Về Phương Trình Hàm Jensen, Tính Ổn Định Và Ứng Dụng.docx

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
Tải tài liệu tại sividoc.com
Viết đề tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
HOÀNG THẾ ANH
VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM JENSEN,
TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
Tải tài liệu tại sividoc.com
HOÀNG THẾ ANH
VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM JENSEN,
TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN XUÂN QUÝ
THÁI NGUYÊN - 2017

i
Mnc lnc
Bảng ký hi u ii
M đau 1
Chương 1. M t so kien thfíc chuan bị 3
1.1 Không gian định chuan và sụ h®i tn . . . . . . . . . 3
1.2 Không gian Banach và tiêu chuan h®i tn Cauchy . . 5
1.3 Hàm loi, hàm c®ng tính và m®t so ket quả . . . . . 7
Chương 2. Phương trình hàm Jensen và tính on định 10
2.1 Phương trình hàm Jensen..............................................10
2.1.1 Định nghĩa và ví dn ........................................... 10
2.1.2 M®t so phương trình hàm liên quan.................15
2.1.3 M®t so bài toán áp dnng ...................................17
2.2 Tính on định của phương trình hàm Jensen.................19
2.2.1 Tính on định Hyers-Ulam-Rassias..................... 20
2.2.2 Sụ on định trên mien giói hạn.......................... 25
2.2.3 Phương pháp điem bat đ®ng............................ 32
Ket lu n 36
Tài li u tham khảo 37

ii
Bảng ký hi u
N t p hop các so tụ nhiên
Q t p hop các so hũu tỉ
R t p hop các so thục
R+ t p hop các so thục dương
C t p hop các so phúc
R2
t p hop các c p (x, y) so thục
K t p R ho c t p C
KN
t p RN
ho c t p CN
X không gian định chuan ho c không gian Banach
N so nguyên dương N
RN
t p hop các b® so thục (x1, ..., xN )
(−c, c)N t p hop các b® so (x1, ..., xN ) trong khoảng (−c, c)
|u| giá trị tuy¾t đoi của so thục u ho c module của so phúc u
ǁuǁ chuan của u
E1 không gian định chuan thục
E, E2 không gian Bannach thục
(JE) phương trình hàm Jensen
J hàm Jensen
J-lõm hàm Jensen lõm
J-loi hàm Jensen loi

1
M đau
Phương trình hàm là m®t nhánh của Toán hoc hi¾n đại, tù năm
1747 đen 1750 nhà toán hoc J. D’Alembert đã công bo 3 bài báo
liên quan ve phương trình hàm, đây đưoc xem là các ket quả đau
tiên ve phương trình hàm. Nhieu nhà toán hoc (tiêu bieu: N.H.
Abel, J. Bolyai, A.L. Cauchy, J. D’Alembert, L. Euler, M. Fréchet,
C.F. Gauss, J.L.W.V. Jensen, A.N. Kolmogorov, N.I. Lobacevskii,
J.V. Pexider, và S.D. Poisson) đã tiep c n phương trình hàm theo
các mnc tiêu nghiên cúu khác nhau, như nghiên cúu định tính (xác
định m®t so đ c trưng cơ bản của hàm so) ho c nghiên cúu định
lưong (ưóc lưong nghi¾m, so nghi¾m hay dạng cn the của nghi¾m),
nghiên cúu nghi¾m địa phương ho c nghi¾m toàn cnc, nghiên cúu
nghi¾m liên tnc hay nghi¾m có tính gián đoạn,...
Dụa vào các phương pháp tiep c n đó, lu n văn đã đưoc hoàn
thành vói tên đe tài là: Ve phương trình hàm Jensen, tính
on đ nh và Gng ding.
N®i dung lu n văn sẽ trình bày m®t so kien thúc cơ bản ve
phương trình hàm Jensen, tính on định và úng dnng. Các ket quả
này đưoc trích dan tù tài li¾u tham khảo [1] và m®t so tài li¾u liên
quan.
Ngoài mnc lnc, lòi nói đau, ket lu n và tài li¾u tham khảo, n®i
dung chính của lu n văn đưoc trình bày trong 2 chương.
Chương 1: M t so kien thGc chuan b
Trong chương này lu n văn trình bày m®t so kien thúc ve không
gian định chuan và sụ h®i tn, không gian Banach và tiêu chuan h®i

2
tn Cauchy, ve hàm loi, hàm c®ng tính và m®t so ket quả.
Chương 2. Phương trình hàm Jensen và tính on
đ nh
0 chương này lu n văn trình bày ve phương trình hàm Jensen,
cách tìm nghi¾m của phương trình hàm Jensen xác định trên trưòng
so thục và chỉ ra nghi¾m liên tnc của nó là affine. Sau đó, nghiên
cúu nghi¾m liên tnc của phương trình hàm Jensen trên khoảng
đóng và bị ch n. Tiep theo, nghiên cúu nghi¾m của phương trình
hàm kieu Jensen liên h¾ tù bat đȁng thúc Popoviciu và m®t so bài
t p áp dnng. Và cuoi cùng, lu n văn trình bày tính on định của
phương trình hàm Jensen trong đó có tính on định Hyers-Ulam-
Rassias, sụ on định trên mien giói hạn và phương pháp điem bat
đ®ng.
Lu n văn đưoc thục hi¾n tại trưòng Đại hoc Khoa hoc - Đại
hoc Thái Nguyên. Tôi xin gủi cảm ơn Ban Giám hi¾u, Khoa Toán
Tin và Phòng Đào tạo của trưòng. Trân trong cảm ơn các Thay,
Cô đã t n tình truyen đạt nhũng kien thúc quý báu cũng như tạo
moi đieu ki¾n thu n loi nhat trong quá trình hoc t p. Đ c bi¾t, tôi
xin gủi lòi biet ơn chân thành đen TS. Tran Xuân Quý, ngưòi Thay
đã hưóng dan tôi hoàn thành bản lu n văn này. M c dù rat b n
r®n trong công vi¾c nhưng Thay van dành nhieu thòi gian và tâm
huyet trong vi¾c hưóng dan, đ®ng viên khuyen khích tôi trong suot
thòi gian tôi thục hi¾n đe tài. Cuoi cùng, tôi xin bày tỏ lòng biet
ơn đen gia đình, bạn bè, đong nghi¾p, nhũng ngưòi không ngùng
đ®ng viên, ho tro tạo moi đieu ki¾n tot nhat cho tôi trong suot quá
trình hoc t p và thục hi¾n lu n văn.
Thái Nguyên, ngày 05 tháng 5 năm 2017
Tác giả lu n văn
Hoc viên. Hoàng The Anh

3
Chương 1
M t so kien thfíc chuan
bị
Vói mnc tiêu tìm hieu ve phương trình hàm Jensen, tính on
định và úng dnng, trong chương này lu n văn trình bày m®t so
kien thúc cơ bản ve không gian định chuan và sụ h®i tn, không
gian Banach và tiêu chuan h®i tn Cauchy, ve hàm loi, hàm c®ng
tính và m®t so ket quả.
1.1 Không gian định chuan và sfi h i tn
Đ t K := R ho c K := C.
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là m®t không gian véc tơ trên trưòng
K. Khi đó, X đưoc goi là m®t không gian định chuan trên K neu
và chỉ neu ton tại m®t chuan ǁ·ǁ trên X, nghĩa là vói moi u, v ∈ X
và α ∈ K, ta có các khȁng định sau:
(i) ǁuǁ ≥ 0 (túc là ǁuǁ là m®t so thục không âm);
(ii) ǁuǁ = 0 neu u = 0;
(iii) ǁαuǁ = |α| ǁuǁ;
(iv) ǁu + vǁ = ǁuǁ + ǁvǁ .

