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2015年度春学期 画像情報処理 第６回 行列に慣れていない人のために (2015. 5. 27)
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- 3. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルの計算 素が２つしかない画像」を考えて，その画 z = a1x1+ a2x2 きます。これを，「ベクトル」の書き方で z = a1 a2 x1 x2 () を列ベクトルといいます。このよう この計算を
- 4. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルの計算 素が２つしかない画像」を考えて，その画 z = a1x1+ a2x2 きます。これを，「ベクトル」の書き方で z = a1 a2 x1 x2 () を列ベクトルといいます。このよう この計算を z = a1x1 + a2x2 話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方で z = a1 a2 x1 x2 ル，右側の () を列ベクトルといいます。このよう をしたことになります。 計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞ と書く
- 5. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルの計算 素が２つしかない画像」を考えて，その画 z = a1x1+ a2x2 きます。これを，「ベクトル」の書き方で z = a1 a2 x1 x2 () を列ベクトルといいます。このよう この計算を z = a1x1 + a2x2 話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方で z = a1 a2 x1 x2 ル，右側の () を列ベクトルといいます。このよう をしたことになります。 計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞ と書く
- 6. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルの計算 素が２つしかない画像」を考えて，その画 z = a1x1+ a2x2 きます。これを，「ベクトル」の書き方で z = a1 a2 x1 x2 () を列ベクトルといいます。このよう この計算を z = a1x1 + a2x2 話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方で z = a1 a2 x1 x2 ル，右側の () を列ベクトルといいます。このよう をしたことになります。 計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞ と書く
- 7. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルの計算 行ベクトル 素が２つしかない画像」を考えて，その画 z = a1x1+ a2x2 きます。これを，「ベクトル」の書き方で z = a1 a2 x1 x2 () を列ベクトルといいます。このよう この計算を z = a1x1 + a2x2 話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方で z = a1 a2 x1 x2 ル，右側の () を列ベクトルといいます。このよう をしたことになります。 計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞ と書く
- 8. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルの計算 行ベクトル 素が２つしかない画像」を考えて，その画 z = a1x1+ a2x2 きます。これを，「ベクトル」の書き方で z = a1 a2 x1 x2 () を列ベクトルといいます。このよう この計算を z = a1x1 + a2x2 話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方で z = a1 a2 x1 x2 ル，右側の () を列ベクトルといいます。このよう をしたことになります。 計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞ と書く 列 ベ ク ト ル
- 9. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルの計算 行ベクトル 素が２つしかない画像」を考えて，その画 z = a1x1+ a2x2 きます。これを，「ベクトル」の書き方で z = a1 a2 x1 x2 () を列ベクトルといいます。このよう この計算を z = a1x1 + a2x2 話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方で z = a1 a2 x1 x2 ル，右側の () を列ベクトルといいます。このよう をしたことになります。 計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞ と書く 列 ベ ク ト ル
- 10. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルの計算 行ベクトル 素が２つしかない画像」を考えて，その画 z = a1x1+ a2x2 きます。これを，「ベクトル」の書き方で z = a1 a2 x1 x2 () を列ベクトルといいます。このよう この計算を z = a1x1 + a2x2 話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方で z = a1 a2 x1 x2 ル，右側の () を列ベクトルといいます。このよう をしたことになります。 計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞ と書く 列 ベ ク ト ル
- 11. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルの計算が２つ 計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞれの組を添字 める計算をベクトルで表すと z(1) = a1(1)a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 をひとつにまとめて，次のように書きます。 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2 つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトルのか なって並んでいるので，行列とよぶわけです。
- 12. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルの計算が２つ この計算を まとめて 計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞれの組を添字 める計算をベクトルで表すと z(1) = a1(1)a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 をひとつにまとめて，次のように書きます。 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2 つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトルのか なって並んでいるので，行列とよぶわけです。
- 13. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルの計算が２つ この計算を まとめて と書く 計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞれの組を添字 める計算をベクトルで表すと z(1) = a1(1)a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 をひとつにまとめて，次のように書きます。 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2 つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトルのか なって並んでいるので，行列とよぶわけです。 z(1) = a1(1) a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 をひとつにまとめて，次のように書きます。 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2 ４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列と なって並んでいるので，行列とよぶわけです。
- 14. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルの計算が２つ この計算を まとめて と書く 計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞれの組を添字 める計算をベクトルで表すと z(1) = a1(1)a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 をひとつにまとめて，次のように書きます。 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2 つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトルのか なって並んでいるので，行列とよぶわけです。 z(1) = a1(1) a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 をひとつにまとめて，次のように書きます。 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2 ４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列と なって並んでいるので，行列とよぶわけです。
