Cinematica

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Lezione di Fisica del professor Germano Grasso

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Cinematica

  1. 1. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino1CINEMATICA
  2. 2. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino2LA CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDO 1Le grandezze tipiche della cinematica 2La traiettoria 3I sistemi di riferimento 3Il vettore posizione 3Esempio applicativo 4Il vettore spostamento 8Calcolo del vettore spostamento 10Il vettore velocità media 13Il vettore velocità istantanea 13Componenti del vettore velocità 14I grafici del moto 16Il diagramma spazio-tempo 17Il diagramma velocità-tempo 19Il diagramma accelerazione-tempo 21I tipi fondamentali di movimento 22MOVIMENTI SU UNA LINEA RETTA 23Moto rettilineo uniforme 23Le leggi del moto uniforme 25La legge fondamentale – il calcolo della velocità 25Il diagramma velocità-tempo 26Il diagramma velocità-tempo e lo spazio percorso 28Il calcolo dello spazio 30Diagramma spazio-tempo 30La rappresentazione grafica della legge per il calcolo dello spazio 30L’accelerazione nel moto rettilineo uniforme 31Riepilogo delle leggi del moto uniforme 32Riepilogo dei diagrammi tipici del moto uniforme 32ESERCIZI 33Moto rettilineo non uniforme – moto vario 44Il diagramma spazio-tempo e la velocità media 44Esempio 46Il diagramma spazio-tempo e la velocità istantanea 47Riepilogo leggi moto vario 49ESERCIZI 50Moto rettilineo uniformemente accelerato 54Le leggi del moto uniformemente accelerato 56La legge fondamentale – il calcolo dell’accelerazione 56Il diagramma accelerazione – tempo 58Il diagramma accelerazione – tempo e la velocità finale 58La legge per il calcolo della velocità finale o iniziale 60Il diagramma velocità – tempo 61Il diagramma velocità – tempo e lo spazio percorso 64Il diagramma spazio – tempo 66
  3. 3. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino3Tabella di riepilogo delle leggi 68Tabella di riepilogo dei diagrammi tipici 69ESERCIZI 71Moto rettilineo naturalmente e uniformemente accelerato 87Riepilogo delle leggi del moto naturalmente accelerato 88ESERCIZI 89MOTO CURVILINEO 91Retta tangente a una curva 91Il centro e il raggio di curvatura 93La velocità istantanea tangenziale 95L’accelerazione centripeta istantanea 98Calcolo dell’accelerazione centripeta 99Calcolo del modulo dell’accelerazione centripeta 100L’accelerazione tangenziale istantanea 104Calcolo dell’accelerazione tangenziale istantanea 106IL MOTO CIRCOLARE UNIFORME 111Rappresentazione della circonferenza 112Rappresentazione cartesiana con centro nell’origine 112Rappresentazione cartesiana con centro spostato rispetto all’origine 113Relazioni tra angoli ed archi in una circonferenza 115Uso delle relazioni 117Relazioni tra angolo al centro e corda 118La rappresentazione del cerchio con le formule goniometriche 120Il moto circolare uniforme – grandezze tipiche del moto 121Periodo di rotazione 121Frequenza 122Relazione tra periodo e frequenza 122ESEMPIO 123La velocità tangenziale 124Calcolo della velocità tangenziale scalare 125ESEMPIO 126La rappresentazione grafica del vettore velocità 126Il vettore velocità angolare 127L’angolo percorso dal raggio vettore 128ESEMPIO 129Una nuova definizione della velocità tangenziale 130L’accelerazione centripeta 130TABELLA riepilogo delle leggi del moto circolare uniforme 133TABELLA con le formule inverse 134ESERCIZI 135
  4. 4. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino4IL MOTO ROTATORIO DEL CORPO RIGIDO 151Il moto rotatorio uniforme 152Il moto rotatorio uniformemente accelerato 156Applicazione del teorema dell’energia cinetica al corpo in rotazione 162IL MOTO PERIODICO O OSCILLATORIO 166Il pendolo 166Il pendolo semplice 167Analisi dinamica del moto oscillatorio del pendolo a filo 169Il pendolo a molla 175Analisi dinamica del moto oscillatorio del pendolo a molla 177Il pendolo composto o pendolo reale 179Analisi dinamica del moto oscillatorio del pendolo composto 180Il pendolo a torsione 185IL MOTO ARMONICO 187La posizione del corpo in moto armonico 190ESEMPIO 191ESEMPIO 193Diagramma sinusoidale posizione-tempo o posizione-angolo 195Diagramma spazio percorso – tempo 200Il diagramma velocità – tempo nel moto armonico 209Il diagramma accelerazione tempo nel moto armonico 214La fase del moto armonico semplice 218La pulsazione naturale dell’oscillatore libero 222Le oscillazioni forzate e smorzate 224La forza di smorzamento 225Analisi dinamica del moto armonico smorzato 226Riepilogo leggi del moto armonico 233
  5. 5. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino5LA CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOCon il termine CINEMATICA s’intende quella parte della Fisica che si occupa di studiare ilmovimento del punto o del corpo rigido senza dover, in alcun modo, occuparsi delle cause chehanno provocato il tipo di movimento in esame.Ad esempio, quando si studia con la CINEMATICA, il movimento di un oggetto in caduta liberanel vuoto o nell’atmosfera terrestre, non si prendono in considerazione le cause che provocano taletipo di movimento.Lo studio del movimento e delle cause che lo provocano sono affidate ad un’altra parte della Fisicache è definita DINAMICA e che costituisce, evidentemente, uno strumento d’indagine più raffinatodella CINEMATICA.Allo scopo di permettere l’indagine scientifica del movimento sarà necessario definire l’oggetto chesi muove nel modo più semplice possibile ed è così che nasce la teoria della cinematica del punto odel corpo rigido.Nel primo caso, ogni oggetto, di qualsiasi forma e dimensione, è teoricamente assimilato ad unpunto, in pratica ad un’entità geometrica priva di dimensioni e di altre caratteristiche fisiche.Nel secondo, l’oggetto è assimilato ad una serie di punti geometrici rigidamente collegati le cuidistanze si mantengono inalterate durante il movimento.In pratica tutti i punti appartenenti ad un corpo rigido sono dotati dello stesso tipo di movimento;ognuno percorre una traiettoria diversa ma tutte le traiettorie sono parallele tra loro.La semplificazione che si ottiene con la CINEMATICA del punto, è quindi evidente: lo studio delmovimento può essere concentrato su una sola traiettoria che sarà così rappresentata dallasuccessione dei luoghi geometrici occupati, nel tempo, dal punto che si muove.Vedremo che una traiettoria può essere considerata essenzialmente di due tipi: Traiettoria rettilinea quando il punto o il corpo che si muove occupa, nel tempo, luoghigeometrici appartenenti ad una retta. Traiettoria curvilinea quando il punto o il corpo che si muove occupa, nel tempo, luoghigeometrici appartenenti a una linea curvaSi parlerà, di conseguenza, di MOVIMENTO RETTILINEO o moto rettilineo nel primo caso, dimoto curvilineo nel secondo.Ad esempio, la caduta di un corpo verso terra, può avvenire sia su una traiettoria rettilinea (se ilcorpo è inizialmente fermo ed è abbandonato a sé stesso e alla forza di gravità terrestre) oppure suuna traiettoria curva a forma di parabola se il corpo viene lanciato ad una certa velocità (moto di unproiettile, di una freccia, di un pallone ecc.).Tutte le traiettorie poi, potranno essere contenute in un unico piano (traiettorie bidimensionali)oppure nello spazio (tridimensionali).Per descrivere graficamente o analiticamente una traiettoria bidimensionale si utilizzerà il solitosistema d’assi cartesiani limitatamente all’asse X e Y (oppure un sistema di riferimento polarebidimensionale); per una traiettoria tridimensionale occorrerà un sistema di riferimento dotato di treassi ortogonali (asse X, asse Y, asse Z).Con il sistema di riferimento cartesiano ogni punto appartenente alla traiettoria sarà cosìcaratterizzato da due o tre coordinate cartesiane (X,Y oppure X,Y,Z) ognuna delle qualirappresenterà una distanza dall’origine; con il sistema di riferimento polare (di solito utilizzato perla navigazione) i punti della traiettoria saranno caratterizzati da una distanza dal punto d’origine eda uno o due angoli (per un punto situato sulla superficie terrestre dovremo conoscere la suadistanza dal centro della Terra, l’angolo di latitudine e l’angolo di longitudine).Se la traiettoria del punto o del corpo rigido è conosciuta, ad esempio per mezzo di un sistema diriferimento cartesiano ove saranno disegnati i vari punti singoli della curva, sarà possibileconoscere, in ogni momento, quale sarà la direzione dello spostamento nel momento successivo equal è stata nell’istante precedente.
  6. 6. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino6Infine, per terminare, utilizzando le regole matematiche, sarà di solito possibile descrivere letraiettorie reali con funzioni delle due coordinate X e Y.LE GRANDEZZE TIPICHE DELLA CINEMATICALo studio del moto per mezzo della cinematica coinvolge solo alcune delle grandezze fisichedescritte nelle pagine precedenti.Essenzialmente le grandezze sono le seguenti:o Spazio -- (inteso come lunghezza di un segmento che collega due punti successivi)Solitamente si utilizzerà il simbolo (S) e il metro come unità di misura (multipli esottomultipli)o TempoSarà di solito utilizzato il simbolo (t) e il secondo come unità di misurao VelocitàIl simbolo sarà (v) e l’unità di misura i metri al secondo (m/s)o AccelerazioneSimbolo (a) e l’unità di misura i metri al secondo quadrato (m/s2)In particolare, per lo studio del moto curvilineo circolare, saranno coinvolte anche altre grandezzepiù specificamente indicate per la descrizione di questo tipo di moto.Tra queste:o Periodo di rotazione o tempo d’oscillazioneCaratteristico del moto circolare e di tutti i moti oscillatori (pendolo, vibrazioni, forzeelastiche), il periodo è comunque una grandezza tempo e, come tale, verrà misurato insecondi.Il simbolo che si utilizzerà è (T)o Frequenza di rotazione o d’oscillazioneSimbolo (f) e unità di misura i “secondi alla meno uno” (s-1) o l’HERTZ (Hz).Si utilizzeranno anche i “giri al secondo” (giri/s)o Pulsazione o velocità angolareSimbolo (ω) e unità di misura “radianti al secondo” o “gradi al secondo”o Velocità periferica tangenzialeo Velocità periferica normaleo Accelerazione centripetao Accelerazione tangenzialeAlcune di queste grandezze sono di tipo scalare e saranno quindi trattate come semplici numeri conunità di misura propria, altre di tipo vettoriale – vettori a tutti gli effetti – e si dovranno utilizzare leregole per la somma, sottrazione e moltiplicazione di vettori.Tra le grandezze scalari: Tempo Periodo di rotazione Frequenza di rotazioneTutte le altre sono grandezze vettoriali e saranno contraddistinte da: direzione, verso, modulo epunto d’applicazione.
