1. MẶT BẬC HAI
1. Mặt cầu:
Phương trình:
Tâm I(a, b, c) bán kính R.
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
x a y b z c R
O
x
y
z
( , , )
I a b c
a
b
c
2. 2. Mặt Elipxôít:
Phương trình:
Lưu ý: Khi A = B = C, thì
mặt này trở thành mặt cầu.
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
1
x a y b z c
A B C
z
x
y
O
a
b
c
I
3. 3. Mặt Parabôlít:
Phương trình:
Dạng chính tắc: (đường tròn)
2 2
z x y
O
x
y
z
2 2
2 2
2 2
0 0
2 2
2 2
2 2
MR : 2 3
1
( / 2) ( / 3)
: ( , 0)
z x y
x y
z z
TQ z x y
x z y
y x z
2
2 2
x y z
2 2 2
0 0
0 ( )
z z x y z
2 2 2
0 0
z x y z y
x x
4. Một số dạng suy rộng
2 2 2 2
( ) ( )
z x y z x y
z
x
y
O
5. 2 2 2 2
z x y a z x y a
a
z
x
y
O
6. 2 2 2 2
( ) ( )
z x y a z x y a
O
x
y
a
z
7. 4. Mặt nón:
A. Dạng chính tắc:
2 2 2
2 2
2 2 2
: ( , 0)
z x y
z x y
TQ z x y
2 2
z x y
2 2
z x y
x
y
z
2 2 2
0
0
z y
z x y
x
x
8. B. Một số dạng suy rộng:
2 2
2 2
z x y a
z x y a
a
z
x
y
O
9. 2 2
2 2
z x y a
z x y a
a
2 2 2
2 2 2
;
.
x y z
y z x
z
x
y
O
10. 5. Mặt trụ:
Dạng chính tắc:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
( , 0)
( ) ( ) ( , 0)
SR :
x y R
x y R
x a y b R
y z R
z x R
z
x
y
O
11. 6. Mặt trụ đường sinh là Parabol:
2
2
2
2
.........
y x
x y
y z
z x
z
x
O y
(Cạnh Oz)
(Cạnh Oz)
(Cạnh Ox)
(Cạnh Oy)
2
2
2
2
.........
y x a
x y a
y z a
z x a
12. II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BỘI BA
1. Định nghĩa: Cho (S) là mặt kín giới hạn khối
(+) Chia thành n khối nhỏ:
(+) Với mọi ta có:
- Lấy bất kỳ điểm
- Gọi là đường kính của
(+) Lập tổng
Nếu khi sao cho mà tồn tại không phụ thuộc vào
cách chia và cách chọn thì giới hạn đó được gọi là tích phân
bội 3 của hàm f trên
1 2
, ,..., n
1, ,
i n
i i
M
i
d i
1
( ) ( )
n
n i i
i
I f M V
n
1,
max 0
i
i n
d
lim n
n
I
i i
M
.
( , , ) lim n
n
f x y x dxdydz I
13. 2. Tính chất:
(3) ( , , ) ( , , )
f x y z dxdydz f x y z dxdydz
(1) ( )
V dxdydz
(2) ( )
f g dxdydz f dxdydz gdxdydz
(4) Nếu được chia làm hai khối và không dẫm lên nhau, thì
1 2
fdxdydz fdxdydz fdxdydz
1
2
14.
x
3. Cách tính:
- Tìm hình chiếu D của xuống Oxy
- Tìm miền giao động của z
y
z
O
1 2
:
( , ) ( , )
D Oxy
z x y z z x y
2
1
2
1
( , )
( , )
( , )
( , )
( , , )
( , , )
: ( , , )
z x y
D z x y
z x y
D z x y
f x y z dxdydz
f x y z dz dxdy
dxdy f x y z dz
15. Định lý (Fubini) ( , , )
I f x y z dxdydz
Phân tích khối E: Chọn mặt chiếu là x0y.
