Ve giá trị lớn nhat của dãy Stern.docx

ĐẠI HOC THÁI NGUYÊN
TRƯ NG ĐẠI HOC KHOA HOC
——————–o0o——————–
Tải tài liệu tại sividoc.com
Viết đề tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
PHẠM TH± THU THỦY
VE GIÁ TR± L N NHAT CỦA DÃY STERN
LU N VĂN THẠC SĨ TOÁN HOC
THÁI NGUYÊN, 10/2018

ĐẠI HOC THÁI NGUYÊN
TRƯ NG ĐẠI HOC KHOA HOC
——————–o0o——————–
Tải tài liệu tại sividoc.com
PHẠM TH± THU THỦY
VE GIÁ TR± L N NHAT CỦA DÃY STERN
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cap
Mã so: 8460113
LU N VĂN THẠC SĨ TOÁN HOC
GIÁO VIÊN HƯ0NG DAN
PGS. TS. NÔNG QUOC CHINH
THÁI NGUYÊN, 10/2018

iii
Mnc lnc
Bảng ký hi u 1
M đau 2
Chương 1. M t so kien thfíc chuan bị 4
1.1 Dãy so Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Mảng diatomic của Stern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Dãy diatomic của Stern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chương 2. Ve giá trị l n nhat của dãy Stern 14
2.1 Giá trị lớn nhat trên m®t hàng của mảng diatomic của Stern 14
2.2 Giá trị lớn thá hai trên moi hàng của mảng diatomic của Stern 16
2.3 Giá trị lớn thá ba trên moi hàng của mảng diatomic của Stern 22
2.4 Dãy w(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Ket lu n 37
Tài li u tham khảo 38

1
Bảng ký hi u
N t p hợp các so tự nhiên
Z≥0 t p hợp các so nguyên không âm
Q+
t p hợp các so hǎu tỉ dương
(Fn)n∈N dãy so Fibonacci
Fn so Fibonacci thá n
(S(n))n∈N dãy Stern
S(n) so Stern thá n
(w(n))n∈N dãy sinh bởi dãy Stern
SEA thu t toán Euclide ch m
nr, n∗
r
so thá tự mà phan tả S(nr) và S(n∗
r) là phan tả lớn
nhat trên hàng thá r
Lk(r) phan tả lớn nhat trên hàng thá r
gk(n) ước chung lớn nhat của n + k + 1 so lien nhau trong
dãy (w(n))n∈N

2
M đau
Tam giác Pascal là khái ni m toán hoc rat quen thu®c đoi với moi người
hoc toán. Trong tam giác so này, bat đau tà hàng thá hai, moi so ở hàng thá
n, tà c®t thá hai đen c®t thá n−1 bang tőng hai so đáng ở hàng trên cùng c®t
và c®t trước nó. Năm 1858, Stern đã nghiên cáu mảng diatomic, m®t mảng
có nhieu tính chat tương tự tam giác Pascal. Mảng diatomic và dãy diatomic
của Stern đã được nhieu nhà toán hoc nghiên cáu, tuy nhiên cho đen nay van
có nhieu ket quả mới của nó được công bo.
M®t trong các ket quả nghiên cáu gan đây nhat ve dãy Stern là ve giá
trị lớn nhat, giá trị lớn thá hai, giá trị lớn thá ba của các hàng trong mảng
diatomic của dãy Stern.
Với mong muon tìm hieu sâu hơn ve van đe này, tôi chon đe tài “Ve giá trị
lớn nhat của dãy Stern” làm đe tài lu n văn cao hoc của mình. Mục tiêu của
lu n văn là đoc hieu và trình bày lại hai bài báo [4] và [9].
Ngoài phan mở đau và ket lu n, n®i dung chính của lu n văn được trình
bày trong hai chương:
Chương 1. M®t so kien thác chuȁn bị. Chương này trình bày ve dãy so
Fibonacci, dãy so Stern và m®t so tính chat của dãy Stern.
Chương 2. Giá trị lớn nhat của dãy Stern. Trong chương trình bày ve các
giá trị lớn nhat như giá trị lớn nhat, giá trị lớn thá hai, giá trị lớn thá ba của
dãy S(n). Ngoài ra, chương này còn trình bày thêm ve dãy w(n) và giá trị
lớn nhat của dãy w(n).
Đe hoàn thành bản lu n văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biet ơn sâu sac
tới PGS. TS Nông Quoc Chinh, người thay nhi t huyet đã truyen thụ kien
thác, đã chỉ ra hướng đe tài và t n tình hướng dan trong suot quá trình làm
lu n văn. Đong thời, tôi xin chân thành cảm ơn các thay, cô phản bi n đã
dành thời gian đoc và đóng góp nhǎng ý kien quý báu cho bản lu n văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn toàn the các thay cô trong Khoa Toán – Tin,
Trường Đại hoc Khoa hoc – Đại hoc Thái Nguyên đã t n tình hướng dan,
truyen đạt kien thác trong suot thời gian theo hoc, thực hi n và hoàn thành
lu n văn. Qua lu n văn này, tôi cũng muon gải lời cảm ơn tới gia đình, bạn

3
bè đã luôn đ®ng viên, giúp đơ tôi trong thời gian làm lu n văn.
M c dù đã có nhieu co gang hoàn thi n lu n văn bang tat cả sự nhi t tình
và năng lực của mình. Tuy nhiên, lu n văn không the tránh khỏi nhǎng thieu
sót, tôi rat mong nh n được nhǎng đóng góp quý báu của thay cô và các bạn.
Thái Nguyên, ngày 22 tháng 9 năm 2018
Tác giả lu n văn
Phạm Thị Thu Thủy

4
−
n
1
Chương 1
M t so kien thfíc chuan bị
1.1 Dãy so Fibonacci
Định nghĩa 1.1.1. Dãy so Fibonacci, ký hi u bới {Fn}, được đ nh nghĩa bới
h thúc truy hoi sau:
với F0 = 0, F1 = 1.
Fn = Fn−1 + Fn−2, n ≥ 2,
Theo định nghĩa, ta có dãy Fibonacci:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
So hạng tőng quát của dãy so Fibonacci được xác định bởi công thác Binet
dưới đây:
1 +
√
5
M nh đe 1.1.2 (Công thác Binet). Với n ∈ Z, α =
2
và β =
1 −
√
5
,
2
ta có
Fn =
αn βn
.
α − β
Tiep theo chúng tôi trình bày m®t so tính chat của dãy so Fibonacci, các
ket quả này được sả dụng trong các cháng minh ở phan sau.
M nh đe 1.1.3 ([11, Bő đe 2.1]). Với so nguyên n ≥ 1, ta có
F2
− Fn−1Fn+1 = (−1)n−1
. (1.1)
Chúng minh. Ta sě cháng minh bang quy nạp theo n.
Với n = 1, ta có
F2
− F0F2 = 12
− 0.1 = 1 = (−1)0
.

5
2
2
n−1
n−1
n
n
n
n n−1 n
Giả sả, đȁng thác đúng với n > 1, ta cháng minh đȁng thác đúng với n + 1.
Th t v y, ta có
2
n+1 — FnFn+2 = (Fn + Fn−1) − Fn(Fn + Fn+1)
= F 2
+ 2FnFn−1 + F 2
− F − FnFn+1
= 2FnFn−1 + F 2
= 2FnFn−1 + F 2
— FnFn+1
— Fn(Fn + Fn−1)
= F2
n−1 + FnFn−1 − F 2
= Fn−1(Fn−1 + Fn) − F 2
= Fn−1Fn+1 − F 2
= −(−1)n−1
= (−1)n
.
Suy ra đieu phải cháng minh.
M nh đe 1.1.4 ([11, Bő đe 2.1]). Với hai so nguyên dương m, n bat kỳ, ta có
đȁng thúc sau
Fn+m = Fn−1Fm + FnFm+1. (1.2)
Chúng minh. Ta cháng minh bang quy nạp theo m.
Với m = 1, ta có
Fn+1 = Fn−1F1 + FnF2 = Fn−1 + Fn.
Với m = 2, ta có
Fn+2 = Fn−1F2 + FnF3 = Fn−1 + 2Fn = Fn+1 + Fn.
Giả sả, đȁng thác đúng với m > 2, ta cháng minh đȁng thác đúng với m + 1.
Th t v y, ta có
Fn+m+1 = Fn+m−1 + Fn+m
= Fn−1Fm−1 + FnFm + Fn−1Fm + FnFm+1
= Fn−1 (Fm−1 + Fm) + Fn (Fm + Fm+1)
= Fn−1Fm+1 + FnFm+2.
Suy ra đieu phải cháng minh.
H quả 1.1.5 ([11, H quả 2.2]). 1. Với so nguyên n ≥ 1, ta có
F2n = Fn (Fn−1 + Fn+1) . (1.3)
F

6
2. Với moi so nguyên không âm n, ta có
F2n+1 = F2
+ F2
. (1.4)
3. Với moi n ≥ 1, chúng ta có
n n+1
F2n+1 = Fn−1Fn+1 + FnFn+2. (1.5)
4. Với moi n ≥ 1, chúng ta có
F2n+1 = Fn+1Fn+2 − Fn−1Fn. (1.6)
H quả 1.1.6 (Tính chat d’Ocagne). Với hai so nguyên m, n và m ≥ n, ta
có
FmFn+1 − Fm+1Fn = (−1)n
Fm−n. (1.7)
M nh đe 1.1.7 ([11, Bő đe 3.1]). Với so nguyên n ≥ 1, ta có
FnFn+1 − Fn−1Fn+2 = (−1)n−1
. (1.8)
M®t cách tőng quát ta có m nh đe dưới đây:
M nh đe 1.1.8 ([12, Bő đe 5]). Giả sủ a, b, c, d là bon so nguyên dương với
a + b = c + d và b ≥ max {c, d}. Khi đó, ta có
FaFb − FcFd = (−1)a+1
Fb−cFb−d. (1.9)
M nh đe 1.1.9 ([11, Bő đe 2.4]). 1. Neu n ≥ 6 thì ta có
Fn−2Fn−1 > Fn+1. (1.10)
2. Với mői n ≥ 3, chúng ta có
F3n−1(Fn + Fn−3) > Fn−2Fn−1FnFn+1. (1.11)
M nh đe 1.1.10 ([12, Bő đe 15]). 1. Với n ≥ 1, chúng ta có
F6n+2 > F2n(F2n−2 + F2n)(F2n+2 + F2n+4). (1.12)
2. Với so nguyên dương n, ta có
2F4n(F4n + F4n+2) > F2n+2F4n+3(F2n−2 + F2n). (1.13)