4
¨Σ Σ
Tù (iv) ta có ǁ(u + v) − wǁ ≤ ǁu +
¨vǁ+ǁẅǁ ≤ ǁuǁ+ǁvǁ+ǁwǁ .
Không gian định chuan tương úng trên K = R ho c K = C
đưoc goi là không gian định chuan thục ho c phúc. So ǁu − vǁ
đưoc goi là khoảng cách giũa 2 điem u và v. Đ c bi¾t, ǁuǁ là
khoảng cách giũa điem u và điem goc v = 0. Vì −u = (−1)u, nên
tù (iii) của định nghĩa trên ta có ǁ−uǁ = ǁuǁ vói moi u ∈ X.
Tong quát, bang quy nạp ta có
u1, ..., uN ∈ X, N = 1, 2, ...
N
¨j=1
uj
¨
≤
N
j=1
ǁujǁ vói moi
Ví dn 1.1.2. Cho X := R. Ta đ t
ǁuǁ := |u|
vói moi u ∈ R, vói |u| là m®t giá trị tuy¾t đoi của u. Khi đó,
X = R đưoc goi là m®t không gian định chuan thục.
Ví dn 1.1.3. Cho X := C. Ta đ t
ǁuǁ := |u|
vói moi u ∈ C, vói |u| là m®t module của so phúc u. Khi đó, X
đưoc goi là m®t không gian định chuan phúc.
M nh đe 1.1.4. Cho X là m®t không gian đ nh chuȁn. Khi
đó, với moi u, v ∈ X, ta có bat đȁng thúc sau
|ǁuǁ − ǁvǁ| ≤ ǁu ± vǁ ≤ ǁuǁ + ǁvǁ .
Định nghĩa 1.1.5. Cho (un) là m®t dãy trong không gian định
chuan X, túc là, un ∈ X vói moi n. Ký hi¾u
neu lim
n→∞
ǁun − uǁ = 0.
lim
n→∞
un = u
Ta nói rang giói hạn của dãy (un) h®i tn ve u. Ta cũng có the
ký hi¾u un → u khi n → ∞.

5
M nh đe 1.1.6. Cho X là m®t không gian đ nh chuȁn trên K.
Cho un, vn, u, v ∈ X và αn, α ∈ K với moi n = 1, 2, ... Khi đó
ta có các khȁng đ nh sau
(i) Neu ton tại giới hạn lim
n→∞
un, thì giới hạn đó là duy nhat.
(ii) Neu un → u khi n → ∞, thì (un) là b ch¾n, nghĩa là ton
tại m®t so r ≥ 0 thóa mãn ǁunǁ ≤ r với moi n.
(iii) Neu un → u khi n → ∞, thì ǁunǁ → ǁuǁ khi n → ∞.
(iv) Neu un → u và vn → v khi n → ∞ thì un + vn → u + v khi
n → ∞.
(v) Neu un → u và αn → α khi n → ∞ thì αnun → αu khi
n → ∞.
Định nghĩa 1.1.7. Dãy (un) trên không gian định chuan X goi
là dãy Cauchy neu vói moi ε > 0, ton tại so n0(ε) thỏa mãn
ǁun − umǁ < ε
vói moi n, m ≥ n0(ε).
M nh đe 1.1.8. Trong không gian đ nh chuȁn, moi dãy h®i tự
đeu là dãy Cauchy.
1.2 Không gian Banach và tiêu chuan h i tn Cauchy
Định nghĩa 1.2.1. Không gian định chuan X goi là không gian
Banach neu và chỉ neu moi dãy Cauchy của nó đeu h®i tn.
Ví dn 1.2.2. Không gian X := K là không gian Banach trên K
vói chuan
vói moi u ∈ K.
ǁuǁ := |u|

6
| |∞
n→∞
| − |
ǁ ǁ
a≤x≤b
j
Ví dn 1.2.3. Vói N = 1, 2, .... Không gian X := KN
là không
gian Banach trên K vói chuan ǁxǁ := |x|∞, trong đó
vói x = (ξ1,...,ξN ) .
x := max
1≤j≤N
|ξj| ,
Xét xn = (ξ1n,...,ξNn) . Khi đó
lim
n→∞
|xn − x|∞ = 0 neu lim ξkn = ξk vói moi k = 1, ..., N.
Ví dn 1.2.4. Vói N = 1, 2, .... Không gian X := KN
là không
gian Banach vói chuan Euclide ǁ·ǁ, vói
1
N 2
ǁxǁ :=
Σ
ξ2
,
j=1
trong đó x = (ξ1,...,ξN ) . Ngoài ra
lim
n→∞
xn x = 0 neu lim
n→∞
ξkn = ξk vói moi k = 1, ..., N.
Ví dn 1.2.5. Vói −∞ < a < b < +∞. Khi đó, X := C[a, b] là
không gian Banach vói chuan
u := max
a≤x≤b
|u(x)| .
Sụ h®i tn un → x khi n → ∞ trong X, hay đưoc hieu là
ǁun − uǁ = max |un(x) − u(x)| → 0
khi n → ∞.
M nh đe 1.2.6. Cho (un) là dãy Cauchy trong không gian đ nh
chuȁn X. Dãy (un) chúa m®t dãy con (unk ) h®i tự tới u. Khi
đó dãy (un) cũng h®i tự tới u.

7
2
1.3 Hàm loi, hàm c ng tính và m t so ket quả
Hàm f : R → R đưoc goi là m®t hàm loi neu và chỉ neu thỏa
mãn
f
x + y
≤
f(x) + f(y) (1.1)
vói moi x, y ∈ R.(xem hình vẽ dưói đây).
Hàm loi lan đau tiên đưoc giói thi¾u bỏi J.L.W.V.Jensen năm 1905,
m c dù hàm so thỏa mãn đieu ki¾n (1.1) đã đưoc nghiên cúu bỏi
Hadamard (1893) và Holder (1889).
Ví dn. M®t so ví dn ve hàm loi
(a) f(x) = ax + b trên R vói moi a, b ∈ R.
(b) f(x) = x2
trên R.
(c) f(x) = eαx trên R vói moi α ≥ 1 ho c α ≤ 0.
(d) f(x) = |x| trên R vói moi α ≥ 1.
(e) f(x) = x log x trên R+.
(f) f(x) = tan x trên 0, π .
2 2

8
Tong hũu hạn các hàm loi là m®t hàm loi. Tuy nhiên, tích các
hàm loi chưa chac loi. Ví dn,
f(x) = x2
và g(x) = ex
là m®t hàm loi trên R nhưng tích của chúng
h(x) = x2
ex
không phải là hàm loi trên R. M®t hàm A : X → Y đưoc goi là
hàm c®ng tính neu
A(x + y) = A(x) + A(y) vói moi x, y ∈ X.
Neu A : R → R là m®t hàm c®ng tính, thì A là m®t hàm loi.
Neu A : R → R là m®t hàm c®ng tính và f : R → R là m®t
hàm loi thì hàm hop f(A(x)) cũng là hàm loi.
Định lj 1.3.1. Cho X, Y là các không gian Banach. Hàm
f : X → Y thóa mãn
ǁf(x + y) − f(x) − f(y)ǁ ≤ σ
với σ > 0 và với moi x, y ∈ X. Khi đó giới hạn
Ax = lim
n→∞
2−nf (2nx)
ton tại với mői x ∈ X và A : X → Y là hàm c®ng tính duy
nhat thóa mãn
ǁf(x) − A(x)ǁ ≤ σ
với moi x ∈ X. Ngoài ra, neu f(tx) liên tực theo t với mői
x ∈ X co đ nh, thì A tuyen tính.
Định lj 1.3.2. Cho X, Y là các không gian Banach. Hàm
f : X → Y thóa mãn
ǁf(x + y) − f(x) − f(y)ǁ ≤ σ(ǁxǁp
+ ǁyǁp
)

9
1 − L
với σ > 0, p ∈ [0, 1) và với moi x, y ∈ X. Khi đó ton tại duy
nhat hàm c®ng tính A : X → Y thóa mãn
ǁf(x) − A(x)ǁ ≤
2σ p
2 − 2p
ǁxǁ
với moi x ∈ X. Ngoài ra, neu f(tx) liên tực theo t với mői
x ∈ X co đ nh, thì A tuyen tính.
Bo đe 1.3.3. Cho X là không gian Banach và N là so nguyên
dương. Cho trước c > 0, xét hàm f : (−c, c)N → X thóa mãn
bat đȁng thúc
ǁf(x + y) − f(x) − f(y)ǁ ≤ σ
với mői σ ≥ 0 và với moi x, y ∈ (−c, c)N với x + y ∈ (−c, c)N .
Khi đó ton tại hàm c®ng tính A : RN
→ X thóa mãn
ǁf(x) − A(x)ǁ ≤ (5N − 1)σ
với moi x ∈ (−c, c)N .
Định lj 1.3.4. Cho X là không gian Banach. Giả sủ A : X →
X là toán tủ co ch¾t với hang so Lipschitz L < 1. Neu ton tại
so nguyên không âm n sao cho ǁAn0+1
x − An0xǁ < ∞ với mői
x ∈ X thì có các khȁng đ nh sau:
(i) Dãy (Anx) h®i tự tới điem bat đ®ng x∗ của A;
(ii) x∗ là điem bat đ®ng duy nhat của A trong X∗ = {y ∈ X :
ǁAn0x − yǁ < ∞};
(iii) Neu y ∈ X∗ thì ǁy − x∗ǁ ≤
1
ǁAy − yǁ.
Nh n xét, ket quả Định lý 1.3.4 đúng cho không gian metric
đay đủ.