Mặt phía trên:
2( , )
z z x y
1( , )
z z x y
Mặt phía dưới:
Hình chiếu xuống Oxy:
Hình chiếu: D
2
1
( , )
( , )
( , , )
z x y
D z x y
dxdy f x y z dz
( , , )
I f x y z dxdydz
2( , )
z z x y
1( , )
z z x y
D
16. Chú ý:
, , ,
, , ,
( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c d p q
q
b d
a c p
q
d b
c a p
p d b
q c a
q
b d
a b c d p q a c p
f x y z dxdydz
dx dy f x y z dz
dy dx f x y z dz
dz dy f x y z dx
u x v y w z dxdydz u x dx v y dy w z dz
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
17. Ví dụ 1:
Tính tích phân 2 2 2 2
( ) , : 1, 2 , 0
I x z dxdydz x y z x y z
2 2 2 2
2 2
1 1
1
2
x y x y
z
z x y
18. Lời giải:
Ta có: 2 2
2 2
: 1
:
0 2
D x y
z x y
2 2
2 2
2
0
2
2
0
2 2 2
2 2
( )
2
(2 )
(2 )
2
x y
D
z x y
D
z
D
I dxdy x z dz
x dxdy
x y
x x y dxd
z
y
z
z
y
x
O
1
2
19.
2 2
2 1
0 0
2
2
2 1 2 1
2 2
0 0 0 0
2
2
2 1 2 1
2 4 2
0 0 0 0
2 2 cos 2
2
2
2 cos
2
2
cos 2 (2 )
4
r r r
I d r dr
r
d r r dr d rdr
r
d r r dr d d r
Đặt: cos
sin
x r
y r
:
| |
0 2
:
0 1
TC
J r
D D
r
20. Ví dụ 2:
Tính tích phân bội ba trong đó là vật thể được giới hạn bởi
,
I zdxdydz
Hình chiếu của E xuống 0xy:
Mặt phía dưới:
2
1 , 1
y x z x
Mặt phía trên: 2
1
z x
0
z
2
1
0
x
OAB
I dxdy zdz
và các mặt phẳng tọa độ trong phần 0
x
Tam giác OAB
A
B
21.
2
1
z x
1
y x
A
B
O
z
x
y
z
x
1
2
:
:
0 1
D OAB
z x
22. 2
1
0
x
OAB
I dxdy zdz
2
2
1 1
0 0
1 11
2 60
x x
dx dy
A
O
B
2
1
2
0
2
z x
OAB z
z
dxdy
2
2
1
2
OAB
x
dxdy
23. Ví dụ 3:
Tính tích phân trong đó là vật thể được giới hạn bởi
(2 3 ) ,
I x y dxdydz
, 1 , 0, 0
y x z y x z
x
y
x
y
z
2
0
x y
y
2
:
0 1
:
0
D Oxy
z y
D Oyz
x y
24.
1
0
1
0
1 1
0
2 3
(2 3 )
2 3 (1 )
2 3 (1 )
11
60
y
D
z y
z
D
D
x
I dxdy x y dz
x y dxdy
x y y dxdy
dx x y y
z
dy
25. Ví dụ 4:
Tính tích phân ( 1) ,
I z dxdydz
2
( ): , , 0, 1.
x y z x z x
:
0
D Oxy
z x
26. 2
0
2
0
2
2
1 1
1
( 1)
2
2
2
38
35
x
D
z x
D
z
D
y
I dxdy z dz
z
z dxdy
x
x dxdy
x
dy x dx
27. III. ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BA LỚP
Xét
Phép đổi biến: Ta đặt
( , , )
I f x y z dxdydz
( , , )
( , , ) ( )
( , , )
x x u v w
y y u v w
z z u v w
Ta có:
1. là ảnh của
2. Jacobi
3.
