Costruzione macchine vol1

ITI OMAR Dipartimento di Meccanica Elementi di Costruzione di Macchine
1
1. CALCOLO DEGLI ALBERI DI TRASMISSIONE
Gli assi e gli alberi sono elementi di forma allungata sottoposti durante il funzionamento della macchina
a un moto di rotazione oppure di oscillazione attorno ad una asse rettilineo.
Nella maggioranza dei casi gli assi e gli alberi sono fondamentalmente a sezione circolare.
Si usa di solito il nome di assi quando le sollecitazioni sono quasi esclusivamente di flessione, il nome
di alberi quando le sollecitazioni sono quasi esclusivamente di torsione.
In pratica sono sempre presenti, in varia misura, entrambe le sollecitazioni di flessione e torsione.
Il dimensionamento viene condotto ipotizzando una sollecitazione ideale che compendi, in modo
opportuno, entrambe le sollecitazioni in gioco.
In modo del tutto analogo si può anche far riferimento ad una tensione ideale che compendi, in modo
opportuno, entrambe le tensioni in gioco.
Riportiamo di seguito le espressioni delle tensioni e delle sollecitazioni ideali1
.
Sollecitazioni ideali
2 2 2 2
0.75 4 3
fi f t ti f t
M M M M M M
= + = + (1.1)
Tensioni ideali
2 2 2 2
3 3
id f t id f t
σ σ τ τ σ τ
= + = + (1.2)
Circa i valori massimi ammissibili per le id
σ e le id
τ non è possibile indicare se non valori di larga
massima dipendendo essi sia dalla natura del materiale, dai trattamenti termici, dal grado di finitura
superficiale, dal tipo di sezione (presenza di cave, raccordi…) sia dalle modalità d’applicazione del
carico (costante, pulsante, impulsivo….)
Le norme ASME propongono, per un albero pieno con carico assiale trascurabile, di comporre le
sollecitazioni definendo un momento torcente ideale in accordo con la seguente equazione2
:
( ) ( )
2 2
ti f f t t
M k M k M
= + (1.3)
dove i coefficienti k devono essere scelti, in funzione della modalità di applicazione del carico, in
accordo con la tabella sotto riportata3
:
Tipo di carico kf kt
costante 1.5 1.0
urto lieve 1.5-2.0 1.0-1.5
urto pesante 2.0-3.0 1.5-3.0
Il diametro dell’albero allora dovrà soddisfare la seguente disuguaglianza:
3
16 ti
amm
M
d
πτ
≥ (1.4)
1
Le espressioni (1.1) e (1.2) sono in accordo con l’ipotesi di rottura, denominata ipotesi dell’energia di
distorsione, secondo la quale la rottura non avviene quando raggiunge il massimo tutta l’energia di deformazione,
ma solo quella parte di tale energia che corrisponde al cambiamento di forma dell’elemento di volume
infinitesimo, e che è uguale a tutta l’energia di deformazione meno la quota parte che produce esclusivamente
cambiamento di volume, senza cambiamento di forma. La formalizzazione della teoria si deve a Richard Edler
von Mises (Lemberg 19 April 1883 - Boston, 14 July 1953) uno scienziato che fornì importanti contributi nei
campi della fluidodinamica, dell’aerodinamica, della statistica e della teoria della probabilità
2
Le norme ASME a cui si fa riferimento, pur essendo superate, forniscono, per un calcolo di massima, valori
decisamente attendibili
3
I coefficienti k , detti anche coefficienti di fatica, tengono conto dell’affaticamento del materiale che dipende, tra
l’altro, dalla modalità di applicazione del carico, dalla finitura superficiale e dalle caratteristiche geometriche
dell’albero.

2
Indicata pertanto con N la potenza trasmessa in kW, con n la frequenza di rotazione in rpm, il diametro
dell’albero, a sola torsione, può progettarsi con la semplice relazione:
3
365
amm
N
d
n τ
≥
⋅
(1.5)
Per quanto riguarda il valore della tensione ammissibile da inserire nella (1.4) o nella (1.5), facendo
riferimento ad alberi con sedi di linguetta, essa può porsi pari al 22.5% del carico di snervamento senza
superare il 13.5% del carico di rottura a trazione.1
Progetto a rigidità torsionale
L’angolo di torsione θ (rad) tra due sezioni distanti L di un albero pieno con diametro costante d ,
indicato con G il modulo di elasticità tangenziale2
e con Mt il momento torcente (costante), vale3
:
4
32 t
M L
d G
θ
π
⋅
= (1.6)
fissato pertanto l’angolo di torsione massimo ammesso θmax , il diametro dell’albero vale:
4
max
32 t
M L
d
G
π θ
⋅
= (1.7)
Con riferimento al limite tradizionale di una deformazione torsionale ammissibile di ¼ di grado per
metro, indicata con N la potenza trasmessa in kW e con n la frequenza di rotazione in rpm, si ottiene:
4
130
N
d
n
≅ (1.8)
1
Ovviamente si tratta di valori puramente indicativi. Nel caso di alberi realizzati con acciaio “ordinario” la amm
τ
da inserire nella (1.4) può aggirarsi, in un calcolo di massima, intorno 55 e 40 N/mm2
rispettivamente nel caso di
assenza o presenza di linguette.
2
Il modulo di elasticità trasversale G è legato, tramite il modulo di Poisson v , al modulo di elasticità normale E.
/ 2(1 )
G E v
= +
Il modulo di Poisson misura, in presenza di una sollecitazione monoassiale longitudinale, il rapporto tra la
contrazione trasversale e la deformazione longitudinale.
t n
v ε ε
= −
In un materiale perfettamente isotropo il coefficiente di Poisson vale 1/4. Per l’acciaio può porsi 0.3
v ≅
3
Indicata con z l’ascissa di una sezione trasversale generica si ha:
( )
( )
M z
d
dz G J z
θ
=
⋅
considerando un albero a sezione costante sottoposto all’azione di un momento torcente anch’esso costante tra le
sezioni di ascissa 0 e L, l’equazione precedente è facilmente integrabile:
( )
( ) 0 0
=
L L
M z dz M M L
d d dz
G J z G J G J
θ θ θ
⋅ ⋅
= → = → ∆
⋅ ⋅ ⋅
∫ ∫
Poiché, per una sezione circolare piena 4
32
J d
π
= , è immediato ricavare la (1.7)

3
Esempio 1. 1
Un albero è appoggiato su due cuscinetti posti a distanza L pari a 1524 mm. Una puleggia di massa 90
kg è posizionata equidistante dai due supporti ed è collegata all’albero tramite una linguetta. Sulla
puleggia è montata orizzontalmente una cinghia con tensione totale sui due rami pari a 6800 N.
Determinare il diametro dell’albero e l’angolo di torsione tra i due cuscinetti, sapendo l’albero stesso
riceve 14.7 kW a 150 rpm tramite un giunto flessibile posizionato subito dopo il cuscinetto di destra.
Il momento flettente raggiunge il massimo nella sezione equidistante dagli appoggi dove agisce anche il
momento torcente trasmesso dal giunto.:
2 2
max 34590 259425 2617209 Nmm
f
M = + =
6
10 14.7 60
935831 Nmm
2 150
t
M
π
⋅ ⋅
= ≅
⋅
Ipotizzando 1.5
t f
k k
= ≅ e considerando un albero in acciaio ordinario, quindi con max 42 MPa
τ ≅ , il
diametro minimo dell’albero vale:
( ) ( )
2 2
3
16
80 mm
f f t t
amm
d k M k M
π τ
= + ≅
⋅
L’angolo di torsione tra i due cuscinetti, tenuto presente che il momento torcente sollecita l’albero solo
nelle sezioni comprese tra la puleggia e il giunto elastico, vale:
( )
4 4
32 / 2 32 935831 762 360
0.123
80 82380 2
t
M L
d G
θ θ
π π π
⋅ ⋅ ⋅
= → ≅ ≅ °
⋅ ⋅

4
Esempio 1. 2
Una puleggia di diametro pari a 610 mm e peso 1360 N, trascinata da una cinghia orizzontale,
trasmette, attraverso l’albero, potenza ad un pignone di diametro primitivo pari a 254 mm il quale a sua
volta muove una ruota dentata. Configurazione, tensioni di cinghia e componenti delle reazioni della
ruota sul pignone sono di seguito rappresentate.
Determinare il diametro dell’albero nell’ipotesi che sia realizzato in acciaio ordinario e che i
coefficienti di fatica siano 1.5
t
k = e 2.5
f
k =
1 2
1 2
r1 2
1373910 Nmm 341290 Nmm
1022130 Nmm 1516200 Nmm
1712200 Nmm 1556550 Nmm
V V
O O
r
M M
M M
M M
≅ ≅
≅ ≅
≅ ≅
Il momento torcente, attivo nel tratto d’albero compreso tra la puleggia e il pignone, vale:
( )
254 610
8710 5440 1810 1107150 Nmm
2 2
t
M = ⋅ ≅ − ≅
considerando un albero in acciaio ordinario, quindi con max 42 MPa
τ ≅ , il diametro minimo dell’albero
vale
( ) ( )
2 2
3
16
78 mm
f f t t
amm
d k M k M
π τ
= + ≅
⋅

5
Esempio 1. 3
Il rullo industriale mostrato in figura è condotto a 300 rpm. Sulla primitiva di diametro 76 mm del
pignone dentato che lo comanda agisce una forza F come indicato. Tale rullo esercita una forza radiale,
per unità di lunghezza, di 5 N/mm sul materiale che vi passa sotto. Il coefficiente d’attrito si può
supporre pari a 0.40.
Scelti con giustificato criterio ogni eventuale dato mancante, si dimensioni in prima approssimazione il
diametro dell’albero porta rullo nel tratto compreso tra i cuscinetti O ed A
Si determina la forza totale (radiale) esercitata dal rullo sul materiale:
5 200 1000 N
tot
P = ⋅ =
La forza totale (tangenziale) esercitata dal rullo sul materiale vale:
0.4 400 N
tot tot
Q P
= ⋅ =
Per l’equilibrio alla rotazione deve essere:
76 100
cos20
2 2
tot
F Q
° =
Pertanto la forza totale F agente sul dente vale:
560 N
F ≅
Indicate con Fz e Fy rispettivamente le proiezioni orizzontali e verticali della forza F e con q e p i
carichi uniformante distribuiti corrispondenti alle forze concentrate Q e P, le sollecitazioni agenti
sull’albero possono essere schematizzate come di seguito riportato:
45 200 45 70
y
x
Fy
p
z
x
Fz
q
O A

6
Di seguito si riportano i diagrammi di momento flettente e torcente:
Ascissa x (mm)
0 100 200 300
Momento
flettente
Mf
xy
(Nmm)
-60000
-50000
-40000
-30000
-20000
-10000
0
Ascissa x (mm)
0 100 200 300
Momento
flettente
Mf
zx
(Nmm)
-50000
-40000
-30000
-20000
-10000
0

7
Si ipotizza di realizzare l’albero con un acciaio C40 bonificato. Inoltre si ritiene che i coefficienti di
fatica possano essere assunti pari a 2
f t
k k
= = .
Ascissa x (mm)
0 100 200 300
Momento
flettente
Mfr
(Nmm)
0
20000
40000
60000
80000
Ascissa x (mm)
0 50 100 150 200 250 300 350
Momento
torcente
Mt
(Nmm)
0
5000
10000
15000
20000
25000

8
La sezione più sollecitata è posta ad un’ascissa pari 167 mm.
In tale sezione il momento flettente risultante e il momento torcente assumono i seguenti valori:
167
167
67560 Nmm 12240 Nmm
f t x
x
M M =
=
≅ ≅
Con riferimento ad un acciaio C40 bonificato ( 670 MPa 400 MPa
R sn
σ σ
= = ) può porsi:
90 MPa
amm
τ ≅
Il diametro dell’albero può pertanto assumersi pari a:
( ) ( )
2 2
3
16
20 mm
f f t t
amm
d k M k M
π τ
= + ≅
⋅
Bibliografia
Giovannozzi R Costruzione di Macchine vol.1 Patron
Hall AS et al. Costruzione di Macchine Etas
Shigley JE et al. Progetto e Costruzione di Macchine McGraw-Hill

9
2. PERNI DI ESTREMITA’
Si definisce perno quella porzione di asse o albero che, accoppiata con il cuscinetto, viene sostenuta
dal supporto in modo da collegarla al telaio.
I perni si possono classificare come segue:
1. perni portanti: in cui la spinta esercitata dal cuscinetto sul perno ha direzione radiale;
1.1. perni di estremità: sono posti all’estremità di un asse o di un albero e non sono soggetti a
torsione;
1.2. perni intermedi: sono soggetti anche a torsione e si trattano semplicemente come porzioni
d’albero;
2. perni di spinta in cui la spinta esercitata dal cuscinetto ha direzione assiale
Nel seguito ci occuperemo della progettazione dei soli perni di estremità
Sia:
l lunghezza del perno;
d diametro del perno;
P reazione perno-cuscinetto, ipotizzata concentrata e posizionata nella mezzeria del perno
n frequenza di rotazione del perno

