Σημειώσεις live μαθημάτων που πραγματοποιούνται για το μάθημα των Μαθηματικών της σχολής ΙΦΕ korfiati.an@gmail.com www.facebook.com/mathwithcoding

1. ΙΦΕ Μαθηματικά
11/11/2021
Μάθημα 4
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
α.ε. 2021-2022

2. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 7
Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό 𝑛 ∈ ℕ∗
31
+ 32
+ 33
+ ⋯ + 3𝑛
= 3 ⋅
3𝑛
− 1
2

3. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 7

4. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 7

5. 2. Θεωρία Αριθμών
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Βασικοί ορισμοί
Στο σύνολο των φυσικών αριθμών ℕ∗
ενσωματώνουμε το «μηδέν» , «0»
ℕ ≔ 0,1,2,3, …
Τo ℕ ικανοποιεί τα αξιώματα του Peano αν θεωρήσουμε ως ελάχιστο στοιχείο των
φυσικών αριθμών το μηδέν αντί της μονάδας.
Ιδιότητες του Μηδενός
1. ∀𝛼 ∈ ℕ, 𝛼 + 0 = 0 + 𝛼 = 𝛼
2. ∀𝛼 ∈ ℕ, 𝛼 ∙ 0 = 0 ∙ 𝛼 = 0
3. ∀𝛼 ∈ ℕ, 0 ≤ 𝛼

6. 2. Θεωρία Αριθμών
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Βασικοί ορισμοί
Ακέραιοι αριθμοί ℤ
Επεκτείνουμε το σύνολο ℕ, στο σύνολο των ακεραίων αριθμών απαιτώντας η εξίσωση
𝛼 + 𝑥 = 𝛽, 𝛼, 𝛽 ∈ ℕ να έχει λύσεις στο νέο σύνολο.
ℤ ≔ 𝑥: 𝛼 + 𝑥 = 𝛽, 𝛼, 𝛽 ∈ ℕ
ℤ ≔ 0, ±1, ±2, …

7. 2. Θεωρία Αριθμών
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Ο αλγόριθμος της διαίρεσης
Θεώρημα
Για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών 𝛼 > 𝛽 υπάρχουν δύο μοναδικοί φυσικοί
αριθμοί 𝜋 και 𝜐 τέτοιοι ώστε,
𝛼 = 𝜋𝛽 + 𝜐 , 0 ≤ 𝜐 < 𝛽
𝛼 διαιρετέος , 𝛽 διαιρέτης, 𝜋 πηλίκο, 𝜐 υπόλοιπο.

8. 2. Θεωρία Αριθμών
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Ο αλγόριθμος της διαίρεσης Άσκηση 1
Να δώσετε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης με διαιρέτη το 5 και διαιρετέο το 24

9. 2. Θεωρία Αριθμών
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Ο αλγόριθμος της διαίρεσης Άσκηση 2
Δίνονται δύο φυσικοί αριθμοί 𝛼 και 𝜆 για τους οποίους ισχύει: 𝛼 = 15𝜆 + 4. Να
βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων 𝛼: 5 και (𝛼 + 7): 3.

10. 2. Θεωρία Αριθμών
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Ο αλγόριθμος της διαίρεσης Άσκηση 3
Δίνονται δύο φυσικοί αριθμοί 𝑥 και 𝑘 για τους οποίους ισχύει: 𝑥 = 40𝑘 + 7
Nα βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων
α) 𝑥: 5
β) 𝑥: 2
γ) 𝑥: 8

11. 2. Θεωρία Αριθμών
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Ο αλγόριθμος της διαίρεσης Άσκηση 3
Δίνονται δύο φυσικοί αριθμοί 𝑥 και 𝑘 για τους οποίους ισχύει: 𝑥 = 40𝑘 + 7
Nα βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων
α) 𝑥: 5
β) 𝑥: 2
γ) 𝑥: 8

12. 2. Θεωρία Αριθμών
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Ο αλγόριθμος της διαίρεσης Άσκηση 3
Δίνονται δύο φυσικοί αριθμοί 𝑥 και 𝑘 για τους οποίους ισχύει: 𝑥 = 40𝑘 + 7
Nα βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων
α) 𝑥: 5
β) 𝑥: 2
γ) 𝑥: 8

13. 2. Θεωρία Αριθμών
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Άρτιοι – Περιττοί
Άρτιος ονομάζεται ο αριθμός που δίδει μηδενικό υπόλοιπο όταν διαιρείται με τον αριθμό 2
Περιττός ονομάζεται ο αριθμός που δίδει υπόλοιπο ίσο με 1 όταν διαιρείται με τον αριθμό 2

14. 2. Θεωρία Αριθμών
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Άρτιοι – Περιττοί
Πρόταση
Κάθε φυσικός αριθμός είναι είτε άρτιος είτε περιττός. (γιατί;)
Απάντηση στο «γιατί» .
Αν διαιρέσω οποιονδήποτε φυσικό αριθμό με το 2, τα πιθανά υπόλοιπα της διαίρεσης
είναι το 0 και το 1 και δεν υπάρχει άλλη περίπτωση.
Όσοι αφήνουν υπόλοιπο 0 διαιρούμενοι με το 2 λέγονται άρτιοι
Όσοι αφήνουν υπόλοιπο 1 διαιρούμενοι με το 2 λέγονται περιττοί

15. 2. Θεωρία Αριθμών
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Άσκηση 4
α) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα δύο αρτίων αριθμών είναι άρτιος
β) Να αποδείξετε ότι το γινόμενο δυο αρτίων αριθμών είναι άρτιος
Άρτιοι – Περιττοί

16. 2. Θεωρία Αριθμών
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Άσκηση 5
α) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα δύο περιττών αριθμών είναι άρτιος
β) Να αποδείξετε ότι το γινόμενο άρτιου με περιττό είναι άρτιος
Άρτιοι – Περιττοί

17. 2. Θεωρία Αριθμών
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Άσκηση 5
α) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα δύο περιττών αριθμών είναι άρτιος
β) Να αποδείξετε ότι το γινόμενο άρτιου με περιττό είναι άρτιος
Άρτιοι – Περιττοί

18. 2. Θεωρία Αριθμών
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Άρτιοι – Περιττοί
6) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα 3 αρτίων είναι άρτιος
7) Να αποδείξετε ότι το γινόμενο 2 περιττών είναι περιττός
8) Να αποδείξετε ότι το τετράγωνο αρτίου είναι άρτιος
9) Να αποδείξετε ότι το τετράγωνο περιττού είναι περιττός είναι άρτιος