Translator: Le Tung An Original: Life at low Reynolds number - Seminar by Denis Brojan (20th May 2009)

1. 3. Chuyển động sinh học ở điều kiện số reynolds thấp
3.1. Thủy động lực học trong dòng stokes
3.1.1. Thuộc tính chung
3.1.2.
3.1.3. Định lý Stokes:
- Định lý Stokes có thể được xem là định lý Green trong không gian có số chiều cao hơn (
Định lý Stokes trong không gian 3 chiều còn định lý Green trong không gian 2 chiều).
Nếu như định lý Green nói lên mối quan hệ giữa tích phân hai lớp trên một miền phẳng
D với tích phân đường theo đường cong phẳng là biên của D, thì định lý Stokes nói lên
mối quan hệ giữa tích phân mặt trên một mặt S với tích phân đường theo đường cong
là biên của mặt S (đường cong trong không gian)
- Các nghiệm của một phương trình tuyến tính có thể được giải ở dạng cơ bản giống với
định lý Green. Nghiệm chính hoặc nghiệm cơ bản đầu tiên liên quan đến một lực duy
nhất tác động lên một điểm, được gọi là điểm gốc:
f tác động = F. δ (r) (1)
- F là một vectơ không đổi và δ (r) là 1 hàm delta Dirac trong không gian 3 chiều. Để giải
thích, đây là một hàm số khái quát biểu diễn một đỉnh vô cùng nhọn có diện tích bằng
đơn vị: một hàm số δ(r) có giá trị bằng 0 ở mọi nơi ngoại trừ tại x = 0 nơi mà giá trị hàm
số là vô cùng lớn sao cho tích phân toàn phần (trên toàn khoảng biến thiên) của nó
bằng 1. Dòng chảy dưới những điều kiện này được gọi là “Stokeslet” và F đặc trưng
cho lực tác dụng cả về độ lớn (magnitude) và hướng (direction). Vận tốc v và áp suất p
của Stokeslet là:
V =
1
8πη
(
𝐹
𝑟
+
(𝑟.𝐹)𝑟
𝑟^3
) =
1
4πη
.
𝐹
𝑟
(2)
P =
𝑟.𝐹
4π r^3
=
𝐹
4π r^2
(3)
- Về mặt vật lý, nghiệm này đại diện cho trường dòng chảy do một lực điểm, F, tác động
trên chất lỏng tại gốc của hệ tọa độ. Trường vận tốc tương tự như điện trường của một
lưỡng cực điện. Sau khi rút gọn phân số đi, ta có thể thấy, vận tốc (v) chỉ là 1 số nhân
với
1
r
, trong khi áp suất (p) còn
1
r^2
. Tổng lực tạo bởi dòng chảy Stokeslet tác dụng lên
chất lỏng trong trường hợp thể tích (V) không đổi là 8πηF

2. - Nghiệm của dòng chảy Stokeslet thể hiện sự định hướng theo nhiều hướng khác nhau.
Nếu ta đưa áp dụng phương trình (2) vào trường hợp r (quãng đường đi của dòng chảy)
vs F (lực tác dụng) song song hoặc vuông góc với nhau, ta sẽ có:
V song song =
1
4πη
.
𝐹
𝑟
V vuông góc =
1
8πη
.
𝐹
𝑟
Điều đó cho ta thấy là trong trường hợp quãng đường dòng chảy và lực tác dụng song
song nhau thì vận tốc dòng sẽ gấp đôi trong trường hợp vuông góc với nhau. Nói cách
khác, trong trường hợp vuông góc, ta phải tác dụng lực có độ lớn gấp đôi khi song song
(F vuông góc = 2.F song song) nếu mong muốn dòng nước đạt được cùng vận tốc.
- Còn có rất nhiều nghiệm cơ bản của phương trình Stokes với nhiều kiểu lực phân bố
đặc biệt. Trên thực tế, cứ một kiểu sắp xếp giữa lực tác dụng F và quãng đường đi dòng
chảy r sẽ đều là 1 nghiệm của phương trình Stokes, trong đó f ext
tương ứng là đạo hàm
cùng bậc với F.δ(r). Những nghiệm cơ bản này sẽ được cho trước khi ta giải phương
trình Stokes với sự phân bố của F và r đã biết bằng phương pháp chồng chất tuyến
tính.
- Khi một dòng chảy được mô tả bằng một số nghiệm cơ bản của phương trình Stokes
khác nhau, thì một cái duy nhất mà có sự phân rã theo không gian thấp nhất chắc chắn
sẽ chiếm ưu thế trong trường xa. Khi một tế bào bơi trong chất lỏng nhớt ở số Reynolds
thấp thì không có lực và mômen, dòng chảy các điểm kỳ dị mô tả lực tại 1 điểm bất kì
(Stokeslests) và mômen tại 1 điểm bất kì (phản đối xứng force-lưỡng cực hoặc rotlets)
không thể được đưa vào mô tả trường xa. Kết quả là trường dòng chảy xa tế bào bơi
nói chung được thể hiện tốt bằng một cưỡng bức lực đối xứng, hoặc ứng suất. Hiện
tượng trường xa như vậy có tác động quan trọng đối với tế bào tương tác thủy động lực
học