10
I perni di estremità vengono dimensionati secondo tre criteri:
1. Dimensionamento a flessione
Il perno viene schematizzato come una trave incastrata ad un estremo e caricata a metà dello
sbalzo da una forza concentrata P pari alla reazione perno cuscinetto.
(2.1)(2.2)
16 5
(2.1)
amm amm
P l P l
d
d d
πσ σ
> ≅
Il rapporto caratteristico l/d è tabellato e dipende sostanzialmente dal tipo di utilizzo del
perno.
Valori di l/d troppo esegui espongono al pericolo di eccessive fuoriuscite laterali di olio; per
contro, valori di l/d troppo elevati inducono eccessive inclinazioni del perno nella sua sede.
La tensione ammissibile dipende dal tipo di materiale costituente il perno e dal tipo di
utilizzo.
Orientativamente si possono utilizzare le indicazioni contenute nella tabella sotto riportata.
Tipo di acciaio Tensione amm. (MPa)
Comune 50 ÷70
Di qualità 70 ÷ 100
Alta resistenza 120 ÷ 180
Nel caso di urti utilizzare i ¾ dei valori tabellati.
2. Dimensionamento a pressione
Viene confrontata la pressione media p, di seguito definita, con valori tabellati. Tali valori
tabellati dipendono dai materiali costituenti la coppia perno-cuscinetto, dal tipo di
lubrificazione e dal settore di utilizzo del perno.
(2.2)
amm
P
p p
l d
≡ ≤
⋅

11
3. Dimensionamento al riscaldamento
Viene verificata la seguente disuguaglianza1
:
p v K
⋅ ≤ (2.3)
Dove p è la pressione media (MPa) definita al punto precedente, v è la velocità periferica
del perno (m/s) e K è un fattore di riferimento funzione della finitura della coppia, del tipo
di lubrificazione e di raffreddamento.
Nel caso la disuguaglianza non fosse soddisfatta occorrerà modificare le condizioni di
funzionamento della coppia perno-cuscinetto oppure aumentare la lunghezza del perno,
mentre sarebbe ininfluente agire sul diametro del perno stesso.
Valori di K da utilizzare nel dimensionamento al riscaldamento di un perno
Tipo di lubrificazione e finitura K (MPa·m/s)
Lavorazione corrente, lubrificazione scarsa con ingrassatore a stoppino,
funzionamento in aria calma
0.8÷1.0
Lavorazione accurata, lubrificazione abbondante ad anello o similare,
funzionamento in aria calma
1.5÷2.0
Lavorazione accurata, lubrificazione abbondante ad anello o similare,
funzionamento in corrente d’aria
3.0÷4.0
Lubrificazione abbondante ad anello o similare, funzionamento in
corrente d’aria veloce
5.0÷10.0
Lavorazione accurata, lubrificazione abbondante forzata, funzionamento
in aria calma
3.0÷4.0
Lavorazione accurata, lubrificazione forzata, raffreddamento artificiale
dell’olio
8.0÷13.0 ¥
¥ fino a 26 secondo l’entità del raffreddamento
1
La disuguaglianza si giustifica come segue:
Il calore sviluppato (calore generato) per attrito dalla coppia perno-cuscinetto, nell’unità di tempo, vale
ovviamente:
gen
Q f P v
= ⋅ ⋅
ɺ dove f è il coefficiente d’attrito tra perno e cuscinetto e v la velocità periferica del perno
Il calore trasmesso, nell’unità di tempo, all’esterno per conduzione, e in parte per irraggiamento, si può ritenere
proporzionale alla superficie del supporto S d l
π
= ⋅ e alla differenza di temperatura T
∆ tra supporto e ambiente.
Indicato con α un opportuno coefficiente di trasmissione del calore, il calore trasmesso, nell’unità di tempo verso
l’esterno (calore disperso) si può esprimere pertanto con la seguente relazione
disp
Q T dl
α π
= ⋅∆ ⋅
ɺ
Uguagliando il calore generato al calore disperso si ottiene la condizione limite di equilibrio termico:
P T
f P v T dl v pv K
d l f
α π
α π
⋅∆ ⋅
⋅ ⋅ = ⋅∆ ⋅ → = → =
⋅

12
Caratteristiche delle coppie perno-cuscinetto a strisciamento
Applicazioni
Materiale
Cuscinetto¥ l/d§
pamm (MPa) accoppiamenti
Trasmissioni meccaniche
v < 3.5 m/s
v > 3.5 m/s
G
MB
1÷2 1÷2
H7/f7
H7/e8
H7/d9
Macchine utensili G
B
1.2÷2
4÷6
2
H7/f7
H7/g6
Apparecchi di sollevamento
(pulegge, tamburi, ruote)
B;MB
G 0.8÷1.8
6
12
H7/e8
H7/d9
H8/d10
Pompe, compressori, ventilatori
v < 60 m/s
MB
BPB
0.8÷1.25
0.8÷1.2
1÷4
H6/g5
H7/f7
Motori elettrici
v < 10 m/s
MB 0.8÷1.5 1.5
H7/f7
H6/g5
Motori a carburazione e Diesel veloci
Spinotto
Manovella
Banco
Motori Diesel lenti
Testa a croce
Manovella
Banco
BPB
BPB
BPB
BPB
MB
MB
0.5÷0.6
0.5÷0.6
20÷30
8÷10
8÷10
40÷60
12÷13
8÷9
H7/f7
H7/g5
Turbine a vapore MB 1.3÷1.6 0.5÷0.8 H7/f7
¥ G ghisa; MB metallo bianco antifrizione; B bronzo; BPB bronzo al piombo
§ l/d rapporto caratteristico del perno, l lunghezza del perno e d diametro del perno

13
Esempio 2. 1
Con riferimento ai dati dell’Esempio 1.3, determinare il diametro del perno accoppiato al cuscinetto O.
Il carico sul perno risulta
2 2
327 546 636 N
O
R ≅ + ≅
Fissato un opportuno valore del rapporto caratteristico ( )
/ 1.2
l d ≅ si procede ad un primo
dimensionamento a flessione utilizzando una 65 MPa
amm
σ ≅
16
8.4 10 mm
amm
P l
d
d
πσ
> ≅ →
Noto il diametro e il rapporto caratteristico, fissato in precedenza, si verifica il perno a pressione:
5.3 MPa
P
p
l d
= =
⋅
Il valore è compatibile con una utilizzazione nell’ambito delle macchine utensili.
Da ultimo si procede ad una verifica al riscaldamento.
La velocità periferica del perno vale:
2 2 300
0.005 0.157 m/s
60 60
n
v r
π π
⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ≅
Il prodotto pv vale pertanto:
0.83 MPa m/s
pv ≅ ⋅
Il valore trovato risulta compatibile per un perno con lavorazione corrente, lubrificazione scarsa e
funzionamento in aria calma. Pertanto, se la realizzazione è in grado di garantire almeno le condizioni
prima definite, il perno è da ritenersi verificato.
Bibliografia
Ottani M Corso di Meccanica vol.3 Cedam
Pierotti P. Meccanica vol.3 Calderini
Malavasi Vademecum per l’ingegnere
Costruttore Meccanico Hoepli

14
3. I GIUNTI
I giunti sono organi meccanici deputati al collegamento coassiale (o talvolta complanare) di un albero
motore ad un albero condotto.
Si distinguono in:
1. Giunti rigidi: non consentono spostamenti relativi tra i due alberi. Richiedono una perfetta
coassialità degli alberi e dei relativi sopporti. (giunti a manicotto, giunto Sellers, giunti a dischi,
etc.)
2. Giunti semielastici ed elastici: consentono lievi spostamenti assiali e/o angolari resi possibili
dall’utilizzo di elementi deformabili elasticamente (giunto Northon, Periflex, Steelflex o Bibby,
Hardy, etc.)
3. Giunti articolati: consentono spostamenti relativi di una certa ampiezza senza deformazione di
elementi elastici (giunto di Cardano, di Oldham)
4. Giunti omocinetici: sono dei particolari giunti articolati che assicurano, istante per istante, la
perfetta identità tra la velocità angolare dell’albero motore e dell’albero condotto (giunto
Rzeppa, Tracta etc.).
Il tecnico, se non impiegato nel settore specifico, non progetta i giunti, ma si limita semplicemente alla
loro scelta a catalogo. Nel seguito, tuttavia, riporteremo alcune indicazioni riguardanti il
dimensionamento dei principali organi di collegamento (pioli, bulloni, etc.) avvertendo comunque che
le indicazioni avranno un valore relativo rappresentando, il più delle volte, la rielaborazione
approssimata dei dati forniti dalle tabelle dei costruttori.

15
3.1. GIUNTO A MANICOTTO
Il giunto a manicotto è costituito da due semigusci, generalmente realizzati in ghisa, che vengono serrati
mediante bulloni alle estremità degli alberi da collegare.
In un calcolo di massima, si può ritenere che il momento Mt si trasmetta dall’albero motore all’albero
condotto solo per attrito.
Per semplicità supporremo che la pressione radiale p tra albero e manicotto sia costante lungo tutta la
superficie di contatto. Con questa assunzione, per l’equilibrio, deve risultare:
F
p
d L
=
⋅
dove con d si è indicato il diametro dell’albero, con L la lunghezza del manicotto e con F la forza
complessiva, esercita dai bulloni, che preme i due semigusci
Il momento d’attrito Ma trasmesso da ciascun semiguscio, vale:
2 2 2 8
a
d L d f
M p f F d
π
π
⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
dove con f si è indicato il coefficiente d’attrito tra albero e semigusci.
Il momento d’attrito trasmesso dai due semigusci vale ovviamente:
4
at
f
M F d
π ⋅
= ⋅
Per l’equilibrio deve essere
t at
M M
=
da cui, indicato con b
n il numero dei bulloni, si ricava la forza premente che deve esercitare il singolo
bullone:
4 t
b
b
M
F
f d n
π
=
⋅ ⋅ ⋅
Il momento torcente applicato al fusto della vite vale1
:
1
per viti ordinarie si può porre ( )
tan 0.2
α ϕ
+ ≅

16
( )
tan 0.1
2
mv
tv b b mv
d
M F F d
α ϕ
= + ≅ ⋅ ⋅
dove mv
d è il diametro medio della vite, α l’angolo di inclinazione dell’elica media del filetto, e ϕ è
l’angolo di semiapertura del cono d’attrito corrispondente al coefficiente d’attrito tra vite e madrevite.
Le due sollecitazioni sforzo normale b
F e momento torcente tv
M inducono delle tensione normali σ e
tangenziali (di torsione) τ che dovranno essere composte, secondo von Mises, in un’unica tensione
ideale da confrontarsi con la tensione ammissibile del materiale costituente i bulloni.
2 2
3
4
3
16
b
r
id amm
tv
r
F
d
M
d
σ
π
σ σ τ σ
τ
π

≅
 ⋅

→ = + ≤

 ≅
 ⋅


17
Esempio 3.1.1
Verificare i bulloni di collegamento di un giunto a manicotto in grado di trasmettere, a regime, una
potenza di 15 kW al regime di 250 rpm.
Si calcola il momento torcente di regime:
6
15 10 60
573000 Nmm
2 250
t
N
M
ω π
⋅ ⋅
= ≅ ≅
⋅ ⋅
Il momento torcente di calcolo si ottiene moltiplicando il momento di regime per un coefficiente ψ che
tenga conto di eventuali sovraccarichi dinamici. Posto 1.2
ψ ≅ , si ottiene:
1.2 573000 688000 Nmm
tc t
M M
ψ
= ≅ ⋅ ≅
Il diametro d dell’albero in grado di trasmette il momento torcente tc
M può stimarsi in prima
approssimazione, e in assenza di dati più precisi, dall’equazione di stabilità torsionale.
Assunto una tensione ammissibile convenientemente ridotta ( 35 MPa
amm
τ ≅ ) si ha:
3
16
46 mm
tc
amm
M
d
π τ
⋅
≥ ≅
⋅
Si sceglie pertanto un giunto con diametro esterno 130 mm
D = che effettua il serraggio dei semigusci
tramite 6 bulloni M12.
Assunto che il coefficiente d’attrito tra albero e semiguscio sia pari a 0.25, ogni bullone deve esercitare
una forza lungo il proprio asse pari a:
4
12700 N
t
b
b
M
F
f d n
π
= ≅
⋅ ⋅ ⋅
Il corrispondente momento torcente sul fusto della vite vale:
0.1 15240 Nmm
tv b mv
M F d
≅ ⋅ ⋅ ≅
dove, senza commettere un grande errore, si è posto il diametro medio pari al diametro nominale della
vite.
Posto il diametro della sezione resistente al diametro nominale della vite, le tensioni normali e
tangenziali e ideale valgono:
2
2 2
3
4
122 MPa
3 145 MPa
16
= 45 MPa
b
v
id
tc
v
F
d
M
d
σ
π
σ σ τ
τ
π

= ≅
 ⋅

→ = + ≅

⋅
 ≅
 ⋅

Ipotizzando di realizzare il bullone con un acciaio 8.8, si ha un grado di sicurezza rispetto alla rottura
pari a:
800
5.5
145
ξ ≅ ≅ valore che può essere giudicato accettabile.

