1. Variabla e rastësishme dhe
distribucionet diskrete të probabilitetit
Ligjërata e pestë
Variabla e rastësishme dhe
distribucionet diskrete të probabilitetit
Qëllimet:
Pas përfundimit të ligjëratës ju duhet të jeni në gjendje që
të :
Definoni termet: variabël e rastësishme dhe distribucioni
i probabilitetit.
Të bëni dallimet në mes distribucionene diskrete dhe
kontinuale të probabilitetit.
Kalkuloni mesataren aritmetike, variancën dhe devijimin
standard të distribucioneve diskrete të probabilitetit.
Përshkruani karakteristikat dhe të llogaritni probabilitetet
duke shfrytëzar Distribucionin Binomial të probabilitetit.
1

2. Variablat e rastësishme
Variabla e rastësishme është përshkrimi me
numra i rezultateve të një eksperimenti .
 SHEMBULL 1: Marrim në konsiderim
eksperimentin në të cilin monedha hudhet
tri herë. Le të jetë X numri i rënjes së
numrit. Me “N” do të evidentojmë rënjen e
numrit kurse me “S” rënjen e stemës..
SHEMBULL 1 vazhdim
 Hapësira e mostrës, gjegjësisht numri i rasteve
të tërësishme për këtë eksperiment do të jetë:
SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN.
 Kështu vlerat e mundshme për X ( numri i N)
janë : X = 0,1,2,3.
2

3. Shembull 1 vazhdim
 Rezultati zero “numër” ndodh një herë.
 Rezultati një herë “numri” ndodh tri herë.
 Rezultati dy herë “numri” ndodh tri herë.
 Rezultati tri herë numri ndodhë një herë.
 Nga definimi i variablës së rastësishme , X i
definuar në këtë eksperiment, është variabël e
rastësishme.
Distribucionet e probabilitetit
X Rezultat Probabilitet
(numri i et et e
N) rezultateve
 Distribucioni i 0 1 1/8=0,12
probabilitetit është 5
numrimi i të gjitha 1 3 3/8=0,37
rezultateve të 5
mundshme të një
2 3 3/8=0,37
eksperimenti dhe 5
probalilitetet e
3 1 1/8=0,12
lidhura me to. Për
5
SHEMBULLIN 1,
Gjithsej 8 8/8=1
:
3

4. Karakteristikat e distribucionit të
probabilitetit
 Probabiliteti i një rezultati duhet gjithmonë
të jetë në mes të 0 dhe 1.
 Shuma e të gjitha rezultateve reciprokisht
përjashtuese është gjithmonë e babrabartë
me një (1)
Llojet e variablave të rastësishme
Variablat e
rastësishme
Variabla të rastësishme Variabla të rastësishme
diskrete/ e ndërpreë kontinuale/ e
vazhdueshme
4

5. Variabla e rastësishme diskrete/e
ndërprerë
 Variabla e rastësishme diskrete/ e ndërpreë është
variabla e cila mund të marr vetëm disa vlera të
caktuara qartë që rezultojnë nga numërimi i disa
njësive që janë me interes.
 P.sh.
- Numri i SMS në telefonin tuaj gjatë ditës,
- Numri i aksidenteve në komunikacion gjatë muajit
prill,
- Numri i MP3 të shitur në një shitore,
- Numri i produkteve me defekt gjatë një dite pune,
etj
 Shembull: Le të jetë X numri i rënjes së “numri” kur
monedha hudhet tri herë. Këtu vlerat për X janë:
 X = 0,1,2,3.
Variablat e rastësishme kontinuale/e
vazhdueshme
 Variabël e rastësishme kontinuale /e
vazhdueshme është variabla e cila mund të
marr në infinit numër të madh të vlerave.
 Shembuj:
- Gjatësia dhe pesha e studentëve,
- Koha e nevojshme që me taksi të vihet në
fakultet nga shtëpia,
- Kohëzgjatja e një dremitje (gjumi) etj.
5

6. Modelet teorike të shpërndarjes së
probabiliteve
Modelet e
shpërndarjes/distribucionit
Distribucioni diskret i Distribucioni kontinual i
probabiliteve probabiliteteve
Distribucioni Binomial Distribucioni normal
Distribucioni i
Distribucioni hipergjeometrik “Studentit “
 2
Distribucioni i Poisson-it
Distribucioni
(hi në katror) 2
Distribucioni uniformues Distribucioni i Fisherit
(Snedecor)
Distribucioni diskret i probabiliteteve
Distribucioni i probabilitetit për variablën e
rastësishme përshkruan se si probabilitetet janë të
shpërndara rreth vlerës së variablës së rastësishme.
Distribucionin diskret të probabilitetetve mund ta
përshkruajmë me tabelë , grafik apo ekuacion.
6

