TRANSFORMACIONES LINEALES Y EJERCICIOS

1. • PARCIAL III
TALLER N° 1
TEMA.-
 TRANSFORMACIONES
LINEALES
 DEPARTAMENTO DE
CIENCIAS EXCATAS
ALGEBRA LINEAL

2. INTEGRANTES .-
GALARZA PILAGUANO ROSA LISBETH.
GUANOLUISA GUALOTUÑA RICHARD
IVAN.
QUINATOA ZAPATA WILSON PAUL.
NRC.-
4261
FECHA: 4/03/2021
PERIODO: NOVIEMBRE 2020_ABRIL
2021

3.  INDICE
 Objetivos…………………………...…...……….4
 Desarrollo…………….………………………….5
 Ejercicio 1.1………………………………….5
 Ejercicio 2.2………………………………...6
 Ejercicio 3.3…………………………………7
 Ejercicio 4.4…………………………………9
 Ejercicio 5.5………………………………..11

4.  OBJETIVOS.-
 Aprender sobre las definiciones de transformación
lineal y conocer los conceptos fundamentales, tales
como núcleo e imagen de una transformación lineal
otro de los aspectos importantes es saber sobre su
utilidad la cuál es muy importante dentro de las
matemáticas, geometría, análisis, etc.

5.  DESARROLLO
 EJERCICIO 1.1
 1.1 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟑 (𝒙 − 𝒚, 𝒙 + 𝒚)

 𝑻 = ℝ𝟐
→ ℝ𝟐

 𝑢 = 𝑥1
𝑦1
𝑣 = 𝑥2
𝑦2
 𝑇 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 =
𝛼𝑥1 𝛽𝑥2
𝛼𝑦1 𝛽𝑦2
 =
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2 − 𝛼𝑦1 − 𝛽𝑦2
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2 + 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2
 = 3
(𝛼𝑥1+𝛽𝑥2 − 𝛼𝑦1 − 𝛽𝑦2)
(𝛼𝑥1+𝛽𝑥2 + 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2)
 =
3𝛼𝑥1 + 3𝛽𝑥2 − 3𝛼𝑦1 − 3𝛽𝑦2
3𝛼𝑥1 + 3𝛽𝑥2 + 3𝛼𝑦1 + 3𝛽𝑦2
 =
3𝛼(𝑥1−𝑦1) + 3𝛽(𝑥2 − 𝑦2)
3𝛼(𝑥1 + 𝑦1) + 3𝛽(𝑥2 + 𝑦2)
 = 3𝛼 𝑥1−𝑦1
𝑥1+𝑦1
+ 3𝛽 𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
 𝑺𝒊 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒆 𝒖𝒏 𝑻. 𝑳

6.  DESARROLLO
 EJERCICIO 2.2.-
 2.2 𝒇 𝒙, 𝒚 = (𝒙, 𝒚, 𝒛𝟐
)
 𝑻 = ℝ𝟐
→ ℝ𝟐

 𝑢 =
𝑥1
𝑦1
𝑧1
𝑣 =
𝑥2
𝑦2
𝑧2
 𝑇 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 =
𝛼𝑥1 𝛽𝑥2
𝛼𝑦1 𝛽𝑦2
𝛼𝑧1 𝛽𝑧2
 =
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑧2
 =
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2
(𝛼𝑥1 + 𝛽𝑧2)2
 =
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2
(𝛼𝑧1)2
+2 𝛼𝑧1 𝛽𝑧2 + (𝛽𝑧2)2
 = 𝛼
𝑥1
𝑦1
𝑧1
+ 𝛼𝛽
𝑧1
𝑧2
𝛽
𝑥2
𝑦2
𝑧2
 𝑵𝒐 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝑻. 𝑳