18
3.2. GIUNTO SELLERS
Il giunto Sellers si compone di un manicotto in ghisa, avente la superficie interna bi-troncoconica, con
pendenza interna nell'ordine dei 12÷14° (conicità 1:5 ÷ 1:4). Dentro al manicotto sono sistemati i due
coni in ghisa (bussole) tagliati lungo un piano assiale che a loro volta sono calettati sugli alberi di
trasmissione mediante chiavette.
Il momento torcente viene trasmesso da un albero ad una bussola, da questa al manicotto, dal manicotto
alla seconda bussola e da quest'ultima al secondo albero, il tutto sempre per effetto dell'attrito tra le
superficie a contatto e dal carico assiale indotto in tre tiranti dal serraggio dei dadi.
Definito il diametro degli alberi, le principali dimensioni del giunto risultano dall'allegata tabella.
La verifica del giunto si conduce determinando le tensioni agenti nei tre tiranti filettati.
Sia:
f coefficiente d’attrito tra i semiconi e il manicotto
T il tiro totale esercitato dai bulloni
β l’angolo di inclinazione dei semiconi
Per l’equilibrio alla traslazione si ha:
sin cos
T N f N
β β
= + ⋅ ⋅
Indicato con Dm il diametro medio dei semiconi, e con t
M il momento torcente da trasmettere,
dall’equilibrio alla rotazione si ricava:
( )
2
sin cos
2
m t
t
m
D M
M f N T f
f D
β β
= ⋅ → = + ⋅
⋅
Ogni bullone esercita una forza assiale pari a:
3
b
T T
=
Il momento torcente applicato al fusto della vite vale:
( )
tan 0.1
2
mv
tv b b mv
d
M T T d
α ϕ
= + ≅ ⋅ ⋅
dove mv
d è il diametro medio della vie, α l’angolo di inclinazione dell’elica media del filetto, e ϕ è
l’angolo di semiapertura del cono d’attrito corrispondente al coefficiente d’attrito tra vite e madrevite.
Le due sollecitazioni sforzo normale b
T e momento torcente tv
M inducono delle tensione normali σ e
tangenziali (di torsione) τ che dovranno essere composte, secondo von Mises, in un’unica tensione
ideale da confrontarsi con la tensione ammissibile del materiale costituente i bulloni.
T
N
Ra
β
β
β
β

19
2 2
3
4
3
16
b
r
id amm
tv
r
T
d
M
d
σ
π
σ σ τ σ
τ
π

≅
 ⋅

→ = + ≤

 ≅
 ⋅

Tabella di proporziona mento dei giunti SELLERS

20
Esempio 3.2.1
Verificare le viti di serraggio di un giunto Sellers in grado di trasmettere a regime una potenza di 20 kW
alla velocità di 300 rpm.
Il momento di regime vale:
6
10 30 60
637 Nm
2 300
t
M
π
⋅ ⋅
= ≅
⋅
Fissato un coefficiente ψ di amplificazione dinamica del carico pari a 1.2, il momento di calcolo
risulta:
1.2 764 Nm
tc t
M M
= ⋅ ≅
Il diametro d dell’albero in grado di trasmette il momento torcente tc
M può stimarsi in prima
approssimazione, e in assenza di dati più precisi, dall’equazione di stabilità torsionale.
Assunto una tensione ammissibile convenientemente ridotta ( 35 MPa
amm
τ ≅ ) si ha:
3
16
48 mm
tc
amm
M
d
π τ
⋅
≥ ≅
⋅
Il giunto può pensarsi realizzato1
con 3 bulloni M12.
Il diametro medio Dm può essere stimato pari a 96 mm (similitudine geometrica tra il giunto da
verificare e il giunto rappresentato nel catalogo)
Fissato un coefficiente d’attrito f tra cono e manicotto pari a 0.25, e la pendenza β dei coni pari a 12°, la
forza assiale si serraggio di ogni singolo bullone deve essere pari a:
( )
2
sin cos 9600 N
3
tc
b
m
M
T f
f D
β β
= + ⋅ ≅
⋅ ⋅
Il momento torcente applicato al fusto della vite vale:
( )
tan 0.1 11500 Nmm
2
mv
tv b b mv
d
M T T d
α ϕ
= + ≅ ⋅ ⋅ ≅
dove, senza commettere un grande errore, si è posto il diametro medio pari al diametro nominale della
vite.
Posto il diametro della sezione resistente al diametro nominale della vite, le tensioni normali e
tangenziali e ideale valgono:
2
2 2
3
4
85 MPa
3 103 MPa
16
= 34 MPa
b
v
id
tc
v
T
d
M
d
σ
π
σ σ τ
τ
π

= ≅
 ⋅

→ = + ≅

⋅
 ≅
 ⋅

Ipotizzando di realizzare il bullone con un acciaio 8.8, si ha un grado di sicurezza rispetto alla rottura
pari a:
800
7.7
103
ξ ≅ ≅ valore che può essere giudicato accettabile.
1
come specificato nella tabella di proporziona mento, il diametro dei bulloni può essere espresso in funzione del
diametro dell’albero d tramite la seguente relazione:
( )
0.2 10
v
d d
≅ +

21
3.3. GIUNTO RIGIDO A DISCHI 1
Sia:
Dm diametro medio della fascia di contatto;
Dv il diametro della circonferenza a cui appartengono le tracce degli assi delle viti;
Mt il momento torcente trasmissibile dal giunto;
nv numero delle viti;
f coefficiente d’attrito tra le superficie delle flange a contatto.
dmv diametro medio delle viti
Dalla potenza N e dalla frequenza di rotazione n si determina il momento torcente Mt
eventualmente da maggiorare per tener conto di eventuali sovraccarichi dinamici. Noto Mt, dalle
tabelle del costruttore, ci si orienta sulla geometria del giunto e sul numero delle viti. Si determina
lo sforzo assiale presente su ogni vite con la seguente relazione:
2 t
v v
M
F
fD n
ψ
=
dove 1.1 2
ψ ≅ ÷ è un coefficiente che tiene conto di eventuali sovraccarichi dinamici.
Si calcola il Momento Mtv da applicare al fusto della vite per generare la forza F :
0.1
tv mv
M Fd
= ⋅ . Si determinano le tensioni sul fusto delle vite, e infine si calcola la tensione ideale
confrontandola con la tensione ammissibile.
2 2
3 2
16 4
3
tv
id amm
mv mv
M F
d d
τ σ σ σ τ σ
π π
= = = + ≤
Nel caso la verifica non sia superata, si aumenta il numero e/o il diametro delle viti o si sceglie un
giunto di dimensioni maggiori.
1
Il procedimento di calcolo qui descritto fa riferimento alla trasmissione del momento per attrito. Qualora invece i
bulloni potessero lavorare a taglio, il momento massimo trasmissibile M, indicato con Dv il diametro della
circonferenza dei centri dei bulloni, sarebbe pari a:
2
4 2
mv v
v amm
d D
M n
π
τ
=
E’ facile rendersi conto che con bulloni lavoranti a taglio possono trasmettersi momenti più che doppi rispetto al
caso di quelli lavoranti a trazione. Tuttavia è opportuno ribadire che per poter far effettivamente lavorare tutti i
bulloni a taglio (e tutti sottoposti alla medesima forza tagliante) occorre però una costosa lavorazione di
precisione, consistente nel rettificare i gambi dei bulloni a un diametro leggermente maggiore di quello del foro,
alesare accuratamente e contemporaneamente i fori corrispondenti nei due dischi e infine montare i bulloni a forza
battendoli con la mazza.
Un sistema ancora più costoso per assicurare il forzamento dei bulloni nei fori è quello usare bulloni conici.
Per ragioni di costo, l’impiego dei bulloni calibrati è riservato di solito a diametri di albero oltre i 200-250 mm,
pur potendosi ricorrere ad esso anche per diametri inferiori quando le condizioni di funzionamento (urti) siano
particolarmente sfavorevoli. (R. Giovannozzi)

ITI OMAR Dipartimento di Meccanica
22
Elementi di Costruzione di Macchine

23
Esempio 3.3.1
Una macchina motrice sviluppante, a regime, la potenza N di 80 kW, è collegata, tramite un giunto a
dischi, ad una macchina operatrice il cui momento resistente Mr (comprensivo delle resistenze utili e
passive) è pari, a regime, a 400 N m.
Fissando con opportuno criterio i dati occorrenti, si calcolino le dimensioni dei bulloni di collegamento
dei dischi del giunto
La velocità di rotazione ω del giunto è pari a:
1000 80
200 rad/s 1910 rpm
400
r
N
n
M
ω
⋅
= = ≅ → ≅
Il giunto adatto a realizzare la trasmissione assegnata viene scelto “a catalogo”.
Si adotta un giunto adatto a trasmettere un momento massimo pari a 500 Nm in grado di sopportare una
frequenza massima di rotazione pari a 4000 rpm
Il giunto trasmette il momento torcente richiesto tramite il serraggio di 4 viti 12 x 1.25.
Il diametro medio della fascia di contatto può essere posto pari a:
1 160 85
122.5 mm
2 2
m
D D
D
+ +
= = =
Fissato, in via cautelativa, un coefficiente d’attrito tra le flange pari a 0.2 si ricava la forza assiale F che
deve essere esercitata dal singolo bullone
400 1000
2 2 1.5 12245 N
4 0.2 122.5
r
v m
M
F
n f D
ψ
⋅
= ≅ ⋅ ≅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Il momento sul fusto della vite indotto da un serraggio tale da assicurare una trazione F sul gambo vale
( )
tan
2
m
tv
d
M F α ϕ
≅ +
Confondendo in prima approssimazione il diametro medio con il diametro nominale della vite e posto
( )
tan 0.2
α ϕ
+ ≅ si ha:
14694 Nmm
tv
M =
La tensioni di trazione e torsione massima valgono:
2 2
3
4 4 12245
108 MPa
12
16
= 43 MPa
tv
F
d
M
d
σ
π π
τ
π
⋅
≅ ≅ ≅
⋅ ⋅
⋅
≅
⋅
La tensione ideale, secondo von Mises, risulta:
2 2
3 131 MPa
id
σ σ τ
= + ≅
Ipotizzato di realizzare il bullone con un acciaio 8.8, pertanto con una tensione di snervamento pari a
640 MPa, il coefficiente di sicurezza risulta:
640
4.9
131
ξ = ≅
Valore decisamente accettabile, anche tenuto presente che si è adottata una sezione resistente pari alla
sezione nominale della vite.

24
3.4. GIUNTO NORTHON
Il giunto è costituito da due dischi che portano, metà ciascuno, una corona di pioli incastrati ad esso ad
un estremo.
L’incastro dei pioli è normalmente ottenuto montando il loro gambo nel disco con un leggero
forzamento e serrando, mediante un dado, un collare.
L’appoggio dei pioli sull’altro disco è realizzato elasticamente mediante un blocco di gomma.
In ciascun disco i pioli sono alternati ai fori in modo che, a montaggio effettuato, il giunto costituisca un
insieme simmetrico ed equilibrato.
Giunti di questo tipo vengono usati per accoppiare albero e puleggia del freno degli apparecchi da
sollevamento, in modo da attenuare gli effetti provocati da brusche frenature.
Di seguito riportiamo un estratto del catalogo dei giunti Northon serie PN (produzione Trans-Moto srl).
Il calcolo di resistenza vero e proprio riguarda i pioli. Essi vengono verificati a flessione considerandoli
come mensole incastrate nel disco e caricate, in corrispondenza della mezzeria del tratto di appoggio
gommato, con una forza concentrata P di intensità pari alla forza periferica trasmessa diviso il numero
np dei pioli.
Indicato con Mt il momento torcente trasmesso e con Dp il diametro della circonferenza a cui
appartengono i centri dei pioli, la forza P che si scarica su un singolo piolo vale:
2 t
p p
M
P
D n
=
⋅
Indicata con h la distanza tra il punto di applicazione di P e l’incastro del piolo, il momento flettente
massimo sul piolo risulta pari a:
f
M P h
= ⋅
Il diametro minimo del piolo deve pertanto rispettare la seguente disuguaglianza:
3
32
amm
P h
d
π σ
⋅ ⋅
≥
⋅
Per tenere conto di sovraccarichi dovuti ad urti, normalmente la tensione ammissibile si tiene bassa,
adottando un grado di sicurezza rispetto alla rottura pari a 6 12
ξ = ÷ .
Nella zona dove il piolo appoggia sulla gomma occorre verificare che la pressione “media” tra piolo e
gomma un superi il valore 1 5 MPa
amm
p ≅ ÷ . Indicando con l la lunghezza della zona di appoggio e con
d1 il diametro del piolo in tale zona, deve risultare:
1
amm
P
p p
l d
= ≤
⋅

25

26
Esempio 3.4.1
Una macchina motrice sviluppante, a regime, la potenza N di 80 kW, è collegata, tramite un giunto
Northon, ad una macchina operatrice il cui momento resistente Mr (comprensivo delle resistenze utili e
passive) è pari, a regime, a 400 N m.
Fissando con opportuno criterio i dati occorrenti, si verifichino i pioli di collegamento del giunto.
Dai calcoli svolti nell’ambito dell’Esempio 3.1 si ha:
200 rad/s 1910 rpm
n
ω ≅ → ≅
Si sceglie un giunto, con 12 pioli, in grado di trasmettere un momento massimo pari a 600 Nm e in
grado di sopportare un velocità massima di rotazione pari a 6000 rpm.
Posto il diametro dei pioli pari a d ≅ 14 mm, la distanza pari a 15 mm
h = e il diametro 127 mm
p
D =
(similitudine geometrica tra il giunto da verificare e il giunto rappresentato nel catalogo), si conduce
una prima verifica a flessione:
3 3
32 32 525 15
29 MPa
14
P h
d
σ
π π
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
≅ ≅ ≅
⋅ ⋅
2 800 1000
525 N
127 12
t
p P
M
P
D n
⋅
= = ≅
⋅ ⋅
Considerato di realizzare un perno in C40 bonificato con ( 670 MPa 400 MPa
R sn
σ σ
= = ) il grado di
sicurezza nei confronti della rottura risulta:
670
23
29
ξ ≅ ≅ del tutto accettabile.
Sempre da catalogo si ricava la lunghezza l della zona di appoggio perno-tassello gommato
33 mm
l ≅
La pressione media di contatto vale:
525
1.2 MPa
33 14
P
p
l d
= ≅ ≅
⋅ ⋅
pienamente accettabile.
Bibliografia
Giovannozzi R Costruzione di Macchine vol. 1 Patron
Pierotti P. Meccanica vol. 3 Calderini
Straneo SL et al. Disegno, progettazione… vol. 2 Principato

27
3.5. GIUNTO PERIFLEX
Il giunto Periflex è realizzato con un elemento elastico costituito da un collare in gomma di sezione a C
i cui bordi sono bloccati a pressione su due flange mediante dischi di pressione serrati tramite viti.

