2. นิยามของฟังก์ชั่น
นิยาม ให้ A และB เป็นเซตใด ๆ และ f เป็นสับ
เซตของ A×B f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B(f:
A→B ) ก็ต่อเมื่อ f มีคุณสมบัติดังนี้ “แต่ละสมาชิก
x ใน A จะมีสมาชิก y ใน B มาจับคู่เพียงตัวเดียว
”เท่านั้น
หรือ
1. ทุก ๆ x ∈ A มี y ∈ B ซึ่ง (x, y) ∈ f
2. ทุก ๆ x ∈ A และ y, z ∈ B
ถ้า (x, y) ∈f และ (x, z) ∈ f แล้ว y = z
2
3. ตัวอย่าง
• A={1, 2, 3, 4} และ B={0, 1, 2, 3, 4}
• ความสัมพันธ์ที่กำาหนดต่อไปนี้ ข้อใดเป็นฟัง
ก์ชั่นจาก A ไป B?
• f = {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)}
• g = {(1,1), (2,0), (3,2), (4,1), (2,4)}
• h = {(1,4), (2,2), (3,0)}
• f เป็นฟังก์ชั่น, แต่ g และ h ไม่เป็นฟังก์ชั่น
3
4. Function Terminology
• ถ้ากำาหนดฟังก์ชั่น f:A→B, และ f(a)=b (โดยที่
a∈A และ b∈B), ดังนั้น กล่าวได้ว่า:
– A คือ โดเมน (domain) ของ f
– B คือ โคโดเมน (codomain) ของ f
– b คือ อิมเมจ (image) ของ a ภายใต้ f
– a คือ พรีอิมเมจ (pre-image) ของ b ภายใต้ f
• สังเกตว่า b หนึ่งค่า อาจมีพรีอิมเมจได้มากกว่า 1 ตัว
– พิสัย(range) R⊆B ของ f คือ R={b | ∃a f(a)=b }
4
5. Domain and Codomain
• ถ้า f เป็นฟังก์ชันจากเซต A ไปยัง B, เรากล่าวว่า A
คือโดเมน(domain) ของ f และ B เป็นโค
โดเมน(codomain) ของ f
• โคโดเมน(codomain) คือเซต ที่ฟังก์ชั่นนั้นถูกประ
กาศว่าแมปค่าในโดเมนไปยังค่าในเซตนั้น ตัวอย่าง
นี้ โคโดเมนคือ {a,b,c,d}
• พิสัย(range) คือเซตของค่าในโคโดเมน ที่ฟัง
5
1
2
3
4
5
a
b
c
d
f
=f(2)
2 เป็น pre-
image ของ
b
b เป็น image
ของ 2
6. การเท่ากันของฟังก์ชัน
นิยาม ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B
เรากล่าวว่า f = g ก็ต่อเมื่อ โดเมนของ f และ
โดเมนของ g เป็นเซตเดียวกันและโคโดเมน
ของ f และโคโดเมนของ g เป็นเซตเดียวกัน
และf(x) = g(x) สำาหรับทุกๆ x ในโดเมน
ตัวอย่าง เช่น
ให้ f = {(x, y) | x, y ∈ R และ y = x + 1}
g = {(x, y) | x, y ∈ Z+
และ y = x +
1}
– โดเมน, โคโดเมน, พิสัย ของ f คือ R 6
7. Functions Example
•กำาหนดฟังก์ชั่น f:P→C โดยกำาหนด
P = {Linda, Max, Kathy, Peter}
C = {Boston, New York, Hong Kong, Moscow}
f(Linda) = Moscow
f(Max) = Boston
f(Kathy) = Hong Kong
f(Peter) = Boston
•f เป็นฟังก์ชั่นหรือไม่?
7
yesyes
{Moscow, Boston, Hong Kong}{Moscow, Boston, Hong Kong}พิสัยพิสัย((rangerange))ของฟังของฟัง
ก์ชั่นนี้คือก์ชั่นนี้คือ??
LindaLinda
MaxMax
KathyKathy
PeterPeter
BostonBoston
New YorkNew York
Hong KongHong Kong
MoscowMoscow
8. Functions Example
ให้ f : Z R ที่กำาหนดโดย f (x ) = x 2
Q1: จงหาโดเมน และโคโดเมนของฟังก์ชั่น?
Q2: จงหาอิมเมจของ -3 ?
Q3: จงหาพรีอิมเมจของ 3, 4?
Q4: จงหาพิสัยของ f (Z) ?