( , , )
0
( , , )
u v w
u v w
u v w
x x x
D x y z
J y y y
D u v w
z z z
Khi đó
( , , ) ( , , ), ( , , ), ( , , )
f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J dudvdw
Oxyz
Ouvw
| |
dxdydz J dudvdw
28. 1. Hệ tọa độ trụ:
Cho M(x,y,z), khi đó M hoàn
toàn xác định khi biết
Câu hỏi:
(a) Cho cố định,
(b) Cho cố định,
IV. ĐỔI BIẾN SANG HỆ TỌA ĐỘ TRỤ
O
( , , )
( , , )
M x y z
M r z
r
( , , ) , , , ( , , )
x y z N z ON z r z
,r
?
z
r
0 2
??
z
0 2 ( )
: 0
KL r
z
( , ,0)
N x y
x
y
z
z
x
y
29. Trả lời câu hỏi:
O
r
( , ,0)
N x y
( , , )
( , , )
M x y z
M r z
z
x
y
30. 2. Mối liên hệ giữa HTĐ Decartes và HTĐ trụ:
( , , ) ( , , )
M x y z M r z
( , ,0)
N x y
O
I
r
x
a
b y
x
y
z x
y
O
I
cos
: sin
x a r
MLH y b r
z z
0 2 ( )
0 r
z
N
31. 3. Đổi biến sang HTĐ trụ:
Yêu cầu: Tính tích phân
Cách giải:
B1. Vẽ hình, chọn điểm I(a, b, 0), gắn HTĐ trụ vào I.
B2. Phép đặt:
B3. Ta có:
( , , )
I f x y z dxdydz
cos
sin
x a r
y b r
z z
| |
J r dxdydz r drd dz
( , , ) ( cos , sin , )
f x y z dxdydz f r a r b z r drd dz
(nằm trong HTĐ trụ)
32. Ví dụ 1:
Tính tích phân 2 2
,
I x y dxdydz
2 2 2 2
( ): 4, 1 , 1
z z x y x y
Lời giải: Cách 1: Ta có
2 2
2 2
: 1
1 ( ) 4
D x y
x y z
2 2
2 2
4
2 2
1 ( )
4
2 2
1 ( )
2 1
2 2 2 2 2 2
0 0
3 (3 )
D x y
z
D z x y
D
I dxdy x y dz
x y z dxdy
x y x y dxdy d r r dr
33. 2 2
cos
sin
x r
y r x y r
z z
Ta có:
2
| |
0 2
: 0 1
1 4
J r
r
r z
2
2
2 2 2
2 1 4 2 1 2 1
4
2 2 2
1
0 0 0 0 0 0
1
2 1 4 1 4 2 2 1 4
2 2 2
0 0 0 0 0 0
1 1 1
12
(3 )
5
z
z r
r
r r r
I d dr r dz d dr r d r r dr
r dz dr d dr r dz d d dr dz
z
r
r
Cách 2: Đặt
x
y
z
1
4
o
34. Ví dụ 2:
Tính tích phân:
Lời giải: (1) Đặt
Ta có
,
I xy dxdydz
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
(1) : 2; ; 0
(2) : 2; ; 0 0.
x y z z x y y
x y z z x y x y
cos
sin
x r
y r
z z
x
y
z
x
y
2 2
| |
0
: 0 1
2
J r
r
r z r
1
1 O
35. 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 0 1, 2
1
x y z z z z z
z x y z x y x y
36. x
y
z
O
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1 2
3
0 0
1 2
3
0 0
1 2
3
0 0
2 1 2
3
0
0
sin cos
sin cos
sin (sin )
sin
0
2
r
r
r
r
r
r
r
r
I d dr r dz
d dr r dz
d dr r dz
dr r dz
37.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 2
3
0 0
1 2
3
0 0
1 2
3
0 0
1 2
3
0 0
1 2
3
0 0
3
sin cos
sin cos
sin cos
sin cos
sin cos
sin (sin )
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
I d dr r dz
r dz dr d
dr r dz d
dr r dz d
d dr r dz
d dr r dz
2
2
2
1 2
0 0
2 1 2
3
0
0
sin
0
2
r
r
r
dr r dz
38. Ví dụ 3:
Tính tích phân ,
I zdxdydz
2 2 2 2 2 2
: , 2 , 1
z x y z x y x y
2 2
z x y
2 2
2
z x y
2 2
1
x y
2 2
( ): 1
D x y
39. Lời giải: Đặt
2
1
3
O
x
y
z
cos
sin
x r
y r
z z
Ta có:
2 2
| |
0 2
: 0 1
2
J r
r
r z r
2
2
2
2
2 1 2
0 0
2
2
2 1
0 0
1
3
0
2
2 (2 2 ) 3
r
r
z r
z r
I d dr z dz
z
d r
r
r
dr
r dr
O
40. y
Ví dụ 4:
Tính tích phân:
2 2 2 2
; ( ):2 , 2.