10
2 2
Chương 2
Phương trình hàm
Jensen và tính on định
Trong chương này, đau tiên ta tìm hieu ve phương trình hàm
Jensen, nghi¾m tong quát của phương trình hàm Jensen trên t p
so thục. Chúng ta cũng tìm nghi¾m liên tnc của phương trình hàm
Jensen trên khoảng đóng và bị ch n [a,b]. Đong thòi, chúng ta đi
nghiên cúu nghi¾m của m®t phương trình hàm kieu Jensen liên h¾
tù bat đȁng thúc Popoviciu và m®t so bài t p áp dnng. Các ket
quả và bài t p áp dnng đưoc trích dan tù tài li¾u [6]. Cuoi cùng là
nghiên cúu ve tính on định của phương trình hàm Jensen cn the
là tính on định Hyers-Ulam-Rassias, sụ on định trên mien giói hạn
và phương pháp điem bat đ®ng. Các ket quả đưoc trích dan tù các
tài li¾u [7, 10, 11].
2.1 Phương trình hàm Jensen
2.1.1 Định nghĩa và ví dn
Phương trình hàm có dạng
f
x + y
=
f(x) + f(y)
vói moi x, y ∈ R đưoc goi là phương trình hàm Jensen.

11
2 2
Định nghĩa 2.1.1. M®t hàm f : R → R đưoc goi là hàm Jensen
neu nó thỏa mãn
f
x + y
=
f(x) + f(y)
, vói moi x, y ∈ R.
Định nghĩa 2.1.2. M®t hàm f : R → R đưoc goi là affine neu
nó có dạng
f(x) = ax + b
vói a, b là các hang so tùy ý.
Định lj 2.1.3. Hàm f : R → R thóa mãn đieu ki n phương
trình hàm Jensen
f
x + y
=
f(x) + f(y) (JE)
2 2
với moi x, y ∈ R neu và chí neu
f(x) = A(x) + a (2.1)
với A : R → R là m®t hàm c®ng tính và a là m®t hang so bat
kì.
Chúng minh. De dàng thay (2.1) thỏa mãn phương trình hàm
Jensen(JE).
Thay y = 0 và phương trình (JE), ta đưoc
f
x
=
f(x)
+
a
, vói a = f(0). (2.2)
2 2 2
De dàng nh n thay
suy ra
f(x + y) + a
=
2
f(x) + f(y)
2
f(x + y) + a = f(x) + f(y). (2.3)
Cho A : R → R là m®t hàm so xác định bỏi
A(x) = f(x) − a (2.4)

12
Tù phương trình (2.3), ta suy ra
A(x + y) = A(x) + A(y) hay A là hàm c®ng tính.
Do đó ta suy ra
f(x) = A(x) + a
vói A : R → R là m®t hàm c®ng tính.
Định lj 2.1.4. Moi phương trình hàm Jensen liên tực đeu
affine.
Định nghĩa 2.1.5. Vói m và n là hai so nguyên dương. So hũu
m
tỉ có dạng đưoc goi là m®t so hũu tỉ nhị nguyên (dyadic).
2n
Định lj 2.1.6. Nghi m liên tực của
f
x + y
=
f(x) + f(y) (JE)
2 2
với moi x, y ∈ [a, b] được cho bới
f(x) = α + βx (2.5)
với α, β là các hang so tùy ý.
Chúng minh. Xét hàm so F : [0, 1] −→ R xác định như sau
F(y) = f((b − a)y + a), y ∈ [0, 1]. (2.6)
Ta chúng minh F thỏa mãn (JE). Th t v y, tù
F
x + y
= f (b − a)
y + x
+ a
2 2
= f
[(b − a)x + a)] + [(b − a)y + a)]
2
=
f((b − a)x + a) + ((b − a)y + a)
2
F(x) + F(y)
=
2
, ∀x, y ∈ [0, 1].

13
4
F (0) + F 2
4
F + F(1)
2n+1
2n 2n 2n+1
−
≤ ≤
suy ra F thỏa mãn phương trình hàm Jensen trên [0,1]. Thay x = 0
và y = 1 vào (JE), ta đưoc
F
1
=
F(0) + F(1) c + d
= = c +
1
(d − c),
2 2 2 2
1
vói c = F(0) và d = F(1). Tương tụ, thay x = 0 và y =
(JE), ta đưoc
vào
2
F
1
=
1
1
c + c + 1
(d c)
2
=
2 2
= c +
1
4
(d − c).
Thay x =
2
và y = 1 vào (JE), ta đưoc
F
3
=
1
2
= c +
2
3
4
(d − c).
Tiep theo, ta sẽ chúng minh rang neu x là so thục bat kỳ có dạng
m
vói m, k là các so nguyên dương thỏa mãn 0 m 2k, thì
2k
F (x) = c + x(d − c). (2.7)
Chúng ta tiep tnc sủ dnng quy nạp vói k. Ta đã chỉ ra khȁng định
đúng vói k = 1, 2. Giả sủ (2.7) đúng vói k = n. Ta xét hai trưòng
hop sau:
Trưòng hop a) x =
Trưòng hop b) x =
a) Ta có
2m
2n+1
.
2m + 1
2n+1
.
F
2m
= F
m
= c +
m
(d − c) = c +
2m
(d − c),

14
2n+1 2 2n 2n
b) Ta có
F
2m + 1
= F
1 m
+
m + 1
F
m
+ F
m + 1
2n 2n
= 2
=
1
c +
m
(d − c) + c +
m + 1
(d − c)
2
= c +
2n 2n
m + 1
2n+1
(d − c).
V y (2.7) thỏa mãn tat cả các giá trị của x trong khoảng [0,1]. Do
đó F liên tnc và t p tat cả các so hũu tỉ dyadic trong [0, 1] là trù
m t trên [0, 1], ta có
vói moi x ∈ [0, 1]. Hay
F(x) = c + x(d − c)
f(x) = α + βx,
vói α, β là các hang so tùy ý.
Chú j 2.1.7. Ta thay rang trong chúng minh định lý trên, hàm
F xác định bỏi F (x) = f ((b − a)x + a) thỏa mãn phương trình
hàm Jensen trên đoạn [0, 1]. Theo chúng minh của Định lí (JE),
thì hàm so F (x) = A(x) + α, vói A : [0, 1] → R là hàm c®ng tính
và α là hang so tùy ý. Như v y, theo ket quả ve phương trình hàm
Cauchy, F có the mỏ r®ng tù [0, 1] tói R. Vì v y, nghi¾m tong quát
f : [a, b] → R của phương trình hàm Jensen có the cho bỏi
f(x) = A
(x − a)
+ α,
(b − a)
vói A : R → R là hàm c®ng tính.
Vì v y, ta có định lí sau.