- 15. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルの計算が２つ この計算を まとめて と書く 計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞれの組を添字 める計算をベクトルで表すと z(1) = a1(1)a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 をひとつにまとめて，次のように書きます。 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2 つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトルのか なって並んでいるので，行列とよぶわけです。 z(1) = a1(1) a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 をひとつにまとめて，次のように書きます。 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2 ４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列と なって並んでいるので，行列とよぶわけです。
- 16. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルの計算が２つ この計算を まとめて と書く 計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞれの組を添字 める計算をベクトルで表すと z(1) = a1(1)a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 をひとつにまとめて，次のように書きます。 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2 つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトルのか なって並んでいるので，行列とよぶわけです。 z(1) = a1(1) a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 をひとつにまとめて，次のように書きます。 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2 ４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列と なって並んでいるので，行列とよぶわけです。
- 17. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルの計算が２つ この計算を まとめて と書く 計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞれの組を添字 める計算をベクトルで表すと z(1) = a1(1)a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 をひとつにまとめて，次のように書きます。 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2 つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトルのか なって並んでいるので，行列とよぶわけです。 z(1) = a1(1) a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 をひとつにまとめて，次のように書きます。 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2 ４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列と なって並んでいるので，行列とよぶわけです。
- 18. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ベクトルの計算が２つ この計算を まとめて と書く 計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞれの組を添字 める計算をベクトルで表すと z(1) = a1(1)a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 をひとつにまとめて，次のように書きます。 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2 つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトルのか なって並んでいるので，行列とよぶわけです。 z(1) = a1(1) a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 をひとつにまとめて，次のように書きます。 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2 ４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列と なって並んでいるので，行列とよぶわけです。 行列
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- 22. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 図形的意味 原点O X 点(x1, x2) ベクトル となります。この２つの式をひと この式の右辺にある，数の４つ入 います。行ベクトルが列になって x1 x2 を座標平面でのある点と に移動する計算を表す，ということ は原点から点 (x1,x2) をさすベク (x , x ) まで伸びた矢印を想像すれ 行列をかける z(1) = a1(1) a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 す。この２つの式をひとつにまとめて，次のように書きます。 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2 右辺にある，数の４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトル 行ベクトルが列になって並んでいるので，行列とよぶわけです。 を座標平面でのある点と考えると，(4) 式の計算は， x1 x2 という点を z z る計算を表す，ということもできます。また，このときベクトルという言葉を使 ら点 (x1, x2) をさすベクトル（位置ベクトル）である」といいます。図形的には まで伸びた矢印を想像すればよいでしょう。この言い方をすると，行列とベクト
- 23. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 図形的意味 原点O X 点(x1, x2) ベクトル となります。この２つの式をひと この式の右辺にある，数の４つ入 います。行ベクトルが列になって x1 x2 を座標平面でのある点と に移動する計算を表す，ということ は原点から点 (x1,x2) をさすベク (x , x ) まで伸びた矢印を想像すれ 行列をかける z(1) = a1(1) a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 す。この２つの式をひとつにまとめて，次のように書きます。 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2 右辺にある，数の４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトル 行ベクトルが列になって並んでいるので，行列とよぶわけです。 を座標平面でのある点と考えると，(4) 式の計算は， x1 x2 という点を z z る計算を表す，ということもできます。また，このときベクトルという言葉を使 ら点 (x1, x2) をさすベクトル（位置ベクトル）である」といいます。図形的には まで伸びた矢印を想像すればよいでしょう。この言い方をすると，行列とベクト
- 24. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 図形的意味 原点O X 点(x1, x2) ベクトル となります。この２つの式をひと この式の右辺にある，数の４つ入 います。行ベクトルが列になって x1 x2 を座標平面でのある点と に移動する計算を表す，ということ は原点から点 (x1,x2) をさすベク (x , x ) まで伸びた矢印を想像すれ 行列をかける z(1) = a1(1) a2(1) x1 x2 z(2) = a1(2) a2(2) x1 x2 す。この２つの式をひとつにまとめて，次のように書きます。 z(1) z(2) = a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) x1 x2 右辺にある，数の４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトル 行ベクトルが列になって並んでいるので，行列とよぶわけです。 を座標平面でのある点と考えると，(4) 式の計算は， x1 x2 という点を z z る計算を表す，ということもできます。また，このときベクトルという言葉を使 ら点 (x1, x2) をさすベクトル（位置ベクトル）である」といいます。図形的には まで伸びた矢印を想像すればよいでしょう。この言い方をすると，行列とベクト きます。 x1 x2 (4) 計算を「行列とベクトルのかけ算」とい わけです。 x1 x2 という点を z(1) z(2) という点 ベクトルという言葉を使うと，「 x1 x2 」といいます。図形的には，原点から点 方をすると，行列とベクトルのかけ算は， 1）。 別のベクトルに 変換
- 25. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 定数倍の計算 トには， s11 s12 s21 s22 a1 a2 =λ a1 a2 春学期） 第６回 (2013. 5. 15) http://racco