28
3.6. GIUNTO BIBBY
Il giunto Bibby è costituito da due dischi che portano delle fessure periferiche entro cui sono infilate
della lamine di acciaio a sezione costante. Al crescere del carico, e quindi della rotazione relativa dei
due semigiunti, la parte di lamina inizialmente libera va avvolgendosi sulla parte curva dei denti per un
arco sempre maggiore, aumentando la rigidezza del giunto.

29
3.7. GIUNTO HARDY
Il giunto flessibile Hardy è in grado di funzionare parzialmente come un giunto cardanico. E’ costituto
da dischi gommati che vengono attraversati da perni che sono alternativamente solidali all’albero
motore e all’albero condotto. Questi giunti hanno una buna capacità di smorzare le vibrazioni.

30
3.8. GIUNTO OLDHAM
Il giunto di Oldham si usa per la trasmissione del moto fra assi paralleli non coincidenti.
Il rapporto di trasmissione istantaneo di questo giunto è costantemente pari a uno: il giunto è pertanto
omocinetico.
L’elemento intermedio di collegamento ruota con velocità angolare comune a quella dei due alberi fra
cui trasmette il moto, mentre il suo centro descrive una circonferenza, avente per diametro l’eccentricità
e fra i due alberi, con velocità angolare doppia di quella degli alberi.
Pertanto tale elemento intermedio è soggetto ad una forza centrifuga pari a:
( )
2 2
2 2
2
e
F m m e
ω ω
= = ⋅ ⋅
Dove con m si è indicata la massa dell’elemento intermedio, con ω la velocità angolare degli alberi e
con e l’eccentricità dei loro assi.
Detti f il coefficiente d’attrito, l/2 la distanza alla quale si trovano, su ciascuna mezza scanalatura, le
risultanti delle pressioni, il rendimento del giunto ha la seguente espressione
1 8
1
4 8
2 2 1
2
Pl e
f
e e l
Pl Pf f
l
θ
η
π
θ θ
π π
⋅
= = ≅ −
⋅ + ⋅ +

31
3.9. GIUNTO DI CARDANO (GIUNTO DI HOOKE)
Il giunto di Cardano si utilizza quando occorre trasmettere il moto fra assi concorrenti formanti fra loro
un angolo generalmente diverso da zero
In seguito affronteremo lo studio cinematico particolareggiato del giunto, ora ci limiteremo ad
affermare quanto segue:
se l’albero motore forma un angolo δ col prolungamento dell’albero condotto, e se l’albero motore
ruota con velocità uniforme, il moto rotatorio dell’albero condotto non è uniforme. Si ha quindi una
irregolarità periodica della trasmissione che cresce rapidamente al crescere dell’angolo δ.
Quando questa irregolarità non possa essere tollerata, si ricorre al doppio giunto cardanico doppio
simmetrico (gli angoli formati dai due alberi concorrenti con il terzo albero devono esser uguali.
Il giunto di Cardano doppio e simmetrico si comporta come un giunto omocinetico: le velocità angolari
dell’albero motore e dell’albero condotto sono coincidenti istante per istante mentre entrambe
differiscono dalla velocità dell’albero intermedio

32
Il giunto di Cardano viene usato per collegare due alberi con assi concorrenti formanti fra loro un
angolo generalmente diverso da zero.
Per effettuare lo studio cinematico del giunto si faccia riferimento alle viste in pianta e in prospetto
della trasmissione.
Calcolo della velocità dell’albero condotto
Quando gli alberi ruotano, gli estremi aa della crociera si muoveranno nel piano frontale a descrivere
una circonferenza, mentre gli estremi bb della crociera descriveranno un’ellisse (rappresentata con linea
a tratti).
Se l’albero A ruota di un angolo α (da aa a a1a1), anche la proiezione di bb ruoterà di un angolo α fino
a portarsi in b1b1. L’angolo β di rotazione dell’albero condotto B si ricava determinando la vera
posizione di b1b1 (ovvero vista lungo l’asse di B)

33
Il punto b1 sul piano frontale corrisponde, in pianta, al punto b1’ . Il punto b1’ viene successivamente
ribaltato nel piano contenente aa (punto c2). La proiezione di c2 sul piano frontale determina il punto b2
permettendo la definizione dell’angolo β. Valgono allora le seguenti relazioni:
1 2 2
1 1 2 2 1 1
1 1
'
2 1
tan tan
tan
cos
tan
oc oc oc
b c b c b c
oc oc
oc ob
α β
α
δ
β
= = =
= = =
tan tan cos
α β δ
= ⋅ (3.1)
Derivando entrambi i membri della (3.1) rispetto al tempo si ricava la relazione tra le velocità degli
alberi.
( )
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2 2
2
sec sec cos
sec sec cos
sec (1 tan ) cos
tan
sec 1 cos
cos
cos tan
cos
cos
a b
a
a b
a b
d d
dt dt
α β
α β δ
α ω β ω δ
α ω β δ
α
α ω ω δ
δ
δ α
ω α ω
δ
=
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ = + ⋅
 
⋅ = + ⋅ ⋅
 
 
+
= ⋅ ⋅
2 2
cos
1 sin cos
b
a
ω δ
ω δ α
=
− ⋅
(3.2)

34
Il rapporto ωb/ωa ha un valore massimo pari a 1/cosδ che viene raggiunto quando cosα = ±1 ovvero
quando α vale 0, 180°, etc…
Il rapporto ωb/ωa ha invece un valore minimo pari a cosδ che viene raggiunto quando cosα = 0 ovvero
quando α vale 90, 270°, etc..
L’irregolarità periodica della trasmissione I , per ωa costante è pari a:
max min
max min
1
cos sin tan
cos
b b b b
bmedio a a
I
ω ω ω ω
δ δ δ
ω ω ω δ
   
−
= = − = − = ⋅
   
   
L’albero condotto e conduttore hanno la stessa velocità quando:
( )
2 2
2
2
2 2
cos
1
1 sin cos
1 cos 1
cos
sin 1 cos
tan 1 cos sin cos
δ
δ α
δ
α
δ δ
α δ α δ
=
− ⋅
−
= =
+
= + ⋅ =
tan cos
α δ
= ± (3.3)
Ci sono pertanto quattro angoli di rotazione in corrispondenza dei quali durante ciascun giro la velocità
dell’albero condotto uguaglia quella dell’albero motore
Calcolo delle accelerazioni dell’albero condotto
Supponendo costante la velocità angolare ωa dell’albero motore, l’accelerazione dell’albero condotto
vale:
( )
2
2
2 2
sin cos sin 2
1 sin cos
b
d d d
dt dt dt
ω α δ δ α α
δ α
⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
− ⋅
( )
2
2
2
2 2
sin cos sin 2
1 sin cos
b
a
d
dt
ω δ δ α
ω
δ α
⋅ ⋅
= − ⋅
− ⋅
(3.4)
L’accelerazione dell’albero condotto si annulla per valori di α multipli di π/2 e assume valori uguali e
opposti per valori di α supplementari.
La posizione angolare in corrispondenza della quale si trova il massimo (minimo) dell’accelerazione
angolare si calcola ponendo a zero la derivata prima della (3.4)
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
sin 2
0
1 sin cos
1 sin cos cos2 sin 2 sin
1 0.5 sin 1 cos2 cos2 1 cos 2 sin
2cos2 sin cos2 sin cos2 2sin 2sin cos 2
d
dt
α
δ α
δ α α α δ
δ α α α δ
α δ α δ α δ δ α
 
  =
 
− ⋅
 
− ⋅ ⋅ = ⋅
− ⋅ + ⋅ = − ⋅
− ⋅ − ⋅ = − ⋅

35
( )
2 2
2
sin 2 cos 2
cos2
2 sin
δ α
α
δ
⋅ −
=
−
(3.5)
Facendo riferimento ai valori consueti di δ (valori non superiori a 30°) la soluzione della (3.5) fornisce,
per α, valori prossimi a 45°. In queste condizioni cos2
2α è molto piccolo e può senz’altro essere
trascurato nei confronti di 2. La (3.5) pertanto può essere semplificata come di seguito proposto:
2
2
2sin
cos2
2 sin
δ
α
δ
−
≃ (3.6)
Ipotizzando che il valore massimo (minimo) dell’accelerazione si ottenga, come è stato detto in
precedenza, in corrispondenza di un angolo di rotazione α pari a 45°, tale massimo (minimo) può essere
immediatamente calcolato dalla (3.4):
2
2
2
2
max/ min
sin cos
sin
1
2
b
a
d
dt
ω δ δ
ω
δ
⋅
 
±
 
   
−
 
 
≃

36
Determinazione delle reazioni sui cuscinetti
Lo schema sopra rappresentato mostra l’equlibrio del giunto nelle due posizioni angolari estreme. La
parte superiore si riferisce ad un angolo di rotazione di zero gradi; mentre la parte inferiore della figura
si riferisce all’equilibrio della trasmissione in corrispondenza di un angolo di rotazione di 90°.
Angolo di rotazione α = 0°
In questa condizione il momento sull’albero motore M1 viene equilibrato da un momento resistente Mn
trasmesso dalla crociera e che vale:
1
1 2 2
cos
1 sin cos cos
n
M
M M
δ
δ α δ
= − ⋅ = −
− ⋅
(3.7)
La coppia di cuscinetti montati sull’albero dovrà equilibrare il momento Mr1
1 1 tan
r
M M δ
= ⋅ (3.8)
L’albero condotto, invece, riceve dalla crociera un momento -Mn che viene equilibrato dal momento
resistente M2 che, in questa configurazione, risulta avere la stessa direzione. I cuscinetti sull’abero
condotto sono pertanto scarichi.
Angolo di rotazione α = 90°
In questa condizione il momento sull’albero motore viene equilibrato da un momento trasmesso dalla
crociera ed avente la stessa direzione. Pertanto i cuscinetti posti sull’albero motore risultano scarichi.
Il momento motore Mn viene equilibrato, sull’albero condotto, da un momento resistente M2 che vale:
2 1 1
2 2
cos
cos
1 sin cos
M M M
δ
δ
δ α
= − ⋅ = − ⋅
− ⋅
(3.9)

37
La coppia di cuscinetti montata sull’albero condotto dovrà sopportare un momento Mr2 pari, in modulo,
a :
2 2 1
tan sin
r
M M M
δ δ
= = (3.10)
Nelle condizioni estreme considerate, solo una coppia di cuscinetti risulta sollecitata. In una posizione
intermedia entrambe le coppie di cuscinetti risulteranno sollecitate con dei momenti pulsanti tra un
valore minimo nullo e un valore massimo definito dalle (3.8) e (3.10) rispettivamente per i cuscinetti
sull’albero motore e sul condotto.
Angolo di rotazione α qualsiasi
La determinazione dei carichi sui cuscinetti in corrispondenza di un angolo di rotazione qualsiasi può
agevolmente essere effettuata con riferimento alla figura sotto rappresentata.
Indicato al solito con M1 il momento trasmesso dall’albero motore, ruotante a velocità costante, i
momenti Mr1 e Mr2 agenti sui cuscinetti montati rispettivamnete sull’albero motore e su quello
condotto valgono:
1
1 1
2 2
cos 1
cos
1 sin cos sin
r
M
M M
δ
δ
δ α δ
⋅
 
= − ⋅ ⋅
 
− ⋅
  (3.11)
1 1
2 2 2
cos 1
cos 1 sin cos tan
r
M M
M
δ
δ δ α δ
⋅
 
= − ⋅
 
− ⋅
 
(3.12)

38
E’ da notare in particolare che i rapporti Mr1/M1 e Mr2/M1 assumono valori massimi molto prossimi fra
loro, ma non coincidenti. Dalla (3.11) ponendo α = 0 si ha:
( )
1 1 max
1
/
tan
r
M M
δ
=
Dalla (3.12) ponendo α = 90° si ottiene:
( )
2 1 max
1
/
sin
r
M M
δ
=

39
Trasmissione Omocinetica
Come è già stato definito ai punti precedenti, il giunto di Cardano semplice non garantisce
l’omocinetismo. Il rapporto di trasmissione, infatti, varia al variare dell’angolo di rotazione secondo
quanto definito dalla (3.2).
Tuttavia una trasmissione omocinetica tra gli alberi estremi può essere ottenuta ricorrendo a una coppia
di giunti cardanici, collegati da un albero intermedio, come indicato dalla figure sotto riportate.
In tali condizioni, la variazione di rapporto di trasmissione introdotta dal primo giunto viene in ogni
istante esattamente compensata da quella dovuta al secondo.

