2015年度春学期 統計学 第６回 データの関係を知る(1) ― 相関関係と因果関係 (2015. 5. 28)
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関西大学総合情報学部 「統計学」（担当：浅野晃）
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2015年度春学期 統計学 第６回 データの関係を知る(1) ― 相関関係と因果関係 (2015. 5. 28)
- 31. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 散布図 多変量データを目に見えるように描く 地名 緯度（度） 気温（℃） 札幌 43.05 8.0 青森 40.82 9.6 秋田 39.72 11.0 仙台 38.27 11.9 福島 37.75 12.5 宇都宮 36.55 12.9 水戸 36.38 13.2 東京 35.68 15.3 新潟 37.92 13.1 長野 36.67 11.4 静岡 34.97 16.0 名古屋 35.17 14.9 大阪 34.68 16.2 鳥取 35.48 14.4 広島 34.40 15.0 高知 33.55 16.3 福岡 33.92 16.0 鹿児島 31.57 17.3 那覇 26.20 22.0 表 1: 日本の都市の緯度と気温 % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） 図 1: 散布図：緯度と気温の関係 ２つなので，散布図は横軸縦軸でできる平面になります。変量が３つ以上になると軸も３つ以上になり ますが，この場合も紙の上に描けないだけで，理屈には違いはありません。 図 1 の散布図を見ると，一見して各都市がほぼ直線に沿って並んでおり，「緯度が高（低）いと気温が 低（高）い」という負の相関関係が見てとれます。このように，負の相関関係は，散布図上では右下が りの直線上にデータが分布するように表現されます。また，正の相関関係では右上がりの直線上に並ぶ 度（度） 気温（℃） 43.05 8.0 40.82 9.6 39.72 11.0 38.27 11.9 37.75 12.5 36.55 12.9 36.38 13.2 35.68 15.3 37.92 13.1 36.67 11.4 34.97 16.0 35.17 14.9 34.68 16.2 35.48 14.4 34.40 15.0 33.55 16.3 % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度）
- 32. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 散布図 多変量データを目に見えるように描く % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） 地名 緯度（度） 気温（℃） 札幌 43.05 8.0 青森 40.82 9.6 秋田 39.72 11.0 仙台 38.27 11.9 福島 37.75 12.5 宇都宮 36.55 12.9 水戸 36.38 13.2 東京 35.68 15.3 新潟 37.92 13.1 長野 36.67 11.4
- 33. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 散布図 多変量データを目に見えるように描く % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） 地名 緯度（度） 気温（℃） 札幌 43.05 8.0 青森 40.82 9.6 秋田 39.72 11.0 仙台 38.27 11.9 福島 37.75 12.5 宇都宮 36.55 12.9 水戸 36.38 13.2 東京 35.68 15.3 新潟 37.92 13.1 長野 36.67 11.4 変量
- 34. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 散布図 多変量データを目に見えるように描く % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） 地名 緯度（度） 気温（℃） 札幌 43.05 8.0 青森 40.82 9.6 秋田 39.72 11.0 仙台 38.27 11.9 福島 37.75 12.5 宇都宮 36.55 12.9 水戸 36.38 13.2 東京 35.68 15.3 新潟 37.92 13.1 長野 36.67 11.4 変量 変量
- 35. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 散布図 多変量データを目に見えるように描く % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） 地名 緯度（度） 気温（℃） 札幌 43.05 8.0 青森 40.82 9.6 秋田 39.72 11.0 仙台 38.27 11.9 福島 37.75 12.5 宇都宮 36.55 12.9 水戸 36.38 13.2 東京 35.68 15.3 新潟 37.92 13.1 長野 36.67 11.4 変量 変量 変量
- 36. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 散布図 多変量データを目に見えるように描く % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） 地名 緯度（度） 気温（℃） 札幌 43.05 8.0 青森 40.82 9.6 秋田 39.72 11.0 仙台 38.27 11.9 福島 37.75 12.5 宇都宮 36.55 12.9 水戸 36.38 13.2 東京 35.68 15.3 新潟 37.92 13.1 長野 36.67 11.4 変量 変量 変量 変量
- 37. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 散布図 多変量データを目に見えるように描く % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） 地名 緯度（度） 気温（℃） 札幌 43.05 8.0 青森 40.82 9.6 秋田 39.72 11.0 仙台 38.27 11.9 福島 37.75 12.5 宇都宮 36.55 12.9 水戸 36.38 13.2 東京 35.68 15.3 新潟 37.92 13.1 長野 36.67 11.4 変量 変量 変量 変量
