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Taller transformaciones lineales Grupo 6
- 1. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS Algebra Lineal Taller Nro. 3 Tema: Transformaciones lineales Definición y propiedades Nombre: 1.- Cahuatijo Wiliam 2.- Idrovo Axell 3.- Simba Damián NRC: 4261 ALGEBRA LINEAL Dra. Lucía Castro Mgs. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE Fecha: Jueves 4 de marzo 2021 Período: Noviembre 2020 Abril 2021 Grupo: 6
- 2. ALGEBRA LINEAL Dra. Lucía Castro Mgs. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE Índice Objetivo ------------------------------------------------------------- 3 Ejercicio 1 ------------------------------------------------------------- 4 Ejercicio 2 ------------------------------------------------------------- 5 Ejercicio 3 ------------------------------------------------------------- 6 Ejercicio 6 ------------------------------------------------------------- 7 Ejercicio 7 ------------------------------------------------------------- 9 Conclusiones ------------------------------------------------------------- 13 Bibliografía ------------------------------------------------------------- 14
- 3. ALGEBRA LINEAL Dra. Lucía Castro Mgs. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE Objetivo 1. Conocer las funciones que preservan estructuras algebraicas de espacios vectoriales: las transformaciones lineales o aplicaciones lineales, que son gran utilidad en la práctica. 2. Identificar las principales propiedades de transformaciones lineales aplicando los métodos estudiados a diferentes problemas de contexto oral. 3. Entender el álgebra y su representación por medio de matrices de las transformaciones lineales.
- 4. ALGEBRA LINEAL Dra. Lucía Castro Mgs. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE EJERCICIO 1. 1.- 𝐗 𝐘 = T 𝐗 − 𝐘 𝐗 + 𝐘 ¥ U, V € 𝐑𝟐 ; ∞, β € R T (∞ (U) + β (V)) = ∞ T (U) + β T (V) U= 𝐗𝟏 𝐘𝟏 ; V= 𝐗𝟐 𝐘𝟐 T (∞ (U)+ β (V)) = T ∞ 𝐗𝟏 𝐘𝟏 + 𝛃 𝐗𝟐 𝐘𝟐 = 𝐓 ∞𝐗𝟏 + 𝛃𝐗𝟐 − ∞𝐘𝟏 − 𝛃𝐘𝟐 ∞𝐗𝟏 + 𝛃𝐗𝟐 + ∞𝐘𝟏 + 𝛃𝐘𝟐 = ∞ 𝐗𝟏 − 𝐘𝟏 𝐗𝟏 + 𝐘𝟏 + 𝛃 𝐗𝟐 − 𝐘𝟐 𝐗𝟐 + 𝐘𝟐 SI ES UNA TRANSFORMACION LINEAL
- 5. ALGEBRA LINEAL Dra. Lucía Castro Mgs. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE 𝟐. − 𝒙 𝒚 𝒛 = 𝒙 𝒚 𝒛𝟐 ¥ U, V, W € 𝐑𝟑 ; ∞, β, θ € R T (∞ (U) + β (V) + θ (W)) = ∞ T (U) + β T (V) + θ T (V) U = 𝑿𝟏 𝒀𝟏 𝒁𝟏 , V = 𝑿𝟐 𝒀𝟐 𝒁𝟐 , Z = 𝑿𝟑 𝒀𝟑 𝒁𝟑 T (∞ (U) + β (V) + θ (W)) = T ∞𝐗𝟏 + 𝛃𝐗𝟐 + 𝛉𝐗𝟑 ∞𝒀𝟏 + 𝛃𝐘𝟐 + 𝛉𝐘𝟑 ∞𝒁𝟏 + 𝛃𝐙𝟐 + 𝛉𝐘𝟑 = ∞ 𝑿𝟏 𝒀𝟏 𝒁𝟏 + β 𝑿𝟐 𝒀𝟐 𝒁𝟐 + θ 𝑿𝟑 𝒀𝟑 𝒁𝟑 SI ES UNA TRANSFORMACION LINEAL EJERCICIO 2.