15
→
2 2 2
Định lj 2.1.8. Nghi m tőng quát của phương trình
f
x + y
=
f(x) + f(y)
2 2
với moi x, y ∈ [a, b] cho bới hàm so
f(x) = A
x − a
+ α, (2.8)
b − a
với α là m®t hang so bat kì và A : R → R là m®t hàm c®ng
tính.
2.1.2 M t so phương trình hàm liên quan
Popoviciu (1965) chúng minh rang neu I là m®t khoảng khác
rong và f : I
x + y + z
3f
3
R là m®t hàm loi, thì f thỏa mãn bat đȁng thúc
+ f (x) + f (y) + f (z)
≥ 2
h
f
x + y
+ f
y + z
+ f
z + x i
vói moi x, y, z ∈ I. Neu ta thay bat đȁng thúc trên bang đȁng
thúc, ta đưoc m®t phương trình hàm kieu Jensen. Trong phan này,
mnc tiêu là xác định nghi¾m tong quát của phương trình hàm kieu
Jensen, túc là tìm nghi¾m tong quát của phương trình,
3f
x + y + z
+ f (x) + f (y) + f (z)
3
= 2
h
f
x + y
+ f
y + z
+ f
z + x i
(2.9)
2 2 2
vói moi x, y, z ∈ R.
Trong Định lý 2.1.9 nghi¾m tong quát của phương trình hàm (2.9)
đưoc xây dụng bỏi Trif (2000).
Định lj 2.1.9. Hàm so f : R → R thóa mãn phương trình
hàm (2.9) với moi x, y, z ∈ R neu và chí neu
f(x) = A(x) + b (2.10)

16
∈
2
2
3
2
2 2 2
với moi x ∈ R, với A : R → R là m®t hàm c®ng tính và b là
m®t so thực tùy ý.
Chúng minh. De dàng ta thay đưoc neu f có dạng (2.10), thì f là
nghi¾m của phương trình hàm (2.9).
Ta sẽ chúng minh đieu ngưoc lại. Nghĩa là, moi nghi¾m của (2.9)
đeu có dạng (2.10). Trưóc tiên, ta xác định m®t hàm so A : R → R
xác định bỏi
A(x) = f(x) − b (2.11)
vói moi x R, tại b = f(0). Khi đó A(0) = 0 và hàm so A thỏa
x + y + z
mãn 3A
3
+ A (x) + A (y) + A (z)
= 2
h
A
x + y
+ A
y + z
+ A
z + x i
(2.12)
vói moi x, y, z ∈ R. Thay y = x và z = −2x vào (2.9) ta đưoc
A(−2x) = 4A −
x
vói moi x ∈ R. (2.13)
Thay x bang −x vào (2.13), ta đưoc
A(2x) = 4A
x
(2.14)
vói moi x ∈ R. Lại thay x bang 2x vào (2.14), ta đưoc
A(4x) = 4A(x) (2.15)
vói moi x ∈ R. Đ t y = z = 0 thay vào (2.12) và ket hop vói
(2.14), ta đưoc
3A
x
= A (2x) − A (x) (2.16)
vói moi x ∈ R. Thay y = x và z = 0 vào (2.12) và ket hop vói
(2.16), ta đưoc
A(4x) = A(2x) − 4A
x
(2.17)

17
vói moi x, y ∈ C.
vói moi x ∈ R. Tù (2.14), (2.15) và (2.17) ta đưoc
A(2x) = 2A(x) (2.18)
vói moi x ∈ R. Đ t y = x và z = −x vào (2.12) ket hop vói (2.16)
và (2.17), ta đưoc
A(−x) = −A(x) (2.19)
vói moi x ∈ R. Cuoi cùng, thay z = −x − y vào (2.12) ket hop
(2.17) và (2.18), ta đưoc
A(x + y) = A(x) + A(y)
vói moi x, y ∈ R. Như v y A : R → R là m®t hàm c®ng tính và tù
(2.11) ta thu đưoc (2.10).
2.1.3 M t so bài toán áp dnng
Bài toán 1. Tìm tat cả các hàm f : R → R thỏa mãn phương
trình hàm
f
x + y + z
=
f(x) + f(y) + f(z)
3 3
Bài toán 2. Tìm tat cả các hàm f : [0, 1] → R thỏa mãn phương
trình hàm
f
x + y + z
=
f(x) + f(y) + f(z)
3 3
vói moi x, y, z ∈ [0, 1].
Bài toán 3. Tìm tat cả các hàm f : C → C thỏa mãn phương
trình hàm
.f
x + y
. =
|f(x)| + |f(y)|
2 2

18
i
Bài toán 4. Tìm tat cả các hàm f : C → C thỏa mãn phương
trình hàm
f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)
Bài toán 5. Vói p, q, r là ba so nguyên dương cho trưóc. Tìm tat
cả các hàm f : R → R thỏa mãn phương trình hàm
f
px + qy
=
pf(x) + qf(y)
r r
Bài toán 6. Tìm tat cả các hàm f : R2
→ R thỏa mãn phương
trình hàm
3f
x1 + x2
,
y1 + y2
=
f(x1, x2) + f(y1, y2)
2 2 2
vói moi x1, x2, y1, y2 ∈ R.
trình hàm
3f
x + y + z
+ f(x) + f(y) + f(z) = 2
h
f
x + y
+ f
y + z
3
2 2
+f
z + x
.
2
Bài toán 8. Chúng minh rang 1 hàm so f : R → R thỏa mãn
phương trình hàm f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) vói moi x, y ∈ R
thì nó cũng thỏa mãn phương trình hàm
f(x + y + z) + f(x) + f(y) + f(z) = f(x + y) + f(y + z) + f(z + x)

19
Bài toán 9. Cho n > 3 và n nguyên dương. Tìm tat cả các hàm
so thỏa mãn phương trình hàm
f
x1 + x2 + ... + xn
=
f(x1) + f(x2) + ... + f(xn)
n n
vói moi x1, x2, ..., xn ∈ R.
trình hàm
f(x + 2y) + f(x − 2y) = 2f(x)
vói moi x, y ∈ R.
Bài toán 11. Neu A : R → R là m®t hàm c®ng tính và f : R → R
là m®t hàm loi thì khi đó hàm hop f(A(x)) cũng là m®t hàm loi.
2.2 Tính on định của phương trình hàm Jensen
Có nhieu bien the của phương trình hàm Cauchy c®ng tính, ví
dn phương trình Cauchy c®ng tính dạng tong quát, phương trình
Hosszú, phương trình thuan nhat, phương trình hàm tuyen tính,
vv. . . Tuy nhiên, phương trình hàm Jensen là phương trình đơn
giản nhat và quan trong nhat trong so đó. Nhũng van đe ve tính
on định Hyers-Ulam-Rassias của phương trình Jensen đưoc chúng
minh trong mnc 2.2.1 dưói đây, và nhũng van đe ve tính on định
Hyers-Ulam của phương trình này trên mien giói hạn sẽ đưoc thảo
lu n trong mnc 2.2.2. Hơn nũa, ket quả tính on định trên mien giói
hạn sẽ đưoc áp dnng đe nghiên cúu ve tính ti¾m c n của hàm c®ng
tính. Trong mnc cuoi của phan này 2.2.3, chúng tôi sẽ trình bày
m®t cách tiep c n khác đe chúng minh tính on định, đó là phương
pháp điem bat đ®ng.

20
¨ − − ¨ ≤ ǁ ǁ ǁ ǁ
2
(
δ + ǁf(0)ǁ + (21−p − 1)θǁxǁp
), với p < 1
2.2.1 Tính on định Hyers-Ulam-Rassias
Có the nói, bien the đơn giản nhat của phương trình hàm
Cauchy c®ng tính là phương trình hàm Jensen, túc là dạng
2f
x + y
= f(x) + f(y)
Nghi¾m của phương trình hàm Jensen đưoc goi là hàm Jensen. Nó
đưoc biet đen như m®t hàm f tù không gian vectơ thục vào chính
nó, vói f (0) = 0, là m®t hàm Jensen khi và chỉ khi nó là hàm
c®ng tính. Trong mnc này, chúng tôi sẽ trình bày ve tính on định
Hyers-Ulam-Rassias của phương trình hàm Jensen. Các ket quả
đưoc trích dan tù các tài li¾u [7, 11].
Định lj 2.2.1 (Jung). Cho E1 và E2 lan lượt là không gian đ nh
chuȁn thực và không gian Banach thực. Giả sủ rang δ, θ ≥ 0 và
cho p > 0 với p /= 1. Giả sủ m®t hàm so f : E1 → E2 thóa mãn
bat phương trình hàm
2f
x + y
f(x) f(y) δ + θ ( x p + y p) (2.20)
2
với moi x, y ∈ E1. Hơn nũa, giả sủ f (0) = 0 và δ = 0 trong
(2.20) cho trường hợp p > 1. Khi đó, ton tại duy nhat hàm
c®ng tính A : E1 → E2 thóa mãn
với moi x ∈ E1.
2p−1
(2p−1
− 1)−1
θǁxǁp
, với p > 1
(2.21)
Chúng minh. Neu ta thay y = 0 vào (2.20) thì ta có:
ǁ2f(x/2) − f(x)ǁ ≤ δ + ǁf(0)ǁ + θǁxǁp
(a)
vói moi x thu®c E1.