- 38. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 散布図 多変量データを目に見えるように描く % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） 地名 緯度（度） 気温（℃） 札幌 43.05 8.0 青森 40.82 9.6 秋田 39.72 11.0 仙台 38.27 11.9 福島 37.75 12.5 宇都宮 36.55 12.9 水戸 36.38 13.2 東京 35.68 15.3 新潟 37.92 13.1 長野 36.67 11.4 変量 変量 変量 変量
- 39. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 散布図 多変量データを目に見えるように描く % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） 地名 緯度（度） 気温（℃） 札幌 43.05 8.0 青森 40.82 9.6 秋田 39.72 11.0 仙台 38.27 11.9 福島 37.75 12.5 宇都宮 36.55 12.9 水戸 36.38 13.2 東京 35.68 15.3 新潟 37.92 13.1 長野 36.67 11.4 変量 変量 変量 変量
- 40. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 散布図 多変量データを目に見えるように描く % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） 地名 緯度（度） 気温（℃） 札幌 43.05 8.0 青森 40.82 9.6 秋田 39.72 11.0 仙台 38.27 11.9 福島 37.75 12.5 宇都宮 36.55 12.9 水戸 36.38 13.2 東京 35.68 15.3 新潟 37.92 13.1 長野 36.67 11.4 変量 変量 変量 変量
- 41. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 散布図 多変量データを目に見えるように描く % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） 地名 緯度（度） 気温（℃） 札幌 43.05 8.0 青森 40.82 9.6 秋田 39.72 11.0 仙台 38.27 11.9 福島 37.75 12.5 宇都宮 36.55 12.9 水戸 36.38 13.2 東京 35.68 15.3 新潟 37.92 13.1 長野 36.67 11.4 変量 変量 変量 変量
- 42. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 散布図 多変量データを目に見えるように描く % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） 地名 緯度（度） 気温（℃） 札幌 43.05 8.0 青森 40.82 9.6 秋田 39.72 11.0 仙台 38.27 11.9 福島 37.75 12.5 宇都宮 36.55 12.9 水戸 36.38 13.2 東京 35.68 15.3 新潟 37.92 13.1 長野 36.67 11.4 変量 変量 変量 変量
- 43. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 散布図 多変量データを目に見えるように描く % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） 地名 緯度（度） 気温（℃） 札幌 43.05 8.0 青森 40.82 9.6 秋田 39.72 11.0 仙台 38.27 11.9 福島 37.75 12.5 宇都宮 36.55 12.9 水戸 36.38 13.2 東京 35.68 15.3 新潟 37.92 13.1 長野 36.67 11.4 変量 変量 変量 変量 札幌
- 44. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 散布図と相関関係 % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度）
- 45. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 散布図と相関関係 % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度）
- 46. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 散布図と相関関係 % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） 右下がりに並ぶ
- 47. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 散布図と相関関係 % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） 右下がりに並ぶ 緯度が上がると 気温が下がる傾向
- 48. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 散布図と相関関係 % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） 右下がりに並ぶ 緯度が上がると 気温が下がる傾向 負の相関関係
- 53. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 相関の正負・強弱を数字で表す） % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） ここからは，緯度・気温ではなく一般的に
- 54. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 相関の正負・強弱を数字で表す） % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） x ここからは，緯度・気温ではなく一般的に
- 55. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 相関の正負・強弱を数字で表す） % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） x y ここからは，緯度・気温ではなく一般的に
