Calculus1 6-all

เฉลยแบบฝึกหัด Calculus 1 เจษฎา ห่อไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
1
แบบฝึกหัดที่ 6.1
ข้อ 1 จงอินทิเกรต
1.1) ( sin ) cos
= (xcosx cos )
x x dx xd x
xdx
 
 
 

= xcosx + sinx + C
2 2
2 2
2
2
1
1.2) ( 2 ) 2
ln 2
1
= ( 2 2 )
ln 2
1
= ( 2 2 2 )
ln 2
1 2
= ( 2 2 )
ln 2 ln 2
x x
x x
x x
x x
x dx x d
x dx
x xdx
x xd
 



 



2
2
1
1 1
2
2 3
1 2
= ( 2 { 2 2 })
ln 2 ln 2
1 2 2
= ( 2 { 2 )
ln 2 ln 2 ln 2
1 2 2
= 2
ln 2 (ln 2) (ln 2)
x x x
x
x x
x x
x
x x dx
x x C
x
x C
 
 
  

  

2 2
3
2
= { ln 2 ln 2 2}
ln 2
x
x x x C  
2 2
2
2 2
3 2 2
2
2 2
2
1
1.3) ( ) ( 1)
2
1
= ( 1)
2
1
= {( 1) ( 1)}
2
1
= {( 1)
2
x x
x
x x
x x e dx x e dx
x de
x e e d x
x
  

  

 


2 2
2 2
2 2
2
2
1
2
}
1
= {( 1) }
2
1 1
= ( 1)
2 2
x x
x x
x x
e e dx
x e e C
x e e C

  
  

2
21
=
2
x
x e C
3
2
1.4) cosec cosec cot
(cosec cot cot cosec )
(cosec cot (cosec cot ) )
x dx x d x
x x x d x
x x x x dx
 
   
    

 


2
3
3
1
cosec cot cosec (cosec 1)
cosec cot cosec cosec
2 cosec = cosec cot ln | cosec cot |
x x x x dx
x x x dx x dx
x dx x x x x C
   
    
     

 

3 1 1
cosec = cosec cot ln | cosec cot |
2 2
x dx x x x x C    

2
2 21
1.5) cos( ) sin( )x ax dx x d ax
a
 
2 2
2
2
2
2
1
1
= ( sin( ) sin( ) )
1
( sin( ) 2 sin( ) )
1 2
( sin( ) cos( ))
1 2
( sin( ) { cos( ) cos( ) })
1 2 1
( sin( ) { cos( ) sin( ) })
x ax ax dx
a
x ax x ax dx
a
x ax x d ax
a a
x ax x ax ax dx
a a
x ax x ax ax C
a a a

 
 
   
    




2
2 3
1 2 2
sin( ) cos( ) sin( )x ax x ax ax C
a a a
    
1
1 1
1
1
1.6) ln( ) ln( )
1
1
( ln( ) ln( ))
1
1
( ln( ) )
1
n n
n n
n n
x ax dx ax dx
n
x ax x d ax
n
x ax x dx
n

 



 

 

 


1
1
1
1
( ln( ) )
1 1
n
n x
x ax C
n n


  
 
1
1
{ln( ) }
1 1
n
x
ax C
n n

  
 
1
1.7) sin( ) cos( )
1
( cos( ) cos(bx) )
1
( cos( ) cos(bx) )
ax ax
ax ax
ax ax
e bx dx e d bx
b
e bx de
b
e bx a e dx
b
 
  
  
 


2
1
( cos( ) sin( ))
1
( cos( ) { sin( ) sin( ) })
1
cos( ) { sin( ) sin( )
ax ax
ax ax ax
ax ax ax
a
e bx e d bx
b b
a
e bx e bx bx de
b b
a
e bx e bx a e bx dx
b b
  
   
   


2
12 2
2 2
12 2
}
1
cos( ) sin( ) sin( )
1
sin( ) = cos( ) sin( )
sin( ) =
ax ax ax
ax ax ax
ax
a a
e bx e bx e bx dx C
b b b
a b a
e bx dx e bx e bx C
b b b
e bx dx
    
 
    
 



 2 2 2 2
cos( ) sin( )ax axb a
e bx e bx C
a b a b
  
 
2 2
= { sin( ) cos( )}
ax
e
a bx b bx C
a b
 

1
1.8) cos( ) sin( )ax ax
e bx dx e bx
b
 
1
( sin( ) sin(bx) )
1
= ( sin( ) sin(bx) )
 



ax ax
ax ax
e bx de
b
e bx a e dx
b

3
2
2
12 2
1
( sin( ) cos( ))
1
( sin( ) { cos( ) cos( ) })
1
sin( ) { cos( ) cos( ) }
1
sin( ) cos( ) cos( )
 
  
  
   




ax ax
ax ax ax
ax ax ax
ax ax ax
a
e bx e d bx
b b
a
e bx e bx bx de
b b
a
e bx e bx a e bx dx
b b
a a
e bx e bx e bx dx C
b b b
2 2
12 2
2 2 2 2
1
cos( ) = sin( ) cos( )
sin( ) = sin( ) cos( )
ax ax ax
ax ax ax
a b a
e bx dx e bx e bx C
b b b
b a
e bx dx e bx e bx C
a b a b
 
   
 
 
 


2 2
= { cos( ) sin( )}
ax
e
a bx b bx C
a b
 

1.9) arcsin( ) xarcsin(ax) arcsin( )ax dx x d ax  
2
2
2
2
2
xarcsin(ax)
1 ( )
1 ( )
xarcsin(ax)
2 1 ( )
1 {1 ( ) }
xarcsin(ax)
2 1 ( )
ax
dx
ax
d ax
a ax
d ax
a ax
 

 


 




21
xarcsin(ax) 1 ( )ax C
a
   
1.10) ln(2 3) ln(2 3) ln(2 3)x dx x x x d x      
2
ln(2 3)
2 3
3
ln(2 3) (1 )
2 3
3
ln(2 3)
2 3
3 (2 3)
ln(2 3)
2 2 3
x
x x dx
x
x x dx
x
x x x dx
x
d x
x x x
x
   

    

    


    





3
ln(2 3) ln | 2 3 |
2
x x x x C      
arccot
1.11) 2 arccot
2 arccot 2 arccot
x
dx x d x
x
x x x d x

  
 

2 arccot 2 arccotx x x d x   
1
2 arccot
1
x x dx
x
  

2 arccot ln |1 |x x x C    
2
2 1ln
1.12) ln
x
dx x dx
x
 
  
 
 
2
2ln 1
ln   
x
d x
x x

4
2
2
2
1
2
2
2
2
ln ln
2
ln
2 ln
ln ln 1
2( ln )
ln ln 1
2 2
ln ln 2
2

  
  
   
   
    




x x
dx
x x
x
x dx
x
x x
d x
x x x
x x
dx
x x x
x x
C
x x x
21
(ln 2ln 2)x x C
x
    
2 2
1.13) tan (sec 1)x xdx x x dx   
2
2
2
sec
tan
2
( tan tan )
2
x dx x x dx
x
x d x
x
x x x dx
  
  
   
 


2
tan ln | sec |
2
x
x x x C   
2 3
3 3
3
3
2
1
1.14) arctan arctan
3
1
( arctan arctan )
3
1
( arctan )
3 1
x xdx x dx
x x x d x
x
x x dx
x
 
 
 

 


3
2
2 2
3
2
1
( arctan { } )
3 1
1 1
( arctan )
3 2 2 1
x
x x x dx
x
x dx
x x
x
  

  



3 2 21
(2 arctan ln(1 ))
6
x x x x C    
1.15) cos(ln ) cos(ln ) cos(ln )
cos(ln ) sin(ln )
cos(ln ) { sin(ln ) sin(ln )}
x dx x x xd x
x x x dx
x x x x xd x
 
 
  
 


1cos(ln ) sin(ln ) cos(ln )x x x x x dx C   
12 cos(ln ) cos(ln ) sin(ln )x dx x x x x C   
cos(ln ) {cos(ln ) sin(ln )}
2
x
x dx x x C  
2 2 2
1.16) ln( 4) ln( 4) ln( 4)x dx x x xd x      
2
2
2
ln( 4) 2
4
   

x
x x dx
x
2
2
4
ln( 4) 2 (1 )
4
    
x x dx
x

5
2
2
2
2
2
2
1
ln( 4) 2 8
4
1
ln( 4) 2 2
1
2
1
ln( 4) 2 4 { }
2
1
2
    

    
 
  
 
    
 
  
 
 
 

x x dx dx
x
x x dx dx
x
x
x x x d
x
2
ln( 4) 2 4arctan( )
2
x
x x x C     
1.19) sin ln(cos ) ln(cos ) cosx x dx x d x   
(cos ln(cos ) cos ln(cos ))
cos ln(cos ) sin
x x xd x
x x xdx
   
   


cos {1 ln(cos )}x x C  
2 2
1.20) ( 3 5)cos ( 3 5) sinx x xdx x x d x     
2 2
2
2
2
2
2
( 3 5)sin sin ( 3 5)
( 3 5)sin (2 3)sin
( 3 5)sin (2 3) cos
( 3 5)sin {(2 3)cos cos (2 3)}
( 3 5)sin (2 3)cos 2 cos
( 3
x x x xd x x
x x x x x dx
x x x x d x
x x x x x x d x
x x x x x x dx
x x
     
    
    
      
     
 





5)sin (2 3)cos 2sinx x x x C    
2
( 3 3)sin (2 3)cosx x x x x C     
ln
1.21) 2 ln
2 lnx 2 ln
1
2 lnx 2
x
dx xd x
x
x xd x
x dx
x

  
  
 


2 lnx 4x x C   
2
3 3
2 22 2
ln 1 ln
1.22)
2
( 1) ( 1)
x x x
dx dx
x x

 
 
1
2 2
2 2
ln ( 1)
ln 1
ln
1 1

  
  
 


x d x
x
d x
x x
2 2
ln 1
1 1
  
 

x
dx
x x x
2
ln
arcsec( )
1
x
x C
x
   


6
2 2
1.23) sin sinx x
e x dx x de 
2 2
2
2
sin sin
sin 2 sin cos
sin sin 2
x x
x x
x x
e x e d x
e x e x x dx
e x e x dx
 
 
 




2
2
2
2
sin sin 2
sin ( sin 2 sin 2 )
sin sin 2 2 cos 2
sin sin 2
x x
x x x
x x x
x x
e x x de
e x e x e d x
e x e x e x dx
e x e x

  
  
  



2
2 2
2 2
1
2 (1 2sin )
sin sin 2 2 4 sin
5 sin = sin sin 2 2
x
x x x x
x x x x
e x dx
e x e x e dx e xdx
e x dx e x e x e C

   
   

 

2 21
sin = (sin sin 2 2)
5
x x
e x dx e x x C  
1.24) sin 2 sin
2 cos
2( cos cos )
x dx x xd x
xd x
x x xd x

 
  
 


2sin 2 cosx x x C  
1
2
1.25) (1 )
(1 )
1
( ( ))
1 1
1
( ( ) )
1 1
1
x
x
x
x
x
x x
x x
xe
dx xe d x
x
xe
d xe
x x
xe
xe e dx
x x
xe e
x

  

  
 
   
 
  

 


1 x
( 1x  ) )
1
1
(1 )
1
x
x
x
x
x
dx
xe
e dx
x
xe
e C
x
x
e C
x
  

   

  



1
x
e
C
x
 

2
2 1
2
2
2
1.26) ( 2)
( 2)
1
( )
2 2

  

  
 
 

x
x
x
x
x e
dx x e d x
x
x e
d x e
x x
2
2
2
1
( 2 )
2 2
2 2
   
 
  
 

x
x x
x x
x e
x e xe dx
x x
x e xe
x x
( 2x ) dx
2
2
  
 
x
xx e
xe dx
x

7
2
2
  
 
x
xx e
xde
x
2
2
( )
2
2
   

    


x
x x
x
x x
x e
xe e dx
x
x e
xe e C
x
2
( 1 )
2
x x
e x C
x
   

2 2
1.27) 2 (2 )x u
xe dx u u e du
   
3
3 3
3 2
3 2
3 2
3 2 2
3
2 (2 )
[2{(2 ) (2 )}]
2(2 ) 2 (2 3 )
2(2 ) 4 6
2(2 ) 4 6
2(2 ) 4 6( )
2(2 ) 4
u
u u
u u
u u u
u u u
u u u u
u
u u de
u u e e d u u
u u e e u du
u u e e du e u du
u u e e u de
u u e e e u e du
u u e
  
    
    
    
    
     
   



 


2
3 2
3 2
3 2
3 2
2
6 12
2(2 ) 4 6 12
2(2 ) 4 6 12( )
2(2 ) 4 6 12 12
{4 2 4 6 12 12}
{4 2 2(2 ) 2 4 6(2 )
u u u
u u u u
u u u u u
u u u u u
u
x
e e u ue du
u u e e e u ude
u u e e e u ue e du
u u e e e u ue e C
e u u u u C
e x x x x
 
     
      
       
       
        



2
12 2 12}
{4 2 4 2 2 2 4 12 6 12 2 12}x
x C
e x x x x x x C
   
             
2
2 { 2 6 2 3 10}x
e x x x x C
       
3 3 21
1.28) ln ln
2
x xdx xdx  
2 3 2 3
2 3 2
1
( ln ln )
2
1
( ln 3 ln )
2
x x x d x
x x x x dx
 
 


2 3 2 2
2 3 2 2 2 2
2 3 2 2
2 3 2 2
2 3 2 2 2
2 3 2 2 2
1 3
( ln ln )
2 2
1 3
( ln { ln ln })
2 2
1 3
( ln { ln 2 ln })
2 2
1 3 3
ln ln ln
2 4 2
1 3 3
ln ln ln
2 4 4
1 3 3
ln ln ( ln
2 4 4
x x x dx
x x x x x d x
x x x x x x dx
x x x x x x dx
x x x x x dx
x x x x x
 
  
  
  
  
  





2
2 3 2 2 2
2 3 2 2 2 2
ln )
1 3 3 3
ln ln ln
2 4 4 4
1 3 3 3
ln ln ln
2 4 4 8
x x d x
x x x x x x x dx
x x x x x x x C

   
    


2
2
1
2
2
u x
du dx
u
x u
 
 
 

8
2 3 23 4
( ln 2ln 2ln 1)
8 3
x x x x C    
2 2
1 1
1.29) (ln(ln ) ) (ln(ln )
(ln ) (ln )
x dx x dx dx
x x
    