- 26. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 定数倍の計算 トには， s11 s12 s21 s22 a1 a2 =λ a1 a2 春学期） 第６回 (2013. 5. 15) http://racco
- 27. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 定数倍の計算 の意味 トには， s11 s12 s21 s22 a1 a2 =λ a1 a2 春学期） 第６回 (2013. 5. 15) http://racco け算． カラー）で，このとき右辺は λa1 λa2 を で，λ もそれぞれに対応して２つある，と れに対応する式は
- 28. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列と行列の計算 1 2 。それらを λ(1),λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル っつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると めて
- 29. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列と行列の計算 この計算を まとめて 1 2 。それらを λ(1),λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル っつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると めて
- 30. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列と行列の計算 この計算を まとめて 1 2 。それらを λ(1),λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル っつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると めて 21 22 2(2) 2(2) す。 度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。 を左右にくっつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表し 式は，まとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい 左辺は，上で述べたとおり， s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2)
- 31. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列と行列の計算 この計算を まとめて 1 2 。それらを λ(1),λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル っつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると めて 21 22 2(2) 2(2) す。 度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。 を左右にくっつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表し 式は，まとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい 左辺は，上で述べたとおり， s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2)
- 32. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列と行列の計算 この計算を まとめて 1 2 。それらを λ(1),λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル っつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると めて 21 22 2(2) 2(2) す。 度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。 を左右にくっつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表し 式は，まとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい 左辺は，上で述べたとおり， s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2)
- 33. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列と行列の計算 この計算を まとめて 1 2 。それらを λ(1),λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル っつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると めて 21 22 2(2) 2(2) す。 度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。 を左右にくっつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表し 式は，まとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい 左辺は，上で述べたとおり， s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2)
- 34. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列と行列の計算 この計算を まとめて 1 2 。それらを λ(1),λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル っつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると めて 21 22 2(2) 2(2) す。 度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。 を左右にくっつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表し 式は，まとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい 左辺は，上で述べたとおり， s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2)
- 35. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列と行列の計算 この計算を まとめて 1 2 。それらを λ(1),λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル っつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると めて 21 22 2(2) 2(2) す。 度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。 を左右にくっつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表し 式は，まとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい 左辺は，上で述べたとおり， s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) 行列とベクトルの計算が２つ
- 36. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列と行列の計算 この計算を まとめて 1 2 。それらを λ(1),λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル っつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると めて 21 22 2(2) 2(2) す。 度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。 を左右にくっつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表し 式は，まとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい 左辺は，上で述べたとおり， s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) s21 s22 a2(1) = λ(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) ２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル つけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると て s12 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 行列とベクトルの計算が２つ
