1. 1
Facoltà di Ingegneria Civile ed Industriale
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Teoria di Prandtl per l’ala finita
Relatore: Candidato:
Prof. Paolo Gualtieri Marco Siniscalco
N° di matricola 1390662
Anno Accademico 2013/2014

2. 2

3. 3
Indice
I. Introduzione……………………………………………………………….pag.4
II. Impostazione del problema…………………………………………pag.5
III. Sviluppo della teoria di Prandtl…………………………………....pag.8
IV. Forze Aerodinamiche…………………………………………………..pag.11
V. Distribuzione della portanza ellittica……………………………pag.13
VI. Conclusioni…………………………………………………………………pag.17
VII. Bibliografia…………………………………………………………………pag.18

4. 4
I. Introduzione
Lo scopo del presente elaborato è quello di analizzare ed approfondire gli argomenti base che
hanno portato allo sviluppo degli studi che meglio descrivono il comportamento di un profilo
alare in tre dimensioni. La teoria della linea portante, sviluppata dal fisico Ludwig Prandtl,
rappresenta uno dei modelli più validi nella definizione del comportamento della sezione
alare di un velivolo attraverso un fluido perfetto, irrotazionale e incomprimibile. Il suo
successo fu legato alla capacità di sfruttare i modelli di chi, prima di lui, aveva tentato di
applicare al caso tridimensionale le conoscenze apprese da un profilo bidimensionale. Il saper
rispondere alle fondamentali domande
“come distribuire il valore della
circolazione lungo l’ala” e “come legare la
distribuzione di circolazione con la vorticità
lungo l’ala” fu alla base del successo della
teoria di Prandtl. Egli focalizzò inoltre
l’attenzione sull’effetto che la vorticità
potesse avere sulle prestazioni di un
aeromobile in termini di resistenza.
Entriamo nello specifico affermando che aerodinamicamente il flusso ha un comportamento
tridimensionale. Infatti, mentre in un’ala infinita la corrente è sviluppata in due dimensioni, in
quanto la velocità di ciascuna particella è caratterizzata da una componente nulla in direzione
parallela all’apertura (e l’andamento delle linee di corrente è sempre lo stesso in ciascun
piano parallelo alla corrente), nell’ala finita l’andamento della corrente varia da sezione a
sezione, assumendo caratteristiche di tridimensionalità. I ripetuti studi hanno dimostrato che,
a parità di angolo d’attacco, l’ala assume un comportamento tridimensionale. È infatti
possibile notare sostanziali modifiche nelle proprietà aerodinamiche, rappresentate dalla
diminuzione della portanza e aumento della resistenza, le quali si accentuano ancor di più al
diminuire dell’allungamento alare.
Per la comprensione completa dell’argomento sarà necessario introdurre come primo
concetto base il calcolo della corrente a potenziale. Il problema può essere affrontato tramite
l’equazione di Laplace
𝛻2
𝜑 = 0
con condizioni al contorno, sulla superficie del corpo
(𝑈∞ + ∇𝜑) ∙ 𝑛 = 0 → ∇𝜑 ∙ 𝑛 = −𝑈∞ ∙ 𝑛
Figura 1. Vortice di scia