2
2
1
2
2
1
ln(ln ) ln(ln )
(ln )
1 1
ln(ln )
ln (ln )
1
ln(ln ) ( ln )
(ln ) ln
1
ln(ln )
(ln )
x x xd x dx
x
x x dx dx
x x
x
x x dx xd x C
x x
x x dx
x

  
  
    
 
 
 
 
 2
1
ln (ln )
x
dx
x x
   C
ln(ln )
ln
x
x x C
x
  
ข้อ 2 จงหาค่าของอินทิกรัลต่อไปนี้
1
1 1
3
0 0
3
1
113 3
0 0
113 2
0 0
2.1) = 2
= 2
= 2( )
= 2( 3 )
x u
e
u
uu u
u
uu u
u
xe dx u e du
u de
u e e du
u e u e du

 

 

 


 
 
 



1
13 2
0 0
11 13 2 2
0 0 0
= 2( 3 )
= 2( 3{ })
euu u
u
u uu u u
u u
u e u de
u e u e e du

 

   
 
 
  


1
11 13 2
0 0 0
1 13 2
0 0 0
1 13 2
0 0
= 2 6 12
= 2 6 12
= 2 6 12(
u uu u u
u u
eu uu u u
u u
u uu u
u u
u e u e ue du
u e u e ude
u e u e ue

   
 
   
 
   
 
  
  
  


11
0 0
)
uu u
u
e du
 

 
1 1 1 13 2
0 0 0 0
1 1 1 1
1
= 2 6 12 12
= 2 6 12 12 12
= 32 12
u u u uu u u u
u u u u
u e u e ue e
e e e e
e
      
   
   

   
    
 
ให้
2
1
2
u x
du dx
u
x u



2.2) cot cosec = cosec
= ( cosec cosec )
= cosec ln | cosec cot |
x x xdx xd x
x x x dx
x x x x C
  
 
   
 

3 3 3
4 4 4
4 4 4
cot cosec = cosec ln | cosec cot |
x x
x x
x x xdx x x x x
  
  
 
 
     
3 3
cos cot
3 4 4= (3cosec cos )+ln
4 4 4 cos cot
4 4
2 2 1
= ln
2 2 1
ec
ec
ec
 
  
 


 


 


9
2
= ln(3 2 2)
2

 
3 31
2.3) cos2 = sin 2
2
x xdx x d x 
3 3
3 2
3 2
3 2 2
3 2
3 2
1
= ( sin 2 sin 2 )
2
1
= ( sin 2 3 sin 2 )
2
1 3
= sin 2 cos 2
2 4
1 3
= sin 2 ( cos 2 cos 2 )
2 4
1 3 3
= sin 2 cos 2 cos 2
2 4 2
1 3 3
= sin 2 cos 2 sin 2
2 4 4
1
=
x x xdx
x x x xdx
x x x d x
x x x x xdx
x x x x x xdx
x x x x xd x



 
 
 






3 2
3 2
3 3
sin 2 cos 2 ( sin 2 sin 2 )
2 4 4
1 3 3 3
= sin 2 cos 2 sin 2 cos 2
2 4 4 8
x x x x x x xdx
x x x x x x x C
  
   

2
3 3 22
0
0
3 2 2
0
1 3 3 3
cos 2 = sin 2 cos 2 sin 2 cos 2
2 4 4 8
3 3 3 3
= sin cos sin cos
16 16 8 8 8
x
x
x
x
x xdx x x x x x x x



  
   




 
    
 
 
    
 

2
3 3
=
4 16


3 31
2.4) sin 4 = sin 4
3
x x
e xdx x de 
3 31
= ( sin 4 sin 4 )
3
x x
e x e d x 
3 3
3 3
3 3 3
3 3 3
1
= ( sin 4 4 cos 4 )
3
1 4
= sin 4 cos 4
3 9
1 4
= sin 4 ( cos 4 cos 4 )
3 9
1 4 16
= sin 4 cos 4 sin 4
3 9 9
x x
x x
x x x
x x x
e x e xdx
e x x de
e x e x e d x
e x e x e xdx C


 
  




 
3 3 3
3 3 3
3 3 34 4
00
25 1 4
sin 4 = sin 4 cos 4
9 3 9
3 4
sin 4 = sin 4 cos 4
25 25
1
sin 4 = 3 sin 4 4 cos 4
25
=
x x x
x x x
x
x x x
x
e xdx e x e x
e xdx e x e x
e xdx e x e x
 


 

 



3 3
4 4
1
3 sin 2 4 cos 4
25
e e
 
 
 
  
 
3
4
4
= ( 1)
25
e



10
1
2
2
2
ln
2.5) = ln
ln 1
= ( ln )
ln 1
=
ln 1
=
ln ln 1
=
e
e
x
x
dx xdx
x
x
d x
x x
x
dx
x x
x
C
x x
x x
dx
x x x



 
 
  
 
   
 
 



2 3
=
2
x e
e
e e

 
1 3
= ( 2)
2
e
e

2
2
2 2
2
arcsin
2.6) = arcsin 1
1
= ( 1 arcsin 1 arcsin )
= 1 arcsin
x x
dx x d x
x
x x x d x
x x dx

 

    
   
 


 
2
11
222
20 0
= 1 arcsin
arcsin
= 1 arcsin
1
1 1 1
= 1 arcsin
4 2 2
x
x
x x x C
x x
dx x x x
x


    

    

   

1 3
=
2 12


2 2 2
2.7) ln = ln lnxdx x x x d x 
2
= ln 2 lnx x x dx 
2
2
2
= ln 2( ln ln )
= ln 2 ln 2
= ln 2 ln 2
x x x x xd x
x x x x dx
x x x x x C
 
 
  


 2 2
11
2
ln = ln 2 ln 2
= ln 2 ln 2( 1)
e x e
x
xdx x x x x x
e e e e e


  
  

= 2e 
2
2
2
2.8) arccos = arccos arccos
= arccos
1
1 1
= arccos
2 1
1 1
= arccos
2 1
x dx x x xd x
x
x x dx
x
x x dx
x
x x
x







 


2
2
2
(1 )
= arccos 1
d x
x x x C

  


11
 
11
222
0 0
arccos = arccos 1
1 1 3
= arccos 1
2 2 2
x
x
x dx x x x


  
 

3
= 1
6 2

 
2
2 2
2
2
1
2.9) x arcsec = arcsec
2
1 1
= arcsec arcsec
2 2
1 1
= arcsec
2 2 1
=
x dx x dx
x x x d x
x
x x dx
x




 


2 2
2
2 2
1 1 1
arcsec
2 4 1
1 1
= arcsec 1
2 2
x x dx
x
x x x C


  

 
 
11
2 2
2 2
1
xarcsecx = arcsec 1
2
1
= arcsec( 1) 4arcsec( 2) 3
2
x
x
dx x x x

 
  
   

3 5
=
2 6

 
3. จงหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง ln( )y x 2
กับแกน x บนช่วง [-3, -1]
ln( ) = 2 ln
= 2( ln | | ln )
x dx xdx
x x xd x
 

2
= 2( ln | | 1 )x x dx
= 2 ln | | 2x x x C 
1 1 12
3 33
ln( ) = 2( ln | |) 2
= 2( ln | 1| 3ln | 3 | 2( 1 3)
x dx x x x
  
 
 
      

= 6ln(3) 4

12
2 3
3
25 5
25
25 5
x
x x
x x
x
 


2
1 1
1.1)
16 1 (4 1)(4 1)
1 1 1
( )
2 4 1 4 1
1 1 1
( ) (4 )
8 4 1 4 1
dx dx
x x x
dx
x x
d x
x x

  
 
 
 
 
 


1 4 1
ln | |
8 4 1

 

x
C
x
2
1.2)
6 ( 3)( 2)

    
x x
dx dx
x x x x
พิจารณา
( 3)( 2) 
x
x x
A B
=
( 3)( 2) 3 2
A( 2) B( 3)

   
   
x
x x x x
x x x
แทน 2 ; x จะได้ 2
B
5

แทน 3 ;x จะได้ 3
A
5

ดังนั้น 3 2
=
( 3)( 2) 5( 3) 5( 2)

   
x
x x x x
2
1 3 2
( )
6 5 3 2
  
    
x
dx dx
x x x x
3 2
= ln 3 ln 2
5 5
   x x C
3
2 2
2
2
5 25 5
1.3) ( )
25 25
25 5
{ }
25 ( 5)( 5)
5
25
25 ( 5)( 5)
x x
dx x dx
x x
x
x dx
x x x
x
xdx dx dx
x x x
 
 
 
  
  
  
  

 

  
2
2
2
25 1 1 1
{ }
2 25 2 5 5
25 25 1 1
ln | 5 | ln | 5 | ln | 5 | ln | 5 |
2 2 2 2 2
dx
xdx dx
x x x
x
x x x x C
  
  
         
  
2
12ln | 5 | 13ln | 5 |
2
x
x x C     
3 2 2
3
4 2 1 2 1
1.4) (1 )
4 (2 1)(2 1)
x x x x
dx dx
x x x x x
   
 
   
2
2 1
(2 1)(2 1)
x x
x x x
 
 
3 3 2
3
2
1
4 4 2 1
4
2 1
x x x x
x x
x x
  

 

13
2
2 2
2 1 A B C
=
(2 1)(2 1) 2 1 2 1
2 1 A(4 -1) B (2 1) C (2 -1)
x x
x x x x x x
x x x x x x x
 
 
   
     
แทน 0 ;x  จะได้ A 1 
แทน 1
;
2
x  จะได้ B 2
แทน 1
;
2
x   จะได้ C 1
ดังนั้น
2
2 1 1 2 1
=
(2 1)(2 1) 2 1 2 1
x x
x x x x x x
 
  
   
3 2
3
4 2 1 1 2 1
(1 )
4 2 1 2 1
x x
dx dx
x x x x x
 
    
   
1
= ln | | ln | 2 1| ln | 2 1|
2
x x x x C     
3 2
2 2
2 5 2 3 4 5
1.5) (2 1 )
2 2 2 2
x x x x
dx x dx
x x x x
   
  
    
พิจารณา 2
4 5
2 2
x
x x

 
2
4 5 A B
=
( 1) 3 1 3 1 3
4 5 A( 1 3) B( 1 3)
x
x x x
x x x


     
      
แทน 1 3 ;x   จะได้ 1 4 3
A
2 3


แทน 1 3 ;x   จะได้ 1 4 3
B
2 3
 

ดังนั้น 2
4 5 1 4 3 1 4 3
=
( 1) 3 2 3( 1 3) 2 3( 1 3)
x
x x x
   

     
3 2
2
2
2 5 2 3 1 4 3 1 4 3
(2 1 )
2 2 2 3( 1 3) 2 3( 1 3)
1 4 3 1 4 3
= ln | 1 3 | ln | 1 3 |
2 3 2 3
x x x
dx x dx
x x x x
x x x x C
     
    
     
  
       
 
2 2 1 1 3
= 2ln | 2 2 | ln | |
2 3 1 3
x
x x x x C
x
 
     
 
3 2
1 1
1.6)
2 ( 2)( 1)
x x
dx dx
x x x x x x
 

    
( 2)( 1)
x
x x x

 
1 A B C
=
( 2)( 1) 2 1
1 A( 2)( 1) B( )( 1) ( 2)
x
x x x x x x
x x x x x Cx x

 
   
       
แทน 0 ;x  จะได้ 1
A
2

B
6

แทน 1 ;x   จะได้ 2
C
3
 
2 3 2
3 2
2
2
2 1
2 2 2 5 2 3
2 4 4
6 3
2 2
4 5
x
x x x x x
x x x
x x
x x
x

    
 
  
  


14
ดังนั้น 1 1 1 2
=
( 2)( 1) 2 6( 2) 3( 1)
x
x x x x x x

 
   
3 2
1 1 1 2
{ }
2 2 6( 2) 3( 1)
x
dx dx
x x x x x x

   
    
1 1 2
= ln | | ln | 2 | ln | 1|
2 6 3
x x x C    
2
3
1.7)
( 1)
x
dx
x 
2
3
( 1)
x
x 
2
3 2 3
2 2
A B C
=
( 1) 1 ( 1) ( 1)
A( 1) B( 1)
x
x x x x
x x x C
 
   
    
แทน 1 ;x  จะได้ C 1
แทน 0 ;x  จะได้ A B 1   ...(1)
แทน 1 ;x   จะได้ 2A B 0  ...(2)
แก้สมการ (1) และ (2)
จะได้ A 1, B 2 
2
3 2 3
1 2 1
=
( 1) 1 ( 1) ( 1)
x
x x x x
 
   
2
3 2 3
1 2 1
{ }
( 1) 1 ( 1) ( 1)
x
dx dx
x x x x
   
    
2
3 4
= ln | 1|
2( 1)
x
x C
x

  

4 2
3 2 2
8 2
1.8) { 2 4 }
2 ( 2)
x x
dx x dx
x x x x
 
  
  
2
2
( 2)
( 2)
x
x x


2
2 2
2 2
2 A B C
=
( 2) 2
2 A( )( 2) B( 2)
x
x x x x x
x x x x Cx

 
 
     
แทน 0 ;x  จะได้ B 1 
C
2

A
2

2
2 2
2 1 1 1
=
( 2) 2 2( 2)
x
x x x x x

 
 
4
3 2 2
8 2 4 2
{ 2 }
2 2
x
dx x dx
x x x x x

     
  
2
24
= 2 2ln | 2 |
2
x
x x x C
x
    
3 2 4
4 3
3
3 2
2
2
2 8
2
2
2 4
4 8
x
x x x
x x
x
x x
x

 


 


15
2 2
20 11 20 11
1.9)
(3 2)( 4 5) (3 2){( 2) 1}
x x
dx dx
x x x x x
 

      
20 11
(3 2){( 2) 1}
x
x x

  
2 2
2
20 11 A B C
=
(3 2){( 2) 1} 3 2 4 5
20 11 A( 4 5) (B C)(3 2)
x x
x x x x x
x x x x x
 

     
      
แทน 2
;
3
x   จะได้ A 3 
แทน 1 ;x  จะได้ B 1
20 11 3 2
=
(3 2){( 2) 1} 3 2 4 5
x x
x x x x x
  

     
2 2
20 11 3 2
( )
(3 2)( 4 5) 3 2 4 5
x x
dx dx
x x x x x x
  
  
      
2
2
2 2
1 1 2 4
= ( ) (3 2)
3 2 2 4 5
1 1 ( 4 5) 4
= ( ) (3 2)
3 2 2 4 5 ( 2) 1
x
d x dx
x x x
d x x
d x dx dx
x x x x