7. Distribucionet diskrete të probabilitetit
Distribucioni i probabilitetit definohet përmes
funksionit të probabilitetit, i shënuar me P(x), i cili
siguron probabilitet për çdo vlerë të varablës së rastësishme.
Kushtet e kërkuara për funksionin e probabilitetit
diskret janë:
P(x) > 0
P(x) = 1
Distribucionet diskrete të probabilitetit
  Përdorimi i të dhënave për shitjen e TV në të kaluarën.
 … Prezantimi tabelar i distribucionit të probabilitetit

për shitjen e TV.
.
Numri i 80/200
Nj. e shitura ditëve x P(x)
0 80 0 .40
1 50 1 .25
2 40 2 .20
3 10 3 .05
4 20 4 .10
200 1.00
7

8. Distribucionet diskrete të probabilitetit
 Paraqitja grafike e distribucionit diskret të probabiliteteve
.50
Probabiliteti .40
.30
.20
.10
0 1 2 3 4
Vlerat e variablës së rastësishme x (Shitjet e TV)
Distribucioni i probabilitetit diskret uniform/ i
njëtrajtshëm
Distribucioni i probabilitetit diskret uniform
është shembulli më i thjeshtë i distribucioneve
diskrete të probabilitetit i dhënë me formulën vijuese:
Funksioni i distribucionit uniform të probabilitetit është:
P(x) = 1/n Vlerat e variablës së
rastësishme kanë
gjasa të barbarta
ku:
n = numri i vlerave të variablës së
rastësishme që mund të ndodhin
8

9. Mesatarja , Varianca dhe Devijimi standard te distribucionet
disktrete të probabiliteteve
 Sikurse distribucioni i frekuencave që
karakterizohet me mesataren , variancën
dhe devijimin standard, ashtu edhe
distribucioni i shpërndarjes së probabiliteve
përmblidhet me mesataren e tij dhe
variancën.
 Mesatarja e distribucioneve të probabilitetit
shënohet me shkronjën greke “mi”μ
 Devijimi sandard i distribucionit të
probabiliteteve shënohet me shkronjën greke
„sigma”σ
Vlera e pritur dhe varianca
Vlera e pritur, ose mesatarja, e variablës së
rastësishme është matës i tendencës qendrore.
E(x) =  = xP(x)
Varianca përmbledh variabilitetin e vlerave
të variablës së rastësishme.
Var(x) =  2 = (x - )2P(x)
Devijimi standard, , definohet si rrënja katrore e
Variancës.
9

10. Vlera e pritur dhe varianca
 Vlera e pritur- mesatarja aritmetike
x P(x) xP(x)
0 .40 .00
1 .25 .25
2 .20 .40
3 .05 .15
4 .10 .40
E(x) = 1.20
Numri i pritur i TVs të
shitur brenda ditës
Vlera e pritur dhe Varianca
 Varianca dhe Devijimi Standard
E(x) = 1.20
x x- (x - )2 P(x) (x - )2P(x)
0 -1.2 1.44 .40 .576
1 -0.2 0.04 .25 .010
2 0.8 0.64 .20 .128
3 1.8 3.24 .05 .162
TVs
4 2.8 7.84 .10 .784 Në katror
Varianca e shitjeve ditore=  2 = 1.660
Devijimi standard për shitjet ditore= 1.2884 TVs
10

11. Distribucioni binomial
 Shpërndarja binomiale e probabilitetit është një
shpërndarje e ndërprerë që gjen përdorim të madh në
praktikë
 Shpërndarja binomiale është e lidhur me
eksperimentin shumëshkallësh të cilin e quajmë
eksperiment binomial.
 Një prej karakteristikave të shpërndarjes binomiale
është se lidhet me eksperimentet ku çdo rezultat
mund të marr vetëm dy forma. P.sh qëndrimi i saktë
dhe i pasaktë.
 Çdo rezultat është i papajtueshëm që do të thotë se
diçka nuk mund të jetë e saktë dhe e pasaktë në të
njejtën kohë.
Distribucioni Binomial
 Katër karakteristikat e Eksperimentit Binomial
1. Eksperimenti përbëhet nga provat identike të
njëpasnjëshme.
2. Dy rezultate , suksesi dhe dështimi, janë të
mundshme në çdo provë.
3. Probabiliteti për sukses i shënuar me p
nuk ndryshon prej një eksperimenti në një tjetër
Supozimi i
4. Eksperimentet janë të pavarura.
përhershëm
11

