kaidah pencacahan

1. 1. Aturan pengisian tempat yang tersedia
Contoh:
Pada lomba lari 100 meter, empat anak
lolos ke putaran akhir, yaitu A(Adi),
B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi).
Pada perlombaan tersebut disediakan dua
hadiah. Ada berapakah susunan pemenang
yang mungkin muncul pada akhir
pertandingan?
~ Aturan pengisian tempat yang tersedia

2.  jawab
Pemenang pertama dan kedua yang mungkin muncul,
dapat kita susun yaitu:
AB, AC, AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,dan DC.
Proses menentukan banyaknya susunan pemenang
secara umum mengikuti aturan sebagai berikut:
Langkah 1:
Ada 4 peserta lomba yang semuanya bisa keluar
sebagai juara pertama.
Langkah 2:
Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3
peserta lomba yang bisa menduduki juara kedua.
Jadi seluruhnya ada 4 x 3 = 12 (susunan pemenang yang mungkin terjadi)

3. Contoh 2
Amalia memiliki 4 buah kemeja, 2 buah
celana panjang dan 3 sepatu. Ada berpa
cara ia dapat berpakaian lengkap?
Jawab:
Kemeja yang dapat dipilih Amalia ada 4
cara, celana panjang 2 cara dan sepatu 3
cara.
Jadi, ada 4 x 2 x 3 = 24 cara amelia dapat berpakain lengkap

4. Dari uraian tersebut dapat kita peroleh suatu kesimpulan :
Jika terdapat buah tempat yang tersedia dengan:
n1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama.
n2 = banyaknya cara mengisi tempat kedua, setelah tempat
pertama terisi.
n3 = banyaknya cara mengisi tempat ketiga, setelah tempat
pertama dan kedua terisi, dan
nk = banyaknya cara mengisi tempat ke – k, setelah tempat-
tempat sebelumnya terisi.
Maka banyaknya cara untuk mengisi k tempat yang tersedia
adalah
Aturan ini yang dimaksud sebagai aturan pengisian tempat
yang tersedia atau kaidah perkalian.
n1 x n2 x n3 x … x
nk.

5.  Definisi dan Notasi faktorial
Definisi:
Hasil perkalian semua bilangan bulat positip
dari satu sampai dengan n disebut n faktorial,
dan diberi notasi n!.
jd n! = 1 x 2x 3 x … x (n-1) x n, atau
n! = n x ( n-1) x (n-2) x … x 2 x 1
dengan 1! = 1 dan 0! = 1

6.  Misalkan diadakan undian untuk memperebutkan 2 hadiah (hadiah I dan II). Jika yang
memperebutkan hadiah itu ada 3 orang (A, B, dan C), ada berapa cara kedua macam hadiah
itu dapat diberikan kepada para pemenang?.
 Jawab:
Menurut Prinsip Perkalian
= 3×2
 1
1
2
3 

)!
2
3
(
!
3


n
r
P
)!
r
n
(
!
n

=
3
2
P
3
2
P
Obyek
Eksp.
A
B
C
Cara Eksp.
Diundi untuk
memperebutkan 2 hadiah
A
B
C
B
C
A
C
A
B
(B,A) = permutasi ke-3 = p3
(A,B) = permutasi ke-1 = p1
(A,C) = permutasi ke-2 = p2
(C,A) = permutasi ke-5 = p5
(C,B) = permutasi ke-6 = p6
(B,C) = permutasi ke-4 = p4
...
...
...
...
...
...
S, n(S) =
3 cara
2 cara
3
2
P
Banyaknya cara: n(S) = = 3×2 = 6 =
=
Permutasi

7. Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama
Ada berapa cara untuk membuat susunan huruf yang berbeda dari kata
“MAMA”?.
Jawab
MMAA
MAMA
AMMA
AMAM
AAMM
MAAM
Ada 6 cara
cabang)
4
memuat
anggota
6
dari
anggota
masing
-
(masing
4
berlainan)
huruf
4
dari
huruf
4
permutasi
(banyaknya
4!
=
)
A
dan
A
dari
(permutasi
2!
)
M
dan
M
dari
(permutasi
2!
4!
2
1
2
1  =
2!
!
2
!
4
=
6 =
cabang
memuat
indeks
diberi
setelah
anggota
dari
g
sin
ma
g
sin
Ma
huruf
banyaknya
sesuai
indekas
diberi
A
dan
M
setelah
permutasi
Seluruh
4
6