  
  
 
   
    
 
  
21
= ln | 4 5 | ln | 3 2 | 4arctan( 2)
2
x x x x C      
2
2
10 13
1.10)
(2 1)( 2)
x x
dx
x x

 
2
2
10 13
(2 1)( 2)
x x
x x

 
2
2 2
2 2
10 13 A B C
=
(2 1)( 2) 2 1 2
10 13 A( 2) (B C)(2 1)
x x x
x x x x
x x x x x
 

   
     
แทน
1
;
2
x  จะได้ A 4
2
2 2
10 13 4 3 8
=
(2 1)( 2) 2 1 2
x x x
x x x x
 

   
2
2 2
2 2
10 13 4 3 8
( )
(2 1)( 2) 2 1 2
4 3 8
=
2 1 2 2
x x x
dx dx
x x x x
x
dx dx dx
x x x
 
  
   
 
  
 
  
23
= 2ln|2x 1| ln | 2 | 4 2 arctan( )
2 2
    
x
x C
2
2
11 13
1.11)
( 3)( 2)( 3)

  
x x
dx
x x x
2
2
11 13
( 3)( 2)( 3)

  
x x
x x x

16
2
2 2
2 2 2
11 13 A B C D
=
( 3)( 2)( 3) 3 2 3
11 13 A( 2)( 3) B( 3)( 3) (C D)( 3)( 2)
x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
 
 
     
          
แทน 3 ;x   จะได้ A 1 
แทน 0 ;x  จะได้ D 4
แทน 1 ;x  จะได้ C 1 
2
2 2
11 13 1 2 4
=
( 3)( 2)( 3) 3 2 3
x x x
x x x x x x
  
  
     
2
2 2
2 2
11 13 1 2 4
( )
( 3)( 2)( 3) 3 2 3
1 2 4
=
3 2 3 3
x x x
dx dx
x x x x x x
x
dx dx dx dx
x x x x
  
    
     
   
   
 
   
21 4
= ln|x+3| 2ln | 2 | ln | 3 | arctan
2 3 3
x
x x C      
2 2
35 47
1.12)
(3 5) ( 3 6)
x
dx
x x x

  
พิจารณา 2 2
35 47
(3 5) ( 3 6)
x
x x x

  
2 2 2 2
2 2 2
35 47 A B C D
=
(3 5) ( 3 6) 3 5 (3 5) 3 6
35 47 A(3 5)( 3 6) B( 3 6) (C D)(3 5)
x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
 
 
      
          
แทน 5
;
3
x   จะได้ B 3 
แทน 0 ;x  จะได้ D 1 
แทน 1 ;x  จะได้ C 1 
แทน x = –1; จะได้ A = 3
35 47 3 3 1
=
(3 5) ( 3 6) 3 5 (3 5) 3 6
  
 
      
x x
x x x x x x x
2 2 2 2
35 47 3 3 1
( )
(3 5) ( 3 6) 3 5 (3 5) 3 6
  
   
       
x x
dx dx
x x x x x x x
2 2 2
3
3 3 1 12=
3 5 (3 5) 3 6 2 3 6

  
        
x
dx dx dx dx
x x x x x x
21 1
= ln|3x+5| ln | 3 6 |
3 5 2
   

x x
x
1 2 3
arctan{ ( )}
215 15
  x C
2 2
2
1.13)
( 1)( 1)
x
dx
x x 
2
( 1)( 1)
x
x x 

17
2 2 2 2
2 2 2
2 A B C D
=
( 1)( 1) 1 ( 1) 1
2 A( 1)( 1) B( 1) (C D)( 1)
x x
x x x x x
x x x x x x

 
    
       
แทน 1 ;x   จะได้ B 1 
หา A จาก
2
2 2 2
1 1
2 2( 1)
A 0
1 ( 1)x x
d x x
dx x x 
 
   
  
2 1 1
=
( 1)( 1) ( 1) 1
x
x x x x


   
2 2 2 2
2 1 1
{ }
( 1)( 1) ( 1) 1
1
= arctan
1
x
dx dx
x x x x
x C
x

  
   
 

 
2 2
2 1
1.14)
(4 9)( 4)
x
dx
x x

 
2 1
(4 9)( 4)
x
x x

 
2 2 2 2
2 2
2 1 A B C D
=
(4 9)( 4) 4 9 4
2 1 (A B)( 4) (C D)(4 9)
x x x
x x x x
x x x x x
  

   
      
แทน 0 ;x  จะได้ 4B 9D 1  ...(3)
แทน 1 ;x  จะได้ 5A 5B 13C 13D 3    ...(4)
แทน 1 ;x   จะได้ 5A 5B 13C 13D 1      ...(5)
แทน 2 ;x  จะได้ 16A 8B 50C 25D 5    ...(6)
แก้สมการ (3), (4), (5) และ (6)
จะได้ 8 4 2 1
A , B ,C ,D
7 7 7 7

    
2 1 8 4 2 1
=
(4 9)( 4) 7(4 9) 7( 4)
x x x
x x x x
  

   
2 2 2 2
2 2 2 2
2 1 8 4 2 1
{ }
(4 9)( 4) 7(4 9) 7( 4)
8 4 1 2 1 1
=
7 4 9 7 4 9 7 4 7 4
x x x
dx dx
x x x x
x x
dx dx dx dx
x x x x
  
  
   
  
   
 
   
2 2
2 2
2 2
(4 9) ( 4)1 4 1 1 1 1
=
27 4 9 63 7 4 28
( ) 1 ( ) 1
3 2
d x d x
dx dx
x xx x
 
  
 
 
   
2 21 2 2 1 1
= ln(4 9) arctan( ) ln( 4) arctan( )
7 21 3 7 14 2
x x
x x C     
2 2
3 3 3
2 1 2 1
1.15)
27 1 27 1 27 1
x x x x
dx dx dx
x x x
  
 
    
2 1
27 1
x
x



18
2 2
2
2 1 A B C
=
(3 1)(9 3 1) 3 1 9 3 1
2 1 A(9 3 1) (B C)(3 1)
x x
x x x x x x
x x x x x
 

     
      
แทน 1
;
3
x  จะได้ 1
A
9
 
C
9

B
3

2 1 1 3 8
=
(3 1)(9 3 1) 9(3 1) 9(9 3 1)
x x
x x x x x x
  

     
2 2
3 3 2
3
3 2
2
2 1 1 3 8
{ }
27 1 27 1 9(3 1) 9(9 3 1)
1
3
1 1 (3 1) 1 5 12=
1 33 27 1 27 3 1 9 9 3 1 6 (3 )
2 4
   
   
    


  
     
  
   
x x x x
dx dx dx
x x x x x
x
dx d x
dx dx
x x x x x
3 2
1
2
3 2
1 1 1 10 1
= ln|27 1| ln | 3 1| ln(9 3 1)
6 181 27 54 9 ( ) 1
3
1 1 1 5 3 6 1
= ln|27 1| ln | 3 1| ln(9 3 1) arctan( )
81 27 54 27 3
       



       
x x x x dx C
x
x
x x x x C
25 2 5 3 6 1
= ln(9 3 1) ln | 3 1| arctan( )
162 81 27 3

     
x
x x x C
3 2
3 2 2
2 8 6 18 46
1.16) = {2 }
3 9 27 ( 3)( 9)
x x x
dx dx
x x x x x
  

     
2
2
6 18 46
( 3)( 9)
x x
x x
 
 
2
2 2
2 2
6 18 46 A B C
=
( 3)( 9) 3 9
6 18 46 A( 9) (B C)( 3)
x x x
x x x x
x x x x x
  

   
      
แทน 3 ;x   จะได้ 23
A
9

C
3

B
9

2
2 2
6 18 46 23 31 69
=
( 3)( 9) 9( 3) 9( 9)
x x x
x x x x
  

   
3
3 2 2
2 8 23 31 69
{2 }
3 9 27 9( 3) 9( 9)
 
   
     
x x
dx dx
x x x x x
2 2
2
2
2
23 1 31 23 1
= 2
9 3 9 9 3 9
23 1 31 ( 9) 23 1
= 2
9 3 18 9 27 ( ) 1
3
  
  

  
  
   
   
x
dx dx dx dx
x x x
d x
dx dx dx
xx x
223 31 23
= 2 ln | 3 | ln( 9) arctan( )
9 18 9 3
     
x
x x x C
3 2 3
3 2
2
2
3 9 27 2 8
2 6 18 54
6 18 46
x x x x
x x x
x x
   
  
  

19
3
2 2
1.17)
( 2 10)
x
dx
x x 
3
2 2
( 2 10)
x
x x 
3
2 2 2 2 2
3 2
Ax B C D
=
( 2 10) ( 2 10) 2 10
Ax B (C D)( 2 10)
x x
x x x x x x
x x x x
 

     
     
แทน 0 ;x  จะได้ B 10D 0  ...(7)
แทน 1 ;x  จะได้ A B 9C 9D 1    ...(8)
แทน 1 ;x   จะได้ A B 13C 13D 1      ...(9)
แทน 2 ;x  จะได้ 2A B 20C 10D 8    ...(10)
แก้สมการ (7), (8), (9) และ (10)
จะได้ A 6, B 20,C 1,D 2     
3
2 2 2 2 2
6x 20 2
=
( 2 10) ( 2 10) 2 10
x x
x x x x x x
  

     
3
2 2 2 2 2
6 20 2
{ }
( 2 10) ( 2 10) 2 10
  
  
      
x x x
dx dx
x x x x x x
2 2 2 2 2
1 1 1
= 6 26
( 2 10) ( 2 10) 2 10
 
  
       
x x
dx dx dx
x x x x x x
2
1
3
2 10

  dx
x x
2 2
2 2 2 2 2
( 2 10) 1 1 ( 2 10)
= 3 26
( 2 10) (( 1) 9) 2 2 10
   
  
       
d x x d x x
dx
x x x x x
2
1 ( 1)
13 ( ) 1
3





d x
x
1
(( 1) 9)
dx
x  
ให้ 2
2
1 3tan θ
3sec θ θ
( 1) 9 3secθ
x
dx d
x
 

  
2 2 4
1 1 1
= sec θ θ
(( 1) 9) 27 sec θ
dx d
x

  
2
1
1
= cos θ θ
27
1
= (1 cos2θ) θ
54
1 1
= (θ sin 2θ)
54 2
1
= (arcta
54
d
d
C

 


12
1 3( 1)
n )
3 2 10
x x
C
x x
 
 
 
เพราะฉะนั้น
3
2
2 2 2 2
3 13 1 3( 1) 1
(arctan ) ln( 2 10)
( 2 10) 2 10 27 3 2 10 2
x x x
dx x x
x x x x x x
 
     
     
θ
1x 
3
2
(
1)
9
x 


20
1
arctan( )
3

 
x
C
2
2
14 1 40 13 1
= arctan ln( 2 10)
27 3 9( 2 10) 2
 
    
 
x x
x x C
x x
2
2 2
4 2 8
1.18)
( 2)
x x
dx
x x
 

2
2 2
4 2 8
( 2)
x x
x x
 

2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
4 2 8 A B C D E
=
( 2) 2 ( 2)
4 2 8 A( 2) (B C)( )( 2) (D E)
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
   
 
  
        
แทน 0 ;x  จะได้ A 2
แทน 1 ;x  จะได้ 3B 3C D E 4     ...(11)
แทน 1 ;x   จะได้ 3B 3C D E 8     ...(12)
แทน 2 ;x  จะได้ 12B 6C 2D E 22     ...(13)
แทน 3 ;x  จะได้ 33B 11C 3D E 64     ...(14)
แก้สมการ (11), (12) ,(13) และ (14)
จะได้ B 2, C 0,D 0,E 2    
2
2 2 2 2 2
4 2 8 2 2 2
=
( 2) 2 ( 2)
x x x
x x x x x
  
 
  
2
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
4 2 8 2 2 2
{ }
( 2) 2 ( 2)
2
= 2 2
2 ( 2)
2 ( 2)
= 2
2
x x x
dx dx
x x x x x
x x
dx dx dx
x x x
d x
dx
x x
 
   
  
 
 

 

 
  
  2 2
1
( 2)
dx
x 
1
( 2)
dx
x 
ให้ 2
2
2 tanθ
2 sec θ θ
2 2 secθ
x
dx d
x


 
2 2 4
1 2 1
= sec θ θ
( 2) 4 sec θ
dx d
x

 
2
1
12
2
= cos θ θ
4
2
= (1 cos2θ) θ
8
2 1
= (θ sin 2θ)
8 2
2 2
= (arctan )
8 22
d
d
C
x x
C
x

 
 



เพราะฉะนั้น
2
2
2 2 2
4 2 8 2
= 2ln|x| ln( 2) arctan
( 2) 4 2( 2)2
x x x x
dx x C
x x x
 
    
 
θ
x
2
2
x

2

21
5 2
2 2 2 2
8 ( 2)
1.19) = { }
( 4) ( 4)
x x x
dx x dx
x x


  
2
2 2
8 ( 2)
( 4)
x x
x


2
2 2 2 2 2
2 2
8 ( 2) A B C D
=
( 4) 4 ( 4)
8 ( 2) (A B)( 4) C D
x x x x
x x x
x x x x x
  

  
     
แทน 0 ;x  จะได้ 4B D 0  ...(15)
แทน 1 ;x  จะได้ 5A 5B C D 24    ...(16)
แทน 1 ;x   จะได้ 5A 5B C D 24      ...(17)
แทน 2 ;x  จะได้ 16A 8B 2C D 96    ...(18)
แก้สมการ (11), (12) ,(13) และ (14)
จะได้ A 8, B 0,C 16,D 0    
2
2 2 2 2 2
8 ( 2) 8 16
=
( 4) 4 ( 4)
x x x x
x x x


  
5
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
8 16
{ }
( 4) 4 ( 4)
( 4) ( 2)
= 4 8
4 ( 2)
x x x
dx x dx
x x x
d x d x
xdx dx
x x
   
  
 
 
 
 
  
2
2
2
8
= 4ln( +4)
2 2
x
x C
x
  

2 2
18
1.20)
(4 9)
dx
x 
2 2
9 1
98 ( )
4
dx
x 

ให้ 2
2
3
tanθ
2
3
sec θ θ
2
9 3
secθ
4 2
x
dx d
x


 
4
2 2
9 1 1 1
= sec θ θ
98 3 sec θ( )
4
dx d
x


 
2
1
2
1
= cos θ θ
3
1
= (1 cos 2θ) θ
6
1 1
= (θ sin 2θ)
6 2
1 2 3
= (arctan
96 3
2( )
4
d
d
C
x x
C
x