7.  DESARROLLO
 EJERCICIO 3.3
 3.3 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛, 𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟓𝒛, 𝒙 − 𝒚 − 𝒛
 𝑇 =
𝑥1
𝑦1
𝑧1
+
𝑥2
𝑦2
𝑧2
 𝑢 =
𝑥1
𝑦1
𝑧1
𝑣 =
𝑥2
𝑦2
𝑧2
 𝑇 =
𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2
𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2
𝛼𝑧1 + 𝛽𝑧2
 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛
 (𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2 + 2 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2 − 3(𝛼𝑧1 + 𝛽𝑧2)
 (𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2 + 2𝛼𝑦1 + 2𝛽𝑦2 − 3𝛼𝑧1 − 3𝛽𝑧2
 𝛼 𝑥1 + 2𝑦1 − 3𝑧1 + 𝛽 𝑥2 + 2𝑦2 − 3𝑧2
 𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟓𝒛
 3 𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2 − 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2 + 5 𝛼𝑧1 + 𝛽𝑧2
 3 𝛼𝑥1 + 3𝛽𝑥2 − 𝛼𝑦1 − 𝛽𝑦2 + 5𝛼𝑧1 + 5𝛽𝑧2
 𝛼 3 𝑥1 − 𝑦1 + 5𝑧1 + 𝛽(3𝑥2 − 𝑦2 + 5𝑧2)

8. EJERCICIO 3.3
 𝒙 − 𝒚 − 𝒛
 𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2 − 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2 − 𝛼𝑧1 + 𝛽𝑧2
 𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2 − 𝛼𝑦1 − 𝛽𝑦2 − 𝛼𝑧1 − 𝛽𝑧2
 𝛼 𝑥1 − 𝑦1 − 𝑧1 + 𝛽 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2

 𝛼 𝑥1 + 2𝑦1 − 3𝑧1 + 𝛽 𝑥2 + 2𝑦2 − 3𝑧2
 𝛼 3 𝑥1 − 𝑦1 + 5𝑧1 + 𝛽(3𝑥2 − 𝑦2 + 5𝑧2)
 𝛼 𝑥1 − 𝑦1 − 𝑧1 + 𝛽 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2

 𝛼
𝑥1 + 2𝑦1 − 3𝑧1
3 𝑥1 − 𝑦1 + 5𝑧1
𝑥1 − 𝑦1 − 𝑧1
+ 𝛽
𝑥2 + 2𝑦2 − 3𝑧2
3𝑥2 − 𝑦2 + 5𝑧2
𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2
 𝑆𝑖 𝑒𝑠 𝑇. 𝐿.

9.  Ejercicio 4.4
 4.4 Sea f una transformación lineal de ℝ𝟑
→ ℝ𝟑
, suponga que
𝒇 𝟏, 𝟎, 𝟏 = 𝟏, −𝟏, 𝟑 𝒚 𝒇 𝟐, 𝟏, 𝟎 =
𝟎, 𝟐, 𝟏 ; 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒇 −𝟏, −𝟐, 𝟑

 𝑇
1
0
1
=
1
−1
3
; 𝑇
2
1
0
=
0
2
1

𝑥
𝑦
𝑧
= 𝛼
1
0
1
+ 𝛽
2
1
0
 𝑇(𝛼𝑢 + 𝛽𝑣) = 𝛼𝑇(𝑢) + 𝛽𝑇(𝑣)
 𝑥 = 𝛼 + 2𝛽 𝑦 = 𝛽 𝑧 = 𝛼
 𝛼 = 𝑥 − 2𝑦
 𝛽 =
𝑥 − 𝑧
2

10.  Ejercicio 4.4
 𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
= 𝑇 𝛼
1
0
1
+ 𝛽
2
1
0
= 𝛼𝑇
1
0
1
+ 𝛽𝑇
2
1
0
 𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
𝑥 − 𝑧
2
1
0
1
+ 𝑥 − 2𝑦
2
1
0
 𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
5𝑥 − 8𝑦 − 𝑧
2
𝑥 − 2𝑦
𝑥 − 𝑧
2
 𝑇
−1
−2
3
=
5𝑥 − 8𝑦 − 𝑧
2
𝑥 − 2𝑦
𝑥 − 𝑧
2
 𝑇
−1
−2
3
=
5(−1) − 8(−2) − (3)
2
(−1) − 2(−2)
(−1) − (3)
2
𝑇
−1
−2
3
==
4
3
−2

