matrizes e propriedade

1. MATRIZES
ENSINO MÉDIO
ROSEILDO NUNES DA CRUZ

2. MATRIZES - APLICAÇÕES
O conceito de matriz é amplamente utilizado nos estudos da ciência da
computação. O armazenamento de dados por meio de tabelas matriciais é a forma
que possibilita melhor organização destes dados e auxilia a economia de memória
do computador.

3. NOÇÃO DE MATRIZ
Uma matriz é uma tabela em que os elementos são dispostos em linhas e
colunas; assim, uma tabela que possui m linhas e n colunas é uma matriz m × n (leia:
m por n), sendo m e n números inteiros positivos.
As matrizes têm nomes indicados por letras maiúsculas do nosso alfabeto e
seus elementos devem estar compreendidos entre símbolos convencionados. Há
três simbologias possíveis.

4. Tabelas com m linhas e n colunas são denominadas
matrizes m x n. Veja alguns exemplos:
é uma matriz do tipo __ x __
é uma matriz do tipo __ x __
é uma matriz do tipo __ x __
é uma matriz do tipo
__ x __ ou de ordem
___

5. MATRIZ GENÉRICA
Uma matriz A do tipo m x n é representada por = [aij]m x n, em que i e j
representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.
Podemos representar uma matriz genericamente na forma:
Exemplos:

6. ESCREVENDO MATRIZES A PARTIR DA LEI
DE FORMAÇÃO.
Escreva a matriz A, dada pela Lei de formação (aij)mxn:
 a) A = (aij)3x1, tal que aij = 3i – 2j

7. OUTRO EXEMPLO:

8. OUTRO EXEMPLO

9. OUTRO EXEMPLO

10. TIPOS DE MATRIZES
 MATRIZ LINHA: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha.
Exemplo:
 MATRIZ COLUNA: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única
coluna.
Exemplo:

11. TIPOS DE MATRIZES
 MATRIZ QUADRADA: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número
de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n.
Exemplo:

12. TIPOS DE MATRIZES
• MATRIZ NULA: matriz em que todos os elementos são nulos; é
representada por 0m x n.
Exemplo:
• MATRIZ DIAGONAL: matriz em que todos os elementos que não
estão na diagonal principal são nulos.

13. TIPOS DE MATRIZES
• MATRIZ IDENTIDADE: matriz em que todos os elementos da diagonal principal
são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da
matriz.
Exemplo:
• MATRIZ OPOSTA: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos
os elementos de A.
Exemplo:

14. TIPOS DE MATRIZES
• MATRIZTRANSPOSTA OU SIMÉTRICA: matriz At obtida a partir da matriz
A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas.
Exemplo:
• MATRIZ ANTISSIMÉTRICA: é aquela cuja matriz transposta coincide com sua
matriz oposta. É representada por -At
Exemplo:

15. IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes,A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos
os elementos que ocupam a mesma posição são iguais.
Exemplo:

16. OUTRO EXEMPLO

17. OUTRO EXEMPLO

18. OPERAÇÕES COM MATRIZES - ADIÇÃO
Dadas as matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛 denomina-se a soma dessas
matrizes (𝑨 + 𝑩) a matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗
)𝑚𝑥𝑛, na qual cada elemento é obtido somando
os elementos correspondentes de 𝐴 e 𝐵, ou seja, 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗

19. OPERAÇÕES COM MATRIZES - SUBTRAÇÃO
Dadas as matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛 denomina-se a diferença dessas
matrizes (𝑨 − 𝑩) a matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗
)𝑚𝑥𝑛, na qual cada elemento é obtido subtraindo os
elementos correspondentes de 𝐴 e 𝐵, ou seja, 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗

20. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL
POR UMA MATRIZ
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por
A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por
x.
B = x.A

21. OUTRO EXEMPLO

22. OUTRO EXEMPLO

23. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Durante a primeira fase da Copa do Mundo realizada no Japão e na Coréia do
Sul em 2002, o grupo C era formado por quatro países, conforme a tabela abaixo.
Observe os resultados (vitórias, empates e derrotas) e registre na matriz A, de
ordem 4𝑥3.
Pelo regulamente da Copa, cada resultado (vitória, empate e derrota) tem
pontuação correspondente (3 pontos, 1 ponto ou 0 ponto). Veja esse registro na
tabela abaixo e monte uma matriz B, de ordem 3𝑥1.

24. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Terminada a primeira fase, foi verificado o total de pontos feitos por cada país.
Essa pontuação pode ser registrada numa matriz que é representada por 𝐴. 𝐵
(produto de A por B).Vamos obter essa matriz:

25. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
O produto das matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗
)𝑚𝑥𝑛 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗
)𝑚𝑥𝑛 é a matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗
)𝑚𝑥𝑛 em
que cada elemento 𝑐𝑖𝑗
é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-ésima linha de 𝑨 pelos elementos da j-ésima coluna de 𝑩.
Exemplos:
Vamos multiplicar as matrizes:

26. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Vamos multiplicar as matrizes:

27. OUTRO EXEMPLO

28. OUTRO EXEMPLO

29. OUTRO EXEMPLO