- 56. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 相関の正負・強弱を数字で表す） % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） x y xi ここからは，緯度・気温ではなく一般的に
- 57. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 相関の正負・強弱を数字で表す） % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） x y xi yi ここからは，緯度・気温ではなく一般的に
- 58. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 相関の正負・強弱を数字で表す） % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） x y (xi, yi) xi yi ここからは，緯度・気温ではなく一般的に
- 59. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 相関の正負・強弱を数字で表す） % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） x y (xi, yi) xi yi x ここからは，緯度・気温ではなく一般的に
- 60. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 相関の正負・強弱を数字で表す） % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） x y (xi, yi) xi yi x y ここからは，緯度・気温ではなく一般的に
- 61. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 相関の正負・強弱を数字で表す） % % % % %%% % % % % % % % % %% % % 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 気温（℃） 緯度（度） x y (xi, yi) xi yi x y x y x だけの平均 y だけの平均 ここからは，緯度・気温ではなく一般的に
- 62. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 関係数 相関関係の強い／弱いを，数値で表すにはどうしたらよ 。データが (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であると rxy = n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = 表されます。上の式の中央の部分で，分母は，x, y それ ぞれの偏差を同時に平均したもので，共分散といいます 「統計学入門」（東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） ［相関 係数］ （nはデータ数）
- 63. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 関係数 相関関係の強い／弱いを，数値で表すにはどうしたらよ 。データが (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であると rxy = n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = 表されます。上の式の中央の部分で，分母は，x, y それ ぞれの偏差を同時に平均したもので，共分散といいます 「統計学入門」（東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） ［相関 係数］ （nはデータ数）
- 64. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 関係数 相関関係の強い／弱いを，数値で表すにはどうしたらよ 。データが (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であると rxy = n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = 表されます。上の式の中央の部分で，分母は，x, y それ ぞれの偏差を同時に平均したもので，共分散といいます 「統計学入門」（東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） ［相関 係数］ x の平均 （nはデータ数）
- 65. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 関係数 相関関係の強い／弱いを，数値で表すにはどうしたらよ 。データが (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であると rxy = n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = 表されます。上の式の中央の部分で，分母は，x, y それ ぞれの偏差を同時に平均したもので，共分散といいます 「統計学入門」（東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） ［相関 係数］ x の平均 x の偏差 （nはデータ数）
- 66. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 関係数 相関関係の強い／弱いを，数値で表すにはどうしたらよ 。データが (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であると rxy = n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = 表されます。上の式の中央の部分で，分母は，x, y それ ぞれの偏差を同時に平均したもので，共分散といいます 「統計学入門」（東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） ［相関 係数］ x の平均 x の偏差 x の分散 （nはデータ数）
- 67. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 関係数 相関関係の強い／弱いを，数値で表すにはどうしたらよ 。データが (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であると rxy = n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = 表されます。上の式の中央の部分で，分母は，x, y それ ぞれの偏差を同時に平均したもので，共分散といいます 「統計学入門」（東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） ［相関 係数］ x の平均 x の偏差 x の分散 x の標準偏差 （nはデータ数）
- 68. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 関係数 相関関係の強い／弱いを，数値で表すにはどうしたらよ 。データが (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であると rxy = n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = 表されます。上の式の中央の部分で，分母は，x, y それ ぞれの偏差を同時に平均したもので，共分散といいます 「統計学入門」（東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） ［相関 係数］ x の平均 x の偏差 x の分散 x の標準偏差 （nはデータ数）
- 69. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 関係数 相関関係の強い／弱いを，数値で表すにはどうしたらよ 。データが (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であると rxy = n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = 表されます。上の式の中央の部分で，分母は，x, y それ ぞれの偏差を同時に平均したもので，共分散といいます 「統計学入門」（東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） ［相関 係数］ x の平均 x の偏差 x の分散 x の標準偏差 y の標準偏差 （nはデータ数）
- 70. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 関係数 相関関係の強い／弱いを，数値で表すにはどうしたらよ 。データが (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であると rxy = n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = 表されます。上の式の中央の部分で，分母は，x, y それ ぞれの偏差を同時に平均したもので，共分散といいます 「統計学入門」（東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） ［相関 係数］ x の平均 x の偏差 x の分散 x の標準偏差 y の標準偏差 （nはデータ数） x の偏差
- 71. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 関係数 相関関係の強い／弱いを，数値で表すにはどうしたらよ 。データが (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であると rxy = n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = 表されます。上の式の中央の部分で，分母は，x, y それ ぞれの偏差を同時に平均したもので，共分散といいます 「統計学入門」（東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） ［相関 係数］ x の平均 x の偏差 x の分散 x の標準偏差 y の標準偏差 （nはデータ数） x の偏差 y の偏差
- 72. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 相関係数 関係数 相関関係の強い／弱いを，数値で表すにはどうしたらよ 。データが (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であると rxy = n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = 表されます。上の式の中央の部分で，分母は，x, y それ ぞれの偏差を同時に平均したもので，共分散といいます 「統計学入門」（東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） ［相関 係数］ x の平均 x の偏差 x の分散 x の標準偏差 y の標準偏差 （nはデータ数） x，y の［共分散］ x の偏差 y の偏差
- 73. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 共分散の意味 x，y の共分散 x の偏差 y の偏差 相関関係の強い／弱いを，数値で表すにはどうし す。データが (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組で rxy = n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2 で表されます。上の式の中央の部分で，分母は，x, y れぞれの偏差を同時に平均したもので，共分散といい 2 「統計学入門」（東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ 浅野 晃／統計学（2013 年度秋学期） 第６回 (2013. 10. 31) x y イロ ハ ニ イ・ロ・ハ・ニで散の意味を，図 2 で考えてみましょ ます。各領域で，(xi − ¯x)(yi − ¯y) では，xi − ¯x > 0, yi − ¯y > 0 で，(xi くなります。また，（ハ）では x − の値はどうなる？ x y y x （イ）（ロ） （ハ） （ニ）
- 74. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. x y y x （イ）（ロ） （ハ） （ニ） 共分散の意味 x y イ (xi, yi) + (xi, yi) が「イ」の領域にあるとすると 共分散の意味を，図 2 で 分割します。各領域で，( （イ）では，xi − ¯x > 0, yi は大きくなります。また， が左下に行くほどこの積の となります。xi yi 共分散の意味を，図 2 で考えてみ 割します。各領域で，(xi − ¯x)(yi ）では，xi − ¯x > 0, yi − ¯y > 0 で 大きくなります。また，（ハ）では 左下に行くほどこの積の値が大きく x 図 2: 共分散の概念 意味を，図 2 で考えてみましょう。散布図の平面 。各領域で，(xi − ¯x)(yi − ¯y) の値を考えてみます xi − ¯x > 0, yi − ¯y > 0 で，(xi − ¯x)(yi − ¯y) > 0 であ ります。また，（ハ）では xi − ¯x < 0, yi?¯y < 0 でや くほどこの積の値が大きくなります。これに対して