 
 



2
1 2
= arctan
6 3 4 9
x x
C
x
 

4 2 5
5 3
3
8 16
8 16
8 16
x
x x x
x x x
x x
 
 
 
θ
x
2
9
4x

3
2

22
2 2
2 2 2 2
13 69 65 13 69 65
1.21) =
(2 11 15) (2 5) ( 3)
x x x x
dx dx
x x x x
   
    
2
2 2
13 69 65
(2 5) ( 3)
x x
x x
 
 
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
13 69 65 A B C D
=
(2 5) ( 3) (2 5) 2 5 ( 3) 3
13 69 65 A( 3) B(2 5)(x+3) +C(2 5) D(2x+5) (x+3)
x x
x x x x x x
x x x x x
 
  
     
       
แทน 5
;
2
x   จะได้ A 105 
แทน 3 ;x   จะได้ C 25 
แทน 0 ;x  จะได้ 3B 5D 109  ...(19)
แทน 1 ;x  จะได้ 4B 7D 109  ...(20)
จะได้ B 218,D 109  
2
2 2 2 2
13 69 65 105 218 25 109
=
(2 5) ( 3) (2 5) 2 5 ( 3) 3
x x
x x x x x x
 
   
     
2
2 2 2 2
13 69 65 105 218 25 109
{ }
(2 5) ( 3) (2 5) 2 5 ( 3) 3
 
     
      
x x
dx dx
x x x x x x
2 2
1 1 1
= 105 218 25
(2 5) 2 5 ( 3)
  
    dx dx dx
x x x
1
109
3

 dx
x
105 2 5 25
= 109ln | |
2(2 5) 3 3

  
  
x
C
x x x
2 2 2 2 2 2
64 128 2
1.22) = 64
( 8) ( 8)
x x
dx dx
x x x x
 
  
พิจารณา 2 2 2
2
( 8)
x
x x


2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 A B Cx D E F
=
( 8) ( 8) 8
2 A( 8) B( )( 8) +(C D)( ) (E F)( ) ( 8)
x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
  
  
  
        
A
32

หา B จาก
2
2 2 2 3
00
2 3 8 8 1
B
( 8) ( 8) 64xx
d x x x
dx x x 
    
   
  
C D 9E 9F
64
     ...(21)
แทน 1 ;x   จะได้ 17
C D 9E 9F
64
      ...(22)
แทน 2 ;x  จะได้ 8C 4D 96E 48F 5     ...(23)
แทน 2 ;x   จะได้ 8C 4D 96E 48F 0     ...(24)
แก้สมการ (21), (22) ,(23) และ (24)
จะได้ 1 1 1 1
C ,D ,E ,F
8 4 64 32
       
4 2 5
5 3
3
8 16
8 16
8 16
x
x x x
x x x
x x
 
 
 

23
ดังนั้น 2 2 2 2 2 2 2
2 1 1 x 2 2
=
( 8) 32 64 8( 8) 64( 8)
x x
x x x x x x
  
  
  
2 2 2 2 2 2 2
2 1 1 x 2 2
{ }
( 8) 32 64 8( 8) 64( 8)
  
    
   
x x
dx dx
x x x x x x
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
= ln | |
32 64 64 8 32 8 8 ( 8)
    
    
x x
x dx dx dx
x x x x
12 2
1 1
4 ( 8)
 
 dx C
x
2
2
1 1 1 2 1
= ln | | ln( 8) arctan
32 64 128 128 16( 8)2 2
     

x
x x
x x
12 2
1 1
4 ( 8)
 
 dx C
x
1
( 8)
dx
x 
ให้ 2
2
2 2 tanθ
2 2 sec θ θ
2 2 2 secθ
x
dx d
x


 
2 2 4
1 2 1
= sec θ θ
( 8) 32 sec θ
dx d
x

 
22
= cos θ θ
32
2
= (1 cos2θ) θ
64
d
d


1
12
2 1
= (θ sin 2θ)
64 2
2 2 2
= (arctan )
64 82 2
C
x x
C
x
 
 

2
2 2 2 2
2 2 1 3 2 4
64 ln | | ln( 8) arctan
( 8) 2 4 82 2
x x x
dx x x C
x x x x
 
        
 
5 2
2 3
100
1.23)
( 11)
x x x
dx
x
 

5 2
2 3 2 3 2 2 2
5 2 2 2 2
100 A B C D E F
=
( 11) ( 11) ( 11) 11
100 A B (C D)( 11) (E F)( 11)
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
    
 
   
         
แทน 0 ;x  จะได้ B 11D 121F 0   ...(25)
แทน 1 ;x  จะได้ A B 12C 12D 144E 144F 98       ...(26)
แทน 1 ;x   จะได้ A B 12C 12D 144E 144F 100       ...(27)
แทน 2 ;x  จะได้ 2A B 30C 15D 450E 225F 164       ...(28)
แทน 2 ;x   จะได้ 2A B 30C 15D 450E 225F 172       ...(29)
แทน 3 ;x  จะได้ 3A B 60C 20D 1200E 400F 48       ...(30)
แก้สมการ (25), (26) ,(27), (28), (29) และ (30)
จะได้ A 21,B 11,C 22,D 1,E 1,F 0       
θ
x
2
8
x

2 2

24
5 2
2 3 2 3 2 2 2
100 21 11 22 1
=
( 11) ( 11) ( 11) 11
x x x x x x
x x x x
   
 
   
5 2
2 3 2 3 2 2 2
100 21 11 22 1
{ }
( 11) ( 11) ( 11) 11
   
   
    
x x x x x x
dx dx
x x x x
2 3 2 2 2 3 2 2
11 1
= { } 21 22
( 11) ( 11) ( 11) ( 11)
   
     
x x
dx dx dx
x x x x
2
11


x
dx
x
2 2
2 3 2 2 2 3 2 2
11 1 21
= { } 11
( 11) ( 11) 2 ( 11) ( 11)
   
     
dx dx
dx
x x x x
2
2
1
2 11


dx
x
พิจารณา 2 3 2 2
11 1
{ }
( 11) ( 11)
dx
x x
 
 
ให้ 2
2
11tanθ
11sec θ θ
11 11secθ
x
dx d
x


 
ดังนั้น 2 3 2 2 2 3 2 2
11 1 1 1
{ } = 11
( 11) ( 11) ( 11) ( 11)
dx dx dx
x x x x
   
     
2 2
2 6 2 4
11 sec θ 11 sec θ
= θ θ
11 sec θ 11 sec θ
d d  
2 4 2 2
11 θ 11 θ
=
11 sec θ 11 sec θ
d d
  
4 2
2 2
11 11
= cos θ θ cos θ θ
11 11
d d  
2
2 2
2
2 2
11 11
= (1 cos2θ) θ (1 cos2θ) θ
4 11 2 11
11 11
= (1 2cos2θ cos 2θ) θ (1 cos2θ) θ
4 11 2 11
d d
d d
   
 
    
 
 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
11 11
= θ (1 cos4θ) θ
4 11 8 11
11 11
= θ (cos4θ) θ
8 11 8 11
11 11
= θ sin 4θ
8 11 32 11
11 11
= θ sin 2θcos2θ
8 11 16 11
d d
d d
 
 

 

 

 
 
 
5 2
2
2 3 2 3 2 2 2 2 2
100 11 11 11 21 1 11 1
ln( 11)
( 11) 6( 11) 4( 11) 4 ( 11) 11 2
x x x
dx x C
x x x x x
 
       
    
3 2
cosθ sinθ
1.24) θ =
sinθ sin θ sinθ(1 sin θ)
d
d
  
1
sinθ(1 sin θ)
2 2
2
1 A sinθ C
=
sinθ(1 sin θ) sinθ 1 sin θ
1 A(1 sin θ) (Bsinθ C)(sinθ)
B 

 
   
แทน sinθ 0 ; จะได้ A 1
แทน sinθ 1 ; จะได้ B C 1   ...(31)
θ
x
2
11
x

11

25
แทน sinθ 1 ;  จะได้ B C 1   ...(32)
จะได้ B 1,C 0  
1 1 sinθ
=
sinθ(1 sin θ) sinθ 1 sin θ

 
3 2
cosθ 1 sinθ
= { } sinθ
sinθ sin θ sinθ 1 sin θ
dx d 
  
21
= ln|sin θ| ln |1 sin θ |
2
C  
tanθ sinθ
1.25) θ = θ
2 sinθ cosθ(2 sinθ)
d d
  
ให้
2
2 2 2
2 1 2
sinθ , cosθ , θ
1 1 1
z z
d dz
z z z

  
  
2
2 2
2 2
2
tanθ 21θ =
1 22 sinθ 1
(2 )
1 1
z
zd dz
z z z
z z
 
 

 
 
2 2
2
4
=
(1 )(2 2 2)
= 2
(1 )(1 )( 1)
z
dz
z z z
z
dz
z z z z
  
   


(1 )(1 )( 1)
z
z z z z   
2 2
2 2 2
2 A B C D
=
(1 )(1 )( 1) 1 1 1
2 A(1 )( 1) B(1 )( 1) (C D)(1 )
z z
z z z z z z z z
z z z z z z z z z

 
       
          
แทน 1 ;z   จะได้ B 1 
แทน 1 ;z  จะได้ 1
A
3

D
3

C
3

2 1 1 4 2
=
(1 )(1 )( 1) 3(1 ) 1 3( 1)
z z
z z z z z z z z

 
       
2 2
2 1 1 4 2
{ }
(1 )(1 )( 1) 3(1 ) 1 3( 1)

   
        
z z
dz dz
z z z z z z z z
2
1 1 1 2 2 1
=
3 1 1 3 1

 
     
z
dz dz dz
z z z z
21 2
= |1 | |1 | | 1|
3 3
       n z n z n z z C
21 2
= |1 tan | |1 tan | | tan
3 2 2 3 2
    
x x x
n n n
tan 1|
2
  
x
C

26
3
3 3
1 cosθ 1
1.26) θ = θ
sinθ(cosθ 1) sin θ
cosθ 1
= θ θ
sin θ sin θ
d d
d d



 
 
 
3
1
θ = cosec θ θ
sin θ
d d 
2
2
3
= cosecθ cotθ
(cosecθcotθ cotθ cosecθ)
cosecθcotθ cosecθcot θ θ
cosecθcotθ cosecθ(cosec θ 1) θ
cosecθcotθ cosec θ θ cos θ θ
d
d
d
d
d ec d

  
  
   
   




 
1
2 θ = cosecθcotθ cos θ θ
sin θ
d ec d  
3
1 cosθ 1 1
θ = θ cosecθcotθ cos θ θ
sinθ(cosθ 1) sin θ 2 2
d d ec d   
  
3
sinθ 1 1
= cosecθcotθ cosecθ θ
sin θ 2 2
   
d
d
2
1 1 1
= cosecθcotθ ln | cosecθ cotθ |
2sin θ 2 2
    C
2 2
1 1 cosθ 1 1 cosθ
= ln | |
2sin θ 2 sin θ 2 sinθ

   C
2
1 cosθ 1 1 cosθ
= ln | |
2sin θ 2 sinθ
 
  C
1 1 1 cosθ
= ln | |
2(1 cosθ) 2 sinθ
C

 

2 2
2
1 1
1.27) θ = θ
cosθ(cos θ 4sinθ 5) cosθ(1 sin θ 4sinθ 5)
1
= θ
cosθ(sin θ 4sinθ+4)
=
d d
d
    


 

2
1
θ
cosθ(sinθ 2)
d

กาหนดให้
2
sinθ ==> cosθ 1
θ
cosθ
x x
dx
d
  

ดังนั้น 2 2 2
1 1
θ =
cosθ(cos θ 4sinθ 5) ( 1)(x 2)
d dx
x    
2
1
=
( 1)(x 1)(x 2)
dx
x   
1
( 1)(x 1)(x 2)x   
2 2
2 2 2 2
1 A B C D
=
( 1)(x 1)(x 2) 1 1 2 ( 2)
1 A( 1)( 2) B( 1)( 2) C( 2)(x 1) D(x 1)
x x x x x
x x x x x
  
      
          
B
18
 
A
2


27
D
3

หา C จาก 2 2 2
2 2
1 2 4
C
1 ( 1) 9x x
d x
dx x x 
 
     
  
1 1 1 4 1
=
( 1)(x 1)(x 2) 2( 1) 18( 1) 9( 2) 3( 2)x x x x x
  
      
2 2
1 1 1 4 1
{ }
( 1)(x 1)(x 2) 2( 1) 18( 1) 9( 2) 3( 2)
dx dx
x x x x x
    
       
2
1 1 1 1 4 1 1 1
=
2 1 18 1 9 2 3 ( 2)
  
      dx dz dx
x x x x
1 1 4 1
= | 1| | 1| | 2 |
2 18 9 3( 2)
      

n x n x n x C
x
1 1 4
= | sinθ 1| | sinθ 1| | sinθ 2 |
2 18 9
    n n n
1
3(sinθ 2)
 

C
2 2 2 2
3 2
4 2
3
(1 sec θ)sec θ (tan θ 2)(tan θ 1)
1.28) θ = θ
1+tan θ (tanθ 1)(tan θ tanθ+1)
tan θ 3tan θ 2
= θ
tan θ 1
d d
d
  
 
 

 

2
3
3tan θ tanθ 2
= (tanθ+ ) θ
tan θ 1
d
 

2
3
3tan θ tanθ 2
θ
tan θ 1
d
 

2 2
3 2 3
3tan θ tanθ 2 3 2
θ =
tan θ 1 ( 1)( 1)
u u
d du
u u
   
   
2
2 3
3 2
( 1)( 1)
u u
u u
 
 
2
2 3 2 2
2 3 2 2 2
3 2 A B C D E
=
( 1)( 1) 1 1 1
3 2 (A B)( 1) C( 1)( 1)+(D E)( 1)( 1)
u u u u
u u u u u u
u u u u u u u u u u
   
 
     
           
แทน 1 ;u   จะได้ C 1
แทน 0 ;u  จะได้ B E 1  ...(33)
แทน 1 ;u  จะได้ A B 2D 2E 1    ...(34)
แทน 2 ;u  จะได้ 6A 3B 10D 5E 1     ...(35)
แทน 2 ;u   จะได้ 14A 7B 10D 5E 19     ...(36)
แก้สมการ (33), (34) ,(35) และ (36)
จะได้ A 1,B 0,D 0,E 1    
2
2 3 2 2
2 2 1 1
=
( 1)( 1) 1 1 1
u u u
u u u u u u
 