- 6. ALGEBRA LINEAL Dra. Lucía Castro Mgs. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE 𝟑. − 𝑿 𝒀 𝒁 = 𝑿 + 𝟐𝒀 + 𝟑𝒁 𝟑𝑿 − 𝒀 + 𝟓𝒁 𝑿 − 𝒀 − 𝒁 ¥ U, V, W € 𝐑𝟑 ; ∞, β, θ € R T (∞ (U) + β (V) + θ (W)) = ∞ T (U) + β T (V) + θ T (V) U = 𝑿𝟏 𝒀𝟏 𝒁𝟏 , V = 𝑿𝟐 𝒀𝟐 𝒁𝟐 , Z = 𝑿𝟑 𝒀𝟑 𝒁𝟑 T (∞ (U) + β (V) + θ (W)) = T ∞𝐗𝟏 + 𝛃𝐗𝟐 + 𝛉𝐗𝟑 ∞𝒀𝟏 + 𝛃𝐘𝟐 + 𝛉𝐘𝟑 ∞𝒁𝟏 + 𝛃𝐙𝟐 + 𝛉𝐘𝟑 = 𝐱𝟏 + 𝐱𝟏 + 𝐱𝟑 + 𝟐(𝐲𝟏 + 𝐲𝟐 + 𝐲𝟑 − 𝟑(𝐳𝟏 + 𝐳𝟐 + 𝐳𝟑) 𝟑 𝐱𝟏 + 𝐱𝟏 + 𝐱𝟑 − (𝐲𝟏 + 𝐲𝟐 + 𝐲𝟑) − 𝟓(𝐳𝟏 + 𝐳𝟐 + 𝐳𝟑) 𝐱𝟏 + 𝐱𝟏 + 𝐱𝟑 − (𝐲𝟏 + 𝐲𝟐 + 𝐲𝟑) − (𝐳𝟏 + 𝐳𝟐 + 𝐳𝟑) = ∞ 𝐗𝟏 + 𝟐𝐘𝟏 + −𝟑𝐙𝟏 𝟑𝑿𝟏 + 𝐘𝟏 + 𝟓𝐙𝟏 𝑿𝟏 − 𝒀𝟏 + 𝐙𝟏 + β 𝐗𝟐 + 𝟐𝐘𝟐 + −𝟑𝐙𝟐 𝟑𝑿𝟐 + 𝐘𝟐 + 𝟓𝐙𝟐 𝑿𝟐 − 𝒀𝟐 + 𝐙𝟐 + θ 𝐗𝟑 + 𝟐𝐘𝟑 + −𝟑𝐙𝟑 𝟑𝑿𝟑 + 𝐘𝟑 + 𝟓𝐙𝟑 𝑿𝟑 − 𝒀𝟑 + 𝐙𝟑 SI ES UNA TRANSFORMACION LINEAL EJERCICIO 3
- 7. ALGEBRA LINEAL Dra. Lucía Castro Mgs. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE 6.- Sea f una trasformación lineal de 𝑹𝟑en 𝑹𝟑 suponga que f(1,0,1)=(1,-1,3) y f(2,1,0)=(0,2,1) determine f(-1,-2,3) 𝐱 𝐲 𝐳 = 𝛂 𝟏 𝟎 𝟏 + 𝛃 𝟐 𝟏 𝟎 𝐓 𝛂 𝐮 + 𝛃 𝐯 = ∝ 𝐓 𝐮 + 𝛃𝐓 𝐯 ∝ +𝟐𝛃 = 𝐗 𝛃 = 𝐘 ∝= 𝐙 𝐓 𝐱 𝐲 𝐳 = 𝐓 𝛂 𝟏 𝟎 𝟏 + 𝛃 𝟐 𝟏 𝟎 = 𝛂 𝟏 𝟎 𝟏 + 𝛃 𝟐 𝟏 𝟎 𝐓 𝐱 𝐲 𝐳 = 𝐙 𝟏 −𝟏 𝟑 + 𝐘 𝟎 𝟐 𝟏 Parte 1 EJERCICIO 6.
- 8. ALGEBRA LINEAL Dra. Lucía Castro Mgs. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE 𝐗 = 𝐙 𝐘 = −𝐙 + 𝟐𝐘 𝐙 = 𝟑𝐙 + 𝐘 𝐓 𝐱 𝐲 𝐳 = 𝐙 −𝐙 + 𝟐𝐘 𝟑𝐙 + 𝐘 −𝟏 −𝟐 𝟑 = 𝐙 −𝐙 + 𝟐𝐘 𝟑𝐙 + 𝐘 𝟑 −𝟑 + 𝟐 −𝟐 𝟑 𝟑 + −𝟐 −𝟏 −𝟐 𝟑 = 𝟑 −𝟕 𝟕 Parte 2
- 9. ALGEBRA LINEAL Dra. Lucía Castro Mgs. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE F= 𝑹𝟑 - P2 𝒙 𝒚 𝒛 = 𝛂 𝟏 𝟏 𝟏 + 𝛃 𝟐 𝟎 𝟎 + θ 𝟎 𝟒 𝟓 T (𝛂 (U) + β (V) + θ (W)) = 𝛂 T (U) + β T (V) + θ T (V) 𝛂 + 𝟐 𝛃 = 𝐗 𝛂 𝟒𝛉 = 𝐘 𝛂 𝟓𝛉 = 𝐙 𝟏 𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 𝟒 𝟏 𝟎 𝟓 𝑿 𝒀 𝒁 F2-F1:F2; F3 – F1: F3 𝟏 𝟐 𝟎 𝟎 −𝟐 𝟒 𝟎 −𝟐 𝟓 𝑿 𝒀 − 𝑿 𝒁 − 𝑿 F3-F2:F3 7.- Sea f una transformación lineal de 𝑹𝟑 en P2 tal que f ((1, 1, 1)) = 1 – 2t + 𝒕𝟐, f ((2, 0, 0)) = 3 + t-𝒕𝟐, f ((0, 4, 5)) = 2 + 3t + 3𝒕𝟐; Determine f ((2, -3, 1)). EJERCICIO 7.