- 75. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. x y y x （イ）（ロ） （ハ） （ニ） 共分散の意味 x y ハ (xi, yi) + (xi, yi) が「ハ」の領域にあるとすると xi yi x 図 2: 共分散の概念 意味を，図 2 で考えてみましょう。散布図の平面 。各領域で，(xi − ¯x)(yi − ¯y) の値を考えてみます xi − ¯x > 0, yi − ¯y > 0 で，(xi − ¯x)(yi − ¯y) > 0 であ ります。また，（ハ）では xi − ¯x < 0, yi?¯y < 0 でや くほどこの積の値が大きくなります。これに対して 域で，(xi − ¯x)(yi − ¯y) の値を考 > 0, yi − ¯y > 0 で，(xi − ¯x)(yi − 。また，（ハ）では xi − ¯x < 0, yi この積の値が大きくなります。こ つの分布で， i(xi − ¯x)(yi − ¯y) 考えてみましょう。散布図の平面を − ¯x)(yi − ¯y) の値を考えてみます ¯ > 0 で，(xi − ¯x)(yi − ¯y) > 0 であ ハ）では xi − ¯x < 0, yi − ¯y < 0 でや 値が大きくなります。これに対して
- 76. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 共分散の意味 (xi, yi) の 場所によって x y イロ ハ ニ x y y x （イ）（ロ） （ハ） （ニ） す。各領域で，(xi − ¯x)(yi − ¯y) の値を考えてみま ，xi − ¯x > 0, yi − ¯y > 0 で，(xi − ¯x)(yi − ¯y) > 0 なります。また，（ハ）では xi − ¯x < 0, yi?¯y < 0 で 行くほどこの積の値が大きくなります。これに対し す。 図 3 の３つの分布で， i(xi − ¯x)(yi − ¯y) の値はど に分布しているとします。） (a) の場合は先の図 2 大きな値，(b) の場合は（ロ）（ニ）の部分に多く分 ロ）（ハ）（ニ）のすべての部分に分布しているの x 図 2: 共分散の概念 てみましょう。散布図の平面を，x の平均および y (yi − ¯y) の値を考えてみます。 で，(xi − ¯x)(yi − ¯y) > 0 であり，(xi, yi) が右上に では xi − ¯x < 0, yi?¯y < 0 でやはり (xi − ¯x)(yi − ¯y きくなります。これに対して，（ロ）や（ニ）では 散の概念 の平面を，x の平均および y の平均を境にして四 てみます。 > 0 であり，(xi, yi) が右上に行くほどこの積の値 < 0 でやはり (xi − ¯x)(yi − ¯y) > 0 であり，(xi, yi) に対して，（ロ）や（ニ）では (xi − ¯x)(yi − ¯y) < 0 値はどうなるでしょうか？（グレーの部分にデー 上に行くほどこの積の値 − ¯y) > 0 であり，(xi, yi) では (xi − ¯x)(yi − ¯y) < 0 ？（グレーの部分にデー 分に多く分布しています 負の大きな値，(c) の場合 に近い値になります。 影響されないように，n あるとき正の値，負の相 (xi, yi) が (x, y)から離れているほど， 絶対値が大きくなる
- 77. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 共分散の意味1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であるとき，x と y n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = n i= n i=1(xi 上の式の中央の部分で，分母は，x, y それぞれの標準 同時に平均したもので，共分散といいます。 （東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） 13 年度秋学期） 第６回 (2013. 10. 31) は x (a) y y x (b) y y x x 図 3: 正負の相関 x y x y x (a) y y x (b) y y y x x 図 3: 正負の相関
- 78. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 共分散の意味1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であるとき，x と y n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = n i= n i=1(xi 上の式の中央の部分で，分母は，x, y それぞれの標準 同時に平均したもので，共分散といいます。 （東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） 13 年度秋学期） 第６回 (2013. 10. 31) は x (a) y y x (b) y y x x 図 3: 正負の相関 x y x y x (a) y y x (b) y y y x x 図 3: 正負の相関
- 79. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 共分散の意味1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であるとき，x と y n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = n i= n i=1(xi 上の式の中央の部分で，分母は，x, y それぞれの標準 同時に平均したもので，共分散といいます。 （東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） 13 年度秋学期） 第６回 (2013. 10. 31) は x (a) y y x (b) y y x x 図 3: 正負の相関 x y x y x (a) y y x (b) y y y x x 図 3: 正負の相関