40
Esempio 3.9.1
In un giunto di Cardano l’albero motore trasmette un momento torcente pari a 41500 N.
1. determinare il momento torcente sullabero condotto con rifrimento alla disposizione angolare di
figura in cui gli alberi giacciono nello stesso paino orizzontale;
2. trovare il diametro dei prerni della crociera nell’ipotesi che la pressione ammissibile, la
tensione ammissibile a trazione e la tensione ammissibile a taglio siano rispettivamente pari a
14 MPa e 140 MPa e 70 MPa;
3. calcolare la massima tensione nella sezione E-E che si trova a 50 mm dall’asse Y-Y.
Il momento torcente sull’albero condotto, supposto costante il momento torcente motore, varia in
funzione della velocità di rotazione dell’albero condotto. Il momento massimo sull’abero condotto è
massimo quando la velcotà di rotazione dell’albero condotto eè minimo ossia in corrispondenza cioè di
un angolo 90, 270 ...
α = °
Trascurando ogni fenomeno passivo si ha pertanto
max
min
41500
= 44163 Nmm
cos cos20°
a a
a a b b b a
b
M
M M M M
ω
ω ω
ω δ
= → = = ≅

41
Le forze massime F agenti sui perni della crociera valgono:
max
883 N
2 25
b
M
F = ≅
⋅
Diametro del perno per restere a pressione
883
9 mm
6.25 14
amm
F
d
l p
≥ ≅ ≅
⋅ ⋅
Diametro del perno per resitere a flessione
3
3
6.35 32 883 6.36
7.4 mm
140
amm
F
d
πσ π
⋅ ⋅ ⋅
≥ ≅ ≅
⋅
Diametro del perno per resitere a taglio
4 4 4 4 883
4.6 mm
3 3 70
amm
F
d
π τ π
⋅ ⋅
≥ ≅ ≅
⋅ ⋅
La sollecitazione più gravosa risulta quella di flessione e il perno dovrebbe essere realizzato con un
diametro minimo di 9 mm.
La sezione E-E è sottopsta al’azione combinata della compressione e della flessione. La tensione
risultante è pari a:
2
302 883 50
1.93 67.8 70 MPa
1
25 6.25 6.25 25
6
t c f
σ σ σ
⋅
= + = + ≅ + ≅
⋅ ⋅

42
3.10. GIUNTO OMOCINETICO RZEPPA
Anche se, come abbiamo visto in precedenza, con l’adozione del giunto cardanico doppio simmetrico si
raggiunge la condizione di omocinetismo, soprattutto per ragioni di ingombro, nelle costruzioni
automobilistiche, si sono imposti come dispositivi omocinetici altri tipi di giunti più compatti e leggeri.
I più comuni sono: il giunto Bendix-Weiss e il giunto Rzeppa (decisamente il più usato nelle costruzioni
meccaniche)
Il giunto è costituito da due forcelle, solidali con i due alberi, su cui sono ricavate delle superficie
sferiche (rispettivamente interna per l’albero motore ed esterna per l’albero condotto) i cui centri O1 e
O2 giacciono sugli assi dei due alberi a breve distanza dal loro punto di intersezione O. In ogni gola
trovano posto due sfere che, dovendo toccare entrambe le superficie sferiche attive delle due forcelle,
hanno una posizione ben definita in modo da assicurare che il loro centro giaccia nel piano bisettore
dell’angolo β formato dagli assi degli alberi.

43
Bibliografia
G. Bongiovanni, G. Roccati Giunti fissi, articolati, elastici e di sicurezza Levrotto & Bella To
R. Giovannozzi Costruzione di macchine vol. I Patron
J.Hannah, R.C. Stephens Mechanics of machines Arnold
Jacazio G, Piombo B. Meccanica Applicata alle Macchine vol. 2 Levrotto & Bella To

44
4. COLLEGAMENTO CON VITI
Un accoppiamento vite-madrevite può essere analizzato considerando le azioni tra il filetto della vite e
quello della madrevite concentrate sull’elica media. Con tale schematizzazione, nell’ipotesi che il filetto
sia a pane rettangolare1
, lo studio del serraggio di una vite con un momento torcente Mt (attivo lungo il
fusto della vite) in grado esercitare una forza assiale F, è del tutto analogo allo studio dell’equilibrio alla
salita lungo un piano inclinato di un corpo di peso F soggetto all’azione di una forza orizzontale P.
Il piano inclinato di riferimento, per simulare correttamente l’ accoppiamento vite-madrevite oggetto di
studio, deve avere un angolo di inclinazione α pari all’angolo di inclinazione dell’elica media.
1
tan
mv
p
d
α
π
−
=
dove p è il passo e dmv il diametro medio.
Indicato con f il coefficiente d’attrito tra il filetto della vite e quello della madrevite, uguale per analogia
al coefficiente d’attrito tra corpo e piano inclinato, la condizione di equilibrio è espressa dalla seguente
relazione:
cos cos sin sin
P f F F f P
α α α α
= ⋅ + ⋅ + ⋅
da cui, indicato con l’angolo di semiapertura del cono d’attrito corrispondente al coefficiente d’attrito
f, si ha:
cos sin cos sin
P f P f F F
α α α α
− ⋅ = ⋅ + ⋅
sin sin
cos sin cos sin
cos cos
P F
ϕ ϕ
α α α α
ϕ ϕ
   
− = +
   
   
1 1
Nel caso di filetti triangolari con angolo al vertice del triangolo generatore pari a 2θ , vale sempre la (1.9) in
cui al posto di ϕ si sostituisca un angolo *
ϕ definito dalla relazione:
cos
tan * tan
cos
α
ϕ ϕ
β
=
essendo β l’angolo che la normale alla superficie del filetto in corrispondenza all’elica media forma con l’asse
della vite, e per la quale vale la relazione:
2 2
cos
cos cos
1 sin cos
θ
β α
α θ
=
−
Data la piccolezza dei valori di θ e α , si può spesso ritenere in pratica α β
= e quindi *
ϕ ϕ
= giustificando
l’utilizzazione della (1.9) anche nel caso di filetti a pane triangolare o trapezoidale.
ϕ
α
P
F
πdmv
p

45
( )
tan
P F α ϕ
= + (4.1)
Moltiplicando primo e secondo membro della (4.1) per il diametro medio della vite si ottiene la
relazione tra la forza assiale agente sulla vite e il momento torcente agente sul fusto della vite stessa1
:
( )
tan
2
mv
tv
d
M F α ϕ
= ⋅ + (4.2)
In condizioni ordinarie, in mancanza di dati più precisi, si può porre ( )
tan 0.2
α ϕ
+ ≅ da cui si ottiene
la seguente relazione approssimata:
0.1
tv mv
M F d
= ⋅ ⋅ (4.3)
Ribadiamo che nella (1.10) non rappresenta il momento di avvitamento bensì soltanto il
momento torcente che si scarica sul fusto della vite e che su di essa induce le tensioni di torsione.
Nel caso di viti con finitura superficiale ordinaria può porsi:
1.5
avv tv
M M
≅ ⋅
Una vite serrata è sottoposta a due sollecitazioni:
1. sollecitazione normale il fusto della vite;
2. sollecitazione di momento torcente.
Queste due sollecitazioni sono legate, come abbiamo visto dalla seguente relazione
( )
tan
2
mv
tv
d
M F α ϕ
= ⋅ +
La due sollecitazioni, sforzo nomale e momento torcente, generano rispettivamente delle tensioni di
trazione σ , dirette lungo l’asse della vite, e di torsione τ giacenti in un piano perpendicolare all’asse
della vite.
Indicato con d il diametro della sezione resistente della vite (in prima approssimazione d può essere
posto pari al diametro medio della vite)
Le tensioni massime valgono pertanto:
2
3
4
16 tv
F
d
M
d
σ
π
τ
π

=



 =


Ai fini della verifica della vite, queste due tensioni dovranno essere combinate in un’unica tensione
ideale che, a sua volta, dovrà risultare inferiore alla tensione ammissibile del materiale costituente la
vite stessa.
In base alla teoria di von Mises si ha quindi:
2 2
3
id amm
σ σ τ σ
= + ≤
1
La (1.9) esprime, nel caso di una vite di manovra, il momento torcente da applicare al fusto della vite per
sollevare un carico F (avanzamento in contrasto di carico). E’ facile ricavare che il momento da applicare al fusto
della vite permettere la discesa del carico F (avanzamento in direzione del carico) è espresso dalla seguente
relazione:
( )
tan
2
m
d
M F α ϕ
= −
Se il momento torcente espresso dalla relazione precedente risulta positivo significa che per abbassare il carico
occorre effettivamente applicare un momento esterno, in caso contrario, ovvero con memento negativo, il carico
scenderà spontaneamente. E’ evidente che la discesa spontanea (svitamento spontaneo) si ha quando α ϕ
< .
t
M avv
M
τ

46
Esempio 4. 1
La vite di figura è mossa da un momento M
applicato alla base. Il dado porta il carico W e
scorre tra due guide che ne impediscono la
rotazione. Nell’ipotesi che l’attrito nel cuscinetto a
sfere sia trascurabile, trovare il carico che si può
sollevare applicando un momento
46000 Nm
M =
Caratteristiche della vite:
diametro medio m
d 50 mm
vite a pane quadrato
vite a tre principi
passo apparente a
p 8.5 mm
coefficiente d’attrito tra vite e madrevite
0.15
f =
Indicato con i il numero di principi della vite, la relazione tra passo reale p e passo apparente a
p risulta:
a
p i p
= ⋅ da cui 3 8.5 25.5 mm
p = ⋅ =
L’angolo di inclinazione dell’elica del filetto vale:
1 1 25.5
tan tan 9.22
50
m
p
d
α
π π
− −
= = ≅ °
⋅
L’angolo di semiapertura del cono d’attrito corrispondente ad un coefficiente d’attrito pari a 0.15 vale:
1
tan 0.15 8.53
ϕ −
= ≅ °
Dalla (1.9) si ha immediatamente
( )
( ) ( )
2 2 46000
tan 5748 N
2 tan 50 tan 9.22 8.53
m
m
d M
M W W
d
α ϕ
α ϕ
⋅
= + → = = =
+ ⋅ +
Esempio 4. 2
La vite dell’esempio precedente, sotto l’azione del carico assiale W, può svitarsi spontaneamente?
Poiché l’angolo di inclinazione 9.22
α = ° è superiore all’angolo di semiapertura del cono d’attrito
8.53
ϕ = ° il dispositivo non risulta spontaneamente reversibile.

47
Esempio 4. 3
La bussola di serraggio di figura si aziona ruotando la manovella allo scopo di imprimere alla pinza un
moto assiale verso sx in modo da forzarla nella propria sede conica. In tal modo le quattro ganasce della
bussola vengono serrate contro il pezzo da lavorare mantenendolo nella corretta posizione.
Determinare il momento torcente M da applicare in modo ogni settore conico della pinza eserciti una
forza radiale contro il pezzo pari a 450 N nell’ipotesi che:
1. il coefficiente d’attrito tra bussola e sede conica sia pari a 0.20
f = ;
2. il coefficiente d’attrito tra volantino e mandrino sia pari a ' 0.15
f = ;
3. il coefficiente d’attrito tra vite e madrevite sia pari '' 0.10
f = ;
4. diametro medio di contatto volantino mandrino 38 mm
c
d = ;
5. diametro medio del filetto 23.5 mm
m
d = ;
6. passo della vite 1.6 mm
p = .
Consideriamo l’equilibrio di un singolo settore conico:
1/ 4 sin 20 0.2 cos20
cos20 0.2 sin 20 450 N
W P P
P P
= ° + ⋅ °


° − ⋅ ° =

Risolvendo il sistema si ottiene:

48
516 N 1094 N
P W
≅ =
Il momento torcente richiesto sul volantino vale:
( )
tan '
2 2
m
d W
M W f d
α ϕ
= + +
con
1 1
tan tan '
m
p
f
d
α ϕ
π
− −
= =
Sostituendo i valori numerici si ottiene
( ) ( )
23 1094
tan ' 1094 tan 1.27 5.71 0.15 38 4658 Nmm
2 2 2 2
m
c
d W
M W f d
α ϕ
= + + = + + ⋅ ≅
Esempio 4. 4
Con riferimento al morsetto sotto rappresentato di cui si riportano i dati principali, determinare le
tensioni agenti nelle sezioni A-A e B-B nonché la lunghezza L dell’asta di manovra in modo che
l’operatore esercitando una forza di 90 N sia in grado di esercitare un carico 4540 N
W = .
Pane della vite quadrato (assimilabile)
Passo filettatura 2 mm
p =
Diametro medio vite 11.25 mm
m
d =
Coefficiente d’attrito tra vite e madrevite
0.12
f =
Coefficiente d’attrito piattello ed
estremità sferica della vite ' 0.25
f =
Raggio medio della zona di contatto
tra piattello ed estremità sferica della vite
6.4 mm
e =
Il momento esercitato dall’operatore vale:
( ) 1 1
tan ' tan 6.84 tan 0.057
2 2
m
m
d W p
M W f e f
d
α ϕ ϕ α
π
− −
= + + = = = =
( )
11.25 4540
4540 tan 6.9 0.25 6.4 3090 7240 10330 Nmm
2 2
tv P
M M M
≅ + = + ⋅ = + ≅
Per sviluppare un momento torcente pari a 10330 Nmm
M = con una forza F di 90 N occorre un
braccio L pari a:
10330
115 mm
90
M
L
F
= ≅ ≅