7
n+1
n+1
3. Với n ≥ 2, chúng ta có
F4n−2(F2n−2 + F2n)(F2n+2 + F2n+4) > F4n(F4n−2 + F4n). (1.14)
M nh đe 1.1.11 ([12, Bő đe 40]). Với moi n ≥ 1, chúng ta có
2F3n+3 > FnFn+1Fn+6. (1.15)
Chúng minh. Úng dụng đȁng thác (1.2) nhieu lan, ta thu được
F3n+3 = FnF2n+2 + Fn+1F2n+3 > FnFn+3
= Fn(FnFn+1 + Fn+1Fn+2) + Fn+1(FnFn+2 + Fn+1Fn+3)
= FnFn+1(Fn + 2Fn+2) + F 2
(Fn + 2Fn+1)
= FnFn+1(Fn + Fn+1 + 2Fn+2) + 2F 2
> FnFn+1(3Fn+2 + 2Fn+1)
= FnFn+1Fn+5.
Vì the ta có
2F3n+3 − FnFn+1Fn+6 > 2FnFn+1Fn+5 − FnFn+1Fn+6
= FnFn+1(2Fn+5 − Fn+6) > 0.
Hoàn thành vi c cháng minh.
M nh đe 1.1.12 ([12, Bő đe 42]). Với moi n ≥ 2, chúng ta có
F2nF2n+1 − Fn+1Fn+4F2n−2 < 0. (1.16)
Chúng minh. Áp dụng các h thác (1.6) và (1.9) ta có
Fn+2Fn+3 − FnFn+1 = F2n+3,
Fn+1Fn+4 − Fn+2Fn+3 = (−1)n
.
Suy ra
Vì the, ta có
Fn+1Fn+4 = FnFn+1 + F2n+3 + (−1)n
> F2n+3 + 2.
F2nF2n+1 − Fn+1Fn+4F2n−2 < F2nF2n+1 − (F2n+3 + 2)F2n−2
= (F2nF2n+1 − F2n−2F2n+3) − 2F2n−2
= 2 − 2F2n−2 ≤ 0.
Suy ra đieu can cháng minh.

8
1.2 Mảng diatomic của Stern
Năm 1858 trong m®t bài báo công bo nghiên cáu của mình, M.A. Stern đã
nghiên cáu tính chat của m®t dãy được xây dựng tương tự tam giác Pascal,
đó là mảng tam giác được goi là mảng diatomic, bang cách chon hai giá trị
a, b ở hàng đau, hàng thá hai có ba phan tả xây dựng bang cách viet lại hàng
m®t, và chèn tőng của hai phan tả ở hàng m®t,... tương tự như v y: hàng thá
n được xây dựng bang cách viet lại hàng n − 1 và chèn vào giǎa hai phan tả
bat kỳ của hàng n − 1 giá trị tőng của 2 phan tả đó,. . .
a b
a a + b b
a 2a + b a + b a + 2b b
a 3a + b 2a + b 3a + 2b a + b 2a + 3b a + 2b a + 3b b
.
Bảng 1.1: Mảng diatomic tőng quát
Tính chat của mảng ditomic tőng quát. (Xem Bảng 1.1).
Kí hi u r là chỉ so của hàng thá r trong mảng diatomic (Bảng 1.1); với
quy ước hàng đau tiên áng với hai phan tả ban đau cho r trước là a và b có
chỉ so r = 0. Khi đó, ta có m®t so tính chat sau:
a) Các so a và b luôn đáng ở vị trí đau và cuoi moi hàng.
b) So (a + b) luôn là phan tả nam ở chính giǎa moi hàng.
c) Neu m®t hàng có k phan tả, thì hàng tiep theo sě có 2k − 1 phan tả.
d) So các phan tả nam trên hàng thá r là 2r
+ 1, và tat cả các phan tả
của hàng này sě có m t trên moi hàng dưới nó (trên hàng thá r + k, moi
k ≥ 1).
e) Neu ta kí hi u Sr(a, b) là tőng tat cả các phan tả nam trên hàng r, khi
đó ta có:
Sr(a, b) =
3r
+ 1
(a + b)
2
f) Ta luôn có: Sr(a, b) = Sr(b, a).
g) Ta luôn có: Sr(a + a′
, b + b′
) = Sr(a, b) + Sr(a′
, b′
).

9
(
h) Neu (a, b) = 1 (a và b là hai so nguyên to cùng nhau) thì hai phan tả
bat kì lien ke nhau trên m®t hàng luôn nguyên to cùng nhau; Hơn nǎa
b® ba bat kì lien nhau trên m®t hàng: m, n, s (với n = m + s), ta luôn
có: (m, s) = 1.
1.3 Dãy diatomic của Stern
Stern đã nghiên cáu tính chat của mảng diatomic tőng quát, ông đã kiem
tra trường hợp đ c bi t với a = b = 1. Khi đó, mảng diatomic được cho như
trong Bảng 1.2.
1 1
1 2 1
1 3 2 3 1
1 4 3 5 2 5 3 4 1
1 5 4 7 3 8 5 7 2 7 5 8 3 7 4 5 1
1 6 5 9 4 11 7 10 3 11 8 13 5 12 7 9 2 9 7 12 5 13 8 11 3 10 7 11 4 9 5 6 1
Bảng 1.2: Mảng diatomic
Trong Bảng 1.2 neu ta đánh so thá tự như Bảng 1.3, ta nh n được m®t
dãy so nguyên dương (S(n)) với n ∈ N. Với quy ước S(0) = 0, ta thay dãy
so trên có tính chat đ c bi t sau:
S(2n) = S(n)
S(2n + 1) = S(n) + S(n + 1), n ≥ 1.
(1.17)
S(1) S(2)
S(2) S(3) S(4)
S(4) S(5) S(6) S(7) S(8)
S(8) S(9) S(10) S(11) S(12) S(13) S(14) S(15) S(16)
S(16) S(17) S(18) S(19) S(20) S(21) S(22) S(23) S(24) S(25) S(26) S(27) S(28) S(29) S(30) S(31) S(32)
Bảng 1.3: Mảng diatomic
Định nghĩa 1.3.1. Dãy so nguyên dương được xác đ nh theo công thúc truy
hoi :
S(2n) = S(n)
S(2n + 1) = S(n) + S(n + 1), n ≥ 1,
với S(0) = 0, S(1) = 1 được goi là dãy Stern.
(1.18)
(

10
2
2
r
2
r
M®t trong các tính chat hien nhiên nhat của mảng diatomic trong Bảng
1.2 là tính đoi xáng. Trong moi hàng của mảng diatomic, tính đoi xáng được
ký hi u là
S(n) = S(n∗
) trong đó n∗
:= 3 · 2r
− n với 2r
≤ n ≤ 2r+1
. (1.19)
Hàng thá r của mảng diatomic (Bảng 1.2) xác định các so Stern gom các
phan tả S(n) với 2r
≤ n ≤ 2r+1
.
Nh n xét 1.3.2. Dãy Stern là m®t dãy các so nguyên dương được lay trong
mảng diatomic của Stern khi a = b = 1 (Trong Bảng 1.2). Các hàng trong
Bảng 1.2 là đoi xáng qua phan tả đáng giǎa là so 2.
Nên ngoài các tính chat đã cho trong mảng diatomic tőng quát (Bảng 1.1)
ta còn nh n thay m®t so các tính chat sau trong Bảng 1.2:
Tính chat 1.3.3. (a) Các hàng trong mảng diatomic là đoi xúng qua phan
tủ đúng giũa là so 2.
(b) Tőng các phan tủ trên hàng thú r của Bảng 1.2 bang 3r
+ 1.
M nh đe 1.3.4. So tat cả các phan tủ tù hàng đau tiên (r = 0) đen het hàng
thú r trong mảng diatomic là 2r+1
+ r và tőng của chúng là 3r+1
+1
+ r.
Chúng minh. Ta cháng minh m nh đe này bang quy nạp.
- Với k = 1, khi đó hàng 0 và hàng 1 có 5 = 21+1
+ 1 phan tả và tőng các
phan tả đó là 6 = 31+1
+1
+ 1. Như v y, m nh đe đúng với k = 1.
- Giả sả m nh đe đúng với moi k < r.
- Khi đó so các phan tả tà hàng 0 đen het hàng thá (r − 1) theo giả thiet quy
nạp là 2(r−1)+1
+ (r − 1) = 2r
+ (r − 1). Theo tính chat d) trong mục 1.2, ta
thay hàng thá r có (2 + 1) phan tả, nên so các phan tả tà hàng 0 đen het
hàng r là 2r
+ (r − 1) + (2r
+ 1) = 2r+1
+ r.
- Theo giả thiet quy nạp, tőng tat cả các phan tả tà hàng 0 đen het hàng thá
(r − 1) là 3(r−1)+1
+1
+ (r − 1). Theo tính chat (b) ở trên, tőng các phan tả ở
hàng r là 3 + 1. Tà đó suy ra tőng tat cả các phan tả tà hàng 0 đen het hàng
thá r là
3r+1 + 1 r
2
+ (r − 1) + 3
M nh đe được cháng minh.
+ 1 =
3r+1 + 1
+ r.
2
Tính chat 1.3.5. (a) Giá tr trung bình của các phan tủ nam trên hàng thú
r xap xí bang (3/2)r
. Thực v¾y, giá tr đó bang (3r
+1)/(2r
+1) ' (3/2)n
.