- 80. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 共分散の意味1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であるとき，x と y n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = n i= n i=1(xi 上の式の中央の部分で，分母は，x, y それぞれの標準 同時に平均したもので，共分散といいます。 （東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） 13 年度秋学期） 第６回 (2013. 10. 31) は x (a) y y x (b) y y x x 図 3: 正負の相関 x y x y x (a) y y x (b) y y y x x 図 3: 正負の相関
- 81. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 共分散の意味1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であるとき，x と y n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = n i= n i=1(xi 上の式の中央の部分で，分母は，x, y それぞれの標準 同時に平均したもので，共分散といいます。 （東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） 13 年度秋学期） 第６回 (2013. 10. 31) は x (a) y y x (b) y y x x 図 3: 正負の相関 x y x y x (a) y y x (b) y y y x x 図 3: 正負の相関
- 82. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 共分散の意味 正で大きな値 →強い正の相関 1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であるとき，x と y n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = n i= n i=1(xi 上の式の中央の部分で，分母は，x, y それぞれの標準 同時に平均したもので，共分散といいます。 （東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） 13 年度秋学期） 第６回 (2013. 10. 31) は x (a) y y x (b) y y x x 図 3: 正負の相関 x y x y x (a) y y x (b) y y y x x 図 3: 正負の相関
- 83. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 共分散の意味 正で大きな値 →強い正の相関 1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であるとき，x と y n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = n i= n i=1(xi 上の式の中央の部分で，分母は，x, y それぞれの標準 同時に平均したもので，共分散といいます。 （東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） 13 年度秋学期） 第６回 (2013. 10. 31) は x (a) y y x (b) y y x x 図 3: 正負の相関 x y x y x (a) y y x (b) y y y x x 図 3: 正負の相関
- 84. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 共分散の意味 正で大きな値 →強い正の相関 1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であるとき，x と y n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = n i= n i=1(xi 上の式の中央の部分で，分母は，x, y それぞれの標準 同時に平均したもので，共分散といいます。 （東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） 13 年度秋学期） 第６回 (2013. 10. 31) は x (a) y y x (b) y y x x 図 3: 正負の相関 x y x y x (a) y y x (b) y y y x x 図 3: 正負の相関
- 85. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 共分散の意味 正で大きな値 →強い正の相関 1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であるとき，x と y n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = n i= n i=1(xi 上の式の中央の部分で，分母は，x, y それぞれの標準 同時に平均したもので，共分散といいます。 （東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） 13 年度秋学期） 第６回 (2013. 10. 31) は x (a) y y x (b) y y x x 図 3: 正負の相関 x y x y x (a) y y x (b) y y y x x 図 3: 正負の相関
- 86. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 共分散の意味 正で大きな値 →強い正の相関 1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であるとき，x と y n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = n i= n i=1(xi 上の式の中央の部分で，分母は，x, y それぞれの標準 同時に平均したもので，共分散といいます。 （東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） 13 年度秋学期） 第６回 (2013. 10. 31) は x (a) y y x (b) y y x x 図 3: 正負の相関 x y x y x (a) y y x (b) y y y x x 図 3: 正負の相関