21
¨ ¨
Σ Σ
ǁ
ǁ ǁ ǁ ǁ
≤ 2−n ¨2−1
f(2n+1x) − f(2nx)¨ + ǁ2−nf(2nx) − f(x)ǁ
= 2−m ¨2−(n−m)f(2n−m.2mx) − f(2mx)¨
k=1 k=1
(b)
Bang phương pháp quy nạp theo n, ta chúng minh
n n
¨2−nf(2nx) − f(x)¨ ≤ (δ + ǁf(0)ǁ)
Σ
2−k + θǁxǁp
Σ
2−(1−p)k
trong trưòng hop 0 < p < 1. Bang phép the 2x cho x vào (a), ta
thay (b) đúng vói n = 1. Bây giò giả sủ rang bat phương trình (b)
đúng vói n ∈ N. Neu chúng ta the x trong (a) bang 2n+1x thì tù
(b) suy ra
2−(n+1)
f(2n+1x) − f(x)
≤ (δ + ǁf (0)ǁ)
n+1
k=1
2−k
+ θǁx
p
n+1
k=1
2−(1−p)k
Bat phương trình (b) đưoc chúng minh.
Ta đ t
A(x) = lim
n→∞
2−nf(2nx) (c)
vói moi x ∈ E1. Hàm so A hoàn toàn xác định bỏi vì E2 là không
gian Banach và dãy {2−nf(2nx)} là dãy Cauchy vói moi x thu®c
E1. Cho n > m, tù (b) ta có
¨2−nf(2nx) − 2−mf(2mx)¨
≤ 2−m δ + f(0) +
2mp
θ x p
21−p − 1
→ 0 khi m → ∞
Xét x, y ∈ E1 tùy ý. Khi đó, tù (c) và (2.20), suy ra
||A(x + y) − A(x) − A(y)|| =
= lim
n→∞
2−(n+1)
¨2f
2n+1(x + y)
— f(2
n+1
x) − f(2
n+1
y)¨
lim
n→∞
2−(n+1)
δ + θ2(n+1)p
(ǁxǁp
+ ǁyǁp
)
Vì v y, A là m®t hàm c®ng tính, và bat đȁng thúc (b), định nghĩa
2
≤

22
ǁ ǁ ǁ ǁ
¨ n n ¨ p
Σ
(p 1)k
¨ − ¨ ≤ ǁ ǁ ǁ ǁ ǁ ǁ
≤ 2−n (ǁA(2nx) − f(2nx)ǁ + ǁf(2nx) − A′
(2nx)ǁ)
(c) suy ra bat đȁng thúc đau tiên trong (2.21).
Tiep theo, xét A′ : E1 → E2 là m®t hàm c®ng tính khác thỏa
mãn bat đȁng thúc đau tiên trong (2.21). Tù đó suy ra
ǁA(x) − A′(x)ǁ = 2−n ǁA(2nx) − A′(2nx)ǁ
≤ 2−n 2δ + 2 f(0) +
2θ
2np x p
21−p − 1
vói moi x ∈ E1 và vói bat kỳ n ∈ N. Vì ve phải của bat đȁng thúc
cuoi tien đen 0 khi n → ∞, suy ra A(x) = A′(x) vói moi x ∈ E1,
hay A là duy nhat.
Vói trưòng hop p > 1 và δ > 0 thỏa mãn bat đȁng thúc (2.20),
ta có the chúng minh bat đȁng thúc tương tụ sau
n−1
2 f(2− x) − f(x) ≤ θǁxǁ 2− −
k=0
thay vì chúng minh (b). Phan còn lại của vi¾c chúng minh trưòng
hop này tương tụ phan trên.
H quả 2.2.2. Cho E1 và E2 lan lượt là không gian đ nh chuȁn
thực và không gian Banach thực. Co đ nh δ ≥ 0. Giả sủ hàm
f : E1 −→ E2 thóa mãn bat đȁng thúc (2.20) với θ = 0 với moi
x, y ∈ E1. Khi đó, ton tại duy nhat hàm c®ng tính A : E1 −→ E2
thóa mãn bat phương trình đau tiên trong (2.21) với θ = 0.
Cho p ∈ [0, 1). Thay x + y bang x và y = 0 vào (2.20), ta đưoc
x + y p p
2f f(x + y) δ + f(0) + θ ( x + y ) .
2
Bat phương trình này cùng vói (2.20) cho ta
ǁf(x + y) − f(x) − f(y)ǁ ≤ 2δ + ǁf(0)ǁ + 2θ(ǁxǁp
+ ǁyǁp
)

23
. − − . ≤ | | | |
vói moi x, y ∈ E1.Theo (Định lí 2.3 và 2.5, S-M.Jung[163]), ton tại
duy nhat m®t hàm c®ng tính A : E1 −→ E2 thỏa mãn
2θ p
ǁf(x) − A(x)ǁ ≤ 2δ + ǁf(0)ǁ +
1 − 2p−1
ǁxǁ .
vói moi x ∈ E1. Ta thay rang các ý tưỏng tù chúng minh Định lí
2.2.1 không the áp dnng đe chúng minh tính on định của (2.20)
vói trưòng hop p < 0. M®t bưóc quan trong trong vi¾c chúng minh
Định lí 2.2.1 là đ t y = 0 trong bat đȁng thúc (2.20), đieu không
the làm đưoc trong trưòng hop p < 0. Bài toán ve tính on định
Hyers-Ulam-Rassias trong trưòng hop p < 0 hi¾n nay van là bài
toán mỏ.
Th. M. Rassias và P. Semrl đã xây dụng m®t hàm liên tnc nh n
giá trị thục đe chúng minh bat đȁng thúc hàm
ǁf(x + y) − f(x) − f(y)ǁ ≤ θ (ǁxǁ + ǁyǁ) .
không on định theo nghĩa của Hyers, Ulam, và Rassias. Theo ket
quả này, S. M. Jung(1998) đã chúng minh đưoc rang hàm so xây
dụng bỏi Rassias và Serml cho ta phản ví dn của Định lí 2.2.1 trong
trưòng hop p = 1 như sau:
Định lj 2.2.3. Giả sủ f là hàm liên tực có giá tr thực, được
xác đ nh bới
f(x) =
xlog2(x + 1), (x ≥ 0)
xlog2 |x − 1| , (x < 0)
thóa mãn bat đȁng thúc
2f
x + y
f (x) f (y) 2( x + y ), (2.22)
2
với moi x, y ∈ R, và t¾p ảnh của
|f(x) − A(x)| / |x|
với x /= 0 là không b ch¾n với mői hàm c®ng tính A : R −→ R.

24
2
. − − .
. − − − − .
. − − . ≤ | | | |
Chúng minh. Theo giả thiet hàm f là hàm so liên tnc, hàm so lẻ
và hàm loi trên (0, ∞). Cho x và y là hai so dương. Vì f là hàm
loi trên (0, ∞) nên tù
|f(x + y) − f(x) − f(y)| ≤ f(x + y) − 2f
x + y
(a)
ta có
|f(x + y) − f(x) − f(y)| ≤ (x + y)log2
2 + 2x + 2y
2 + x + y
< |x| + |y|
(b)
vói moi x, y > 0. Do f là hàm lẻ, (b) cũng đúng vói x, y < 0. Vì
(b) đúng vói x = 0, y = 0, ho c x + y = 0, Ta chỉ xét trưòng hop
còn lại khi x > 0 và y < 0. Không mat tính tong quát, giả sủ
|x| > |y|. Bỏi tính lẻ và loi của f và tù (a) ta có
|f(x + y) − f(x) − f(y)| = |f(x) − f(x + y) − f(−y)|
≤ f(x) − 2f(x/2)
2x + 2
= xlog2
x + 2
< |x| + |y| ,
Vì x + y, −y > 0 . Do đó, bat phương trình (b) đúng vói moi
x, y ∈ R.
Bang cách the x/2 bỏi x và y/2 bỏi y trong (b), và nhân cả 2 ve
vói 2 ta đưoc
2f(
x + y
) 2f(x/2) 2f(y/2) x + y (c)
2
vói bat kì x, y ∈ R. Xét x = y trong (c) ta đưoc:
|f(x) − 2f(x/2)| ≤ |x| (d)
vói x ∈ R. Áp dnng (c) ta đưoc
2f(
x + y
) 2f(x/2) 2f(y/2)
2
= 2f(
x + y
) f(x) f(y) + f(x) 2f(x/2) + f(y) 2f(y/2)
2
≤ |x| + |y|

25
¨ − − ¨ ≤
¨
2
vói x, y ∈ R. Tù đây ket hop vói (d) ta suy ra (2.22). Ta biet
rang neu m®t hàm c®ng tính A : R −→ R là liên tnc tại m®t
điem thì A(x) = cx tại đó c là m®t so thục. Hien nhiên rang
|f(x) − cx| / |x| → ∞ khi x → ∞ vói moi so thục c và t p ảnh
của |f(x) − A(x)| / |x| vói x /= 0 không bị ch n vói moi hàm c®ng
tính A : R −→ R không liên tnc bỏi vì đo thị hàm A trù m t
trong R2
.
2.2.2 Sfi on định trên mien gi i hạn
Bo đe 2.2.4. Cho E là m®t không gian Banach thực và N là
m®t so nguyên dương cho trước. Xét c > 0, và f : (−c, c)N → E
là m®t hàm thóa mãn
2f
x + y
f(x) f(y) δ
2
với δ ≥ 0 và moi x, y ∈ (−c, c)N với (1/2)(x, y) ∈ (−c, c)N . Khi
đó, ton tại m®t hàm Jensen J : RN
→ E thóa mãn
ǁf(x) − J(x)ǁ ≤ (25N − 4)δ
với x ∈ (−c, c)N tùy ý.
Chúng minh. Xét hàm f1 : (−c, c)N → E vói f1(x) = f(x)−f(0).
Ta có, f1 thỏa mãn bat đȁng thúc
2f1
x + y
− f (x) − f1 (y)¨ ≤ δ (a)
vói moi (x, y) ∈ (−c, c)N và (1/2)(x + y) ∈ (−c, c)N . Đ t
An = (−2−n+1c, 2−n+1c)N (−2−nc, 2−nc)N
vói moi n ∈ N. Ta xét hàm g : (−c, c)N → E cho bỏi
g(x) = 2−n+1f1(2n−1
x)
1

26
¨ ¨
¨ ¨
2
2 2
1 1
1
vói moi x ∈ An và n ∈ N bat kì.
Vì f1(0) = 0, thay y = 0 vào (a) ta đưoc ǁ2f1(x/2) − f1(x)ǁ ≤ δ.
Tù bat đȁng thúc này, thay x bỏi x/2, ta đưoc
Tương tụ, ta có
¨22
f1(2−2
x) − 2f1(x/2)¨ ≤ 2δ.
2kf1(2−kx) − 2k−1
f1(2−k+1x) ≤ 2k−1
δ. (b)
vói moi x ∈ (−c, c)N và k ∈ N bat kì. Vì v y, sủ dnng bat đȁng
thúc tam giác và tong các bat đȁng thúc trong (b) tương úng vói
k ∈ {1, ..., n − 1}, ta có
2n−1
f1(2−n+1x) − f1(x) ≤ (2n−1
− 1)δ.
Thay x bỏi 2n−1
x và chia ket quả của bat đȁng thúc cho 2n−1
ta
đưoc
ǁf1(x) − g(x)ǁ ≤ δ (c)
vói moi x ∈ An. Hơn nũa, ta có g(x) = 2g(x/2) vói moi x ∈
(−c, c)N . Th t v y, ket hop vói (a),(c), ta suy ra
||g(x + y) − g(x) − g(y)|| = ǁ2g
x + y
− g(x) − g(y)ǁ
≤ ¨2g
x + y
− f
x + y
¨ + ǁf (x) − g(x)ǁ
+ ǁf1
≤ 5δ,
(y) − g(y)ǁ + ¨2f1
x + y
− f
(x) − f1 (y)
vói moi x, y ∈ (−c, c)N thỏa mãn (1/2)(x + y) ∈ (−c, c)N .
Theo Bo đe 1.3.3, ton tại m®t hàm c®ng tính A : RN
→ E thỏa
mãn
ǁg(x) − A(x)ǁ ≤ (5N − 1)5δ (d)
2
¨

27
n
vói x ∈ (−c, c)N . Xét hàm J : RN
→ E cho bỏi J(x) = A(x) +
f(0). Khi đó, J là m®t hàm Jensen. Tù (c) và (d), ta có
ǁf(x) − J(x)ǁ = ǁf1(x) − A(x)ǁ
≤ ǁf1(x) − g(x)ǁ = ǁg(x) − A(x)ǁ
≤ (25N − 4)δ
vói moi x ∈ (−c, c)N
Sủ dnng Bo đe 2.2.4, Kominek đã chúng minh ket quả tong quát
hơn ve tính on định Hyers-Ulam của phương trình Jensen trên m®t
mien giói hạn.
Định lj 2.2.5. [Kominek] Cho E là m®t không gian Banach
thực và N là m®t so nguyên dương. Cho D1 là m®t t¾p con b
ch¾n của RN
. Giả sủ ton tại x0 là điem trong của D1 sao cho
t¾p D = D1 − x0 thóa mãn các đieu ki n sau:
(i) (1/2)D ⊂ D,
(ii) (−c, c)N ⊂ D với c > 0,
(iii) D ⊂ (−2nc, 2nc)N với n là so nguyên không âm.
Neu m®t hàm f : D1 → E thóa mãn bat đȁng thúc
x + y
ǁ 2f(
2
) − f(x) − f(y) ǁ≤ δ
cho m®t vài δ ≥ 0 và cho moi x, y ∈ D1 với (1/2)(x + y) ∈ D1,
thì ton tại m®t hàm Jensen J : RN
→ E sao cho
ǁ f(x) − J(x) ǁ≤ (2 (25N − 3) − 1)δ
với moi x ∈ D1.
Chúng minh. Neu ta xét hàm f0 : D → E cho bỏi f0(x) = f(x +
x0) vói moi x ∈ D, thì f0 thỏa mãn bat đȁng thúc
x + y
ǁ 2f0(
2
) − f0(x) − f0(y) ǁ≤ δ

28
n
n
vói moi x, y ∈ D vói (1/2)(x + y) ∈ D.
Tương tụ, như trong chúng minh Bo đe 2.2.4, ta xét hàm f1 và g
như sau
vói x ∈ D và
f1(x) = f0(x) − f0(0)
g(x) = 2−k+1f1(2k−1
x)
vói x ∈ Ak(k ∈ N), trong đó
Ak = (−2−k+1c, 2−k+1c)N (−2−kc, 2−kc)N .
Ta có
ǁ f1(x) − 2nf1(2−nx) ǁ≤ (2n − 1)δ (a)
vói moi x ∈ D, và
ǁ f1(x) − g(x) ǁ≤ δ (b)
vói moi x ∈ (−c, c)N . Xét A : RN
−→ E là m®t hàm tuyen tính
sao cho
ǁ g(x) − A(x) ǁ≤ (5N − 1)5δ (c)
vói x ∈ (−c, c)N (như (d) trong chúng minh của Bo đe 2.2.4). Xét
x ∈ D, tù (a), (b), và (c), ta đưoc
ǁ f1(x) − A(x) ǁ ≤ǁ f1(x) − 2nf1(2−nx) ǁ +2n ǁ f1(2−nx) − A(2−nx) ǁ
≤ǁ f1(x) − 2nf1(2−nx) ǁ +2n ǁ f1(2−nx) − g(2−nx) ǁ
+ 2n ǁ g(2−nx) − A(2−nx) ǁ
≤ (2 (25N − 3) − 1)δ.
Tiep theo, ta đ t
J(x) = A(x − x0) + f0(0)
vói x ∈ RN
. Khi đó, J là hàm Jensen. Ta thu đưoc
ǁ f(x) − J(x) ǁ =ǁ f0(x − x0) − A(x − x0) − f0(0) ǁ
=ǁ f1(x − x0) − A(x − x0) ǁ
≤ (2 (25N − 3) − 1)δ.