  7. 7. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino7LA TRAIETTORIA – I SISTEMI DI RIFERIMENTO – IL VETTORE POSIZIONECome si detto, le svariate posizioni che, nel tempo assume l’oggetto che si muove costituiscono unalinea continua, retta o curva, che è definita TRAIETTORIA.Essa può essere rappresentata mediante un sistema cartesiano dotato di un punto fisso di riferimentose si conoscono le svariate posizioni del punto nel tempo.Ogni punto della traiettoria sarà individuato da una coppia di coordinate X e Y se la traiettoria sisviluppa nel piano, dalla serie di coordinate X, Y e Z se nello spazio.Potremo dire che la posizione di un punto P che descrive la traiettoria è conosciuta se si conoscono,attimo per attimo, le coordinate del punto.Useremo perciò la seguente simbologia:P → P (x,y,z) nello spazioP → P (x,y) nel pianoCioè: la posizione del punto P dipende dalle sue coordinate ed è quindi una funzione di X,Y,Z.A loro volta, poi, le coordinate X,Y e Z sono dipendenti dal tempo:X = f1 (t)Y = f2 (t)Z = f3 (t)Avendo a disposizione le coordinate del punto è anche possibile calcolare la lunghezza e ladirezione angolare del segmento che unisce l’origine del sistema d’assi cartesiani con il punto sullatraiettoria.Tale segmento, orientato dal punto origine verso il punto P e inclinato di un angolo α rispettoall’asse X, è definito VETTORE POSIZIONE di P.La lunghezza e l’inclinazione del vettore posizione r varieranno continuamente in funzione dellavariazione delle coordinate.Tenendo presente il vettore r si dirà che la posizione del punto P è anche definita in funzione di r:P → P (r) Figura 1 – IL VETTORE POSIZIONE r
  8. 8. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino8ESEMPIO APPLICATIVO:Dall’alto di una collina d’altezza pari a H = 1.500 (m) rispetto al suolo, un cannone in posizione orizzontale spara unproiettile.Tenendo conto che il proiettile esce dal cannone con una velocità vx= 200 (m/s) e trascurando l’effetto d’attrito conl’aria, determinare la traiettoria mantenuta dal proiettile e la distanza a cui deve essere collocato un obiettivo a terra peressere colpito.Svolgimento:La posizione del proiettile, dopo lo sparo, dipende dal tempo trascorso.L’insieme delle varie posizioni costituirà la traiettoria del proiettile la quale inizia dalla bocca del cannone e termina sulbersaglio.Nell’insieme “tempi” sono contenuti tutti i valori compresi tra l’istante in cui il proiettile esce dalla bocca del cannone el’istante in cui cade a terra.Il valore minimo del tempo contenuto nell’insieme è naturalmente il valore zero che corrisponde all’uscita dal cannonee determina l’istante d’inizio del conteggio tempi con un cronometro.Il valore massimo del tempo, per il momento, è incognito; sarà oggetto di calcolo e può essere, simbolicamenteindicato, con tmax e corrisponde, naturalmente, al tempo impiegato dal proiettile per toccare il suolo.Il sistema di riferimento cartesiano può essere collocato con l’origine in un punto qualsiasi, quindi anche in unaposizione che corrisponde esattamente alla proiezione ortogonale sull’asse orizzontale del punto di sparo.L’asse Y corrisponde alla linea verticale condotta per il punto di sparo e l’origine sarà collocata ad una distanza di 1.500(m) verso il basso; in questo modo le coordinate del punto di sparo saranno rispettivamente:X = 0Y = + 1.500 (m)Ora dall’insieme dei tempi occorre passare agli insiemi X e Y nei quali sono contenute le coppie di coordinate che cipermetteranno di conoscere la posizione del proiettile durante il moto di caduta.Per passare dall’insieme dei tempi all’insieme di coordinate è necessario conoscere il tipo di funzione (legame) tra lavariabile indipendente “tempo” e le due variabili dipendenti “X” e “Y”.Nello schema sottostante, queste due funzioni sono indicate rispettivamente:X = f (t)Y = m (t)Ove con f e con m s’intendono due funzioni diverse tra loro.Senza entrare nel dettaglio, in quanto ciò sarà poi oggetto di studio, è abbastanza comprensibile pensare che mentre ilproiettile avanza verso l’obiettivo (moto orizzontale diretto verso coordinate X positive), subisce anche unabbassamento di quota (moto verticale diretto verso la coordinata Y di valore pari a zero) sino a toccare il suolo.Anticipando gli argomenti futuri potremo dire che: Il moto orizzontale, con l’ipotesi di trascurare l’effetto dell’attrito, sarà di tipo uniforme e quindi convelocità costante. Ciò vuol dire che il proiettile manterrà, durante tutto il moto, la stessa velocità che hanel momento in cui esce dalla bocca del cannone.Per tale tipo di movimento lo spazio percorso (in orizzontale) è uguale al prodotto della velocità (costante)per il tempo:Per cui:X = vx ∙ tLa funzione f (t) sarà quindi la seguente:f (t) = vx ∙ tPer cui il legame tra X e t è di tipo “Direttamente proporzionale”. Il moto verticale, con l’ipotesi di trascurare l’effetto dell’attrito, sarà invece di tipo accelerato con lavelocità vy che aumenta man mano che il corpo cade verso il basso (moto naturalmente accelerato dallagravità terrestre g). Vedremo che l’aumento di velocità dipende, oltre che dal tempo di caduta, anche dalvalore del campo gravitazionale. Sulla Terra il valore della costante caratteristica del campo gravitazionaleè indicato con g (accelerazione di gravità terrestre) il cui valore è, approssimativamente, g = 9,81(m/s2).Per tale tipo di movimento lo spazio percorso (in verticale) è uguale al prodotto della costante g per ilquadrato del tempo il tutto diviso per due:Per cui:Y = ½ ∙ g ∙ t2La funzione f (t) sarà quindi la seguente:m (t) = ½ ∙ g ∙ t2
  9. 9. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino9ATTENZIONE: IN QUESTO CASO, CALCOLANDO IL VALORE DI Y, NON SI OTTIENEDIRETTAMENTE LA COORDINATA VERTICALE DEI PUNTI DELLA TRAIETTORIA RISPETTOAL SISTEMA D’ASSI CARTESIANI PRINCIPALE MA L’ABBASSAMENTO DI QUOTA DELPROIETTILE RISPETTO ALLA COORDINATA VERTICALE OVE E’ POSIZIONATA LA BOCCADEL CANNONE. PER OTTENERE LA VERA COORDINATA Y DEI PUNTI DELLA TRAIETTORIASARA’ NECESSARIO, ISTANTE PER ISTANTE, FARE LA DIFFERENZA TRA LA QUOTAMASSIMA (1.500 m) E L’ABBASSAMENTO DI QUOTA Y.YTRAIETTORIA = YMAX – YVediamo ora come, in concreto, si passa dall’insieme dei tempi agli insiemi di coordinate X eYTRAIETTORIA.Immaginiamo che l’insieme dei tempi contenga dei valori compresi tra il valore zero (uscita delproiettile dalla bocca del cannone) e un valore che, arbitrariamente, consideriamo uguale a 100 s.Immaginando di incrementare il tempo di un secondo alla volta e, utilizzando le funzioni f (t) e m(t), passiamo ai valori di X e Y contenuti nei relativi insiemi.Raccogliamo i risultati in una tabella:Figura 2 – CALCOLO ANALITICO DELLA TRAIETTORIA
  10. 10. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino10Figura 3 – SCHEMA DI CALCOLO DELLA TRAIETTORIA.Siamo ora in grado di tracciare graficamente la traiettoria seguita dal proiettile utilizzando i daticontenuti nei due insiemi X e YTRAIETTORIA.Da notare che tra il 18 e il 19 secondo il proiettile ha toccato terra (si nota dal fatto che laYTRAIETTORIA è NEGATIVA cioè la coordinata Y della traiettoria è sotto il suolo e ciò naturalmentenon è possibile)Figura 4 – RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA TRAIETTORIA.
  11. 11. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino11Figura 5 – RIEPILOGO DATI ANALITICI.Vediamo ora come si passa all’insieme dei VETTORI POSIZIONE r.La direzione dei vettori posizione r è misurata dall’inclinazione d’ogni vettore posizione rispettoall’asse X positivo.Il modulo dei vettori r può essere calcolato mediante il teorema di Pitagora oppure con le regoledella goniometria:a) r = √X2+Y2α = TAN-1(Y/X)b) r = X/COS(α) α = COS-1(X/r)c) r = Y/SIN(α) α = SIN-1(Y/r)                             Figura 6 – CALCOLO ANALITICO DEL VETTORE POSIZIONE
  12. 12. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino12Figura 7 – GRAFICO DELLA TRAIETTORIA OTTENUTA CON IL VETTORE POSIZIONEIL VETTORE “SPOSTAMENTO”La traiettoria percorsa da un corpo che si muove nel piano o nello spazio è quindi definitadall’insieme dei punti occupati dal corpo nel tempo.Si è visto, in seguito, che i punti sono individuabili, rispetto ad un sistema d’assi cartesiani, con: Coordinate cartesiane (X ; Y) ( X; Y; Z) Vettore spostamento ( r ; α ) (r; α; ω)I due modi sono interdipendenti, nel senso che è possibile, conoscendone uno, passare all’altro.Vediamo ora di affrontare il problema successivo che è quello di calcolare, conoscendo latraiettoria, lo spostamento del corpo tra due istanti successivi.L’istante dal quale s’inizia a studiare lo spostamento, è, di solito, individuato con il tempo ti o“tempo iniziale” mentre lo studio dello spostamento termina con il tf o “tempo finale”.In pratica il tempo iniziale è quello indicato da un orologio nel momento in cui s’inizia acronometrare, mentre il tempo finale corrisponde a quello indicato nel momento in cui si termina ilcronometraggio.Di solito il tempo iniziale ha un valore nullo per il fatto che il cronometro è azzerato prima dellamisura e quindi la durata di un qualsiasi fenomeno corrisponde al tempo finale.Se il cronometro non è azzerato la durata del fenomeno che si osserva è uguale alla differenza tra iltempo finale e quello iniziale.A questi due istanti corrispondono due posizioni ben definite del corpo sulla sua traiettoria che sonoindividuate dai punti Pi e Pf.A loro volta i punti Pi e Pf sono individuati dalle loro coordinate o dai loro VETTORIPOSIZIONE:Pi → (Xi ; Yi ) (ri ; αi )Pf → (Xf ; Yf ) (rf ; αf )
  13. 13. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino13Se il corpo si muove su una linea retta (moto rettilineo), lo spostamento dal punto iniziale a quelloterminale, è definito dal VETTORE che unisce i due punti.Tale vettore è detto “VETTORE SPOSTAMENTO” Δr ed è rappresentato da: Lunghezza del segmento Pi Pf (modulo del vettore spostamento) Direzione (inclinazione rispetto all’asse X) Verso (dal punto iniziale a quello finale – freccia) Punto d’applicazione (per definizione nel punto iniziale del moto)Se il corpo si muove su una linea curva (moto curvilineo) il VETTORE SPOSTAMENTO Δr èdefinito come precedentemente a condizione che il punto iniziale e quello terminale NON sianotroppo distanti tra loro e che la linea curva che li collega (traiettoria reale) possa essere confusa conil segmento che li unisce (traiettoria virtuale).La curva e il segmento possono ritenersi equivalenti se hanno una lunghezza approssimativamenteuguale, se la curva è continua e il suo raggio di curvatura si mantiene costante per tutta la distanzatra il punto iniziale e finale. Il modulo del vettore spostamento o lunghezza del segmento Pi Pf può essere calcolatoutilizzando il Teorema di Pitagora (fig.70):o Δr = Pi Pf = √ ΔX + ΔYΔX = Xf – XiΔY = Yf – Yi Il verso è quello indicato dal senso dì percorrenza della traiettoria Figura 8 – VETTORE SPOSTAMENTO Δr
  14. 14. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino14CALCOLO DEL VETTORE SPOSTAMENTOIl Vettore spostamento Δr rappresenta il percorso fatto dal corpo che si sposta dal punto iniziale alpunto finale e può essere calcolato in modi diversi: Utilizzando le regole di somma e/o sottrazione vettoriale (grafici o analitici) Utilizzando le regole della goniometriaREGOLE DI SOMMA E/O SOTTRAZIONE VETTORIALE GRAFICA.Il vettore Δr è la somma vettoriale dei vettori ΔX e ΔY oppure la differenza vettoriale tra i vettorirf e ri: Δr = ΔX + ΔY Δr = rf - riPer quanto riguarda la somma è possibile utilizzare la regola del parallelogramma, mentre convieneutilizzare la regola del poligono per la differenza.Utilizzando il metodo grafico sarà poi possibile misurare l’inclinazione del vettore con ungoniometro oppure procedere al calcolo con il metodo goniometrico. Figura 9 – VETTORE SPOSTAMENTO CON SOMMA VETTORIALE GRAFICA ΔX + ΔY
  15. 15. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino15Figura 10 – VETTORE SPOSTAMENTO CON SOTTRAZIONE GRAFICA – REGOLA DEL POLIGONO.ESEMPIO APPLICATIVO:Utilizzando i dati e i grafici dell’esempio in precedenza descritto si vuole determinare gli spostamenti Δr subiti dalproiettile, mentre percorre la traiettoria di caduta.Figura 11 – SCHEMA PER IL CALCOLO DEGLI SPOSTAMENTI Δr
  16. 16. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino16Figura 12 – TABELLA DI CALCOLO DEGLI SPOSTAMENTI ΔrFigura 13 – VETTORI SPOSTAMENTOVediamo come si svolge il calcolo per uno dei punti della traiettoria:ΔX12 = X12 – X11 = 2.200 – 2.000 = 200 (m)ΔY12 = Y12 – Y11 = 906,50 – 1.009,50 = -103 (m)Δr12 = √(ΔX12)2+ (ΔY12)2= √2002+ (-103)2= 224,96 (m)α12 = TAN-1(ΔY12/ ΔX12) = TAN-1(-103/200) = -27,25 ° ( ° )
  17. 17. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino17Da notare che l’inclinazione del vettore spostamento è calcolata in senso antiorario ed è perciònegativa.IL VETTORE “VELOCITA’ MEDIA” E “VELOCITA’ ISTANTANEA”Sino ad ora si è detto che un punto o un corpo materiale subisce, in determinato tempo, unospostamento sulla sua traiettoria passando dalla posizione iniziale a quella finale.Si è definito il “VETTORE POSIZIONE”, necessario per stabilire la posizione iniziale e quellafinale, e il “VETTORE SPOSTAMENTO”, necessario per stabilirne il percorso o lo spazio fattodurante lo spostamento.Per ricordare i concetti essenziali: Definizione di tempo trascorso tra l’istante iniziale e quello finale (durata):Δt = t. finale – t. iniziale = tf - ti (s) Definizione della posizione mediante coordinate cartesiane:Pf → (Xf ; Yf)Pi → (Xi ; Yi) Definizione della posizione mediante il vettore posizione:Pf → (rf ; αf)Pi → (ri ; αi) Definizione dello spostamento (vettore Δr) dal punto iniziale al punto finale nel tempo Δt:Δr = rf – ri VETTORE (intesa come sottrazione vettoriale)Δr = ΔX + ΔY VETTORE (intesa come somma vettoriale)Il vettore Δr è caratterizzato da:oModulo = Δr = √ ΔX2+ ΔY2Intensità o moduloo α = TAN-1(ΔY / ΔX ) Inclinazione della retta direttrice rispetto all’asse Xo Verso diretto nel senso di percorrenza della traiettoriaOra, tenendo conto dello spostamento Δr, subito dal corpo nel tempo Δt, si può definire la velocitàmedia durante lo spostamento, come il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato:vm = spazio percorso/tempo impiegato = spostamento / Δt = Δr/ Δtvm = Δr/ Δt La velocità media è un vettoreSe il tempo impiegato dal corpo per passare da una posizione iniziale a una finale è molto breve, lavelocità media coincide con la velocità istantanea quindi, per concetti reciproci, intenderemo lavelocità istantanea al pari della velocità media nel caso che il tempo Δt sia molto piccolo (si diceche il tempo necessario per passare da una posizione iniziale a una finale ha la tendenza a esserenullo):vistantanea = v = Δr/ Δtv = Δr/ Δt La velocità istantanea è un VETTORESe, contrariamente a quanto detto, lo spostamento avviene in tempi elevati, non sarà più possibiledefinire il valore istantaneo di velocità, ma occorrerà utilizzare il concetto di velocità media.
