BÀI 01: SỰ TƯƠNG GIAO (PHẦN 01)

1. ĐƯỜNG ĐẾN KÌ THI QUỐC GIA 2015 anpha.edu.vn
Biên soạn: Th.S Lê Văn Vĩnh,
Giảng viên ĐH Văn Lang, TP. HCM
1
CHUYÊN ĐỀ: CÁC ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài 01: SỰ TƯƠNG GIAO (Phần 01)
I. ĐỊNH NGHĨA:
Cho hai đồ thị C : y  f x và C : y  gx . Khi đó, C và C cắt nhau tại  
 
 
0 0
0 0
0 0
;
y f x
M x y
y g x
 
 
 
tức là   0 0 x ; y là một nghiệm của hệ:
 
 
y f x
y g x
  
 
.
Như vậy, hoành độ giao điểm của C và C là nghiệm của phương trình: f x  gx *
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của C và C .
Phương trình (1) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị C và C
II. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM BẬC BA:
1. Sự tương giao của hàm bậc ba và đường thẳng trong trường hợp có đúng một điểm chung
Ta xét bài toán sau:
Cho hàm số         3 2 y  a m .x b m .x  c m .x  d m có đồ thị   m C và đường thẳng   m D có phương trình
y  m.x  m . Tìm m để   m C và   m D cắt nhau tại duy nhất một điểm.
Phương pháp:
TA THỰC HIỆN CÁC BƯỚC SAU:
Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị   m C và   m D
             3 2 a m .x b m .x c m .x d m  m .x  m *
Bước 2: Biến đổi phương trình (*) về dạng:
       
0
0 . 0
0 **
x x
x x g x
g x
 
    
Khi đó,   m C và   m D cắt nhau tại duy nhất một điểm khi và chỉ khi phương trình (*) có đúng 1 nghiệm
 Phương trình (**) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 0 x
Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2 y  x  2mx  (m 3)x m 4 có đồ thị   m C và đường thẳng   m D có phương trình
y  x m 4. Tìm m để   m C và   m D cắt nhau tại duy nhất một điểm.
Bài giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của   m C và   m D là:   3 2 x  2mx (m3)x m 4  x m 4 *
3 2 x  2mx  (m 3)x m 4 (x m 4)  0 3 2 x  2mx  (m 2)x  0

2. ĐƯỜNG ĐẾN KÌ THI QUỐC GIA 2015 anpha.edu.vn
Biên soạn: Th.S Lê Văn Vĩnh,
Giảng viên ĐH Văn Lang, TP. HCM
2
2 x[x  2mx  (m 2)]  0   2
0
2 ( 2) 0 **
x
x mx m
 
     
Khi đó,   m C và   m D cắt nhau tại duy nhất một điểm khi và chỉ khi phương trình (*) có đúng 1 nghiệm
 Phương trình (**) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 0 x  0
TH1: Phương trình (**) vô nghiệm 2  m m 2  0 1m 2
TH2: Phương trình (**) có nghiệm kép 0 x  0 2mm 2  0 (Loại)
Vậy giá trị m cần tìm là: 1m 2
Lưu ý: Bài toán này có sử dụng các điều kiện về tính chất nghiệm của phương trình bậc hai, vì thế Học sinh
cần ôn tập lại kiến thức cũ đã học.
Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2 y  x  2mx  (m 3)x m 4 có đồ thị   m C và đường thẳng   m D có phương trình
y  x m 4. Tìm m để   m C và   m D cắt nhau tại duy nhất một điểm A sao cho điểm A cách gốc tọa độ O
một khoảng bằng 4
Bài giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của   m C và   m D là:   3 2 x  2mx (m3)x m 4  x m 4 *
3 2 x  2mx  (m 3)x m 4 (x m 4)  0 3 2 x  2mx  (m 2)x  0
2 x[x  2mx  (m 2)]  0   2
0
2 ( 2) 0 **
x
x mx m
 