11
(b) Trên hàng thú r ta luôn có phan tủ thú k bang phan tủ thú (2r
+ 2 − k).
Vì trên hàng thú r có 2r
+ 1 phan tủ; thay ngay phan tủ đau tiên (úng với
k = 1) bang phan tủ cuoi cùng 2r
+ 1 = 2r
+ 2 − 1. Tù đó suy ra phan tủ
thú k bang phan tủ thú 2r
+ 2 − k.
(c) Trên hàng thú r của mảng diatomic 1.2: phan tủ xuat hi n là tőng của
hai phan tủ lien ke được goi là phan tủ c¾p đôi b¾c r, trên hàng thú r có
2r−1
phan tủ c¾p đôi b¾c r, và chúng đeu ớ các v trí chȁn. Có 2r−1
+ 1
phan tủ không c¾p đôi, các phan tủ này đeu là các so của hàng (r − 1)
đưa xuong, và luôn ớ v trí lé trên hàng thú r.
M nh đe 1.3.6. Với 3 phan tủ lien ke nhau (a, b, c) trên m®t hàng ta luôn
có (a + c)/b là m®t so nguyên.
Chúng minh. Th t v y, có hai khả năng xảy ra, thá nhat neu b là phan tả
c p đôi, ta có ngay b = a + c nên (a + c)/b = 1. Thá hai, trường hợp a và c
là các phan tả c p đôi, ta sě cháng minh bang quy nạp theo chỉ so hàng.
Với k = 3, có 4 phan tả c p đôi, nên các b® ba có dạng đó là: (4, 3, 5); (5, 2, 5);
(5, 3, 4), cả ba trường hợp này tính chat này đeu đúng (a + c)/b là so nguyên.
Giả sả với k ≤ r − 1, moi b® ba (a, b, c), trong đó a và c là các so c p đôi,
ta luôn có: (a + c)/b là so nguyên. Xét trên hàng r, với b® ba bat kì (a, b, c)
mà a, c là các so c p đôi. Kí hi u p, a, b, c, q với a = p + b; c = b + q. Khi đó
b® ba (p, b, q) là ba phan tả lien nhau thu®c hàng (r − 1); theo giả thiet quy
nạp ta có (p + q)/b là so nguyên. Vì v y:
a + c
=
b
(b + p) + (b + q)
b
2b + p + q
=
b
là so nguyên. Ta có đieu phải cháng minh.
Nh n xét 1.3.7. Hai phan tủ lien nhau bat kì trên m®t hàng là nguyên to
cùng nhau.
Khȁng định này được suy ra tà tính chat h) trong mục 1.2.
M nh đe 1.3.8. Moi so c¾p đôi b¾c r đeu là so Stern có chí so lé, nghĩa là:
Neu trên hàng thú r, so a là so c¾p đôi thì ton tại k ∈ N sao cho a = S(2k+1).
Chúng minh. - Trước het ta sě cháng minh bang quy nạp rang: Phan tả đau
tiên của hàng thá k là so Stern có chỉ so chȁn.
Với k = 1, rõ ràng phan tả đau tiên là 1 = S(2).
Với k = 2, ta thay phan tả đau tiên là 1 = S(4). Giả sả m nh đe đúng
với k ≤ r − 1.

12
Theo cách xác định trong Bảng 1.3, thì hàng thá (r − 1) có 2r−1
phan
tả nam trong dãy Stern S(n). Theo giả thiet quy nạp, phan tả đau tiên của
hàng đó có chỉ so chȁn, suy ra phan tả thá 2r
− 1 của hàng đó có chỉ so lẻ.
Vì v y phan tả đau tiên của hàng thá r có chỉ so chȁn.
- Do v y các so c p đôi trên hàng thá r là các so ở vị trí chȁn trên hàng đó
(xuat phát tà so 1 là phan tả đau hàng), Mà so 1 đó có chỉ so chȁn, nên các
so c p đôi có chỉ so lẻ.
M nh đe 1.3.9. C¾p (a, b) hai phan tủ lien nhau chí xuat hi n đúng m®t lan
trong mảng diatomic.
Chúng minh. - Trước het, ta có nh n xét: Trong hai so lien nhau trên 1 hàng
của mảng diatomic, so nào lớn hơn là so c p đôi, và vì v y so đó có chỉ so lẻ.
- Ta cháng minh bang phản cháng. Giả sả trong mảng diatomic, (a, b) là c p
so đau tiên, mà c p này lại xuat hi n ít nhat m®t lan trong các hàng sau đó.
Nghĩa là ton tại p và q (p < q) sao cho
(a, b) = (S(p), S(p + 1)) = (S(q), S(q) + 1),
trong đó p là so nguyên dương nhỏ nhat thỏa mãn đieu ki n này.
Giả sả a < b. Khi đó theo nh n xét trên b là so c p đôi, suy ra ton tại p1 đe
cho
S(p) = S(2p1) = S(p1) = a và S(p+1) = S(2p1 +1) = S(p1)+S(p1 +1) = b.
Như v y trong hàng thá r có các so a, b = a + c, c mà a = S(p1), c =
S(p1 + 1) = b − a. Hai phan tả (a, c) = (S(p1), S(p1 + 1)) nam trên hàng thá
(r − 1).
L p lu n tương tự đoi với c p (a, b) = (S(q), S(q+1)) ta cũng có b = S(q+1)
là so c p đôi nên ton tại q1 sao cho :
S(q) = S(2q1) = S(q1) = a, S(q + 1) = S(2q1 + 1) = S(q1) + S(q1 + 1) = b
Nên sě có m®t c p lien nhau trong mảng diatomic (S(q1), S(q1 + 1)) với
S(q1 + 1) = b − a. Như v y, ton tại c p (S(p1), S(p1 + 1)) với p1 < p, và
c p này cũng xuat hi n ít nhat m®t lan trong mảng diatomic. Đieu này mâu
thuan với giả thiet (a, b) = (S(p1), S(p1 + 1)) là c p đau tiên (p là so nguyên
dương nhỏ nhat) ở trên. Ta có đieu phải cháng minh.
M nh đe 1.3.10. Giả sủ a và b là 2 so nguyên dương, nguyên to cùng nhau.
Khi đó c¾p (a, b) sẽ xuat hi n như 2 phan tủ lien ke nhau trong dãy Stern hay
nói cách khác, ton tại k ∈ N sao cho (a, b) = (S(k), S(k + 1)).
Chúng minh. Theo giả thiet ta có (a, b) = 1 hơn nǎa theo thu t toán Euclide,
ta có (a, b) = (a, b − a) = (a − b, b). Kí hi u SEA là thu t toán cho c p (a, b)

13
với (a, b − a) khi b ≥ a ho c (a − b, b) khi a > b. Ta có nh n xét sau: Neu
c p (a, b) không xuat hi n như hai phan tả lien nhau trong dãy Stern thì các
c p SEA (a, b) cũng không thu®c dãy Stern. Thực v y, giả sả (a, b) = 1 , và
c p (a, b) không là hai phan tả lien nhau trong dãy Stern, thực hi n liên tục
thu t toán SEA ta có:
(a, b)
SEA
SEA (1, 1).
− → · · · · · · − →
Suy ra c p (1,1) cũng không thu®c dãy Stern (vô lý, vì c p (1, 1) là c p đau
tiên trong dãy Stern).
Nh n xét: Cho trước hai so bat kỳ a, b ∈ Z+
, (a, b) = 1, ta thay c p (a, b)
luôn là m®t c p lien nhau nào đó trong dãy Stern, ngoài ra đó là c p duy
nhat (tác là chúng chỉ xuat hi n đúng m®t lan trong dãy Stern). Vì v y, ánh
xạ ϕ : Z+
→ Q+
xác định bởi ϕ(n) = S(n)/S(n + 1) là m®t song ánh. Tà đó
ta có khȁng định sau.
Định lj 1.3.11. Moi so hũu ty dương đeu có the bieu dien dưới dạng thương
của hai so Stern lien nhau trong dãy Stern. Nghĩa là, moi r ∈ Q+
ton tại
n ∈ N sao cho r = S(n)/S(n + 1).
Vì S(2n) = S(n), nên bang quy nạp ta có S(2k
n) = S(n) do đó ta có
S(2k
) = 1. Ta de dàng có
Định lj 1.3.12. 1. Với 0 ≤ j ≤ 2r
ta có
S(2r
n ± j) = S(2r
− j)S(n) + S(j)S(n ± 1). (1.20)
2. Tù công thúc (1.20) ta có
S(2r
− 1) = r và S(2r
+ 1) = r + 1. (1.21)
3. Theo đ nh nghĩa ta cũng de thay
S(2n) < S(2n + 1) và S(2n + 2) < S(2n + 1). (1.22)

14
Chương 2
Ve giá trị l n nhat của
dãy Stern
2.1 Giá trị l n nhat trên m t hàng của mảng diatomic của
Stern
Định nghĩa 2.1.1. Ký hi u Lm(r) là giá tr lớn nhat thú m trong hàng thú
r trong mảng diatomic của Stern.
Nghĩa là giá trị lớn nhat trong hàng thá r là L1(r), giá trị lớn thá hai là
L2(r), .... Ket quả sau đây được đe xuat bởi Lucas [6], sau đó được cháng
minh bởi tác giả Lehmer [5].
Định lj 2.1.2. Với moi r ≥ 0, ta có L1(r) = Fr+2. Ngoài ra, giá tr lớn
nhat này xuat hi n với giá tr nr = (4.2r
− (−1)r
)/3, tương úng như n∗
r =
(5.2r
+ (−1)r
)/3.
Chúng minh. • Xét trên mảng diatomic 1.2 ta thay: Với r = 1, ta có F3 = 2
là m®t giá trị lớn nhat của hàng 1.
Với r = 2, ta có F4 = 3 là giá trị lớn nhat của hàng 2, và ta có: n2 =
5, n2
∗
= 7. Nghĩa là S(5) = S(7) = 3 = F4 là giá trị lớn nhat của hàng 2;
Với r = 3; n3 = 11; n3
∗
= 13, Ta có S(11) = S(13) = 5 = F5 là giá trị lớn
nhat của hàng 3.
Như v y ta thay định lý là đúng khi r = 1, r = 2 và r = 3. Hơn nǎa ta
còn nh n thay b® 3: (F4, F5, F3) và (F3, F5, F4) đeu xuat hi n như b® ba
lien nhau trong hàng thá 3, và F5 = F4 + F3.

