Kalkulus modul i himpunan

5,759 views

Published on

  • terimakasih atas infonnya ttg Kalkulus_Himpunan
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here

Kalkulus modul i himpunan

  1. 1. Kalkulus I1 HIMPUNAN1.1 PENDAHULUAN• Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu.• Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S.• Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan a ∈ S dan dibaca “a elemen S”.• Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan a ∉ S dan dibaca “a bukan elemen S”.• Cara menyatakan himpunan adalah dengan: 1. Mendaftar seluruh anggotanya. Contoh 1.1 Himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai: A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 2. Menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Notasi = { x| syarat yang harus dipenuhi oleh x} Contoh 1.2 A = {x | x bilangan bulat positif kurang dari 10} G adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5, dinyatakan G = {x|x adalah himp bil bulat positif lebih kecil dari 5}, atau dalam notasi lebih ringkas G = {x|x ∈P,x < 5}1.2 MACAM-MACAM PENYAJIAN SUATU HIMPUNAN• Diagram Venn Menyajikan himpunan secara grafis Contoh 1.3 Jika U= {1,2,…,7,8} A={1,2,3,5} B={2,5,6,8} dan dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah sebagai berikut.Kardinalitas• Kardinalitas dari himpunan A adalah jumlah elemen dari Himpunan A. Notasi n(A) atau │A│Lukmanulhakim Almamalik I-1 
  2. 2. Kalkulus I Contoh 1.4 A = { x│x merupakan bilangan genap pertama < 7 }, maka n(A) = 3 (menyatakan jumlah elemen dari himpunan A)Himpunan Kosong• Himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota atau himpunan dengan kardinal = 0, disebut himpunan kosong (null set). Notasi: { } atau Ø Contoh 1.5 A = himpunan software aplikasi yang dapat dipakai dengan semua sistem operasi. A = { } atau ØHimpunan Bagian• Himpunan A dikatakan himpunan bagian B, jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan anggota dari B. Notasi: A ⊂ B Contoh 1.6 Jika A = {1, 2, 3} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5}, maka dapat kita nyatakan bahwa A⊂ B. A⊂A Ø⊂AHimpunan Sama• Dua buah himpunan dikatakan sama jika dan hanya jika A ⊂ B dan B ⊂ A Notasi: A = B Contoh 1.7 Jika A= { 2, 4, 5 } ; B = { 2, 4, 5 } ; C={ 4, 5 }, maka A = B; A ≠ C; B ≠ C• Tiga prinsip yang perlu diketahui: 1. Urutan elemen tidak penting. Contoh 1.8 {2, 4, 5} = {4, 2, 5} = {2, 5, 4} 2. Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan 2 buah himpunan. Contoh 1.9 { 5, 5, 5,5 } = { 5, 5,5} = { 5 } 3. Untuk 3 himpunan A, B, dan C, maka berlaku: • A = A; B = B dan C = C • Jika A = B, maka B = A • Jika A = B dan B = C, maka A = CHimpunan Ekivalen• Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B ⇔ n (A) = n (B) Notasi: A ∞ B ⇔ n(A) = n(B)Lukmanulhakim Almamalik I-2 
