1. Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Examenul de bacalaureat 2012
Proba E.c)
Proba scrisă la MATEMATICĂ
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea punctajului obţinut la 10.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. x 2 + mx + 4 = 0 are soluţia x = 2 ⇒ m = −4 3p
Pentru m = −4 cele două mulţimi sunt egale 2p
2. b 3
xV = − = 2p
2a 2
∆ =1 1p
∆ 1
yV = − =− 2p
4a 4
3. Condiţie: x > 0 2p
3 < 3 ⇔ x <1
log3 x 0 2p
x ∈ (0,1) 1p
4. nr.cazuri favorabile
p= 1p
nr.cazuri posibile
ab cu a, b ∈ {1,3,5,7,9} sunt 25 de numere ⇒ 25 de cazuri favorabile 2p
ab cu a ∈ {1, 2,3,...,9} şi b ∈ {0,1, 2,3,...,9} sunt 90 de numere ⇒ 90 de cazuri posibile 1p
5 1p
p=
18
5. 3 a 2p
=
a 2a − 3 2p
a 2 − 6a + 9 = 0
a=3 1p
6. S ABC = 12 2p
abc
R=
4S 2p
25
R=
8 1p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)  −1 0 0 
A (π ) =  0 1 0 
  3p
 0 0 −1 
 
det ( A ( π ) ) = 1 2p
Probă scrisă la Matematică Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
1

2. Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
b)  cos x cos y − sin x sin y 0 i ( cos x sin y + sin x cos y ) 
 
A( x ) ⋅ A( y ) =  0 1 0  , pentru orice x, y ∈ ℝ 3p
 i ( cos x sin y + sin x cos y ) 0 cos x cos y − sin x sin y  

 cos ( x + y ) 0 i sin ( x + y ) 
  1p
A( x + y ) =  0 1 0  , pentru orice x, y ∈ ℝ
 i sin ( x + y ) 0 cos ( x + y ) 
 
Finalizare 1p
c) A2012 ( x ) = A ( 2012 x ) 2p
A ( 2012 x ) = I3 ⇔ cos ( 2012 x ) = 1 şi sin ( 2012 x ) = 0 1p
kπ
x= , k ∈ℤ 2p
1006
2.a) 1
x⋅ 2p
1 2
x = = x , pentru orice x ∈ G
2 2x ⋅ 1 − x − 1 + 1
2 2
1
⋅x 2p
1 2
x= = x , pentru orice x ∈ G
2 1 1
2⋅ ⋅ x − − x +1
2 2 1p
Finalizare
b) xx ' x'x
x x' = = = x ' x , pentru orice x, x ' ∈ G 1p
2 xx '− x − x '+ 1 2 x ' x − x '− x + 1
1 3p
x x' = ⇒ x' =1− x
2
x ' ∈ (0,1) 1p
c) f este bijectivă 2p
1 ( x − 1)( y − 1) , pentru orice x, y ∈ G
f ( x y) = −1 = 2p
x y xy
 1   1  ( x − 1)( y − 1)
f ( x ) f ( y ) =  − 1   − 1 = , pentru orice x, y ∈ G 1p
 x  y  xy
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) x 2x 2
lim = lim x = lim x − x = 3p
x →+∞ f ( x ) x→+∞ e + e −x x →+∞ e − e
=0 2p
b) e x − e− x
f '( x ) = , pentru orice x ∈ ℝ 1p
2
e x + e− x
f '' ( x ) = , pentru orice x ∈ ℝ 2p
2
f '' ( x ) > 0 , pentru orice x real , deci f este convexă 2p
c) e x
+ e− x
e x
− e− x
g ( x) = ⇒ g '( x ) = , pentru orice x > 0 2p
2 4 x
x > 0 ⇒ x > 0 ⇒ e x > e− x 2p
g ' ( x ) > 0 ⇒ g este strict crescătoare pe ( 0, +∞ ) 1p
Probă scrisă la Matematică Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
2

3. Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
2.a) π
2
J1 = ∫ sin tdt 1p
0
π
J1 = − cos t 2 2p
0
J1 = 1 2p
b) 1
I1 = ∫ x 1 − x 2 dx 1p
0
1
( )
1 3
I1 = − 1 − x2 3p
3 0
1
I1 = 1p
3
c) π
2
J 2n − J 2n+ 2 = ∫ sin 2 n x cos 2 xdx 2p
0
1
Cu schimbarea de variabilă sin x = t obţinem J 2n − J 2n+ 2 = ∫ t 2n ⋅ 1 − t 2 dt = I 2n
3p
0
Probă scrisă la Matematică Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
3