  
     
2
3 2 2
3tan θ tanθ 2 1 1
(tanθ ) θ = tanθ θ ( )
tan θ 1 1 1 1
u
d d du
u u u u
 
     
      
2
2
1 1
= tan θ θ ( )
311 1
( )
44
u
d du
u u
u
   
 

 
2
tanθ
(1 ) θ
u
du u d

 
3 4 2
4
2
tanθ
tan θ 1 tan θ 3tan θ +2
tan θ tanθ
3tan θ tanθ 2
 

 

28
21
= | secθ tanθ | ( 1) | 1|
2
    n n u n u
2 2 1
arctan{ }( )
3 3 4
  Cu
2
2
1
= | secθ tan θ | (tan θ 1) | tan θ 1 |
2
2 2 1
arctan{ tan θ }( )
43 3
1
= | secθ tan θ | (tan θ 1) | tan θ 1 |
2
n n n
C
n n n
    
 
    
2 2 1
arctan{ tan θ }( )
43 3
C 
2
2
1 2
1.29) =
( 1)1
1
= 2
1
1
= 2
( 1)( 1)
1 1
= ( )
1 1
u
dx du
u ux x
du
u
du
u u
du
u u


 

 
 



-1
= ln| |
1
u
C
u


1 1
= ln| |
1 1
x
C
x
 

 
1 1
1.30) =
( 1) ( 1)
1 1
=
1
dx d nx
x nx nx nx nx
d nx
nx nx
 


 

1
= | |
nx
nx C
nx


3 2 2
2 2
1 1
1.31) =
( 1)
1
=
( 1)
x x x x x x
dx dx
e e e e e e
du
u u u
   
 
 

1
( 1)u u u 
2 2 2 2
2 2 2
1 A B C D
=
( 1) 1
1 A ( 1) B( 1) (C D)
u
u u u u u u u
u u u u u u u

 
   
       
แทน 0 ;u  จะได้ B 1
หา A จาก 2 2 2
0 0
1 2 1
A ( ) 1
1 ( 1)u u
d u
du u u u u 

    
   
แทน 1 ;u  จะได้ C D 1  ...(37)
แทน 1 ;u   จะได้ C D 1  ...(38)
2
1
1
2
x u
x u
dx udu
 
 

x
u e
du udx



29
จะได้ C 1,D 0 
1 1 1
=
( 1) 1
u
u u u u u u u
  
   
2 2 2 2
1 1 1
= { }
( 1) 1
u
du du
u u u u u u u
   
    
2 2
2
1 1 0.5 1 1
= { }
1 31 2 ( )
2 4
u
du du
u u u u u

   
   
 
21 1 1 2 1
= | | | 1| arctan{ ( )}
2 23 3
n u n u u u C
u
       
21 1 1 2 1
= | 1| arctan{ ( )}
2 23 3
x x x
x
x n e e e C
e
       
3 3
1 1 1
1.32) =
(1 2 ) 2 ( 1)x
dx du
n u u

  
1
(1 )u u
3 3 2
3 2
1 A B C D
=
( 1) ( 1) ( 1) 1
1 A( 1) B C ( 1) D ( 1)
u u u u u u
u u u u u u
  
   
      
แทน 0 ;u  จะได้ A 1 
แทน 1 ;u  จะได้ B 1
หา C จาก จะได้ 2
1 1
1 1
C ( ) 1
u u
d
du u u 
    
หา D จาก จะได้
2
2 2 3
1 1 1
1 1 1 1 1
D ( ) 1
2 2u u u
d d d
du u du u du u  
    
ดังนั้น 3 3 2
1 1 1 1 1
=
( 1) ( 1) ( 1) 1u u u u u u
   
   
3 3 2
1 1 1 1 1 1 1
= { }
2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) 1
du du
n u u n u u u u
      
    
3 2
3 2
1 1 1 1 1
= { }
2 ( 1) ( 1) 1
1 1 1 1 1
= { }
2 ( 1) ( 1) 1
du
n u u u u
du
n u u u u
    
  
  
  


2
1 1 1
= { | | | 1|}
2 2( 1) 1
n u n u C
n u u
    
 
2
1 1 1
= { (2) | 2 1|}
2 2(2 1) 1 2
x
x x
x n n C
n
    
 
2 2
2
2
1 1
1.33) = 2
(1 ) (1 )
1
= 2
(1 )
1
= 2
(1 )
x x
u
dx d x
x e e
du
e
dz
z z
 


 


1
(1 )z z
2
2
x
u
du u n dx


u
u x
z e
dz zdu




30
2 2
2
1 A B C
=
(1 ) ( 1) 1
1 A( 1) Bz Cz( 1)
z z z z z
z z
 
  
    
แทน 0 ;z  จะได้ A 1
แทน 1 ;z   จะได้ B 1 
หา C จาก จะได้ 2
1 1
1 1
C ( ) 1
z z
d
dz z z 
    
1 1 1 1
=
(1 ) ( 1) 1z z z z z
 
  
2 2
1 1 1 1
= { }
(1 ) ( 1) 1
du du
z z z z z
  
   
1
= | |
1 1
z
n C
z z
 
 
1
= | 1|
1
x
x
x n e C
e
   

2
5 7 5 7
2.1) =
2 3 ( 3)( 1)
x x
dx dx
x x x x
 
    
( 3)( 1)
x
x x

 
5 7 A B
=
( 3)( 1) 3 1
5 7 A( 1) B( 3)


   
    
x
x x x x
x x x
แทน 3 ;x   จะได้ A 2
=
( 3)( 1) 3 1
x
x x x x


   
5 7 2 3
= { }
( 3)( 1) 3 1
x
dx dx
x x x x

 
    
= 2 | 3| 3 | 1|n x n x C   
 
0 0
22
5 7
= 2 | 3 | 3 | 1|
( 3)( 1)
= 2 (3) 3 (3)
x
x
dx n x n x
x x
n n


   
 


= 3n
3 2 2
3 2
11 10 9 6
2.2) = 1
2 4 ( 2)( 2 2)
    

     
x x x x x
dx dx
x x x x x
2
2
9 6
( 2)( 2 2)
 
  
x x
x x x
2
2 2
2 2
9 6 A B C
=
( 2)( 2 2) 2 2 2
9 6 A( 2 2) (B C)( 2)
  

     
       
x x x
x x x x x x
x x x x x x
แทน 2 ;x   จะได้ A 2 
3 3 2
3
2
1
2 4 11 10
2 4
9 6
x x x x x
x x
x x
    
 
  

31
แทน 0 ;x  จะได้ C 1 
2
2 2
9 6 3 1 2
=
( 2)( 2 2) 2 2 2
  

     
x x x
x x x x x x
2
2 2
9 6 3 1 2
= { }
( 2)( 2 2) 2 2 2
  
 
      
x x x
dx dx
x x x x x x
2
2 2
2
3 1 2
=
2 2 2
3 2 2 1 2
= 2
2 2 2 ( 1) 1 2
1
= | 2 2 | 2arctan( 1) 2 | 2 |
2


  

 
    
      
 
  
x
dx dx
x x x
x
dx dx dx
x x x x
n x x x n x C
121
2
20
0
9 6 1
= | 2 2 | 2arctan( 1) 2 | 2 |
( 2)( 2 2) 2
1 1 3
= ( ) 2 ( )
2 2 2 2

   
       
    
 
 x
x x
dx n x x x n x
x x x
n n

3 3
4 2
5 4 5 4
2.3) =
16 ( 2)( 2)( 4)
x x x x
dx dx
x x x x
 
    
3
2
5 4
( 2)( 2)( 4)
x x
x x x

  
3
2 2
3 2 2 2
5 4 A B C D
=
( 2)( 2)( 4) 2 2 4
5 4 A( 2)( 4) B( 2)( 4) (C D)( 4)
x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
 
 
     
         
แทน 2 ;x   จะได้ A 1
3
2 2
5 4 1 1 3
=
( 2)( 2)( 4) 2 2 4
x x x
x x x x x x

 
     
3
2 2
5 4 1 1 3
= { }
( 2)( 2)( 4) 2 2 4
x x x
dx dx
x x x x x x

  
      
2 23
= | 4 | | 4 |
2
n x n x C   
434
2 2
43
3
5 4 3
= | 4 | | 4 |
16 2 x
x x
dx n x n x
x 
  
    
  

12 3 20
= ( ) ( )
5 2 13
n n
2
2
1
2.4) =
1 ( 1)( 1)
1 1 1
{ }
2 1 1
1
1
2
t
t
t t t
t
t t
t
e
dt de
e e e
de
e e
n e C
  
 
 
  
 

3
3
2
22
2
1
= 1
1 2
ntn
t
tn
x n
e
dt n e
e 
 
  
  

3 3 2
3
2
1
2 4 11 10
2 4
9 6
x x x x x
x x
x x
    
 
  

32
1
= { (8) (3)}
2
n n
1 8
= ( )
2 3
n
3 2
2secθtanθ 1
2.5) θ = 2 secθ
sec θ secθ secθ(sec θ 1)
d d
  
1
secθ(sec θ 1)
2 2
2
1 A Bsecθ C
=
secθ(sec θ 1) secθ sec θ 1
1 A(sec θ 1) (Bsecθ C)(secθ)


 
   
แทน secθ 0 ; จะได้ A 1
แทน secθ 1 ; จะได้ B C 1   ...(39)
แทน secθ 1 ;  จะได้ B C 1   ...(40)
จะได้ B 1,C 0  
1 1 secθ
=

 
2 2
1 1 secθ
2 secθ = 2 { } secθ
d d 
  
2
2
= 2 | secθ | (sec θ 1)
1
= | |
cos θ 1
n n C
n C
  


3
3
3 2
θ4
4
2secθtanθ 1
θ = | |
sec θ secθ cos θ 1
d n





 
  
  

2
2
1 cos ( )
4| |
1 cos ( )
3
n





6
= ( )
5
n

33
แบบฝึกหัด 6.3
2
4
2
1 cos 2
1.1) sin =
2
1
= {1 2cos 2 cos 2 }
4
1 1
= {1 2cos 2 (1 cos 4 )}
4 2
1 3 1
= { 2cos 2
4 2 2
x
xdx dx
x x dx
x x dx
x
 
 
 
 
  
 
 


cos 4 )}x dx
3 1 1
= sin 2 sin 4
8 4 32
x x x C  
5 4
2 2
2 4
1.2) cos = (cos ) sin
= (1 sin ) sin
= {1 2sin sin } sin
xdx x d x
x d x
x x d x

 
 


3 52 1
= sin sin sin
3 5
x x x C  
7 6
2 3
2 4 6
1
1.3) sin = (sin ) cos
1
= (1 cos ) cos
1
= {1 3cos 3cos cos } cos
xdx x d x
x d x
x x x d x
  

 

   


 
   
 


3 5 71 3 1
= (cos cos cos cos )
5 7
x x x x C   

    
8 2 4
4 2 2
1.4) sin 3 = (1 cos 3 )
= (cos 3 2cos 3 1)
xdx x dx
x x dx

 
 

2
2 2
1
= ( (1 cos 6 ) (1 cos 6 ) 1)
4
1
= ( cos 6 (1 2cos 6 cos 6 ))
4
x x dx
x x x dx
   
   


2
2
2 2
1 1 1
= ( cos 6 (1 cos12 ))
4 2 8
3 1 1
= ( cos 6 cos12 ))
8 2 8
3 1 3 1 1 1
= {( cos 6 ) 2( cos 6 )( cos12 ) cos
8 2 8 2 8 64
x x dx
x x dx
x x x
  
 
   


2 2
12 }
9 3 1 3 1 1
= { cos 6 cos 6 cos12 cos 6 cos12 cos 12 }
64 8 4 32 8 64
9 3 1 3 1 1
= { cos 6 (1 cos12 ) cos12 (cos18 cos 6 ) (1 cos 24
64 8 8 32 16 128
x dx
x x x x x x dx
x x x x x
     
       


)}
35 7 7 1 1
= { cos 6 cos12 cos18 cos 24 )}
128 16 32 16 128
x dx
x x x x dx   



34
35 7 7 1 1
= sin 6 sin12 sin18 sin 24
128 96 384 288 3072
x x x x x C    
8 2 4
1.5) cos 2 = (1 sin 2 )xdx x dx 
2 4 2
2 2
2 2
2
2
2
= (1 2sin 2 sin 2 )
1
= (1 (1 cos4 ) (1 cos4 ) )
4
1
= (cos4 (1 2cos4 cos 4 ))
4
1 1 1
= ( cos4 (1 cos8 ))
4 2 8
3 1 1
= ( cos4 cos8 ))
8 2 8
3 1 3 1
= {( cos4 ) 2( cos4 )
8 2 8 2
 
   
  
  
 
  





x x dx
x x dx
x x x dx
x x dx
x x dx
x x 2
2 2
1 1
( cos8 ) cos 8 }
8 64
9 3 1 3 1 1
= { cos4 cos 4 cos8 cos4 cos8 cos 8 }
64 8 4 32 8 64
9 3 1 3 1
= { cos4 (1 cos8 ) cos8 (cos12 cos4 )}
64 8 8 32 16
1
(1 cos16 )
128
35 5 7
= { cos4 cos8
128 16 32

     
     
 
 




x x dx
x x x x x x dx
x x x x x dx
x dx
x
1 1
cos12 cos16 )}
16 128
  x x x dx
35 5 7 1 1
= sin 4 sin8 sin12 sin16
128 64 256 192 2048
x x x x x C    
2 2 2
1.6) sin 3 cos 3 = (sin 3 cos3 )x xdx x x dx 
2
2
1
= (sin 6 )
4
1
= (1 cos 6 )
4
1 1
= (1 (1 cos12 ))
4 2
x dx
x dx
x dx

 



1
= (1 cos12 ))
8
x dx
1 1
= sin12
8 96
x x C 
3 3
cos 1
1.7) = sin
sin sin
x
dx d x
x x 
2
1
=
2sin
C
x
 
3
2
3
2
1.8) cos sin 2 = 2 sin cos
= 2 cos cos
x xdx x xdx
xd x


 

5
2
4
= cos
5
x C 

35
2 24
(1 sin )coscos
1.9) =
1 sin 1 sin
x xx
dx dx
x x

  
2
2 2
2
= (1 sin ) cos
= (cos sin cos )
1
= (1 cos 2 ) cos cos
2
x xdx
x x x dx
x dx x d x


 


 
31 1 1
= sin 2 cos
2 4 3
x x x C  
3 3
2 2 2 2
2 2
sin cos sin cos
1.10) = { }
sin cos cos sin
1 1
= cos sin
cos sin
x x x x
dx dx
x x x x
d x d x
x x