     
Khi đó,   m C và   m D cắt nhau tại duy nhất một điểm khi và chỉ khi phương trình (*) có đúng 1 nghiệm
 Phương trình (**) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 0 x  0
TH1: Phương trình (**) vô nghiệm 2  m m 2  0 1m 2
TH2: Phương trình (**) có nghiệm kép 0 x  0 2mm 2  0 (Loại)
Do đó,   m C và   m D cắt nhau tại duy nhất một điểm khi và chỉ khi 1m 21
Khi đó, tọa độ điểm A có dạng: A0;m 4
Theo đề bài: OA 4     2 2
 00  m 40  4  m 4  4 m 0m 8
So sánh với (1) suy ra giá trị m cần tìm là:m0
Lưu ý: Bài toán này có sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng     2 2
A O A O OA x  x  y  y
Ví dụ 3: Cho hàm số 3 2 y  x  2mx  (m 3)x m 4 có đồ thị   m C và đường thẳng   m D có phương trình

3. ĐƯỜNG ĐẾN KÌ THI QUỐC GIA 2015 anpha.edu.vn
Biên soạn: Th.S Lê Văn Vĩnh,
Giảng viên ĐH Văn Lang, TP. HCM
3
y  x m 4. Tìm m để   m C và   m D cắt nhau tại duy nhất một điểm A sao cho điểm A cùng với hai điểm
B0;1 và C2;1 tạo thành một tam giác có diện tích bằng 3
Bài giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của   m C và   m D là:   3 2 x  2mx (m3)x m 4  x m 4 *
3 2 x  2mx  (m 3)x m 4 (x m 4)  0 3 2 x  2mx  (m 2)x  0
2 x[x  2mx  (m 2)]  0   2
0
2 ( 2) 0 **
x
x mx m
 
     
Khi đó,   m C và   m D cắt nhau tại duy nhất một điểm khi và chỉ khi phương trình (*) có đúng 1 nghiệm
 Phương trình (**) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 0 x  0
TH1: Phương trình (**) vô nghiệm 2  m m 2  0 1m 2
TH2: Phương trình (**) có nghiệm kép 0 x  0 2mm 2  0 (Loại)
Do đó,   m C và   m D cắt nhau tại duy nhất một điểm khi và chỉ khi 1m 21
Khi đó, tọa độ điểm A có dạng: A0;m 4
Theo đề bài: 3 ABC S  1/ 2.d A;BC.BC  32
Trong đó,     2 2
BC  20  11  2 2
Phương trình đường thẳng (BC):
0 1
2 0 1 1
x  y 

  
x  y 1 0  
 
2 2
0 4 1 3
;
1 1 2
m m
d A BC
   
    

Thay vào (2) ta được:
3
1/ 2. .2 2 3
2
m
  m3  3m 6m 0
So sánh với (1) suy ra giá trị m cần tìm là:m0
Lưu ý: Bài toán này có sử dụng công thức tính diện tích của một tam giác 1/ 2. ;  . ABC S  d A BC  BC và
công thức viết phương trình đường thẳng   : A A
B A B A
x x y y
AB
x x y y
 

 
TÓM TẮT BÀI HỌC:
Qua bài học này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức và chú ý một số điều sau đây
1. Phương trình f x  gx* được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  f x
và y  gx
2. Số nghiệm của phương trình f x  gx* bằng số giao điểm của hai đồ thị và các nghiệm của phương trình
(*) là hoành độ của các giao điểm

4. ĐƯỜNG ĐẾN KÌ THI QUỐC GIA 2015 anpha.edu.vn
Biên soạn: Th.S Lê Văn Vĩnh,
Giảng viên ĐH Văn Lang, TP. HCM
4
3. Ôn tập lại các công thức quan trọng trong Hình giải tích phẳng như: công thức tính độ dài đoạn thẳng, khoảng cách, diện tích; tọa độ trung điểm, trọng tâm,v…v…