- 37. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列と行列の計算 この計算を まとめて 1 2 。それらを λ(1),λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル っつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると めて 21 22 2(2) 2(2) す。 度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。 を左右にくっつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表し 式は，まとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい 左辺は，上で述べたとおり， s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) s21 s22 a2(1) = λ(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) ２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル つけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると て s12 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 行列とベクトルの計算が２つ λ(1)に関する計算
- 38. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列と行列の計算 この計算を まとめて 1 2 。それらを λ(1),λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル っつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると めて 21 22 2(2) 2(2) す。 度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。 を左右にくっつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表し 式は，まとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい 左辺は，上で述べたとおり， s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) s21 s22 a2(1) = λ(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) ２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル つけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると て s12 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 行列とベクトルの計算が２つ λ(1)に関する計算
- 39. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列と行列の計算 この計算を まとめて 1 2 。それらを λ(1),λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル っつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると めて 21 22 2(2) 2(2) す。 度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。 を左右にくっつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表し 式は，まとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい 左辺は，上で述べたとおり， s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) s21 s22 a2(1) = λ(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) ２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル つけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると て s12 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 行列とベクトルの計算が２つ λ(1)に関する計算
- 40. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列と行列の計算 この計算を まとめて 1 2 。それらを λ(1),λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル っつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると めて 21 22 2(2) 2(2) す。 度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。 を左右にくっつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表し 式は，まとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい 左辺は，上で述べたとおり， s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) s21 s22 a2(1) = λ(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) ２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル つけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると て s12 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 行列とベクトルの計算が２つ λ(1)に関する計算
- 41. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列と行列の計算 この計算を まとめて 1 2 。それらを λ(1),λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル っつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると めて 21 22 2(2) 2(2) す。 度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。 を左右にくっつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表し 式は，まとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい 左辺は，上で述べたとおり， s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) s21 s22 a2(1) = λ(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) ２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル つけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると て s12 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 行列とベクトルの計算が２つ λ(1)に関する計算
- 42. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列と行列の計算 この計算を まとめて 1 2 。それらを λ(1),λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル っつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると めて 21 22 2(2) 2(2) す。 度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。 を左右にくっつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表し 式は，まとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい 左辺は，上で述べたとおり， s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) s21 s22 a2(1) = λ(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) ２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル つけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると て s12 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 行列とベクトルの計算が２つ λ(1)に関する計算
- 43. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列と行列の計算 この計算を まとめて 1 2 。それらを λ(1),λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) = λ(1) a1(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル っつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると めて 21 22 2(2) 2(2) す。 度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。 を左右にくっつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表し 式は，まとめて s11 s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい 左辺は，上で述べたとおり， s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) s21 s22 a2(1) = λ(1) a2(1) s11 s12 s21 s22 a1(2) a2(2) = λ(2) a1(2) a2(2) ２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル つけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると て s12 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) 行列とベクトルの計算が２つ λ(1)に関する計算