 
 
 
1 1
=
cos sin
C
x x
 
5 3 5 3
2
5 3
2
2 3
cos sin 1 cos sin
1.11) = { }
1 cos 2 2 cos
1 cos sin
= { }
2 cos
1
= {cos sin } sin
2
x x x x
dx dx
x x
x x
dx
x
x x d x
 


3 51
= {sin sin } sin
2
x x d x
4 61 1
= sin sin
8 12
x x C 
2
2 6 4
4 2
4 2
1 sin
1.12) = { }
cot sec sec
= {cos sin }
= {cos (1 cos )}
x
dx dx
x x x
x x dx
x x dx
 


4 6
2 3
= {cos cos )}
1 1
= { (1 cos2 ) (1 cos2 ) }
4 8
x x dx
x x dx

  


2 2 31 1
= { (1 2cos2 cos 2 ) (1 3cos2 3cos 2 cos 2 )}
4 8
x x x x x dx     
2 3
3
2
3
1 1 1 1
= { cos2 cos 2 cos 2 }
8 8 8 8
1 1 1 1
= { cos2 (1 cos4 ) cos 2 }
8 8 16 8
1 1 1 1
= { cos2 cos4 } cos 2 sin 2
16 8 16 16
1 1 1 1 1
= sin 2 sin 4 (sin 2 sin 2 )
16 16 64 16 3
x x x dx
x x x dx
x x dx xd x
x x x x x C
  
   
  
    


 
31 1 1
= sin 4 sin 2
16 64 48
x x x C  

36
2
2
1 cos 6
2.1) sin 3 = ( )
2
1 1
= sin 6
2 12
1 1
sin 3 = sin 6
2 12
1 1
= ( ( ))
2 1
x
x
x
xdx dx
x x C
xdx x x




 




 
 
  
 
  
 

{sin 6 sin( 6 )}
2
  
= 
2 2 2
2 22
2
1
2.2) sin cos = (sin 2 )
4
1
= (1 cos 4 )
8
1 1
= sin 4
8 32
1 1
sin cos = s
8 32
x xdx x dx
x dx
x x C
x xdx x




 
 
 


2
2
in 4
1 1
= ( ( )) {sin 2 sin( 2 )}
8 2 2 32
x
x
x


 
 


 
 
 
    
=
8

4 2 4 2
4 6
2.3) sin cos = (sin )(1 sin )
= (sin sin )
x xdx x x dx
x x dx


 

2 3
2 2 3
1 1
= { (1 cos2 ) (1 cos2 ) }
4 8
1 1
= { (1 2cos2 cos 2 ) (1 3cos2 3cos 2 cos 2 )}
4 8
x x dx
x x x x x dx
  
     


2 31 1 1 1
= { cos2 cos 2 cos 2 }
8 8 8 8
x x x dx  
2
2
1 1 1 1
= { cos 2 (1 cos 4 )} cos 2 sin 2
8 8 16 16
1 1 1 1
= { cos 2 cos 4 } (1 sin 2 ) sin 2
16 8 16 16
x x dx xd x
x x dx x d x
   
   
 
 
3
2
4 2 32
4
4
1 1 1 1
= sin 2 sin 4 sin 2
16 8 64 48
1 1 1 1
sin cos = sin 2 sin 4 sin 2
16 8 64 48
1 1
= ( ) (sin s
16 2 4 8
x
x
x x x x C
x xdx x x x x




 



   
 
    
 
  

3 31 1
in ) (sin 2 sin ) (sin sin )
2 64 48 2
1 1
=
64 8 48
 
  

   
 
5
=
64 48



37
4 2
2
1
2.4) sin = (1 cos 2 )
4
1
= (1 2cos 2 cos 2 )
4
1 1
= {1 2cos 2 (1 cos 4 )}
4 2
1 3 1
= { 2cos 2
4 2 2
xdx x dx
x x dx
x x dx
x

 
  
 
 


2
42
0
0
cos 4 )}
3 1 1
= sin 2 sin 4
8 4 32
3 1 1
sin = sin 2 sin 4
8 4 32
3 1 1
= (sin sin 0) (sin 2 sin 0
16 4 32
x
x
x dx
x x x C
xdx x x x



 


  
 
   
 
   


)
3
=
16

2 2
2.5) (1 sin ) = (1 2sin sin )
1
= (1 2sin (1 cos2 ))
2
x dx x x dx
x x dx
  
  
 

3 1
= 2cos sin 2
2 4
x x x C  
2
0
0
3 1
(1 sin ) = 2cos sin 2
2 4
3 1
= 2(cos cos0) (sin 2 sin0)
2 4
x
x
x dx x x x



 


 
    
 
   

3
= 4
2


3 2 3
2 2
2.6) sin 3 (cos 4 sin 3 cos 3 ) = (sin 3 cos 4 sin 3 cos 3 )
1 1
= (sin 7 sin ) sin 3 cos 3 sin 3
2 3
x x x x dx x x x x dx
x x dx x xd x
 
 
 
 
2 2
3 5
1 1
= (sin 7 sin ) sin 3 (1 sin 3 ) sin 3
2 3
1 1 1 1
= cos cos 7 sin 3 sin 3
2 14 9 5
sin 3
x x dx x x d x
x x x x C
x
  
   

 
3 3 5
0
0
3 3
1 1 1 1
(cos 4 sin 3 cos 3 ) = cos cos 7 sin 3 sin 3
2 14 9 5
1 1 1
= (cos cos 0) (cos 7 cos 0) (sin 3 sin 0
2 14 9
x
x
x x x dx x x x x


  


 
    
 
    

5 5
)
1
(sin 3 sin 0)
5
 
6
=
7


38
 
24 2
1.1) tan = sec 1xdx x dx 
 4 2
2
2
= sec 2sec 1
= sec tan 2 tan
= (tan 1) tan 2 tan
x x dx
xd x d x dx
x d x d x dx
 
 
  

  
  
31
= tan tan
3
x x x C  
7 2 3
6 4 2
6 4 2
1.2) tan = (sec 1) tan
sec
= (sec 3sec 3sec 1) tan
sec
sec 3sec 3sec 1
= ( ) sec
sec
xdx x xdx
x
x x x x dx
x
x x x
d x
x

   
  
 


6 4 21 3 3
= sec sec sec ln | sec |
6 4 2
x x x x C   
7 2 3
6 4 2
cosec
1.3) cot = (cosec 1) cot cos
cosec
cosec 3cosec 3cosec 1
= ( ) cosec
cosec
x
xdx x x d x
x
x x x
d x
x
 
  

 

6 4 21 3 3
= cosec cosec cosec ln | cosec |
6 4 2
x x x x C    
8 2 6
2 6 6
6 2 4
1.4) cot = (cosec 1) cot
= (cosec ) cot cot
= cot cot (cosec 1) cot
=


  
 
 
 
xdx x x dx
x x dx x dx
x d x x x dx
6 2 4 4
6 4 2 2
6 4 2 2
cot cot (cosec ) cot cot
= cot cot cot cot (cosec 1) cot
= cot cot cot cot (cosec ) cot
  
   
  
  
  
 
x d x x x dx x dx
x d x x d x x x dx
x d x x d x x x d 2
6 4 2 2
7 5 3
cot
= cot cot cot cot cot cot cosec
1 1 1
= cot cot cot cot
7 5 3

    
     
 
    
x x dx
x d x x d x x d x x dx dx
x x x x x C
5 3
3 3
3 2 3
3 2
1.5) sec = sec tan
= tan sec tan sec
= tan sec 3 tan sec
= tan sec 3 (sec 1


 
 


xdx xd x
x x xd x
x x x xdx
x x x 3
3 5 3
)sec
= tan sec 3 sec 3 sec 

 
xdx
x x xdx xdx
3
3
1 3
= tan sec sec tan
4 4
1 3
= tan sec (sec tan tan sec )
4 4

 


x x xd x
x x x x xd x

39
3 21 3
= tan sec (sec tan sec tan )
4 4
  x x x x x xdx
3 2
3 3
1 3 3
= tan sec sec tan sec (sec 1)
4 4 4
1 3 3
= tan sec sec tan (sec sec )
4 4 4
x x x x x x dx
x x x x x x dx
  
  


3 3
3
1 3 3 3
= tan sec sec tan sec sec
4 4 4 4
1 3 3
= tan sec sec tan sec
4 8 8
x x x x xdx xdx
x x x x xdx
  
 
 

31 3 3
= tan sec sec tan ln | sec tan |
4 8 8
x x x x x x C   
6 4
2 2
4 2
1.6) sec = sec tan
= (tan 1) tan
= (tan 2 tan 1) tan
xdx xd x
x d x
x x d x

 
 


5 31 2
= tan tan tan
5 3
x x x C  
8 2 3
6 4 2
1.7) cosec = (1+cot ) cot
= (cot 3cot 3cot 1) cot
xdx x d x
x x x d x

   
 

7 5 31 3
= cot cot cot cot
7 5
x x x x C    
11 11
6 2 25 5
11
2 2 5
11
2 4 5
1.8) sec tan = (1 tan ) tan tan
= (1 tan ) tan tan
= (1 2 tan tan ) tan tan
x xdx x xd x
x xd x
x x xd x


 
 


11 21 31
5 5 5= (tan 2 tan tan ) tanx x x d x 
16 26 36
5 5 5
5 5 5
= tan tan tan
16 13 36
x x x C  
7 7 6
6 2 3
6 6 4 2
1.9) sec tan = (sec tan ) sec
= sec (sec 1) sec
= sec (sec 3sec 3sec 1) sec
x xdx x x d x
x x d x
x x x x d x

  
 


12 10 8 6
= (sec 3sec 3sec sec ) secx x x x d x  
13 11 9 71 3 1 1
= sec sec sec sec
13 11 3 7
x x x x C   
4
5
2 2
4 2
cot
1.10) cosec cot = { } cosec
cosec
(cosec 1)
= cosec
cosec
cosec 2cosec 1
=
cos
x
x xdx d x
x
x
d x
x
x x
 


 

 

cosec
ec
d x
x

40
9 5 1
2 2 2
2 4
= cosec cosec 2cosec
9 5
x x x C   
3 2
4
2
3
tan sec
1.11) = {tan sec }
sin
= sec sec
x x
dx x x dx
x
xd x
 

41
= sec
4
C
3 2 3 2
3 3 2 3
1.12) tan (2 sec ) = tan (4 4sec sec )
3 3 3 3 3
= {4 tan 4sec tan sec tan }
3 3 3 3 3
=
x x x x x
dx dx
x x x x x
dx
  
 
 

3 3 2 3
2 2 3
2
4 tan 4 sec tan sec tan
3 3 3 3 3
= 4 (sec 1) tan 12 tan sec 3 tan tan
3 3 3 3 3 3
= 4 (sec
x x x x x
dx dx dx
x x x x x x
dx d d
x
 
  
  
  
2 3
tan 4 tan 12 (sec 1) sec 3 tan tan
3 3 3 3 3 3 3
x x x x x x
dx dx d d      
2 3 43
= 6tan 12ln | sec tan | 4sec 12sec tan
3 3 3 3 3 4 3
x x x x x x
C     
5 5
4
2 2
4 2
sec
2.1) tan = (tan )
sec
tan
= ( ) sec
sec
(sec 1)
= { } sec
sec
sec 2sec 1
= { }
sec
x
xdx x dx
x
x
d x
x
x
d x
x
x x
d
x


 
 


4 2
sec
1
= sec sec ln | sec |
4
x
x x x C  

3
5 4 23
6
6
4 4 2 2
1
tan = sec sec ln | sec |
4
sec
1 3= (sec sec ) (sec sec )+ln| |
4 3 6 3 6 sec
6
x
x
xdx x x x





   



 
   
 
  

8 1
= ln 3
9 2

4 2
2
5
2
2.2) tan sec = tan sec tan
= tan (1 tan ) tan
= ( tan tan ) tan
=
x xdx x xd x
x x d x
x x d x


 


3 7
2 2
2 2
tan tan
3 7
x x C 
3 7 4
44 2 2
0
0
2 2
tan sec = tan tan
3 7


 
  
 

x
x
x xdx x x



41
3 3 7 7
2 2 2 2
2 2
= (tan tan 0) (tan tan 0)
3 4 7 4
  
 
20
=
21

38
2
2
1 1 2
1.1) =
22 sin 1
2
1
dx dz
zx z
z

 


 
2
2
1
=
1
1
=
1 3
( )
2 4
dz
z z
dz
z
 
 


2
2
4 1
=
2 13 ( ( )) 1
23
2 1 2 1
= { ( )}
2 1 23 3( ( )) 1
23
2 2 1
= arctan ( )
23 3
dz
z
d z
z
z C
 

 
 


2 2 1
= arctan{ (tan )}
2 23 3
x
C 
2 2
2
1 1 2
1.2) =
13 2cos 1
3 2( )
1
dx dz
zx z
z

 


 
2
2
2
2
=
5
2 1
=
5
( ) 1
5
2 1
=
5 5( ) 1
5
2
= arctan
5 5
dz
z
dz
z
z
d
z
z
C







2 1
= arctan{ tan }
25 5
x
C
2 2cos
1.3) =
sin tan sin (1 cos )
x
dx dx
x x x x  
2
2
2 2
2 2
2
3
1
21= 2
2 1 1
(1 )
1 1
= (1 )
= z
3
z
z dz
z z z
z z
z dz
z
C

 
 

 

 


31
= tan tan
2 3 2
x x
C 

39
2 2
2 2
1 1 2
1.4) =
1 2cos sin 1 1
1
1 1
1
=
1
= ln | 1 |
dx dz
z zx x z
z z
dz
z
z C

  
 
 

  
 

= ln | 1 tan |
2
x
C  
2 2
2 2
2
2
1 1 2
1.5) =
2 1sin cos 3 1
3
1 1
1
=
2 1
1 1
=
12
2 2
dx dz
z zx x z
z z
dz
z z
dz
z
z

  
 
 
 
 
 


2
1 1
=
1 72 ( )
4 16
dz
z  

2
2
8 1
=
4 17 { ( )} 1
47
2 1 4 1
= { ( )}
4 1 47 7{ ( )} 1
47
2 4 1
= arctan( ( ))
47 7
dz
z
d z
z
z
 

 



C
2 4 1
= arctan( (tan ))
2 47 7
x
C 
2
2
2
2 2
2
sin 211.6) =
22 sin 12
1
2
=
(1 )( 1)
z
x zdx dz
zx z
z
z
dz
z z z
 