- 10. ALGEBRA LINEAL Dra. Lucía Castro Mgs. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE 𝟏 𝟐 𝟎 𝟎 −𝟐 𝟒 𝟎 𝑶 𝟏 𝑿 𝒀 − 𝑿 𝒁 − 𝑿 θ = Z - Y -2 β + 4 θ = Y – X 𝛂 + 2 β = X -2 β + 4Z - 4Y= Y – X 𝛂 + 2 𝑿−𝟓𝒀+𝟒𝒁 𝟐 = X -2 β = - X + 5Y – 4X 𝛂 + X – 5Y+ 4Z=X Β = 𝑿−𝟓𝒀+𝟒𝒁 𝟐 𝛂 = 5Y – 4Z T 𝒙 𝒚 𝒛 = T (𝛂 (U) + β (V) + θ (W)) = 𝛂 T (U) + β T (V) + θ T (V) T 𝒙 𝒚 𝒛 = 5y – 2z 𝟏 −𝟐 𝟏 + 𝒙−𝟓𝒚+𝟒𝒛 𝟐 𝟑 𝟏 −𝟏 + z – y 𝟐 𝟑 𝟑
- 11. ALGEBRA LINEAL Dra. Lucía Castro Mgs. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE T 𝒙 𝒚 𝒛 = 𝟓𝒚 − 𝟐𝒛 + 𝟑𝒙−𝟏𝟓𝒚+𝟏𝟐𝒛 𝟐 + 𝟐𝒛 − 𝟐𝒚 −𝟏𝟎𝒚 + 𝟐𝒛 + 𝒙−𝟓𝒚+𝟒𝒛 𝟐 + 𝟑𝒛 − 𝟑𝒚 𝟓𝒚 − 𝟐𝒛 − 𝒙−𝟓𝒚+𝟒𝒛 𝟐 + 𝟑𝒛 − 𝟑𝒚 T 𝒙 𝒚 𝒛 = 𝟑𝒙−𝟗𝒚+𝟏𝟐𝒛 𝟐 𝒙−𝟑𝟏𝒚+𝟏𝟒𝒛 𝟐 −𝒙+𝟗𝒚−𝟐𝒛 𝟐 T 𝒙 𝒚 𝒛 = 𝟏 𝟐 𝟑𝒙 − 𝟗𝒚 + 𝟏𝟐𝒛 𝒙 − 𝟑𝟏𝒚 + 𝟏𝟒𝒛 −𝒙 + 𝟗𝒚 − 𝟐𝒛
- 12. ALGEBRA LINEAL Dra. Lucía Castro Mgs. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE 𝐃𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐞 𝐟 𝟐, −𝟑, 𝟏 𝐓 𝐱 𝐲 𝐳 = 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 − 𝟗 −𝟑 + 𝟖 𝟏 𝟐 − 𝟑𝟏 −𝟑 + 𝟐𝟔 𝟏 −𝟐 + 𝟗 −𝟑 − 𝟔 𝟏 𝐓 𝐱 𝐲 𝐳 = 𝟏 𝟐 𝟑 + 𝟐𝟕 + 𝟖 𝟐 + 𝟗𝟑 + 𝟐𝟔 −𝟐 − 𝟐𝟕 − 𝟔
- 13. ALGEBRA LINEAL Dra. Lucía Castro Mgs. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE CONCLUSIONES 1.- Una transformación lineal es una función que tiene como dominio un espacio vectorial, y como contra dominio también un espacio vectorial, y que además conserva las propiedades de linealidad de dichos espacios. 2.- Una trasformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. 3.- Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias.
- 14. ALGEBRA LINEAL Dra. Lucía Castro Mgs. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE Bibliografía Mgs, D. L. (04 de 03 de 2021). Sistema Virtual de Educación. Obtenido de Sistema Virtual de Educación: https://drive.google.com/file/d/1IvXlkWOQPwn6_1wuXPEJ0s4IJ- _m2w-v/view UTN.BA. (04 de 03 de 2021). UTN.BA. Obtenido de UTN.BA: https://aga.frba.utn.edu.ar/blog/2016/11/08/definicion-y- propiedades-de-las-transformaciones-lineales/