Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to analisa kompleks kelompok 1.pptx
Similar to analisa kompleks kelompok 1.pptx (20)
analisa kompleks kelompok 1.pptx
- 1. ANALISA KOMPLEKS KELOMPOK 1 : DIKI WAHYUDI (201913500290) SADDAM HUSAIN K (201913500331) M NUR FADLI (201913500324)
- 3. β’ Bilangan kompleks dapat didefinisikan melalui pasangan terurut (x,y) dari bilangan real yang diinterprestasikan melalui bidang kompleks, dengan koordinat empat persegi panjang x dan y. Bilangan x dapat digambarkan melalui titik (x,0) pada sumbu real. Dari sini terlihat bahwa himpunan bilangan real termuat dalam himpunan bilangan kompleks. Bilangan kompleks yang berbentuk (0,y) berhubungan dengan titik pada sumbu y dan disebut bilangan imajiner murni. Sumbu y disebut juga sumbu imajiner. β’ Bidang kompleks (terkadang disebut bidang Argan atau bidang Gauss) adalah sebuah bidang yang dibentuk oleh bilangan kompleks melalui sistem koordinat Kartesius. Sumbu βx pada bidang tersebut merepresentasikan garis real yang disebut bagian real, sementara sumbu βy merepresentasikan garis imajiner yang disebut bagian imajiner. Bidang kompleks dilambangkan C.
- 4. β Definisi penjumlahan dua bilangan kompleks π§1 = π₯1 + π¦1dan π§2 = π₯2 + π¦2, bilangan π§1 + π§2 berhubungan dengan titik π₯1 + π₯2, π¦1 + π¦2 . β Pengurangan π§1β π§2 menyatakan jumlah dari vektor π§1dan β π§2, π§1 β π§2 dapat diinterprestasikan melalui arah segmen garis dari titik π₯2, π¦2 ketitik π₯1, π¦1 .
- 5. Diketahui bilangan kompleks π§1 = 1 + 3π πππ π§2 = 3 β 2π gambarkan bilangan kompleks π§1,π§2, π§1 + π§2, πππ π§1 β π§2 dengan cara seperti penjumlahan dan pengurangan pada vector. Penyelesaian : β π§1 + π§2 = 1 + 3π + 3 β 2π = 4 + π β π§1 β π§2 = 1 + 3π β 3 β 2π = β2 + 5π
- 6. π + ππ + π + ππ = 3 + 5 + π 4 + 2 = π + ππ π + ππ + π + ππ = 3 + 5 π + 4 + 2 π = ππ hasil ini akan sama dengan π + ππ = ππ + ππ = ππ Jadi, Bilangan kompleks π§ yang berhubungan dengan titik-titik pada lingkaran dengan pusat π§0 dan berjari-jari R memenuhi persamaan π§ β π§0 = π .
- 7. Gambarkan π§ β 1 + 2π = 3 dan π§ + 1 < 2 pada bilangan z. Jawab : β π§ β 1 + 2π = 3 dapat ditulis π§ β (1 + 2π) = 3 merupakan lingkaran berpusat di π§1 = 1 β 2π = (1, β2) berjari-jari 3. (gambar a) β π§ + 1 < 2 atau π§ β (βπ) < 2 menytakan daerah lingkaran yang berpusat di π§1 = βi = (0, β1) berjari-jari 2. (gambar b)
- 8. β Konjungkat atau sekawan kompleks atau sekawan dari Sekawan kompleks π§ = π₯ + ππ¦ adalah didefinisikan dengan π₯ β ππ¦ dan dinyatakan dengan π§ , yaitu; π§ = π₯ β ππ¦. β Bilangan π§ adalah dinyatakan dengan titik (π₯, βπ¦) yang merupakan pencerminan terhadap sumbu real π₯ dari titik (π₯, π¦) yang dinyatakan dengan z.