  18. 18. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino18Se si ammette che il valore della velocità tra l’istante iniziale e finale è un valore medio, allora sidovrà tenere conto del fatto che il vettore velocità non abbia sempre iATTENZIONE: LA VELOCITA’, PER COME E’ STATA DEFINITA, E’ UNA GRANDEZZA VETTORIALE CHEHA LA STESSA DIREZIONE E LO STESSO VERSO DEL VETTORE SPOSTAMENTO.LA VELOCITA’ E’, INFATTI, IL RISULTATO DI UN PRODOTTO DI UN VETTORE (Δr) PERUNO SCALARE (1/ Δt) CHE, IN PRATICA, E’ UN NUMERO.Figura 14 – VETTORE VELOCITA’ COME PRODOTTO DI UN VETTORE PER UN NUMEROCOMPONENTI DEL VETTORE VELOCITA’Il vettore velocità, sia media che istantanea, può essere scomposto nelle sue due componentiprincipali dirette secondo l’asse X e l’asse Y utilizzando la regola del parallelogramma, le regolegoniometriche oppure calcolando direttamente le componenti tenendo conto delle componentiprincipali del vettore spostamento che sono rispettivamente ΔX e ΔYSi otterrà: v = vx + vx Vettore velocità come somma vettoriale delle due componenti vx = ΔX / Δt Componente del vettore VELOCITA’ secondo X vy = ΔY / Δt Componente del vettore VELOCITA’ secondo Y
  19. 19. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino19Figura 15
  20. 20. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino20I GRAFICI DEL MOTOSino ad ora si è illustrato il moto di un corpo dal punto di vista della traiettoria percorsa, prendendoin esame principalmente le coordinate spaziali che permettono di conoscere la posizione rispetto adun sistema di riferimento e il calcolo della velocità e dell’accelerazione sempre partendo dallecoordinate dei punti della traiettoria.Questa metodologia è quella classica e ci permette di risolvere in modo generale i vari problemi cheriguardano la cinematica.Lo schema generale a cui fare riferimento è quello già illustrato in precedenza e che si riportaadesso in modo completo.Figura 16 – SCHEMA GENERALE CON TUTTE LE GRANDEZZE DELLA CINEMATICAL’utilizzo di tale schema è però abbastanza complesso e, nello stesso modo, non permette disintetizzare efficacemente i risultati dei calcoli e la comprensione dei vari fenomeni.Di solito, allo scopo di semplificare il più possibile la descrizione del fenomeno, si utilizzanoschemi più sintetici nei quali sono facilmente individuabili le variazioni delle grandezze tipichedella cinematica in funzione del tempo.Tali schemi sono detti “grafici del moto” o “diagrammi del moto” e sono delle rappresentazionicartesiane in cui la variabile indipendente è sempre il tempo.I grafici del moto sono i seguenti: Diagramma “spazio-tempo” Diagramma “velocità-tempo” Diagramma “accelerazione-tempo”
  21. 21. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino21IL DIAGRAMMA “SPAZIO – TEMPO”Il diagramma “SPAZIO – TEMPO” permette di rappresentare lo SPAZIO PERCORSO da uncorpo in un determinato tempo.Il tempo è la variabile indipendente, asse cartesiano X, mentre lo spazio è la variabile dipendente,asse cartesiano Y.Le due variabili sono connesse mediante la funzione principale e quella inversa.S = f (t) Funzione principalet = f -1(S) Funzione inversaGeneralmente la funzione principale è del tipo direttamente proporzionale se il corpo si muove convelocità costante, di tipo direttamente proporzionale quadratica se il moto è accelerato o deceleratoe la velocità non è costante, di tipo sinusoidale, quando i movimenti sono periodici. S = K ∙ t Funzione principale di tipo “direttamente proporzionale”. Tipica delmoto uniforme S = K ∙ t2Funzione principale di tipo “direttamente proporzionale quadratica”.Tipica del motoaccelerato. S = K ∙ SIN(ω∙t) Funzione principale di tipo “sinusoidale”. Tipica del moto periodico ooscillatorio.Figura 17 – DIAGRAMMA “SPAZIO-TEMPO” CARATTERISTICO DEL MOTO UNIFORME.
  22. 22. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino22Figura 18 – DIAGRAMMA “SPAZIO-TEMPO” CARATTERISTICO DEL MOTO ACCELERATO.  Figura 19 – DIAGRAMMA “SPAZIO-TEMPO” CARATTERISTICO DEL MOTO OSCILLATORIO.DA NOTARE: In tutti i diagrammi SPAZIO-TEMPO illustrati, la pendenza dei vari segmenti costituenti la spezzatache approssima una curva (angolo che ogni segmento forma con l’asse orizzontale), misura la grandezza fisicaVELOCITA’. Difatti il rapporto tra lo spazio e il tempo è proprio la velocità.In particolare, nel primo diagramma costituito da una linea retta non spezzata, la pendenza è costante (non cambia maida punto a punto) e quindi significa che la velocità è sempre la stessa e il moto è uniforme.
  23. 23. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino23IL DIAGRAMMA “VELOCITA’ – TEMPO”Il diagramma “VELOCITA’ – TEMPO” permette di rappresentare la VELOCITA’ di un corpo inun determinato istante.Il tempo è la variabile indipendente, asse cartesiano X, mentre la velocità è la variabile dipendente,asse cartesiano Y.Le due variabili sono connesse mediante la funzione principale e quella inversa.v = f (t) Funzione principalet = f -1(v) Funzione inversaGeneralmente la funzione principale è del tipo “COSTANTE” se il corpo si muove con velocitàcostante, di tipo direttamente proporzionale se il moto è accelerato o decelerato e la velocità non ècostante, di tipo sinusoidale, quando i movimenti sono periodici. v = K Funzione principale di tipo “COSTANTE”. Tipica del moto uniforme v = K ∙ t Funzione principale di tipo “direttamente proporzionale”. Tipica delmotoaccelerato. v = K ∙ SIN(ω∙t) Funzione principale di tipo “sinusoidale”. Tipica del moto periodico ooscillatorio.Figura 20 – DIAGRAMMA “VELOCITA’ – TEMPO” CARATTERISTICO DEL MOTO UNIFORME.
  24. 24. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino24Figura 21 – DIAGRAMMA “VELOCITA’ – TEMPO” CARATTERISTICO DEL MOTO ACCELERATO.DA NOTARE: In tutti i diagrammi VELOCITA’-TEMPO illustrati, l’area compresa tra la linea superiore (parallelaall’asse X- fig.80 o inclinata rispetto a X-fig.81), la linea orizzontale costituente l’asse X e la linea verticale tratteggiatada ogni istante, corrisponde fisicamente allo SPAZIO PERCORSO dal corpo dall’istante iniziale (t=0 s) all’istantefinale considerato.In particolare, nel primo diagramma di fig. 80, l’area è quella di un rettangolo la cui base è il tempo e l’altezza è lavelocità.Nel secondo diagramma di fig. 81, l’area è invece quella di un triangolo la cui base è il tempo considerato e l’altezza èla velocità all’istante considerato.DA NOTARE: In tutti i diagrammi VELOCITA’-TEMPO illustrati, la pendenza della linea rappresenta fisicamentela grandezza fisica ACCELERAZIONE.In particolare, nel primo diagramma la linea è orizzontale quindi la pendenza è nulla e di conseguenza il moto èuniforme (senza accelerazione).Nel secondo diagramma la pendenza è costante quindi è costante anche l’accelerazione e il moto è di tipouniformemente accelerato.
  25. 25. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino25IL DIAGRAMMA “ACCELERAZIONE – TEMPO”Il diagramma “ACCELERAZIONE – TEMPO” permette di rappresentare l’ACCELERAZIONEdi un corpo in un determinato istante.Il tempo è la variabile indipendente, asse cartesiano X, mentre l’ACCELERAZIONE è la variabiledipendente, asse cartesiano Y.Le due variabili sono connesse mediante la funzione principale e quella inversa.a = f (t) Funzione principalet = f -1(a) Funzione inversaGeneralmente la funzione principale è del tipo “COSTANTE” se il corpo si muove conACCELERAZIONE costante, di tipo sinusoidale, quando L’ACCELERAZIONE E’ VARIABILEcon legge periodica sinusoidale. a = K Funzione principale di tipo “COSTANTE”. Tipica del motoUNIFORMEMENTEaccelerato. a = K ∙ SIN(ω∙t) Funzione principale di tipo “sinusoidale”. Tipica del moto periodico ooscillatorio.Figura 22 – DIAGRAMMA “ACCELERAZIONE – TEMPO” CARATTERISTICO DEL MOTO UNIFORMEMENTEACCELERATO.
