναι το ένα
δίπλα στο άλλο;
82

10 βιβλία Ποίησης, 5 βιβλία Μαθηματικών και 7 βιβλία Φιλοσοφίας.
Με πόσους τρόπους μπορώ να τα βάλω σε ένα ράφι ώστε τα βιβλία ίδιου αντικειμένου να είναι το ένα
δίπλα στο άλλο;
83

Σε ένα παιδικό πάρτι, έχουν έρθει 30 παιδιά, 12 αγόρια και 18 κορίτσια, τα οποία θεωρούμε
διακεκριμένα.
Με πόσους τρόπους μπορούμε να βάλουμε όλα τα παιδιά σε μία σειρά, ώστε να μην υπάρχουν δύο ή
περισσότερα αγόρια σε διαδοχικές θέσεις;
#όχι σε διαδοχικές θέσεις
84

Σε ένα παιδικό πάρτι, έχουν έρθει 30 παιδιά, 12 αγόρια και 18 κορίτσια, τα οποία θεωρούμε
διακεκριμένα.
Με πόσους τρόπους μπορούμε να βάλουμε όλα τα παιδιά σε μία σειρά, ώστε να μην υπάρχουν δύο ή
περισσότερα αγόρια σε διαδοχικές θέσεις;
#όχι σε διαδοχικές θέσεις
Στάδιο 1: Βάζω τα κορίτσια στη σειρά με 18! τρόπους και δημιουργούνται 19 κενά
Στάδιο 2: Από τα 19 κενά επιλέγω με 𝟏𝟗
𝟏𝟐
ποια κενά θα γεμίσουν
Στάδιο 3: Βάζω τα αγόρια με 12! τρόπους
Από τον κανόνα του γινομένου η διαδικασία γίνεται με 18! ⋅
19
12
⋅ 12! = 18! ⋅
19!
12!7!
⋅ 12! =
𝟏𝟖!𝟏𝟗!
𝟕!
85

Συνδυαστική Άσκηση 2.10 Θέματα –Ενδ. 2021
Διατάξεις/Συνδυασμοί
Πρόκειται να συσταθεί μια 8μελής επιτροπή, η οποία θα αποτελείται από καθηγητές, που
συμμετέχουν ως ισότιμα μέλη (βλ. ο ρόλος τους δεν είναι διακεκριμένος), και διοικητικά στελέχη, που
έχουν διακεκριμένους ρόλους (βλ. πρόεδρος, γραμματέας, κ.λπ.). Στην επιτροπή, πρέπει να υπάρχει
τουλάχιστον ένα διοικητικό στέλεχος και οι καθηγητές να είναι περισσότεροι από τα διοικητικά
στελέχη. Υπάρχουν 15 (διακεκριμένοι) καθηγητές και 20 (διακεκριμένα) διοικητικά στελέχη από τα
οποίους θα επιλεγούν τα μέλη της επιτροπής. Ποιο είναι το πλήθος των επιτροπών που μπορούν να
συσταθούν;
86

Συνδυαστική Άσκηση 2.10 Θέματα –Ενδ. 2021
Πρόκειται να συσταθεί μια 8μελής επιτροπή, η οποία θα αποτελείται από καθηγητές, που
συμμετέχουν ως ισότιμα μέλη (βλ. ο ρόλος τους δεν είναι διακεκριμένος), και διοικητικά στελέχη, που
έχουν διακεκριμένους ρόλους (βλ. πρόεδρος, γραμματέας, κ.λπ.). Στην επιτροπή, πρέπει να υπάρχει
τουλάχιστον ένα διοικητικό στέλεχος και οι καθηγητές να είναι περισσότεροι από τα διοικητικά
στελέχη. Υπάρχουν 15 (διακεκριμένοι) καθηγητές και 20 (διακεκριμένα) διοικητικά στελέχη από τα
οποίους θα επιλεγούν τα μέλη της επιτροπής. Ποιο είναι το πλήθος των επιτροπών που μπορούν να
συσταθούν;
87