49
Tensioni agenti nella sezione A-A
Nella sezione A-A agiscono:
1. Momento torcente 10330 Nmm
M =
2. Momento flettente 90 152 13680 Nmm
f
M F b
= ⋅ = ⋅ =
A cui corrispondono le tensioni:
3. Tensione di torsione 2
max 4
10330 11.25 32
37 N/mm
2 11.25 2
m
d
M
J
τ
π
⋅ ⋅
= ≅ ≅
⋅ ⋅
4. Tensione di flessione 2
max 3
90 152 32
98 N/mm
11.25
F b
I
σ
π
⋅ ⋅ ⋅
= = ≅
⋅
Le due tensioni possono essere composte, secondo le indicazioni di von Mises, nell’unica tensione
ideale:
2 2 2 2 2
3 98 37 105 N/mm
id
σ σ τ
= + = + ≅
Tensioni agenti nella sezione B-B
Nella sezione B-B agiscono:
3. Momento torcente 7240 Nmm
P
M =
4. Sollecitazione di compressione 4540 N
W =
A cui corrispondono le tensioni:
5. Tensione di torsione 2
max 4
7240 11.25 32
26 N/mm
2 11.25 2
m
d
M
J
τ
π
⋅ ⋅
= ≅ ≅
⋅ ⋅
6. Tensione di compressione 2
max 2 2
4 4 4540
46 N/mm
11.25
m
W
d
σ
π π
⋅ ⋅
= = ≅
⋅
Le due tensioni possono essere composte, secondo le indicazioni di von Mises, nell’unica tensione
ideale:
2 2 2 2 2
3 46 26 53 N/mm
id
σ σ τ
= + = + ≅
Bibliografia
Giovannozzi R Costruzione di Macchine vol. 1 Patron
Hall A.S. et al. Costruzione di Macchine Etas
O.Sesini Meccanica Applicata alle Macchine vol. 3 Ambrosiana

5. LA TRASMISSIONE A CINGHIA
Le cinghie sono organi flessibili che si avvolgono su pulegge per trasmettere il moto fra due alberi
Si distinguono
1. cinghie piatte
2. cinghie trapezoidali
3. cinghie dentate (sincrone)
Nel seguito ci occuperemo soprattutto del calcolo delle
indicazioni fornite dai cataloghi
tuttavia indispensabile affrontare lo studio teorico della trasmissione che nel seguito viene riportat
Le equazioni di equilibrio
Consideriamo un tratto di cinghia piatta avvolta su di una puleggia di raggio
cinghia per unità di lunghezza e
che si impegna lungo un angolo
2
2
v
dF mr d mv d
r
θ θ
= ⋅ =
Sia Tc è la tensione nella cinghia dovuta all’azione centrifuga, allora per l’equilibrio deve essere:
2 2
2
2
c c
d
mv d T T mv
θ
θ = → =
Se la cinghia sta trasmettendo potenza, indicando con
conduttori della cinghia, in condizione di
( )
( )
2
2
dT f dN dF
dT f Td mv d
dT
fd
T mv
θ θ
θ
= −
= −
=
−
e integrando
2
2
2
0
T
T
dT
fd
T mv
θ
θ
=
−
∫ ∫
50
A TRASMISSIONE A CINGHIA
cinghie dentate (sincrone)
Nel seguito ci occuperemo soprattutto del calcolo delle cinghie trapezoidali e della loro scelta tramite
e dai cataloghi delle case costruttrici. Per comprendere appieno tali indicazioni è
tuttavia indispensabile affrontare lo studio teorico della trasmissione che nel seguito viene riportat
Consideriamo un tratto di cinghia piatta avvolta su di una puleggia di raggio
cinghia per unità di lunghezza e v la sua velocità; la forza centrifuga dF agente su di un tratto di cinghia
lungo un angolo dθ vale:
è la tensione nella cinghia dovuta all’azione centrifuga, allora per l’equilibrio deve essere:
2 2
mv d T T mv
= → =
Se la cinghia sta trasmettendo potenza, indicando con T1 e T2 la tensione totale sui tratti condotti e
conduttori della cinghia, in condizione di incipiente slittamento si ha:
cinghie trapezoidali e della loro scelta tramite le
Per comprendere appieno tali indicazioni è
tuttavia indispensabile affrontare lo studio teorico della trasmissione che nel seguito viene riportato.
Consideriamo un tratto di cinghia piatta avvolta su di una puleggia di raggio r. Sia m la massa della
agente su di un tratto di cinghia
(5.1)
è la tensione nella cinghia dovuta all’azione centrifuga, allora per l’equilibrio deve essere:
(5.2)
la tensione totale sui tratti condotti e

( )
2
1
2
2
exp
T mv
f
T mv
θ
−
=
−
Qualora l’azione della forza centrifuga possa essere trascurata
( )
1
2
exp
T
f
T
θ
=
Le zone in cui la cinghia non è a contatto con le
1. un tratto in cui la tensione vale
2. un tratto in cui la tensione vale
Gli angoli di avvolgimento e scorrimento
Nel tratto di cinghia a contatto con la puleggia la tensione varia, lungo un angolo
a T2 secondo quanto definito dalla
L’angolo θ va misurato a partire dal punto in cui la cinghia lascia la puleggia
L’angolo θ rappresenta l’angolo lungo il quale la cinghia trasmette (o riceve) potenza. Quando l’angolo
θ (angolo di scorrimento) supera l’angolo di avvolgimento la cinghia inizierà a slittare. Poiché l’angolo
θ è comune alle due pulegge, lo slittamento inizierà se
il cui angolo di avvolgimento risulta minore.
L’angolo θ viene definito sia angolo effettivo, sia angolo di scorrimento o angolo di creep.
Sottolineiamo che lungo gli archi che sottendono gli angoli
1. la tensione della cinghia è costante e vale
2. la cinghia ha la stessa velocità della puleggia;
3. non avviene nessun trasferimento di potenza (gli angoli
inefficaci o idle angles)
1
In pratica si constata che per velocità periferiche della cinghia inferiori a 10 m/s l’effetto della forza centrifuga è
decisamente trascurabile. D’altro canto, anche per velocità superiori si preferisce trascurare, per semplicità di
calcolo, l’effetto della forza centrifuga salvo poi assumere dei carichi di sicurezza minori di quelli normalmente
ammissibili.
2
Si noti che, diversamente da quanto riportato in figura, nelle cinghie piatte è preferibile tenere ramo lasco (meno
teso) della cinghia sul lato supriore.
51
l’azione della forza centrifuga possa essere trascurata1
la (5.3) si semplifica nella
Le zone in cui la cinghia non è a contatto con le pulegge vengono suddivise in due tratti:
un tratto in cui la tensione vale T1 (ramo più teso);
un tratto in cui la tensione vale T2 (ramo meno teso).
Gli angoli di avvolgimento e scorrimento
Nel tratto di cinghia a contatto con la puleggia la tensione varia, lungo un angolo
secondo quanto definito dalla (5.4) o dalla (5.3).2
a partire dal punto in cui la cinghia lascia la puleggia.
rappresenta l’angolo lungo il quale la cinghia trasmette (o riceve) potenza. Quando l’angolo
(angolo di scorrimento) supera l’angolo di avvolgimento la cinghia inizierà a slittare. Poiché l’angolo
è comune alle due pulegge, lo slittamento inizierà sempre sulla puleggia minore ovvero sulla puleggia
il cui angolo di avvolgimento risulta minore.
viene definito sia angolo effettivo, sia angolo di scorrimento o angolo di creep.
Sottolineiamo che lungo gli archi che sottendono gli angoli γ e γ’:
la tensione della cinghia è costante e vale T2 sulla puleggia condotta e T1
la cinghia ha la stessa velocità della puleggia;
non avviene nessun trasferimento di potenza (gli angoli γ e γ’ vengono pertanto definiti angoli
ci o idle angles)
lla forza centrifuga salvo poi assumere dei carichi di sicurezza minori di quelli normalmente
upriore.
(5.3)
si semplifica nella (5.4):
(5.4)
pulegge vengono suddivise in due tratti:
Nel tratto di cinghia a contatto con la puleggia la tensione varia, lungo un angolo θ, gradualmente da T1
.
rappresenta l’angolo lungo il quale la cinghia trasmette (o riceve) potenza. Quando l’angolo
(angolo di scorrimento) supera l’angolo di avvolgimento la cinghia inizierà a slittare. Poiché l’angolo
mpre sulla puleggia minore ovvero sulla puleggia
viene definito sia angolo effettivo, sia angolo di scorrimento o angolo di creep.
T1 su quella motrice;
’ vengono pertanto definiti angoli
lla forza centrifuga salvo poi assumere dei carichi di sicurezza minori di quelli normalmente

Incostanza del rapporto di trasmissione
Per effetto dell’elasticità del materiale la cinghia lungo il tratto più teso (a tensione
allungamento maggiore di quanto avviene nel ramo allentato (a tensione
sopra riportata, indicati con e1
costanza della massa si ha:
1 2
1 2
1 1
mv mv
e e
=
+ +
Trascurando i prodotti 1 1
e e ed
(
2 2 2 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
v e e e
v e e e
+ + −
= = ≅ + − = − + − ≅ − +
+ + −
ovvero
( )
1 2
2
1
1
T T
v
v AE
−
≅ −
dove A ed E sono rispettivamente la sezione trasversale e il modulo di elasticità normale della cinghia.
Pertanto il rapporto di trasmissione di due pulegge, collegate da una trasmissione a cinghia, non è
esattamente pari al rapporto tra i diametri delle pulegge stesse
velocità angolari delle pulegge si ha:
( )
1 2
2 1
1 2
1
T T
r
r AE
ω
ω
 − 
= −
 
 
Pertanto la trasmissione a cinghia, dato che le tensioni
un rapporto di trasmissione che varia al variare della potenza trasmessa.
Le cinghie trapezoidali
Per aumentare l’aderenza tra cinghia e puleggia si utilizzano, in luogo delle cinghie piatte, quelle
trapezoidali. A parità di ogni altra co
β) lavora come una cinghia piatta che faccia affidamento su di un nuovo coefficiente d’attrito
maggiorato (fittizio) pari a2
:
*
sin
f
f
β
=
1
In realtà, agli effetti della trasmissione del moto, nelle cinghie piatte, il diametro delle pulegge è da considerarsi
aumentato di due volte s/2 (con s spessore della cinghia). Pertanto nella
corrispondenti aumentati di s/2.
Nel caso di cinghie trapezoidali, r1
2
In prima approssimazione, il coeff
52
Incostanza del rapporto di trasmissione
Per effetto dell’elasticità del materiale la cinghia lungo il tratto più teso (a tensione
allungamento maggiore di quanto avviene nel ramo allentato (a tensione T2). Con riferimento alla figura
ed e2 gli allungamenti rispettivamente nei tratti a tensione
2 1
e e si ha:
)( )
2 1 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1
e e e e e e e e
= = ≅ + − = − + − ≅ − +
sono rispettivamente la sezione trasversale e il modulo di elasticità normale della cinghia.
tamente pari al rapporto tra i diametri delle pulegge stesse1
. Infatti dalla
velocità angolari delle pulegge si ha:
Pertanto la trasmissione a cinghia, dato che le tensioni T variano al variare della potenza
un rapporto di trasmissione che varia al variare della potenza trasmessa.
trapezoidali. A parità di ogni altra condizione, una cinghia trapezoidale (con semiangolo di gola pari a
) lavora come una cinghia piatta che faccia affidamento su di un nuovo coefficiente d’attrito
/2 (con s spessore della cinghia). Pertanto nella (5.6) r1 e r2
1 e r2 sono invece i diametri primitivi delle rispettive pulegge.
In prima approssimazione, il coefficiente d’attrito f* può porsi pari a circa 0.5.
Per effetto dell’elasticità del materiale la cinghia lungo il tratto più teso (a tensione T1) subirà un
). Con riferimento alla figura
gli allungamenti rispettivamente nei tratti a tensione T1 e T2, per la
(5.5)
sono rispettivamente la sezione trasversale e il modulo di elasticità normale della cinghia.
. Infatti dalla (5.5) indicate con ω le
(5.6)
variano al variare della potenza trasmessa, ha
ndizione, una cinghia trapezoidale (con semiangolo di gola pari a
) lavora come una cinghia piatta che faccia affidamento su di un nuovo coefficiente d’attrito
(5.7)
sono i raggi delle pulegge
sono invece i diametri primitivi delle rispettive pulegge.

