1. HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
CHƯƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC TỪ XA Độc lập - Tự do – Hạnh phúc
ĐỀ BÀI TẬP ĐIỀU KIỆN
• Môn học: Toán giải tích 2 (Toán A3)
• Lớp: CN107A3, CN107A4
• Thời hạn nộp bài: 15/08/2008
Sinh viên làm 3 trong cáccâu sau
Câu 1:
1) Định nghĩa tính khả vi của hàm số f(x,y) tại điểm M0(x0, y0)? Cho ví dụ?
2) Tính ∫∫∫V
ydxdydz , V là miền giới hạn bởi các mặt 0,,22
>=+= hhyzxy
3) Tính ∫ +−+
L
dx
y
xydy
x
yx ,)
4
()
4
( 33
L là đường xyx 222
=+
Câu 2:
1) Phát biểu và chứng minh điều kiện cần của hàm số f(x,y) khả vi tại (x0, y0)
2) Tính ∫∫ +
D
dxdyyx 22
, D là miền giới hạn bởi các đường 222
ayx =+
0,4 222
>=+ aayx
3) Giải phương trình vi phân: xx
exeyyy −
+=+− 34 ///
Câu 3:
1) Phát biểu và chứng minh điều kiện đủ của hàm số f(x,y) khả vi tại (x0,y0)
2) Tính ∫ −++++
L
dyyxxydxxyxy ,)()( L là đường 0,22
>=+ aaxyx
3) Giải phương trình vi phân: arctgxxyxy 2/
=−
Câu 4:
1) Phát biểu và chứng minh điều kiện cần của hàm f(x,y) đạt cực trị tại (x0,y0)
2) Tính ∫∫ ++
S
zydxdyyxdzdxxzdydz , S là phía ngoài biên của hình chóp
1,0,0,0 ≤++≥≥≥ zyxzyx
3) Giải phương trình vi phân: xxeyyy x
2cos252 /// −
=++
Câu 5:
1) Phát biểu điều kiện đủ của hàm hai biến đạt cực trị tại (x0,y0). Ứng dụng, tìm cực trị của
hàm số 2244
22 yxyxz −−+=
2) Tìm βα, để tích phân đường ∫ ++
+−++−
L yx
dyxyxdxyxy
222
2222
)1(
)1()1( βα
không phụ thuộc
đường lấy tích phân. Tính tích phân trên từ điểm A(0,0) đến B(a,b) ứng với các giá trị
βα, đã tìm được.
3) Giải bài toán Côsi
2
)(,ln
ln
2
/ e
eyxx
xx
y
y ==−

2. Câu 6:
1) Nêu công thức tính tích phân kép trong toạ độ Đềcác và toạ độ cực. Ứng dụng, hãy thay đổi
thứ tự lấy tích phân sau ∫ ∫
3
1
2
0
),(
y
dxyxfdy
2) Chứng minh rằng biểu thức [ ] [ ]dyyxedxyxe yxyx
)cos()cos( −−+−+ ++
là vi phân toàn
phần của hàm u(x,y) nào đó. Hãy tìm hàm u(x,y).
3) Giải phương trình vi phân: xeyyy x 22///
cos44 =+−
Câu 7:
1) Định nghĩa tích phân mặt loại 2. Nêu công thức tính. Áp dụng tính ∫∫S
xyzdxdy , S là mặt
ngoài của phần hình cầu xác định bởi 0,0,1222
≥≥≤++ yxzyx
2) Tìm cực trị của hàm số 122
+−+++= yxyxyxz
3) Gỉai phương trình vi phân: xyy 2//
cos=+
Câu 8:
1) Định nghĩa trường vectơ? Nêu các đặc trưng của trường vectơ? Áp dụng, chứng minh
→
→→
+



= FurotFgraduFurot ,)(
2) Tính ∫∫ ++
D
dxdyyx )12( , D là phần giao của hai hình tròn yyx 222
≤+ , xyx 222
≤+
3) Giải phương trình
xx
yy
2cos2cos
1//
=+
Câu 9:
1) Trình bày cách tích phân các phương trình vi phân cấp 1 thường gặp. Áp dụng, hãy tích phân
phương trình dxyxydxxdy 22
+=−
2) Tính thông lượng của trường vectơ
→→→→
++= kzxjyzixyF qua phần mặt cầu
,0,0,0,2222
≥≥≥=++ zyxRzyx hướng ra ngoài
3) Chứng minh rằng hàm số )(
x
y
xfz = trong đó f khả vi liên tục đến cấp 2 thoả mãn phương
trình
2//////
)(. xyyyxx zzz =
Ghi chú:
Sinh viên có đến thể nộp bài trực tiếp hoặc gửi qua đường Bưu điện cho giáo viên phụ trách
lớp theo địa chỉ : (Tên giáo viên chủ nhiệm hoặc tên lớp), Trung tâm Đào tạo ĐHTX- Học viện Công
nghệ BCVT - Km10, đường Nguyễn trãi, Hà Đông, Hà Tây.
TRUNG TÂM ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC TỪ XA