  26. 26. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino26I TIPI FONDAMENTALI DI MOVIMENTOAnche se in generale il movimento di un punto o di un corpo rigido avviene secondo modalitàcomplesse (si pensi ad esempio ad una gara motociclistica durante la quale il pilota affrontatraiettorie in parte curve e in parte diritte, con velocità a volte costanti a volte no, con continui erepentini cambi di velocità mediante accelerazioni e brusche frenate), lo studio del moto per mezzodella cinematica è semplificato dal fatto che, d’abitudine, si è soliti distinguere i movimenti intipologie fondamentali semplici e applicare poi tali tipologie, ove possibile, al moto complessivo.In questo modo potremo considerare un moto rettilineo a velocità costante se il pilota affronta unrettilineo mantenendo la stessa velocità, un moto con velocità variabile, quando il pilota accelera ofrena, un moto curvo con velocità costante ecc. ecc.Il moto di un oggetto che si sposta realmente sarà quindi una composizione semplice o complessa dimovimenti fondamentali.In effetti le moderne tecnologie di rilevazione automatica delle grandezze coinvolte (spazio,velocità e tempo) – telemetria- ci permette di ricostruire quasi istantaneamente tutti i parametri delmovimento.I movimenti semplici fondamentali che saranno studiati sono i seguenti:MOVIMENTI SU UNA LINEA RETTA: Moto rettilineo uniforme Moto rettilineo non uniforme – moto vario Moto rettilineo uniformemente accelerato o decelerato Moto rettilineo naturalmente e uniformemente accelerato o decelerato Caduta dei gravi Caduta lungo piano inclinato Moto rettilineo varioMOVIMENTI SU UNA LINEA CURVA: Moto curvilineo a velocità costante Moto curvilineo uniformemente accelerato o decelerato. Moto circolare uniforme Moto circolare uniformemente accelerato o decelerato Moto parabolicoMOVIMENTI OSCILLATORI O PERIODICI: Moto armonico senza smorzamento Moto armonico smorzato Moto del pendolo e moto di una massa soggetta a forze elastiche sinusoidaliATTENZIONE:Lo studio dei moti rettilinei può avvenire trattando le grandezze vettoriali velocità e accelerazionecome se fossero grandezze scali in quanto sono sempre parallele tra loro e quindi è possibilesommarle e sottrarle utilizzando i soli mezzi algebrici.I moti curvilinei sono invece caratterizzati da vettori non paralleli per cui sarà indispensabileutilizzare le regole di somma e sottrazione vettoriale (metodi grafici o analitici).
  27. 27. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino27MOVIMENTI SU UNA LINEA RETTAMOTO RETTILINEO UNIFORMEIn questo caso la traiettoria seguita dal corpo o dal punto che si sposta è una linea retta (rettilineo).D’ora in avanti si penserà allo spostamento di un corpo le cui dimensioni fisiche possono essereconsiderate piccolissime rispetto al suo spostamento; in queste condizioni ogni corpo potrà essereconsiderato un punto (ad esempio il suo baricentro).Le grandezze fisiche che caratterizzano il moto rettilineo uniforme sono quelle tipiche dellacinematica già prese in esame in precedenza: Il tempo (t) (secondi) Lo spazio percorso o spostamento (S) (metri) La velocità (v) (metri al secondo – m/s) L’accelerazione (a) (metri al secondo quadrato – m/s2)NOTA BENE: Tenendo presente che il moto è rettilineo (la traiettoria è una linea retta), legrandezze fisiche velocità ed accelerazione, che sono sempre da considerarsi vettoriali, sonorappresentate da vettori aventi la caratteristica fondamentale d’essere tutti paralleli.Si ricorda che i vettori paralleli hanno l’esclusiva proprietà di poter essere sommati e sottratti con lesemplici regole algebriche.Questo fatto, come si vedrà più avanti, differenzia in modo importante il moto rettilineo uniformedal moto curvilineo uniforme.Già da ora si può anticipare che: Se un punto si muove su una linea retta con velocità costante, l’accelerazione è nulla (a = 0m/s2). Se un punto si muove su una linea curva con velocità costante, l’accelerazione non è nulla(a ≠ 0 m/s2).Il moto uniforme è caratterizzato dal fatto che, mentre il punto si sposta sulla traiettoria rettilinea,non cambia mai il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato per percorrerlo oppure,ragionando in altri termini, in tempi uguali sono percorsi spazi uguali.Il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato non cambia durante il moto ed è quindi daconsiderarsi una costante del moto che è definita velocità.L’accelerazione è nulla.ΔS / Δt = costante = KK = velocità = vQuindi:v = ΔS / ΔtΔS = Sf - SiΔt = tf - ti
  28. 28. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino28QUINDI: IL MOTO RETTILINEO DI UN CORPO E’ ANCHE UNIFORME SE, DURANTE IL MOTO, RIMANECOSTANTE LA VELOCITA’.NELLO STESSO TEMPO UN MOTO UNIFORME PUO’ NON ESSERE RETTILINEO SE LA TRAIETTORIA E’CURVA.Figura 23 – CONDIZIONI DI MOTO RETTILINEO UNIFORME.Figura 24 - CONDIZIONI DI MOTO RETTILINEO UNIFORME
  29. 29. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino29LE LEGGI DEL MOTO UNIFORMEIl rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato è la velocità .La velocità è costante sia come modulo che come direzione e verso se il moto è rettilineo uniforme,se il moto è solo uniforme e non rettilineo, la velocità è costante soltanto come modulo mentre, ladirezione e il verso cambiano continuamente.Si tenga presente che, per un corpo che si muove di moto uniforme, l’istante iniziale corrisponde almomento in cui s’inizia a cronometrare il movimento e l’istante finale a quello in cui si termina ilcronometraggio.ATTENZIONE: All’istante iniziale il corpo è già in movimento e lo studio del moto non riguarda la faseprecedente all’istante iniziale. Un esempio di moto uniforme può essere un’automobile chepercorre senza accelerare o frenare un tratto di strada. E’ evidente che per raggiungere lavelocità desiderata l’automobile deve aver necessariamente accelerato, ma ciò è successoprima dell’inizio del conteggio dei tempi e non rientra nello studio del moto uniforme. Durante il conteggio dei tempi, la velocità del corpo non subisce variazioni. Non sonoquindi ammissibili, nel moto uniforme, aumenti o diminuzioni di velocità. Ogni variazionedi velocità fa decadere le condizioni di moto uniforme e deve essere oggetto di diversostudio.LA LEGGE FONDAMENTALE – IL CALCOLO DELLA VELOCITA’Il moto uniforme è caratterizzato dalle seguenti relazioni tra le grandezze tipiche:v = ΔS / Δt = (Sf – Si) / (tf – ti)In particolare se, all’istante iniziale, il corpo si trova sull’origine del sistema di riferimento delledistanze e il tempo iniziale corrisponde al valore 0 (il cronometraggio inizia con il cronometroazzerato), si avrà:Si = 0 (m)ti = 0 (s)da cui:v = Sf / tfSe poi l’istante finale tf è generalizzato come “istante qualsiasi” anche lo spazio percorso Sf saràgeneralizzato come “spazio percorso all’istante qualsiasi” e si avrà:v = S /t = Costantev = S /t Legge fondamentale del moto uniforme
  30. 30. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino30IL DIAGRAMMA VELOCITA’ - TEMPOPrendendo in esame le grandezze fisiche contenute nella legge e le relative unità di misura, si vedeche:S Spazio percorso (m)t Tempo impiegato per percorrere lo spazio S (s)V Velocità (rapporto spazio-tempo) (m/s)Sono state considerate le Unità di Misura del Sistema Internazionale S.I.Considerando che il moto è uniforme e che, di conseguenza, la velocità è costante, possiamorappresentare la relazione con il grafico VELOCITA’-TEMPO:Figura 25 – MOTO UNIFORME (DIAGRAMMA VELOCITA’ – TEMPO)
  31. 31. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino31Figura 26 – DIAGRAMMA DI MOTO UNIFORME CON VELOCITA’ DIFFERENTICome si nota le linee del grafico che rappresentano il moto uniforme sono rette parallele all’asse deitempi.Nel secondo diagramma, le linee inclinate rappresentano le frenate o le accelerazioni più o menobrusche (il cambio di velocità che avviene più velocemente è nel passaggio da 10 m/s a 160 m/s).Figura 27 – DIAGRAMMA VELOCITA’-TEMPO. MOTO UNIFORME CON VELOCITA’ NEGATIVA.
  32. 32. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino32IL DIAGRAMMA VELOCITA’ – TEMPO E LO SPAZIO PERCORSO.Oltre a dare indicazioni circa la velocità mantenuta dal corpo in movimento in funzione del tempotrascorso, il diagramma VELOCITA’-TEMPO, permette anche di visualizzare o di calcolare lospazio percorso.Lo spazio è rappresentato dall’area delle figure racchiuse dalle seguenti linee: La linea retta che indica il valore della velocità (per il moto uniforme una linea parallelaall’asse dei tempi – per il moto non uniforme una linea inclinata) Dalle due linee verticali, una a sinistra e una a destra, che indicano i valori dei tempi tra iquali si desidera calcolare lo spazio percorso Dalla linea orizzontale costituita dall’asse dei tempiQuando il moto è uniforme le figure saranno rettangoli mentre se non è uniforme saranno, disolito, triangoli o trapezi.Se la velocità è espressa in m/s e il tempo in secondi, l’area della figura rapprenderà il valore dellospazio percorso espresso in metri.Figura 28 – DIAGRAMMA VELOCITA’-TEMPO E SPAZIO PERCORSO IN MOTO UNIFORME. CASO CONVELOCITA’ POSITIVE E NEGATIVA.
  33. 33. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino33Figura 29 – DIAGRAMMA VELOCITA’-TEMPO E SPAZIO PERCORSO IN MOTO UNIFORME, ACCELERATOE DECELERATO. CASO CON VELOCITA’ SOLO POSITIVA.Figura 30 – DIAGRAMMA VELOCITA’-TEMPO E SPAZIO PERCORSO IN MOTO UNIFORME,ACCELERATO E DECELERATO – CASO CON VELOCITA’ POSITIVE E NEGATIVA.
  34. 34. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino34IL CALCOLO DELLO SPAZIO – DIAGRAMMA SPAZIO - TEMPOUtilizzando ora la legge fondamentale del moto uniforme è possibile, invertendo la formula, trovarela relazione che permette di calcolare lo spazio percorso in un certo tempo, quando un corpoprocede con velocità costante:tSvtvS  Legge per il calcolo dello spazio percorso.LA RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA LEGGE PER IL CALCOLO DELLOSPAZIOLa grandezza Spazio è dipendente dal tempo; il legame di dipendenza è del tipo “Direttamenteproporzionale” e il coefficiente di proporzionalità è la velocità che, nel moto uniforme, si sa esserecostante.La funzione che trasforma ogni valore del tempo nel corrispondente valore dello spazio percorso èrappresentabile mediante una retta inclinata rispetto all’asse dei tempi.L’inclinazione della retta è detta anche “coefficiente angolare” e il suo valore numerico è espressodalla tangente dell’angolo α che è rilevato sul diagramma Spazio-Tempo.Figura 31
  35. 35. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino35L’ACCELERAZIONE NEL MOTO RETTILINEO UNIFORME.La grandezza fisica “accelerazione” è definita dalla variazione della velocità nel tempo.Si dirà che il moto è accelerato se la velocità all’istante finale della misurazione del tempo è, inqualche modo, diversa dalla velocità rilevata all’istante iniziale.Ora, nel moto rettilineo uniforme, la velocità nei vari istanti è rappresentata da un vettore con ilmodulo costante, con la stessa direzione (la linea retta sulla quale si sviluppa il moto) e con lostesso verso.E’ quindi evidente che la variazione del vettore velocità da un istante all’altro è nulla in quantoottenuta dalla sottrazione di due vettori uguali:a (vf – vi) / ΔtIl moto è uniforme e rettilineo quindi:vf = viPer cui:(vf – vi) = 0Quindi:a (vf – vi) / Δt = 0/ Δt = 0a 0E’ così dimostrato che, nel moto rettilineo uniforme, l’accelerazione è nulla.Figura 32 – L’ACCELERAZIONE, NEL MOTO RETTILINEO UNIFORME, E’ NULLA.
  36. 36. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino36RIEPILOGO DELLE LEGGI DEL MOTO UNIFORMEatv= ( v f - v i ) / t = 0a ( v f - v i ) / t = 0L’accelerazione è sempre nulla se il moto è rettilineo.L’accelerazione NON è nulla se il moto è curvilineo.v =tSLegge per il calcolo della velocitàS = tv  Legge per il calcolo dello spazio percorsotvS Legge per il calcolo del tempoRIEPILOGO DEI DIAGRAMMI TIPICI DEL MOTO UNIFORMEDiagramma tipico VELOCITA’-TEMPO(velocità positiva)Diagramma tipico VELOCITA’-TEMPO(velocità negativa)Diagramma tipico SPAZIO-TEMPO
  37. 37. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino37ESERCIZI – MOTO UNIFORMEEsercizio 1Determinare la velocità in m/s e in km/h di un corpo che percorre con moto uniforme uno spazio di 1,5 km in un tempodi 50 s.Soluzione: Dati del problema:S = 1,5 (km)t = 50 (s)Moto uniforme quindi con velocità costante Sistema di misura consigliato:Sistema Internazionale: S.I.S (m)t (s)v (m/s) Leggi del moto da utilizzare:v =tSS = tv tvS Equivalenza:S = 1,5 (km)1 (km) = 1.000 (m) = 103(m)S = 1,5 (km) · 1.000 (m/km) = 1.500 (m) = 1,5·103(m) Soluzione:v =tS=)s(50)m(500.1= 30 (m/s) Velocità espressa in m/s Equivalenza tra m/s e km/h:1 (h) = 3.600 (s)v = 30 (m/s) · 3.600 (s/h) = 108.000 (m/h)v = 108.000 (m/h) / 1.000 (m/km) = 108 (km/h) Velocità espressa in km/h Equivalenza da ricordare:Per passare da una velocità espressa in (m/s) a (km/h) si moltiplica per 3,6 Possibile altra soluzione:Effettuare l’equivalenza da un tempo espresso in secondi a un tempo espresso in ore:t = 50 (s)1 (h) = 3.600 (s)t = 50 (s)/3.600 (s/h) ≈ 0,01389 (h)v = 1,5 (km)/0,01389 (h) ≈ 107,99 (km/h)Come si nota il risultato è approssimato in quanto è stato approssimato il tempo.