8. Berapa banyak cara untuk membuat susunan huruf dari kata “KAKAKKU”?
Jawab
!
1
!.
2
!.
4
!
7
=
2
4
7
1
C 

7
4
C × ×
4
7
2
C 
1!
2!
!
4
!
7
1!
2!
!
4
2).(1)
.
(3
.
4)
.
5
.
6
.
7
(

=
7
)
1
,
2
,
4
(
P
Secara umum, dengan n1
= + n2 + + nk
n
.Banyaknya cara mengambil 2 huruf A dari (7 – 4) huruf sisanya ada , dan
banyaknya cara mengambil 1 huruf A dari (7 – 4 – 2) huruf sisanya ada
Maka menurut prinsip perkalian banyaknya cara untuk membuat susunan huruf dari
kata KAKAKKU ada:
7
4
C
4
7
2

C
2
4
7
1
C 

Karena ada 4K, 2A, dan 1U, maka banyaknya cara =
!
n
...
!
n
.
!
n
!
n
k
2
1
=
n
)
n
,
...
,
n
,
n
( k
2
1
P
Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama
7
)
1
,
2
,
4
(
P = = 105 cara
Secara matematika formal, banyaknya cara mengambil 4 huruf K dari 7
huruf ada

9. Permutasi Siklis
A
C B
C
B A
B
A C
Secara umum banyaknya
permutasi siklis dari n obyek =
n
siklis
P
Misalkan 3 orang anak A, B, dan C diminta naik ke permainan roda putar
Dari 3 tempat duduk pada permainan roda putar itu sebenarnya hanya ada 2
saja yang berbeda susunannya, yakni ABC dan ACB. Sehingga hanya ada 2
permutasi siklis.
Maka berarti ketiga permutasi siklis tersebut sama, yakni ABC = CAB = BCA. Untuk
melihat kesamaannya perhatikan bahwa:
CAB.CAB = BCA.BCA = ABC (Pandanglah A sebagai titik awal).
Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = = (n – 1)!

10.  Jika kita inin menyusun kata yang terdiri 2 huruf, yang dipilih dari
huruf A, D, I, serta kata yang terbentuk boleh mengandung huruf
yang sama, maka kita akan mendapatkan kata:
AA, AD, AI, DD, DA, DI, II, IA, ID.
Jadi, banyaknya permutasi dua huruf yang diambil dari 3 huruf
dengan huruf- huruf itu boleh berulang ada 9 cara.
 Secara umum:
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang
tersedia (dengan tiap unsur yang tersedia boleh ditulis berulang)
adalah sebagai berikut:
dengan r < n
P (berulang) =nr

11. No Obyek Eksp. Cara Eksp. Kemungkinan yang dapat
hadir
1 O =
{A,B,C,D}
Diundang 2
orang wakilnya
untuk rapat
keluarga
AB = c1
AC = c2
AD = c3
BC = c4
BD = c5
CD = c6
2 O =
{A,B,C,D}
Diundang 3
orang wakilnya
untuk rapat
keluarga
ABC = c1
ABD = c2
ACD = c3
BCD = c4

12. 4
2
P 4
2
C
4
2
C 4
2
P
Perhatikan bahwa
= x 2!
12 = 6 x 2!
6 × 2!
Total = = 12 = 6 × 2
= 6
2!
2!
2!
2!
2!
2!
AB dan BA
AC dan CA
AD dan DA
BC dan CB
BD dan DB
CD dan DC
c1 = AB
c2 = AC
c3 = AD
c4 = BC
c5 = BD
c6 = CD
Banyaknya
Permutasi
Jika elemen-elemen kombinasi
itu dipermutasikan
Macam
Kombinasi

13. Kombinasi k Unsur dari n Unsur dengan beberapa
unsur sama
Misal 4 bola akan yang diambil dari dalam kotak berisi 4 bola merah, 3
bolaputih dan 2 bola hijau.Empat bola yang diambil harus terdiri dari 2
bola merah, 1 bola putih dan 1 bola hijau.
Cara pengambilan ini merupakan masalah kombinasi k unsur dari n
unsur dengan beberapa unsur yang sama.
Sehingga total cara pemilihan 4 bola dari 9 bola adalah
4 C 2 . 3 C 1 . 2 C 1 cara.