Συνδυαστική Άσκηση 2.11 Θέματα – Καν. 2021
Στις εξετάσεις της ΠΛΗ20, ένας φοιτητής λαμβάνει 12 ερωτήσεις Σ/Λ και 8 ερωτήσεις ανάπτυξης, και
πρέπει να απαντήσει σε 16 ερωτήσεις συνολικά. Πόσες διαφορετικές επιλογές έχει, εάν:
[ι] Πρέπει να απαντήσει σε ακριβώς 5 ερωτήσεις ανάπτυξης.
[ιι] Πρέπει να απαντήσει σε μία μόνο από τις δύο πρώτες ερωτήσεις Σ/Λ και σε 7 ερωτήσεις
ανάπτυξης.
[ιιι] Πρέπει να απαντήσει σε τουλάχιστον 9 ερωτήσεις Σ/Λ και σε τουλάχιστον 6 ερωτήσεις ανάπτυξης.
88

Συνδυαστική Άσκηση 2.11 Θέματα – Καν. 2021
Στις εξετάσεις της ΠΛΗ20, ένας φοιτητής λαμβάνει 12 ερωτήσεις Σ/Λ και 8 ερωτήσεις ανάπτυξης, και
πρέπει να απαντήσει σε 16 ερωτήσεις συνολικά. Πόσες διαφορετικές επιλογές έχει, εάν:
[ι] Πρέπει να απαντήσει σε ακριβώς 5 ερωτήσεις ανάπτυξης.
[ιι] Πρέπει να απαντήσει σε μία μόνο από τις δύο πρώτες ερωτήσεις Σ/Λ και σε 7 ερωτήσεις
ανάπτυξης.
[ιιι] Πρέπει να απαντήσει σε τουλάχιστον 9 ερωτήσεις Σ/Λ και σε τουλάχιστον 6 ερωτήσεις ανάπτυξης.
Απάντηση ΕΑΠ
[ι] Πρέπει να επιλέξει 11 ερωτήσεις Σ/Λ και 5 ερωτήσεις ανάπτυξης, άρα υπάρχουν 𝐶 12,11 ⋅ 𝐶 8,5
διαφορετικοί τρόποι.
[ιι] Διαλέγει την πρώτη ή τη δεύτερη ερώτηση Σ/Λ (άρα υπάρχουν 2 τρόποι για αυτό). Στη συνέχεια, από
τις 8 ερωτήσεις ανάπτυξης, επιλέγει τις 7 με 𝐶(8,7) τρόπους, και από τις υπόλοιπες 10 ερωτήσεις Σ/Λ,
επιλέγει τις 8 με 𝐶 10,8 τρόπους. Άρα συνολικά υπάρχουν 2 ⋅ 𝐶 8,7 ⋅ 𝐶(10,8) διαφορετικοί τρόποι.
[ιιι] Υπάρχουν δύο πιθανά (αμοιβαία αποκλειόμενα) σενάρια που ικανοποιούν τους περιορισμούς:
9 ερωτήσεις Σ/Λ, 7 ερωτήσεις ανάπτυξης: 𝐶 12,9 ⋅ 𝐶 8,7
10 ερωτήσεις Σ/Λ, 6 ερωτήσεις ανάπτυξης: 𝐶 12,10 ⋅ 𝐶 8,6
Από κανόνα αθροίσματος, υπάρχουν 𝐶 12,9 ⋅ 𝐶 8,7 + 𝐶 12,10 ⋅ 𝐶 8,6 διαφορετικοί τρόποι
συνολικά.
89

Συνδυαστική Άσκηση 2.12
Σε μία τάξη 50 μαθητών υπάρχουν 23 αγόρια.
(α) Με πόσους τρόπους μπορεί να σχηματιστεί μία 8μελής επιτροπή;
(β) Με πόσους τρόπους μπορεί να σχηματιστεί μία 8μελής επιτροπή αν πρέπει να περιέχει ίσο πλήθος
αγοριών και κοριτσιών.
(γ) Με πόσους τρόπους μπορεί να σχηματιστεί μία 8μελής επιτροπή αν πρέπει να περιέχει είτε 3
αγόρια και 5 κορίτσια, είτε 5 αγόρια και 3 κορίτσια.;
90

