関西大学総合情報学部　「画像情報処理」（担当：浅野晃）

1. A.Asano,KansaiUniv.
2014年度春学期 画像情報処理
浅野 晃
関西大学総合情報学部
「行列」に慣れていない人のために
（第２部「画像情報圧縮」の準備）
第６回

2. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルと行列の考え方
たくさんの数の組を，ひとまとめに計算する
ひとつの組がいくつの数でできていても，
同じように計算できるようにする
組の中身を意識せずにすむことによって，
さらに複雑な計算を考えることができる
（現代のプログラミングも同じ考えかた）

3. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルの計算
素が２つしかない画像」を考えて，その画
z = a1x1 + a2x2
きます。これを，「ベクトル」の書き方で
z = a1 a2
x1
x2
() を列ベクトルといいます。このよう
この計算を

4. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルの計算
素が２つしかない画像」を考えて，その画
z = a1x1 + a2x2
きます。これを，「ベクトル」の書き方で
z = a1 a2
x1
x2
() を列ベクトルといいます。このよう
この計算を
z = a1x1 + a2x2
話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方で
z = a1 a2
x1
x2
ル，右側の () を列ベクトルといいます。このよう
をしたことになります。
計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞ
と書く

5. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルの計算
素が２つしかない画像」を考えて，その画
z = a1x1 + a2x2
きます。これを，「ベクトル」の書き方で
z = a1 a2
x1
x2
() を列ベクトルといいます。このよう
この計算を
z = a1x1 + a2x2
話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方で
z = a1 a2
x1
x2
ル，右側の () を列ベクトルといいます。このよう
をしたことになります。
計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞ
と書く

6. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルの計算
素が２つしかない画像」を考えて，その画
z = a1x1 + a2x2
きます。これを，「ベクトル」の書き方で
z = a1 a2
x1
x2
() を列ベクトルといいます。このよう
この計算を
z = a1x1 + a2x2
話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方で
z = a1 a2
x1
x2
ル，右側の () を列ベクトルといいます。このよう
をしたことになります。
計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞ
と書く

7. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルの計算
行ベクトル
素が２つしかない画像」を考えて，その画
z = a1x1 + a2x2
きます。これを，「ベクトル」の書き方で
z = a1 a2
x1
x2
() を列ベクトルといいます。このよう
この計算を
z = a1x1 + a2x2
話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方で
z = a1 a2
x1
x2
ル，右側の () を列ベクトルといいます。このよう
をしたことになります。
計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞ
と書く

8. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルの計算
行ベクトル
素が２つしかない画像」を考えて，その画
z = a1x1 + a2x2
きます。これを，「ベクトル」の書き方で
z = a1 a2
x1
x2
() を列ベクトルといいます。このよう
この計算を
z = a1x1 + a2x2
話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方で
z = a1 a2
x1
x2
ル，右側の () を列ベクトルといいます。このよう
をしたことになります。
計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞ
と書く
列
ベ
ク
ト
ル

9. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルの計算
行ベクトル
素が２つしかない画像」を考えて，その画
z = a1x1 + a2x2
きます。これを，「ベクトル」の書き方で
z = a1 a2
x1
x2
() を列ベクトルといいます。このよう
この計算を
z = a1x1 + a2x2
話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方で
z = a1 a2
x1
x2
ル，右側の () を列ベクトルといいます。このよう
をしたことになります。
計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞ
と書く
列
ベ
ク
ト
ル

10. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルの計算
行ベクトル
素が２つしかない画像」を考えて，その画
z = a1x1 + a2x2
きます。これを，「ベクトル」の書き方で
z = a1 a2
x1
x2
() を列ベクトルといいます。このよう
この計算を
z = a1x1 + a2x2
話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方で
z = a1 a2
x1
x2
ル，右側の () を列ベクトルといいます。このよう
をしたことになります。
計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞ
と書く
列
ベ
ク
ト
ル

11. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルの計算が２つ
計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞれの組を添字
める計算をベクトルで表すと
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトルのか
なって並んでいるので，行列とよぶわけです。

12. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルの計算が２つ
この計算を
まとめて
計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞれの組を添字
める計算をベクトルで表すと
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトルのか
なって並んでいるので，行列とよぶわけです。

13. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルの計算が２つ
この計算を
まとめて
と書く
計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞれの組を添字
める計算をベクトルで表すと
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトルのか
なって並んでいるので，行列とよぶわけです。
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列と
なって並んでいるので，行列とよぶわけです。

14. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルの計算が２つ
この計算を
まとめて
と書く
計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞれの組を添字
める計算をベクトルで表すと
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトルのか
なって並んでいるので，行列とよぶわけです。
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列と
なって並んでいるので，行列とよぶわけです。

15. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルの計算が２つ
この計算を
まとめて
と書く
計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞれの組を添字
める計算をベクトルで表すと
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトルのか
なって並んでいるので，行列とよぶわけです。
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列と
なって並んでいるので，行列とよぶわけです。

16. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルの計算が２つ
この計算を
まとめて
と書く
計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞれの組を添字
める計算をベクトルで表すと
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトルのか
なって並んでいるので，行列とよぶわけです。
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列と
なって並んでいるので，行列とよぶわけです。

17. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルの計算が２つ
この計算を
まとめて
と書く
計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞれの組を添字
める計算をベクトルで表すと
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトルのか
なって並んでいるので，行列とよぶわけです。
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列と
なって並んでいるので，行列とよぶわけです。

18. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ベクトルの計算が２つ
この計算を
まとめて
と書く
計算が２組あるとしましょう。このとき，それぞれの組を添字
める計算をベクトルで表すと
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトルのか
なって並んでいるので，行列とよぶわけです。
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列と
なって並んでいるので，行列とよぶわけです。
行列

19. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
図形的意味
原点O
X
点(x1, x2)

20. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
図形的意味
原点O
X
点(x1, x2)

21. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
図形的意味
原点O
X
点(x1, x2)
ベクトル
となります。この２つの式をひと
この式の右辺にある，数の４つ入
います。行ベクトルが列になって
x1
x2
を座標平面でのある点と
に移動する計算を表す，ということ
は原点から点 (x1, x2) をさすベク
(x , x ) まで伸びた矢印を想像すれ

22. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
図形的意味
原点O
X
点(x1, x2)
ベクトル
となります。この２つの式をひと
この式の右辺にある，数の４つ入
います。行ベクトルが列になって
x1
x2
を座標平面でのある点と
に移動する計算を表す，ということ
は原点から点 (x1, x2) をさすベク
(x , x ) まで伸びた矢印を想像すれ
行列をかける
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
す。この２つの式をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
右辺にある，数の４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトル
行ベクトルが列になって並んでいるので，行列とよぶわけです。
を座標平面でのある点と考えると，(4) 式の計算は，
x1
x2
という点を
z
z
る計算を表す，ということもできます。また，このときベクトルという言葉を使
ら点 (x1, x2) をさすベクトル（位置ベクトル）である」といいます。図形的には
まで伸びた矢印を想像すればよいでしょう。この言い方をすると，行列とベクト

23. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
図形的意味
原点O
X
点(x1, x2)
ベクトル
となります。この２つの式をひと
この式の右辺にある，数の４つ入
います。行ベクトルが列になって
x1
x2
を座標平面でのある点と
に移動する計算を表す，ということ
は原点から点 (x1, x2) をさすベク
(x , x ) まで伸びた矢印を想像すれ
行列をかける
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
す。この２つの式をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
右辺にある，数の４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトル
行ベクトルが列になって並んでいるので，行列とよぶわけです。
を座標平面でのある点と考えると，(4) 式の計算は，
x1
x2
という点を
z
z
る計算を表す，ということもできます。また，このときベクトルという言葉を使
ら点 (x1, x2) をさすベクトル（位置ベクトル）である」といいます。図形的には
まで伸びた矢印を想像すればよいでしょう。この言い方をすると，行列とベクト

24. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
図形的意味
原点O
X
点(x1, x2)
ベクトル
となります。この２つの式をひと
この式の右辺にある，数の４つ入
います。行ベクトルが列になって
x1
x2
を座標平面でのある点と
に移動する計算を表す，ということ
は原点から点 (x1, x2) をさすベク
(x , x ) まで伸びた矢印を想像すれ
行列をかける
z(1) = a1(1) a2(1)
x1
x2
z(2) = a1(2) a2(2)
x1
x2
す。この２つの式をひとつにまとめて，次のように書きます。
z(1)
z(2)
=
a1(1) a2(1)
a1(2) a2(2)
x1
x2
右辺にある，数の４つ入った () を行列といい，右辺の計算を「行列とベクトル
行ベクトルが列になって並んでいるので，行列とよぶわけです。
を座標平面でのある点と考えると，(4) 式の計算は，
x1
x2
という点を
z
z
る計算を表す，ということもできます。また，このときベクトルという言葉を使
ら点 (x1, x2) をさすベクトル（位置ベクトル）である」といいます。図形的には
まで伸びた矢印を想像すればよいでしょう。この言い方をすると，行列とベクト
きます。
x1
x2
(4)
計算を「行列とベクトルのかけ算」とい
わけです。
x1
x2
という点を
z(1)
z(2)
という点
ベクトルという言葉を使うと，「
x1
x2
」といいます。図形的には，原点から点
方をすると，行列とベクトルのかけ算は，
1）。
別のベクトルに
変換

25. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
定数倍の計算
トには，
s11 s12
s21 s22
a1
a2
= λ
a1
a2
春学期） 第６回 (2013. 5. 15) http://racco

26. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
定数倍の計算
トには，
s11 s12
s21 s22
a1
a2
= λ
a1
a2
春学期） 第６回 (2013. 5. 15) http://racco

27. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
定数倍の計算
の意味
トには，
s11 s12
s21 s22
a1
a2
= λ
a1
a2
春学期） 第６回 (2013. 5. 15) http://racco
け算．
カラー）で，このとき右辺は
λa1
λa2
を
で，λ もそれぞれに対応して２つある，と
れに対応する式は

28. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列と行列の計算。それらを λ(1), λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
めて

29. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列と行列の計算
この計算を
まとめて
。それらを λ(1), λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
めて

30. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列と行列の計算
この計算を
まとめて
。それらを λ(1), λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
めて
21 22 2(2) 2(2)
す。
度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。
を左右にくっつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表し
式は，まとめて
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい
左辺は，上で述べたとおり，
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)

31. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列と行列の計算
この計算を
まとめて
。それらを λ(1), λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
めて
21 22 2(2) 2(2)
す。
度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。
を左右にくっつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表し
式は，まとめて
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい
左辺は，上で述べたとおり，
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)

32. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列と行列の計算
この計算を
まとめて
。それらを λ(1), λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
めて
21 22 2(2) 2(2)
す。
度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。
を左右にくっつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表し
式は，まとめて
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい
左辺は，上で述べたとおり，
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)

33. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列と行列の計算
この計算を
まとめて
。それらを λ(1), λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
めて
21 22 2(2) 2(2)
す。
度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。
を左右にくっつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表し
式は，まとめて
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい
左辺は，上で述べたとおり，
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)

34. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列と行列の計算
この計算を
まとめて
。それらを λ(1), λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
めて
21 22 2(2) 2(2)
す。
度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。
を左右にくっつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表し
式は，まとめて
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい
左辺は，上で述べたとおり，
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)

35. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列と行列の計算
この計算を
まとめて
。それらを λ(1), λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
めて
21 22 2(2) 2(2)
す。
度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。
を左右にくっつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表し
式は，まとめて
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい
左辺は，上で述べたとおり，
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)
行列とベクトルの計算が２つ

36. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列と行列の計算
この計算を
まとめて
。それらを λ(1), λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
めて
21 22 2(2) 2(2)
す。
度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。
を左右にくっつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表し
式は，まとめて
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい
左辺は，上で述べたとおり，
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)
s21 s22 a2(1)
= λ(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
つけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
て
s12
s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)
行列とベクトルの計算が２つ

37. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列と行列の計算
この計算を
まとめて
。それらを λ(1), λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
めて
21 22 2(2) 2(2)
す。
度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。
を左右にくっつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表し
式は，まとめて
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい
左辺は，上で述べたとおり，
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)
s21 s22 a2(1)
= λ(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
つけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
て
s12
s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)
行列とベクトルの計算が２つ
λ(1)に関する計算

38. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列と行列の計算
この計算を
まとめて
。それらを λ(1), λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
めて
21 22 2(2) 2(2)
す。
度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。
を左右にくっつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表し
式は，まとめて
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい
左辺は，上で述べたとおり，
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)
s21 s22 a2(1)
= λ(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
つけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
て
s12
s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)
行列とベクトルの計算が２つ
λ(1)に関する計算

39. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列と行列の計算
この計算を
まとめて
。それらを λ(1), λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
めて
21 22 2(2) 2(2)
す。
度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。
を左右にくっつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表し
式は，まとめて
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい
左辺は，上で述べたとおり，
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)
s21 s22 a2(1)
= λ(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
つけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
て
s12
s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)
行列とベクトルの計算が２つ
λ(1)に関する計算

40. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列と行列の計算
この計算を
まとめて
。それらを λ(1), λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
めて
21 22 2(2) 2(2)
す。
度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。
を左右にくっつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表し
式は，まとめて
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい
左辺は，上で述べたとおり，
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)
s21 s22 a2(1)
= λ(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
つけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
て
s12
s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)
行列とベクトルの計算が２つ
λ(1)に関する計算

41. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列と行列の計算
この計算を
まとめて
。それらを λ(1), λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
めて
21 22 2(2) 2(2)
す。
度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。
を左右にくっつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表し
式は，まとめて
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい
左辺は，上で述べたとおり，
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)
s21 s22 a2(1)
= λ(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
つけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
て
s12
s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)
行列とベクトルの計算が２つ
λ(1)に関する計算

42. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列と行列の計算
この計算を
まとめて
。それらを λ(1), λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
めて
21 22 2(2) 2(2)
す。
度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。
を左右にくっつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表し
式は，まとめて
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい
左辺は，上で述べたとおり，
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)
s21 s22 a2(1)
= λ(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
つけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
て
s12
s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)
行列とベクトルの計算が２つ
λ(1)に関する計算

43. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列と行列の計算
この計算を
まとめて
。それらを λ(1), λ(2) と表すと，それぞれに対応する式は
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
= λ(1)
a1(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
の２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
っつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
めて
21 22 2(2) 2(2)
す。
度はこれらの２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。
を左右にくっつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表し
式は，まとめて
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
ができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になってい
左辺は，上で述べたとおり，
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)
s21 s22 a2(1)
= λ(1)
a2(1)
s11 s12
s21 s22
a1(2)
a2(2)
= λ(2)
a1(2)
a2(2)
２つの式を，ひとつにまとめて表してみましょう。列ベクトル
つけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると
て
s12
s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)
行列とベクトルの計算が２つ
λ(1)に関する計算

44. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
要素がp個の場合
トには，
s11 s12
s21 s22
a1
a2
= λ
a1
a2
春学期） 第６回 (2013. 5. 15) http://racco
は，

45. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
要素がp個の場合
トには，
s11 s12
s21 s22
a1
a2
= λ
a1
a2
春学期） 第６回 (2013. 5. 15) http://racco
かけ算を２つ同時に行うのが，行列のかけ算です。
トルの場合
が２つしかない画像」を考えたところから出発して，２つの
えてきました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考
の式を，要素が p 個の場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= λ
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
⎞ ⎛ ⎞ ⎛
は，

46. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
要素がp個の場合
を左右にくっつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると，(
の式は，まとめて
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)
とができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になっています。
の左辺は，上で述べたとおり，
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)
のように列
くっつけたものです。
式の右辺は，右側の行列を列ベクトルに分けて
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
0
λ(
側の行列
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と右側の行列の左側の列ベクトル
λ(1)
0
の積は
λ(1)a
λ(1)a
像情報処理（2013 年度春学期） 第６回 (2013. 5. 15) http://racco.mikeneko.jp/
は，

47. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
要素がp個の場合
を左右にくっつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると，(
の式は，まとめて
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)
とができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になっています。
の左辺は，上で述べたとおり，
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)
のように列
くっつけたものです。
式の右辺は，右側の行列を列ベクトルに分けて
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
0
λ(
側の行列
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と右側の行列の左側の列ベクトル
λ(1)
0
の積は
λ(1)a
λ(1)a
像情報処理（2013 年度春学期） 第６回 (2013. 5. 15) http://racco.mikeneko.jp/
(6) 式，(7) 式の形の式を，要素が p 個の場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= λ
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
となります。また，(8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) ·
a2(1) a2(2) ·
...
.
ap(1) ap(2) ·
となります。
こんな式は，大変複雑でとても扱いきれません。また，要素が p 個ある場
間での「矢印」になり，２次元の場合のように図形的に考えることもできま
そこで，(10) 式の各行列をそれぞれひとつの文字で表して，
を２つ同時に行うのが，行列のかけ算です。
場合
しかない画像」を考えたところから出発して，２つの要素からなるベクトル
ました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考えてみましょう。
，要素が p 個の場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= λ
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(9)
，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(10)
は，

48. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
要素がp個の場合
を左右にくっつけて，
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と，ひとつの行列で表します。すると，(
の式は，まとめて
s11 s12
s21 s22
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
=
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1) 0
0 λ(2)
とができます。この式の両辺は，「行列と行列のかけ算」になっています。
の左辺は，上で述べたとおり，
s11 s12
s21 s22
a1(1)
a2(1)
a1(2)
a2(2)
のように列
くっつけたものです。
式の右辺は，右側の行列を列ベクトルに分けて
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
λ(1)
0
0
λ(
側の行列
a1(1) a1(2)
a2(1) a2(2)
と右側の行列の左側の列ベクトル
λ(1)
0
の積は
λ(1)a
λ(1)a
像情報処理（2013 年度春学期） 第６回 (2013. 5. 15) http://racco.mikeneko.jp/
(6) 式，(7) 式の形の式を，要素が p 個の場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= λ
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
となります。また，(8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) ·
a2(1) a2(2) ·
...
.
ap(1) ap(2) ·
となります。
こんな式は，大変複雑でとても扱いきれません。また，要素が p 個ある場
間での「矢印」になり，２次元の場合のように図形的に考えることもできま
そこで，(10) 式の各行列をそれぞれひとつの文字で表して，
を２つ同時に行うのが，行列のかけ算です。
場合
しかない画像」を考えたところから出発して，２つの要素からなるベクトル
ました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考えてみましょう。
，要素が p 個の場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= λ
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(9)
，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(10)
は，
？？？

49. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列を１文字で表す
sp1 sp2 · · · spp ap ap
となります。また，(8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) ·
a2(1) a2(2) ·
...
.
ap(1) ap(2) ·
となります。
こんな式は，大変複雑でとても扱いきれません。また，要素が p 個ある場
間での「矢印」になり，２次元の場合のように図形的に考えることもできま
そこで，(10) 式の各行列をそれぞれひとつの文字で表して，
SP = PΛ
と表してしまいます。このように，複雑な計算をあたかも数の計算のように
ようというのが，行列というものが考えられた理由です。
ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じとは限りません。すな
ました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考えてみましょう。
，要素が p 個の場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= λ
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(9)
，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(10)
とても扱いきれません。また，要素が p 個ある場合は，ベクトルも p 次元空
次元の場合のように図形的に考えることもできません。
をそれぞれひとつの文字で表して，

50. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列を１文字で表す
sp1 sp2 · · · spp ap ap
となります。また，(8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) ·
a2(1) a2(2) ·
...
.
ap(1) ap(2) ·
となります。
こんな式は，大変複雑でとても扱いきれません。また，要素が p 個ある場
間での「矢印」になり，２次元の場合のように図形的に考えることもできま
そこで，(10) 式の各行列をそれぞれひとつの文字で表して，
SP = PΛ
と表してしまいます。このように，複雑な計算をあたかも数の計算のように
ようというのが，行列というものが考えられた理由です。
ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じとは限りません。すな
ました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考えてみましょう。
，要素が p 個の場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= λ
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(9)
，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(10)
とても扱いきれません。また，要素が p 個ある場合は，ベクトルも p 次元空
次元の場合のように図形的に考えることもできません。
をそれぞれひとつの文字で表して，
S

51. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列を１文字で表す
sp1 sp2 · · · spp ap ap
となります。また，(8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) ·
a2(1) a2(2) ·
...
.
ap(1) ap(2) ·
となります。
こんな式は，大変複雑でとても扱いきれません。また，要素が p 個ある場
間での「矢印」になり，２次元の場合のように図形的に考えることもできま
そこで，(10) 式の各行列をそれぞれひとつの文字で表して，
SP = PΛ
と表してしまいます。このように，複雑な計算をあたかも数の計算のように
ようというのが，行列というものが考えられた理由です。
ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じとは限りません。すな
ました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考えてみましょう。
，要素が p 個の場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= λ
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(9)
，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(10)
とても扱いきれません。また，要素が p 個ある場合は，ベクトルも p 次元空
次元の場合のように図形的に考えることもできません。
をそれぞれひとつの文字で表して，
S P

52. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列を１文字で表す
sp1 sp2 · · · spp ap ap
となります。また，(8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) ·
a2(1) a2(2) ·
...
.
ap(1) ap(2) ·
となります。
こんな式は，大変複雑でとても扱いきれません。また，要素が p 個ある場
間での「矢印」になり，２次元の場合のように図形的に考えることもできま
そこで，(10) 式の各行列をそれぞれひとつの文字で表して，
SP = PΛ
と表してしまいます。このように，複雑な計算をあたかも数の計算のように
ようというのが，行列というものが考えられた理由です。
ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じとは限りません。すな
ました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考えてみましょう。
，要素が p 個の場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= λ
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(9)
，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(10)
とても扱いきれません。また，要素が p 個ある場合は，ベクトルも p 次元空
次元の場合のように図形的に考えることもできません。
をそれぞれひとつの文字で表して，
S P
P

53. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列を１文字で表す
sp1 sp2 · · · spp ap ap
となります。また，(8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) ·
a2(1) a2(2) ·
...
.
ap(1) ap(2) ·
となります。
こんな式は，大変複雑でとても扱いきれません。また，要素が p 個ある場
間での「矢印」になり，２次元の場合のように図形的に考えることもできま
そこで，(10) 式の各行列をそれぞれひとつの文字で表して，
SP = PΛ
と表してしまいます。このように，複雑な計算をあたかも数の計算のように
ようというのが，行列というものが考えられた理由です。
ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じとは限りません。すな
ました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考えてみましょう。
，要素が p 個の場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= λ
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(9)
，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(10)
とても扱いきれません。また，要素が p 個ある場合は，ベクトルも p 次元空
次元の場合のように図形的に考えることもできません。
をそれぞれひとつの文字で表して，
S P
P Λ

54. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列を１文字で表す
sp1 sp2 · · · spp ap ap
となります。また，(8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) ·
a2(1) a2(2) ·
...
.
ap(1) ap(2) ·
となります。
こんな式は，大変複雑でとても扱いきれません。また，要素が p 個ある場
間での「矢印」になり，２次元の場合のように図形的に考えることもできま
そこで，(10) 式の各行列をそれぞれひとつの文字で表して，
SP = PΛ
と表してしまいます。このように，複雑な計算をあたかも数の計算のように
ようというのが，行列というものが考えられた理由です。
ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じとは限りません。すな
ました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考えてみましょう。
，要素が p 個の場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= λ
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(9)
，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(10)
とても扱いきれません。また，要素が p 個ある場合は，ベクトルも p 次元空
次元の場合のように図形的に考えることもできません。
をそれぞれひとつの文字で表して，
ても扱いきれません。また，要素が p 個ある
元の場合のように図形的に考えることもでき
それぞれひとつの文字で表して，
SP = PΛ
うに，複雑な計算をあたかも数の計算のよう
S P
P Λ

55. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
行列を１文字で表す
sp1 sp2 · · · spp ap ap
となります。また，(8) 式を，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) ·
a2(1) a2(2) ·
...
.
ap(1) ap(2) ·
となります。
こんな式は，大変複雑でとても扱いきれません。また，要素が p 個ある場
間での「矢印」になり，２次元の場合のように図形的に考えることもできま
そこで，(10) 式の各行列をそれぞれひとつの文字で表して，
SP = PΛ
と表してしまいます。このように，複雑な計算をあたかも数の計算のように
ようというのが，行列というものが考えられた理由です。
ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じとは限りません。すな
ました。では，「要素が p 個あるベクトル」の場合を考えてみましょう。
，要素が p 個の場合に表すと，
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
s11 s12 · · · s1p
s12 s22 · · · s2p
...
...
sp1 sp2 · · · spp
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= λ
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1
a2
...
ap
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(9)
，要素が p 個のベクトルの場合に表すと，
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a1(1) a1(2) · · · a1(p)
a2(1) a2(2) · · · a2(p)
...
...
ap(1) ap(2) · · · ap(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
λ(1) 0
λ(2)
...
0 λ(p)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(10)
とても扱いきれません。また，要素が p 個ある場合は，ベクトルも p 次元空
次元の場合のように図形的に考えることもできません。
をそれぞれひとつの文字で表して，
ても扱いきれません。また，要素が p 個ある
元の場合のように図形的に考えることもでき
それぞれひとつの文字で表して，
SP = PΛ
うに，複雑な計算をあたかも数の計算のよう
複雑な計算を，あたかも数の計算のように単純に考える
S P
P Λ

56. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ただし

57. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ただし
行列の積は，交換ができない
ABとBAが等しいとは限らない

58. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
転置行列・対称行列
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ
らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ
しているとき，この行列を直交行列といいます。
すると，それぞれを変換したベクトルもやはり
行列で変換する計算は，座標軸を直交したまま
行列A

59. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
転置行列・対称行列
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ
らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ
しているとき，この行列を直交行列といいます。
すると，それぞれを変換したベクトルもやはり
行列で変換する計算は，座標軸を直交したまま
行列A
も数の計算のように表して，単純な形で理解し
。
は限りません。すなわち，数のかけ算とは違っ
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ
らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ
しているとき，この行列を直交行列といいます。

60. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
転置行列・対称行列
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ
らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ
しているとき，この行列を直交行列といいます。
すると，それぞれを変換したベクトルもやはり
行列で変換する計算は，座標軸を直交したまま
行列A
も数の計算のように表して，単純な形で理解し
。
は限りません。すなわち，数のかけ算とは違っ
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ
らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ
しているとき，この行列を直交行列といいます。

61. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
転置行列・対称行列
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ
らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ
しているとき，この行列を直交行列といいます。
すると，それぞれを変換したベクトルもやはり
行列で変換する計算は，座標軸を直交したまま
行列A
も数の計算のように表して，単純な形で理解し
。
は限りません。すなわち，数のかけ算とは違っ
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ
らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ
しているとき，この行列を直交行列といいます。
ように表して，単純な形で理解し
。すなわち，数のかけ算とは違っ
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
義のプリントでは最後の A′ を使っ
列とその転置行列が同じとき，そ
，この行列を直交行列といいます。

62. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
転置行列・対称行列
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ
らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ
しているとき，この行列を直交行列といいます。
すると，それぞれを変換したベクトルもやはり
行列で変換する計算は，座標軸を直交したまま
行列A
転置行列
も数の計算のように表して，単純な形で理解し
。
は限りません。すなわち，数のかけ算とは違っ
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ
らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ
しているとき，この行列を直交行列といいます。
ように表して，単純な形で理解し
。すなわち，数のかけ算とは違っ
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
義のプリントでは最後の A′ を使っ
列とその転置行列が同じとき，そ
，この行列を直交行列といいます。

63. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
転置行列・対称行列
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ
らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ
しているとき，この行列を直交行列といいます。
すると，それぞれを変換したベクトルもやはり
行列で変換する計算は，座標軸を直交したまま
行列A
転置行列
も数の計算のように表して，単純な形で理解し
。
は限りません。すなわち，数のかけ算とは違っ
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ
らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ
しているとき，この行列を直交行列といいます。
ように表して，単純な形で理解し
。すなわち，数のかけ算とは違っ
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
義のプリントでは最後の A′ を使っ
列とその転置行列が同じとき，そ
，この行列を直交行列といいます。
ようというのが，行列というものが考えられた理由で
ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じ
て，かける順番が問題になります。
転置行列，対称行列，直交行列
転置行列とは，ある行列の行と列を入れ替えたもので
です。行列 A の転置行列を，tA, At, AT , A′ などと表し
ていますが，これは統計学の教科書に多い方式です。
の行列を対称行列といいます。
一方，ある行列に含まれる各列ベクトルが互いに直
もともと直交している２つのベクトルを直交行列で変

64. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
転置行列・対称行列
ある行列とその転置行列が同じとき，
対称行列という
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ
らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ
しているとき，この行列を直交行列といいます。
すると，それぞれを変換したベクトルもやはり
行列で変換する計算は，座標軸を直交したまま
行列A
転置行列
も数の計算のように表して，単純な形で理解し
。
は限りません。すなわち，数のかけ算とは違っ
例えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
す。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ
らに，ある行列とその転置行列が同じとき，そ
しているとき，この行列を直交行列といいます。
ように表して，単純な形で理解し
。すなわち，数のかけ算とは違っ
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
義のプリントでは最後の A′ を使っ
列とその転置行列が同じとき，そ
，この行列を直交行列といいます。
ようというのが，行列というものが考えられた理由で
ただし，行列のかけ算では，積 AB と積 BA は同じ
て，かける順番が問題になります。
転置行列，対称行列，直交行列
転置行列とは，ある行列の行と列を入れ替えたもので
です。行列 A の転置行列を，tA, At, AT , A′ などと表し
ていますが，これは統計学の教科書に多い方式です。
の行列を対称行列といいます。
一方，ある行列に含まれる各列ベクトルが互いに直
もともと直交している２つのベクトルを直交行列で変

65. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
直交行列
えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ
に，ある行列とその転置行列が同じとき，そ
ているとき，この行列を直交行列といいます。
ると，それぞれを変換したベクトルもやはり
列で変換する計算は，座標軸を直交したまま
http://racco.mikeneko.jp/ 3/4 ページ
列ベクトルどうしが直交してい
るとき，直交行列
という

66. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
直交行列
えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ
に，ある行列とその転置行列が同じとき，そ
ているとき，この行列を直交行列といいます。
ると，それぞれを変換したベクトルもやはり
列で変換する計算は，座標軸を直交したまま
http://racco.mikeneko.jp/ 3/4 ページ
列ベクトルどうしが直交してい
るとき，直交行列
という
直交した２つのベクトルは，
直交行列で変換されても直交している

67. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
直交行列
えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ
に，ある行列とその転置行列が同じとき，そ
ているとき，この行列を直交行列といいます。
ると，それぞれを変換したベクトルもやはり
列で変換する計算は，座標軸を直交したまま
http://racco.mikeneko.jp/ 3/4 ページ
列ベクトルどうしが直交してい
るとき，直交行列
という
直交した２つのベクトルは，
直交行列で変換されても直交している

68. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
直交行列
えば行列
a b
c d
の転置行列は
a c
b d
。今回の講義のプリントでは最後の A′ を使っ
に，ある行列とその転置行列が同じとき，そ
ているとき，この行列を直交行列といいます。
ると，それぞれを変換したベクトルもやはり
列で変換する計算は，座標軸を直交したまま
http://racco.mikeneko.jp/ 3/4 ページ
列ベクトルどうしが直交してい
るとき，直交行列
という
直交行列で変換
直交行列で変換
直交した２つのベクトルは，
直交行列で変換されても直交している

69. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
逆行列
行列には割り算はない

70. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
逆行列
行列には割り算はない
となるA-1を，Aの逆行列という
のかけ算」を説明しましたが，行列には「割り
は，AA−1 = A−1A = I となる行列のことで
しても XI = IX = X となる行列のことです
でいえば “1”（単位元）にあたります。単位行
分）がすべて 1，他はすべて 0 になります。例
積 XA に右から A−1 をかけると XAA−1 = X
きます。例えば，(11) 式は，逆行列を使うと

71. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
逆行列
行列には割り算はない
となるA-1を，Aの逆行列という
のかけ算」を説明しましたが，行列には「割り
は，AA−1 = A−1A = I となる行列のことで
しても XI = IX = X となる行列のことです
でいえば “1”（単位元）にあたります。単位行
分）がすべて 1，他はすべて 0 になります。例
積 XA に右から A−1 をかけると XAA−1 = X
きます。例えば，(11) 式は，逆行列を使うと
単位行列
（かけ算をしても
何もおこらない）

72. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
逆行列
行列には割り算はない
となるA-1を，Aの逆行列という
のかけ算」を説明しましたが，行列には「割り
は，AA−1 = A−1A = I となる行列のことで
しても XI = IX = X となる行列のことです
でいえば “1”（単位元）にあたります。単位行
分）がすべて 1，他はすべて 0 になります。例
積 XA に右から A−1 をかけると XAA−1 = X
きます。例えば，(11) 式は，逆行列を使うと
単位行列
（かけ算をしても
何もおこらない）
行列と行列のかけ算」を説明しましたが，行列には「割り算」はありません。そ
行列です。
の逆行列 A−1 は，AA−1 = A−1A = I となる行列のことです。ここで，I は「単位
行列 X に対しても XI = IX = X となる行列のことです。つまり「かけても何も
数のかけ算でいえば “1”（単位元）にあたります。単位行列の中身は，左上から右
数（対角成分）がすべて 1，他はすべて 0 になります。例えば
1 0
0 1
は単位
ら，行列の積 XA に右から A−1 をかけると XAA−1 = X となり，あたかも「A
な計算ができます。例えば，(11) 式は，逆行列を使うと
P−1
SP = Λ
す。
A が直交行列のときは，その逆行列 A−1 は転置行列 A′ と同じであることが知ら
交変換で考えると，「直交行列による変換」はベクトルの回転に相当しますから，
は，逆回りの回転に相当することになります。

73. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
逆行列
行列には割り算はない
となるA-1を，Aの逆行列という
のかけ算」を説明しましたが，行列には「割り
は，AA−1 = A−1A = I となる行列のことで
しても XI = IX = X となる行列のことです
でいえば “1”（単位元）にあたります。単位行
分）がすべて 1，他はすべて 0 になります。例
積 XA に右から A−1 をかけると XAA−1 = X
きます。例えば，(11) 式は，逆行列を使うと
単位行列
（かけ算をしても
何もおこらない）
行列と行列のかけ算」を説明しましたが，行列には「割り算」はありません。そ
行列です。
の逆行列 A−1 は，AA−1 = A−1A = I となる行列のことです。ここで，I は「単位
行列 X に対しても XI = IX = X となる行列のことです。つまり「かけても何も
数のかけ算でいえば “1”（単位元）にあたります。単位行列の中身は，左上から右
数（対角成分）がすべて 1，他はすべて 0 になります。例えば
1 0
0 1
は単位
ら，行列の積 XA に右から A−1 をかけると XAA−1 = X となり，あたかも「A
な計算ができます。例えば，(11) 式は，逆行列を使うと
P−1
SP = Λ
す。
A が直交行列のときは，その逆行列 A−1 は転置行列 A′ と同じであることが知ら
交変換で考えると，「直交行列による変換」はベクトルの回転に相当しますから，
は，逆回りの回転に相当することになります。
数の場合は
行列の場合は
トル」の考え方の基本を，高校で習っていない人向けに手
では，「画素が２つしかない画像」を考えて，その画素値 x1
a ×
1
a
（逆元）= 1（単位元）
AA−1
（逆行列）= I（単位行列）
話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方では，次の
z = a1 a2
x1
x2
備・「行列」に慣れていない人のために
トル」の考え方の基本を，高校で習っていない人向けに手
では，「画素が２つしかない画像」を考えて，その画素値 x
a ×
1
a
（逆元）= 1（単位元）
AA−1
（逆行列）= I（単位行列）
話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方では，次の
z = a1 a2
x1

74. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
逆行列
行列には割り算はない
となるA-1を，Aの逆行列という
のかけ算」を説明しましたが，行列には「割り
は，AA−1 = A−1A = I となる行列のことで
しても XI = IX = X となる行列のことです
でいえば “1”（単位元）にあたります。単位行
分）がすべて 1，他はすべて 0 になります。例
積 XA に右から A−1 をかけると XAA−1 = X
きます。例えば，(11) 式は，逆行列を使うと
単位行列
（かけ算をしても
何もおこらない）
行列と行列のかけ算」を説明しましたが，行列には「割り算」はありません。そ
行列です。
の逆行列 A−1 は，AA−1 = A−1A = I となる行列のことです。ここで，I は「単位
行列 X に対しても XI = IX = X となる行列のことです。つまり「かけても何も
数のかけ算でいえば “1”（単位元）にあたります。単位行列の中身は，左上から右
数（対角成分）がすべて 1，他はすべて 0 になります。例えば
1 0
0 1
は単位
ら，行列の積 XA に右から A−1 をかけると XAA−1 = X となり，あたかも「A
な計算ができます。例えば，(11) 式は，逆行列を使うと
P−1
SP = Λ
す。
A が直交行列のときは，その逆行列 A−1 は転置行列 A′ と同じであることが知ら
交変換で考えると，「直交行列による変換」はベクトルの回転に相当しますから，
は，逆回りの回転に相当することになります。
直交行列の逆行列は，転置行列と同じ
（逆方向の回転）
数の場合は
行列の場合は
トル」の考え方の基本を，高校で習っていない人向けに手
では，「画素が２つしかない画像」を考えて，その画素値 x1
a ×
1
a
（逆元）= 1（単位元）
AA−1
（逆行列）= I（単位行列）
話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方では，次の
z = a1 a2
x1
x2
備・「行列」に慣れていない人のために
トル」の考え方の基本を，高校で習っていない人向けに手
では，「画素が２つしかない画像」を考えて，その画素値 x
a ×
1
a
（逆元）= 1（単位元）
AA−1
（逆行列）= I（単位行列）
話が出てきます。これを，「ベクトル」の書き方では，次の
z = a1 a2
x1

75. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
第２部の本題へ
第２部は画像データ圧縮

76. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
第２部の本題へ
第２部は画像データ圧縮
画像を，各画像で大きく異なる部分と
どの画像でもあまりかわらない部分にわける

77. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
第２部の本題へ
第２部は画像データ圧縮
画像を，各画像で大きく異なる部分と
どの画像でもあまりかわらない部分にわける
どの画像でもあまり変わらない部分

78. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
第２部の本題へ
第２部は画像データ圧縮
画像を，各画像で大きく異なる部分と
どの画像でもあまりかわらない部分にわける
どの画像でもあまり変わらない部分
なんて，ある？

79. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
第２部の本題へ
第２部は画像データ圧縮
画像を，各画像で大きく異なる部分と
どの画像でもあまりかわらない部分にわける
どの画像でもあまり変わらない部分
なんて，ある？
直交変換すると，
「大まかな部分」「細かい部分」
が別になるように組み替えられる

80. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
第２部の本題へ
第２部は画像データ圧縮
画像を，各画像で大きく異なる部分と
どの画像でもあまりかわらない部分にわける
どの画像でもあまりかわらない部分は，ごまかす
どの画像でもあまり変わらない部分
なんて，ある？
直交変換すると，
「大まかな部分」「細かい部分」
が別になるように組み替えられる

81. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
第２部の本題へ
第２部は画像データ圧縮
画像を，各画像で大きく異なる部分と
どの画像でもあまりかわらない部分にわける
どの画像でもあまりかわらない部分は，ごまかす
フーリエ変換も，行列で表すと直交変換の一種
どの画像でもあまり変わらない部分
なんて，ある？
直交変換すると，
「大まかな部分」「細かい部分」
が別になるように組み替えられる