More Related Content
Similar to ใบความรู้ เรื่องตรีโกณมิติ
Similar to ใบความรู้ เรื่องตรีโกณมิติ (13)
ใบความรู้ เรื่องตรีโกณมิติ
- 1. สรุปสูตร เรื่องตรีโกณมิติ
วงกลมหนึ่งหน่วย
x
y
tan ,...
2
5
,
2
3
,
2
1. ,นิยาม ysin และ xcos ดังนั้น
y
x
cot , ,...3,2,
x
1
sec , ,...
2
5
,
2
3
,
2
y
1
csc , ,...3,2,
2. อัตราส่วนตรีโกณมิติ
b
a
Äsin
a
b
ecAcos
b
c
Acos
c
b
Asec
c
a
Atan
a
c
Acot
3. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่ควรจําได้
ฟังก์ชัน 0 o
30
6
o
45
4
o
60
3
o
90
2
o
180
sin 0
2
1
2
2
2
1
2
3 1 0
cos 1
2
3
2
2
2
1
2
1
0 1
tan 0
3
1
1 3 _ 0
cot _ 3 1
3
1
0 _
sec 1
3
2
2 2 _ 1
cosec _ 2 2
3
2
1 _
- 2. 4. การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณของมุมประกอบที่ค่าของฟังก์ชันไม่เปลี่ยนแปลง
2
0
ถ้ากําหนดให้
อยู่ ควอดรันต์ 2 อยู่ ควอดรันต์ 3 อยู่ ควอดรันต์ 4 อยู่ ควอดรันต์ 42
sin)sin( sin)sin( sin)2sin( sin)sin(
cos)cos( cos)cos( cos)2cos( cos)cos(
tan)tan( tan( ) tan tan)2tan( tan)tan(
กรณีที่มุมเป็นองศา ก็เช่นเดียวกัน
o
180 อยู่ ควอดรันต์ 2 อยู่ ควอดรันต์ 3 อยู่ ควอดรันต์ 4 อยู่ ควอดรันต์ 4o
180 o
360
sin)180sin( o
sin)180sin( o
sin)360sin( o
sin)sin(
cos)180cos( o
cos)180cos( o
cos)360cos( o
cos)cos(
tan)180tan( o
tan)180tan( o
tan)360tan( o
tan)tan(
ในทํานองเดียวกันถ้า และเป็นฟังก์ชันของมุมที่เกินรอบIn
sin)n2sin( sin)n2sin(
cos)n2cos( cos)n2cos(
tan)n2tan( tan)n2tan(
หมายเหตุ สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับ ทุกขนาดของมุมหรือจํานวนจริงใด ๆ
การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณของมุมประกอบที่ค่าของฟังก์ชันต้องเปลี่ยนแปลงฟังก์ชัน
(co-function)
2
3
2
3
2
2
อยู่ ควอดรันต์ 1 อยู่ ควอดรันต์ 2 อยู่ ควอดรันต์ 3 อยู่ ควอดรันต์ 4
cos)
2
sin(
cos)
2
sin(
cos)
2
3
sin(
cos)
2
3
sin(
sin)
2
cos(
sin)
2
cos(
sin)
2
3
cos(
sin)
2
3
cos(
cot)
2
tan(
cot)
2
tan(
cot)
2
3
tan(
cot)
2
3
tan(
กรณีที่มุมเป็นองศา ก็เช่นเดียวกัน
o
90 อยู่ ควอดรันต์ 1 อยู่ ควอดรันต์ 2 อยู่ควอดรันต์ 3 อยู่ควอดรันต์ 4o
90 o
270 o
270
cos)90sin( o
cos)90sin( o
cos)270sin( o
cos)270sin( o
sin)90cos( o
sin)90cos( o
sin)270cos( o
sin)270cos( o
cot)90tan( o
cot)90tan( o
cot)270tan( o
cot)270tan( o
22
ba 5. ค่าสูงสุดและตํ่าสุดของ คือ cosbsina
- 3. 6. เอกลักษณ์พื้นฐานที่ควรทราบ
กําหนดให้ เป็น มุม , ความยาวส่วนโค้ง หรือ จํานวนจริงใด ๆ
1cossin 22
2
cos1sin จะเลือก + หรือ – ต้องขึ้นอยู่กับ
2
sin1cos จะเลือก + หรือ – ต้องขึ้นอยู่กับ
และ 22
eccoscot1 22
sectan1
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชัน กราฟ โดเมน เรนจ์ คาบ