I x z dxdydz y x z y
Chiếu xuống x0z
Mặt trên: 2
y
Mặt dưới:
2
2
r
y
Hình chiếu: 2 2
: 4
D x z
2
2 2 2
2
0 0 / 2
r
I d dr r dy
r
41. V. ĐỔI BIẾN SANG HỆ TỌA ĐỘ CẦU
1. Hệ tọa độ cầu:
M xác định khi biết:
Câu hỏi: Hãy xác định trong không gian:
( , , ) ( , , )
M x y z M r
( , ,0)
N x y
x
y
z
r
( , , )
,
, ,
, , ( , , )
M x y z
N z
ON z
r M r
O
x
y
z
, ,
,
0
0 2
0
r
r
r
cố định
cố định
cố định
42.
( , , )
M x y z
0 2 ( )
KL: 0
0 r
cos sin cos
MLH : sin sin sin
cos
cos sin
sin sin
cos
x ON r
y ON r
z r
x r
y r
z r
43. 2. Mối liên hệ giữa HTĐ Đềcác- HTC:
cos sin
sin sin
cos
cos sin
sin sin
cos
X x a
Y y b
Z z c
X r
Y r
Z r
x a r
y b r
z c r
O
x
y
z
X
Y
Z
( , , )
I a b c
( , , )
M x y z
( , ,0)
N x y
x
a b
y
z
c
44. 3. Phép đổi biến trong HTĐ cầu:
Yêu cầu: Tính tích phân:
Cách tính:
B1. Vẽ hình, chọn điểm I(a, b, c), gắn hệ tọa độ cầu vào I.
B2. Phép đặt:
B3. Ta có:
( , , )
I f x y z dxdydz
2 2 2 2
cos sin
sin sin ( ) ( ) ( )
cos
x a r
y b r x a y b z c r
z c r
2 2
| | sin sin
J r dxdydz r drd dz
Trong HTĐ cầu
2
( , , ) ( cos sin , sin sin , cos ) sin
f x y z dxdydz f r a r b r c r drd d
45. Ví dụ 1:
Tính tích phân:
Lời giải: (1) Không giải được theo tọa độ cầu (Hãy giải thích ??)
(2) Đặt:
,
I xy dxdydz
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
(1) : 2; ; 0; 0
(2) : 2; ; 0; 0.
x y z z x y x y
x y z z x y x y
cos sin
sin sin
cos
x r
y r
z r
2
T / C: | | sin
0
2
:
4
0 2
J r
r
/2 1
2
0 /4 0
/2 1
3 4
0 /4 0
/2 1
2 4
0 /4 0
/2 2
2 3 5
0 0
/4
( cos sin )( sin sin )( sin )
sin cos sin
sin (sin ) (cos 1) (cos )
sin cos 1 2 5 2 1 8 5 2
cos
2 3 5 2 3 12 5
I d d r r r dr
d d r dr
d d d r dr
r
120
47. CÂU HỎI:
Khi nào dùng tọa độ trụ, khi nào dùng tọa độ cầu, khi nào không dùng
cho cả hai hệ tọa độ???