Σε μία τάξη 50 μαθητών υπάρχουν 23 αγόρια.
(α) Με πόσους τρόπους μπορεί να σχηματιστεί μία 8μελής επιτροπή;
(β) Με πόσους τρόπους μπορεί να σχηματιστεί μία 8μελής επιτροπή αν πρέπει να περιέχει ίσο πλήθος
αγοριών και κοριτσιών.
(γ) Με πόσους τρόπους μπορεί να σχηματιστεί μία 8μελής επιτροπή αν πρέπει να περιέχει είτε 3
αγόρια και 5 κορίτσια, είτε 5 αγόρια και 3 κορίτσια.;
Λύση
(α) Θέλουμε να διαλέξουμε 8 διακεκριμένα αντικείμενα (μαθητές) από τα 50 χωρίς όμως να μας
ενδιαφέρει η σειρά επιλογής. Άρα υπάρχουν 𝐶 50,8 =
50!
8!42!
= 536.878.650 διαφορετικές επιτροπές.
(β) Θέλουμε δηλαδή να επιλέξουμε 4 από τα 23 αγόρια (𝐶(23,4) τρόποι) και 4 από τα 27 κορίτσια
(C(27,4) τρόποι). Από τον κανόνα του γινομένου υπάρχουν 𝐶(23,4) ∙ 𝐶(27,4) επιτροπές
(γ) Ας μετρήσουμε πρώτα τις επιτροπές με 3 αγόρια και 5 κορίτσια (Περ. 1). Αντίστοιχα με το
προηγούμενο ερώτημα, θα έχουμε 𝑪(𝟐𝟑, 𝟑) ∙ 𝑪(𝟐𝟕, 𝟓) διαφορετικές επιτροπές.
Από την άλλη, οι διαφορετικές επιτροπές με 5 αγόρια και 3 κορίτσια (Περ. 2). θα είναι
𝑪(𝟐𝟑, 𝟓) ∙ 𝑪(𝟐𝟕, 𝟑)
Επειδή θέλουμε είτε επιτροπή με 3 αγόρια και 5 κορίτσια, είτε επιτροπή με 5 αγόρια και 3 κορίτσια,
από τον κανόνα του αθροίσματος θα έχουμε 𝑪 𝟐𝟑, 𝟑 ∙ 𝑪 𝟐𝟕, 𝟓 + 𝑪(𝟐𝟑, 𝟓) ∙ 𝑪(𝟐𝟕, 𝟑)
διαφορετικές επιτροπές.
91

Συνδυαστική Διατάξεις/Συνδυασμοί Άσκηση - σχόλιο
Έστω ότι έχουμε 4 Γυναίκες και 5 Άντρες και θέλουμε να επιλέξουμε 3 γυναίκες και 2 άντρες για μια
επιτροπή με διακεκριμένα μέλη. Με πόσους τρόπους γίνεται αυτό;
Προσέγγιση 1:
→ Επιλέγω 3 από τις 4 γυναίκες με 𝐶(4,3) τρόπους
→ Επιλέγω 2 από τους 5 άντρες με 𝐶(5,2) τρόπους
→ Αναθέτω ρόλους με 5! τρόπους
𝐶 4,3 ⋅ 𝐶 5,2 ⋅ 5! =
4!
3! 1!
⋅
5!
2! 3!
⋅ 5!
Προσέγγιση 2:
→ Επιλέγω ποιες 3 από τις 5 διακεκριμένες θέσεις
θα καταλάβουν οι γυναίκες με 𝐶 5,3
→ Επιλέγω με 𝑃 4,3 τις γυναίκες που θα μπουν
στις 3 επιλεγμένες θέσεις
→ Επιλέγω με 𝑃 5,2 τους άντρες που θα μπουν
στις 2 θέσεις που έχουν μείνει
𝐶 5,3 ⋅ P 4,3 ⋅ 𝑃 5,2 =
5!
3! 2!
⋅
4!
1!
⋅
5!
3!
92