แอมพลิจูด
xsiny R ]1,1[ 2
xcosy R ]1,1[ 2
xtany
2
1n2
xx
In
R
xcoty nxx
In
R
xsecy
2
1n2
xx
In
),1[]1,( 2
ecxcosy
nxx
In
),1[]1,( 2
- 4. สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรือจํานวนจริง
)BAsin( BsinAcosBcosAsin
)BAsin( BsinAcosBcosAsin
)BAcos( BsinAsinBcosAcos
)BAcos( BsinAsinBcosAcos
)BAtan(
BtanAtan1
BtanAtan
)BAtan(
BtanAtan1
BtanAtan
)BAcot(
AcotBcot
1BcotAcot
)BAcot(
AcotBcot
1BcotAcot
สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 2 เท่า
2
A
cos
2
A
sin2 A2sin หรือ AcosAsin2 Asin
2
A
sin
2
A
cos 22
A2cos หรือ AsinAcos 22
Acos
1
2
A
cos2 2
หรือ 1Acos2 2
Acos
2
A
sin21 2
Asin21 2
หรือ Acos
2
A
tan1
2
A
tan2
2
A2tan
Atan1 2
Atan2
Atanหรือ
A2cot
Acot2
1Acot2
Atan1
Atan2
2
Atan1
Atan2
2
เนื่องจาก เราสามารถหาA2tan A2sin
Atan1
Atan1
2
2
A2cos
สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 3 เท่า
A3sin Asin4Asin3 3
A3cos Acos3Acos4 3
A3tan
Atan31
AtanAtan3
2
3
A3cot
1cot3
Acot3Acot
2
3
สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมครึ่ง
2
A2cos1
Asin2
2
A2cos1
หรือ Asin
2
A2cos1
Acos2
2
A2cos1
หรือ Acos
- 5. A2cos1
A2cos1
Atan2
A2cos1
A2cos1
หรือ Atan
ค่าของฟังก์ชันของมุมบางมุมที่ควรทราบ
o
o
15sin 75cos
4
26
22
13
o o
75sin 15cos
4
26
22
13
o o
15tan 75cot
13
13
o
o
75tan 15cot
13
13
o
18sin o
72cos
4
15
o
18cos o
72sin
4
5210
o
36cos o
54sin
4
15
o o
36sin 54cos
4
5210
o
o
5.22sin 5.67cos
2
22
o o
5.22cos 5.67sin
2
22
สูตรการเปลี่ยนผลคูณของฟังก์ชันเป็นผลบวกหรือผลต่างของฟังก์ชัน
BcosAsin2 )BAsin()BAsin( หรือ cossin2 )diffsin()sumsin(
BsinAcos2 )BAsin()BAsin( หรือ )diffsin()sumsin( sincos2
BcosAcos2 )BAcos()BAcos( หรือ coscos2 )diffcos()sumcos(
BsinAsin2 )BAcos()BAcos( หรือ sinsin2 )sumcos()diffcos(
สูตรการเปลี่ยนผลบวกหรือผลต่างของฟังก์ชันเป็นผลคูณของฟังก์ชัน
2
BA
cos
2
BA
sin2BsinAsin
2
BA
sin
2
BA
cos2BsinAsin
2
BA
cos
2
BA
cos2BcosAcos
BcosAcos
2
AB
sin
2
BA
sin2
2
BA
sin
2
BA
sin2หรือ
ooo
80sin40sin20sin
8
3
หรือ
16
3oooo
80sin60sin40sin20sin
ooo
80cos40cos20cos
8
1
หรือ
16
1oooo
80cos60cos40cos20cos
- 6. อินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ อินเวอร์สของฟังก์ชัน ฟังก์ชันอินเวอร์ส โดเมนของ เรจน์ของ
ฟังก์ชันอินเวอร์ส ฟังก์ชันอินเวอร์ส
xsiny ysinx xarcsiny หรือ
xsiny 1
]1,1[
2
,
2
xcosy ycosx xarccosy หรือ
xcosy 1
]1,1[
,0
xtany ytanx xarctany
สูตรความสัมพันธ์ของฟังก์ชันอินเวอร์สตรีโกณมิติ
1. )xarcsin( xarcsin 1,1x
2. )xarccos( xarccos 1,1x
3. )xarctan( xarctan Rx