53
Tensione di pretensionamento
Indicata con 2T0 la tensione di pretensionamento, le tensioni T1 e T2 sui due rami di cinghia, valgono:
1 0
2 0
t
c
t
c
M
T T T
D
M
T T T
D
= + +
= + −
(5.8)
dove D e Mt sono rispettivamente il diametro della puleggia e il momento torcente da essa trasmesso e
c
T la tensione dovuto alla forza centrifuga. Indicato con α l’angolo di avvolgimento sulla puleggia
minore, il tiro di cinghia minimo necessario per trasferire il momento torcente Mt vale:
( )
( )
0
exp 1
2
2
exp 1
t
f
M
T
D f
α
α
+
=
−
(5.9)
Infatti
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1 2
0 1 2
1 2 0
1 2 1 2 1 2
0
1 2 1 2 1 2
0
2
2 2
2 2
2 1
2
2 1
exp 1
2
2
exp 1
t
c
c
c c c c c
t c c c c
t
M
T T
T T T T
D
T T T T
T T T T T T T T T T T
T
M D T T T T T T T T T T
f
M
T
D f
α
α

− =

→ = + −

 + = +

+ − − + − − − +
= = =
− − − − − − −
+
=
−
Sostituendo la(5.9) nelle (5.8) si ottengono le espressioni delle tensioni nei due rami di cinghia in
funzione di Tc, di T0 e di α che di seguito sono rappresentate graficamente.
( )
( ) ( )
1 0 2 0
exp 1
2 2
exp 1 exp 1
c c
f
T T T T T T
f f
α
α α
= + = +
+ +
(5.10)

54
Con riferimento alla figura precedentemente riportata, consideriamo una trasmissione funzionante a
velocità trascurabile e tesa, inizialmente, con un tiro tale da indurre le tensioni rappresentate dai pallini
bianchi: il momento torcente trasmesso è proporzionale ovviamente alla differenza tra le tensioni T1 e
T2.
Immaginiamo ora che la trasmissione raggiunga una velocità tale indurre un aumento di tensione nei
due rami pari a Tc: in questa situazione le tensioni dei rami di cinghia sono individuate dai pallini verdi
giacenti sulle corrispondenti rette: il momento torcente trasmesso e l’angolo si scorrimento non
cambiano, ma le tensioni nei due rami di cinghia sono aumentate.
Volendo mantenere la tensioni statica massima pari alla tensione dinamica massima, dovremo diminuire
il pretensionamento in modo tale che le tensioni dinamiche dei due rami di cinghia siano individuate dai
rispettivi pallini arancio: in questa situazione tuttavia il momento torcente trasmesso è minore.
Per quanto riguarda i valori correnti del pretensionamento ricordiamo che, in prima approssimazione,
considerando i due rami di cinghia quasi paralleli, può porsi:
( )
( )
0
0
2
2 4 5 cinghie piatte
2
2 1.2 1.5 cinghie trapezoidali
t
t
M
T
D
M
T
D

= ÷



 = ÷


(5.11)
Come garantire i pretensionamento
Il pretensionamento della cinghia, indispensabile per consentire la trasmissione di potenza, può essere
effettuato sostanzialmente in quattro modi
1. montaggio forzato: si sfrutta l’elasticità dell’elemento flessibile;
2. uso di un rullo tenditore;
3. uso di una puleggia oscillante;
4. uso di una puleggia traslante.
Sollecitazione sulle cinghie
Le cinghie sono sottoposte a due sollecitazioni
1. sollecitazione di trazione dovuta alla forza T
2. sollecitazione di avvolgimento (momento flettente) dovuta appunto all’avvolgimento della
cinghia sulla puleggia
La forza T , indicata con A la sezione trasversale della cinghia, genera una tensione di trazione pari a:
t
T
A
σ = (5.12)
La massima sollecitazione di trazione si nel tratto di cinghia in cui ovviamente 1
T T
=
La tensione di avvolgimento si ricava facilmente ricordando che la relazione tra il raggio di curvatura
della deformata e il rispettivo momento flettente vale:

1 M
r EJ
=
dove al solito E è il modulo di elasticità normale e
trasversale.
Dalla (5.13) si ottiene:
f
f f
EJ M EJ
M
r W r W
σ
= → = =
⋅
Il raggio di avvolgimento r, indicato con
cinghia, vale:
1 2
r r s
= +
sostituendo nella (5.14) si ottiene:
1 1
2
2
f
E s E s
r s d s
σ
⋅ ⋅
= =
+ +
Il tratto di maggior sollecitazione della cinghia è pertanto il tratto, sottoposto a
puleggia minore.
Determinazione della lunghezza teorica di cinghia
La lunghezza L di una cinghia che si avvolge su due pulegge di diametro
( ) ( )
2 2 2 cos
2 2
D d
L I
π γ π γ γ
= + + − +
1
sin sin
R R
I I
γ γ −
∆ ∆
   
= → =
   
   
Cerchiamo ora una espressione della lunghezza della cinghia che,
maneggevole.
Tenuto presente lo sviluppo in serie di Taylor di
1
Ai fini della sollecitazione di flessione si è considerata soltanto la puleggia minore in quanto, avente il diametro
minore, induce il momento flettente maggiore.
55
è il modulo di elasticità normale e J il momento quadratico di superficie della sezione
f f
EJ M EJ
indicato con r1 il raggio della puleggia minore1
e con
si ottiene:
Il tratto di maggior sollecitazione della cinghia è pertanto il tratto, sottoposto a T
Determinazione della lunghezza teorica di cinghia
di una cinghia che si avvolge su due pulegge di diametro D e d aventi interasse
2 2 2 cos
L I
π γ π γ γ
= + + − +
R R
I I
∆ ∆
   
   
   
Cerchiamo ora una espressione della lunghezza della cinghia che, seppur approssimata, è più
Tenuto presente lo sviluppo in serie di Taylor di sin x
minore, induce il momento flettente maggiore.
(5.13)
il momento quadratico di superficie della sezione
(5.14)
e con s lo spessore della
(5.15)
T1, e che si avvolge sulla
aventi interasse I vale:
(5.16)
seppur approssimata, è più

56
3 5
sin .... sin
3! 5! ! 2
n
x x x n
x x
n
π
= − + + +
ed arrestando lo sviluppo al primo termine, si ha:
2
D d
I
γ
−
≅ (5.17)
Sostituendo la (5.17) nella (5.16) e tenuto presente lo sviluppo in serie di cosx arrestato al secondo
termine1
, si ha:
( ) ( )
2 2
2
2 2
2 2 4 2
D d D d
D d
L I I
I I
π
− −
+
≅ + + −
⋅
( )
2
2
2 4
D d
D d
L I
I
π
−
+
≅ + + (5.18)
Questa è l’espressione della lunghezza approssimata della cinghia che viene normalmente riportata sui
cataloghi delle ditte costruttrici.
La velocità ottima
Si definisce ottima la velocità di una trasmissione, la velocità a cui corrisponde, a parità di potenza
trasmessa e di ogni altra condizione, la minima sezione trasversale A di cinghia.
In condizione di incipiente slittamento, indicato con α l’angolo di avvolgimento sulla puleggia minore e
con m la massa per unità di lunghezza della cinghia, si ha:
( )
( )
1 2
2
1
2
2
2
exp
t
D
T T M
T mv
f
T mv
α

− =



−
 =
 −

( )
( )
( )
( )
2
2 1
1
exp
2
exp exp 1
2
exp 1
t
t
amm amm
f
M
mv
f D f
M T
T mv A
D f
α
α α
α σ σ
+
−
= + → = =
−
Moltiplicando e dividendo per v, indicando con N la potenza trasmessa, si ha:
( )
( )
( )
( )
2 3
exp exp
2
exp 1 exp 1
t
amm amm
f f
M
mv N mv
D f f
v
A
v v
α α
α α
σ σ
+ +
− −
= =
La massa della cinghia per unità di lunghezza è ovviamente funzione della sezione trasversale. Posto
pertanto K m A
= , si ottiene:
( )
( )
3
exp
exp 1
amm amm
f
N KAv
A
v f v
α
σ α σ
= +
+
( )
( )
2
exp
exp 1
amm amm
f
KAv N
A
v f
α
σ σ α
− =
+
1
2 4
cos 1 ..... cos
2! 4! ! !
n
x x x n
x
n n
π
= − + + +

57
( )
( )
2
2
exp
1
exp 1
amm
amm amm amm
f
Kv
Kv N
A A
v f
α
σ
σ σ σ α
   
−
− = =
   
+
   
( )
( ) ( )
2
exp
exp 1
amm
amm amm
f
N
A
v f Kv
α σ
σ α σ
=
+ −
posto
( )
( )
exp
exp 1
f N
C
f
α
α
=
+
si ha:
( )
2
amm
C
A
v Kv
σ
=
−
( ) ( )
2
2
3 3
3
amm
amm amm
C Kv C
d d C
A
dv dv v Kv v Kv
σ
σ σ
− +
= =
− −
La derivata si annulla pertanto per:
3
amm
v
K
σ
= (5.19)
La (5.19) fornisce pertanto la velocità ottima, ossia quella velocità che a parità di ogni altra condizione
rende minima1
la sezione trasversale della cinghia.
Normalmente ( )
2
0.1 /
K kg m mm
≅ ⋅ e ( ) 2
2.5 3 /
amm N mm
σ ≅ ÷ per cui la velocità ottima si aggira sui
25-30 m/s. E’ buona norma pertanto raggiungere velocità elevate adottando per le pulegge i massimi
diametri compatibili con le esigenze di installazione.
1
La (5.19) esprime una condizione di minimo. Infatti:
0 3
0 3
0 3
amm
amm
amm
v K
dA
v K
dv
v K
σ
σ
σ
< <


= =


> >



Esempio 5.1
A pulley of 150 mm effective diameter running at 1500 rev/min drives a follower of 750 mm diameter,
the two shafts being parallel, 1 m apart, and the free parts of the belt considered straight. The belt has a
mass m of 0.4 kg/m and the maximum tension is to be 720 N.
0.4, estimate the maximum tension differences allowing for the inertia of the belt. If the belt has a cross
sectional area A of 320 mm2
and
at the maximum condition and the power transmitted to it.
Dalla figura sopra riportata si ricava facilmente che:
0.375 0.075
cos 0.3 1.266
2 1 2
θ θ
−
= ≅ → ≅
L’angolo di avvolgimento sulla puleggia minore vale:
2.532 rad
θ ≅
La velocità della cinghia, supposta
2 750 2
1500 0.750 11.78 /
60 1000 60
n
v m s
π π
= = ⋅ ≅
La tensione della cinghia, dovuto all’effetto centrifugo vale:
2 2
0.4 11.78 55.6
c
T mv N
= = ⋅ ≅
Pertanto nelle condizioni limite deve valere la seguente equazione:
( ) (
2
720 55.6
exp exp 0.4 2.532 2.754 296.8
55.6
f T N
T
θ
−
= = ⋅ ≅ → ≅
−
da cui
1 2 720 296.8 423.3
T T N
− ≅ − ≅
Dalla (5.5) si ha immediatamente
2 6 6
423.2
11.78 1 11.728 /
320 10 300 10
v m s
−
 
≅ − ≅
 
⋅ ⋅ ⋅
 
La velocità angolare della puleggia condotta vale:
2
2
2
60
298.6 rpm
2
v
n
r π
= ≅
E la potenza trasmessa alla puleggia condotta vale:
( )
2 1 2 423.3 11.728 4963
P T T v W
= − ⋅ ≅ ⋅ ≅
58
150 mm effective diameter running at 1500 rev/min drives a follower of 750 mm diameter,
of 0.4 kg/m and the maximum tension is to be 720 N. If the coefficient of friction
and E for the material is 300 MN/mm2
, estimate the speed of driven pulley
t the maximum condition and the power transmitted to it.
Dalla figura sopra riportata si ricava facilmente che:
cos 0.3 1.266
2 1 2
rad
θ θ
= ≅ → ≅
L’angolo di avvolgimento sulla puleggia minore vale:
La velocità della cinghia, supposta indeformabile, vale:
1500 0.750 11.78 /
v m s
= = ⋅ ≅
La tensione della cinghia, dovuto all’effetto centrifugo vale:
0.4 11.78 55.6
T mv N
Pertanto nelle condizioni limite deve valere la seguente equazione:
) 2
exp exp 0.4 2.532 2.754 296.8
f T N
= = ⋅ ≅ → ≅
720 296.8 423.3
T T N
si ha immediatamente
6 6
11.78 1 11.728 /
320 10 300 10
v m s
 
≅ − ≅
 
⋅ ⋅ ⋅
 
La velocità angolare della puleggia condotta vale:
E la potenza trasmessa alla puleggia condotta vale:
423.3 11.728 4963
P T T v W
= − ⋅ ≅ ⋅ ≅
150 mm effective diameter running at 1500 rev/min drives a follower of 750 mm diameter,
If the coefficient of friction f is equal to
, estimate the speed of driven pulley

59
5.1. Il dimensionamento a catalogo di una trasmissione a cinghie trapezoidali
Il dimensionamento di una trasmissione a cinghie trapezoidali si conduce rapidamente seguendo le
indicazione delle ditte produttrici che, a loro volta, fanno riferimento alle norme UNI 5789-5790.
V velocità periferica della cinghia
dp diametro primitivo della puleggia minore
Dp diametro primitivo della puleggia maggiore
K rapporto di trasmissione p p
K D d
=
I Interasse
Lp Lunghezza primitiva della cinghia
( )
2
2 1.57 ( )
4
p p
p p p
D d
L I D d
I
−
= + ⋅ + +
α Ampiezza dell'arco di contatto sulla puleggia minore
180 57
p p
D d
I
α
−
= − ⋅
Il fattore di servizio
Il fattore di servizio Fs è un coefficiente che, tenuto conto delle condizioni di carico, aumenta
opportunamente la potenza che teoricamente dovrebbe essere trasmessa.
I valori di Fs vengono stimati secondo le seguenti indicazioni
Determinazione
del fattore di
servizio Fs
Motore a
coppia di
spunto normale
Motore a
coppia di
spunto elevata
ore di servizio 10 16 >16 10 16 >16
Carico uniforme 1.0 1.1 1.2 1.1 1.2 1.3
medio 1.1 1.2 1.3 1.2 1.3 1.4
pesante 1.2 1.3 1.4 1.4 1.5 1.6
extra pesante 1.3 1.4 1.5 1.5 1.6 1.8
Potenza di calcolo
La potenza di calcolo PC si ottiene dalla potenza nominale PN dalla seguente relazione:
C N S
P P F
= ⋅