5. 5
e sulla superficie della scia
(𝑈∞ + ∇𝜑1) ∙ 𝑛 𝑤 = (𝑈∞ + ∇𝜑2) ∙ 𝑛 𝑤 = 0
che ci permettono di esprimere l’uguaglianza
∇𝜑1 ∙ 𝑛 𝑤 = ∇𝜑2 ∙ 𝑛 𝑤
(∇𝜑2 − ∇𝜑1) ∙ 𝑛 𝑤 =
𝜕(𝜑2 − 𝜑1)
𝜕𝑛 𝑤
= 0
e la differenza di pressione nulla sulla scia
∆𝑝 𝑤 = 0
che in termini di velocità risulta essere
𝑉2
2
− 𝑉1
2
= [(𝑈∞ + ∇𝜑2) − (𝑈∞ + ∇𝜑1)] ∙ 𝑉𝑤 = ∇(𝜑2 − 𝜑1) ∙ 𝑉𝑤 = 0
Quest’ultima equazione afferma semplicemente che nel caso stazionario il salto di potenziale
si mantiene costante seguendo una particella trasportata con velocità pari a 𝑉𝑤 . Il problema
proposto dalla formula di Laplace e dalle condizioni al contorno è noto come problema
esterno di Neumann per l’equazione di Laplace. Questo deve essere risolto su un generico
corpo con superficie 𝑆 𝐵 per il contorno e superficie 𝑆 𝑤 per la scia. Basandoci sull’equazione
del potenziale data da
𝛷(𝑃) = −
1
4𝜋
∫ [𝜎 (
1
𝑟
) − 𝜇
𝜕
𝜕𝑛
(
1
𝑟
)] 𝑑𝑆
𝑆 𝐵
+
1
4𝜋
∫ [𝜇
𝜕
𝜕𝑛
(
1
𝑟
)]
𝑆 𝑊
𝑑𝑆 + 𝛷∞(𝑃)
allo scopo di valutare il campo di velocità, questa equazione viene derivata ottenendo
∇𝛷 = −
1
4𝜋
∫ 𝜎∇ (
1
𝑟
) 𝑑𝑆
𝑆 𝐵
+
1
4𝜋
∫ 𝜇∇ [
𝜕
𝜕𝑛
(
1
𝑟
)]
𝑆 𝐵+𝑆 𝑊
𝑑𝑆 + ∇𝛷∞
Se sostituissimo questa formula nella condizione al contorno ∇Φ∙n=0 si avrebbe la possibilità
di ricavare la distribuzione singolare sconosciuta.
II. Impostazione del problema
La causa prima della generazione di vorticità lungo l’ala risulta essere la differenza di
pressione che si viene a creare tra dorso e ventre del profilo. Tramite questo squilibrio è
possibile spiegare la portanza. Il dorso è in depressione rispetto al ventre con conseguente
generazione di una forza verso l’alto. È qui che si evidenzia una prima grande differenza tra
l’ala finita e quella infinita. Diversamente da quanto accade per i profili analizzati in due
dimensioni, nell’ala di apertura finita la zona di separazione tra le due superfici si interrompe
all’estremità alare e qui il fluido tende a muoversi dal basso verso l’alto proprio per la
differenza di pressione lungo il profilo, che può essere osservata in Figura 2. Questo

6. 6
fenomeno dà luogo alla
formazione di un movimento
vorticoso che genera quindi la scia
a valle delle due estremità. Quanto
detto sembra far venir meno il
discorso fatto sul potenziale.
Siamo, in realtà, in presenza di una corrente “quasi a potenziale”, in tutto il campo il moto è
irrotazionale eccetto che in corrispondenza delle superfici di discontinuità per la velocità,
ovvero sulla scia.
Risulta importante ai fini della trattazione prendere d’esempio il problema di un ala con
spessore zero, angolo d’attacco e di camber (inclinazione alare) diversi da zero. Nella
valutazione di questo quesito ci avvaliamo della classica formula di Laplace
𝛻2
𝜑 = 0
con le condizioni al bordo che richiedono che sia
𝜕𝛷
𝜕𝑧
= 𝑄∞ (
𝜕𝜂
𝜕𝑥
− 𝛼)
Avremo perciò un problema antisimmetrico rispetto all’asse z che può essere risolto tramite il
modello della distribuzione della linea di vortice. Nel definire meglio questo metodo, si deve
prima di tutto chiarire che le linee di vortice non possono né nascere né morire nel fluido, per
questo motivo dovranno svanire nel flusso. Al fine di non generare forze nel fluido, è
necessario che questi vortici liberi risultino essere paralleli al flusso in ogni punto della scia.
𝑄 × 𝛤 = 0
Per descrivere questo metodo, studiamo quindi il campo di velocità associato alla presenza di
un vortice rettilineo. La relazione utilizzata per verificare il campo su un tratto infinitesimo di
lunghezza dl in una zona vorticosa Γ è la legge di Biot Savart
∆𝑞 = −
∆𝛤
4𝜋
𝑟 x 𝑑𝑙
𝑟3
Denotando i vortici distribuiti su ala e scia come 𝛾𝑥 quelli nella direzione x e 𝛾𝑦 quelli diretti
nella direzione y, l’azione di rotazione del fluido provocata da questi nell’intorno dell’ala
induce una componente di velocità ortogonale al piano dell’ala e diretta verso il basso,
denominata downwash (w) o velocità indotta
𝑤 = −
1
4𝜋
∫
𝛾𝑦(𝑥 − 𝑥0) + 𝛾𝑥(𝑦 − 𝑦0)
𝑟3
𝑤𝑖𝑛𝑔+𝑤𝑎𝑘𝑒
𝑑𝑥0 𝑑𝑦0
Figura 2. Differenza di pressione lungo l’ala