8
9. Functions Example. Basic-Terms.
f : Z R ที่กำาหนดโดย f (x ) = x 2
A1: โดเมน คือ Z, โคโดเมน คือ R
A2: อิมเมจของ -3 = f (-3) = 9
A3: พรีอิมเมจของ 3: ไม่มี เพราะ 3 ไม่เป็น
จำานวนเต็ม
พรีอิมเมจของ 4: -2 และ 2
A4: พิสัยคือ เซตของเลขจำานวนเต็มยกกำาลังสอง
f (Z) = {0,1,4,9,16,25,…}
9
10. Function Operator
•ให้ f1 และ f2 เป็นฟังก์ชั่นจาก A ไป R
•ดังนั้นผลรวมและผลคูณของฟังก์ชั่น f1 และ f2 ยังคงเป็นฟัง
ก์ชั่นจากเซต A ไป R นิยามโดย:
(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)
(f1f2)(x) = f1(x) f2(x)
•ตัวอย่าง เช่น:
f1(x) = 3x, f2(x) = x + 5
(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) = 3x + x + 5 = 4x + 5
(f1f2)(x) = f1(x) f2(x) = 3x (x + 5) = 3x2
+ 15x
10
11. Function Composition Operator
• การประกอบกันของสองฟังก์ชั่น g:A→B และ f:B→C,
แทนด้วย f ○ g, นิยามโดย (f ○ g)(a) = f(g(a))
หมายความว่า
• หาค่าฟังก์ชั่น g โดยใช้ค่าสมาชิก a∈A แมปค่า a ผ่าน
ฟังก์ชั่น g ไปยังสมาชิกของ B
• จากนั้นหาค่าฟังก์ชั่น f โดยใช้ค่าสมาชิกของ B, แล้ว
แมปค่านั้นผ่านฟังก์ชั่น f ไปยังสมาชิกของ C
• ดังนั้น ฟังก์ชั่นประกอบ แมปจาก A ไปยัง C
11
12. Composition
ตัวอย่าง
ให้ g เป็นฟังก์ชันจาก A = { a, b, c} ไปยังบนเซต A
ซึ่ง g(a) = b, g(b) = c, และ g(c) = a และ f เป็น
ฟังก์ชันจาก A = { a, b, c} ไปยัง B = {1, 2, 3 } ซึ่ง
f(a) = 3, f(b) = 2, และ f(c) = 1
ดังนั้นสามารถหา fog ได้
fog(a) = f(g(a)) = f(b) = 2 และ
fog(b) = f(g(b)) = f(c) = 1
fog(c) = f(g(c)) = f(a) = 3
แต่ gof หาไม่ได้เนื่องจาก พิสัยของ f ไม่เป็นสับ
เซตของโดเมนของ g
12
13. Composition
• ตัวอย่าง ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันจากเซต Z
ไป Z ซึ่งกำาหนด
f(x) = 2x + 3 และ g(x) = 3x + 2 จงหา
fog และ gof
เราสามารถหา fog และ gof ได้ดังนี้
(fog)(x) = f(g(x)) = f (3x + 2)
= 2(3x + 2) + 3 = 6x + 7
(gof)(x) = g(f(x)) = g(2x + 3)
= 3(2x + 3) + 2 = 6x + 11
13
14. Composition
Q: จงหา g○f โดยที่
1. f : Z R, f (x ) = x 2
และ g : R R, g (x ) = x 3
2. f :R→R, f(x) = 7x – 4,
และ g : R→R, g(x) = 3x
3. f : {ประชากรโลก} {ประชากรโลก},
f (x ) = พ่อของ x, และ g = f
14
15. Composition
1. f : Z R, f (x ) = x 2
และ g : R R, g (x ) = x 3
g○f : Z R , g○f (x ) = x 6
2. f :R→R, f(x) = 7x – 4,
และ g : R→R, g(x) = 3x
(g ○ f)(x) = g(f(x)) = g(7x – 4) = 3(7x – 4) = 21x-12
(f ○ g)(x) = f(g(x)) = f(3x) = 21x - 4
3. f : {ประชากรโลก} {ประชากรโลก},
f (x ) = g(x ) = พ่อของ x
g○f (x ) = ปู่ของ x
15
16. Repeated Composition
• เมื่อเซตของโดเมน และโคโดเมนเท่ากัน ฟังก์ชั่นนั้น
อาจประกอบเข้ากับตัวเองได้ การประกอบกันของ
ฟังก์ชั่นตัวเดียวกันซำ้าๆ จะเขียนอยู่ในรูปของการ
ยกกำาลังของฟังก์ชั่น(functional exponentiation)
แทนด้วยสัญลักษณ์ ดังนี้
f n