  38. 38. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino38Esercizio 2:Calcolare il tempo necessario affinché la luce, la cui velocità è costante e uguale a 300.000 (km/s), percorra 1 (km) e lospazio percorso in 2 (s) e 5/10 (s)Soluzione: Dati del problema:v = 300.000 (km/s)S = 1 (km)t = 2 + 5/10 (s)Moto uniforme quindi con velocità costante. Sistema di misura consigliato:Sistema Internazionale: S.I.S (m)t (s)v (m/s) Leggi del moto da utilizzare:v =tSS = tv tvS Equivalenza:v = 300.000 (km/s)1 (km) = 1.000 (m) = 103(m)v = 300.000 (km/s) · 1.000 (m/km) = 300.000.000 (m/s) = 3·108(m/s)1 (km) = 1.000 (m)t = 2 + 5/10 = 2 + 0,5 = 2,5 (s) Soluzione:1) Calcolo del tempo impiegato per percorrere lo spazio di 1 (km):tvS)s/m(000.000.300)m(000.1 =)s/m(8103)m(310 =31· 10(3-8)≈ 0,33 · 10-5= 3,3 · 101· 10-5= 3,3 · 10(1-5)=3,3 · 10-4(s) = 0,00033 (s)2) Calcolo dello spazio percorso nel tempo di 2,5 s:S = tv  = 300.000.000 (m/s) · 2,5 (s) = 750.000.000 (m) = 750.000 (km)Esercizio 3:Calcolare in m/s e in km/h la velocità raggiunta da un atleta che ha percorso i 100 m in un tempo di 9,9 s.Soluzione:Si tratta, essendo una gara di velocità, di un problema in cui sicuramente il moto non è uniforme ma vario.L’atleta, nella fase iniziale del moto, parte da fermo ed accelerando giunge alla velocità massima per poi omantenerla o rallentare.La soluzione del problema è quindi il calcolo della velocità media di moto uniforme che l’atleta dovrebbemantenere per percorrere i 100 m nel tempo previsto di 9,9 s. Sistema di misura consigliato:Sistema Internazionale: S.I.S (m)t (s)v (m/s)
  39. 39. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino39 Leggi del moto da utilizzare:v =tSS = tv tvS Soluzione:1) Calcolo della velocità in m/s:vtS)s(9,9)m(100 ≈ 10,101 (m/s)2) Calcolo della velocità in km/h:v = 10,101 (m/s) · 3600 (s) /1000 (m/km) ≈ 36,36 (km/h)Esercizio 4:Sapendo che la velocità del suono è di 340 m/s, calcolare a quale distanza è caduto un fulmine se tra la visione dellascarica e la percezione del suono sono passati 12 s (si ritenga infinita la velocità della luce).Soluzione: Dati del problema:v(suono) = 340 (m/s)t = 12 (s)Moto uniforme quindi con velocità costante per quanto riguarda la velocità del suono.Inoltre si deva fare l’ipotesi che la propagazione della luce avvenga a velocità infinita anche se taleaffermazione non corrisponde a verità.Con tale ipotesi la percezione visiva del fulmine corrisponde esattamente all’istante in cui il fulmine si èsviluppato. Sistema di misura consigliato:Sistema Internazionale: S.I.S (m)t (s)v (m/s) Leggi del moto da utilizzare:v =tSS = tv tvS Soluzione:Calcolo dello spazio percorso dal suono nel tempo di 12 s:S = tv  = 340 (m/s) · 12 (s) = 4.080 (m) = 4.080 (m) /1000 (m/km) = 4,08 (km)
  40. 40. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino40Esercizio 5:Determinare la velocità di un treno contando i colpi prodotti dai giunti delle rotaie: essi sono 10 ogni 6 secondi e lalunghezza di ogni pezzo di rotaia è di 12 m.Soluzione: Dati del problema:n. colpi prodotti dal treno = 10tempo durante il quale vengono prodotti i 10 colpi = 6 (s)Lunghezza tra i giunti delle rotaie = 12 (m)Moto uniforme del treno quindi con velocità costante. Sistema di misura consigliato:Sistema Internazionale: S.I.S (m)t (s)v (m/s) Leggi del moto da utilizzare:v =tSS = tv tvS Soluzione:Calcolo dello spazio percorso dal treno in un tempo di 6 s:S = N. colpi · lunghezza rotaia = 10 · 12 (m) = 120 (m)Calcolo della velocità:v =tS= 120 (m) / 6 (s) = 20 (m/s)v = 20 (m/s) · 3.600 (s/h) /1.000 (m/km) = 72 (km/h)Esercizio 6:Un treno percorre un tratto di 40 km in 20 minuti; poi sosta per 5 minuti, percorre altri 20 km in 40 minuti. Tracciare ilgrafico del moto del treno, supponendo che i due tratti di moto avvengano a velocità costante.Soluzione: Dati del problema:S1 = 40 (km)t1 = 20 (minuti)S2 = 0 (Km)t2 = 5 (minuti)S3 = 20 (km)t3 = 40 (minuti) Sistema di misura consigliato:Sistema Internazionale: S.I.S (m)t (s)v (m/s)
  41. 41. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino41 Leggi del moto da utilizzare:v =tSS = tv tvS Diagrammi del moto da utilizzare:SPAZIO – TEMPOVELOCITA’ - TEMPO Soluzione:
  42. 42. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino42Esercizio 7:Un treno parte da una stazione con una velocità costante di 50 km/h. Dopo 2 ore un secondo treno parte dalla stessastazione e raggiunge il primo treno dopo 4 ore. Calcolare la velocità del secondo treno..Soluzione: Dati del problema:v1 = 50 (km/h)t1 = 2 + 4 (ore) Incognite:Spazio percorso da entrambi i treni = S (km)Velocità del secondo treno = v2 (km/h) Sistema di misura consigliato:Sistema Internazionale: S.I.S (km)t (h)v (km/h) Leggi del moto da utilizzare:v =tSS = tv tvS Soluzione: Considerando che il secondo treno raggiunge il primo dopo 4 ore e che il primo treno era partito 2 oreprima si conclude che il primo treno abbia viaggiato complessivamente per 6 ore prima di essereraggiunto. Calcolo dello spazio percorso dal primo treno e quindi, ovviamente, anche dal secondo: S = tv  = 50 (km/h) · 6 (h) = 300 (km) Calcolo della velocità uniforme del secondo treno:v =tS=h4km300= 75 (km/h)Esercizio 8:Due treni partono allo stesso istante dalla stessa stazione muovendosi in senso opposto su un percorso rettilineo con unavelocità costante di 60 e 70 km/h rispettivamente. Dopo quanto tempo distano di 26 km? E se si muovessero nellostesso verso).Soluzione: Dati del problema:v1 = 60 (km/h)v2 = 70 (km/h)S = 26 (km) Incognite:Tempo impiegato dai due treni che si muovono in senso opposto per portarsi ad una distanza di 26 km. Sistema di misura consigliato:Sistema Internazionale: S.I.S (km)t (h)v (km/h)
  43. 43. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino43 Leggi del moto da utilizzare:v =tSS = tv tvS Soluzione 1: La distanza di 26 km sarà la somma degli spazi percorsi rispettivamente dal primo e dal secondo treno neltempo incognito t. S = S1 + S2 = 26 km Supponendo di conoscere la durata del viaggio (ovviamente la stessa per i due treni visto che partonocontemporaneamente) che è il tempo incognito e dalla conoscenza delle rispettive velocità potremmocalcolare gli spazi percorsi: S1= v1 · t S2 = v2 · t Quindi lo spazio complessivo sarà: v1 · t + v2 · t = 26 km Da cui: t · (v1 + v2) = 26 km t · (60 + 70) = 26 km t · 130 = 26 km Da cui si ottiene il tempo t: t = 26 (km) / 130 (km/h) = 0,2 (ore) Lo stesso tempo in minuti: 0,2 (ore) · 60 (min/ora) = 12 (minuti) Soluzione 2: La distanza di 26 km sarà, questa volta, la differenza degli spazi percorsi rispettivamente dal secondo (piùveloce) e dal primo treno (meno veloce) nel tempo incognito t. S = S2 - S1 = 26 km Supponendo di conoscere la durata del viaggio (ovviamente la stessa per i due treni visto che partonocontemporaneamente) che è il tempo incognito e dalla conoscenza delle rispettive velocità potremmocalcolare gli spazi percorsi: S1= v1 · t S2 = v2 · t Quindi lo spazio complessivo sarà: v2 · t – v1 · t = 26 km Da cui: t · (v2 - v1) = 26 km t · (70 - 60) = 26 km t · 10 = 26 km Da cui si ottiene il tempo t: t = 26 (km) / 10 (km/h) = 2,6 (ore) Lo stesso tempo in minuti: 2,6 (ore) · 60 (min/ora) = 156 (minuti)Esercizio 9:Due corpi vengono lanciati l’uno contro l’atro con moto uniforme da due posizioni A e B distanti 1,8 m lungo la rettache congiunge i punti A e B.Il primo con velocità di 4 cm/s ed il secondo con velocità di 5 cm/s.Dopo quanto tempo si incontrano e a quale distanza dal punto A?Soluzione: Dati del problema:v1 = 4 (cm/s)v2 = 5 (cm/s)SAB = 1,8 (m)Moto uniforme
  44. 44. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino44 Incognite:Tempo impiegato dai corpi per incontrarsi. I corpi si muovono uno contro l’altroDistanza alla quale si incontrano misurata dal punto A Sistema di misura consigliato:Sistema Internazionale: S.I.S (cm)t (s)v (cm/s) Leggi del moto da utilizzare:v =tSS = tv tvS Soluzione 1: I corpi si incontreranno, quando la loro distanza reciproca sarà nulla e quindi quando la somma dei lorospostamenti nel tempo incognito sarà uguale alla loro distanza iniziale di 1,8 m. S = S1 + S2 = 1,8 m Supponendo di conoscere il tempo incognito (ovviamente la stessa per i due corpi visto che partonocontemporaneamente) e dalla conoscenza delle rispettive velocità potremmo calcolare gli spazi percorsi: S1= v1 · t S2 = v2 · t Quindi lo spazio complessivo sarà: v1 · t + v2 · t = 1,8 m Da cuiA t · (v1 + v2) = 1,8 m t · (4 + 5) = 1,8 m Attenzione: le unità di misura dello spazio e delle velocità non concordano ed è quindi necessarioprocedere con l’equivalenza. Ad esempio si può trasformare lo spazio, dato in metri, in centimetri. Si avrà: t · 9 = 1,8 (m) ·100 (cm/m) = 180 (cm) Da cui si ottiene il tempo t: t = 180 (cm) / 9 (cm/s) = 20 (s) Oppure trasformare le velocità espresse in (cm/s) in (m/s). Si avrà: t · 9 (cm/s) / 100 (cm/m) = 1,8 (m) t · 0,09 (m/s) = 1,8 (m) Da cui: t = 1,8 (m) / 0,09 (m/s) = 20 (s) Ovviamente i risultati devo essere uguali Soluzione 2:La distanza alla quale si incontrano dopo un tempo ora non più incognito t = 20 s può essere calcolata tenendoconto che il corpo che parte dal punto A mantiene una velocità di 4 cm/s. Quindi:Spazio percorso dal corpo che parte dal punto A in un tempo di 20 s sino ad incontrarsi con il corpo cheproviene dal punto B e che a viaggiato anch’esso per 20 s:SA = v1 · t = 4 (cm/s) · 20 (s) = 80 (cm)Quindi mentre il primo corpo ha percorso 80 cm, il secondo ha invece percorso 100 cm.