7. 7
Inizialmente le incognite all’interno di questa formula sembrerebbero essere due, ma
rifacendoci al teorema di Helmholtz possiamo sostenere che la forza del vortice è costante
lungo la sua linea. Dunque, tenendo conto della somma di tutti i contributi infinitesimali,
sull’ala risulterà essere
𝜕𝛾 𝑥
𝜕𝑦
=
𝜕𝛾 𝑦
𝜕𝑥
e l’incognita è ridotta a una sola. È necessario infine
specificare come viene ricavata la superficie di portanza per il γ ignoto. La velocità indotta
dovrà essere uguale ed opposta in segno alla velocità del flusso libero
−
1
4𝜋
∫
𝛾𝑦(𝑥 − 𝑥0) + 𝛾𝑥(𝑦 − 𝑦0)
𝑟3
𝑤𝑖𝑛𝑔+𝑤𝑎𝑘𝑒
𝑑𝑥0 𝑑𝑦0 = Q∞ (
∂η
∂x
− α)
Grazie alla formula appena desunta avremo la possibilità di calcolare la distribuzione di
velocità.
Proprio il presente legame tra velocità e pressione è sempre al centro di ogni analisi fatta su di
una superficie investita da un flusso. Nell’analizzare un profilo sottoposto ad una corrente
fluida vi sono diverse configurazioni in cui si viene a
disporre il punto di ristagno lungo l’ala. Questa
posizione è determinata dal valore di circolazione Γ
che noi introduciamo nel problema. Osservando
quanto mostrato in Figura 3, è facile vedere come la
migliore configurazione risulti essere la (b), in base
anche a quanto stabilito dalla condizione di Kutta.
Infatti, in questo caso il punto di ristagno è
coincidente con l’estremo dell’ala, di conseguenza, il
flusso lascia la punta gentilmente e con velocità finita.
Le componenti delle velocità normali incontrandosi
all’estremo tenderanno ad annullarsi, così come il
gradiente di pressione ∆𝑃𝑇.𝐸. = 0 e la circolazione
𝛾 𝑇.𝐸. = 0 . Vedremo più avanti nella trattazione come
per poter sviluppare portanza sia necessario avere
circolazione.
Se assumiamo la presenza di vortici detti aderenti (bound vortex) lungo la superficie dell’ala
la forza vorticosa di questi deve essere obbligatoriamente costante lungo la superficie, poiché
per il teorema di Helmholtz le linee di vortice non possono né terminare né cominciare in un
fluido e ad ogni cambiamento di 𝛾𝑦 corrisponde un egual variazione di 𝛾𝑥. Affinché sia
verificata l’affermazione precedente è necessario che la vorticità non termini sull’estremo del
Figura 3. Punto di ristagno

8. 8
profilo ma si disperda oltre l’ala, lungo la coda. La forma della scia si definisce come uno strato
di vorticità differente dai “bound vortex” e generato da vortici liberi (trailing vortex). La
distinzione è basata sull’assenza di carichi creati lungo la scia stessa. È infatti facile osservare
come la differenza di pressione sia nulla lungo di essa
∆𝑃 = 𝜌𝑞 × 𝛾 = 0
poiché la velocità q e i vortici di scia sono paralleli.
III. Sviluppo della teoria di Prandtl
I teoremi sopracitati sono le linee guida per lo sviluppo della trattazione e dello studio portati
avanti da Prandtl. Infatti, grazie ad essi, abbiamo gli strumenti necessari per poter
comprendere il funzionamento di un ala di apertura
finita.
Prendiamo un profilo che generi portanza e
consideriamo le sue sezioni mediante piani paralleli
fra loro e normali all’asse z dell’ala, come mostrato
in Figura 4. A ciascuna sezione corrisponderà una
portanza per unità di apertura, la quale, una volta
integrata su tutto il profilo, ci fornirà il valore della
portanza totale elargita. In base al teorema di
Kutta-Joukowski, ad una portanza locale corrisponde
la presenza di una circolazione locale pari a
𝛤(𝑧) = −
𝑙(𝑧)
𝜌𝑈
che deve avere valore costante, poiché ad ogni cambiamento di valore di γ in una direzione
corrisponde una variazione uguale dell’altra componente.
Appare legittimo domandarsi cosa accada ai vortici agli estremi dell’ala: la soluzione fisica più
naturale è la dispersione di questa vorticità nella scia di coda in modo tale che nessuna forza
agisca sui vortici. Tale condizione è verificata se circolazione e velocità risulteranno essere
paralleli sull’estrema punta. Analizzando qualitativamente la corrente intorno alle estremità
dell’ala, risulta chiaro come sia facile osservare la formazione di due vortici rettilinei semi-
infiniti allineati con la direzione della velocità esterna che contribuiscono a formare una scia
vorticosa dietro l’ala. L’insieme dei vortici aderenti di lunghezza finita lungo la superficie alare
(bound vortex) e dei due vortici con rotazione opposta che si estendono dalle estremità verso
Figura 4. Piani normali all’asse z