 

  
 

2
(1 )( 1)
z
z z z  
2 2 2 2
2 2
2 A B C D
=
(1 )( 1) 1 1
2 (A B)(z z+1) (C D)(1 )
z z z
z z z z z z
z z z z
 

     
     
แทน 0 ;z  จะได้ B D 0  ...(39)
แทน 1 ;z  จะได้ A B 2C 2D 2    ...(40)
แทน 1 ;z   จะได้ 3A 3B 2C 2D 2      ...(41)
แทน 2 ;z  จะได้ 6A 3B+10C 5D 4   ...(42)
แก้สมการ (39), (40), (41) และ (42)
จะได้ A 0, B 2,C 0,D 2    

40
2 2 2
=
(1 )( 1) 1 1
z
z z z z z z
 
     
2 2 2 2
2
2
2 2 2
( )
(1 )( 1) 1 1
2 2
= ( )
1 31
( )
2 4
z
dz dz
z z z z z z
dz
z
z
   
     
 

 
 

2
2
2 4 1 2 1
= { ( )}
2 11 23 3{ ( )} 1
23
4 2 1
= 2arctan arctan{ ( )}
23 3
dz d z
z
z
z z C
  

 
   
 
4 2 1
= arctan{ (tan )}
2 23 3
x
x C   
2
2
2 2
2
2
2 2
1 cos
1.7) =
3sec 1 3 cos
1
21=
1 1
3
1
1
=
(2 1)( 1)
x
dx dx
x x
z
z dz
z z
z
z
dz
z z
 

 
 



 
 


2
2 2
1
(2 1)( 1)
z
z z

 
2
2 2 2 2
2 2 2
1 A B C D
=
(2 1)( 1) 1 2 1
1 (A B)(2z +1) (C D)( 1)
z z z
z z z z
z z z z
  

   
     
แทน 0 ;z  จะได้ B D 1  ...(43)
แทน 1 ;z  จะได้ 3A 3B 2C 2D 0    ...(44)
แทน 1 ;z   จะได้ 3A 3B 2C 2D 0     ...(45)
แทน 2 ;z  จะได้ 18A 9B+10C 5D 3    ...(46)
แก้สมการ (43), (44), (45) และ (46)
จะได้ A 0, B 2,C 0,D 3    
2
2 2 2 2
1 2 3
=
(2 1)( 1) 1 2 1
z
z z z z

 
   
2
2 2 2 2
2 2
1 2 3
( )
(2 1)( 1) 1 2 1
2 3 1
= ( 2 )
1 2 ( 2 ) 1
z
dz dz
z z z z
dz d z
z z

   
   
 
 
 
 
3
= 2arctan arctan 2
2
z z C  
3
= arctan( 2 tan )
22
x
x C  

41
2
2
2
2 2
2
2
cot cos
1.8) =
1 sin sin (1 sin )
1
21=
2 2 1(1 )
1 1
1
=
( 1)
x x
dx dx
x x x
z
z dz
z z z
z z
z
dz
z z
 

 

 


 


2
2
1
( 1)
z
z z


2
2 2
2 2
1 A B C
=
( 1) 1 ( 1)
1 A(z+1) B( )( 1) C
z
z z z z z
z z z z

 
  
    
แทน 0 ;z  จะได้ A 1
แทน 1 ;z   จะได้ C 0
หา B จาก
2
2
11
1 1
B 1 2
zz
d z
dz z z 
   
        
  
2
2
1 1 2
=
( 1) 1
z
z z z z


 
2
2
1 1 2
( )
( 1) 1
= ln | | 2ln | 1 |
z
dz dz
z z z z
z z C

  
 
  
 
= ln | tan | 2ln | tan 1 |
2 2
x x
C  
2 2
2 2
2
2 2
sec 1
1.9) =
1 sin cos (1 sin )
1 2
=
1 2 1
(1 )
1 1
1
= 2
(1 )( 1)
x
dx dx
x x x
dz
z z z
z z
z
dz
z z
 

 

 

 
 


2
2 2
1
(1 )( 1)
z
z z

 
2
3 2 3
2 3 2
1 A B C D
=
(1 )( 1) 1 1 ( 1) ( 1)
1 A(z+1) B(1 )( 1) C(1 )( 1) (1 )
z
z z z z z z
z z z z z D z

  
     
         
แทน 1 ;z  จะได้
1
A
4

แทน 1 ;z   จะได้ D 1
หา C จาก
2 2
2
1 1
1 2 1 1
C
1 (1 ) 2z z
d z z z
dz z z 
     
     
    
หา B จาก
2 2 2
2 2 3
1 1 1
1 1 1 2 1 1 4 1
B
2 1 2 (1 ) 2 (1 ) 4z z z
d z d z z
dz z dz z z  
       
       
       
2
3 2 3
1 1 1 1 1
=
(1 )( 1) 4(1 ) 4( 1) 2( 1) ( 1)
z
z z z z z z

  
     

42
2
3 2 3
2
1 1 1 1 1
2 2 ( )
(1 )( 1) 4(1 ) 4( 1) 2( 1) ( 1)
1 1 1 1
= ln | 1 | ln | 1 |
2 2 ( 1) ( 1)
z
dz dz
z z z z z z
z z C
z z

    
     
      
 
 
2
1 tan
1 1 12= ln | |
2
1 tan (tan 1) (tan 1)
2 2 2
x
C
x x x

  
  
2
2 2
2 2
2
tan sin
1.10) =
1 tan sec cos sin 1
2
21=
1 2 1
1
1 1
2
=
(1 )(1 )
x x
dx dx
x x x x
z
z dz
z z z
z z
z
dz
z z
   
 
 
 
 
 
 


2
(1 )(1 )
z
z z 
2 2
2
2 A B C
=
(1 )(1 ) 1 1
2 A( +1) (B C)( 1)
z z
z z z z
z z z z


   
   
แทน 1 ;z   จะได้ A 1 
แทน 0 ;z  จะได้ C 1
แทน 1 ;z  จะได้ B 1
2 1 1
=
(1 )(1 ) 1 1
z z
z z z z

 
   
2 2
2 2
2 1 1
( )
(1 )(1 ) 1 1
1 1
=
1 1 1
= l
z z
dz dz
z z z z
z
dz dz dz
z z z

   
   
  
  

 
  
21
n | 1 | ln | 1 | arctan
2
z z z C    
21
= ln | tan 1 | ln | tan 1 |
2 2 2 2
x x x
C    
ข้อ 2 จงหาค่าของ
6
2 2
0
1
4 3cos 5sin
dx
x x

 
2 2 2 2 2
2
1 1
=
4 3cos 5sin 4 2sin 3(cos sin )
1
=
1 cos2
4 2 3(cos2 )
2
1
=
4 1 cos2 3(cos2 )
    
  
  
 
  
 


dx dx
x x x x x
dx
x
x
dx
x x
1
=
5 4cos2 dx
x

43
กาหนดให้ 2x = u
22
2
2 2
2
1 1 1
=
5 4cos2 2 5 4cos
1 1 2
=
2 11
5 4
1
1
=
5 5 4 4
1
=
1 9
 

 
   
  

 



dx du
x u
dz
zz
z
dz
z z
dz
z
2
1 1
= (3 )
3 1 (3 )
1
= arctan(3 )
3
1
= arctan(3tan )
3 2
1
= arctan(3tan )
3




 d z
z
z C
u
C
x C
6
6
02 2
0
1 1
= arctan(3tan )
4 3cos 5sin 3
1
= arctan(3tan )
3 6
1
= arctan( 3)
3

  dx x
x x



=
9


44
3 2 2 3
4
2 6 4 2
4
8 6 4 2
4
2
1.1) 7 2 = ( 2)
7
2
= ( 6 12 8)
7
2
= ( 6 12 8 )
7
2
=
7
x x dx u u du
u u u u du
u u u u du
 
  
  
 


9 7 5 3
4
1 6 12 8
{ }
9 7 5 3
u u u u C   
9 7 5 3
2 2 2 2
4
2 1 6 12 8
= { (7 2) (7 2) (7 2) (7 2) }
7 9 7 5 3
x x x x C       
4
3
4
2 4
6 2
7 3
( 5)1
1.2) = 4
93 5
1
= 4 ( 5)
9
1
= (4 20 )
9
1 4 20
= { }
9 7 3
ux
dx u du
ux
u u du
u u du
u u C





 
 


7 3
4 4
4 1 5
= { (3 5) (3 5) }
9 7 3
x x C   
2
2
2
2
2
5
1.3) = 5 2
5 5
= 2 5
5
5
= 2 5 {1 }
5
1
= 2 5{ 1 }
( ) 1
5
x u
dx udu
x u
u
du
u
du
u
du du
u

 





 


 
= 2 5{ 5 arctan }
5
u
u C 
= 2 5 10arctan
5
x
x C 
1 1
1.4) = 2
2 32 1 3
3
= (1 )
2 3
3
= ln | 2 3 |
2
dx udu
ux
du
u
u u C

 


  
 

3
= 1 ln | 2 1 3 |
2
x x C    
2
7 2
1
( 2)
7
2
7
u x
x u
dx udu
 
 

4
4
3
3 5
1
( 5)
3
4
3
u x
x u
dx u du
 
 

2
2
u x
x u
dx udu



2
1
1
2
u x
x u
dx udu
 
 


45
2
2
2
1 1
1.5) = 2
( 9)( 7) 2
1
= 2
9
2 1
=
3 3
( ) 1
3
2
= arctan
3
dx udu
u ux x
du
u
u
d
u

 


 


3
u
C
2 1
= arctan 2
3 3
x C 
4
3
4 2
2
2
2
1.6) = 4
= 4
1
1
= 4 (1 )
1
= 4( arctan )
x u
dx u du
u ux x
u
du
u
du
u
u u C





 
 


4 4
= 4( arctan )x x C 
4
8 63
5
3 9
2
4 2
5 3
2 2
1.7) = 6
= 6 ( 2 )
2
= 6( )
5 3
x x u u
dx u du
u
x
u u du
u u
C
 


 
 

5 1
6 22
= 6( )
5 3
x x
C 
11
11 3 2
64
6 4 2
2
7 5 3
1 1
1.8) = 12
(1 )
(1 )
1
= 12 ( 1 )
1
= 12( + arctan )
7 5 3
dx u du
u u
x x
u u u du
u
u u u
u u C



   

   
 

7 5 1
1 112 12 4
12 12= 12( + arctan )
7 5 3
x x x
x x C   
1
32
5
4 6 8
3
2
2
2
1.9) = 6
= 6
1
1
= 6 (1 )
1
= 6( arctan )
x u
dx u du
u u
x x
u
du
u
du
u
u u C






 
 


6 6
= 6( arctan )x x C 
2
2
2
2
u x
x u
dx udu
 
 

4
4
3
4
u x
x u
dx u du



6
6
5
6
u x
x u
dx u du



12
12
11
12
u x
x u
dx u du



6
6
5
6
u x
x u
dx u du




46
1
4
3
1 4 2
2
2 2
2
1 1
1.10) = 4
1
= 4 (1 )
1 1
1
= 4 ln | 1 | arctan
2
x u
dx u du
u u
x x
u
du
u u
u u u C
 



 
 
   
 

4 41
= 4 ln | 1 | arctan
2
x x x C   
6
5
3 23
8 2
2
6 4 2
2
3 1 3 1
1.11) = 6
(1 )(1 )
3
= 6
1
4
= 6 (3 3 3 4 )
1
x u
dx u du
u ux x
u u
du
u
u u u du
u
 




   

 


7 5 33 3
= 6( 4 4arctan )
7 5
u u u u u C    
7 5 1 11
6 6 6 62
3 3
= 6( 4 4arctan )
7 5
x x x x x C    
4
4
3
4
u x
x u
dx u du



6
6
5
6
u x
x u
dx u du




47
2 2
1.1)
a x
dx
x


2 2
a x
dx
x


ให้
2 2
sinθ
cosθ θ
cosθ
x a
dx a d
a x a


 
2 2
cosθ
= cosθ θ
sinθ
a x a
dx a d
x a

 
2
2
cos θ
= θ
sin θ
1 sin θ
= θ
sin θ
= (cosecθ sin θ) θ
= a{ln|cosecθ cotθ|+cosθ}
a d
a d
a d
C


 



2 2
2 2
= a{ln| | }
a a x
a x C
x
 
  
3
2 2
1
1.2)
(25 )
dx
x

2 2
1
(25 )
dx
x

ให้
2 2
5sinθ
5cosθ θ
5 5cosθ
x
dx d
x


 
2 2
1 1 cosθ
= θ
25 cos θ
(25 )
dx d
x
 
2
2
1 1
= θ
25 cos θ
1
= sec θ θ
25
1
= tanθ
25
d
d
C


2
1
=
25 25
C
x


3
3
2 2
1.3)
( 4)
x
dx
x 

3
3
2 2( 4)
x
dx
x 

ให้ 2
2
2tanθ
2sec θ θ
4 2secθ
x
dx d
x


 
θ
x
a
2 2
a x
θ
x
5
2 2
5 x
θ
x
2
4
x

2

48
3 3
2
3 2
2 2
8tan θ
= 2sec θ θ
8sec θ
( 4)
x
dx d
x


 
3
2
2
2
= 2 tan θ cosθ θ
= 2 tan θsinθ θ
= 2 (sec θ 1) cosθ
1
= 2 ( 1) cos θ
cos θ
2
= 2cos θ
cos θ
d
d
d
d
C
 
 
 




2
2
4
= 4
4
x C
x
  

2
3
16
1.4)
x
dx
x


2
3
16x
dx
x


ให้
2
4secθ
4secθtanθ θ
16 4tanθ
x
dx d
x


 
2
3 3
16 4tanθ
= (4secθtanθ) θ
64sec θ
x
dx d
x

 
2 2
2
1
= tan θcos θ θ
4
1
= sin θ θ
4
d
d


1
= (1 cos2θ) θ
8
d
1 1
= (θ sin 2θ)
8 2
C 
1
= (θ sinθcosθ)
8
C 
2
2
1 1 16
= arcsec
8 4 2
x x
C
x