- 44. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 要素がp個の場合 トには， s11 s12 s21 s22 a1 a2 =λ a1 a2 春学期） 第６回 (2013. 5. 15) http://racco は，
- 45. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 要素がp個の場合 トには， s11 s12 s21 s22 a1 a2 =λ a1 a2 春学期） 第６回 (2013. 5. 15) http://racco かけ算を２つ同時に行うのが，行列のかけ算です。 トルの場合 が２つしかない画像」を考えたところから出発して，２つの えてきました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考 の式を，要素が p 個の場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = λ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと， ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ は，
- 46. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 要素がp個の場合 を左右にくっつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると，( の式は，まとめて s11s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) とができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になっています。 の左辺は，上で述べたとおり， s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) のように列 くっつけたものです。 式の右辺は，右側の行列を列ベクトルに分けて a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ( 側の行列 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と右側の行列の左側の列ベクトル λ(1) 0 の積は λ(1)a λ(1)a 像情報処理（2013 年度春学期） 第６回 (2013. 5. 15) http://racco.mikeneko.jp/ は，
- 47. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 要素がp個の場合 を左右にくっつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると，( の式は，まとめて s11s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) とができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になっています。 の左辺は，上で述べたとおり， s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) のように列 くっつけたものです。 式の右辺は，右側の行列を列ベクトルに分けて a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ( 側の行列 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と右側の行列の左側の列ベクトル λ(1) 0 の積は λ(1)a λ(1)a 像情報処理（2013 年度春学期） 第６回 (2013. 5. 15) http://racco.mikeneko.jp/ (6) 式，(7) 式の形の式を，要素が p 個の場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = λ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ となります。また，(8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · a2(1) a2(2) · ... . ap(1) ap(2) · となります。 こんな式は，大変複雑でとても扱いきれません。また，要素が p 個ある場 間での「矢印」になり，２次元の場合のように図形的に考えることもできま そこで，(10) 式の各行列をそれぞれひとつの文字で表して， を２つ同時に行うのが，行列のかけ算です。 場合 しかない画像」を考えたところから出発して，２つの要素からなるベクトル ました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考えてみましょう。 ，要素が p 個の場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = λ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (9) ，要素が p 個のベクトルの場合に表すと， a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (10) は，
- 48. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 要素がp個の場合 を左右にくっつけて， a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と，ひとつの行列で表します。すると，( の式は，まとめて s11s12 s21 s22 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) = a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ(2) とができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になっています。 の左辺は，上で述べたとおり， s11 s12 s21 s22 a1(1) a2(1) a1(2) a2(2) のように列 くっつけたものです。 式の右辺は，右側の行列を列ベクトルに分けて a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) λ(1) 0 0 λ( 側の行列 a1(1) a1(2) a2(1) a2(2) と右側の行列の左側の列ベクトル λ(1) 0 の積は λ(1)a λ(1)a 像情報処理（2013 年度春学期） 第６回 (2013. 5. 15) http://racco.mikeneko.jp/ (6) 式，(7) 式の形の式を，要素が p 個の場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = λ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ となります。また，(8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · a2(1) a2(2) · ... . ap(1) ap(2) · となります。 こんな式は，大変複雑でとても扱いきれません。また，要素が p 個ある場 間での「矢印」になり，２次元の場合のように図形的に考えることもできま そこで，(10) 式の各行列をそれぞれひとつの文字で表して， を２つ同時に行うのが，行列のかけ算です。 場合 しかない画像」を考えたところから出発して，２つの要素からなるベクトル ました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考えてみましょう。 ，要素が p 個の場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = λ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (9) ，要素が p 個のベクトルの場合に表すと， a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (10) は， ？？？
- 49. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列を１文字で表す sp1 sp2 ·· · spp ap ap となります。また，(8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · a2(1) a2(2) · ... . ap(1) ap(2) · となります。 こんな式は，大変複雑でとても扱いきれません。また，要素が p 個ある場 間での「矢印」になり，２次元の場合のように図形的に考えることもできま そこで，(10) 式の各行列をそれぞれひとつの文字で表して， SP = PΛ と表してしまいます。このように，複雑な計算をあたかも数の計算のように ようというのが，行列というものが考えられた理由です。 ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じとは限りません。すな ました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考えてみましょう。 ，要素が p 個の場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = λ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (9) ，要素が p 個のベクトルの場合に表すと， a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (10) とても扱いきれません。また，要素が p 個ある場合は，ベクトルも p 次元空 次元の場合のように図形的に考えることもできません。 をそれぞれひとつの文字で表して，