Hunter σελ. 281: 1,2,3,4,5,7,11
93
Ασκήσεις Εξάσκησης

Συνδυαστική Άσκηση 2.13 Θέματα –2020
Για μια συγκεκριμένη ημερομηνία έχουν προγραμματιστεί 8 διαφορετικές πτήσεις και 12 διαφορετικά
δρομολόγια πλοίων με προορισμό ένα νησί.
1. Με πόσους τρόπους μπορούν να φτάσουν 100 (ίδια) ημερήσια αντίτυπα από μια εφημερίδα στο
νησί; ΌΧΙ ΑΚΟΜΑ
2. Με πόσους τρόπους μπορούμε να δρομολογήσουμε (ποιο δρομολόγιο αναχωρεί πρώτο, δεύτερο,
κ.ο.κ.) τις πτήσεις και τα πλοία ώστε να μην προγραμματιστούν δύο ή περισσότερες διαδοχικές
πτήσεις για το νησί;
3. Σε 5 χρονικές στιγμές της ημέρας επιτρέπεται να αναχωρήσουν ταυτόχρονα μια πτήση και ένα πλοίο
με προορισμό το νησί. Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε 5 ζευγάρια διακεκριμένων
πτήσεων και διακεκριμένων πλοίων ώστε να αναχωρήσουν ταυτόχρονα;
94

2. Με πόσους τρόπους μπορούμε να δρομολογήσουμε (ποιο δρομολόγιο αναχωρεί πρώτο, δεύτερο,
κ.ο.κ.) τις πτήσεις και τα πλοία ώστε να μην προγραμματιστούν δύο ή περισσότερες διαδοχικές
πτήσεις για το νησί;
95

3. Σε 5 χρονικές στιγμές της ημέρας επιτρέπεται να αναχωρήσουν ταυτόχρονα μια πτήση και ένα πλοίο
με προορισμό το νησί. Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε 5 ζευγάρια διακεκριμένων
πτήσεων και διακεκριμένων πλοίων ώστε να αναχωρήσουν ταυτόχρονα;
96

Hunter σελ. 281 άσκηση 4
Ο Ορφέας και η Βασιλική εργάζονται σε γραφείο μαζί με άλλους οκτώ συναδέλφους. Από τους 10
εργαζόμενους, ο προϊστάμενος τους πρέπει να επιλέξει μια ομάδα τεσσάρων οι οποίοι θα
συνεργαστούν για ένα έργο.
(α) Πόσες διαφορετικές ομάδες εργασίας τεσσάρων ατόμων μπορούν να σχηματιστούν;
(β) Έστω ότι ο Ορφέας και η Βασιλική αρνούνται να συνεργαστούν. Πόσες διαφορετικές ομάδες
τεσσάρων ατόμων μπορούν να σχηματιστούν;
#τσακωμένοι
97

Hunter σελ. 281 άσκηση 4
Ο Ορφέας και η Βασιλική εργάζονται σε γραφείο μαζί με άλλους οκτώ συναδέλφους. Από τους 10
εργαζόμενους, ο προϊστάμενος τους πρέπει να επιλέξει μια ομάδα τεσσάρων οι οποίοι θα
συνεργαστούν για ένα έργο.
(α) Πόσες διαφορετικές ομάδες εργασίας τεσσάρων ατόμων μπορούν να σχηματιστούν;
(β) Έστω ότι ο Ορφέας και η Βασιλική αρνούνται να συνεργαστούν. Πόσες διαφορετικές ομάδες
τεσσάρων ατόμων μπορούν να σχηματιστούν;
#τσακωμένοι
98

Hunter σελ. 281 - άσκηση 7
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να αναδιατάξουμε τα γράμματα της λέξης COMBINE αν
δεν πρέπει κανένα φωνήεν να βρίσκεται απομονωμένο μεταξύ δύο συμφώνων
Άσκηση 2.15
Διατάξεις/Συνδυασμοί #απόλυτο κάψιμο
99