- 87. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 共分散の意味 正で大きな値 →強い正の相関 1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であるとき，x と y n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = n i= n i=1(xi 上の式の中央の部分で，分母は，x, y それぞれの標準 同時に平均したもので，共分散といいます。 （東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） 13 年度秋学期） 第６回 (2013. 10. 31) は x (a) y y x (b) y y x x 図 3: 正負の相関 x y x y x (a) y y x (b) y y y x x 図 3: 正負の相関 負で絶対値が大きい →強い負の相関
- 88. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 共分散の意味1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) の n 組であるとき，x と y n i=1(xi − ¯x)(yi − ¯y)/n n i=1(xi − ¯x)2/n n i=1(yi − ¯y)2/n = n i= n i=1(xi 上の式の中央の部分で，分母は，x, y それぞれの標準 同時に平均したもので，共分散といいます。 （東京大学出版会）44 ページ（受講者にのみ配付） 13 年度秋学期） 第６回 (2013. 10. 31) は x y 差し引きゼロ →無相関 x x (b) x (c) y y x 3: 正負の相関
- 89. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 共分散と相関係数 これらの相関の強さは同じ →標準偏差で割って調整する 相関係数＝共分散 (xの標準偏差 yの標準偏差) x (a) x x (b) x (c) x x 図 3: 正負の相関 x (a) y y x x (b) y y x 図 4: 同じ相関係数をもつ分布 相関係数は -1∼0∼1
- 109. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 層別 (c(a) (b) 成績 体格 成績 体格 成績 ６年 ５年 ４年 ３年 ２年 １年 層内の相関は ない ６年 ５年 ４年 ３年 ２年 １年 各 まと 図 5: 層別の相関 うに，各学年に対応する６つの分布が重なっているものと考えられます。各々の分布 もし各学年の分布が図 5(b) のようであれば，それぞれの分布では体格と成績には相 ります。 このように学年の影響を除いた相関係数を求めるには，図 5(b) の 6 つの分布を図 正の相関関係
- 110. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 層別 実は (c(a) (b) 成績 体格 成績 体格 成績 ６年 ５年 ４年 ３年 ２年 １年 層内の相関は ない ６年 ５年 ４年 ３年 ２年 １年 各 まと 図 5: 層別の相関 うに，各学年に対応する６つの分布が重なっているものと考えられます。各々の分布 もし各学年の分布が図 5(b) のようであれば，それぞれの分布では体格と成績には相 ります。 このように学年の影響を除いた相関係数を求めるには，図 5(b) の 6 つの分布を図 正の相関関係
- 111. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 層別 実は (c(a) (b) 成績 体格 成績 体格 成績 ６年 ５年 ４年 ３年 ２年 １年 層内の相関は ない ６年 ５年 ４年 ３年 ２年 １年 各 まと 図 5: 層別の相関 うに，各学年に対応する６つの分布が重なっているものと考えられます。各々の分布 もし各学年の分布が図 5(b) のようであれば，それぞれの分布では体格と成績には相 ります。 このように学年の影響を除いた相関係数を求めるには，図 5(b) の 6 つの分布を図 正の相関関係 (a) (b) 成績 体格 成績 体格 成 ６年 ５年 ４年 ３年 ２年 １年 層内の相関は ない ２ １年 図 5: 層別の相関
- 112. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 層別 実は 内部に「学年」の 層がある (c(a) (b) 成績 体格 成績 体格 成績 ６年 ５年 ４年 ３年 ２年 １年 層内の相関は ない ６年 ５年 ４年 ３年 ２年 １年 各 まと 図 5: 層別の相関 うに，各学年に対応する６つの分布が重なっているものと考えられます。各々の分布 もし各学年の分布が図 5(b) のようであれば，それぞれの分布では体格と成績には相 ります。 このように学年の影響を除いた相関係数を求めるには，図 5(b) の 6 つの分布を図 正の相関関係 (a) (b) 成績 体格 成績 体格 成 ６年 ５年 ４年 ３年 ２年 １年 層内の相関は ない ２ １年 図 5: 層別の相関
- 113. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 層別 内部に「学年」の 層がある (c)(b) 体格 成績 体格 成績 体格 ６年 ５年 ４年 ３年 ２年 １年 層内の相関は ない ６年 ５年 ４年 ３年 ２年 １年 各層を１か所に まとめる 図 5: 層別の相関 の分布が重なっているものと考えられます。各々の分布を別々に見たとき (c)(b) 体格 成績 体格 成績 体格 ６年 ５年 ４年 ３年 ２年 １年 層内の相関は ない ６年 ５年 ４年 ３年 ２年 １年 各層を１か所に まとめる 図 5: 層別の相関 の分布が重なっているものと考えられます。各々の分布を別々に見たとき 層に分けて， ひとつにまとめる
- 114. 2015年春学期 A.Asano,KansaiUniv. 層別 内部に「学年」の 層がある (c)(b) 体格 成績 体格 成績 体格 ６年 ５年 ４年 ３年 ２年 １年 層内の相関は ない ６年 ５年 ４年 ３年 ２年 １年 各層を１か所に まとめる 図 5: 層別の相関 の分布が重なっているものと考えられます。各々の分布を別々に見たとき (c)(b) 体格 成績 体格 成績 体格 ６年 ５年 ４年 ３年 ２年 １年 層内の相関は ない ６年 ５年 ４年 ３年 ２年 １年 各層を１か所に まとめる 図 5: 層別の相関 の分布が重なっているものと考えられます。各々の分布を別々に見たとき 層に分けて， ひとつにまとめる 学年の影響を除いた［偏相関係数］