- 50. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列を１文字で表す sp1 sp2 ·· · spp ap ap となります。また，(8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · a2(1) a2(2) · ... . ap(1) ap(2) · となります。 こんな式は，大変複雑でとても扱いきれません。また，要素が p 個ある場 間での「矢印」になり，２次元の場合のように図形的に考えることもできま そこで，(10) 式の各行列をそれぞれひとつの文字で表して， SP = PΛ と表してしまいます。このように，複雑な計算をあたかも数の計算のように ようというのが，行列というものが考えられた理由です。 ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じとは限りません。すな ました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考えてみましょう。 ，要素が p 個の場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = λ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (9) ，要素が p 個のベクトルの場合に表すと， a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (10) とても扱いきれません。また，要素が p 個ある場合は，ベクトルも p 次元空 次元の場合のように図形的に考えることもできません。 をそれぞれひとつの文字で表して， S
- 51. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列を１文字で表す sp1 sp2 ·· · spp ap ap となります。また，(8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · a2(1) a2(2) · ... . ap(1) ap(2) · となります。 こんな式は，大変複雑でとても扱いきれません。また，要素が p 個ある場 間での「矢印」になり，２次元の場合のように図形的に考えることもできま そこで，(10) 式の各行列をそれぞれひとつの文字で表して， SP = PΛ と表してしまいます。このように，複雑な計算をあたかも数の計算のように ようというのが，行列というものが考えられた理由です。 ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じとは限りません。すな ました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考えてみましょう。 ，要素が p 個の場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = λ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (9) ，要素が p 個のベクトルの場合に表すと， a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (10) とても扱いきれません。また，要素が p 個ある場合は，ベクトルも p 次元空 次元の場合のように図形的に考えることもできません。 をそれぞれひとつの文字で表して， S P
- 52. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列を１文字で表す sp1 sp2 ·· · spp ap ap となります。また，(8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · a2(1) a2(2) · ... . ap(1) ap(2) · となります。 こんな式は，大変複雑でとても扱いきれません。また，要素が p 個ある場 間での「矢印」になり，２次元の場合のように図形的に考えることもできま そこで，(10) 式の各行列をそれぞれひとつの文字で表して， SP = PΛ と表してしまいます。このように，複雑な計算をあたかも数の計算のように ようというのが，行列というものが考えられた理由です。 ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じとは限りません。すな ました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考えてみましょう。 ，要素が p 個の場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = λ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (9) ，要素が p 個のベクトルの場合に表すと， a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (10) とても扱いきれません。また，要素が p 個ある場合は，ベクトルも p 次元空 次元の場合のように図形的に考えることもできません。 をそれぞれひとつの文字で表して， S P P
- 53. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列を１文字で表す sp1 sp2 ·· · spp ap ap となります。また，(8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · a2(1) a2(2) · ... . ap(1) ap(2) · となります。 こんな式は，大変複雑でとても扱いきれません。また，要素が p 個ある場 間での「矢印」になり，２次元の場合のように図形的に考えることもできま そこで，(10) 式の各行列をそれぞれひとつの文字で表して， SP = PΛ と表してしまいます。このように，複雑な計算をあたかも数の計算のように ようというのが，行列というものが考えられた理由です。 ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じとは限りません。すな ました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考えてみましょう。 ，要素が p 個の場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = λ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (9) ，要素が p 個のベクトルの場合に表すと， a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (10) とても扱いきれません。また，要素が p 個ある場合は，ベクトルも p 次元空 次元の場合のように図形的に考えることもできません。 をそれぞれひとつの文字で表して， S P P Λ
- 54. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列を１文字で表す sp1 sp2 ·· · spp ap ap となります。また，(8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · a2(1) a2(2) · ... . ap(1) ap(2) · となります。 こんな式は，大変複雑でとても扱いきれません。また，要素が p 個ある場 間での「矢印」になり，２次元の場合のように図形的に考えることもできま そこで，(10) 式の各行列をそれぞれひとつの文字で表して， SP = PΛ と表してしまいます。このように，複雑な計算をあたかも数の計算のように ようというのが，行列というものが考えられた理由です。 ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じとは限りません。すな ました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考えてみましょう。 ，要素が p 個の場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = λ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (9) ，要素が p 個のベクトルの場合に表すと， a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (10) とても扱いきれません。また，要素が p 個ある場合は，ベクトルも p 次元空 次元の場合のように図形的に考えることもできません。 をそれぞれひとつの文字で表して， ても扱いきれません。また，要素が p 個ある 元の場合のように図形的に考えることもでき それぞれひとつの文字で表して， SP = PΛ うに，複雑な計算をあたかも数の計算のよう S P P Λ