29
2
vói moi x ∈ D1.
Xét t p D mỏ, loi của RN
. Hàm f : D → R đưoc goi là J-loi,
neu thỏa mãn bat đȁng thúc
2f
x + y
≤ f(x) + f(y)
vói moi x, y ∈ D. Neu dau bat đȁng thúc ” ≤ ” đưoc thay bang
” ≥ ” trong bat đȁng thúc trên, thì f đưoc goi là hàm J- lõm.
Ta nói rang m®t t p con T của RN
thu®c vào lớp A khi và
chỉ khi moi hàm J-loi xác định trên t p mỏ và loi D ⊃ T bị ch n
trên T là liên tnc trên D.
Ket quả tiep theo đã đưoc đưa ra bỏi Kominek như sau:
Định lj 2.2.6. Cho D là t¾p mớ,loi của RN
và cho T ⊂ D
thu®c lớp A. Neu f : D → R là m®t hàm J-loi và g : D → R
là m®t hàm J-lõm và, hơn nũa
f(x) ≤ g(x)
với moi x ∈ T, khi đó ton tại hàm c®ng tính A : RN
→ R, m®t
hàm loi F : D → R và m®t hàm lõm G : D → R thóa mãn
f(x) = A(x) + F (x)
với moi x ∈ D.
Chúng minh. Đ t
g(x) = A(x) + G(x)
ϕ(x) = f(x) − g(x)
vói moi x ∈ D. Rõ ràng ϕ là m®t hàm J-loi bị ch n trên T . Vì
v y, ϕ là liên tnc trên D. Xét D1 là t p con mỏ, loi và bị ch n của
D, túc là ton tại m®t hang so M > 0 sao cho
| ϕ(x) |≤ M (a)

30
2
2
vói moi x ∈ D1. Tù định nghĩa của ϕ, tính J-lõm của g, tính J-loi
của f, và (a) suy ra
0 ≤ 2g
x + y
− g(x) − g(y)
= 2f
x + y
− f(x) − f(y) − 2ϕ
x + y
− ϕ(x) − ϕ(y)
2 2
≤ 4M.
vói moi x, y ∈ D1. Đ c bi¾t,
| 2g
x + y
− g(x) − g(y) |≤ 4M.
vói moi x, y ∈ D1.
Theo Định lí 2.2.5 ton tại hàm Jensen J : RN
→ R, và m®t so
nguyên không âm n thỏa mãn
|g(x) − J(x)| ≤ (2n(25N − 3) − 1)4M (b)
vói moi x ∈ D1.
Tiep theo, ta xét các hàm A, F, và G như sau
A(x) = J(x) − J(0), (x ∈ RN ),
G(x) = g(x) − A(x), (x ∈ D),
F(x) = ϕ(x) + G(x), (x ∈ D).
Khi đó A là hàm c®ng tính. Theo (b), thì hàm G là hàm J-lõm,
bị ch n dưói trên D1, và do đó nó là hàm lõm trên D. Hàm F là
hàm loi vì nó liên tnc và J-loi. Hơn nũa, f (x) = A(x) + F (x) và
g(x) = A(x) + G(x) moi x ∈ D.
S.-M.Jung đã chúng minh đưoc tính on định của phương trình
hàm Jensen trên m®t mien bị giói hạn và không bị ch n, và áp
dnng ket quả đe nghiên cúu hình dáng đưòng ti¾m c n của hàm
c®ng tính.

31
2
2
2
2
2 2
Định lj 2.2.7 (Jung). Cho E1 và E2 tương úng là không gian
đ nh chuȁn thực và không gian Banach thực. Giả sủ cho d > 0
và δ ≥ 0. Neu hàm f : E1 → E2 thóa mãn bat đȁng thúc
ǁ 2f
x + y
− f(x) − f(y) ǁ≤ δ (2.23)
với moi x, y ∈ E1 và ǁxǁ + ǁyǁ ≥ d, thì ton tại duy nhat hàm
c®ng tính A : E1 → E2 sao cho
ǁf(x) − A(x)ǁ ≤ 5δ + ǁf(0)ǁ (2.24)
với moi x ∈ E1.
Chúng minh. Giả sủ ǁxǁ + ǁyǁ < d. Neu x = y = 0, chúng ta có
the chon z ∈ E1 sao cho ǁ z ǁ= d. Ngưoc lại, xét z = (1+d/ǁxǁ)x
vói ǁxǁ ≥ ǁyǁ ho c z = (1 + d/ǁyǁ)y vói ǁxǁ < ǁyǁ. Khi đó
ǁ x − z ǁ + ǁ y + z ǁ≥ d,
ǁ 2z ǁ + ǁ x − z ǁ≥ d,
ǁ y ǁ + ǁ 2z ǁ≥ d, (a)
ǁ y + z ǁ + ǁ z ǁ≥ d,
ǁ x ǁ + ǁ z ǁ≥ d.
Tù (2.23), (a), và
2f
x + y
− f(x) − f(y)
= 2f
x + y
− f(x − z) − f(y + z)
— 2f
x + z
− f(2z) − f(x − z) +2f
y + 2z
−f(y)−f(2z)
— 2f
y + 2z
− f(y + z) − f(z) +2f
x + z
−f(x)−f(z),
2 2
ta có
ǁ 2f
x + y
− f(x) − f(y) ǁ≤ 5δ. (b)
Tù (2.23) và (b), hàm f thỏa mãn bat đȁng thúc (b) vói moi x, y ∈
E1. Do đó, tù (b) và Định lý (2.20) suy ra ton tại duy nhat hàm

32
¨ − − ¨ → ǁ ǁ ǁ ǁ → ∞
2
n
c®ng tính A : E1 → E2 thỏa mãn bat đȁng thúc (2.24) vói moi
x ∈ E1.
Tù ket quả của Định lý 2.2.7, Jung đã chúng minh đưoc dáng
đi¾u ti¾m c n của các hàm c®ng tính.
H quả 2.2.8. Giả sủ hàm f : E1 → E2 thóa mãn đieu ki n
f (0) = 0 trong đó E1 và E2 tương úng là không gian đ nh chuȁn
thực và không gian Banach thực. Hàm f là c®ng tính khi và chí
khi
2f
x + y
f(x) f(y) 0 khi x + y . (2.25)
2
Chúng minh. Tù (2.25), ton tạo m®t dãy đơn đi¾u {δn} giảm tói
0 sao cho
¨2f
x + y
− f(x) − f(y)¨ ≤ δ (a)
vói moi x, y ∈ E1 thỏa mãn ǁxǁ + ǁyǁ ≥ n. Theo (a) và Định lý
2.2.7 ton tại duy nhat hàm c®ng tính An : E1 → E2 sao cho
ǁf(x) − Anxǁ ≤ 5δn (b)
vói moi x ∈ E1. Xét l, m ∈ N sao cho m ≥ n. Tù (b) và
ǁf(x) − Amxǁ ≤ 5δm ≤ 5δl
vói moi x ∈ E1, do {δn} là dãy đơn đi¾u giảm. Tù tính duy nhat
của An suy ra Am = Al. Do đó, cho n → ∞ trong (b), suy ra f là
hàm c®ng tính. Khȁng định ngưoc lại là hien nhiên.
2.2.3 Phương pháp điem bat đ ng
Sủ dnng phương pháp điem bat đ®ng (Định lý 1.3.4) L. Că-
dariu và Radu đã chúng minh tính on định Hyers-Ulam-Rasias của
phương trình hàm Jensen. Ket quả đưoc trích dan tù tài li¾u [10].