11.  EJERCICIO 5.5
• Sea 𝒇 𝒖𝒏𝒂 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 𝒅𝒆 ℝ𝟑
𝒆𝒏 𝑷𝟐 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒇((𝟏, 𝟏, 𝟏)) = 𝟏 – 𝟐𝒕 + 𝒕𝟐
,
𝒇((𝟐, 𝟎, 𝟎)) = 𝟑 + 𝒕 – 𝒕𝟐, 𝒇((𝟎, 𝟒, 𝟓)) = 𝟐 + 𝟑𝒕 +
𝟑𝒕𝟐; 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒇((𝟐, −𝟑, 𝟏)).
 𝑇: ℝ3 → 𝑃2
 𝑇𝑢
1
1
1
=
1
−2
1
𝑇𝑣
2
0
0
=
3
1
−1
𝑇𝑤
0
4
5
=
2
3
3

𝑥
𝑦
𝑧
= 𝛼
1
1
1
+ 𝛽
2
0
0
+ 𝛿
0
4
5
 𝛼 + 2𝛽 = 𝑥
 𝛼 + 4𝛿 = 𝑦
 𝛼 + 5𝛿 = 𝑧

12.  Ejercicio 5.5
 𝐴 =
1
1
1
2 0
0 4
0 5
𝑥
𝑦
𝑧
𝐹2−𝐹1→ 𝐹2 𝑦 𝐹3−𝐹1→ 𝐹3
 𝐴 =
1
0
0
2 0
−2 4
−2 5
𝑥
𝑦 − 𝑥
𝑧 − 𝑥
𝐹3−𝐹2→ 𝐹3
 𝐴 =
1
0
0
2 0
−2 4
0 1
𝑥
𝑦 − 𝑥
𝑧 − 𝑦
 𝛿 = 𝑧 − 𝑦
 −2𝛽 + 4𝛿 = 𝑦 − 𝑥
 −2𝛽 = 𝑦 − 𝑥 − 4(𝑧 − 𝑦)
 −2𝛽 = 𝑦 − 𝑥 − 4𝑧 + 4𝑦
 𝛽 =
𝑥−5𝑦+4𝑧
2
 𝛼 + 2𝛽 = 𝑥 𝛼 = 𝑥 − 2
𝑥−5𝑦+4𝑧
2
 𝛼 + 2𝛽 = 𝑥 𝛼 = 𝑥 − 2
𝑥−5𝑦+4𝑧
2

13.  Ejercicio 5.5
 𝛼 = 5𝑦 − 4𝑧
 𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
= 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 + 𝛿𝑤 = 𝛼𝑇 𝑢 + 𝛽𝑇 𝑣 + 𝛿𝑇 𝑤
 𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
= 5𝑦 − 4𝑧 𝑇 𝑢 +
𝑥−5𝑦+4𝑧
2
𝑇 𝑣 + 𝑧 − 𝑦 𝑇 𝑤
 𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
2
2 5𝑦 − 4𝑧
1
−2
1
+ 𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧
3
1
−1
+ 2 𝑧 − 𝑦
2
3
3
 𝐹1 = 10𝑦 − 8𝑧 + 3𝑥 − 15𝑦 + 12𝑧 ∓ 4𝑧 − 4𝑦
 𝐹1 = 3𝑥 − 9𝑦 + 8𝑧
 𝐹2 = −20𝑦 + 16𝑧 + 𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧 + 6𝑧 − 6𝑦
 𝐹2 = 𝑥 − 31𝑦 + 26𝑧
 𝐹3 = 10𝑦 − 8𝑧 − 𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧 + 6𝑧 − 6𝑦
 𝐹3 = −𝑥 + 9𝑦 − 6𝑧
 𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
2
3𝑥 − 9𝑦 + 8𝑧
𝑥 − 31𝑦 + 26𝑧
−𝑥 + 9𝑦 − 6𝑧

14.  Ejercicio 5.5
 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒇 𝟐, −𝟑, 𝟏
 𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
2
3 2 − 9 −3 + 8 1
2 − 31 −3 + 26 1
− 2 + 9 −3 − 6 1
 𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
2
3 + 27 + 8
2 + 93 + 26
−2 − 27 − 6
 𝑇
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
2
38
121
−35