- 55. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 行列を１文字で表す sp1 sp2 ·· · spp ap ap となります。また，(8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · a2(1) a2(2) · ... . ap(1) ap(2) · となります。 こんな式は，大変複雑でとても扱いきれません。また，要素が p 個ある場 間での「矢印」になり，２次元の場合のように図形的に考えることもできま そこで，(10) 式の各行列をそれぞれひとつの文字で表して， SP = PΛ と表してしまいます。このように，複雑な計算をあたかも数の計算のように ようというのが，行列というものが考えられた理由です。 ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じとは限りません。すな ました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考えてみましょう。 ，要素が p 個の場合に表すと， ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ s11 s12 · · · s1p s12 s22 · · · s2p ... ... sp1 sp2 · · · spp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = λ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1 a2 ... ap ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (9) ，要素が p 個のベクトルの場合に表すと， a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a1(1) a1(2) · · · a1(p) a2(1) a2(2) · · · a2(p) ... ... ap(1) ap(2) · · · ap(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ λ(1) 0 λ(2) ... 0 λ(p) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (10) とても扱いきれません。また，要素が p 個ある場合は，ベクトルも p 次元空 次元の場合のように図形的に考えることもできません。 をそれぞれひとつの文字で表して， ても扱いきれません。また，要素が p 個ある 元の場合のように図形的に考えることもでき それぞれひとつの文字で表して， SP = PΛ うに，複雑な計算をあたかも数の計算のよう 複雑な計算を，あたかも数の計算のように単純に考える S P P Λ
- 56.
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- 58. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 転置行列・対称行列 例えば行列 a b c d の転置行列は ac b d す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ しているとき，この行列を直交行列といいます。 すると，それぞれを変換したベクトルもやはり 行列で変換する計算は，座標軸を直交したまま 行列A
- 59. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 転置行列・対称行列 例えば行列 a b c d の転置行列は ac b d す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ しているとき，この行列を直交行列といいます。 すると，それぞれを変換したベクトルもやはり 行列で変換する計算は，座標軸を直交したまま 行列A も数の計算のように表して，単純な形で理解し 。 は限りません。すなわち，数のかけ算とは違っ 例えば行列 a b c d の転置行列は a c b d す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ しているとき，この行列を直交行列といいます。
- 60. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 転置行列・対称行列 例えば行列 a b c d の転置行列は ac b d す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ しているとき，この行列を直交行列といいます。 すると，それぞれを変換したベクトルもやはり 行列で変換する計算は，座標軸を直交したまま 行列A も数の計算のように表して，単純な形で理解し 。 は限りません。すなわち，数のかけ算とは違っ 例えば行列 a b c d の転置行列は a c b d す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ しているとき，この行列を直交行列といいます。
- 61. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 転置行列・対称行列 例えば行列 a b c d の転置行列は ac b d す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ しているとき，この行列を直交行列といいます。 すると，それぞれを変換したベクトルもやはり 行列で変換する計算は，座標軸を直交したまま 行列A も数の計算のように表して，単純な形で理解し 。 は限りません。すなわち，数のかけ算とは違っ 例えば行列 a b c d の転置行列は a c b d す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ しているとき，この行列を直交行列といいます。 ように表して，単純な形で理解し 。すなわち，数のかけ算とは違っ a b c d の転置行列は a c b d 義のプリントでは最後の A′ を使っ 列とその転置行列が同じとき，そ ，この行列を直交行列といいます。
- 62. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 転置行列・対称行列 例えば行列 a b c d の転置行列は ac b d す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ しているとき，この行列を直交行列といいます。 すると，それぞれを変換したベクトルもやはり 行列で変換する計算は，座標軸を直交したまま 行列A 転置行列 も数の計算のように表して，単純な形で理解し 。 は限りません。すなわち，数のかけ算とは違っ 例えば行列 a b c d の転置行列は a c b d す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ しているとき，この行列を直交行列といいます。 ように表して，単純な形で理解し 。すなわち，数のかけ算とは違っ a b c d の転置行列は a c b d 義のプリントでは最後の A′ を使っ 列とその転置行列が同じとき，そ ，この行列を直交行列といいます。
- 63. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 転置行列・対称行列 例えば行列 a b c d の転置行列は ac b d す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ しているとき，この行列を直交行列といいます。 すると，それぞれを変換したベクトルもやはり 行列で変換する計算は，座標軸を直交したまま 行列A 転置行列 も数の計算のように表して，単純な形で理解し 。 は限りません。すなわち，数のかけ算とは違っ 例えば行列 a b c d の転置行列は a c b d す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ しているとき，この行列を直交行列といいます。 ように表して，単純な形で理解し 。すなわち，数のかけ算とは違っ a b c d の転置行列は a c b d 義のプリントでは最後の A′ を使っ 列とその転置行列が同じとき，そ ，この行列を直交行列といいます。 ようというのが，行列というものが考えられた理由で ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じ て，かける順番が問題になります。 転置行列，対称行列，直交行列 転置行列とは，ある行列の行と列を入れ替えたもので です。行列 A の転置行列を，tA, At, AT , A′ などと表し ていますが，これは統計学の教科書に多い方式です。 の行列を対称行列といいます。 一方，ある行列に含まれる各列ベクトルが互いに直 もともと直交している２つのベクトルを直交行列で変
- 64. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 転置行列・対称行列 ある行列とその転置行列が同じとき， 対称行列という 例えば行列 a b c d の転置行列は ac b d す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ しているとき，この行列を直交行列といいます。 すると，それぞれを変換したベクトルもやはり 行列で変換する計算は，座標軸を直交したまま 行列A 転置行列 も数の計算のように表して，単純な形で理解し 。 は限りません。すなわち，数のかけ算とは違っ 例えば行列 a b c d の転置行列は a c b d す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ しているとき，この行列を直交行列といいます。 ように表して，単純な形で理解し 。すなわち，数のかけ算とは違っ a b c d の転置行列は a c b d 義のプリントでは最後の A′ を使っ 列とその転置行列が同じとき，そ ，この行列を直交行列といいます。 ようというのが，行列というものが考えられた理由で ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じ て，かける順番が問題になります。 転置行列，対称行列，直交行列 転置行列とは，ある行列の行と列を入れ替えたもので です。行列 A の転置行列を，tA, At, AT , A′ などと表し ていますが，これは統計学の教科書に多い方式です。 の行列を対称行列といいます。 一方，ある行列に含まれる各列ベクトルが互いに直 もともと直交している２つのベクトルを直交行列で変
- 65. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 直交行列 えば行列 a b c d の転置行列は ac b d 。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ に，ある行列とその転置行列が同じとき，そ ているとき，この行列を直交行列といいます。 ると，それぞれを変換したベクトルもやはり 列で変換する計算は，座標軸を直交したまま http://racco.mikeneko.jp/ 3/4 ページ 列ベクトルどうしが直交してい るとき，直交行列 という