- 9. 1. π§ = π§ dan π§ = π§ untuk setiap z Pembuktian : Misalkan π§ = π₯ + ππ¦ π§ = π₯ + ππ¦ = π₯2 + π¦2 π§ = π₯ β ππ¦ = π₯2 + (βπ¦)2= π₯2 + π¦2 Jadi terbukti bahwa π§ = π§ 2. Jika π§1 = π₯1 + ππ¦1πππ π§2 = π₯2 + ππ¦2, maka a. π§1 + π§2 = π§1 + π§2 π₯1 + ππ¦1 + π₯2 + ππ¦2 = π₯1 β ππ¦1 + π₯2 β ππ¦2 π§1 + π§2 = π₯1 β ππ¦1 + π₯2 β ππ¦2 Jadi terbukti bahwa π§1 + π§2 = π§1 + π§2 b. π§1 β π§2 = π§1 β π§2 π₯1 + ππ¦1 β π₯2 β ππ¦2 = π₯1 β ππ¦1 β π₯2 + ππ¦2 π§1 β π§2 = π₯1 β ππ¦1 β π₯2 β ππ¦2 = π₯1 β ππ¦1 β π₯2 + ππ¦2 Jadi terbukti bahwa π§1 β π§2 = π§1 β π§2
- 10. c. π§1 β π§2 = π§1 β π§2 (π₯1 + ππ¦1) β (π₯2 + ππ¦2) = π₯1 β π₯2 + π₯1ππ¦2 + π₯2ππ¦1 + π2π¦1π¦2 π₯1 β π₯2 + π₯1ππ¦2 + π₯1ππ¦2 + π2π¦1π¦2 = π₯1π₯2 β π₯1ππ¦2 β π₯2ππ¦1 β π¦1π¦2 π§1 β π§2 = π₯1 β ππ¦1 β π₯2 β ππ¦2 = π₯1π₯2 β π₯1ππ¦2 β π₯2ππ¦1 β π2 π¦1π¦2 = π₯1π₯2 β π₯1ππ¦2 β π₯2ππ¦1 β π¦1π¦2 Jadi, terbukti bahwa π§1 β π§2 = π§1 β π§2 d. π§1 π§2 = π§1 π§2 ; π§2 β 0 π₯1 + ππ¦1 π₯2 + ππ¦2 Γ π₯2 β ππ¦2 π₯2 β ππ¦2 = π₯1 β π₯2 + π₯1ππ¦2 β π₯2ππ¦1 + π2 π¦1π¦2 π₯2 2 β π₯1ππ¦2 + π₯2ππ¦1 β π2π¦2 2 = π₯1 β π₯2 + π₯1ππ¦2 β π₯2ππ¦1 + π2 π¦1π¦2 π₯2 2 β π2π¦2 2 = π₯1 β π₯2 + π₯1ππ¦2 β π₯2ππ¦1 + π2 π¦1π¦2 π₯2 2 + π¦2 2 π§1 π§2 = π₯1 β ππ¦1 π₯2 β ππ¦2 Γ π₯2 + ππ¦2 π₯2 + ππ¦2 = π₯1 β π₯2 + π₯1ππ¦2 β π₯2ππ¦1 β π2 π¦1π¦2 π₯2 2 + π₯1ππ¦2 β π₯2ππ¦1 β π2π¦2 2 = π₯1 β π₯2 + π₯1ππ¦2 β π₯2ππ¦1 β π2 π¦1π¦2 π₯2 2 + π¦2 2
- 11. 3. Penjumlahan π§ + π§ dari bilangan kompleks π§ = π₯ + ππ¦ dan sekawannya π§ = π₯ β ππ¦ adalah bilangan real 2π₯ dan pengurangannya π§ β π§ adalah bilangan imajiner murni 2ππ¦. Jadi 2 π π π§ = π§ + π§ ππ‘ππ’ π π π§ = π§+π§ 2 dan 2π . πΌπ π§ = π§ β π§ atau Im π§ = π§βπ§ 2π Pembuktian : οΆ π§ + π§ = 2π π π§ Dimisalkan π§ = π₯ + ππ¦ maka π§ = π₯ β ππ¦ π₯ + ππ¦ + π₯ β ππ¦ = π₯ + ππ¦ + π₯ β ππ¦ = 2π₯ Dikarenakan x = π π π§ maka 2x = 2π π π§ Jadi terbukti bahwa π§ + π§ = 2π π π§ οΆ π§ β π§ = 2πΌπ π§ Dimisalkan π§ = π₯ + ππ¦ maka π§ = π₯ β ππ¦ π₯ + ππ¦ β π₯ β ππ¦ = π₯ + ππ¦ β π₯ + ππ¦ = 2ππ¦ = 2πΌπ(π§) Dikarenakan x = π π π§ maka 2x = 2π π π§ Jadi terbukti bahwa π§ β π§ = 2πΌπ π§
- 12. Definisi: βJika π§ = π₯ + ππ¦ bilangan kompleks, maka modulus dari z, ditulis π§ dan didefinisikan sebagai π = π + ππ = ππ + ππ β Definisi ini menunjukan bahwa π§ merupakan bilangan real positif atau nol. Secara geometri, bilangan z adalah jarak antara titik (x,y) dan titik asal 0=(0,0), atau Panjang dari vektor yang dinyatakan dengan z. Akibat dari definisi tersebut, jika π§1 = (π₯1, π¦1) dan π§2 = π₯2, π¦2 , ππππ π§1 β π§2 = (π₯1 β π₯2)2 + (π¦1 β π¦2)2 , Menyatakan jarak antara π§1πππ π§2. Selanjutnya apabila π§1 = π₯1 + π¦1π dan r bilangan real positif, maka π§ β π§1 = π menyatakan lingkaran berpusat di titik π§1 = (π₯1, π¦1) berjari-jari r. sedangkan π§ β π§1 < r menyatakan daerah di dalam lingkaran yang berpusat di π§1 = (π₯1, π¦1) berjari-jari r. Penting sekali diingat bahwa tidak ada urutan antara dua bilangan kompleks π§1 dan π§2. Tetapi untuk modulusnya dikenal urutan karena modulus suatu bilangan kompleks merupakan bilangan real.