KẾT THÚC TUẦN 36
1. Dùng HTĐ cầu:
Liên quan đến MẶT CẦU, mặt Elipxôít
2. Dùng HTĐ trụ:
Liên quan mặt TRỤ, PARABOLIT, NÓN
48. Ví dụ 2: (Tuần 37-13/4-19/4)
Tính tích phân: 2 2 2 2 2 2 2 2
, ( ): ,
I x y z dxdydz z x y x y z z
cos sin
sin sin
cos
x r
y r
z r
2
| | sin
0 2
: 0 / 4
0
J r
r
TC:
cos
2 /4 cos
3
0 0 0
2 /4 cos
3
0 0 0
cos
4
/4
0
0
/4 /4
cos
4 4
0
0 0
sin
sin
2 sin
4
1 2
sin cos (cos )
2 2 10 80
r
r
r
r
I d d r dr
d d r dr
r
d
r d d
Lời giải: Đặt:
1/ 2
1
49. 2 2 2 2 2 2
( 1/ 2) 1/ 4
x y z z x y z
2 2 2 2
cos ( cos ) 0
0 cos
x y z z r r r r
r
50. Ví dụ 3:
Tính tích phân
2 2 2 2 2
, ( ): , 1
I zdxdydz z x y x y z
Lời giải: Đặt: cos sin
sin sin
cos
x r
y r
z r
2
: | | sin
0 2
: 3 / 4
0 1
J r
r
TC
1
3 0
2
2
0 /4
cos sin
I d d r r dr
y
x
z
8
51. x
y
z
Ví dụ 4:
Tính tích phân 2 2 2
( ) , ( ): 0, 2
I y z dxdydz z x y z y
Lời giải: Cách 1. Đặt
2
: | | sin
0
2
0 2sin sin
J r
r
TC
2sin sin
0 /2 0
2
( sin sin c sin
os )
I d d r r r dr
+
cos sin
sin sin
cos
x r
y r
z r
52. 2 2 2 2 2
2 2 sin sin 2 sin sin 0
0 2sin sin
x y z y r r r r
r
53. Cách 2:
cos sin
1 sin sin
cos
x r
y r
z r
2
: | | sin
0 2
2
0 1
J r
r
TC
2 1
0 /2
2
0
(1 sin sin cos ) sin
I d d r r dr
r
+
Đặt:
y
x
z
54. x
y
z
Ví dụ 5:
Tính tích phân
2 2 2 3/2
( ) 2 2 2
, ( ): 0, 1.
x y z
I e dxdydz y x y z
3 3
2 1 2 1
0 0 0
2 2
0
sin si
1
2
3
n
r r
I d d e dr d d e dr
r
e
r
Lời giải: Đặt cos sin
sin sin
cos
x r
y r
z r
2
: | | sin
2 ( 0)
0
0 1
J r
r
TC
55. Ví dụ 6:
Tính tích phân 2 2 2
, ( ): 1, 2 .
I zdxdydz z x y z z
Lời giải: Đặt cos sin
sin sin
cos
x r
y r
z r
2
: | | sin
0 2
0
0 ??
J r
r
TC
2 2
2 2
1 2
2 2 2
: 1; :
2
z x y
x y z
x y z z
2 2 2 2 2
2 1 1 ( )
x y z z z x y
56. 1
1 :
I zdxdydz
Đặt:
cos
sin
x r
y r
z z
: | |
0 2
0 1
1
J r
r
r z
TC
2 1 1 2 1 1
1
0 0 0 0
1
1
2 2 4
1 1
3
0 0
0
2
2 2 4 4
r r
z
z r
I d dr rzdz d rdr zdz
z r r
r dr r r dr
Cách 1:
57. 2
2 :
I zdxdydz
Đặt:
cos sin
sin sin
cos
x r
y r
z r
2
: | | sin
0 2
/ 4 / 2
0 2cos
J r
r
TC
2 /2 2cos 2 /2 2cos
2 3
2
0 /4 0 0 /4 0
2cos
4
2 /2
0 /4
0
/2 /2
5 5
/4 /4
cos sin sin cos
sin cos
4
8 sin cos 8 cos (cos )
6
5
4 6 12
r
r
I d d r r dr d d r dr
r
d d
d d
I
58. 2 1
0 /2 0
1 1
3
/2 0 /2 0
1
3
/2 0
2
2
sin
sin s
(1 cos )
2 cos
1 1
2 cos
3
i
in
8
n
s
I d d r dr
d dr d r dr
d r dr
r
r
Cách 2: cos sin
sin sin
1 cos
x r
y r
z r
2
: | | sin
0 2
2
0 1
J r
r
TC
(0,0,1)
I
O
x
y
z
59. Ví dụ 7:
Tính: 2 2 2 2 2
2 2
1
, ( ): 0, 4, 1.
