Σημειώσεις live μαθημάτων που πραγματοποιούνται για το μάθημα των Μαθηματικών της σχολής ΙΦΕ korfiati.an@gmail.com www.facebook.com/mathwithcoding

1. ΙΦΕ Μαθηματικά
4/11/2021
Μάθημα 3
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
α.ε. 2021-2022

2. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή
𝑷 𝒏 : πρόταση που αφορά τους φυσικούς
Αν ισχύει για κάποιον φυσικό, τότε
ισχύει και για τον επόμενό του

3. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή

4. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 1
Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό 𝑛 ≥ 1 ισχύει:
1 + 2 + ⋯ + 𝑛 =
1 + 𝑛 ⋅ 𝑛
2

5. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 1

6. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 2
Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό 𝜈 ∈ ℕ∗
12
+ 22
+ ⋯ + 𝜈2
=
𝜈(𝜈 + 1)(2𝜈 + 1)
6

7. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 2
Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό 𝜈 ∈ ℕ∗
12
+ 22
+ ⋯ + 𝜈2
=
𝜈(𝜈 + 1)(2𝜈 + 1)
6

8. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 2

9. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 2

10. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 2

11. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 3
Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό 𝜈 ∈ ℕ∗
13
+ 23
+ ⋯ + 𝜈3
=
1
4
𝜈2
𝜈 + 1 2

12. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 4
Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό 𝜈 ∈ ℕ∗
21 + 22 + 23 + ⋯ + 2𝜈 = 2𝜈+1 – 2.

13. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 4

14. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 5
Να αποδείξετε με επαγωγή ότι 1 + 𝑥 + 𝑥2
+ ⋯ + 𝑥𝑛
=
𝑥𝑛+1−1
𝑥−1
για κάθε 𝑛 ≥ 1

15. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 5
Να αποδείξετε με επαγωγή ότι 1 + 𝑥 + 𝑥2
+ ⋯ + 𝑥𝑛
=
𝑥𝑛+1−1
𝑥−1
για κάθε 𝑛 ≥ 1

16. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 5

17. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 5

18. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 6
Τετράγωνοι αριθμοί) Στον επόμενο πίνακα φαίνονται διαδοχικά τα αθροίσματα των ν πρώτων
περιττών αριθμών για ν=1, 2, 3, 4 αντίστοιχα
1
1+3 =
1+3+5 =
1+3+5+7 =
1. Πόσο είναι το άθροισμα των 5 πρώτων
περιττών αριθμών, δηλαδή το άθροισμα
1+3+5+7+9;
2. Πόσο είναι το άθροισμα των 100
πρώτων περιττών αριθμών;
3. Πόσο είναι το άθροισμα των ν πρώτων
περιττών αριθμών, δηλαδή το άθροισμα
1+3+...+(2ν-1); Αποδείξτε το με μαθηματική
επαγωγή.

19. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 6
Τετράγωνοι αριθμοί) Στον επόμενο πίνακα φαίνονται διαδοχικά τα αθροίσματα των ν πρώτων
περιττών αριθμών για ν=1, 2, 3, 4 αντίστοιχα
1
1+3 =
1+3+5 =
1+3+5+7 =
1. Πόσο είναι το άθροισμα των 5 πρώτων
περιττών αριθμών, δηλαδή το άθροισμα
1+3+5+7+9;

20. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 6
Τετράγωνοι αριθμοί) Στον επόμενο πίνακα φαίνονται διαδοχικά τα αθροίσματα των ν πρώτων
περιττών αριθμών για ν=1, 2, 3, 4 αντίστοιχα
1
1+3 =
1+3+5 =
1+3+5+7 =
2. Πόσο είναι το άθροισμα των 100
πρώτων περιττών αριθμών;

21. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 6
3. Πόσο είναι το άθροισμα των ν πρώτων περιττών αριθμών, δηλαδή το άθροισμα 1+3+...+(2ν-1);
Αποδείξτε το με μαθηματική επαγωγή.

22. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 6

23. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 6

24. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 7
Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό 𝑛 ∈ ℕ∗
31
+ 32
+ 33
+ ⋯ + 3𝑛
= 3 ⋅
3𝑛
− 1
2