60
Scelta della sezione di cinghia
La sezione appropriata di cinghia si sceglie in base alla velocità della puleggia minore e della
potenza di calcolo
Le cinghie trapezoidali sono costitute da:
(1) un involucro in tessuto gommato resistente
all’usura;
(2) un nucleo centrale in fibre sintetiche,
resistente
allo sforzo di trazione;
(3) strati in gomma elastica, soggetti a trazione e
compressione, che trattengono il nucleo
Dimensioni delle cinghie trapezoidali /(mm) UNI 5265
Sezione Y Z A B C D E
Larghezza di riferimento Wd 5.3 8.5 11 14 19 27 32
Larghezza nominale W 6 10 13 17 22 32 38
Altezza nominale T 4 6 8 11 14 19 25

61

62
Il diametro di riferimento equivalente
Si definisce come tale e si indica con de il diametro di riferimento delle due pulegge di una
trasmissione con rapporto di trasmissione K=1, equivalente, agli effetti della fatica per flessione
della cinghia, alla trasmissione data di uguale interasse. Il valore di de si ottiene moltiplicando il
diametro di riferimento della puleggia minore dp per un fattore di correzione Fb, variabile con il
rapporto di trasmissione K
Potenza nominale trasmissibile da una cinghia
La potenza nominale p1 trasmissibile è quella trasmissibile da una cinghia con angolo di
avvolgimento sulla puleggia pari a 180
α = ° . La potenza p1 dipende dal diametro di riferimento
de, dalla velocità periferica V della cinghia e dal tipo di sezione secondo quanto di seguito
specificato.
0.09 4 2
1
0.09 4 2
1
0.09 4 2
1
0.09 4 2
1
0.09 4 2
1
1
7.35
(0.25 0.47 10 )
19.61
(0.45 0.76 10 )
51.3
(0.79 1.31 10 )
143.2
(1.48 2.34 10 )
507.2
(3.15 4.76 10 )
(4.57
e
e
e
e
e
Z p V V V
d
A p V V V
d
B p V V V
d
C p V V V
d
D p V V V
d
E p V
− −
− −
− −
− −
− −
−
⇒ = − − ⋅
⇒ = − − ⋅
⇒ = − − ⋅
⇒ = − − ⋅
⇒ = − − ⋅
⇒ = 0.09 4 2
951.1
7.05 10 )
e
V V
d
−
− − ⋅
V [m/s]; de [mm]; p1 [kW]
Potenza effettiva trasmissibile da una cinghia
La potenza effettiva p, che una cinghia può trasmettere, si ottiene moltiplicando p1 per:
1. un coefficiente Fα di correzione che tiene conto dell'ampiezza α dell'arco di contatto fra
cinghia e puleggia minore e che si ottiene dalla tabella di seguito riportata
Coefficiente di correzione Fα
α 180° 170° 160° 150° 140° 130° 120° 110° 100° 90°
Fα 1.00 0.98 0.95 0.92 0.89 0.86 0.82 0.78 0.74 0.69
2. un coefficiente di correzione Fe, che tiene conto, a parità di altre condizioni, della
frequenza di flessione della cinghia e che si ricava dal diagramma di seguito riportato:
1 e
p p F F
α
= ⋅ ⋅

63

64
Esempi di rappresentazione di alcune pulegge per cinghie trapezoidali

65
5.1.1. Calcolo della cinghia passo passo
Dati: Potenza, frequenza di rotazione, rapporto di trasmissione (Dp/dp), tipo di utilizzo.
1. Fissato il fattore di servizio, si determina la potenza di calcolo.
2. Noti il numero di giri della puleggia minore e la potenza di calcolo si sceglie la sezione
appropriata di cinghia (A, B, C….)
3. Si stabilisce il diametro primitivo della puleggia minore (consultare la tabella riportante i
diametri minimi)
4. Se l’interasse Ia non è assegnato lo si determini, in prima approssimazione con una delle
seguenti relazioni
p p
p p
se D 3d
2
se D > 3d
p p
a p
a p
D d
I d
I D
−
= + <
=
5. Si determina la lunghezza della cinghia Lp
6. Si sceglie la lunghezza disponibile Ld più vicina a quella determinata al punto precedente
7. Si calcola l’interasse corretto IC con una delle seguenti relazioni :
se
2
se
2
p d
C a p d
d p
C a p d
L L
I I L L
L L
I I L L
−
= − >
−
= + <
8. Noto il rapporto di trasmissione si determina il fattore Fb e il diametro primitivo equivalente de
9. Note la sezione di cinghia (A, B, C….) e la sua lunghezza si determina il fattore Fe
10. Si calcola la velocità della cinghia
11. Con la velocità della cinghia, la sua sezione e il diametro primitivo equivalente si determina la
potenza nominale p1 trasmissibile da una cinghia
12. In base all’angolo di avvolgimento sulla puleggia minore si determina il fattore Fα
13. La potenza effettiva p trasmissibile da una cinghia sarà:
1 e
p p F Fα
= ⋅ ⋅
14. Si determina infine il numero di cinghie rapportando la potenza di calcolo alla potenza p
determinata al punto precedente. Il numero di cinghie deve essere approssimato all’intero più
vicino in difetto o in eccesso
Determinazione del tiro di cinghia
Sia Mt il momento torcente trasmesso da una puleggia con raggio pari a R. Il tiro totale F agente sulla
puleggia per effetto del pretensionamento della cinghia può essere posto pari a :
2
(4 5) per cinghie piatte
2
(1.2 1.5) per cinghie trapezoidali
t
p
t
p
M
F
D
M
F
D
= −
= −

66
Esempio 5.1.1.1
Si progetti una trasmissione a cinghie trapezoidali che collega un motore elettrico da 3.5 kW, ruotante a
1500 rpm, ad un albero di una macchina utensile ruotante a 1200 rpm.
Si determina il fattore di sevizio Fs nell’ipotesi di un servizio giornaliero pari a 8h.
Dalla tabella si ricava 1.3
S
F =
La potenza di calcolo è pertanto pari a:
1.3 3.5 4.55 kW
C S N
P F P
= ⋅ = ⋅ =
Nota la potenza di calcolo e la frequenza di rotazione della puleggia minore (1500 rpm) si determina la
sezione di cinghia. Sezione appropriata: sez. A
Si determina il rapporto K tra i diametri delle pulegge
1500 1200 1.25
K = =
Si sceglie il diametro della puleggia minore. Per una sezione di cinghia tipo A, il diametro minimo
risulta 90 mm. Riteniamo, per ragioni di ingombro e di efficienza, di adottare una puleggia minore di
diametro 140 mm. Il diametro della puleggia maggiore risulta pertanto1
:
175 mm
p p
D K d
= ⋅ =
Si determina l’interasse approssimato2
Ia:
297.5 mm
2
p p
a p
D d
I d
+
= + =
In base all’interasse approssimato determinato al punto precedente, noti i diametri delle pulegge, si
determina la lunghezza teorica della cinghia:
( )
( )
2
2 1090.8 mm
2 4
p p
a p p
a
D d
L I D d
I
π +
≅ + + + =
La lunghezza di cinghia unificata più vicina al valore trovato risulta:
1100 mm
d
L =
In base al valore della lunghezza di cinghia disponibile si calcola l’interasse corretto:
302 mm
2
p
C a
L L
I I
−
≅ + ≅
Si calcola il diametro di riferimento equivalente della puleggia minore:
( ) 140 1.08 151.2 mm
e p b
d d F K
= ⋅ ≅ ⋅ ≅
Con la velocità della cinghia, la sua sezione e il diametro primitivo equivalente si determina la potenza
nominale p1 trasmissibile da una cinghia:
2 2 1500 140
11 m/s
60 2 60 2000
n d
V
π π
⋅ ⋅
= = ≅
0.09 4 2
1
19.61
(0.45 0.76 10 ) 2.46 kW
e
A p V V V
d
− −
⇒ = − − ⋅ ≅
1
La puleggia di diametro 175, in base alla nostra tabella non risulta unificata. Possiamo pertanto scegliere una
puleggia da 180 mm rinunciando al vincolo imposto sulla frequenza di rotazione della puleggia condotta (1200
rpm), oppure optare per una puleggia da 175 mm con un prevedile aggravio dei costi di produzione.
2
Ovviamente solo nel caso in cui l’interasse non sia imposto.

67
Si calcola l’angolo α di avvolgimento sulla puleggia di diametro minore:
-1
180 2 173 =sin 3.32
2
p p
C
D d
I
α γ γ
−
 
= − ≅ ° ≅ °
 
 
Si calcola la potenza effettiva trasmissibile da una cinghia:
1 2.46 0.98 09 2.17 kW
e
p p F F
α
= ⋅ ⋅ ≅ ⋅ ⋅ ≅
Si determina infine il numero di cinghie della trasmissione
4.55
2
2.17
C
c
P
Z
p
= ≅ ≅
La trasmissione verrà pertanto realizzata con due cinghie tipo A.
Una volta definita la trasmissione, possiamo determinare il tiro di cinghia 0
T a riposo e le tensioni nei
due rami a regime 1
T e 2
T .
Le tensioni a riposo e a regime, ritenuta trascurabile l’effetto della forza centrifuga, sono legate dalle
seguenti relazioni:
( )
1 2
1 2 0
2
2
p
t
d
T T M
T T T

− =


 + =

Facendo affidamento su un coefficiente d’attrito f tra cinghia e puleggia pari a 0.5, e fissando un angolo
θ di creep, pari per ragioni di sicurezza all’90% dell’angolo di avvolgimento α sulla puleggia minore,
si ha:
( )
1 1
2 2
173
exp exp 0.5 0.9 3.89
180
T T
f
T T
π
θ
⋅
 
= ⋅ → = ⋅ ≅
 
 
( )
1 2 2 2
2 3.5 1000 60 1000
2.89 110 N
2 140 2 1500
p
t
d
T T M T T
π
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
− = → = → ≅
⋅ ⋅ ⋅
1 2
3.89 428 N
T T
= =
La tensione di cinghia a riposo vale:
1 2
0 269 N
2
T T
T
+
= ≅
La forza che si scarica sui cuscinetti dell’albero per effetto del tiro di cinghia vale:
0
2 538 N
T =
Bibliografia
Caligaris L et al. Manuale di Meccanica Hoepli
Giovannozzi R Costruzione di macchine (vol.1) Patron
Hannah J Mechanics of machines (advanced theory and examples) Arnold
Ottani M. Corso di Meccanica (vol.3) Cedam
Shigley JE Progetto e costruzione di macchine McGraw-Hill

68
6. RUOTE DENTATE E RUOTISMI
Prime definizioni e classificazioni
Ruota dentata: ruota munita di denti destinata a trascinarne un’altra o a essere trascinata mediante
scambio di forze periferiche.
Tipi di ruote dentate
Ruote dentate cilindriche a denti diritti: hanno i
denti paralleli all’asse di rotazione e sono
utilizzate per la trasmissione del moto tra assi
paralleli
Ruote dentate cilindriche a denti elicoidali: hanno
i denti inclinati rispetto all’asse di rotazione.
Possono essere utilizzate per la trasmissione del
moto sia fra assi paralleli sia fra assi sghembi.
Le ruote dentate coniche: hanno i denti ottenuti su superficie coniche. Si distinguono:
• ruote dentate coniche a denti diritti: sono usate per trasmette il moto tra assi concorrenti.
• ruote coniche a denti obliqui: sono anch’esse usate per trasmetter il moto tra assi concorrenti
• ruote ipoidi: le superficie primitive sono iperbolidi di rotazione. Sono utilizzate per trasmettere
il moto tra assi sghembi. Viene impiegata per piccoli scostamenti assiali
Viti senza fine e ruote per viti senza fine: sono
utilizzati per trasmettere il moto tra assi sghembi
ortogonali fra loro

69
Ingranaggio: meccanismo elementare costituito da due ruote dentate fra loro ingrananti
Ingranaggi: sono costituti da coppie di ruote munite di denti che ingranano tra loro.
Pignone o rocchetto: è la ruota di un ingranaggio con il numero di denti minore 1
z
Ruota: è la ruota di un ingranaggio che ha il numero di denti maggiore 2
z
Rapporto di ingranaggio u: rapporto tra il numero di denti della ruota e quello del pignone. Il rapporto
di ingranaggio è sempre maggiore o uguale ad uno.
Rapporto di trasmissione i: è il rapporto tra le velocità angolari della prima ruota motrice di un
ruotismo e quella dell’ultima ruota condotta.
Diametro primitivo di funzionamento: diametro del cilindro corrispondente a ruote di frizione che
trasmettono il moto con uguale rapporto di trasmissione
Diametro primitivo di riferimento: è il diametro del cilindro convenzionale in riferimento al quale sono
definite le dimensioni della dentatura di una ruota considerata isolatamente e vale z volte il modulo (z
numero di denti della ruota)
Con riferimento ad una dentatura ad evolvente di cerchio è ben evidente che al variare dell’interasse,
pur variando i diametri primitivi di funzionamento, il loro rapporto di mantiene costante1
assicurando
l’invariabilità del rapporto di trasmissione
1
il rapporto dei diametri primitivi, in ogni condizione di funzionamento, risulta sempre pari, in una dentatura ad
evolvente, al rapporto tra i diametri delle circonferenze (circonferenze di base) sulle le quali si sono realizzate le
evolventi dei fianchi dei denti. Poiché i diametri di base, che rappresentano una caratteristica fisica delle ruota
indipendente cioè dalle modalità di funzionamento, sono immutabili, è immediato riconoscere che anche il
rapporto di trasmissione rimane costante.

Costruzione macchine vol1

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Costruzione macchine vol1

Similar to Costruzione macchine vol1 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (7)

Costruzione macchine vol1