  3. 3. Kalkulus I Contoh 1.10 A = { pisang, apel, jeruk, rambutan } → n(A) = 4 B = { Ita, Adi, Eko, Nia} → n(B) = 4 A∞BHimpunan Saling Lepas• Himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama Notasi: A // B Contoh 1.11 Jika A = { x | x Є P, x<7} dan B = { x | x Є Q , x > 10} Himpunan A dan B dikatakan saling lepas atau A // BHimpunan Kuasa• Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi: P(A) n(P(A)) = 2n(A)1.3. OPERASI PADA HIMPUNAN• IrisanDefinisi: Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap elemennya merupakanelemen dari himpunan A dan himpunan B.Notasi: A ∩ B = { x │ x ∈ A dan x ∈ B} Contoh 1.12 a. Irisan dalam himpunan saling lepas adalah himpunan kosong. b. A = {(x,y)│ x+y = 7, x,y ∈ P} dan B = {(x,y)│x-y = 3,x,y ∈ P}, maka A ∩ B = {(5,2)}• GabunganDefinisi gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap elemennya merupakanelemen dari himpunan A atau himpunan B.Notasi: A ∪ B = { x│ x ∈ A atau x ∈ B} Contoh1.13 A = { 1, 4, 5 } ; B = { 2, 4, 6, 7 } A ∪ B = { 1, 2, 4, 5, 6, 7}• KomplemenDefinisi: komplemen suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatuhimpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A.Notasi: AC = { x│ x ∈ U dan x ∉ A } Contoh 1.14 Diketahui bahwa U = { 1, 2, 3, 4,...,9} jika A = {2, 4, 6}, maka AC = {1, 3, 5, 7, 8, 9}Lukmanulhakim Almamalik I-3 
  4. 4. Kalkulus I• SelisihDefinisi selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakanelemen A dan bukan elemen B atau komplemen himpunan B relative terhadap himpunan A.Notasi: A – B = { x│x ∈ A dan x ∉ B} = A∩BC Contoh 1.15 A = {1, 2, 3, . . . .,10}; B = { 2, 4, 6, 8, 10} A - B = {1, 3, 5, 7, 9}; B - A= { }• Beda SetangkupDefinisi: Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya adapada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanyaNotasi: A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A-B) ∪ (B-A) Contoh 1.16 A= { 2, 4, 6}; B = {2, 3, 5} A ⊕ B = { 4, 6, 3, 5}Beberapa operasi antar himpunan A∪Ø=A Hukum Identitas A∩U=A A⊕Ø=A A∩Ø=Ø Hukum Null A∪U=U A ⊕A=Ø A∪Ā=U Hukum Komplemen A∩Ā=Ø A∪A=A Hukum Idempoten A∩A=A Hukum involusi (A) = A A ∪ (A∩B) =A Hukum penyerapan A ∩ (A ∪ B) =A A∪B=B∪A Hukum komutatif A ∩ B= A ∩B A ∪ (B ∪ C) =A ∪ (B ∪ C) Hukum Asosiatif A ∩ (B ∩ C) =A ∩ (B ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Hukum Distributif A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A∩B=A∪B Hukum De Morgan A∪B=A∩B Ø=U Hukum 0/1 U=ØLukmanulhakim Almamalik I-4 
  5. 5. Kalkulus ILatihan 1.11. Diketahui dari mahasiswa informatika berjumlah 600 mahasiswa, dengan 256 mahasiswa menguasai sistem operasi linux; 354 mahasiswa menguasai sistem operasi windows; 150 mahasiswa menguasai linux dan windows; 200 mahasiswa menguasai sistem operasi unix; 100 mahasiswa menguasai ketiga sistem operasi. a. Berapa mahasiswa yang tidak menguasai ketiga sistem operasi tersebut? b. Berapa mahasiswa yang hanya menguasai sistem operasi windows, tetapi tidak menguasai linux dan unix?2. Misalkan himpunan semesta adalah himpunan sistem operasi produksi Microsoft dan himpunan-himpunan lainnya dinyatakan oleh: A = { WinME, Win2000, WinXP,. . . } B = { Win3.1, Win3.11, Win95, Win97} C = { Win97, Win98 , Win98SE, WinME } Carilah: a. (A ∪ B) – B b. ( A ∩ B ) ∪ C’ c. ( A ⊕ B )- C d. ( B-C) ⊕ A e. (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)’ f. (A-B) ∩ C’ g. 2n(A) h. 2n(B) i. n ( A ∪ B) j. n (A ∩ B)3. Tuliskan himpunan-himpunan berikut dengan metoda pendaftaran dan metoda pensyaratan atau kedua-duanya. a. Himpunan bilangan asli ≤ 20 b. A = { 2,4,6,8,10,12}4. Jika A = {1,2,3,4,5}, B = {2,3,4} dan C= {2,4,5}, tentukan hubungan yang benar di antara hubungan-hubungan berikut: a. A ⊂ B b. A ⊂ C c. B ⊂ A d. B ⊂ C e. C ⊂ A f. C ⊂ BLukmanulhakim Almamalik I-5 

×