9. 9
l’infinito (trailing vortex) viene
schematizzato come un unico
vortice il quale prende il nome di
“horseshoe” o ferro di cavallo per
la sua forma ad U come mostrato
in Figura 5. Questa configurazione
presenta un limite che non la
rende applicabile alla realtà.
Osservando la formula della
velocità indotta si può realizzare
come questo contributo tenda
all’infinito nei pressi dell’estremità del vortice portante. È qui che Prandtl intervenne in
maniera decisiva per poter completare il modello. Egli risolse il problema, non utilizzando un
unico vortice a staffa, ma sovrapponendo diversi vortici a ferro di cavallo di forza differente e
aventi il “bound vortex” sempre sulla stessa linea detta linea portante. La distribuzione della
vorticità lungo la linea portante, che dà il nome all’intera trattazione, presenta una
ripartizione a gradini. Ad essa sono legate le coppie di vortici che partono dal profilo e si
disperdono in coda. Non vi è dubbio che vi sia uno stretto legame tra fra la circolazione Γ e la
circolazione presente nella scia. Si può affermare che:
 La vorticità totale dell’ala è pari alla somma totale della vorticità sulla linea portante
poiché i vortici di coda non danno contributo.
 La forza dei vortici di coda è pari alla variazione della forza dei vortici aderenti.
È possibile osservare la rappresentazione di questo fenomeno in Figura 6.
Dopo aver definito le
caratteristiche fondamen-
tali che sono alla base della
teoria di Prandtl, ci
apprestiamo a considerare
adesso il campo di moto
associato allo schema di
vortici prodotto nella scia. La condizione al bordo risulta essere data dalla relazione
𝜕𝛷 𝑎𝑙𝑎
𝜕𝑦
+
𝜕𝛷 𝑠𝑐𝑖𝑎
𝜕𝑦
+ 𝑄∞ 𝛼 = 𝑤 𝑏 + 𝑤𝑖 + 𝑄∞ 𝛼 = 0
Figura 5. Horseshoe o ferro di cavallo
Figura 6. Schema linea portante e vortici liberi