(x ) = f ○f ○f ○f ○ … ○f (x )
โดย f ประกอบกัน n ครั้ง เริ่มจากด้านขวามือ
Q1: กำาหนด f : Z Z, f (x ) = x 2
จงหา f 4
Q2: กำาหนด g : Z Z, g (x ) = x + 1 จงหา g n
Q3: กำาหนด h(x ) = พ่อของ x, จงหา hn
16
n
17. Repeated Composition
A1: f : Z Z, f (x ) = x 2
f 4
(x ) = x (2*2*2*2)
= x 16
A2: g : Z Z, g (x ) = x + 1
gn
(x ) = x + n
A3: h (x ) = พ่อของ x,
hn
(x ) = บรรพบุรุษลำาดับที่ n ของ x
17
18. ฟังก์ชั่น One-to-One
• ฟังก์ชั่น f:A→B เป็น one-to-one (1-1), หรือ
injection, ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวในพิสัยมีพรี
อิมเมจเพียงตัวเดียว
∀x, y∈A (f(x) = f(y) → x = y)
• หรือกล่าวได้ว่า f เป็น one-to-one ก็ต่อเมื่อ
ฟังก์ชั่นนั้นไม่มีการแมปสมาชิกที่แตกต่างกัน
ในเซต A ไปบนสมาชิกตัวเดียวกันในเซต B
– สังเกตว่า โดเมนและพิสัยจะมีขนาด(จำานวน
สมาชิก)เท่ากัน ส่วนโคโดเมนอาจมีขนาดใหญ่กว่า
18
20. Properties of Functions
•กำาหนด f ดังนี้
f(Linda) = Moscow
f(Max) = Boston
f(Kathy) = Hong Kong
f(Peter) = Boston
• f เป็น one-to-one หรือไม่?
•ไม่เป็น 1-1 เพราะ Max และ
Peter ถูกแมปไปบนสมาชิกตัว
เดียวกัน(มีอิมเมจตัวเดียวกัน)
20
•กำาหนดกำาหนด gg ดังนี้ดังนี้
g(Linda) = Moscowg(Linda) = Moscow
g(Max) = Bostong(Max) = Boston
g(Kathy) = Hong Kongg(Kathy) = Hong Kong
g(Peter) = New Yorkg(Peter) = New York
•gg เป็นเป็น one-to-oneone-to-one หรือหรือ
ไม่ไม่??
เป็น เพราะสมาชิกแต่ละเป็น เพราะสมาชิกแต่ละ
ตัวถูกกำาหนดให้มีอิมเมจตัวถูกกำาหนดให้มีอิมเมจ
คนละตัวกันคนละตัวกัน
21. ฟังก์ชั่นผกผัน(Inverse Function)
• ให้ f:A→B เป็น one-to-one correspondence,
หรือ bijection ดังนั้น ฟังก์ชั่นผกผันของ f คือ
ฟังก์ชั่นที่กำาหนดค่าสมาชิก b ใน B ด้วย
สมาชิกเพียงตัวเดียว a ใน A โดยที่ f(a) = b
• ฟังก์ชั่นผกผันของ f เขียนแทนด้วย f -1
ดังนั้น
f -1
(b) = a เมื่อ f(a) = b
21
• •
A B
a=f-1
(b) b=f(a)
f
f-1
22. ฟังก์ชั่นผกผัน(Inverse Function)
22
ตัวอย่าง:
f(Linda) = Moscow
f(Max) = Boston
f(Kathy) = Hong Kong
f(Peter) = Sidney
f(Helena) = New York
ดังนั้น f เป็น bijection
ฟังก์ชั่นผกผัน f-1
กำาหนด
โดย:
f-1
(Moscow) = Linda
f-1
(Boston) = Max
f-1
(Hong Kong) = Kathy
f-1
(Sidney) = Peter
f-1
(New York) = Helena
ผกผันจะหาได้เฉพาะกับฟัง
ก์ชั่นที่เป็นbijections
เท่านั้น
(= invertible functions)
23. ฟังก์ชั่นผกผัน(Inverse Function)
•f -1
:C→P ไม่เป็นฟัง
ก์ชั่น เพราะมีสมาชิก
ใน C บางตัว ไม่มี
การกำาหนดค่าให้
และ พรีอิมเมจ New
York เพียงตัวเดียวมี
อิมเมจถึงสองตัวคือ
Max และ Helena
23
LindaLinda
MaxMax
KathyKathy
PeterPeter
BostonBoston
New YorkNew York
Hong KongHong Kong
MoscowMoscow
SidneySidneyHelenaHelena
ff
ff-1-1
24. Inverse Function Example
• ให้ f : Z Z, f(x) = x+1 จงแสดงว่า f หาผกผันได้
หรือไม่ ถ้าหาได้จงหา f -1
?
