1. Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Examenul de bacalaureat 2012
Proba E.c)
Proba scrisă la MATEMATICĂ
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţele naturii
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
I.FELADAT (30 pont)
5p 1. Egy ( an ) számtani haladványban adottak a4 = 7 és a9 = 22 . Számítsd ki az a14 -értékét.
n ≥1
5p 2. Határozd meg az f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x − 3 és g : ℝ → ℝ , g ( x ) = 5 − x függvények metszéspontjának
koordinátáit.
1
5p 3. Oldd meg a valós számok halmazán a következő egyenletet 23− x = .
4
4. Határozd meg hány olyan háromjegyű szám képezhető az M = {0,1, 2,3} halmaz elemeivel, amelyben a
5p
számjegyek különbözőek?.
5p 5. Egy xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak a következő pontok A (1, 2 ) és B ( 3,0 ) . Határozd
meg az A pontnak B pont szerinti szimmetrikusát.
5p 6. Számítsd ki az ABC háromszög BC oldalának hosszát, ha tudjuk, hogy AB = 6 , AC = 5 és
m ( ∢BAC ) = 60 .
II.FELADAT (30 pont)
 x + y − 2z = 0

1. Adott a következő egyenletrendszer  x − y + z = 1 , ahol a ∈ ℝ .
 x + y + az = 2

5p a) Számítsd ki az egyenletrendszer mátrixának determinánsát.
5p b) Határozd meg az a valós szám azon értékeit, amelyekre az egyenletrendszer mátrixa invertálható.
5p c) Oldd meg az egyenletrendszert ha a = 0 .
2. A valós számok halmazán értelmezzük a következő asszociatív műveletet x ∗ y = x + y − 1 .
5p a) Igazold, hogy x ∗ 1 = x , bármely x ∈ ℝ .
5p b) Oldd meg az x ∗ x ∗ x = 4 egyenletet a valós számok halmazán.
5p c) Határozd meg azt az n, n ≥ 2 természetes számot, amelyre C1 ∗ Cn = 14 .
n
2
III.FELADAT (30 pont)
x +1
1. Adott a következő függvény f : ( 0, +∞ ) → ℝ, f ( x) = x .
e
f '( x ) x
5p a) Igazold, hogy =− bármely x ∈ ( 0, +∞ ) esetén.
f ( x) x +1
5p b) Igazold, hogy az f függvény monoton csökkenő az ( 0,+∞ ) halmazon.
e2 x ⋅ f 2 ( x )
c) Határozd meg a g : ( 0, +∞ ) → ℝ , g ( x ) = függvény grafikus képéhez húzott ferde aszimptota
5p x
egyenletét.
2. Adott az f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2012 + x 2011 + x 2 + x függvény.
5p a) Határozd meg az f függvény F : ℝ → ℝ primitív függvényét,ha tudjuk, hogy F ( 0 ) = 1 .
1
f ( x)
5p b) Számítsd ki ∫ x + 1 dx értékét.
0
5p c) Számítsd ki g : [1, 2] → ℝ, g ( x ) = f ( x ) − x 2012 − x 2011 függvény grafikonjának Ox tengely körüli
forgatásából származó test térfogatát.
Probă scrisă la Matematică Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţele naturii
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale