ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffaaaaaaaaaaaaaaajjjjeeeeeeeeeeeeeeeeeeerrrrrrrrrrrrrrrrrrrtttttttttttttttttttyyyyyyyyyyyyyyyyyyyeeeeeeeeeeeeeeeeeee

1. 1
4.3. TÍCH PHÂN BỘI BA

2. 2
4.3. TÍCH PHÂN BỘI BA
-------------------------------------------------------------------------------------------
Cho = ( , , ) xác định trên miền hình hộp chữ nhật Ω = , × , × [ , ]
( , , )

 
I f x y z dxdydz
+ Chia [ , ] thành m đoạn bởi các điểm : = < < ⋯ < = và Chia
[ , ] thành n đoạn bởi các điểm : c = < < ⋯ < = và [ , ] thành
đoạn bởi các điểm : = < < ⋯ < = . Khi đó, Ω được chia thành =
. . hình hộp chữ nhật nhỏ Ω .
+ Trên mỗi Ω lấy điểm , , bất kì. Ta lập các tổng Darboux trên và
dưới như sau:
̅ = ∑ (Ω ) và = ∑ (Ω ) ,
ở đó là đường kính lớn nhất của các , = sup ( , , ) và = inf ( , , ).
Nếu lim
→
̅ − = 0 thì ta nói khả tích trên Ω và
I= lim
→
sup ̅ = lim
→
inf
gọi là tích phân bội ba của , , ê Ω à kí hiệu là
* Tích phân bội ba của hàm số trên miền hình chữ nhật.
4.3.1. Định nghĩa và tính chất

3. 3
4.3.1. Định nghĩa vfa tính chất
-------------------------------------------------------------------------------------------
Cho = ( , , ) xác định trên miền giới nội, đo được Jordan D.
* Tích phân bộ ba của hàm số trên miền giới nội.
Lấy hình hộp chữ nhật Ω sao cho D ⊂ Ω và xét hàm
, , =
, , ế , , ∈ D
0 ế , , ∉ D
.
Nếu ( , , ) khả tích trên Ω thì , , khả tích trên và
( , , ) ( , , )


 
D
f x y z dxdydz g x y z dxdydz
Điều kiện tồn tại tích phân:
Mọi ánh xạ : → giới nội và liên tục trên một tập con đo được Jordan D của
đều khả tích trên .

4. TÍNH CHẤT CƠ BẢN
------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------

5. TÍNH CHẤT CƠ BẢN
------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------
11)

6. 6
4.3.2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC
-------------------------------------------------------------------------------------------
Cách tính : đưa về 3 tích phân xác định theo từng biến (tích phân lặp)
Tích phân bội ba Tích phân kép Tích phân lặp
 

7. a/ Trường hợp miền là hình hộp chữ nhật :
a x b
c y d
m z n
 


  

  

Khi đó



 

n
m
d
c
b
a
dz
z
y
x
f
dy
dx
dxdydz
z
y
x
f )
,
,
(
)
,
,
(
4.3.2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC
-----------------------------------------------------------------------------------


8. 2
I xy dxdydz

 
Ví dụ 1. Tính , với













3
1
2
1
1
0
:
z
y
x
Ta có
1 2 3 1 2 3
2 2
0 1 1 0 1 1
. .
I dx dy xy dz xdx y dy dz
 
 
     
1 2
2 2
3
1
0 1
2 3
x y
z

  
4.3.2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC
-----------------------------------------------------------------------------------
1
3 2 3
2
   

9. b/ Trường hợp miền là miền xác định bởi












)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
:
2
1
2
1
y
x
z
z
y
x
z
x
y
y
x
y
b
x
a
4.3.2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC
-----------------------------------------------------------------------------------




 


)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
2
1
2
1
)
,
,
(
)
,
,
(
y
x
z
y
x
z
x
y
x
y
b
a
dz
z
y
x
f
dy
dx
dxdydz
z
y
x
f
I


 zdxdydz
I
Ví dụ 2. Tính , với












xy
z
y
y
x
y
0
2
1
:
2
2
2
1 0
y xy
y
I dy dx zdz
     
 

2
1
5
8
6
1
dy
y
y
2
1
6
9
6
9
6
1








y
y
Ta có
2 2
2
1 0
2
xy
y
y
z
dy dx
 
 

 
 
 

10. Khi đó
2
1
( , )
( , )
( , , ) ( , , )
z x y
D z x y
f x y z dxdydz dxdy f x y z dz


  
c/ Trường hợp miền được giới hạn bởi mặt dưới và
mặt trên là các mặt và , có
hình chiếu lên mặt phẳng Oxy là miền D.
1( , )
z z x y


2( , )
z z x y

2 ( , )
z z x y

1( , )
z z xy

Hình
chiếu D
Ví dụ 3. Tính


 zdxdydz
I , với








2
2
2
2
2
y
x
z
y
x
z
4.3.2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC
-----------------------------------------------------------------------------------

11. 







2
2
2
2
2
y
x
z
y
x
z
Trước hết, ta xác định giao tuyến của 2 mặt cong











t
t
y
x
t
2
2
2
2
0
1

 t 1

 z 1
2
2


 y
x
Vậy giao tuyến của 2 mặt cong là đường tròn 1
2
2

 y
x
Suy ra : hình chiếu của  lên mp Oxy là hình tròn






0
1
:
2
2
z
y
x
D
2 2
2
2 2
x y
D
x y
I dxdy zdz
 

   
Ví dụ 3. Tính


 zdxdydz
I , với








2
2
2
2
2
y
x
z
y
x
z
   
2
2 2 2 2
1
2
2 D
dxdy x y x y
 
    
 
 

11
...
12

  

12. Ví dụ 4. Tính tích phân bội ba trong đó V là vật thể giới hạn bởi
V
I zdxdydz
 
Hình chiếu của V xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
2
1 , 1
y x z x
   
Mặt phía trên: 2
2( , ) 1
z x y x
 
0
z 
2
1
0
x
OAB
I zdz dxdy


 
  
 
 
và các mặt phẳng tọa độ, (phần )
0
z 
Tam giác OAB
A
B
4.3.2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC
-----------------------------------------------------------------------------------
B
A
O
 
2
2
1 1
0 0
1
2
x x
dx dy
 
  
11
60

2
1
2
0
2
x
OAB
z
dxdy


 
 

 
 
 

 
2
2
1
2
OAB
x
dxdy


 

13. Ví dụ 5. Tính 


 dxdydz
z
x
I 2
2
, với










2
0
4
:
2
2
y
y
z
x
2
x
y
z
Hình chiếu của V xuống 0xz là
Mặt phía dưới:
Mặt phía trên: 2
y 
0
y 
2 2
: 4
D x z
 

 


2
0
2
2
dy
z
x
dxdz
I
D
 

D
dxdz
z
x 2
2
2
3
32
2
2
0
2
2
0





 
 dr
r
d
I
Đổi sang tọa độ cực, ta có

14. 14
4.3.3. PHÉP ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA
4.3.3.1. Phép đổi biến tổng quát.
4.3.3.2. Đổi biến trong tọa độ trụ.
4.3.3.3. Đổi biến trong tọa độ cầu.

15. 

 dxdydz
z
y
x
f
I )
,
,
(
Xét tích phân
Đặt
( , , )
( , , )
( , , )
x x u v w
y y u v w
z z u v w





 

' ' '
( , , )
' ' '
( , ,w)
' ' '
u v w
u v w
u v w
x x x
D x y z
J y y y
D u v
z z z
  
Khi đó



1
)).
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
( dudvdw
J
w
v
u
z
w
v
u
y
w
v
u
x
f
I
4.3.3.1. PHÉP ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT
-----------------------------------------------------------------------------------
1
  

16. 

 dxdydz
I 2
Ví dụ 1. Tính , với










0
1
1
4
9
:
2
2
2
z
z
y
x
Đặt












w
z
v
y
u
x
1
2
3
1
0
0
0
2
0
0
0
3
'
'
'
'
'
'
'
'
'



w
v
u
w
v
u
w
v
u
z
z
z
y
y
y
x
x
x
J
6
1
.
2
.
3 

1
3
1 12 4
2.6 12 8
2 2 3
r
I dudvdw V



 
 
    
 
 
   

4.3.3.1. PHÉP ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT
-----------------------------------------------------------------------------------
2 2 2
1 : w 1,w 0
u v
      

17. Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ
0xyz.
( , , )
M x y z 
1( , ,0)
M x y


r
z
y
x
z M được xác định duy nhất bởi bộ ( , , )
r z

( , , )
r z
 được gọi là tọa độ trụ của điểm M.
Công thức đổi biến từ tọa độ
Decasters sang tọa độ trụ:
cos
sin
x r
y r
z z


 


 

 

4.3.3.1. PHÉP ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT
-----------------------------------------------------------------------------------
a. Tọa độ trụ.
+ là tọa độ cực của hình chiếu
M1 của M lên Oxy.
+ z là cao độ của M.
( , )
r 

18. 1 ( , )
z z r 

2 ( , )
z z r 

b. Đổi biến trong tọa độ trụ.(khi là hình trụ tròn hoặc trụ elip)
cos
sin ,
x r
y r
z z


 


 

 

( , , )
I f x y z dxdydz

 
Mặt phía dưới: 1( , )
z z r 

Mặt phía trên: 2( , )
z z r 

Hình chiếu: 1 2
1 2
:
D
r r r
  
 


 

2 2 2
1 1 1
( , )
( , )
( cos , sin , )
r z r
r z r
I d r
dr f r r z dz
 
 
  
  
  
J r

Đặt
1 2
1 1 2
1 2
: ( ) ( )
( , ) ( , )
r r r
z r z z r
  
 
 
 


  

  


+Jacobi

19. Ví dụ 2. Tính tích phân trong đó V là vật thể giới hạn bởi
2 2
V
I x y dxdydz
 

Hình chiếu xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
2 2 2 2
4, 1 , 1.
z z x y x y
     
Mặt phía trên: 4
z 
2 2 2
1 1
z x y r
    
2 2
: 1
D x y
 
2
2 1 4
0 0 1 r
I d dr r dz
r



  
  
1
2
0 2
0 1
:
1 4
r
V V
r z
 
 

  
 
   

2
2 1 4
2
1
0 0 r
I d dr r z



 
    
 
 
2 1
2 2
0 0
(3 )
d r r dr


 
 
12
5


cos
sin ,
x r
y r
z z


 


 

 

J r

Đặt

20. Ví dụ 3. Tính tích phân trong đó V là vật thể giới hạn bởi
Hình chiếu xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
Mặt phía trên: 2
2
z r
 
2
z r

2 2
: 1
D x y
 
1
2 2
0 2
0 1
:
2
r
V V
r z r
 
 

  
 
   

cos
sin ,
x r
y r
z z


 


 

 

J r

Đặt
V
I zdxdydz
 
2 2 2 2 2 2
, 2 , 1.
z x y z x y x y
      
2
2
2 1 2
0 0
r
r
I d dr z dz
r



  
  
2
2
2
2
2 1
0 0 2
r
r
z
d r dr



   3


21. Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz.
( , , )
M x y z 
1( , ,0)
M x y


y
x
z
M được xác định duy nhất bởi bộ ( , , )
r
 
( , , )
r
  được gọi là tọa độ cầu của điểm M.
 r
cos
z r 

sin
c
r r 

4.3.3.3. PHÉP ĐỔI BIẾN TRONG TỌA ĐỘ CẦU
-----------------------------------------------------------------------------------
a. Tọa độ cầu.