10. 10
dove con 𝑤 𝑏 e 𝑤𝑖 ci riferiamo rispettivamente alla
componente di velocità normale indotta dall’ala e dalla scia
mentre con 𝑄∞ 𝛼 al flusso libero. Per quanto riguarda il
dominio di velocità introduciamo un sistema di riferimento
uguale a quello utilizzato in Figura 7. La nostra attenzione si
focalizzerà in particolare a calcolare la velocità indotta in corrispondenza del vortice di
lunghezza finita schematizzato sull’ala, detto anche vortice portante. L’asse x è orientato come
la velocità 𝑄∞ , l’asse z è diretto come l’asse dell’ala e l’asse y rivolto verso l’alto. Sapendo che i
vortici di scia sono posizionati a −
𝑏
2
e +
𝑏
2
si avrà
𝑤𝑖 =
1
4𝜋
∫
−
𝑑𝛤
𝑑𝑧
𝑑𝑧0
𝑧 − 𝑧0
𝑏/2
−𝑏/2
la velocità indotta dalla scia, e
𝑤 𝑏 =
−𝛤(𝑧)
2𝜋
𝑐(𝑧)
2
la velocità indotta dall’ala.
In corrispondenza del vortice portante, l’insieme di queste due componenti di velocità andrà a
sommarsi con la velocità della corrente indisturbata, modificando sia la direzione sia
l’intensità della velocità incidente sull’ala. Riportiamo nuovamente la relazione tra le velocità
precedentemente esposta dando una forma più esplicita ai vari contributi contenuti in essa,
avendo diviso tutto per 𝑄∞
−𝛤(𝑧)
2𝜋
𝑐(𝑧)
2
𝑄∞
−
1
4𝜋𝑄∞
∫
𝑑𝛤
𝑑𝑧
𝑑𝑧0
𝑧 − 𝑧0
+ 𝛼 = 0
𝑏/2
−𝑏/2
Nonostante il fenomeno si produca sulla punta del profilo, esso comunque interessa il flusso
su tutta l’ala modificando quindi le linee di corrente a monte. Si può ben dire che la
generazione di vortici da parte del profilo dell’ala, particolarmente evidente lungo le sue
estremità, provoca una variazione dell’angolo d’attacco dell’ala stessa sottoposta al flusso di
un fluido libero. Da quanto detto, è evidente che questa equazione possa essere vista anche
come una combinazione di angoli (Figura 8)
−𝛼 𝑒𝑓𝑓 − 𝛼𝑖 + 𝛼 = 0
dove l’angolo determinato dalla velocità indotta è pari a
𝛼𝑖 ≅
−𝑤𝑖
𝑄∞
e l’equazione viene riscritta
Figura 7. Sistema di riferimento

11. 11
𝛼 𝑒𝑓𝑓 = 𝛼 − 𝛼𝑖
È possibile quindi affermare
che nel caso di un ala finita
l’effettivo angolo di attacco
risulta essere più piccolo
dell’angolo geometrico ini-
ziale. Il valore di α è infatti
diminuito di un angolo
indotto 𝛼𝑖 , determinato dal
“downwash” sviluppato dalla
scia.
Per rendere la relazione tra gli angoli adatta ad ogni caso è possibile assumere che la sezione
in due dimensioni abbia un’inclinazione della portanza locale pari a 𝑚0 e che il suo effettivo
angolo locale d’attacco sia 𝛼 𝑒𝑓𝑓 . Se dovessero essere contati anche gli effetti del camber,
allora il valore effettivo verrebbe misurato dall’angolo di portanza zero della sezione, così che
𝐶𝑙(𝑧) =
𝜌𝑄∞ 𝛤(𝑧)
1
2
𝜌𝑄∞
2
𝑐(𝑧)
= 𝑚0(𝑧)𝛼 𝑒𝑓𝑓(𝑦)
Pertanto l’espressione degli angoli diventa
𝛼 𝑒𝑓𝑓 = 𝛼 − 𝛼𝑖 − 𝛼 𝐿0
dove 𝛼 𝐿0
è l’angolo a portanza zero dovuto alla sezione di camber.
IV. Forze Aerodinamiche
Come diretta conseguenza del moto di un aeromobile attraverso l’aria si ha uno scambio di
forze tra il fluido e il velivolo che possono essere valutate per mezzo dell’aerodinamica.
Durante il movimento, il fluido esercita sull’aeromobile una forza F dovuta alle pressioni
normali e alle sollecitazioni tangenziali esercitate a causa del moto relativo tra il mezzo e
l’aria. Grazie ad F avremo la possibilità di ricavare i valori dei coefficienti aerodinamici, i quali
dipendono da angoli aerodinamici, e il valore delle sue singole componenti di cui nutriamo
particolare interesse per lo sviluppo della trattazione. La portanza e la resistenza rivestono un
ruolo fondamentale nel calcolo delle prestazioni di un aeromobile poiché da esse dipendono
principalmente le caratteristiche aerodinamiche del velivolo. Diamo quindi una definizione
più esaustiva di queste componenti. La portanza è la componente della forza aerodinamica
perpendicolare alla velocità relativa ed il suo valore è dato da
Figura 8. Relazione tra gli angoli
y