- 13. 1. π§ = π§ Pembuktian : Misalkan π§ = π₯ + ππ¦ π§ = π₯ + ππ¦ = π₯2 + π¦2 dan π§ = π₯ β ππ¦ = π₯2 + (βπ¦2) = π₯2 + π¦2 Jadi terbukti bahwa π§ = π§ 2. π§ 2 = (π π π§ )2 +(πΌπ π§ )2 = π₯ + ππ¦ 2 = π₯2 + π¦2 2 = π₯2 + π¦2 Dikarenakan π₯ = π π π₯ dan π¦ = πΌπ(π₯) maka π₯2 + π¦2 = π π(π§) 2 + πΌπ(π§) 2 Jadi terbukti bahwa π§ 2 = (π π π§ )2 +(πΌπ π§ )2 3. π§ 2 = π§ β π§ Misalkan π§ = π₯ + ππ¦ π§ 2 = π₯ + ππ¦ 2 = π₯2 + π¦2 2 = π₯2 + π¦2 π§ β π§ = π₯ + ππ¦ β π₯ β ππ¦ = π₯2 β π₯ππ¦ + π₯ππ¦ β π2 π¦2 = π₯2 β β1 2 π¦2 = π₯2 + π¦2 Jadi terbukti π§ 2 = π§ β π§
- 14. 1. π1. π2 = π1 . π2 π§1 β π§2 = (π₯1 + ππ¦1) β (π₯2 + ππ¦2) = π₯1π₯2 β π¦1π¦2 + (π₯1π¦2 + π₯2π¦1) = π₯1π₯2 β π¦1π¦2 2 + (π₯1π¦2 + π₯2π¦1)2 = π₯1 2 + π₯2 2 + π¦1 2 + π¦2 2 β 2π₯1π₯2π¦1π¦2 + π₯1 2 + π₯2 2 + π¦1 2 + π¦2 2 + 2π₯1π₯2π¦1π¦2 = (π₯1 2 + π¦1 2 )(π₯2 2 + π¦2 2 ) = (π₯1 2 + π¦1 2 ) Γ (π₯2 2 + π¦2 2 ) = π§1 β π§2 Jadi Terbukti bahwa π1. π2 = π1 . π2 1. π1 π2 = π1 π2 Jika π2 β 0 2. π1 + π2 β€ π1 + π2 ππ‘ππ’ π1 + π2 + π3+, β¦ , +000 ππ β€ π1 + , π2 + π3 +, β¦ , + ππ 3. π1 β π2 = π2 β π1 4. π1 β π2 β€ π1 β π2 ππ‘ππ’ π1 β π2 β€ π1 β π2
- 15. Bilangan Kompleks dapat dinyatakan dalam peubah polar yaitu π dan π Notasi r yaitu Modulu π = π§ = π₯2 + π¦2 Notasi π yaitu Argumen dari Z π = πππ π§ = tanβ1 π¦ π₯ Argumen Z yaitu sudut yang terbentuk oleh π§ π₯, π¦ dengan sumbu real positif.