4. )xsin(arcsin x 1,1x และ
)xarcsin(sin x
2
,
2
x ดังนั้น
)xsin(arcsin )xarcsin(sin 1,1x
5. )xcos(arccos x 1,1x และ
)xarccos(cos x ,0x ดังนั้น
)xcos(arccos )xarccos(cos 1,1x
6. )xtan(arctan x Rx และ
)xarctan(tan x
2
,
2
x ดังนั้น
)xtan(arctan )xarctan(tan
2
,
2
x
หรือ
xtany 1
R
2
,
2
หรือxcoty ycotx xcotarcy
xcoty 1
R
),0(
xsecy ysecx xsecarcy หรือ
xsecy 1
)1,1(R
2
,0
xcscy ycscx xcscarcy หรือ
xcscy 1
)1,1(R 0
2
,
2
- 7. 7. )xcotarccot( x Rx และ
)xcot(cotarc x ),0(x ดังนั้น
)xcotarccot( )xcot(cotarc ),0(x
8. )xsecarcsec( x )1,1(Rx และ
)xsec(secarc x
2
,0x ดังนั้น
2
,0x)xsecarcsec( )xsec(secarc
9. )xcscarccsc( x )1,1(Rx และ
)xcsc(cscarc x 0
2
,
2
x
ดังนั้น
)xsecarcsec( )xsec(secarc )1,1(Rx
10. yarctanxarctan
xy1
yx
arctan
2
yarctanxarctan
2
yarctanxarctan
xy1
yx
arctan
2
yarctanxarctan
2
yarctanxarctan
xy1
yx
arctan
2
yarctanxarctan
yarctanxarctan
xy1
yx
arctan
2
yarctanxarctan
2
x1
x2
arctan
11. xarctan2
12. xarcsin 2
x1arccos
2
x1
x
arctan
x
x1
cotarc
2
2
x1
1
secarc
x
1
cscarc
13. xarccosxarcsin
2
1,1x
xcotarcxarctan
2
Rx
xcscarcxsecarc
2
1,1Rx
การแก้สมการตรีโกณมิติ
1. ถ้าโจทย์กําหนด เอกภพสัมพัทธ์ ต้องตอบในรูปของเซตจํากัด
2. ถ้าโจทย์ไม่กําหนด เอกภพสัมพัทธ์ ต้องตอบในรูปทั่วไป และกําหนดให้ เอกภพสัมพัทธ์ R ดังนี้
2.1 ถ้า คําตอบของสมการ คือ sinxsin n
)1(nx
2.2 ถ้า คําตอบของสมการ คือ cosxcos n2x
- 8. 2.3 ถ้า คําตอบของสมการ คือ tanxtan nx
3. หลักที่ควรคํานึงถึงเกี่ยวกับเรื่องการแก้สมการ คือ
3.1 การแปลงทุกค่าของตัวแปรให้เป็นฟังก์ชันเดียวกันและมุมเดียวกัน
3.2 การแยกตัวประกอบ
การแก้อสมการตรีโกณมิติ
ใช้หลักเหมือนกับการแก้สมการในระบบจํานวนจริง โดยมีค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นตัวแปรใด ๆ
การแก้รูปสามเหลี่ยม
ใช้หลักดังนี้คือ
1. ถ้าสามเหลี่ยมดังกล่าวนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากใช้
1.1 ทฤษฎีบทพีธากอรัส
1.2 อัตราส่วนตรีโกณมิติ
2. ถ้าสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ใช้
Csin
c
Bsin
b
Asin
a
2.1 กฎของไซน์ คือ
2.2 กฎของโคไซน์ คือ
bc2
acb
AcosAcosbc2cba
222
222
ac2
bca
BcosBcosac2cab
222
222
ab2
cba
CcosCcosab2bac
222
222
2.3 กฎของโปรเจกชัน
BcoscCcosba
AcoscCcosab
AcosbBcosac
2
1
ฐาน สูง3. การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม
Csinab
2
1
)cs)(bs)(as(s )cba(
2
1
โดยที่ s
4. การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง
2
1
ฐานโค้ง รัศมี ตารางหน่วย4.1 เมื่อทราบความยาวฐานโค้ง
1
r
2
4..2 เมื่อทราบขนาดของมุมที่จุดศูนย์กลาง 2
o
r
360
ตารางหน่วย
2
r
2