12. Distribucioni Binomial
Ne jemi të interesuar për numrin e sukseseve
që ndodhin në n prova.
Le te shenojmë me x numrin e sukseseve që
ndodhin në n prova.
Distribucioni binomial - shembull
 Eksperimenti i gjuajtjes së monedhës 10 herë.
 A është eksperiment binomial apo jo?
Zgjidhje: Eksperimenti i hudhjes së monedhës 10 herë i plotëson
të katër kushtet e distribucionit binomial.
1. Ka gjithsej 10 gjuajtje dhe të gjitha janë identike dhe kryhen
në kushte të njejta, n=10
2. Çdo gjuajtje ka vetëm dy rezultate të mudshme: stema dhe
numri. Le të shënojmë rënjen e stemës si “sukses” dhe
rënjen e numrit si “mossukses”
3. Probabiliteti i rënjes së stemës është ½ (suksesit) , gjtithashtu
edhe rënja e numrit e ka probabilitetin ½. p(S) =1/2 dhe q(N)
=1/2
4. Gjuajtjet janë të pavarura. Rezultatet e gjuajtjes së parë nuk
kanë ndikim në rezultatet e gjuajtjes së dytë.
12

13. Distribucioni Binomial
 Funksioni i probabilitetit binomial
n!
P( x )  px (1  p)( nx )
x !(n  x )!
Ku:
P(x) = Probabiliteti i suksesit x në n prova
n- numri i eksperimenteve/provave
x- numri i rasteve të suksesshme të vrojtuara
p - probabiliteti i “suksesit” në cdo eksperiment/prove
q - probabiliteti i “mossuksesit” në cdo
eksperiment/prove (q = 1-p)
Distribucioni Binomial
 Funksioni i Probabilitetit Binomial
n!
P( x )  px (1  p)( n x )
x !(n  x )!
n!
px (1  p)( n  x )
x !(n  x )!
Probabiliteti i një pjese
Numri i rezultateve të
të veçantë të rezultateve
eksperimentit që sigurojnë
me x suksese
saktësisht x suksese në n prova.
në n prova
13

14. Distribucioni Binomial
 Shembull: Firma “Electronics”
“Electronics” është e shqetësuar rreth largimit
të punëtorëve nga firma. Në vitet e fundit ,
menaxhmenti i firmës ka vlerësuar se për çdo
punëtor të zgjedhur rastësisht, probabiliteti se ai nuk
do të jetë në kompani vitin e ardhsëm është 0.1
Distribucioni Binomial
 Përdorimi i funksionit të probabilitetit binomial
Zgjedhim 3 të punësuar rastësisht, sa është
probabiliteti që 1 nga ata ta lëshoj kompaninë këtë
vit?
Le te jete: p = 0.10, n = 3, x = 1
n!
P( x)  p x (1  p)( n  x )
x !(n  x)!
3!
P(1)  (0.1)1 (0.9)2  3(.1)(.81)  0.243
1!(3  1)!
14

15. Distribucioni Binomial
 Përdorimi i Tabelave të Probabilitetit Binomial
p
n x .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .50
3 0 .8574 .7290 .6141 .5120 .4219 .3430 .2746 .2160 .1664 .1250
1 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4436 .4320 .4084 .3750
2 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2389 .2880 .3341 .3750
3 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0429 .0640 .0911 .1250
Shih tabelen e shpërndarjes binomiale
ne librin “Bazat e Statistikës, fq.355
Distribucioni Binomial
 Vlera e pritur
E(x) =  = np
 Varianca
Var(x) =  2 = np(1  p)
 Devijimi standard
  np(1  p)
15

16. Distribucioni Binomial
 Vlera e pritur/ mesatarja aritmetike
E(x) =  = 3(.1) = 0.3 të punësuar prej 3
 Varianca
Var(x) =  2 = 3(.1)(.9) = 0.27
 StandaDevijimi standard
  3(.1)(.9)  0 .52 tepunesuar
Mënyrat për të llogaritur probabilitetet
binomiale
1. Përdorimi i formulës binomiale është e
përshtatshme kur numri i provave është relativisht
i vogël.
2. Përdorimi i tabelave binomiale që gjinden në fund
të cdo libri të statistikës.
3. Përdorimi i funksionit të Excel-it
=BINOMDIST(x, n, p, false)” për të llogaritur
probabilitet individuale . Zëvendësoni false me
true për të fituar shumën e probabiliteteve
binomiale prej 0 deri te x , gjegjësisht probabilitetet
kumulative .
16