- 16. Perlu diperhatikan : πππ π§ =>> Himpunan π΄ππ π§ =>> Bilangan Pada bilangan kompleks π§ = π(cos π + π sin π) terdapat dua bilangan kompleks yaitu π§1 = π(cos π1 + π sin π1) π§2 = π(cos π2 + π sin π2) Dikatakan sama π§1 = π§2 , jika π1 = π2 dan π1 = π2 + 2ππ, π π π
- 17. Bilangan Kompleks terdefinisi jika nilai argumen pada interval (βπ, π Argumen Utama Z (Principal Argument) >>> Aππ π§ Jika π§ = π(cos π + π sin π) dengan π > 0 dan 0 β€ π < 2π atau βπ < π < π Maka πππ π§ = Aππ π§ + 2ππ ; π π π
- 18. Dengan menggunakan rumus Euler : πβππ = cos π + π sin π Bentuk polar bilangan kompleks z dapat diubah menjadi π§ = π(cos π + π sin π) = ππππ Penulisan π§ = ππβππ merupakan bentuk eksponen dari bilangan kompleks z Selanjutnya kompleks sekawan dari z adalah π§ = π(cos π β π sin π) = π(cos βπ β π sin βπ ) = ππβππ
- 20. Tentukan argument z, jika π§ = β1 β π π terletak di kuadran III, sehingga jika diambil putaran positif Arg z = 5π 4 . Akan tetapi jawaban ini salahm karena adanya Batasan nilai utama Argmen π yaitu βπ < π β€ π. Oleh karena itu, kita harus mengambil putaran negative (putaran kanan), sehingga Arg β1 + π = β 3π 4 , dan arg β1 + π = β 3π 4 + 2ππ
- 21. Sifat dari modulus dan sekawan memungkinkan untuk menurunkan sifat aljabar dari ketaksamaan segitiga, dengan menentukan suatu batas atas untuk modulus dari penjumlahan dua bilangan kompleks π§1 dan π§2 : π1 + π2 β€ π1 + π2 Ketaksamaan ini sangat penting dalam geometri, yang menyatakan bahwa panjang suatu sisi pada suatu segitiga adalah lebih kecil atau sama dengan jumlah panjang dua sisi yang lainnya. Sebagai catatan adalah suatu kesamaan apabila titik π§1, π§2dan 0 adalah kolinier.
- 22. 0 β€ π₯1. π¦2 β π₯2. π¦1 2 0 β€ π₯1 2 . π¦2 2 + π₯2 2 . π¦1 2 β 2 π₯1. π₯2. π¦1. π¦2 2 π₯1. π₯2. π¦1. π¦2 β€ π₯1 2 . π¦2 2 + π₯2 2 . π¦1 2 π₯1 2 . π¦2 2 + π₯2 2 . π¦1 2 + 2 π₯1. π₯2. π¦1. π¦2 β€ π₯1 2 . π¦2 2 + π₯2 2 . π¦1 2 + π₯1 2 . π¦2 2 + π₯2 2 . π¦1 2 π₯1. π₯2 + π¦1. π¦2 2 β€ π₯1 2 + π¦1 2 . π₯2 2 + π¦2 2 2. π₯1. π₯2 + π¦1. π¦2 β€ 2 π₯1 2 + π¦1 2 . π₯2 2 + π¦2 2 π₯1 2 + 2 π₯1. π₯2 + π₯2 2 + π¦1 2 + 2π¦1. π¦2 + π¦2 2 β€ π₯1 2 + π¦1 2 + 2 π₯1 2 + π¦1 2 . π₯2 2 + π¦2 2 + π₯2 2 + π¦2 2 π₯1 + π₯2 2 + π¦1 + π¦2 2 β€ π₯1 2 + π¦1 2 . π₯2 2 + π¦2 2 2 π₯1 + π₯2 2 + π¦1 + π¦2 2 β€ π₯1 2 + π¦1 2 . π₯2 2 + π¦2 2 π1 + π2 β€ π1 + π2 β΄ πππππ’ππ‘π ππβπ€π π1 + π2 β€ π1 + π2 π1 + π2 β€ π1 + π2
- 23. 1. Gambarkan bilangan kompleks π§1,π§2, π§1 + π§2 dengan cara seperti penjumlahan pada vector jika diketahui π§1 = 3 + 2π dan π§2 = 1 β 3i 2. Gambarkan bilangan kompleks π§1,π§2, π§1 β π§2 dengan cara seperti pengurangan pada vector jika diketahui π§1 = 9 + 6π dan π§2 = 4 β 7i 3. Diketahui bilangan kompleks π§1 = 2 + 6π πππ π§2 = 3 β 4π. gambarkan bilangan kompleks π§1,π§2, π§1 + π§2, πππ π§1 β π§2 dengan cara seperti penjumlahan dan pengurangan pada vector! 4. Selesaikan bilangan kompleks berikut dengan cara analitik dan grafik : β3 + 5π + 4 + 2π + 5 β 3π + β4 β 6π = 5. Buktikan: Z1. Z2 = Z1 . Z2 6. tentukan dengan menggunakan modulus (nilai mutlak) 3 + 1π) + (4 + 3π = 7. Nyatakanlah π§ = 3 + π dalam bentuk polar dan bentuk eksponen!