 
2
5
2 2
1.5)
(9 )
x
dx
x

2
5
2 2(9 )
x
dx
x

ให้
2
3sinθ
3cosθ θ
9 3cosθ
x
dx d
x


 
2 2
5 5 5
2 2
9sin θ
= (3cosθ) θ
3 cos θ
(9 )
x
dx d
x


 
2
4
2 2
1 sin θ
= θ
9 cos θ
1
= tan θsec θ θ
9


d
d
θ
2
16x 
x
4
θ
x
3
2
9 x

49
2
3
1
= tan θ tanθ
9
1
= tan θ
27

 d
C
3
3
2 2
1
=
27
(9 )
x
C
x


2
2
5 2 1
1.6)
25
x x
dx
x
 


2
2
5 2 1
25
x x
dx
x
 


ให้
2
5sinθ
5cosθ θ
25 5cosθ
x
dx d
x


 
2 2
2
5 2 1 5(25sin θ) 10sinθ 1
= 5cos θ
5cosθ25
x x
dx d
x
   


 
2
2 2
= (125sin θ 10sin θ 1) θ
= 125 (cos 2θ) θ 10 sin θ θ 126 θ
125
= 126θ sin 2θ 10cosθ
2
= 126arcsin 5 25 2 25
5
d
d d d
C
x
x x x C
 
  
  
    

  
2
= 126arcsin (5 2) 25
5
x
x x C   
2 2
2
2
1 1
1.7) =
12 4 ( 4 12)
1
=
( 4 4 16)
1
=
16 ( 2)
dx dy
y y y y
dy
y y
dy
y
    
   
 
 


1
16 ( 2)
dx
y 

ให้ 2
2
2 4tanθ
4sec θ θ
16 ( 2) 4secθ
y
dy d
y
 

  
2
2
1 4sec θ
= θ
4secθ16 ( 2)
dx d
y 
 
= secθ θ
= ln|secθ tan θ|
d
C 

2
2 12 4
= ln| |
4
y y y
C
   

2 2
2 2
2
2
2
2
1.8) =
9 8 ( 8 9)
=
( 8 16 25)
=
25 ( 4)
y y
dx dy
y y y y
y
dy
y y
y
dy
y
    
   
 
 


θ
x
5
2
25 x
θ
2y 
2
16
(
2)
y


4

50
2
2
25 ( 4)
y
dx
y 

ให้
2
4 5sinθ
5cosθ θ
25 ( 4) 5cosθ
y
dy d
y
 

  
2 2
2
(5sinθ 4)
= 5cosθ θ
5cosθ25 ( 4)
y
dx d
y


 
 
2
2
= (5sinθ 4) θ
= (25sin θ 40sin θ 16) θ
25
= (1 cos 2θ) θ 40 sin θ θ 16 θ
2
57 25
= θ sin 2θ 40cosθ
2 2
d
d
d d d
C

 
  
  


  
2457
= arcsin( ) ( 12) 9 8
2 5
y
y y y C

    
3 3
2 22 2
3
2 2
1.9) ( 6 13) = ( 6 9 4)
= (( 3) 4)
y y dy y y dy
y dy
    
 
 

3
2 2(( 3) 4)y dy 
ให้ 2
2
3 4tanθ
4sec θ θ
( 3) 4 4secθ
y
dy d
y
 

  
3
2 3 22(( 3) 4) = 256 sec θ sec θ θy dy d   
5
3
3 3
3 2 3
3 2 3
= 256 sec θ θ
= 256 sec θ tanθ
= 256{sec θ tanθ tanθ sec θ}
= 256{sec θ tanθ 3 tan θ sec θ θ}
= 256{sec θ tanθ 3 (sec θ 1)sec θ θ}
d
d
d
d
d


 





3 5 3
3 5 3
3 3
= 256sec θ tanθ 768 (sec θ sec θ) θ
= 256sec θ tanθ 768 sec θ θ 768 sec θ θ
256 768
= sec θ tanθ sec θ θ
769 769
d
d d
d
 
 


 

3 1
sec {tan sec | cos( ) sin( ) | | cos( ) sin( ) |}
2 2 2 2 2
x x x x
xdx x x n n C     
3
2 32
cos( ) sin( )
256 384 2 2( 6 13) = sec θ tanθ {tan sec | |}
769 769 cos( ) sin( )
2 2
x x
y y dy x x n C
x x

    


2
1
1.10)
( 1) 1
dx
y y 

1
( 1) 1
dx
y y 

θ
4y 
5
2
25 ( 4)y 
θ
3y 
2
25
(
3)
y


4
θ
2
1y 
y
1

51
ให้
2
secθ
secθtanθ θ
1 tanθ
y
dy d
y


 
1 secθtanθ
= θ
(secθ 1)tanθ( 1) 1
dx d
y y  
 
2
2
2
2
secθ
= θ
secθ 1
1
= ( ) θ
1 cos θ
1 cos θ
= ( ) θ
1 cos θ
1 cos θ
= ( ) θ
sin θ
sin θ
= cosec θ θ
sin θ
1
= cot θ
sin θ
d
d
d
d
d
d
C






  




 
2
2
11
=
1
y
C
yy

  

2 3
2 3
2 3
2 3
1 1 1
1.11) =
8 27( 4 24 27)
( 6 )
4
1 1
=
8 9
( 6 9 )
4
1 1
=
8 9
( ( 3) )
4
dx dx
y y
y y
dx
y y
dx
y
 
 
  
 
 


2 3
1
9
( ( 3) )
4
dx
y  

ให้
2
3
3 secθ
2
3
secθtanθ θ
2
3
4 24 27 tanθ
2
y
dy d
y y
 

  
3 32 3
3
secθ tanθ
1 1 1 2= θ
38 89 ( ) tan θ( ( 3) )
24
dy d
y  
 
2
2
2
1 secθ
= θ
18 tan θ
1 cosθ
= θ
18 sin θ
1 sinθ
=
18 sin θ
1
=
18sinθ
d
d
d
C 



2
3
=
9
18 ( 3)
4
y
C
y

 
 
θ
2 9
( 3)
4
y  
3
y 
3
2

52
2 2 2
1
1.12) , 0
( )
du a
a u


1
( )
du
a u
ให้ 2
2 2
tanθ
sec θ θ
secθ
u a
du a d
a u a


 
2
2 2 2 4 4
1 sec θ
= θ
( ) sec θ
a
du d
a u a 
3 2
2
3
1 1
= θ
sec θ
1
= cos θ θ
d
a
d
a


3
1
= (1 cos2θ) θ
2
d
a

3 3
1 1
= θ sin 2θ
2 4
C
a a
 
3 2 2 2
1
= arctan
2 2 ( )
u u
C
a a a a u
 

2 2 2
1
1.13) , 0
( )
du a
a u


1
( )
du
a u
ให้
2 2
sinθ
cosθ θ
cosθ
u a
du a d
a u a


 
ดังนั้น 2 2 2 4 4
1 cosθ
= θ
( ) cos θ
a
du d
a u a 
3 3
1 1
= θ
cos θ
d
a 
3
3
3
3
2
3
2
3
3
3 3
1
= sec θ θ
1
= secθ tanθ
1
= {secθ tanθ tanθ secθ}
1
= {secθ tanθ secθ tan θ θ}
1
= {secθ tanθ secθ(sec θ 1) θ}
1 1
= secθ tanθ (sec θ secθ) θ
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
a a


 
 






3 3
3 3 3
3
3 3 3
3
1 1 1
sec θ θ = secθ tanθ (sec θ secθ) θ}
2 1 1
sec θ θ = secθ tanθ+ secθ θ
1 1
sec θ θ = secθ tanθ ln | secθ tanθ |
2 2
d d
a a a
d d
a a a
d C
  
  
 
 

2 2 2 2 2 2 3 2 2
1 1
= ln | |
( ) 2 ( ) 2
u a u
du C
a u a a u a a u

  
  

θ
u
2
2
a
u
a
θ
u
a
2 2
a u

53
2
4 4 4 4 4 4
2 2 4
1
1.14) =
2
1
=
2
u du
du
u u a u u a
dz
z z a
 

 

dz
z z a

ให้
2
2
2
2 4 2
secθ
secθtanθ θ
tanθ
z u
z a
dz a d
z a a



 
2
4 2 22 2 4
1 1 secθtanθ
= θ
2 2 sec θ( tanθ)
dz a
d
a az z a
 
4
4
4
2 4
4
1 θ
=
2 secθ
1
= cosθ θ
2
1
sinθ
2
2
d
a
d
a
C
a
z a
C
za
 

 


4 4
2 4
2
u a
C
u a

 
3 3
2 4 4 22 2
2 2
3
2 2 2
2
(3 2 ) ( ( 2 1 4)
1.15) =
1 1
{4 ( 1) }
=
1
u u u u u u
du du
u u
u u
du
u
     
 
 

 

3
2 2 2
2
{4 ( 1) }
1
u u
du
u
 

ให้
2
2 2
1 2sinθ
2 2cosθ θ
4 ( 1) 2cosθ
u
udu d
u
 

  
3 3
2 2 2 22 2
2
2 2
{4 ( 1) } 1 {4 ( 1) }
=
1 2 1
u u u
du du
u u
   
  
3
4
2
2 2
2
3
1 8cos θ
= 2cosθ θ
2 2sinθ 2
cos θ
= 4 θ
1 sinθ
4 cos θ(1 sinθ) θ
4 (cos θ cos θsinθ) θ
2 (1 cos2θ) θ 4 cos θ cosθ
4
2θ sin 2θ cos θ
3
d
d
d
d
d d
C



 
 
  
   




 
32
2 2 4 2 2 2
1 1 1
2arcsin( ) ( 1) 3 2 {4 ( 1) }
2 2 6
u
u u u u C

        
θ
2 4
z a
z
2
a
θ
2
1u 
2
2 2
4 ( 1)u 

54
3 3
2 22 2
3
2 2
1.16) =
(4 25) (4 25)
=
(4 25)
t t
t t
e de
dt
e e
du
u
 

 

2 2(4 25)
du
u 

ให้ 2
2
2 5tanθ
5
sec θ θ
2
(2 ) 25 5secθ
t
e u
u
du d
u



 
2
3 3
2 2
5 sec θ
= θ
2 125sec θ
(4 25)
du
d
u 
 
2
1
= cosθ θ
50
1
= sinθ
50
1
25 4 25
d
C
u
C
u

 


2
25 4 25
t
t
e
C
e
 

2 2
1
1.17)
16t t
dt
e e 

1
16t t
dt
e e 

ให้
2
4secθ
4secθtanθ θ
16 4tanθ
t
t
t
e
e dt d
e


 
1 tanθ
= θ
16sec θ(4tanθ)16t t
dt d
e e 
 
2
2
2
1
= cos θ θ
64
1
= (1+cos2θ) θ
128
1 1
(θ sin 2θ)
128 2
1 1 4 16
arcsec( )
128 4 128
t t
t
d
d
C
e e
C
e
  

  


2
2
1 1 16
arcsec( )
128 4 32
t t
t
e e
C
e

  
3
2
1
1.18)
( 1)t
dt
e 

2
1
( 1)t
dt
e 

θ
2u
2
(2
)
25
u

5
θ
2
16t
e 
t
e
4
θ
2
t
e
1t
e

1

55
ให้
2
22
tanθ
2sec θ θ
1 secθ
t
t
t
e
e dt d
e


 
2
3 3
2
1 2sec θ
= θ
tanθ(sec θ)
( 1)t
dt d
e 
 
2
2
1
= 2 θ
secθ tanθ
cos θ
= 2 θ
sinθ
1 sin θ
2 θ
sinθ
1
2 θ 2 sinθ θ
sinθ
2ln|cosecθ cotθ| 2cosθ
d
d
d
d d
C


 
   



 
2
1 1 2
2ln| |
1
t
t t
e
C
e
e
 
  

ข้อ 2 จงหาค่าอินทิกรัลต่อไปนี้
2 2
3 2 3 2
0 0
2.1) 2 = 1 ( 1)x x x dx x x dx   
1 ( 1)x x dx 
ให้
2
1 sinθ
cosθ θ
1 ( 1) cosθ
x
dx d
x
 

  
1 ( 1) = (sinθ 1) cos θ θx x dx d   
3 2
5 4 3 2
= (sinθ 1) (1 sin θ) θ
= ( sin θ 3sin θ 2sin θ 2sin θ+3sinθ 1) θ
d
d
 
    


sin θ θ = sin θsinθ θd d 
2 2
2 4
3 5
= (1 cos θ) cosθ
= (1 2cos θ cos θ) cosθ
2 1
= cosθ cos θ cos θ
3 5
d
d
C
 
  
   


พิจารณา 4 3 1 1
sin θ θ = θ sin 2θ sin 4θ
8 4 32
d C   (จากแบบฝึกหัดที่ 6.3)
sin θ θ = cosθ cos θ
3
d C  
3 2 5
5
2 22
2 2
7 1 1 3
1 ( 1) = θ cos θ sin 2θ sin 4θ
8 5 4 32
7 1 1
= arcsin( 1) (2 ) ( 1) 2
8 5 2
3
( 1) 2 { 2
16
      
     
   
x x dx C
x x x x x x
x x x x 4 1}  x C
5
2
3 2 2 22
0
2
2 2
0
7 1 1
2 = arcsin( 1) (2 ) ( 1) 2
8 5 2
3
( 1) 2 { 2 4 1}
16

       


      

 x x x dx x x x x x x
x x x x x
θ
1x 
1
2
1 ( 1)x 

56
7
= {arcsin(1) arcsin( 1)}
8
 
7
= { ( )}
8 2 2
 
 
7
=
8

3 33 3
3 35 5
4 2 4 22 2
2.2) =
( 2 3) {( 1) 4}
x x
dx dx
x x x   
 
3
3
4 2 2{( 1) 4}
x
dx
x  

ให้
2
2
2 2
1 2secθ
2secθtanθ θ
( 1) 4 2tanθ
x
dx d
x
 

  
3 2
2
3 3
4 2 4 22 2
1
=
2
{( 1) 4} {( 1) 4}
x x
dx dx
x x   
 
3
2
2
1 (2secθ 1)(secθtanθ)
= θ
8 tan θ
1 2sec θ secθ
= θ
8 tan θ
d
d




2
2 2
2
4 2
24 2
1 sec θ 1 secθ
θ θ
4 tan θ 8 tan θ
1 1 sinθ
cotθ
4 8 sin θ
1 1
cotθ
4 8sinθ
1 2 3
8( 1)2 2 3
d d
d
d
C
x x
C
xx x
 
  
   
 
   
 
 
 
3
3 4 23
3 24 25
4 2 2 5
1 2 3
=
8( 1)2 2 3
{( 1) 4}
1 60 1 12
=
64 322 60 2 12
=
x x x
dx
xx x
x
  
       
   

1 15 1 3
32 164 15 4 3
1 15 15 3 3
= { }
4 15 8 3 4
   
   
θ
2 2
( 1) 4x  
2
1
x

2

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