17. Shembull – tri mënyrat e llogaritjes së
probabilitetit binomial …
Anisa nuk ka arritur që të mësoj në lendën e statistikës.
Strategjia e Anisës është që të bazohet në fat për afatin e
ardhshëm. Provimi përfshin 10 pyetje me shumë zgjedhje
(n=10). Çdo pyetje ka nga 5 përgjigje ku vetëm njëra është e
saktë. (p=0.2). Anisa planifikon që tia qëlloj secilës përgjigje.
Sa është probabiliteti që Anisa të mos e qëlloj asnjë përgjigje?
P(X=0) = P(0) =
Sa është probabiliteti që Anisa të ketë dy përgjigje të sakta?
P(X=2) = P(2) =
Shembull- vazhdim
n=10, dhe P(sukses) = 0.20
Sa është probabiliteti që Anisa të mos ketë qëlluar asnjë
përgjigje?
Shenojme me x-suksesin, x, = 0; prej këtu ne dëshirojmë të
dimë P(x=0)
Anisa ka afër 11% shanse që të mos e qëlloj asnjë përgjigje .
17

18. Shembull- vazhdim…
n=10, dhe P(sukses) = 0.20
Sa është probabiliteti që Anisa të ketë dy përgjigje të
sakta?
Le të jetë suksesi, x, = 2; prej këtu ne dëshirojmë të
dimë P(x=2)
Anisa ka 30 % shansë që të ketë dy përgjigje të sakta.
Probabiliteti kumulativ…
“Gjej probabilitetin se Anisa “ka dështuar në provim”
Nëse shkalla e rënjes në provim është më pak se 50% ( p.sh 5
pyetje nga 10 sa janë gjithësej) kjo konsiderohet se provimi
nuk është kaluar.
P( nuk e ka dhënë provimin) = P(X < 4) =
P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)
Kjo quhet probabiliteti kumulativ, ashtu që , P(X ≤ x)
Vërejtje: Llogaritja e të gjitha probabiliteteve individuale
kërkon shumë punë dhe shumë kohë, megjithatë , Tabela e
Shpërndarjes Binomiale në fund të librit ju jep probabilitetet
kumulative për n=10, p=0.2, x=4]
18

19. Shembull-vazhdim…
Llogariten probabilitet indiviuale dhe mblidhen !
P(X ≤ 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)
Ne veç e dime se P(0) = 0.1074 dhe P(2) = 0.3020. Përdorim
formulën binomiale për të llogaritur edhe të tjerat:
P(1) = 0.2684 , P(3) = 0.2013, adhe P(4) = 0.0881
Prej këtu P(X ≤ 4) = .1074 + .2684 + … + .0881 =0.9672
OSE
Përdorimi i Tabelës Binomiale në fund të librit për n=10,
p=0.2, dhe x=4 “Sllajdi në vijim” (Kujdes, tabela është për
probabilitete kumulative)
Tabela binomiale e probabiliteteve kumulative…
“Sa është probabiliteti se Anisa do të dështojë në
provim”? Gjegjësihst sa është P(X ≤ 4), duke ditur se
P(sukses) = 0.20 dhe n=10 ?
P(X ≤ 4) = 0.967
19

20. Tabela binomiale kumulative…
“Sa është probabiliteti që Anisa të mos e qëllojë asnjë
përgjigje?” P(X = 0), duke ditur se P(sukses) = 0.20 and n=10 ?
P(X = 0) = P(X ≤ 0) = 0.107
Funksioni i Excel-it… =BINOMDIST()
Në Excel gjindet funksioni i probabilitetit binomial që mund të
shfrytëzohet për të llogaritur këto probabilitete. Për shembull :
Sa është probabiliteti që Anisa të ketë qëlluar dy përgjigje të sakta?
# suksesi
# provat
P(sukses)
True: Prob. kumulativ.
False: Prob. individuale.
P(X=2)=.3020
20

21. Funkcioni në Excel …=BINOMDIST()
Në Excel gjindet funksioni i probabilitetit binomial që mund të
shfrytëzohet për të llogaritur këto probabilitete. Për shembull
:Sa është probabiliteti që Anisa të mos e kaloj provimin?
# suksesi
# provat
P(sukses)
Pr. Kumulativ- true
P(X≤x)?)
P(X≤4)=.9672
KONCEPTET KYÇE
Variabla e rastësishme Distribucioni binomial i
Variabla diskrete probabilitetit
Variabla diskrete Tabela e Distribucionit
Distribucioni i Binomial
probabilitetit Vlera e pritur e
Distribucioni diskret i distribucionit binomial
probabiliteteve Devijimi standard i
Distribucioni i distibucionit binomial
variablave kontinuale Funksioni
Vlera e pritur- “…=BINOMDIST() “ në
mesatarja aritmetike Excel……………
Devijimi standard dhe
varianca.
21