12. 12
𝐿 = 𝜌𝑄∞ ∫ 𝛤(𝑧)𝑑𝑧
𝑏/2
−𝑏/2
Si intende oltremodo sottolineare nella trattazione l’importanza della distribuzione del carico
di portanza lungo l’apertura alare. Sezione per sezione risulterà differente la ripartizione di L
e da essa dipenderanno le caratteristiche di stallo dell’ala finita in relazione alle
caratteristiche di stallo del profilo.
La resistenza è una forza aerodinamica a carattere dissipativo pertanto, affinché il velivolo
possa avanzare senza perdere energia meccanica, la resistenza deve essere necessariamente
bilanciata da un opportuno sistema di propulsione. È possibile scomporre questa componente
in varie forme. La più intuitiva è la resistenza d’attrito, generata dagli effetti della viscosità
dell’aria. La sua manifestazione risulta più evidente su corpi affusolati e sottili poiché la
superficie lambita dal fluido risulta essere maggiore rispetto a corpi tozzi. Meno immediata,
ma sicuramente di maggiore importanza è la resistenza indotta, la quale è il risultato della
generazione di portanza. La formazione dei vortici liberi, ma soprattutto di quelli marginali,
dà luogo ad un’azione frenante che prende il nome proprio di resistenza indotta. Essa è
causata dalla distribuzione delle velocità indotte che sono diretta conseguenza della
formazione dei vortici alle estremità
alari. La portanza locale è per
definizione un vettore parallelo alla
velocità incidente effettiva, di
conseguenza forma con la normale al
vento indisturbato un angolo pari ad 𝛼𝑖.
Ciò produce una componente di questo
vettore nel riferimento geometrico
diretto come il flusso libero,
rappresentato in Figura 9, la cui formula
è data da
𝐷𝑖 = 𝜌𝑄∞ ∫ 𝛼𝑖 𝛤(𝑧)𝑑𝑧
𝑏/2
−𝑏/2
L’effetto è quello di una rotazione della velocità della corrente imperturbata di un angolo
detto angolo d’incidenza indotta nella zona a valle del profilo. La presenza dei bordi di
estremità costituisce un effetto dannoso in quanto determina una diminuzione della portanza
ed un incremento di resistenza. L’aumento della resistenza si verifica solo se s’instaura la
corrente di scorrimento, cioè solo se esiste una differenza di pressione fra dorso e ventre e
Figura 9. Valori delle forze

13. 13
quindi se esiste portanza. La resistenza indotta può essere, allora, ritenuta come il prezzo da
pagare per la produzione della portanza.
V. Distribuzione ellittica di Portanza
Il grosso della portanza sviluppata da un velivolo è prodotta dalle ali che hanno forma e pianta
accuratamente studiati in modo tale da poter sfruttare con la massima efficienza le forze
aerodinamiche. La forma in pianta dell’ala riveste un grande interesse poiché da essa dipende
la distribuzione di portanza lungo l’apertura
alare. In particolare focalizziamo l’attenzione
su una distribuzione ellittica della circolazione
lungo il profilo. La soluzione risulterà essere
piuttosto semplice poiché, non solo la velocità
indotta 𝑤𝑖 diventa costante lungo l’ala, ma a
questo modello corrisponde il valore più basso
registrato per la resistenza indotta. La
distribuzione proposta della circolazione mostrata in Figura 10 è pari a
𝛤(𝑧) = 𝛤𝑚 𝑎𝑥 [1 − (
𝑧
𝑏/2
)
2
]
1/2
Grazie a questa espressione è possibile arrivare al calcolo del termine
𝑑𝛤
𝑑𝑧
presente all’interno
dell’espressione del “downwash”. Effettuiamo quindi la derivata ed otteniamo
𝑑𝛤
𝑑𝑧
=
𝛤𝑚 𝑎𝑥
2
⌊1 − (
𝑧
𝑏/2
)
2
⌋
1/2
(−2
4
𝑏2
𝑧)
Sostituendo questa espressione nella formula della velocità indotta e utilizzando delle
trasformazioni per arrivare all’integrale di Glauert, è possibile pervenire ad un valore di 𝑤𝑖 e
𝛼𝑖 pari a
𝑤𝑖 = −
𝛤𝑚 𝑎𝑥
2𝑏
𝛼𝑖 =
𝛤𝑚𝑎𝑥
2𝑏𝑄∞
i quali sono costanti lungo il profilo.
Altra caratteristica della distribuzione ellittica ci suggerisce che l’integrale lungo l’ala è
semplicemente metà dell’area di un ellisse, di conseguenza possiamo dare un valore esatto
alle componenti di portanza
Figura 10. Distribuzione della circolazione
z

