1. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 01. Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
Bài 1. Cho hàm số
2
12



x
x
y có đồ thị là (C). Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ
thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Giải:
Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình:








)1(021)4(
2
2
12
2
mxmx
x
mx
x
x
Do (1) có 2 2
1 0 ` ( 2) (4 ).( 2) 1 2 3 0m va m m m             nên đường thẳng d luôn luôn
cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B
Ta có yA = m – xA; yB = m – xB
nên AB2
= (xA – xB)2
+ (yA – yB)2
=2(xA – xB)2
=2[(xA + xB)2
-4xA xB ]=2(m2
+ 12)
suy ra AB ngắn nhất  AB2
nhỏ nhất  m = 0. Khi đó 24AB .
Bài 2. Cho hàm số
2 4
1



x
y
x
(C). Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3;0)
và N(–1; –1).
Giải:
MN: x + 2y + 3 = 0. Phương trình đường thẳng (d)  MN có dạng: y = 2x + m.
Gọi A, B  (C) đối xứng nhau qua MN. Hoành độ của A và B là nghiệm của phương trình:
2 4
2
1

 

x
x m
x
 2x2
+ mx + m + 4 = 0 ( x ≠ –1) (1)
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt  (1) có  = m2
– 8m – 32 > 0
Ta có A(x1; 2x1 + m), B(x2; 2x2 + m) với x1, x2 là nghiệm của (1)
Trung điểm của AB là I 1 2
1 2;
2
 
  
 
x x
x x m  I ;
4 2
 
 
 
m m
( theo định lý Vi-et)
Ta có I  MN  m = –4, (1)  2x2
– 4x = 0  A(0; –4), B(2;0)
Bài 3. Cho hàm số
2x 1
y
x 1



. Tìm các giá trị m để đường thẳng 3y x m   cắt (C) tại A và B sao cho
trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng 2 2 0x y   (O là gốc tọa độ).
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
2 1
3
1
x
x m
x

  

với điều kiện 1x 
2
2 1 ( 1)( 3 ) 3 (1 ) 1 0 (*)           x x x m x m x m
BÀI 6. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM PHÂN THỨC
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ ANH TUẤN
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 6. Sự tương giao của hàm phân thức thuộc khóa
học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 6. Sự tương giao hàm phân thức. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

2. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 01. Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -
d cắt (C) tại A và B phân biệt  Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
2
11(1 ) 12( 1) 0
( 1)( 11) 0
13 (1 ) 1 0
mm m
m m
mm m
      
             
Gọi I là trung điểm của AB 1 2 1 1
, 3
2 6 2
I I I
x x m m
x y x m
  
      
Gọi G là trọng tâm tam giác OAB
2 1 1
;
3 9 3
m m
OG OI G
  
    
 
 
1 1 11
2. 2 0
9 3 5
m m
G d m
  
        
 
(thỏa mãn).
Vậy
11
5
m   .
Bài 4. Cho hàm số ( )
2
m
m x
y H
x



Tìm m để đường thẳng d : 2x + 2y - 1= 0 cắt ( )mH tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có
diện tích bằng
8
3
.
Giải:
Đường thẳng d viết lại :
1
2
y x  . Để d cắt ( )mH tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình:
0222)()2(
2
1
2
2



mxxxgxx
x
xm
có hai nghiệm phân biệt khác – 2



















2
16
17
024
0)22(81
0)2(
0
m
m
m
m
g
(*)
- Gọi 2 2
1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1
1 1
; ; ; ( ; ) ( ) ( ) 2
2 2
A x x B x x AB x x x x AB x x x x x x
   
               
   

- Khoảng cách từ O đến d là h , thì :
2 2
1 1
2 22 2
h

 

- Theo giả thiết : 2 1
1 1 1 1 1 17 16 3
. 2.
2 2 4 4 2 82 2
m
S AB h x x
a
 
     
Hay :
17
1 17 16 3 1
; 17 16 3 16
4 2 8 2
16 8
mm
m m
m

 
      
 
, thỏa mãn điều kiện (*) .
- Đáp số : m =
2
1
.
Một số bài tập tham khảo thêm:
Bài 1. Cho hàm số
3
( )
2
x
y H
x



. Tìm m để : 1d y x m    cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
góc AOB nhọn.

3. Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 01. Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -
Bài 2. Cho hàm số
2
(1)
1
x m
y
mx



. Chứng minh với mọi m khác 0 thì đồ thị (1) luôn cắt : 2 2d y x m 
tại hai điểm A, B phân biệt thuộc (1) cố định, đường thẳng d cắt ;Ox Oy lần lượt tại M, N. Tìm m để
3AOB OMNS S  .
Bài 3. Cho hàm số
1
( )
2
x
y H
x
 


. Tìm trên (H) các điểm A, B sao cho AB = 4 và AB vuông góc với
đường thẳng y x .
Giáo viên: Lê Anh Tuấn
Nguồn : Hocmai.vn