I dxdydz z x y z x y
x y
Đổi sang tọa độ trụ:
Nếu sử dụng tọa độ cầu, công việc tính toán
sẽ phức tạp hơn nhiều
Xác định cận:
cos
sin
x r
y r
z z
0 2
0 1
r
2
0 4
z r
2
2 1 4
0 0 0
r r
I d dr dz
r
61. Ví dụ 8:
Đổi sang tọa độ cầu rồi tính
2 2 2
0 0 0
2 4 4
x x y
I dx dy xdz
Vẽ khối E
Xác định vật thể E:
2
2 2
2 0
4 0
4 0
x
x y
x y z
z
x
y
62. Đổi biến sang tọa độ cầu:
Xác định cận:
2
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
3
2
0 2
3 / 2 2
2
/ 2 0
sin cos sin
I d d d
3 / 2 2
2 2
/ 2 0
sin cos
I d d d
3 / 2
2
/ 2
1
sin cos
4
d d
I
z
x
y
63. z
x
y
Ví dụ 9:
Đổi sang tọa độ trụ rồi tính 2
2 2 4
2 2
0 0 0
x x
I dx dy z x y dz
Vẽ khối E
Xác định vật thể E:
2
0 2
0 2
0 4
x
y x x
z
x
y
64. Đổi biến sang tọa độ trụ:
Xác định cận: 0
2
cos
sin
x r
y r
z z
0 2cos
r
0 4
z
2cos
/2 4
0 0 0
I d dr z r r dz
4
2
2cos
/ 2
2
0 0 0
2
z
I d r dr
128
9
I
z
x
y
65. III. Ứng dụng hình học của tích phân bội ba
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Từ định nghĩa tích phân bội ba ta có công thức tính thể tích vật thể E:
Có thể sử dụng tích phân kép để tính thể tích vật thể.
Tuy nhiên trong một số trường hợp sử dụng tích phân bội ba tính nhanh hơn,
vì tích phân bội ba có cách đổi sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu.
1
E
E
V dxdydz
66. Ví dụ
Tính thể tích của vật thể E được giới hạn bởi
1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1, 4,
x y z x y z z x y
E
V dxdydz
Sử dụng tọa độ cầu:
/ 4
2
2 2
0 0 1
sin
V d d d
14 7 2
3 3
V
Sử dụng tích phân kép, tính toán rất phức tạp!!
0
4
0 2
67. Ví dụ
Tính thể tích của vật thể E được giới hạn bởi
0 2cos
r
2 2
2 , 3, 3
x y x x z x z
E
V dxdydz
2 os 3 cos
/2
/2 0 cos 3
c r
r
V d dr dz
r
4
V
2 2
cos 3 3 cos
r z r
y
x
z
Sử dụng tọa độ trụ
cos
sin
x r
y r
z z
68. Ví dụ
Tính thể tích của vật thể E được giới hạn bởi
0 3
r
2 2 2 2 2 2
4; 4
x y z x y z z
E
V dxdydz
Sử dụng tọa độ trụ
2
2
2 3 4
0 0 2 4
r
r
r
V d dr dz
10
3
V
0 2
2 2
2 4 4
r z r
x
z
y
Sử dụng tọa độ cầu tính phức tạp hơn nhiều.
69. Ví dụ
Tính thể tích của vật thể E được giới hạn bởi 2
, 1, 0
y x y z z
E
V dxdydz
1
0
y
Parabol
dz dxdy
2
1
1 1
1 0
y
x
dx dy dz