14. 14
𝐿 =
𝜋𝑏
4
𝜌𝑄∞ 𝛤𝑚 𝑎𝑥
e resistenza
𝐷𝑖 =
𝜋
8
𝜌𝛤2
𝑚𝑎𝑥
Al fine di rendere di facile interpretazione i dati ottenuti dalle forze aerodinamiche si
adoperano con maggiore frequenza i coefficienti aerodinamici, derivati direttamente dalle
forze. L’espressione di questi fattori verrà data nella loro forma generale e nella forma
specifica per una distribuzione ellittica. Nel caso del coefficiente di portanza si ha
𝐶𝐿 ≡
𝐿
1
2
𝜌𝑄∞
2
𝑆
=
𝜋𝑏
2𝑆
𝛤𝑚 𝑎𝑥
𝑄∞
mentre per il coefficiente di resistenza si ottiene
𝐶 𝐷 𝑖
≡
𝐷𝑖
1
2
𝜌𝑄∞
2
𝑆
=
1𝑆
𝜋𝑏2
𝐶𝐿
2
Si intende sottolineare come per la pianta ellittica corrisponda il valore qualitativamente
migliore che si possa avere per questi coefficienti.
In precedenza era stata definita la relazione tra gli angoli in un caso generico. È nostra
intenzione ora esaminare la stessa espressione, ma nel caso di una distribuzione di tipo
ellittico. Tenendo conto dei valori ricavati per 𝑤𝑖 e 𝛼𝑖, inserendo all’interno anche
l’espressione di Γ(z) e conoscendo il valore della corda c(z), si ricaverà
−2𝛤𝑚𝑎𝑥
𝑚0(𝑧)𝑐0 𝑄∞
−
𝛤𝑚𝑎𝑥
2𝑏𝑄∞
+ 𝛼(𝑧) − 𝛼 𝐿0
(𝑧) = 0
I termini appena introdotti sono tutti costanti per una pianta di forma ellittica con profilo
alare costante, tranne 𝛼(𝑧), che, essendo l’unico rimasto, sarà anche esso costante.
Conoscendo le caratteristiche della superficie ellittica e introducendo il fattore di apertura
alare, anche definito “aspect ratio” (AR)
𝑆 = 𝜋
𝑐0 𝑏
4
𝐴𝑅 =
𝑏2
𝑆
Figura 11. Relazione
tra AR e Vortici di scia

15. 15
e sostituendo queste due formule nell’espressione di 𝛤𝑚 𝑎𝑥 si ottiene
𝛤𝑚 𝑎𝑥 =
2𝑏𝑄∞(𝛼 − 𝛼 𝐿0
)
1 +
𝜋𝐴𝑅
𝑚0
Recuperando il valore del coefficiente di portanza precedentemente espresso, tenendo conto
di 𝑚0 = 2𝜋 , si perviene alla formula
𝐶𝐿 =
2𝜋
1 +
2
𝐴𝑅
(𝛼 − 𝛼 𝐿0
) = 𝐶𝐿 𝛼
(𝛼 − 𝛼 𝐿0
)
Anche in questa occasione si manifesta la differenza tra ala sottile e ala finita. Nel modello con
ali ad allungamento finito, la pendenza della retta di portanza è minore rispetto a quella
corrispondente del profilo a causa delle velocità indotte dai vortici di scia. La teoria di Prandtl
concentra l’attenzione proprio su questa influenza e consente di calcolare, in funzione di AR, il
coefficiente di portanza. Dal confronto
riportato in Figura 12, appare chiaro
come il coefficiente di portanza nel caso
tridimensionale necessiti di maggiore
incidenza per poter avere lo stesso
valore del rispettivo fattore del caso
bidimensionale. Per elevati valori
dell’incidenza, la legge di variazione del
coefficiente di portanza si discosta
sempre più da questa relazione fino a
raggiungere valori di incidenza critica o
stallo al di sopra dei quali il coefficiente di portanza diminuisce provocando ingenti problemi.
Per quanto riguarda la resistenza, a causa del fatto che la velocità indotta è sempre piccola
rispetto alla velocità di volo, il coefficiente 𝐶 𝐷 𝑖
è dato dal prodotto del coefficiente di portanza
per l’angolo d’incidenza indotta
𝐶 𝐷 𝑖
=
1
𝜋𝐴𝑅
𝐶𝐿
2
In questo modo si ha la possibilità di apprezzare il vantaggio che ci conferisce l’incremento
dell’apertura alare. Infatti all’aumentare di AR il coefficiente di resistenza indotta si riduce.
Figura 12. Grafico coefficiente di portanza