( , )
Oz OM
 


r OM


1
( , )
Ox OM
 

Chú ý: 0
0 2
0 r
 
    
 
    
  
or

22. ( , , )
I f x y z dxdydz

 
2 2 2
1 1 1
( , )
( , )
2
( sin cos , sin si si
n , cos ) n
r
r
I d d f r r r d
r r
   
   
       
  
  
4.3.3.3. PHÉP ĐỔI BIẾN TRONG TỌA ĐỘ CẦU
-----------------------------------------------------------------------------------
2
sin
J r 
  
Khi đó
sin cos
sin sin ,
cos
x r
y r
z r
 
 

  


  

  

b. Đổi biến trong tọa độ cầu. (khi có dạng một hình cầu hay một phần
hình cầu hay elipsoid)

Đặt
1 2
1 2
1
1 2
: ( ) ( )
( , ) ( , )
r r r
  
    
   
  

    


 


23. Ví dụ 4. Tính tích phân trong đó V là vật thể giới
hạn bởi
2 2 2
V
I x y z dxdydz
  

2 2 2 2 2
, .
z x y x y z z
    
Đặt
2
sin cos
sin sin , sin
cos
x r
y r J r
z r
 
  

  


    

  

/4 2 cos
0 0 0
2
sin
I d d r r dr
  

 
  
  
1 2
10 80

 
 
 
 
1/2
1
0 2
: 0
4
0
V V
r c
 



  


  


  
 os

24. x
y
z
Ví dụ 5. Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi
( )
E
I y z dxdydz
 

2 2 2
0, 2 ( 0)
z x y z y z
    
Đặt: 2
sin cos
sin sin , sin
cos
x r
y r J r
z r
 
  

  


    

  

2sin sin
0 /2 0
2
( sin sin c sin
os ) r
I d d r r dr
 
 

    


   
  
1
0
:
2
0 2sin sin
V V
r
 

 
 
  


  


   


25. Cách 2.
Xác định cận:
sin cos
sin sin ,
co
1
s
x r
y r
z r
 
 

  


  

  


2 1
/2 0
2
0
(1 sin sin co i
s s n
)
I d d r r
r d
 

     

    
  
Đổi sang tọa độ cầu suy rộng
x
y
z
Gốc tọa độ dời về đây
1
0 2
:
2
0 1
V V
r
 

 
  


  


  

2
sin
J r 
 

26. Từ định nghĩa tích phân bội ba ta có công thức tính thể tích vật thể E:
Có thể sử dụng tích phân kép để tính thể tích vật thể.
Tuy nhiên trong một số trường hợp sử dụng tích phân bội ba tính nhanh hơn,
vì tích phân bội ba có cách đổi sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu.
1
V dxdydz


 
4.3.4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA
--------------------------------------------------------------------

27. Ví dụ 1. Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi
2 2 2 2 2 2 2 2
1; 4,
       
x y z x y z z x y
E
V dxdydz
 
2 /4
2
2
0 0 1
sin
r
V d d dr
 
  
 
  
14 7 2
3 3
 
 
Đặt:
2
sin cos
sin sin , sin
cos
x r
y r J r
z r
 
  

  


    

  

1
0 2
: 0
4
1 2
E E
r
 


  


  


  

Thể tích

28. Ví dụ 2. Tính thể tích của hình elipsoid (E)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
  
E
V dxdydz
 
Sử dụng tọa độ cầu suy rộng
2 1
0 0
2
0
sin
ab
V d dr
cr
d
 
 

 
  
Đặt:
2
sin cos
sin sin , sin
cos
x ar
y br J abcr
z cr
 
  

  


    

  

1
0 2
: 0
0 1
E E
r
 
 
  

  


 

4
3
abc



29. Ví dụ 3. Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi
2 2
2 ; 3, 3
x y x x z x z
     
E
V dxdydz
 
2 3 cos
/2
/2 0 cos 3
os
c r
r
V d dr r dz
 

 


 
 
  
y
x
z
Sử dụng tọa độ trụ
cos
sin ,
x r
y r J r
z z





 

 

O
1
2 2
: 0 2 co s
co s 3 3 co s
E E r
r z r
 


 


 


  


   


4