15
−
— −
r
• Giả sả với moi k ≤ r − 1, ta có phan tả lớn nhat của hàng thá k là
Fk+2 = Fk+1 + Fk và b® 3: (Fk+1, Fk+2, Fk), (Fk, Fk+2, Fk+1) là lien ke
nhau trong hàng thá k.
- Khi đó trong hàng thá r có phan tả c p đôi có dạng:
Fr−2+1 + Fr−1+1 = Fr+1 + Fr = Fr+2
theo kí hi u L1(r) là phan tả lớn nhat của hàng r ta có Fr+2 ≤ L1(r).
- M t khác, do L1(r) là phan tả c p đôi b c r nên trong hàng r có b® ba
(a, L1(r), b) với a + b = L1(r).
Rõ ràng (a, b) là hai phan tả lien nhau của hàng (r −1), khi đó m®t trong
hai phan tả sě xuat hi n ở hàng thá (r − 2).
Vì v y theo giả thiet quy nạp ta có:
a + b ≤ L1(r − 2) + L1(r − 1) = Fr + Fr+1 = Fr+2.
Suy ra L1(r) ≤ Fr+2.
Tà đó suy ra: L1(r) = Fr+2.
- Vì giá trị lớn nhat của hàng thá r xuat hi n xen kě bên trái, ho c bên
4.2r
− (−1)r
phải giá trị lớn nhat của hàng trước đó, nên ta có nr =
3
và
n∗
r =
5.2r
+ ( 1)r
.
3
Đe ý rang trong mảng diatomic của Stern, nam trên hàng lẻ thì phan tả
lớn nhat luôn nam bên trái của phan tả lớn nhat của hàng trên đó, còn neu
trên hàng k chȁn thì phan tả lớn nhat luôn nam bên phải của phan tả lớn
nhat của hàng trên nó.
Vì v y, vị trí của phan tả lớn nhat của hàng thá r được suy ra tà vị trí
phan tả lớn nhat của hàng phía trên đó.
nr = 2.nr−1 − (−1) =
4.2r
− (−1)r
2[4.2r−1
( 1)r−1
] r
3
− (−1)
= .
3
∗ 5.2r
+ (−1)r
Tương tự, ta có nr =
3
.

16
Moi quan h giǎa vị trí của giá trị lớn nhat trong hàng r và hàng thá r−1
đóng vai trò quan trong. Ta có
nr = 2nr−1 − (−1)r
, (2.1)
nghĩa là, giá trị lớn nhat trong hàng thá r sě xuat hi n xen kě ve bên trái
ho c bên phải của giá trị lớn nhat trước đó trong mảng diatomic. Tương tự,
ta có
n∗
r = 2n∗
r−1 + (−1)r
(2.2)
suy ra tà tính đoi xáng trong nảa sau của hàng đó.
Bảng 2.1: Giá trị lớn nhat của S(n) trong các hàng
Hàng r n L1(r)
0 1 1
1 3 2
2 5,7 3
3 11,13 5
4 21,27 8
5 43,53 13
6 85,107 21
7 171,213 34
8 341,427 55
9 683,853 89
10 1365,1707 144
11 2731,3413 233
2.2 Giá trị l n thfí hai trên mői hàng của mảng diatomic
của Stern
Chúng ta có the tính toán giá trị lớn thá hai trong m®t hàng cụ the k ≤ 14
của mảng diatomic của Stern. Giá trị lớn thá hai, là các giá trị được trình
bày trong Bảng 2.2, và các giá trị này có moi quan h như sau
L2(r) = L2(r − 1) + L2(r − 2), với r ≥ 6. (2.3)

17
Bảng 2.2: Giá trị lớn thá hai của S(n) trong các hàng
Hàng r n L2(r)
1 2, 4 1
2 6 2
3 9, 15 4
4 19, 23, 25, 29 7
5 45, 51 12
6 83, 91, 101, 109 19
7 173, 181, 203, 211 31
8 339, 363, 405, 429 50
9 685, 725, 811, 851 81
10 1363, 1451, 1621, 1709 131
11 2733, 2901, 3243, 3411 212
12 5459, 5803, 6485, 6829 343
Tuy nhiên, bat đau tà hàng thá 4, ton tại 4 giá trị lớn thá hai. Hai trong 4
giá trị lớn thá hai này sinh ra tà hai giá trị lớn thá 2 của hai hàng liên tiep
phía trước, tác là L2(r − 1) + L2(r − 2), hai giá trị còn lại sinh ra tà tő hợp
tuyen tính 2L1(r − 2) + L1(r − 4).
Định lj 2.2.1. Với moi r ≥ 6 ta có L2(r) = L2(r − 1) + L2(r − 2) =
2L1(r − 2) + L1(r − 4) = 2Fr + Fr−2.
Chúng minh. Ta cháng minh bang quy nạp
- Với r = 6 ta có L2(6) = 19 = 12 + 7 = L2(5) + L2(4) = 2 × 8 + 3 =
2L1(4) + L1(2).V y định lý đúng với r = 6.
- Giả sả định lý đúng với moi chỉ so 6 ≤ k ≤ r − 1. Khi đó trên hàng
thá (r − 1) ta có b® 3 lien nhau (L2(r − 2), L2(r − 1), L2(r − 3)) với
L2(r − 1) = L2(r − 2) + L2(r − 3). Vì v y trên hàng thá r có phan tả
A = L2(r − 2) + L2(r − 1). Theo giả thiet quy nạp ta có :
A = L2(r − 2) + L2(r − 1)
= 2L1(r − 4) + L1(r − 6) + 2L1(r − 3) + L1(r − 5)
= 2Fr−2 + Fr−4 + 2Fr−1 + Fr−3
= 2(Fr−1 + Fr−2) + Fr−2.

18
Suy ra A = 2Fr + Fr−2.
Theo Định lý 2.1.2, ta có L1(r) = Fr+2 = Fr+1 + Fr = 2Fr + Fr−1.
Nên ta có A < L1(r) = Fr+2. Như v y A không là phan tả lớn nhat của
hàng r. Hay A ≤ L2(r).
Với B < L1(r) trên hàng r, giả sả trên hàng r ta có b® ba lien nhau là
(a, B, b) với B = a + b.
Khi đó, trên hàng (r − 1), ta có c p (a, b) lien nhau.
Giả sả B là phan tả c p đôi bat kỳ trên hàng r thỏa mãn B < L1(r). Ta
sě cháng minh B ≤ A.
Th t v y, trên hàng r sě có b® 3 lien nhau là (a, B, b), với B = a+b. Trên
hàng (r − 1) có c p lien nhau (a, b). Có 2 khả năng xảy ra:
• Khả năng 1. M®t trong 2 phan tả đó là phan tả lớn nhat của hàng (r −1).
Giả sả a = L1(r − 1). Theo Định lý 2.1.2, suy ra ho c b = L1(r − 2),
ho c b = L1(r − 3).
- Rõ ràng b L1(r − 2), vì neu ngược lại thì suy ra a + b = B = L1(r)
trái với giả thiet ở trên ve B.
- Với khả năng b = L1(r − 3), ta có
B = a + b = L1(r − 1) + L1(r − 3) = Fr+1 + Fr−1
= Fr + Fr−1 + Fr−2 + Fr−3 = 2Fr + Fr−3
Vì với moi r ≥ 6 ta có Fr−3 < Fr−2 suy ra B < A.
• Khả năng 2. Cả 2 phan tả a và b đeu không phải là phan tả lớn nhat của
hàng (r − 1), suy ra a, b ≤ L2(r − 1).
a) Trường hợp 1 trong 2 phan tả đó bang L2(r − 1), rõ ràng trong hàng
(r − 1) theo giả thiet quy nạp ta có 2 b® 3 dạng: (L2(r − 2), L2(r −
1), L2(r − 3)) và (L1(r − 3) + L1(r − 5), L2(r − 1), L1(r − 3)). Giả sả
a = L2(r − 1). Khi đó
∗ Neu b = L2(r − 2) thì B = a + b = A.
∗ Neu b = L2(r − 3) thì B = a + b < A
∗ Neu b = L1(r−3)+L1(r−5) thì B = a+B = 3L1(r−3)+2L1(r−
5) = 3Fr−1 + 2Fr−3 = 2Fr + Fr−3 + Fr−5. Do Fr−2 = Fr−3 + Fr−4
suy ra B < A.
Trường hợp b = L1(r − 3) hien nhiên B < A.
b) Xét trường hợp a, b < L2(r − 1). Giả sả a là phan tả c p đôi b c
(r − 1). Khi đó b là phan tả nam trên hàng (r − 2). Khi đó ta có

19
· − −
a < L2(r − 1) = 2Fr−1 + Fr−3 = Fr + 2Fr−3 và b ≤ L1(r − 2) = Fr.
Do a là tőng của các so Fibonacci nên suy ra a ≤ Fr + Fr−3 + Fr−4 =
Fr + Fr−2. Do v y B = a + b ≤ 2Fr + Fr−2 = A.
Ví dn 2.2.2. Tù Bảng 2.2, ta xét hàng thú 8, ta thay
S(363) = S(181) + S(182) = S(181) + S(91)
= 31 + 19 = L2(7) + L2(6) = 50 = L2(8).
Sủ dựng Bảng 2.1, ta có
S(339) = 2S(85) + S(84) = 2S(85) + S(21)
= 2.21 + 8 = 2L1(6) + L1(4) = 50 = L2(8).
Như v y, cách thá hai đe thu được giá trị lớn thá hai là tà 2L1(r − 2) +
L1(r − 4), và nó sě xuat hi n hai lan tà bên trái ho c bên phải vị trí L1(r).
Ta có m®t cách tiep c n nǎa đe tính toán giá trị lớn thá hai trên m®t hàng.
Định nghĩa 2.2.3. Với r ≥ 4, đ¾t
n2,1(r) :=
17 2r−2 ( 1)r−1
3
và n2,2(r) :=
16 · 2r−2
− 7(−1)r
3
Tà tính đoi xáng đã được trình bày trong (1.19), ta có
∗ 19 · 2r−2
+ (−1)r−1
∗ 20 · 2r−2
+ 7(−1)r
n2,1(r) =
3
và n2,2(r) =
3
.
Ta thay n2,1(r) = n2,2(r) = 35 tại r = 5 vì v y chỉ ton tại hai vị trí của L2(5).
Ta thay rang S(n2,1(r)) và S(n2
∗
,1(r)) cho ta hai giá trị lớn thá hai trong
hàng thá r như tőng của các giá trị lớn thá hai ở trên, và S(n2,2(r)) và
S(n∗
2,2(r)) chỉ ra giá trị lớn thá hai của hàng thá r như tő hợp tuyen tính của
các giá trị lớn nhat ở hàng trên. Ngoài ra n2,1(r) có dãy truy hoi tương tự nr
trong (2.1):
n2,1(r) =
17 × 2r−2
− (−1)r−1
3
17 × 2r−2
+ 2 × (−1)r−1
− 3 × (−1)r−1
3
= 2n2,1(r − 1) + (−1)r
.
(2.4)
Ta cũng có
n2,2(r) =
16 × 2r−2
− 7 × (−1)r
3
2r
− (−1)r
3 (2.5)
= 4nr−2 − (−1)r
= nr − 2(−1)r
.
.
=
= 4 ×