16. 16
Lo studio effettuato nei precedenti paragrafi
era riferito all’apertura alare totale, ma se
dovessimo prendere sezione per sezione il
valore dei coefficienti aerodinamici, questo
risulterebbe essere sempre uguale.
È interessante osservare come sia possibile
verificare che la distribuzione del carico
assuma anche essa una forma di tipo ellittico.
Come mostrato anche in Figura 13, il valore
della velocità indotta dall’ala sommato con il
valore della velocità indotta dai vortici
aderenti deve essere uguale al valore del flusso
libero, rispettando la condizione della seguente equazione
𝑤 𝑏 + 𝑤𝑖 + 𝑄∞ 𝛼 = 0
che stabilisce che la componente della velocità normale debba essere zero.
Come già affermato in
precedenza, una stretta relazione
lega la differenza di pressione con
la circolazione. Questo legame è
facilmente riscontrabile nella
suddivisione dei valori di questi
due contributi lungo l’apertura
alare. Osservando Figura 14, si
nota come il valore maggiore della
derivata della circolazione si
riscontri sulle estremità alari, qui
dove è anche massimo il valore del vortice di scia. La forza della circolazione lungo la coda
sarà
𝑑𝛤(𝑧)
𝑑𝑧
= −
4𝛤𝑚 𝑎𝑥
𝑏2
𝑧
√[1 − (
𝑧
𝑏/2
)
2
]
Il valore della differenza di pressione avrà chiaramente un andamento opposto, poiché
proprio alle estremità il suo contributo si annullerà provocando la formazione della scia.
Figura 13. Distribuzione ellittica del carico
Figura 14. Relazione tra ΔP e dΓ
z

17. 17
VI. Conclusioni
Essere riusciti a realizzare un modello che ben descriva l’andamento in tre dimensioni di
un’ala ha permesso di poter sperimentare in fase di progettazione il comportamento di un
velivolo. La capacità di rispondere alle domande che ci si era posti nell’introduzione è stato di
fondamentale importanza per verificare il passaggio da analisi bidimensionale a
tridimensionale. Si ritiene, quindi, di dover riportare i seguenti risultati ottenuti:
 La teoria della linea portante, secondo la quale la circolazione presenta una
distribuzione a gradini lungo l’ala, definisce la differenza tra vortici aderenti e vortici
liberi e attesta che il contributo di vorticità sull’apertura alare è conferito solo dai
primi.
 La formazione della scia, causata dalla dispersione di vorticità per via dei teoremi di
Helmholtz, crea una componente di velocità, detta indotta, che andrà ad influire sulle
prestazioni dell’aeromobile.
 A livello aerodinamico il “downwash” provoca la generazione della resistenza indotta
che rappresenta lo scotto da pagare per la presenza della portanza.
 La forma alare a cui corrispondono i migliori valori dei coefficienti aerodinamici di
portanza e resistenza risulta essere quella ellittica.
Un discorso a parte si vuole dedicare all’apertura alare AR. Come già visto nella sezione “V.
Distribuzione ellittica di portanza”, all’aumentare di questo fattore le prestazioni del nostro
velivolo ottengono un notevole miglioramento. Infatti, osservando la formula del coefficiente
di resistenza indotta 𝐶 𝐷 𝑖
, si può notare come questo sia inversamente proporzionale ad AR. La
limitazione a questo punto nasce nella possibilità della fusoliera di resistere al peso e alle
sollecitazioni sviluppate da una superficie alare eccessivamente slanciata. Futuri sviluppi
andrebbero concentrati nella capacità di sfruttare meglio i materiali a propria disposizione o
studiare nuove forme geometriche al fine di mantenere leggerezza, aspetto fondamentale nel
campo aeronautico, e guadagnare allo stesso tempo in termini di resistenza.

18. 18
VII. Bibliografia
J. Andreson, Fundamentals Of Aerodynamics (Third Edition), McGraw-Hill Inc, 2001
J. Katz, A. Plotkin, Low-Speed Aerodynamics, McGraw-Hill Inc, 1991
L. Quartapelle, F. Auteri, Fluidodinamica incomprimibile e Fluidodinamica comprimibile,
Ambrosiana, 2013