33
¨ − − ≤
¨
1
i i i
Định lj 2.2.9 (Cădariu và Radu). Cho E1 và E2 tương úng là
không gian véctơ và không gian Banach (thực ho¾c phúc). Giả
sủ hàm f : E1 → E2 thóa mãn f(0) = 0 và bat đȁng thúc
2f
x + y
f(x) f(y) ϕ(x, y) (2.26)
2
với moi x, y ∈ E1, trong đó ϕ : E2
→ [0, ∞) là m®t hàm so cho
trước. Hơn nũa, giả sủ ton tại hang so dương L < 1 thóa mãn
ϕ(x, 0) ≤ Lqiϕ(x/qi, 0) (2.27)
với moi x ∈ E1 trong đó q0 = 2 và q1 = 1/2. Neu ϕ thóa mãn
lim q−nϕ(qnx, qny) = 0 (2.28)
n→∞
với moi x, y ∈ E1, thì ton tại duy nhat hàm c®ng tính
A : E1 → E2 sao cho
với moi x ∈ E1.
L1−i
ϕ(x, 0) (2.29)
1 − L
Chúng minh. Trưóc het ta xét t p hop
X = {g : E1 → E2 | g(0) = 0}
và metric d xác định trên X như sau:
d(g, h) = inf{C ∈ [0, ∞] : ǁ g(x) − h(x) ǁ≤ Cϕ(x, 0)
vói moi x ∈ E1.
Khi đó, (X, d) không gian metric đay đủ.
Tiep theo ta xét toán tủ Λ : X → X xác định bỏi
(Λg)(x) = (1/qi)g(qix).
Vói moi g, h ∈ X, d(g, h) ≤ C suy ra
ǁ g(x) − h(x) ǁ≤ Cϕ(x, 0)

34
i
hay
ǁ (1/qi)g(qix) − (1/qi)h(qix) ǁ≤ (1/qi)Cϕ(qix, 0)
vói moi x ∈ E1. Theo (2.27) ta có
ǁ (1/qi)g(qix) − (1/qi)h(qix) ǁ≤ LCϕ(x, 0)
vói moi x ∈ E1.
Nghĩa là, neu d(g, h) ≤ C, thì ta có d(Λg, Λh) ≤ LC. Vì v y, ta
thu đưoc d(Λg, Λh) ≤ Ld(g, h) vói moi g, h ∈ X. Th t v y, Λ là
toán tủ co trên X vói hang so Lipschitz L.
Giả sủ rang i = 0. Neu đ t x = 2t và y = 0 trong (2.26), thi theo
(2.27) ta có
ǁ f(t) − (1/2)f(2t) ǁ≤ (1/2)ϕ(2t, 0) ≤ Lϕ(t, 0)
vói moi t ∈ E1, nghĩa là , d(f, Λf) ≤ L = L1
< ∞.
Vói i = 1, đ t y = 0 trong (2.26) thu đưoc
ǁ2f(x/2) − f(x)ǁ ≤ ϕ(x, 0)
vói moi x ∈ E1. Vì v y, d(f, Λf) ≤ 1 = L0
< ∞.
Cả hai trưòng hop chúng ta úng dnng Định lý 1.3.4 và chỉ ra đưoc
ton tại hàm A : E1 → E2 vói A(0) = 0 sao cho
A(2x) = 2A(x) (a)
vói moi x ∈ E1 và A là hàm duy nhat thỏa mãn (a) trong t p
X∗ = {f ∈ X | d(f, g) < ∞},
nghĩa là, ton tại hang so C > 0 sao cho
ǁA(x) − f(x)ǁ ≤ Cϕ(x, 0) (b)
Vói moi x ∈ E1.
Ngoài ra, theo Định lý 1.3.4(i), ta có d(Λnf, A) → 0 khi n → ∞
nghĩa là
A(x) = lim
n→∞
q−nf(qnx) (c)

35
i i i i i i
i i i
vói moi x ∈ E1. Cũng tù Định lý 1.3.4(iii) thu đưoc
d(f, A) ≤
1
1 − L
d(f, Λf) ho c d(f, A) ≤
L1−i
,
1 − L
đieu này suy ra (2.29).
Neu ta tương úng đoi x và y trong (2.26) vói 2qnx và 2qny thì thu
i i
đưoc
ǁq−nf (qn(x + y)) − (1/2)q−nf (2qnx)(1/2)q−nf (2qny)ǁ
≤ (1/2)q−nϕ(2qnx, 2qny)
vói moi x, y ∈ E1. Tù (2.28), neu cho n → ∞ trong bat đȁng thúc
cuoi cùng, thì ta thu đưoc
vói moi x, y ∈ E1.
A(x + y) = A(x) + A(y)

36
Ket lu n
Lu n văn trình bày ve phương trình hàm Jensen, tính on định
và úng dnng. Cn the trong lu n văn, tác giả đã trình bày đưoc các
van đe sau:
• Trình bày m®t so kien thúc ve không gian định chuan và sụ
h®i tn, không gian Banach và tiêu chuan h®i tn Cauchy và cuoi
cùng là ve hàm loi, hàm c®ng tính và m®t so ket quả.
• Trình bày ve phương trình hàm Jensen. Tìm nghi¾m của phương
trình hàm Jensen xác định trên trưòng so thục và chỉ ra nghi¾m
liên tnc của nó là affine. Nghiên cúu nghi¾m liên tnc của phương
trình hàm Jensen trên khoảng đóng và bị ch n. Nghiên cúu
nghi¾m của phương trình hàm kieu Jensen liên h¾ tù bat đȁng
thúc Popoviciu và m®t so bài t p áp dnng.
• Trình bày tính on định của phương trình hàm Jensen trong đó
có tính on định Hyers-Ulam-Rassias, sụ on định trên mien giói
hạn và phương pháp điem bat đ®ng.

37
Tài li u tham khảo
Tieng Vi t
[1] Nguyen Văn M u (1997), Phương trình hàm, NXB Giáo dnc.
[2] Nguyen Văn Nho, Lê Hoành Phò (2013), Tuyen t¾p Olympic
toán hoc tại các nước Châu Á- Thái Bình Dương, NXB Đại
hoc Quoc gia HN.
[3] Vũ Dương Thny, Nguyen Văn Nho (2001), Tuyen t¾p 40 năm
Olympic Toán hoc quoc te, NXB Giáo dnc.
Tieng Anh
[4] J. Aczél (1966), Lectures on Functional Equations and their
applications.
[5] Christopher G. Small (2007), Functional Equations and How
to solve them, Springer.
[6] P. K. Sahoo, P. Kannappan (2011), Introduction to Func-
tional Equations, Chapman & Hall/CRC.
[7] S. M. Jung (2010), Hyers–Ulam–Rassias Stability of Func-
tional Equations in Nonlinear Analysis, Springer.
[8] S. M. Jung, B. Kim (2003), Local stability of the additive
functional equation and its applications, IJMMS, Issue 1, pp
15–26.

38
[9] Titu Andreescu, Iurie Boreico (2007), Functional Equations,
Electronic Edition.
[10] Liviu Cadariu, Viorel Radu (2003), "Fixed points and the sta-
bility of Jensen’s Functional Equation", J. Inequal. Pure and
Appl. Math., 4(1) Art. 4.
[11] S. M. Jung (1998), "Hyers-Ulam-Rassias stability of Jensen’s
equation and its application", Proc. Amer. Math. Soc. ,
126(11) , pp.3137–3143.
[12] J. C. Parnami and H. L. Vasudeva (1992), "On Jensen’s func-
tional equation", Aequationes Math. 43, pp.211–218

Về Phương Trình Hàm Jensen, Tính Ổn Định Và Ứng Dụng.docx

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Về Phương Trình Hàm Jensen, Tính Ổn Định Và Ứng Dụng.docx

Similar to Về Phương Trình Hàm Jensen, Tính Ổn Định Và Ứng Dụng.docx (20)

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (19)

Về Phương Trình Hàm Jensen, Tính Ổn Định Và Ứng Dụng.docx