14.  Misal terdapat n unsur yang terdiri dari q1, q2, q3, …, qn
Unsur q1 ada sebanyak n1, unsur q2 ada sebanyak n2, unsur q3 ada
sebanyak n3, …, unsur qe ada sebanyak ne, sehingga n1 + n2 + n3 + …+ ne =
n.
Dari n unsur tersebut akan diambil k unsur yang terdiri dari k1 unsur q1, k2
unsur q2, k3 unsur q3, …, ke unsur qe dengan k1 + k2 + k3 + … + ke = k.
Banyak cara pengambilan adalah:
n1 C k1 . n2 C k2 . n3 C k3 …. . ne C ke

15. Peluang Kejadian
 Percobaan, Ruang Sampel, Peluang suatu kejadian
)
A
(
fr
lim
n 

Kombinatorik
Adalah teknik menghitung banyaknya anggota ruang sampel dengan
:
1.Cara mendatar
2.Membuat tabel
3.Membuat diagram pohon
Peluang adalah nilai frekuensi relatif munculnya suatu peristiwa
dalam suatu eksperimen jika banyaknya percobaan tak terhingga.
P(A)=

16. Eksperimen (Percobaan Acak)
 Ada Obyek Eksperimen
 Ada Cara Eksperimen
 Ada Hasil-hasil Yang Mungkin (Titik-titik Sampel)
Obyek
Eksp.
Cara Eksp.
Hasil-hasil
Yang Mungkin
s1
s2
s3
s4
s5
S
S = Ruang Sampel = { s1 , s2 , s3 , . . . , s5 }
= Himpunan semua hasil yang mungkin
dalam eksperimen itu
s1 , s2 , s3 , . . . , s5 masing-masing
disebut titik sampel
s2
S
s1
s3 s4 s5

17. sn
S
A
s3
s2
s1
sm
S = Ruang Sampel
= Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi
dalam eksperimen itu
= {s1 , s2 , s3 , . . . , sm , . . . , sn}
A = Suatu peristiwa dalam ruang sampel S
= {s1 , s2 , s3 , . . . , sm}
Prinsip Penjumlahan
P(A) = P({s1}) + P({s2}) + P({s3}) + . . . + P({sm})
= jumlah peluang masing-masing titik sampel
yang ada di dalamnya

18. Peluang Berdasar Pengambilan Sampel
 Pengambilan Sekaligus → Kombinasi
Pengulangan obyek eksp. tidak
dimungkinkan dan urutan tak
diperhatikan (tak punya makna)
 Pengambilan Satu Demi Satu
1. Tanpa Pengembalian → Permutasi
Pengulangan obyek eksp. tidak
dimungkinkan dan urutan
diperhatikan (punya makna)
2. Dengan Pengembalian → Bukan Permutasi dan
Bukan Kombinasi

19. Banyaknya
Eksp.
Frek.
Munculnya
s1 =
s2 s3
300 kali
3.000 kali
15.000 kali
30.000 kali
banyak kali
92
1.012
4.989
10.012
Fr (s1) ≈
105
991
5.007
9.984
Fr (s2) ≈
93
997
5.004
10.004
Fr (s3) ≈
3
1
3
1
1. Pengambilan Sekaligus
Hasil-hasil yang
mungkin
Obyek Eksp
Cara Ekp.
1 2 3
Eksp1: ambil acak
2 bola sekaligus
… s1
… s2
… s3
1 2
1 3
2 3
S
A
Ambil acak 2 bola sekaligus.
Hasil-hasil yang mungkin?
3
1
A
S
s2
s1 s3
P({s1}) = P({s2}) = P({s3}) =
Maka S berdistribusi seragam
3
1
S = {s1, s2 , s3 } = Ruang sampel hasil eksperimen
A = Peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil
= {s1, s3 } , n(A) = 2.
n(S) = = 3 .
3
2
C
P(A) =
)
S
(
n
)
A
(
n
3
2

20. 2. Pengambilan Satu demi Satu Tanpa Pengembalian
Obyek Eksp
Cara Ekp.
1 2 3
Eksp 2 : ambil acak
2 bola 1 – 1 tanpa pengembalian
Ambil acak 2 bola 1 – 1 tanpa pengemb.
Hasil-hasil yang mungkin?
1
2
3
2
3
1
3
1
2
1 2 … s1
…
1 3 … s2
…
2 1 … s3
…
2 3 … s4
…
3 1 … s5
…
3 2 … s6
…
S
A
3 cara
2 cara
Hasil-hasil
yang mungkin
A
S
s6
s5
s4
s2
s1
s3
P({s1}) = P({s2}) = … = P({s6}) =
Maka S berdistribusi seragam.
6
1
S = {s1, s2 , s3 , . . . ,s6 } = Ruang sampel hasil eksperimen
A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil
= {s1, s3, s4 , s6 }
P(A) = = = .
n(S) = = =
)
S
(
n
)
A
(
n
6
4
3
2
3 × 2 6.
.
eksp
obyek
dari
obyek
P
3
2