100

101

Μια εφαρμογή για το web κατασκευάζει κωδικούς (passwords) για τους χρήστες που εγγράφονται σε
αυτή. Οι κωδικοί κατασκευάζονται από τα 26 μικρά γράμματα του λατινικού αλφαβήτου και τα 10
αριθμητικά ψηφία και έχουν μήκος 20 χαρακτήρων.
i) Πόσοι είναι οι δυνατοί κωδικοί αν δεν υπάρχει περιορισμός;
ii) Πόσοι είναι οι δυνατοί κωδικοί αν πρέπει να αποτελούνται από 15 διαφορετικά γράμματα
ταξινομημένα αλφαβητικά μέσα στον κωδικό (όχι αναγκαστικά σε συνεχόμενες θέσεις) και
5 διαφορετικά ψηφία τοποθετημένα με αύξουσα σειρά μέσα στον κωδικό;
iii) Πόσοι είναι οι δυνατοί κωδικοί αν όλοι οι χαρακτήρες πρέπει να είναι διαφορετικοί εκτός από τα ‘a’
τα οποία πρέπει να είναι ακριβώς 4;
Άσκηση 2.16
Διατάξεις/Συνδυασμοί Θέμα Κ.2015
102

i) Πόσοι είναι οι δυνατοί κωδικοί αν δεν υπάρχει περιορισμός;
Άσκηση 2.16
103

ii) Πόσοι είναι οι δυνατοί κωδικοί αν πρέπει να αποτελούνται από 15 διαφορετικά γράμματα
ταξινομημένα αλφαβητικά μέσα στον κωδικό (όχι αναγκαστικά σε συνεχόμενες θέσεις) και
5 διαφορετικά ψηφία τοποθετημένα με αύξουσα σειρά μέσα στον κωδικό;
Άσκηση 2.16
104

iii) Πόσοι είναι οι δυνατοί κωδικοί αν όλοι οι χαρακτήρες πρέπει να είναι διαφορετικοί εκτός από τα
‘a’ τα οποία πρέπει να είναι ακριβώς 4;
Άσκηση 2.16
ΕΑΠ Επιλέγουμε τις θέσεις των a με C(20,4) τρόπους. Στην συνέχεια πρέπει
από το σύνολο των 25+10=35 χαρακτήρων να επιλεγούν 16 και να
διαταχθούν στις υπόλοιπες θέσεις του κωδικού, Αυτό γίνεται με Ρ(35,16)
τρόπους. Συνολικά οι κωδικοί είναι C(20,4)*P(35,16).
105

106

Hunter σελ. 281 - άσκηση 11 (δ)
Τρείς άντρες και τέσσερις γυναίκες. Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε μια επιτροπή αν
πρέπει να αποτελείται από τουλάχιστον 2 γυναίκες.
Άσκηση 2.17
Διατάξεις/Συνδυασμοί #τουλάχιστον τόσοι
107

Hunter σελ. 281 - άσκηση 11 (δ)
Τρείς άντρες και τέσσερις γυναίκες. Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε μια τετραμελή
επιτροπή αν πρέπει να αποτελείται από τουλάχιστον 2 γυναίκες.
Άσκηση 2.17
Διατάξεις/Συνδυασμοί #τουλάχιστον τόσοι
108

Συνδυαστική Διατάξεις/Συνδυασμοί Πώς χειρίζομαι το ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ
Έστω ότι έχουμε 2 γυναίκες και 2 άντρες και θέλουμε να κατασκευάσουμε μια διμελή επιτροπή με
διακεκριμένα μέλη, η οποία αποτελείται από τουλάχιστον 1 γυναίκα
Κάνουμε καταγραφή όλων των δυνατών αποτελεσμάτων
109

Σημειώσεις συνδυαστικής - ΠΛΗ 20

Σημειώσεις συνδυαστικής - ΠΛΗ 20

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

More from Anna Korfiati

More from Anna Korfiati (6)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Σημειώσεις συνδυαστικής - ΠΛΗ 20