- 66. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 直交行列 えば行列 a b c d の転置行列は ac b d 。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ に，ある行列とその転置行列が同じとき，そ ているとき，この行列を直交行列といいます。 ると，それぞれを変換したベクトルもやはり 列で変換する計算は，座標軸を直交したまま http://racco.mikeneko.jp/ 3/4 ページ 列ベクトルどうしが直交してい るとき，直交行列 という 直交した２つのベクトルは， 直交行列で変換されても直交している
- 67. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 直交行列 えば行列 a b c d の転置行列は ac b d 。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ に，ある行列とその転置行列が同じとき，そ ているとき，この行列を直交行列といいます。 ると，それぞれを変換したベクトルもやはり 列で変換する計算は，座標軸を直交したまま http://racco.mikeneko.jp/ 3/4 ページ 列ベクトルどうしが直交してい るとき，直交行列 という 直交した２つのベクトルは， 直交行列で変換されても直交している
- 68. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 直交行列 えば行列 a b c d の転置行列は ac b d 。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ に，ある行列とその転置行列が同じとき，そ ているとき，この行列を直交行列といいます。 ると，それぞれを変換したベクトルもやはり 列で変換する計算は，座標軸を直交したまま http://racco.mikeneko.jp/ 3/4 ページ 列ベクトルどうしが直交してい るとき，直交行列 という 直交行列で変換 直交行列で変換 直交した２つのベクトルは， 直交行列で変換されても直交している
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- 70. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 逆行列 行列には割り算はない となるA-1を，Aの逆行列という のかけ算」を説明しましたが，行列には「割り は，AA−1 = A−1A= I となる行列のことで しても XI = IX = X となる行列のことです でいえば “1”（単位元）にあたります。単位行 分）がすべて 1，他はすべて 0 になります。例 積 XA に右から A−1 をかけると XAA−1 = X きます。例えば，(11) 式は，逆行列を使うと
- 71. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 逆行列 行列には割り算はない となるA-1を，Aの逆行列という のかけ算」を説明しましたが，行列には「割り は，AA−1 = A−1A= I となる行列のことで しても XI = IX = X となる行列のことです でいえば “1”（単位元）にあたります。単位行 分）がすべて 1，他はすべて 0 になります。例 積 XA に右から A−1 をかけると XAA−1 = X きます。例えば，(11) 式は，逆行列を使うと 単位行列 （かけ算をしても 何もおこらない）
- 72. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 逆行列 行列には割り算はない となるA-1を，Aの逆行列という のかけ算」を説明しましたが，行列には「割り は，AA−1 = A−1A= I となる行列のことで しても XI = IX = X となる行列のことです でいえば “1”（単位元）にあたります。単位行 分）がすべて 1，他はすべて 0 になります。例 積 XA に右から A−1 をかけると XAA−1 = X きます。例えば，(11) 式は，逆行列を使うと 単位行列 （かけ算をしても 何もおこらない） 行列と行列のかけ算」を説明しましたが，行列には「割り算」はありません。そ 行列です。 の逆行列 A−1 は，AA−1 = A−1A = I となる行列のことです。ここで，I は「単位 行列 X に対しても XI = IX = X となる行列のことです。つまり「かけても何も 数のかけ算でいえば “1”（単位元）にあたります。単位行列の中身は，左上から右 数（対角成分）がすべて 1，他はすべて 0 になります。例えば 1 0 0 1 は単位 ら，行列の積 XA に右から A−1 をかけると XAA−1 = X となり，あたかも「A な計算ができます。例えば，(11) 式は，逆行列を使うと P−1 SP = Λ す。 A が直交行列のときは，その逆行列 A−1 は転置行列 A′ と同じであることが知ら 交変換で考えると，「直交行列による変換」はベクトルの回転に相当しますから， は，逆回りの回転に相当することになります。
- 73. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 逆行列 行列には割り算はない となるA-1を，Aの逆行列という のかけ算」を説明しましたが，行列には「割り は，AA−1 = A−1A= I となる行列のことで しても XI = IX = X となる行列のことです でいえば “1”（単位元）にあたります。単位行 分）がすべて 1，他はすべて 0 になります。例 積 XA に右から A−1 をかけると XAA−1 = X きます。例えば，(11) 式は，逆行列を使うと 単位行列 （かけ算をしても 何もおこらない） 行列と行列のかけ算」を説明しましたが，行列には「割り算」はありません。そ 行列です。 の逆行列 A−1 は，AA−1 = A−1A = I となる行列のことです。ここで，I は「単位 行列 X に対しても XI = IX = X となる行列のことです。つまり「かけても何も 数のかけ算でいえば “1”（単位元）にあたります。単位行列の中身は，左上から右 数（対角成分）がすべて 1，他はすべて 0 になります。例えば 1 0 0 1 は単位 ら，行列の積 XA に右から A−1 をかけると XAA−1 = X となり，あたかも「A な計算ができます。例えば，(11) 式は，逆行列を使うと P−1 SP = Λ す。 A が直交行列のときは，その逆行列 A−1 は転置行列 A′ と同じであることが知ら 交変換で考えると，「直交行列による変換」はベクトルの回転に相当しますから， は，逆回りの回転に相当することになります。 数の場合は 行列の場合は トル」の考え方の基本を，高校で習っていない人向けに手 では，「画素が２つしかない画像」を考えて，その画素値 x1 a × 1 a （逆元）= 1（単位元） AA−1 （逆行列）= I（単位行列） 話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方では，次の z = a1 a2 x1 x2 備・「行列」に慣れていない人のために トル」の考え方の基本を，高校で習っていない人向けに手 では，「画素が２つしかない画像」を考えて，その画素値 x a × 1 a （逆元）= 1（単位元） AA−1 （逆行列）= I（単位行列） 話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方では，次の z = a1 a2 x1
- 74. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 逆行列 行列には割り算はない となるA-1を，Aの逆行列という のかけ算」を説明しましたが，行列には「割り は，AA−1 = A−1A= I となる行列のことで しても XI = IX = X となる行列のことです でいえば “1”（単位元）にあたります。単位行 分）がすべて 1，他はすべて 0 になります。例 積 XA に右から A−1 をかけると XAA−1 = X きます。例えば，(11) 式は，逆行列を使うと 単位行列 （かけ算をしても 何もおこらない） 行列と行列のかけ算」を説明しましたが，行列には「割り算」はありません。そ 行列です。 の逆行列 A−1 は，AA−1 = A−1A = I となる行列のことです。ここで，I は「単位 行列 X に対しても XI = IX = X となる行列のことです。つまり「かけても何も 数のかけ算でいえば “1”（単位元）にあたります。単位行列の中身は，左上から右 数（対角成分）がすべて 1，他はすべて 0 になります。例えば 1 0 0 1 は単位 ら，行列の積 XA に右から A−1 をかけると XAA−1 = X となり，あたかも「A な計算ができます。例えば，(11) 式は，逆行列を使うと P−1 SP = Λ す。 A が直交行列のときは，その逆行列 A−1 は転置行列 A′ と同じであることが知ら 交変換で考えると，「直交行列による変換」はベクトルの回転に相当しますから， は，逆回りの回転に相当することになります。 直交行列の逆行列は，転置行列と同じ （逆方向の回転） 数の場合は 行列の場合は トル」の考え方の基本を，高校で習っていない人向けに手 では，「画素が２つしかない画像」を考えて，その画素値 x1 a × 1 a （逆元）= 1（単位元） AA−1 （逆行列）= I（単位行列） 話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方では，次の z = a1 a2 x1 x2 備・「行列」に慣れていない人のために トル」の考え方の基本を，高校で習っていない人向けに手 では，「画素が２つしかない画像」を考えて，その画素値 x a × 1 a （逆元）= 1（単位元） AA−1 （逆行列）= I（単位行列） 話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方では，次の z = a1 a2 x1
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