20
−
r
đȁng thác này 2L1(r − 2) + L1(r − 4), sě xuat hi n ho c tà hai phía bên trái
ho c bên phải của L1(r) xuat hi n trong hàng.
Với các ket quả trên ta sě chỉ ra m®t cách cháng minh khác của Định lý
2.2.1.
Định lj 2.2.4. (i) L2(r) = Fr+2 − Fr−3 = L1(r) − Fr−3, với r ≥ 4.
(ii) S(n2,1(r)) = S(n∗
2,1(r)) = S(n2,2(r)) = S(n2
∗
,2(r)) = L2(r), với r ≥ 4.
(iii) Với r ≥ 6, ta có S(n2,1(r)) = S(n∗
2,1(r)) = L2(r) = L2(r − 1) + L2(r − 2),
túc là dãy các giá tr lớn thú 2 hoàn toàn được xác đ nh tù tőng L2(r −
1) + L2(r − 2) với r ≥ 6.
(iv) Với r ≥ 8 ta có S(n2,2)(r) = S(n∗
2,2(r)) = L2(r) = 2L1(r−2)+L1(r−4).
Chúng minh. Giả sả các khȁng định (i)–(iv) đúng với tat cả các hàng có chỉ
so k ≤ r với r ≥ 8. Trước tiên ta sě cháng minh rang, ngoài giá trị lớn nhat
trong hàng r + 1, không ton tại so hạng nào lớn hơn L2(r) + L2(r − 1).
Neu 2k ∈ [2r+1
, 2r+2
], khi đó theo giả thiet quy nạp tà khȁng định (i), ta
thay tat cả các so hạng chȁn trong hàng (r + 1) có
S(2k) = S(k) ≤ L1(r) = Fr+2 < Fr+2 + 2Fr−1 = Fr+3 − Fr−2
= L2(r) + L2(r − 1).
Tiep theo ta sě chỉ ra c n trên của tat cả các so hạng lẻ của hàng thá (r+1), đ c
bi t là các so hạng S(4k±1). Ta xét k ∈ [2r−1
, 2r
] sao cho 4k±1 ∈ (2r+1
, 2r+2
).
Trước tiên ta xét m®t so trường đ c bi t. Neu k = nr−1, ho c k = n∗
r
ta có
−1,
S(2nr−1 − (−1)r
) = S(nr) = L1(r) = S(n∗
r)
= S(2n∗
r−1 + (−1)r
),
suy ra S(2nr−1 + (−1)r
) < L1(r) và S(2n∗
r 1 − (−1)r
) < L1(r). Tương tự,
neu k = 2nr−2 ho c k = 2n∗
r 2
−
, ta có
S(2 · 2nr−2 + (−1)r
) = S(nr) = L1(r) = S(n∗
r)
= S(2 · 2n∗
r−2 − (−1) ),
nghĩa là S(2 · 2nr−2 − (−1)r
) < L1(r) và S(2 · 2n∗
r 2 + (−1)r
) < L1(r).
−
Ngoại trà các trường hợp đ c bi t k = nr−1, n∗
, 2 −2, ho c 2n∗
, ta có
r−1 nr r−2
S(2k ± 1) < L1(r), vì v y S(2k ± 1) ≤ L2(r). Khi đó ta có
S(4k ± 1) = S(2k) + S(2k ± 1)
= S(2k ± 1) + S(k) ≤ L2(r) + L2(r − 1).

21
(
(
2S(nr−2) + S(2nr−2 + (−1)r
)
Tiep theo ta xét tiep các trường hợp sau. Neu k = nr−1, ta có
S(4nr−1 − (−1)r
) = S(2nr−1) + S(2nr−1 − (−1)r
)
= S(nr−1) + S(nr) = L1(r + 1),
ta bỏ qua giá trị lớn nhat này (vì ta tìm giá trị lớn thá hai). Tiep theo ta có
S(4nr−1 + (−1)r
) = S(2nr−1) + S(2nr−1 + (−1)r
)
= S(nr−1) + S(nr−1) + S(nr−1 + (−1)r
)
= 2S(nr−1) + S(2nr−2 + 2(−1)r
)
= 2S(nr−1) + S(nr−2 + (−1)r
)
= 2S(nr−1) + S(2nr−3 − (−1)r
+ (−1)r
)
= 2S(nr−1) + S(nr−3)
= 2L1(r − 1) + L1(r − 3). (2.6)
Tà tính đoi xáng, ta có
S(4n∗
r−1 − (−1)r
) = 2L1(r − 1) + L1(r − 3) và S(4n∗
r 1 + (−1)r
) = L1(r).
Cuoi cùng, neu k = 2nr−2 ta có
S(4 · 2nr−2 ± 1) = 2S(nr−2) + S(2nr−2 ± 1)
=
2S(nr−2) + S(2nr−2 − (−1)r
)
=
2S(nr−2 + S(nr−1) = 2L1(r − 2) + L1(r − 1)
3S(nr−2) + S(nr−4) = 3L1(r − 2) + L1(r − 4)
< 2L1(r − 1) + L1(r − 3).
Vì v y ta chỉ can so sánh
2L1(r − 1) + L1(r − 3) với L2(r) + L2(r − 1).
Tuy nhiên, sả dụng giả thiet quy nạp trong phan (i) ta có
L2(r) + L2(r − 1) = Fr+2 − Fr−3 + Fr+1 − Fr−4
= Fr+3 − Fr−2 = L1(r + 1) − L1(r − 4)
= 2L1(r − 1) + L1(r − 3).
Vì v y, tat cả các phan tả trong hàng thá (r + 1), ngoài giá trị lớn nhat, nhỏ
hơn ho c bang L2(r) + L2(r − 1), do đó ta có
L2(r + 1) = Fr+3 − Fr−2 = L2(r) + L2(r − 1)
= 2L1(r − 1) + L1(r − 3).
−

22
· − −
· − − − −
Đánh giá S(n2,1(r + 1)) và sả dụng đȁng thác (2.4), ta có
S(n2,1(r + 1)) = S(2n2,1(r) + (−1)r+1
)
= S(n2,1(r)) + S(n2,1(r) − (−1)r
)
= S(n2,1(r)) + S(2n2,1(r − 1))
= S(n2,1(r)) + S(n2,1(r − 1))
= L2(r) + L2(r − 1).
Ta cũng thay rang tà đȁng thác (2.5) ta có n2,2(r + 1) = 4nr−1 + (−1)r
, và
trong đánh giá tà đȁng thác (2.6) ta đã có S(4nr−1 +(−1)r
) ta cũng có L2(r).
Do đó, ta thu được giá trị lớn nhat thá hai. Cuoi cùng, bang tính đoi xáng
của dãy Stern trong các hàng, ta có
S(n∗
2,1(r +1)) = S(n2,1(r +1)) = L2(r +1) = S(n2,2(r +1)) = S(n∗
2,2(r +1)).
2.3 Giá trị l n thfí ba trên mői hàng của mảng diatomic
của Stern
Giá trị lớn thá ba trong các hàng của mảng diatomic, được cho trong Bảng
2.3, cũng thỏa mãn dãy truy hoi Fibonacci. Sự l p lại này bat đau ở hàng thá
10 và các hàng 8 và 9 cho hai giá trị ban đau
Tương tự với giá trị lớn thá hai trong moi hàng, ton tại bon phan tà
bang nhau lớn thá ba. Theo tính đoi xáng, thì hai phan tả thá ba trên
moi hàng có dạng L3(r − 1) + L3(r − 2) và hai phan tả còn lại có dạng
(2L1(r −4)+L1(r −6))+(3L1(r −4)+2L1(r −6)) hay 5L1(r −4)+3L1(r −6)
Định nghĩa 2.3.1. Với r ≥ 8, xét
n3,1(r) :=
64 2r−4
31( 1)r
3
và n3,2(r) :=
65 · 2r−4
+ (−1)r
3
Bang tính đoi xáng, ta có
∗ 80 · 2r−4
+ 31(−1)r
∗ 79 · 2r−4
− (−1)r
n3,1(r) =
3
và n3,2(r) =
3
.
Ta sě cháng minh rang n3,1(r), n∗
3,1(r), n3,2(r), và n∗
3,2(r) cho ta giá trị lớn
thá ba trong hàng thá r của mảng diatomic. Tà đó, ta có
n3,1(r) =
4 2r
( 1)r
30( 1)r
r
3
= nr − 10(−1) . (2.7)
n3,2(r) = 2n3,2(r − 1) + (−1)r
và n3,2(r) − (−1)r
= 2n3,2(r − 1). (2.8)
.