  45. 45. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino45Esercizio 10:Due punti A e B si muovono lungo due assi cartesiani ortogonali X e Y partendo dall’origine con velocità uniformi v1 ev2. Esprimere in funzione del tempo la distanza AB (ipotenusa di un triangolo rettangolo).Soluzione: Dati del problema:v1X = (m/s) Le unità di misura sono scelte a piacerev2Y = (m/s)Moto uniforme sia lungo l’asse X sia lungo l’asse YAngolo di 90° tra i due moti (gli spostamenti dei punti sono i cateti mentre la loro distanza èl’ipotenusa del triangolo rettangolo) Incognite:Distanza SAB tra i due punti in funzione del tempoDiagramma che rappresenti la distanza SAB in funzione del tempo Sistema di misura consigliato:Sistema Internazionale: S.I.S (m)t (s)v (m/s) Leggi del moto da utilizzare:v =tSS = tv tvSTeorema di Pitagora Soluzione 1: La distanza SAB tra i due punti che si allontanano tra loro muovendosi rispettivamente lungo l’asse X e Ypuò essere calcolata per mezzo del Teorema di Pitagora in cui: SAB = BY2AX2SS  La distanza, funzione del tempo e della velocità, a cui si portano i due punti rispetto all’origine degli assi,si calcola:SAX = v1· tSBY = v2· tQuindi la distanza SAB, in funzione del tempo, è:SAB = √(v1· t)2+ (v2· t)2=222221 tvtv  =   22212tvv  =  2212vvt Esercizio 11:Due ciclisti partono dal vertice di un angolo retto e ne percorrono i lati: se le rispettive velocità sono di 27 e 36 km/h, aquale distanza saranno dopo 2 minuti e dopo quanto tempo si troveranno alla distanza di 12 km?Soluzione: Dati del problema:v1X = 27 (km/h)v2Y = 36 (km/h)t = 2 (minuti)S12 = 12 (km)Moto uniforme sia lungo l’asse X sia lungo l’asse YAngolo di 90° tra i due moti (gli spostamenti dei punti sono i cateti mentre la loro distanza èl’ipotenusa del triangolo rettangolo)
  46. 46. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino46 Incognite:Distanza S12 dopo un tempo di 2 minutiTempo impiegato per portarsi ad una distanza di 12 km Sistema di misura consigliato:Sistema Internazionale: S.I.S (m)t (s)v (m/s) Leggi del moto da utilizzare:v =tSS = tv tvSTeorema di Pitagora Soluzione 1: La distanza S12 tra i due ciclisti che si allontanano tra loro muovendosi rispettivamente lungo l’asse X e Ypuò essere calcolata per mezzo del Teorema di Pitagora in cui: S12 = Y22X12SS  La distanza, funzione del tempo e della velocità, a cui si portano i due ciclisti rispetto all’origine degli assi,si calcola:S1X = v1· t = 27 (km/h) · 2 (min) = (27 km/h /60 min/h ) · 2 (min) = 0.9 kmS2Y = v2· t = 36 (km/h) ·2 (min) = (36 km/h/60 min/h) · 2 (min) = 1.2 kmQuindi la distanza S12 è:S12 = √ 0,92+ 1,22= 1,5 km Soluzione 2: Tenendo presente l’esercizio precedente e il fatto che la distanza tra i due ciclisti debba essere di 12 km sipuò calcolare il tempo necessario con la formula seguente:S12 = √(v1· t)2+ (v2· t)2=222221 tvtv  =   22212tvv  =  2212vvt S12 =  2212vvt  = 12 kmDa cui si ottiene il tempo necessario:t = 221212vvS= 223627km12= 0,2666667 h = 0,2666667 (h) · 60 (min/h) = 16(min)Esercizio 12:Durante una gara ciclistica di velocità su pista con percorso di 2.500 m, un concorrente sulla linea del traguardo precedeun avversario di 5 m: la velocità del vincitore è stata di 54 km/h. Calcolare la velocità tenuta dal secondo ciclista.Soluzione: Dati del problema:v1 = 54 (km/h)Spazio fatto dal primo ciclista = S1 = 2.500 (m)Distanza tra i due ciclisti al taglio del traguardo del 1° ciclista = 5 (m)Spazio fatto dal secondo ciclista all’arrivo del 1° ciclista = S2 = 2.495 (m)Moto uniforme
  47. 47. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino47 Incognite:tempo impiegato dal primo ciclista per tagliare i traguardoVelocità del 2° ciclista Sistema di misura consigliato:Sistema Internazionale: S.I.S (m)t (s)v (m/s) Leggi del moto da utilizzare:v =tSS = tv tvS Soluzione: Il tempo impiegato dal 1° ciclista, la cui velocità è risultata di 54 km/h, per vincere tagliando il traguardo,si può calcolare:tvS =h/km54m500.2 =s/m600.3100054m500.2 = 166,66 s Il secondo ciclista ha quindi impiegato lo stesso tempo del 1° ciclista ma ha percorso uno spazio di 5 metriinferiore al primo. Possiamo quindi calcolare la velocità del 2°:v =tS=s66,166m495.2= 14,97 (m/s) · 3.600 (s/h) /1.000 (m/km) = 53,894 (km/h)
  48. 48. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino48MOTO RETTILINEO NON UNIFORME – MOTO RETTILINEO VARIOLa traiettoria è sempre una linea retta, ma la velocità non è costante ed è quindi variabile da punto apunto o da istante ad istante.Il vettore velocità mantiene la direzione mentre il modulo e il verso possono cambiare.Nello stesso tempo potremo dire che, mentre il corpo si muove, il rapporto tra lo spazio percorso e iltempo impiegato non è costante,.Possiamo rappresentare il moto “NON UNIFORME” sia col diagramma “SPAZIO–TEMPO” siacol diagramma “VELOCITA’–TEMPO”.IL DIAGRAMMA SPAZIO-TEMPO E LA VELOCITA’ MEDIAIl diagramma seguente rappresenta la variazione dello spazio percorso da un corpo che si muove dimoto vario.Come si nota la linea caratteristica del moto non è una linea retta ma una curva qualsiasi e ciòsignifica che la velocità non si mantiene costante, ma aumenta o diminuisce durante il moto.Dalla lettura del diagramma si possono trarre i dati seguenti: Tra l’istante t1= 2 (s) e l’istante t2= 4 (s), quindi in 2 (s), il corpo percorre circa 21 (m). Tra l’istante t2= 4 (s) e l’istante t3= 8 (s), quindi in 4 (s), il corpo percorre circa 25 (m). Tra l’istante t3= 8 (s) e l’istante t4= 9 (s), quindi in 1 (s), il corpo percorre circa 32 (m). Tra l’istante t4= 9 (s) e l’istante t5= 17,75 (s), quindi in 8,75 (s), il corpo percorre circa 45(m).Dal rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato tra i vari istanti si ottiene la velocità mediamantenuta dal corpo in movimento; ovviamente le velocità sono diverse tra loro e ciò dimostra cheil moto NON è uniforme: v(media)1-2 = S1-2/t1-2 = 21(m)/2(s) = 10,5 (m/s) v(media)2-3 = S2-3/t2-3 = 25(m)/4(s) = 6,25 (m/s) v(media)3-4 = S3-4/t3-4 = 32(m)/1(s) = 32 (m/s) v(media)4-5 = S4-5/t4-5 = 45(m)/8,75(s) = 5,14 (m/s)La velocità media vM non è, in realtà, la vera velocità mantenuta dal corpo durante il movimentobensì la velocità fittizia di moto uniforme che dovrebbe mantenere per percorrere lo stesso spazionello stesso tempo.
  49. 49. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino49Figura 33 – DIAGRAMMA SPAZIO-TEMPO CARATTERISTICO DEL MOTO VARIO.E’ naturalmente possibile estendere il calcolo della velocità media all’intero percorso nel modoseguente:v(media)1-5 = S1-5/t1-5 = 123(m)/15,75(s) = 7,81 (m/s)I valori delle velocità medie calcolate tra i vari istanti, rappresentano, sul diagramma SPAZIO-TEMPO, le diverse pendenze dell’ipotenusa dei vari triangoli rispetto alla retta orizzontale.ESEMPIO 1:Calcolare la velocità media mantenuta da un motociclista che percorre un tratto di strada di 20 kmin un tempo di 6,5 minuti.Per determinare la velocità media del motociclista è necessario dividere lo spazio percorso per il tempo impiegato:vM= Stotale / ttotaleSi decide di utilizzare il metro come unità di misura dello spazio e il secondo come unità di misura del tempo.Equivalenza:Spazio 20 (km) · 1.000 (m/km) = 20.000 (m)Tempo 6,5 (min) · 60 (s/min) = 390 (s)Calcolo della velocità media:vM= 20.000 (m)/390 (s) = 51,28 (m/s)Equivalenza
  50. 50. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino50ESEMPIO 2:Un’automobilista percorre un tratto di strada di 15 km in un tempo di 25 minuti, si ferma in unautogrill per 15 minuti, un altro tratto di 40 km in 12,5 minuti, sosta per 4 minuti per rifornimentodi carburante e, infine, un ultimo tratto di strada di 50 km in 43 minuti.Determinare le velocità medie nei vari tratti e la velocità media sull’intero percorso.Dati del problema:S1 = 15 (km) t1= 25 (min)S2 = 0 (km) t2= 15 (min)S3 = 40 (km) t3= 12,5 (min)S3 = 0 (km) t4= 4 (min)S3 = 50 (km) t4= 43 (min)EQUIVALENZA UNITA’ DI MISURA. SI ADOTTANO LE UNITA’ DI MISURA DEL SISTEMAINTERNAZIONALE.S1 = 15 (km) → 15 (km) x 1.000 (m/km) = 15.000 (m)S2 = 0 (km) → 0 (km) x 1.000 (m/km) = 0 (m)S3 = 40 (km) → 40 (km) x 1.000 (m/km) = 40.000 (m)S3 = 0 (km) → 0 (km) x 1.000 (m/km) = 0 (m)S3 = 50 (km) → 50 (km) x 1.000 (m/km) = 50.000 (m)t1= 25 (min) → 25 (min) x 60 (s/min) = 1.500 (s)t2= 15 (min) → 15 (min) x 60 (s/min) = 900 (s)t3= 12,5 (min) → 12,5 (min) x 60 (s/min) = 750 (s)t4= 4 (min) → 4 (min) x 60 (s/min) = 240 (s)t4= 43 (min) → 43 (min) x 60 (s/min) = 2.500 (s)CALCOLO DELLE VELOCITA’ MEDIE PARZIALI:vM1 = S1/t1= 15.000 (m)/1.500 (s) = 10 (m/s)vM2 = S2/t2= 0 (m)/900 (s) = 0 (m/s)vM3 = S3/t3= 40.000 (m)/750 (s) = 53,33 (m/s)vM4 = S4/t4= 0 (m)/240 (s) = 0 (m/s)vM5 = S5/t5= 50.000 (m)/2.500 (s) = 20 (m/s)CALCOLO DELLA VELOCITA’ MEDIA SU TUTTO IL PERCORSO:vM = Stotale/ttotale= (15.000+0+40.000+0+50.000) (m) / (1.500+900+750+240+2.500) (s) =vM = 105.000 (m) / 5.890 (s) = 17,83 (m/s)EQUIVALENZA DA (m/s) A (km/h):vM = 17,83 (m/s) x 3.600 (s/h)/1.000 (m/km) = 17,83 x 3,6 = 64,18 (km/h)
  51. 51. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino51IL DIAGRAMMA SPAZIO-TEMPO E LA VELOCITA’ ISTANTANEA.Il valore della velocità media vM non basta però a caratterizzare i vari istanti costituenti il moto diun corpo.Per esempio, dall’esercizio precedente, siamo in grado di conoscere la velocità media mantenutadall’automobilista nei vari tratti del suo percorso, ma, non sappiamo assolutamente nulla di quanto èsuccesso, a proposito della velocità, nei vari istanti del moto.Infatti, salvo nei tratti in cui l’automobilista si è fermato e la sua velocità è evidentemente nulla, nonsiamo in grado di valutare le effettive velocità mantenute dallo stesso.Sappiamo che il primo tratto di 15 km è stato percorso in 25 minuti ad una velocità media di 10(m/s), ma, quali sono state le effettive velocità mantenute durante il trascorrere dei 25 minuti?L’esercizio non contiene i dati necessari per rispondere alla domanda.Occorre quindi ripartire dal concetto di velocità media utilizzando il grafico “Spazio-tempo” giàpreso in considerazione concentrando l’attenzione su una parte dello stesso.Come si è già definito, la velocità media è il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato.Se il moto non è uniforme la linea del diagramma “spazio-tempo” non è una line retta, ma una lineacurva; la velocità media è invece rappresentata dal tratto di segmento che unisce il punto inizialecon il punto finale.Nel punto iniziale e finale del moto, indicati sul grafico con i simboli t1 e t2, la curva e il segmentocoincidono indicando così lo stesso spazio percorso.Ma tra l’istante iniziale e quello finale le due linee sono separate da una certa distanza che èvariabile in funzione del tempo.La distanza tra le due linee rappresenta la differenza tra lo spazio percorso dal corpo che si muovedi moto vario (linea curva) e lo spazio percorso (nello stesso istante) da un corpo ipotetico cheinvece si muove di moto uniforme con la velocità media calcolata (segmento).Al tempo t2 entrambi i corpi, anche se con velocità differenti, hanno però percorso lo stesso spazio.Si può quindi affermare che, se il segmento fittizio e la curva reale non sono troppo distanti tra loro,le differenze di spazio percorso sono minime e quindi il segmento approssima la curva.In altri termini potremo dire che il moto uniforme tra i due istanti è simile al moto vario reale tra glistessi istanti e quindi la velocità media è prossima al valore della velocità che realmente ha il corpose la curva e il segmento si confondono.Per confondere una linea curva con un segmento occorre che la loro distanza sia minima e ciò èpossibile immaginando di restringere l’intervallo di tempo tra l’istante iniziale e quello finale.Ad esempio, sul primo diagramma in figura si è considerato un intervallo di tempo compreso tra iltempo t1= 1 (s) e il tempo t2= 6 (s) quindi Δt= 5 (s), mentre sul secondo diagramma si è consideratoun intervallo di tempo Δt = 3 (s) tra gli istanti t1= 2 (s) e t2= 5 (s).Si può notare che nel secondo caso il segmento e la curva sono più ravvicinati, si confondonomeglio e quindi la velocità media ha un valore prossimo alla velocità reale.Ora si può pensare di ridurre ulteriormente l’intervallo di tempo sino a pensare i due istanti moltoravvicinati tra loro.Quanto ravvicinati?Teoricamente tanto ravvicinati da poter confondere l’istante iniziale con quello finale e viceversa;praticamente invece la vicinanza tra i due istanti dipenderà dal tipo di strumento di cronometroutilizzato.Ad esempio con un cronometro di sensibilità 1/1000 saremo in grado di distinguere istanti di tempodiversi tra loro per la millesima parte di secondo.Seguendo questo procedimento risulta chiaro che il segmento che unisce due punti tanto ravvicinatiè praticamente uguale alla curva reale caratteristica del moto.In queste condizioni particolari la velocità media che andremo a calcolare corrisponde alla velocitàreale del corpo che si muove.Questa particolare velocità media sarà, d’ora in avanti, definita VELOCITA’ ISTANTANEA.