• f เป็นฟังก์ชั่นที่หาผกผันได้ เพราะเป็น one-to-one
correspondence(จงให้เหตุผล) ดังนั้น x = y-1 นั่น
คือ f -1
(y)= y-1 หรือเขียนในรูปของตัวแปร x
ได้ว่า f -1
(x)= x-1
• กำาหนดให้ f : Z Z, f(x) = x2
จงแสดงว่า f หาผกผัน
ได้หรือไม่ ถ้าหาได้จงหา f -1
?
• เพราะ f(-1) = f(1) = 1, f จึงไม่เป็น one-to-one ดัง
นั้น f ไม่สามารถหาผกผันได้
24
25. Composition of functions
หมายเหตุ
ถ้า f เป็นฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจากเซต A ไปยังเซต
B จะได้ว่า f-1
จะสามารถหาได้และ f-1
จะเป็นฟังก์ชันสมนัย
หนึ่งต่อหนึ่งจากเซต B ไปยังเซต A ซึ่งจะได้ว่า f-1
(b) =
a เมื่อ f(a) = b และ f(a) = b เมื่อ f-1
(b) = a ดังนั้น
(f-1
o f)(a) = f-1
(f(a)) = f-1
(b) = a
และ (fo f-1
)(b) = f(f-1(b)) = f(a) = b
ดังนั้น f-1
o f = IA และ fo f-1
= IB เมื่อ IA และ IB เป็น
ฟังก์ชันเอกลักษณ์ และ (f-1
)-1
= f
ตัวอย่าง : f : Z Z, f (x ) = x + 1
และ g = f -1
ดังนั้น g (x ) = x – 1
g○f (x ) = x
25
29. ฟังก์ชันในมุมมองของนักคณิตศาสตร์
• นิยาม 4. กำาหนดให้ A และ B เป็นเซตใดๆ ให้ f
เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B จะกล่าวได้ว่า f
เป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ สำาหรับแต่ละ x Є A และ
แต่ละ y, z Є B
ถ้า (x, y) Є f และ (x, z) Є f แล้ว y=z
29
32. ฟังก์ชันในมุมมองของนักคณิตศาสตร์
• นิยาม 5. ให้ A และ B เป็นเซตใดๆ และ f เป็น
ฟังก์ชัน A ไป B ถ้า (x, y) Є f เรียก y ว่าตัวแปร
ตามที่ขึ้นกับตัวแปรอิสระ x นิยามโดย y เป็นค่า
ของฟังก์ชัน f ที่ x เขียนแทนด้วย y=f(x)
32
33. ฟังก์ชันในมุมมองของนักคณิตศาสตร์
• นิยาม 6. ให้ f:A->B และ g:B->C ฟังก์ชัน
ประกอบของ f และ g เขียนแทนด้วย g ○ f
กำาหนดโดย
(g ○ f)(a) = g(f(a)) สำาหรับ a Є A
นั้นคือ (g ○ f) = {(x,y)| y Є B, (x,y) Є f และ (y,z)
Є g}
33
a f(a) g(f(a))
(g○f)(a)
A B C
42. 42
ตัวอย่างที่ 2
(ต่อ)
double SumDouble ( double
x, double y ) {
return ( x + y );
}
void PrintOut ( double x ) {
printf ( “n Result of
sum is : %.2f”, x );
}
61. 61
#include <stdio.h>
int x;
void func1 ( ) {
x = x + 10;
printf ( “func1 -> x :
%dn”, x );
}
ตัวอย่าง
ที่ 8แสดงการทำางานของโปรแกรมในลักษณะที่มี
ตัวแปรโกลบอล แสดงขอบเขตการใช้งาน
ของตัวแปรภายในโปรแกรม
62. 62
void func2 ( int x ) {
x = x + 10;
printf ( “func2 -> x : %dn”, x );
}
void func3 ( ) {
int x=0;
x = x + 10;
printf ( “func3 -> x : %dn”, x );
}
ตัวอย่างที่ 8
(ต่อ)
63. 63
void main ( ) {
x = 10;
printf ( “main (start) -> x :
%dn”, x );
func1 ( );
printf ( “main (after func1) -> x
: %dn”, x );
func2 ( x );
printf ( “main (after func2) -> x
: %dn”, x);
func3 ( );
ตัวอย่างที่
8 (ต่อ)
64. 64
main (start) -> x :
10
func1 -> x : 20
main (after func1)
-> x : 20
func2 -> x : 30
main (after func2)
-> x : 20
ตัวอย่างที่
8 (ต่อ)
ผลการทำางาน