23
Bảng 2.3: Giá trị lớn thá ba trong các hàng của mảng diatomic của Stern
Hàng r n L3(r)
1 N/A N/A
2 4 1
3 10, 14 3
4 17, 22, 26, 31 5
5 37, 41, 55, 59 11
6 75, 87, 105, 117 18
7 165, 219 30
8 331, 347, 421, 437 49
9 693, 843 80
10 1355, 1387, 1685, 1717 129
11 2741, 2773, 3371, 3403 209
12 5451, 5547, 6741, 6837 338
Định lj 2.3.2. (i) Với r ≥ 8, L3(r) = L2(r) − Fr−7 = Fr+1 + 5Fr−4 =
L1(r) − 3Fr−5.
(ii) Với r ≥ 8, S(n3,1(r)) = S(n∗
3,1(r)) = S(n3,2(r)) = S(n3
∗
,2(r)) = L3(r).
(iii) Với r ≥ 8, S(n3,1(r)) = S(n∗
3,1(r)) = L3(r) = 5L1(r − 4) + 3L1(r − 6).
(iv) Với r ≥ 10, S(n3,2(r)) = S(n∗
3,2(r)) = L3(r) = L3(r − 1) + L3(r − 2).
Chúng minh. Ta sě cháng minh quy nạp theo chỉ so dãy k ≥ 10.
1. Khi k = 10. Căn cá vào các bảng (2.1), (2.2), và (2.3) và dãy Fibonacci
ta có:
(a)
L3(10) = 129 = 131 − 2 = L2(10) − F3 = L2(10) − F10−7
= 89 + 5 × 8 = F10+1 + 5F10−4
= 144 − 3 × 5 = L1(10) − 3F10−5
(b) n3,1(10) = 1355; n∗
3,1(10) = 1717
n3,2(10) = 1387; n∗
3,2(10) = 1685
và S(1355) = S(1717) = S(1387) = S(1685) = 129 = L3(10).

24
r
r
r
r
r
r
r
r r
r r
r r
r r
r r
r r
r r r
r r r
(c) L3(10) = 129 = 5.21 + 3.8 = 5.L1(10 − 4) + 3L1(10 − 6)
(d) L3(10) = 80 + 49 = L3(10 − 1) + L3(10 − 2)
Như v y với k = 3, các đieu ki n i), ii), iii), iv) đeu đúng.
2. Giả sả định lý đúng với moi k : 10 ≤ k ≤ r. Ta sě cháng minh định lý
đúng với k = r + 1
(a) Trước het sả dụng bieu thác (2.8) ta có:
S(n3,2(r + 1)) = S(2n3,2(r) − (−1)r
)
= S(n3,2(r)) + S(n3,2(r) − (−1) )
= L3(r) + S(2n3,2(r − 1))
= L3(r) + L3(r − 1).
(b) Tiep theo sả dụng bieu thác (2.7) ta có:
S(n3,1(r + 1)) = S(nr+1 + 10(−1)r
) = S(2nr + (−1)r
+ 10(−1)r
)
= S(nr + 5(−1) ) + S(nr + 5(−1) + (−1) )
= S(2nr−1 − (−1) + 5(−1) ) + S(2nr−1
+ 6(−1) − (−1) )
= S(nr−1 + 2(−1) ) + S(nr−1 + 3(−1) ) + S(nr−1
+ 3(−1) − (−1) )
= 2S(nr−1 + 2(−1) ) + S(nr−1 + 3(−1) )
= 2S(2nr−2 + (−1) + 2(−1) ) + S(2nr−2 + (−1)
+ 3(−1) )
= 2S(nr−2 + (−1) ) + 2S(nr−2 + 2(−1) )
+ S(nr−2 + 2(−1) )
= 2S(nr−3) + 3S(2nr−3 + (−1) )
= 2S(nr−3) + 3S(nr−3) + 3S(nr−3 + (−1) )
= 5S(nr−3) + 3S(2nr−4 + 2(−1) )
= 5S(nr−3) + 3S(nr−4 + (−1) )
= 5S(nr−3) + 3S(2nr−5)
= 5L1(r − 3) + 3L1(r − 5).
(c) Cũng tà giả thuyet quy nạp cho đieu ki n i) ta có:
A = L3(r) + L3(r − 1) = Fr+3 − 3Fr−4 = 5Fr−1 + 3Fr−3
= 5L1(r − 3) + 3L1(r − 5).

25
(d) Ta sě cháng minh trong hàng (r + 1) của mảng diatomic của Stern,
tat cả các phan tả ngoại trà L1(r + 1) và L2(r + 1) đeu nhỏ hơn ho c
bang A.
Ta thay với moi so chȁn 2m ∈ [2r+1
, 2r+2
], theo các tính chat đã chỉ ra
của mảng diatomic thì các so Stern S(2m) không là các so c p đôi, vì v y
chúng đeu thu®c hàng thá r. Do v y ta có:
S(2m) = S(m) ≤ L1(r) = Fr+2 ≤ Fr+2 + 5Fr−3
= L3(r) + L3(r − 1) = A.
Tiep theo xét các phan tả S(2m + 1) với 2m + 1 ∈ [2r+1
, 2r+2
], trong so
các phan tả S(2m + 1) trên hàng (r + 1) này trước het ta loại bỏ đi (xóa
đi) 2 phan tả lớn nhat (L1(r + 1)) và 4 phan tả lớn thá hai (L2(r + 1))
của hàng này. Ta sě cháng minh moi phan tả còn lại dạng S(2m + 1) của
hàng (r + 1) đeu ≤ A.
Theo M nh đe 1.3.8 trong 1.3, ta thay S(2m + 1) đeu là các so c p đôi
b c (r + 1) và ta có: S(2m + 1) = S(m) + S(m + 1), trong đó các phan
tả S(m) và S(m + 1) là 2 phan tả lien nhau của hàng thá r. Ký hi u
b là phan tả lớn hơn, và c là phan tả bé hơn trong 2 phan tả S(m) và
S(m + 1). Ta thay b là phan tả c p đôi b c r, và c là phan tả thu®c hàng
(r − 1). Đe cháng minh: S(2m + 1) = b + c ≤ A, ta lan lượt xét tàng
trường hợp dưới đây:
(a) Trường hợp b = L1(r), khi đó c = L1(r − 1) ho c c = L1(r − 2) vì
L1(r) + L1(r − 1) = L1(r + 1) là phan tả lớn nhat của hàng (r + 1),
nên ta loại bỏ khả năng c = L1(r − 1), vì ta đã loại đi phan tả lớn
nhat. Khi c = L1(r − 2) ta có:
b + c = L1(r) + L1(r − 2) = Fr+2 + Fr
= Fr+2 + 3Fr−3 + Fr−4 < Fr+2 + 5Fr−3.
Suy ra khi b = L1(r) ta có S(2m + 1) = b + c < A.
(b) Trường hợp b = L2(r) khi đó c nh n m®t trong 4 giá trị sau: c =
L2(r − 1) ho c c = L2(r − 2); ho c c = L1(r − 2) + L1(r − 4) ho c
c = L1(r − 2).
i. Với c = L2(r − 1) ⇒ b + c = L2(r) + L2(r − 1) = L2(r + 1), đieu
này không xảy ra, vì ta đã loại bỏ phan tả L2(r + 1).

26
ii. Với c = L2(r − 2) theo Định lý 2.2.4 ta có:
S(2m + 1) = b + c = L2(r) + L2(r − 2) = Fr+2 − Fr−3 + Fr − Fr−5
= Fr+2 + Fr−2 + 2Fr−4
= Fr+2 + Fr−3 + 3Fr−4 < Fr+2 + 5Fr−3 = A.
iii. Với c = L1(r − 2) + L1(r − 4) ta có
b + c = 2L1(r − 2) + L1(r − 4) + L1(r − 2) + L1(r − 4)
= 3L1(r − 2) + 2L1(r − 4)
= 3Fr + 2Fr−2 = Fr+2 + 3Fr−2 = Fr+2 + 3Fr−3 + 3Fr−4
= Fr+2 + 4Fr−3 + Fr−4 + Fr−6 < Fr+2 + 5Fr−3 = A.
iv. Trường hợp c = L1(r − 2), hien nhiên b + c < A.
(c) Trường hợp b = L3(r). Theo giả thiet quy nạp có 2 cách đe xác định
L3(r), vì v y c có the nh n m®t trong 4 giá trị sau: c = L3(r − 1),
ho c c = L3(r − 2), ho c c = 2L1(r − 4) + L1(r − 6) ho c c =
3L1(r − 4) + 2L1(r − 6).
i. Với c = L3(r − 1). Ta có b + c = L3(r) + L3(r − 1) = A.
ii. Với c = L3(r − 2), hien nhiên b + c < A.
iii. Với c = 3L1(r − 4) + 2L1(r − 6). Ta có
b + c = 8L1(r − 4) + 5L1(r − 6) = 8Fr−2 + 5Fr−4 < A.
iv. Trường hợp c = 2L1(r − 4) + L1(r − 6) hien nhiên b + c < A.
(d) Trường hợp b < L3(r).
i. Với c = L1(r − 1) = Fr+1 là phan tả lớn nhat trên hàng (r − 1).
Khi đó ho c b = L1(r − 1) + L1(r − 2) = L1(r), ta loại bỏ trường
hợp này vì b < L3(r). Ho c b = L1(r − 1) + L1(r − 3), khi đó
b + c = 2L1(r − 1) + L1(r − 3) = L2(r + 1), đieu này cũng không
xảy ra vì ta đã loại các phan tả lớn thá 2 khỏi hàng (r + 1).
ii. Với c = L2(r − 1). Khi đó b có the nh n m®t trong 4 giá trị sau:
• Với b = L2(r − 1) + L2(r − 2) = L2(r). Ta loại bỏ khả năng này
vì đang xét trường hợp b < L2(r).
• Với b = L2(r − 1) + L2(r − 3), Khi đó
b + c = 2L2(r − 1) + L2(r − 3)
= 2Fr+1 − 2Fr−4 + Fr−1 − Fr−6
= Fr+2 + 4Fr−3 − Fr−6
< Fr+2 + 5Fr−3 = A.