  52. 52. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino52La velocità istantanea (in un determinato istante) è quindi il valore limite cui tende la velocitàmedia se essa è calcolata considerando un intervallo di tempo piccolissimo e quindi tendente azero.Il valore della velocità istantanea è anche rappresentato dalla pendenza, rispetto alla rettaorizzontale dei tempi, della linea retta tangente alla curva dello spazio nell’istante considerato.Ragionando in questo modo potremo dire che la velocità istantanea è più elevata nei punti in cui lacurva è più ripida, ed è uguale a zero (il corpo è fermo) se la curva diventa una linea rettaorizzontale.Figura 34 – DIAGRAMMA SPAZIO-TEMPO – LA VELOCITA’ ISTANTANEA.Figura 35 – LE VELOCITA’ ISTANTANEE AI VARI ISTANTI – PENDENZA DELLA TANGENTE.
  53. 53. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino53RIEPILOGO DELLE LEGGI DEL MOTO VARIOVMEDIA =TOTALETOTALEtSLegge per il calcolo della velocità MEDIASTOTALE = TOTMEDIAtv  Legge per il calcolo dello spazio percorso.TOTtMEDIATOTALEvS Legge per il calcolo del tempoVISTANT.=tSLegge per il calcolo della velocità ISTANTANEA(per il calcolo della velocità istantanea occorre però cheil tempo, al denominatore, sia molto piccolo)
  54. 54. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino54ESERCIZI – MOTO VARIOEsercizio 1:Un ciclista percorre un tratto di strada in pianura lungo 8 km in 32 minuti; poi percorre una strada in salita lunga 3 kmin 20 minuti, infine una discesa lunga 4 km in 8 minuti.Calcolare la velocità media relativa all’intero percorso e la velocità media relativa ai singoli percorsi parziali.Soluzione: Dati del problema:S1= 8 (km)t1 = 32 (min)S2= 3 (km)t2 = 20 (min)S3= 4 (km)t3 = 8 (min)Moto vario sia su tutto il percorso sia nei vari tratti Incognite:Velocità media sull’intero percorsoVelocità medie su tutti i tratti del percorso Sistema di misura consigliato:Sistema Internazionale: S.I.S (m)t (s)v (m/s) Leggi del moto da utilizzare:vMEDIA =TOTALETOTALEtSSTOTALE = TOTALEMEDIAtv t TOTALEMEDIATOTALEvS Soluzione: La velocità media sull’intero percorso è data dal rapporto tra lo spazio totale e il tempo complessivamenteimpiegato sul percorso.vMEDIA =TOTALETOTALEtS=321321tttSSS=82032438=min60km15= 15 km/h Le velocità medie sui vari tratti sono invece:v1media =11tS= hmin/60min32km8 = 15 km/hv2media =22tS= hmin/60min20km3 = 9 km/hv3media =33tS= hmin/60min8km4 = 30 km/h
  55. 55. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino55Esercizio 2:Un’auto parte da una città alle ore 14 ed arriva a destinazione alle ore 18 e 43 minuti: la lunghezza del percorso è di 420km.Si calcoli la velocità media sul suddetto percorso espressa in m/s e in km/h.Sapendo che l’auto, esattamente a metà percorso, è arrivata alle ore 16 e 35 minuti ed è ripartita alle ore 17, si determinila velocità media dell’auto nei due tratti.Soluzione: Dati del problema:S1= 420 (km)S2= 210 (km)tp = 0re 14 istante della partenzata = ore 18 e 43 minuti istante di arrivoΔt1 = 18 e 43 – 14 = 4 ore e 43 minuti = 283 minuti durata del viaggiotintermedio= ore 16 e 35 minuti istante intermediotripartenza= ore 17 istante ripartenzaΔt = 17 – 16 e 35 = 25 minuti fermataΔt2 = 18 e 43 – 17 = 1 ora e 43 minuti = 103 minuti durata 2° trattoΔt3 = 283 – 103-25 = 155 minuti durata 1° trattoMoto vario sia su tutto il percorso sia nei vari tratti Incognite:Velocità media sull’intero percorso espressa in m/s e in km/hVelocità medie sui due tratti di percorso intervallati dalla fermata Sistema di misura consigliato:Sistema Internazionale: S.I.S (m)t (s)v (m/s) Leggi del moto da utilizzare:vMEDIA =TOTALETOTALEtSSTOTALE = TOTALEMEDIAtv t TOTALEMEDIATOTALEvS Soluzione: La velocità media sull’intero percorso è data dal rapporto tra lo spazio totale e il tempo complessivamenteimpiegato sul percorso.vMEDIA =TOTALETOTALEtS=min283km420= 1,4841 km/min · 60 (min/h) = 89,06 (km/h)vMEDIA= 89,06 (km/h) · 1.000 (m/km) /3.600 (s/h) = 24,74 (m/s) Le velocità medie sui vari tratti sono invece:v1media =11tS= hmin/60min103km210 = 122,33 (km/h)v1media= 122,33 (km/h) · 1.000 (m/km)/3.600 (s/h) = 33,98 (m/s)
  56. 56. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino56v2media =22tS= hmin/60min155km210 = 81,30 km/hv1media= 81,30 (km/h) · 1.000 (m/km)/3.600 (s/h) = 22,58 (m/s)Esercizio 3:Con una moto si è percorso un giro turistico consumando 25 litri di benzina: se il consumo di carburante è stato inmedia di 20 cm3per km e si sono impiegate complessivamente 25 ore, quale velocità media si è tenuta?Soluzione: Dati del problema:Q = 25 (lt) consumo complessivo di benzinaq = 20 (cm3/km) consumo medio di benzina per ogni kmt = 25 (h) tempo complessivamente impiegatoMoto vario sia su tutto il percorso sia nei vari tratti Incognite:Velocità media sull’intero percorso Sistema di misura consigliato:Sistema Internazionale: S.I.S (m)t (s)v (m/s) Leggi del moto da utilizzare:vMEDIA =TOTALETOTALEtSSTOTALE = TOTALEMEDIAtv t TOTALEMEDIATOTALEvS Soluzione: Considerato che si conosce il consumo totale di carburante e il consumo medio per km è possibilecalcolare lo spazio complessivo fatto dal motociclista. Equivalenza tra volume di benzina espresso il litri e volume espresso in cm3:1 litro = 1 dm3= 10 · 10 · 10 = 1.000 cm325 litri = 25 (lt) · 1.000 (cm3/lt) = 25.000 (cm3) Calcolo dello spazio percorso complessivo:S = 25.000 (cm3) /20 (km/cm3) = 1.250 (km) Calcolo della velocità media:vMEDIA =TOTALETOTALEtS=ore25km250.1= 50 (km/h)
  57. 57. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino57Esercizio 4:Un treno raggiunge una località con una velocità media di 70 km/h. Al ritorno procede per 1ora e 15 minuti ad unavelocità media di 55 km/h; si ferma per 30 minuti in una stazione di transito ed arriva alla località di partenzaimpiegando un tempo totale di 5 ore, procedendo dopo la sosta ad una velocità media di 90 km/h.Calcolare la distanza della località ed il tempo impiegato nell’andata.Soluzione: Dati del problema:v1MEDIA = 70 (km/h)v2MEDIA = 55 (km/h)t1 = 1 ora e 15 minuti = 75 (min)t2 = 30 (min)tT = 5 ore = 300 (min)v3MEDIA = 90 (km/h)Moto vario sia su tutto il percorso sia nei vari tratti Incognite:Distanza della localitàTempo impiegato nell’andata Sistema di misura consigliato:Sistema Internazionale: S.I.S (m)t (s)v (m/s) Leggi del moto da utilizzare:vMEDIA =TOTALETOTALEtSSTOTALE = TOTALEMEDIAtv t TOTALEMEDIATOTALEvS Soluzione: Utilizzando il tragitto di ritorno si calcola lo spazio complessivo:S1 = 1MEDIA t2v  = 55 (km/h) · 75 (min) / 60 (min/h) = 68,75 (km)S2 =  12TMEDIA ttt3v  = 90 (km/h) · (300-30-75) (min) / 60 (min/h) = 292,5 (km)STOTALE = 68,75 + 292,5 = 361,25 (km) Calcolo del tempo impiegato per il viaggio di andata:t TOTALEMEDIATOTALEvS =h/km70km25,361 = 5,16 (h) · 60 (min/h) = 309,64 (min)
  58. 58. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino58MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATOIl moto del corpo si sviluppa lungo una traiettoria rettilinea e la velocità aumenta o diminuiscesempre dello stesso valore in uno stesso intervallo di tempo.Se la velocità aumenta nel tempo il moto è uniformemente accelerato, se diminuisce il moto èuniformemente decelerato.Un esempio importante di moto uniformemente accelerato è la caduta dei corpi sottoposti alla forzagravitazionale terrestre (caduta dei gravi) in cui la velocità di caduta aumenta di un valore pari acirca 9,81 (m/s) per ogni secondo di durata del fenomeno.In pratica, lasciando cadere un corpo da una certa altezza e supponendo che la caduta avvenga nelvuoto, la sua velocità dopo 1 (s) sarà di 9,81 (m/s), dopo 2 (s) sarà di 2x9,81 (m/s) e così via.E’ invece un esempio importante di moto uniformemente decelerato la salita in verticale di un corpolanciato in alto e sottoposto sempre all’azione gravitazionale terrestre.In questo caso la velocità del corpo subirà una diminuzione di circa 9,81 (m/s) per ogni secondo didurata del fenomeno.Anche in questo caso dovremo supporre che il moto avvenga nel vuoto e quindi senza l’attrito conl’aria.La variazione di velocità può essere provocata da cause naturali, quali la forza di gravità, oppure inmodo artificiale con l’intervento di macchine inventate dall’uomo (motore di un’automobile,propulsore a reazione di un razzo o di un aereo).Nel primo caso si parlerà di MOTO NATURALMENTE E UNIFORMEMENTEACCELERATO mentre, nel secondo, di MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO.Con i termini “UNIFORMEMENTE ACCELERATO” s’intende che il rapporto tra il valoredell’incremento di velocità (o il decremento) tra l’istante iniziale e quello finale e il valoredell’intervallo di tempo, è costante durante tutto il moto ed è definito “ACCELERAZIONE” sepositivo, “DECELERAZIONE” se negativo.Sfruttando la simbologia già adottata per gli altri tipi di moto studiati, potremo dire che il moto èUNIFORMENTE ACCELERATO se:( v f - v i ) / ( t f - t i ) = costante = KCioè:tv= KCon il seguente significato dei simboli:v f → Velocità all’istante finale (m/s)v i → Velocità all’istante iniziale (m/s)t f → Tempo segnato dal cronometro all’istante finale (s)t i → Tempo segnato dal cronometro all’istante iniziale (s)v = v f – v i → Incremento (decremento) di velocità (m/s)t = ft - it → Intervallo di tempo (s)K → Costante del moto o ACCELERAZIONE (m/s2)Tenendo presente che il valore della costante K è l’accelerazione, potremo scrivere la leggefondamentale del moto “uniformemente accelerato” nel modo seguente:
  59. 59. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino59a =tv= ( v f - v i ) / ( t f - t i ) LEGGE DEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO.Come si nota le grandezze velocità sono da considerarsi dei vettori e l’accelerazione, essendoottenuta dal rapporto tra un vettore e un numero (Δt), continua ad essere un vettore.Si ricorda che, trattandosi di moto rettilineo, tutti i vettori sono paralleli tra loro e possono quindiessere sommati e/o sottratti con il metodo algebrico.Ciò continua ad essere importante ai fini della distinzione tra moto rettilineo e moto curvilineo.Figura 36 – CONDIZIONE DI MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO.Figura 37 - CONDIZIONE DI MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO.
