Unidad 2, paso 3

1. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALíTICA
Identidades y ecuaciones
Trigonométricas
Marleny Parra Romero
Nidia Mayerly Carvajal Rocha
Samuel David Rojas Baquero
Grupo: 29
Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD)
abril de 2021

2. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Identidades trigonométricas
¿Qué son?
Son una igualdad donde la variable o incógnita se encuentra afectada por los operadores
trigonométricos y se verifica para todo valor admisible de dicha variable.
Ejemplo:
Identidades fundamentales:
las identidades trigonométricas fundamentales sirven de base para la demostración de
otras identidades más complejas y se clasifican en:

3. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
1. Identidades Pitagóricas.
2. Identidades por cociente.
3. Identidades reciprocas entre otras.

4. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Tipos de problema donde se usan las
identidades fundamentales
Problemas para demostrar:
Demostrar una identidad consiste en que ambos miembros de la igualdad propuesta son
equivalentes, para lograr dicho objetivo, se siguen los siguientes pasos.
1) Se escoge el miembro “mas complicado”.
2) Se lleva a Senos y Cosenos (por lo general).
3) Se utilizan las identidades fundamentales y las diferentes operaciones
algebraicas.
Ejemplo:

5. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Problemas de simplificación
entre otros
Simplificar significa reducir una expresión al mínimo y para ello utilizaremos el método
de demostración de identidades.
Ejemplo:

6. Ecuaciones Trigonométricas
¿Qué son?
Una ecuación trigonométrica es aquella en la que las incógnitas aparecen formando parte
de los ángulos (argumentos) de funciones trigonométricas.
Como las incógnitas son ángulos, las soluciones que existan serán infinitas (todos los
ángulos mayores de 360º con el que hallemos), pero normalmente nos bastará con dar la
solución comprendida entre 0º y 360º. También puede darse la solución en radianes.
Para resolver ecuaciones trigonométricas, debemos sustituir las fórmulas de los ángulos
que nos vayan apareciendo.
Ejemplos:

7. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Ejemplo 1: ejemplo 2:

8. SENO Y COSENO
• El teorema del seno y el teorema del coseno son dos resultados que establecen las
relaciones entre los ángulos interiores de cualquier triángulo con el seno y coseno
de los lados opuestos a los ángulos. Su aplicación permite conocer los ángulos o
los lados del triángulo sin conocerlos todos. A continuación, enunciamos ambos
teoremas y daremos un ejemplo de aplicación.
TEOREMA DEL SENO
• Sea un triángulo cualquiera con lados a, b y c
con ángulos interiores opuestos A,B y C,
respectivamente, entonces
• Si se aplica el teorema a la fórmula del área de un triángulo (área igual a la mitad
de la base por la altura) inscrito en una circunferencia de radio RR, se obtiene una
fórmula para el área en función de los lados y del radio (apartado 3).
• Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior
(opuesto a alguno de estos dos lados), o bien, un lado y dos ángulos (uno de ellos
debe ser el opuesto al lado).
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GEOMETRÍA ANALITICA

9. EJEMPLO
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA

10. EL TEOREMA DEL COSENO
(o teorema de los cosenos) es un resultado
de trigonometría que establece la relación de
proporcionalidad existente entre las longitudes
de lados de un triángulo cualquiera con los
cosenos de sus ángulos interiores opuestos. Este
teorema es una generalización del teorema de
Pitágoras (la razón de ello se encuentra en
la nota del siguiente apartado).
• Para aplicar el teorema del coseno se
necesita conocer la longitud de dos lados y la
medida de un ángulo interior (opuesto al del
otro lado).
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GEOMETRÍA ANALITICA

11. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA

12. APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre
dos lados de un triangulo rectángulo asociado a sus ángulos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas.
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte
de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo.
El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los
sucesivo será:
•La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor
longitud del triángulo rectángulo.
•El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
•El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos
determinar.
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13. • El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de
la hipotenusa:
sin 𝑎 =
𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑎
ℎ
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos,
siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
• El coseno de un ángulo la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud
de la hipotenusa:
cos 𝑎 =
𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑏
ℎ
• La tangente de un es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del
adyacente:
tan 𝑎 =
𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑎
𝑏
• La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud
del cateto adyacente:
sec 𝑎 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
ℎ
𝑏
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14. Análisis de Triángulos No Rectángulos
Regularmente se tiende a realizar análisis sobre triángulos rectángulos, puesto que
existen otro tipo de elementos conformados por triángulos, pero no exclusivamente
rectángulos.
Así que para la deducción de estos valores es necesario soportarnos en los teoremas de
seno y coseno.
Los triángulos no rectángulos son los siguientes:
Triangulo Acutángulo: ángulos < a 90° y Obtusángulo: 2 ángulos < a 90° y 1 > a 90°.
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15. • Para la resolución de esta clase de triángulos, podemos acudir al teorema del seno
y/o coseno, dependiendo de la información que tengamos al respecto para así
proceder a realizar los cálculos correspondientes.
• Ejemplo:
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16. Ejemplo N° 2
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17. Teorema de Pitágoras Generalizado
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
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18. Referencias Bibliográficas
• Rubiños. (2015). Identidades trigonométricas [pagina de blog].
https://matematicasn.blogspot.com/2015/11/identidades-trigonometricas-
ejercicios.html
• Fórmulas y ecuaciones trigonométricas. (2020). Vadenumerros.es [página de blog].
https://www.vadenumeros.es/primero/formulas-trigonometricas.htm
• Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.:
Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237 – 265. Recuperado
de https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583
• Castañeda, H. S. (2014). Matemáticas fundamentales para estudiantes de ciencias.
Bogotá, CO: Universidad del Norte. Páginas 153 – 171. Recuperado de https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69943?page=159
• Requena, Bernat. (2014) Teorema de Pitágoras. Teorema de Pitágoras Generalizado.
[página de blog].https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/teorema-
pitagoras/
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19. GRACIAS POR SU
ATENCIÓN
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
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