27
• Với b = 3L1(r − 3) + 2L1(r − 5), vì c = L2(r − 1) = 2L1(r −
3) + L1(r − 5) ta có
b + c = 5L1(r − 3) + 3L1(r − 5)
= 5Fr−1 + 3Fr−3 = Fr+2 + 5Fr−3 = A
• b = 3L1(r − 3) + L1(r − 5), hien nhiên b + c < A.
iii. Với c ≤ L3(r − 1), ta có b + c < L3(r) + L3(r − 1) = A.
Như v y trong moi khả năng lựa chon các giá trị b và c ta luôn có
S(2m + 1) = b + c ≤ A = L3(r) + L3(r − 1).
V y A là phan tả lớn thá 3 trong hàng (r + 1) hay L3(r + 1) =
L3(r) + L3(r − 1). Định lý được cháng minh.
Nh n xét 2.3.3. Theo các Đ nh lý 2.2.4 (i) và 2.3.2 (i), ta có L2(r) =
Fr+2 − Fr−3 và L3(r) = L2(r) − Fr−7. Chú ý rang L3(r) = Fr+2 − Fr−3 − Fr−7.
Tù Bảng 2.4, ta có các chú ý sau:
L4(r) = L3(r) − Fr−11 = Fr+2 − Fr−3 − Fr−7 − Fr−11
với r ≥ 12,
L5(r) = L4(r) − Fr−15 = Fr+2 − Fr−3 − Fr−7 − Fr−11 − Fr−15
với r ≥ 16, và
L6(r) = L5(r) − Fr−19 = Fr+2 − Fr−3 − Fr−7 − Fr−11 − Fr−15 − Fr−19
với r ≥ 20.

28
Bảng 2.4: Giá trị Lm của dãy S(n) trong các hàng
Hàng r L1(r) L2(r) L3(r) L4(r) L5(r) L6(r)
3 5 4 3 2 1 N/A
4 8 7 5 4 3 2
5 13 12 11 10 9 8
6 21 19 18 17 16 15
7 34 31 30 29 27 26
8 55 50 49 47 46 45
9 89 81 80 79 76 75
10 144 131 129 128 123 121
11 233 212 209 208 207 199
12 377 343 338 337 335 322
13 610 555 547 546 545 542
14 987 898 885 883 882 877
15 1597 1453 1432 1429 1428 1427
16 2584 2351 2317 2312 2311 2309
17 4181 3804 3749 3741 3740 3739
18 6765 6155 6066 6053 6051 6050
19 10946 9959 9815 9794 9791 9790
20 17711 16114 15881 15847 15842 15841
21 28657 26073 25696 25641 25633 25632
22 46368 42187 41577 41488 41475 41473
23 75025 68260 67273 67129 67108 67105

29
2
2
(
0, neu m ≤ [ ♩ ho¾c 2 | r;
4
Σ
Ket quả tiep theo dưới đây chỉ ra moi quan h giǎa ho các giá trị lớn thá r
trong dãy Stern với các so Fibonacci, ket quả xác định cụ the quan h của r và
m trong công thác Lm(r). Ket quả này được Roland Paulin cháng minh trong
bài báo “Largest Values of the Stern Sequence, Alternating Binary Expansions
and Continuants” đăng trên tạp chí “Journal of Integer Sequences” năm 2017.
Định lj 2.3.4. Neu r ∈ Z≥0, thì
{L1(r), . . . , L[r
|(r)} = {Fr+2 − FiFj; i, j ∈ Z≥0, i + j = r − 1}.
Ngoài ra, neu 1 ≤ m ≤ [r
|, thì
Lm(r) = Fr+2 − F2m−2−bFr−2m+1+b,
trong đó
b = b(m, r) =
r+3
4
1, neu m > [r+3
♩ và 2 ‡ r.
Trong Bảng 2.4 công thác truy hoi Fibonacci bat đau tà hàng thá 14 với
L4, và hàng thá 16 với L5, và hàng thá 22 với L6. Tà đây cho ta m nh đe sau
(hai m nh đe dưới đây chính là hai giả thuyet được Jennifer Lansing đe xuat
trong bài báo [4]).
M nh đe 2.3.5. Với moi r ≥ 4m − 2, giá tr lớn thú m thóa mãn Lm(r) =
Lm(r − 1) + Lm(r − 2).
M nh đe 2.3.6. Với r ≥ 4(m − 1), ta có đȁng thúc sau
m
Lm(r) = Lm−1(r) − Fr−(4m−5) = Fr+2 − Fr−(4j−5).
j=2
Vi c cháng minh Định lý 2.3.4 được trình bày trong bài báo [9], đe cháng
minh ket quả này bao gom h thong các ket quả của bài báo dài 13 trang,
trong khuôn khő của lu n văn chúng tôi chỉ giới thi u mà không trình bày n®i
dung của cháng minh trong lu n văn này.

30
2.4 Dãy w(n)
M nh đe 2.4.1. Với moi m ≥ 1 ta có S(3m) là m®t so chȁn.
Chúng minh. Với k = 1, ta có S(3) = 2, m nh đe là đúng. Giả sả m nh đe
đúng với moi k ≤ (m − 1). Ta cháng minh m nh đe đúng với k = m.
* Với m chȁn ta có: S(3m) = S(3m/2) là so chȁn theo giả thiet quy nạp
* Với m lẻ, ta có 3m là 1 so lẻ.
- Theo M nh đe 1.3.8, ta thay trên hàng r moi c p so c p đôi a b c r
đeu là so có chỉ so lẻ trong dãy S(n), nghĩa là ton tại t thu®c t p N sao cho
a = S(2t+1); và ngược lại neu n là so lẻ thì S(n) = S(2t+1) = S(t)+S(t+1),
nghĩa là S(n) là 1 so c p đôi trên 1 hàng nào đó. Do đó S(3m) là so c p đôi
trên hàng nào đó.
- Ta lại xét dãy: a = S(3(m − 1)), b = S(3(m − 1) + 1), c = S(3(m − 1) +
2), d = S(3m), e = S(3m + 1). Vì (m − 1) là so chȁn nên a = S(3(m − 1))
là so chȁn. Do (a, b) = 1 nên b = S(3(m − 1) + 1) là so lẻ, và cũng là so c p
đôi, vì 3(m − 1) + 1 là so lẻ.
- Áp dụng M nh đe 1.3.8 trong 1.3 Chương 1 ta có 3 phan tả (a, b, c) là
lien nhau và b = a + c, nên ta luôn có (a, b) = 1 và (a, c) = 1. Do a là so chȁn
nên suy ra c là so lẻ.
- Ta thay (a, c, e) là 3 phan tả lien nhau tà hàng trên hạ xuong: c = a + e.
Do a chȁn, c lẻ nên suy ra e là so lẻ. Suy ra d = S(3m) = c + e là so chȁn.
Đieu phải cháng minh.
Định nghĩa 2.4.2. Kí hi u w(n) =
S(3n)
2
, moi n ∈ Z≥0. Khi đó ta có dãy
(w(n))n∈N với các phan tủ của nó là so tự nhiên.
Bảng 2.5 dưới đây thong kê các giá trị của dãy S(n) và w(n) với n ≤ 64.
Nh n xét: Dãy w(n) hoàn toàn được xác định tà dãy S(n). Ta đã biet dãy
S(n) được xác định bởi công thác truy hoi : S(2n) = S(n), S(2n + 1) =
S(n) + S(n + 1) với moi n ≥ 2 và S(0) = 0, S(1) = 1. M®t câu hỏi được đ t
ra là, không can sả dụng dãy S(n), ta có the tính được w(n) với moi n hay
không?
Định lj 2.4.3. Xét w(0) = 0, w(1) = 1 và w(3) = 2. Với n ≥ 1, ta có
w(2n) = w(n),
w(8n ± 1) = w(4n ± 1) + 2w(n), (2.9)
w(8n ± 3) = w(4n ± 1) + w(2n ± 1) − w(n). (2.10)

31
Bảng 2.5: M®t so giá trị của dãy so S(n) và w(n)
n S(n) w(n) n S(n) w(n) n S(n) w(n) n S(n) w(n)
1 1 1 17 5 6 33 6 8 49 9 13
2 1 1 18 4 4 34 5 6 50 7 9
3 2 2 19 7 5 35 9 9 51 12 12
4 1 1 20 3 2 36 4 4 52 5 5
5 3 2 21 8 3 37 11 7 53 13 8
6 2 2 22 5 3 38 7 5 54 8 7
7 3 4 23 7 7 39 10 9 55 11 15
8 1 1 24 2 2 40 3 2 56 3 4
9 4 4 25 7 9 41 11 7 57 10 17
10 3 2 26 5 5 42 8 3 58 7 9
11 5 3 27 8 7 43 13 4 59 11 11
12 2 2 28 3 4 44 5 3 60 4 6
13 5 5 29 7 9 45 12 8 61 9 13
14 3 4 30 4 6 46 7 7 62 5 8
15 4 6 31 5 8 47 9 11 63 6 10
16 1 1 32 1 1 48 2 2 64 1 1
0
1
1
2 1 2
2 4 1 4 2
3 2 5 4 6 1 6 4 5 2 3
3 7 2 9 5 7 4 9 6 8 1 8 6 9 4 7 5 9 2 7 3
Bảng 2.6: Mảng tam giác của dãy w(n)

32
Chúng minh. Sả dụng tính chat của dãy S(n) và cách xác định dãy so w(n),
ta có
w(2k
n) =
1
S(3 · 2k
n) =
1
S(3n) = w(n).
2 2
Tà w(2n + 1) ta có
1 1
w(2n + 1) = S(3n + 1) +
2
S(3n + 2),
2
có công thác truy hoi phác tạp. Tuy nhiên, xét các so không chia het cho 4
1
w(4n + 1) =
w(4n + 3) =
S(3n) + S(3n + 1) = w(n) + S(3n + 1), (2.11)
2
1
S(3n + 3) + S(3n + 2) = w(n + 1) + S(3n + 2), (2.12)
2
Ta viet gon lại như sau
w(4n ± 1) = w(n) + S(3n ± 1).
Tà đó ta có
và
S(3n ± 1) = w(4n ± 1) − w(n),
w(8n ± 1) = w(2n) + S(6n ± 1) = w(n) + S(3n) + S(3n + 1)
= 3w(n) + w(4n ± 1) − w(n),
w(8n ± 3) = w(2n ± 1) + S(6n ± 2) = w(2n ± 1) + S(3n ± 1)
= w(4n ± 1) + w(2n ± 1) − w(n).
Xét Mk là giá trị lớn nhat của dãy w(n) trong hàng thá k. Bảng 2.7 ve
các giá trị lớn nhat của dãy w(n) và vị trí xuat hi n các giá trị lớn nhat.
Các so Fibonacci Fr là so chȁn khi r là b®i của 3, suy ra L1(r) = Fr+2 là
so chȁn khi r ≡ 1 (mod 3). Ta có, L2(r) = Fr+2 − Fr−3, là so chȁn neu r ≡ 2
(mod 3).
Neu r ≡ 1 (mod 3), thì Fr+2 là so chȁn và Fr−3 là so lě, do đó tőng của
chúng là so lẻ. Neu r ≡ 0 (mod 3), thì Fr+2 là so lẻ, và Fr−3 là so chȁn.
Neu r ≡ 2 (mod 3), thì cả hai so đó là lẻ vì v y Fr+2 − Fr−3 là so chȁn.
Ta có L3(r) = Fr+2 − 3Fr−5 là so chȁn khi r ≡ 0 (mod 3).
Ta có Định lý sau:

33
2 2 2
Định lj 2.4.4. Với k ≥ 5, giá tr lớn nhat của dãy w(n) trong hàng thú k là
1 1
2
Fk+1 −
2
Fk−4 khi k ≡ 0 (mod 3),
1 3
2
Fk+1 −
2
Fk−6 khi k ≡ 1 (mod 3),
1
2
Fk+1 khi k ≡ 2 (mod 3).
Chúng minh. Đây là h quả của Định lý 2.1.2, 2.2.4, và 2.3.2. Nh n thay, khi
ba giá trị lớn nhat của dãy S(n) bat đau thõa mãn công thác hoi quy như là
các dãy so Fibonacci, tác là dãy L1(r) với moi r, L2(r) với r ≥ 4 (k ≥ 5),
và L3(r) với r ≥ 8 (k ≥ 9). Tuy nhiên, trong hàng thá r = 6 (hàng thá
k = 7), L3 là 184 và là giá trị chȁn lớn nhat giǎa L1, L2, và L3. Ta cũng có
1
(F8 − 3F1) = 1
(21 − 3) = 1
· 18 = 9, vì v y đieu ki n cuoi đúng với k = 7.
Định lý được cháng minh.

34
Hàng r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
L1(r)
2
3
5
8
13
21
L2(r) L3(r)
1 N/A
2 1
4 3
7 5
11
19
31
55
89
30
49
81
131
233
377
129
209
343 338
212
144
80
50
34
18
12
Bảng 2.7: Giá trị lớn nhat của dãy w(n) trong các hàng
Hàng n Mk Hàng n Mk
2 1 1 13 1817, 1849, 2247, 2279 169
3 2 1 14 3641, 4551 305
4 3, 5 2 15 7281, 7737, 8647, 9103 449
5 7,9 4 16 14567, 14791, 17977, 18201 716
6 15, 17 6 17 29127, 36409 1292
7 25, 29, 35, 39 9 18 58255, 61895, 69177, 72817 1902
8 57, 71 17 19 116505, 118329, 143815, 145639 3033
9 113, 121, 135, 143 25 20 233017, 291271 5473
10 231, 281 40 21 466033, 495161, 533415, 582543 8057
11 455, 569 72 22 932071, 946631, 1150521, 1165081 12848
12 911, 967, 1081, 1137 106 23 1864135, 2330169 23184
Bảng 2.8: So sánh ba giá trị lớn nhat của dãy S(n) trong các hàng

35
2
2 2
− −
−
Trong dãy Stern ta đã biet với moi n ∈ N, ta có (S(n), S(n + 1)) = 1.
- Tuy nhiên đieu này không còn đúng nǎa đoi với dãy w(n).
- Trong Bảng 2.6 ta thay ngay w(9) = 4, w(10) = 2 và (w(9), w(10)) = 2.
Hay (w(14), w(15)) = (4, 6) = 2.
Ta sě thay, moi so nguyên a > 0, thì luôn ton tại n sao cho (w(n), w(n +
1)) = a, thông qua định lý sau:
Định lj 2.4.5. Với moi so nguyên tùy ý a > 0, luôn ton tại so n ∈ N thóa
mãn (w(n), w(n + 1)) = a.
Chúng minh. Với n = (4a
− 1)/3, ta thay trong dãy Stern với moi r luôn có:
S(2r
+ 1) = S(2r
) + S(2r
− 1) + · · · + S(21
) + S(20
+ 1) = r + 1,
và S(2r
− 1) = r Ta có
Ta lại có
w(n) = w(
4a
1
) =
3
S(22a
1)
=
2
(2a)
2
= a.
w(n + 1) = w(
4a
− 1
3
+ 1) =
S(22a
1 + 3)
=
2
S(22a
+ 2)
2
S(22a−1
+ 1)
= =
2
2a − 1 + 1
2
= a.
Vì v y (w(n), w(n + 1)) = a. Định lý được cháng minh.
Nh n xét: Khi (w(n), w(n + 1)) = a, tuy nhiên đây không phải là c p duy
nhat có ước chung lớn nhat là a. Chȁng hạn, với a = 2 thì có (w(5), w(6)) =
(w(6), w(7)) = (w(9), w(10)) = (w(14), w(15)) = 2.
Câu hỏi đ t ra là, với nhǎng giá trị nào của n, thì c p so lien nhau w(n)
và w(n + 1) trong dãy (w(n))n∈N là nguyên to cùng nhau. Ta có định lý sau
chỉ ra đieu ki n đủ đe (w(n), w(n + 1)) = 1.
Định lj 2.4.6. Với moi so nguyên dương a ta có:
(w(4a), w(4a + 1)) = (w(4a + 3), w(4a + 4)) = 1.
Chúng minh. Sả dụng các công thác (2.11) và (2.12) ta có:
(w(4a), w(4a + 1)) =
S(3a)
,
S(3a)
+ S(3a + 1)
=
S(3a)
, S(3a + 1) = 1.

36
2
2 2
Tương tự:
(w(4a + 3), w(4a + 4)) =
S(3a + 3)
,
S(3a + 3)
+ S(3a + 2)
=
S(3a + 3)
, S(3a + 2) = 1.
Định lý được cháng minh.
Định nghĩa 2.4.7. Ta kí hi u gk(n) = gcd{w(n), w(n+1), w(n+2), . . . , w(n+
k)} (là ước chung lớn nhat của (n + k + 1) so lien nhau trong dãy (w(n)).
Chȁng hạn: gcd{w(5), w(6), w(7)} = 2 = g2(5)
Nh n xét: như v y với k = 2, ta thay có nhieu b® 3 lien nhau trong dãy
(w(n))n∈N có ước chung lớn nhat lớn hơn 1.
Tà Định lý 2.4.6 ta có h quả sau:
H quả 2.4.8. Với moi so nguyên dương a, ta có: g2(4a) = g2(4a + 2) =
g2(4a + 3).
Chúng minh. Theo Định lý 2.4.6 ta có: (w(4a), w(4a+1)) = (w(4a+3), w(4a+
4)) = 1. Nên suy ra g2(4a) = g2(4a + 2) = g2(4a + 3) = 1. Vì đây là các b® 3
c p lien nhau, có cháa 2 c p lien nhau ở trên. (ta có đieu can cháng minh)
H quả 2.4.9. Với moi so nguyên a, ta có: g3(a) = 1.
Chúng minh. Do g2(4a) = gcd{w(4a), w(4a + 1), w(4a + 2)} = 1 nên trong
dãy (w(n))n∈N, moi b® 4 so lien nhau đeu là nguyên to cùng nhau. Vì v y
g3(a) = 1.

37
Ket lu n
Lu n văn đã trình bày ve mảng diatomic và dãy diatomic của Stern cũng
như đã trình bày các giá trị lớn nhat trên moi hàng của mảng diatomic của
Stern. Ngoài ra, lu n văn cũng chỉ ra sự tương đong giǎa dãy Stern S(n) và
dãy w(n) = S(3n)/2 được sinh ra bởi dãy S(n).
Dựa theo các tài li u tham khảo, lu n văn mới chỉ trình bày nhǎng n®i
dung cơ bản, đ c trưng ve giá trị lớn nhat của dãy Stern. Hy vong trong thời
gian tới, tác giả lu n văn có đieu ki n tìm hieu sâu hơn ve mảng diatomic và
dãy diatomic của Stern.

38
Tài li u tham khảo
[1] Giuli C., Giuli R. (1979), “A primer on Stern’s diatomic sequence I”,
Fibonacci Quart., 17, pp.103–108.
[2] Lansing J. (2013), “Distribution of values of the binomial coefficients and
the Stern sequence”, J. Integer Seq. 16, Article 13.3.7.
[3] Lansing J. (2014), On the Stern sequence and a related sequence, Ph. D.
Dissertation, University of Illinois.
[4] Lansing J. (2014), “Largest values for the Stern sequence”, Journal of
Integer Sequences, 17, pp. 1–18.
[5] Lehmer D. H. (1929), “On Stern’s diatomic series”, Amer. Math. Monthly,
36, pp. 59–67.
[6] Lucas E. (1878), “Sur les suites de Farey”, Bull. Soc. Math. France, 6, pp.
118–119.
[7] Northshield S. (2010), “Stern’s diatomic sequence 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1,
4, . . .”, Amer. Math. Monthly, 117, pp. 581–590.
[8] Ohtsuka H., Nakamura S. (2008), “On the sum of reciprocal Fibonacci
numbers”, Fibonacci Quart. 46/47 (2008/2009), pp. 153 – 159.
[9] Paulin R. (2017), “Largest values of the stern sequence, alternating binary
expansions and continuants ”, Journal of Interger Sequences, 20, Article
17.2.8.
[10] Reznick B. (2008), “Regularity properties of the Stern enumeration of the
rationals”, J. Integer. Seq., 11, Article 08.4.1.
[11] Wang A.Y.Z., Wen P.B. (2015), “On the partial finite sums of the recip-
rocals of the Fibonacci numbers", J. Inequal. Appl., Article 73.

39
[12] Wang A.Y.Z., Yuan T. (2017), “Alternating Sums of the Reciprocal Fi-
bonacci Numbers”, Journal of Interger Sequences, 20, Article 17.1.4.

Ve giá trị lớn nhat của dãy Stern.docx

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Ve giá trị lớn nhat của dãy Stern.docx

Similar to Ve giá trị lớn nhat của dãy Stern.docx (20)

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Ve giá trị lớn nhat của dãy Stern.docx