  60. 60. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino60LE LEGGI DEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATOLa velocità del corpo non è mai costante, ma aumenta (o diminuisce) in modo graduale inproporzione al tempo trascorso.La variazione del valore della velocità, per ogni secondo, è uguale al valore dell’accelerazione odella decelerazione.Il vettore velocità, pur variabile come modulo, mantiene però sempre la stessa direzione rettilinea.LA LEGGE FONDAMENTALE – IL CALCOLO DELL’ACCELERAZIONE.Il moto uniformemente accelerato è caratterizzato dalle seguenti relazioni tra le grandezze tipiche:a = Δv / Δt = (vf – vi) / (tf – ti)In particolare se, all’istante iniziale, il tempo iniziale corrisponde al valore 0 (il cronometraggioinizia con il cronometro azzerato), si avrà:ti = 0 (s)da cui:a = (vf – vi) / tfSe poi l’istante finale tf è generalizzato come “istante qualsiasi” si avrà:a = (vf – vi) /t = Costantea =tv= ( v f - v i ) / t Legge fondamentale del moto uniformemente acceleratoIL DIAGRAMMA ACCELERAZIONE - TEMPOIl diagramma accelerazione-tempo, quando il moto è uniformemente accelerato, è rappresentato dauna linea retta orizzontale e quindi parallela all’asse dei tempi.Ciò è dovuto al fatto che l’accelerazione è uniforme e che quindi il suo valore è sempre lo stesso perogni istante considerato.Nel caso in cui l’accelerazione è positiva, cioè diretta nel senso positivo del moto, la retta saràcollocata superiormente all’asse dei tempi, mentre sarà collocata sotto l’asse dei tempi nel casocontrario (decelerazione).L’accelerazione positiva provoca un aumento della velocità se la velocità iniziale ha verso positivooppure una diminuzione della velocità se la velocità iniziale ha verso negativo.L’accelerazione negativa provoca una diminuzione della velocità se la velocità iniziale ha versopositivo oppure un aumento se la velocità iniziale ha verso negativo.
  61. 61. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino61Figura 38 – MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO - (DIAGRAMMA ACCELERAZIONE – TEMPO)Figura 39 – DIAGRAMMA DI MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO CON VARIAZIONI DIACCELERAZIONECome si nota le linee del grafico che rappresentano il moto uniformemente accelerato sono retteparallele all’asse dei tempi.Nel secondo diagramma, le linee inclinate rappresentano che l’accelerazione, tra i tempi indicati,NON è costante ma subisce delle variazioni proporzionali.Nel caso della fig. 102 si possono individuare quattro moti uniformemente accelerati e quattrocambi di accelerazione.
  62. 62. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino62IL DIAGRAMMA ACCELERAZIONE – TEMPO E LA VELOCITA’ FINALE.Oltre a dare indicazioni circa l’accelerazione mantenuta dal corpo in movimento in funzione deltempo trascorso, il diagramma ACCELERAZIONE-TEMPO, permette anche di visualizzare o dicalcolare la velocità del corpo ad un certo istante qualora sia nota la velocità ad un istanteprecedente.Cioè, in definitiva, se è noto il diagramma accelerazione-tempo e la velocità iniziale è possibilecalcolare la velocità finale ad un istante qualsiasi.L’incremento o il decremento di velocità rispetto alla velocità iniziale è rappresentato dall’areadelle figure racchiuse dalle seguenti linee: La linea retta che indica il valore dell’accelerazione (per il moto uniformemente acceleratouna linea parallela all’asse dei tempi – per il moto non uniformemente accelerato una lineainclinata o curva) Dalle due linee verticali, una a sinistra e una a destra, che indicano i valori dei tempi tra iquali si desidera calcolare la variazione di velocità Dalla linea orizzontale costituita dall’asse dei tempiQuando il moto è uniformemente accelerato le figure saranno rettangoli mentre se non èuniformemente accelerato saranno, di solito, triangoli o trapezi.Se l’accelerazione è espressa in m/s2e il tempo in secondi, l’area della figura rappresenterà lavariazione di velocità espressa in metri al secondo (m/s).Figura 40 – DIAGRAMMA ACCELERAZIONE-TEMPO E INCREMENTO DI VELOCITA’ NEL MOTOUNIFORMEMENTE ACCELERATO. CASO CON ACCELERAZIONE POSITIVA E/0 NEGATIVA.
  63. 63. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino63Figura 41 – DIAGRAMMA ACCELERAZIONE-TEMPO E VARIAZIONE DI VELOCITA’ NEL MOTOUNIFORMEMENTE ACCELERATO E NEI TRATTI DI MOTO CON VARIAZIONE LINEAREDELL’ACCELERAZIONE. CASO CON SOLA ACCELERAZIONE POSITIVA.Figura 42 – DIAGRAMMA ACCELERAZIONE-TEMPO E VARIAZIONE DI VELOCITA’ NEL MOTOUNIFORMEMENTE ACCELERATO E NEI TRATTI DI MOTO CON VARIAZIONE LINEAREDELL’ACCELERAZIONE. CASO CON ACCELERAZIONE POSITIVA E NEGATIVA
  64. 64. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino64LA LEGGE PER IL CALCOLO DELLA VELOCITA’ FINALE O INIZIALEUtilizzando ora la legge fondamentale del moto uniformemente accelerato è possibile, invertendola formula, trovare la relazione che permette di calcolare la velocità ad un determinato istantesupponendo di essere a conoscenza della velocità ad un istante precedente.Si ricorda, infatti, che, nel moto accelerato o decelerato con accelerazione costante (motouniformemente accelerato), la velocità con la quale procede il corpo in movimento NON E’ MAIcostante, ma cambia da istante ad istante.Dalla legge fondamentale del moto uniformemente accelerato:a = (vf – vi) /t = Costantea =tv= (v f - v i ) / t Legge fondamentale del moto uniformemente acceleratoSi ricava, invertendo la formula:vf = vi + a • t Legge per il calcolo della velocità finaleOppure, qualora occorra calcolare la velocità iniziale:vi = vf - a• t Legge per il calcolo della velocità inizialeDa tenere presente che, anche se si è rinunciato al simbolo del vettore, la velocità è comunquesempre una grandezza vettoriale.N.B.: Nelle due formule per il calcolo della velocità finale o di quella iniziale compare lagrandezza accelerazione preceduta dal segno positivo (per il calcolo della velocità finale) e dalsegno negativo (per il calcolo della velocità iniziale).Negli esercizi applicativi l’accelerazione a potrà essere positiva (accelerazione – la velocità finaledel corpo aumenta durante il movimento se la velocità iniziale è già positiva oppure diminuisce sela velocità iniziale è negativa) oppure negativa (decelerazione – la velocità finale del corpodiminuisce durante il movimento se la velocità iniziale è positiva oppure aumenta se la velocitàiniziale è negativa).In ogni caso il valore dell’accelerazione da inserire nelle due formule sarà comprensivo anche delsegno algebrico caratteristico e il risultato finale dovrà tenere conto dei segni algebrici cheprecedono:Caso 1:Accelerazione positiva: a > 0 Accelerazione (aumento di velocità)Velocità iniziale positiva: vi > 0 Concorde col verso positivovf = vi + a • t = +vi + (+a) • t = vi + a • tCaso 2:Accelerazione negativa: a < 0 Decelerazione (frenata)Velocità iniziale positiva: vi > 0 Concorde col verso positivovf = vi + a • t = +vi + (-a) • t = vi - a • t
  65. 65. APPUNTI DI FISICA – CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDOProf. Grasso Germano – Istituto Calamandrei - Crescentino65Caso 3:Accelerazione positiva: a > 0Velocità iniziale negativa: vi < 0 Discorde col verso positivovf = vi + a • t = -vi + (+a) • t = -vi + a • tCaso 4:Accelerazione negativa: a < 0Velocità iniziale negativa: vi < 0 Discorde col verso positivovf = vi + a • t = -vi + (-a) • t = -vi - a • tIL DIAGRAMMA VELOCITA’ – TEMPO NEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATOQuando il moto è uniformemente accelerato il diagramma velocità-tempo è rappresentato da unaretta più o meno inclinata rispetto alla direzione orizzontale costituita dall’asse dei tempi.L’inclinazione della retta dipende dal valore dell’accelerazione.Valori elevati dell’accelerazione comportano un aumento dell’inclinazione della retta e viceversa.Se l’accelerazione è positiva l’inclinazione della retta sarà compresa tra il valore 0° e 90° (il valoredell’accelerazione corrisponde al coefficiente angolare della retta – in pratica il valoredell’accelerazione è anche la Tangente dell’angolo formato dalla retta con l’asse dei tempi nelsistema cartesiano velocità-tempo).Se l’accelerazione è negativa (decelerazione) l’angolo sarà compreso tra il valore di 90° e 180°(oppure un angolo negativo rispetto all’asse dei tempi).In ogni caso il diagramma lineare costituito dalla linea retta rappresenta fisicamente una variazionedella velocità rispetto al tempo con valore sempre uguale al valore dell’accelerazione.Se, per esempio, l’accelerazione ha un valore di 3 m/s2ciò sta a significare che il valore dellavelocità aumenta di 3 m/s per ogni secondo.ESEMPIO:vi = 5 m/sa = 3 m/s2t = 1 (s) v1= 5 + 3 (m/s) = 8 (m/s)t = 2 (s) v2= 5 + 3·2 (m/s) = 11 (m/s)t = 3 (s) v3= 5 + 3·3 (m/s) = 14 (m/s)t = 4 (s) v4= 5 + 3·4 (m/s) = 17 (m/s)Il diagramma velocità-tempo dipende quindi dal valore della velocità che ha il corpo in motouniformemente accelerato all’istante che consideriamo iniziale (ad esempio all’istante t = 0 s).Se la velocità iniziale è nulla significa che il corpo parte da fermo e la linea retta passerà perl’origine degli assi con inclinazione positiva se positivo è il valore dell’accelerazione (accelerazionedi un’automobile nel caso di partenza da fermo ad un semaforo), con inclinazione negativa senegativo è il valore dell’accelerazione (caso di partenza in retromarcia).La funzione che ci permette di costruire il diagramma è la LEGGE PER IL CALCOLO DELLAVELOCITA’ FINALE nella sua formulazione più generale:

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