21. 3. Pengambilan 1 – 1 Dengan Pengembalian
Eksp2:ambil acak
2 bola 1-1 dengan pengemb.
Ambil acak 2 bola 1-1 dengan
pengembalian. Hasil-hasil yang mungkin?
I
Hasil-hasil yang
mungkin
S
II A
2
3
1 2 3
1
1 … s1
1 1
…
2 … s2
1 2
…
3 … s3
1 3
…
1 … s7
3 1
…
2 … s8
3 2
…
3 … s9
3 3
…
3 cara
3 cara
A
S
s7
s2
s6
s3
s4
s8
s1
s5
s9
S = {s1, s2 , s3, ... , s9} = Ruang sampel hasil eksperimen.
n(S) = 3 × 3 = 9
A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil.
= {s2, s4, s6 , s8 }
P(A) = = .
)
S
(
n
)
A
(
n
9
4
P({s1}) = P({s2}) = … = P({s9})
=
Maka S berdistribusi
seragam.
9
1

22. Frekuensi Harapan
Frekuensi Harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang kejadian
tersebut dengan banyaknya percobaan.
Fr(A) = P(A) . n dengan, Fr(A) = frekuensi harapan kejadian A
P (A) = peluang kejadian A
n = banyaknya percobaan
Contoh:
Peluang seorang anak terkena penyakit polio adalah 0,01, dari 8000 anak.
Berapa kira- kira yang terjangkit penyakit polio?
Jawab:
P(kenapolio) = 0,01, n= 8000
Fr(A) = P(kena polio) . n = 0,01 x 8000 = 80
Jadi, dari 8000 anak diperkirakan ada 80 anak yang terkena penyakit polio

23. )
(
1
)
(
1
)
(
'
'
A
P
A
P
n
a
n
a
n
n
n
a
n
A
P








A’
S
A
Jika A mempunyai a elemen, dan S
mempunyai n elemen maka A’ mempunyai
n-a elemen. Maka P(A’) adalah peluang
tidak terjadinya A.
Kejadian bukan A dari himpunan S ditulis
dengan simbol A’ (atau Ac) disebut
komplemen dari A.
1. Komplemen

24. 2.Dua Kejadian Saling Lepas
.1
.4
A
.2
.5
.7
.3
.11
B
.6
.8
.9
.10
.12
S
Maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Sehingga
S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
A={kejadian mendapatkan bilangan
prima}
B={kejadian mendapatkan sedikitnya
bilangan 5}
Jika kita melihat hubungan antara , P(A) dan P(B), terdapat
irisan antara A dan B, yaitu {5, 7, 11} dan juga diperoleh
6
5
12
10
B)
(A
P 



25. )
( B
A
P 
12
3
)
( 
 B
A
P dan
)
(
)
(
)
(
)
(
12
3
12
8
12
5
12
3
8
5
12
10
)
(
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
B
A
P
















Jika suatu kejadian A dan B tidak bersekutu, dalam hal ini
=Ø, maka kita katakan dua kejadian tersebut adalah saling lepas. Untuk
kejadian saling lepas (saling asing)
)
(
)
(
)
( B
P
A
P
B
A
P 


Maka = P(Ø) = 0
)
( B
A 
Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka

26. Contoh Soal :
1. Sebuah dadu dilemparkan satu kali,
Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2}, tentukan P(A’) ?
Jawab :
Sebuah dadu dilemparkan satu kali, maka ruang sampelnya adalah:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2} = {3, 4, 5, 6}
Maka P(A) = 4/6 = 2/3
P(A’) = 1 – 4/6 = 2/6 = 1/3
2. Pada pengambilan 1 kartu secara acak dari 1 set kartu bridge, berapa
peluang mendapatkan kartu As atau King?

27. DUA KEJADIAN SALING BEBAS
Sekeping uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian munculnya sisi
angka pada uang logam dan kejadian munculnya mata 3 pada dadu adalah dua
kejadian yang tidak saling mempengaruhi.
Peluang dua kejadian A dan B yang yang saling bebas adalah:
P (A B) = P (A) . P(B)
Contoh :
Misal A = kejadian muncul mata dadu 3 pada pelemparan pertama, maka :
n(A) = 1, sehingga P(A) =
Misal B = kejadian muncul mata dadu 5 pada pelemparan kedua, maka:
n(B) = 1, sehingga P(B) =
Peluang A dan B: P( A B) = P(A) . P(B) =
6
1
)
(
)
(

S
n
A
n
6
1
)
(
)
(

S
n
B
n


36
1
6
1
.
6
1


28. 1. Peluang tidak terjadinya A atau P(A’) adalah P(A’) = 1 – P(A)
)
(
)
(
)
( B
P
A
P
B
A
P 


Rangkuman
2. Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka
3. Jika A dan B kejadian yang saling bebas maka
)
(
)
(
)
( B
P
A
P
B
A
P 



29. SEKIAN
TERIMA KASIH
SAMPAI JUMPA LAGI