1. Dokumen tersebut membahas tentang pengukuran dan teori ralat, termasuk jenis kesalahan pengukuran, cara menentukan nilai terbaik, dan metode untuk memperoleh ralat hasil pengukuran. 2. Juga dibahas mengenai pengukuran langsung, tidak langsung, dan regresi linier untuk memperoleh hubungan antara variabel yang diukur. 3. Contoh pengukuran ayunan matematis digunakan untuk mendemonstras

1. PENGUKURAN DAN
TEORI RALAT

2. Pengukuran
Teori
Evaluasi
Prediksi
Observasi

3. CINTA
• 100
VIOLIN ROBERTO
ANNISA
• TUHAN  50% 75% 100%
• ORANG TUA  25% 20% 20%
• SAUDARA/ KELUARGA  10% 3% 10%
• ”TEMAN”  15% 2% 15%

4. PENGUKURAN
Hasil pengukuran biasanya berupa angka-angka
yang disajikan sedemikian rupa kepada
khalayak untuk keperluan ilmiah atau untuk
keperluan praktis lainnya.
APAKAH HASIL PENGUKURAN SELALU
TEPAT ?
Masalahnya :

5. Ko hasilnya beda-beda teruus, kenapa sih ?
Kalo kayak gini trus gimaana donk?
Waduuuh, bikin pusing aja.

6. Makanya, kalian musti
belajar teori ralat
dengan baik!!

7. • 0 1 2 (Nilai Skala Utama)
• Jumlah garis dari 0-1
• Nilai Skala Terkecil (nst alat)
• Nst = Nilai SU
• Jumlah Garis
• = 1 = 0,1 cm
• 10
• nst = 1 = 0,5 cm
• 2

8. 1. KESALAHAN SISTEMATIS (SYSTEMATIC ERRORS)
APA YANG MENYEBABKAN ???
 Kesalahan Alat :zerro error, kelelahan alat (fatigue), aus,
baterai lemah dsb.
 Kesalahan Pribadi Pengamat : kesalahan parallax, salah
interpolasi, salah metode, salah teknik penggunaan alat,
kelelahan, ketidak-seriusan dsb.
 Kesalahan Kalibrasi : kesalahan dalam pembuatan skala.
 Beda kondisi pengukuran: suhu, tekanan, kelembaban
dan sebagainya.

9. 2. KESALAHAN RAMBANGAN
(RANDOM ERRORS)
 Fluktuasi tegangan listrik
 Landasan alat tak stabil
 Adanya angin saat pengukuran
 Suasana bising
 Noise pada rangkaian elektronika
 Gerak brown molekul udara
 Dan sebagainya.

10. Ooo begitu ya!
Tapi kalo hasil ukurnya
beda-beda kayak gitu, trus
yang bener yang manaa?
Yang bener ya nilai yang terbaik.
Naah, sekarang gimana cara
memperoleh nilai yang terbaik ?
OK, perhatikan lagi…

11. NILAI TERBAIK DAN KETIDAKPASTIAN (RALAT) HASIL
PENGUKURAN
Yaitu pengukuran yang dilakukan hanya
sekali dan menghasilkan satu nilai data
saja.
Ralatnya diperoleh dari :
 1/2 skala terkecil  jika hasil ukur tidak
digunakan untuk menentukan nilai
besaran lain
  
satuan
x
S
x
x 

PENGUKURAN TUNGGAL
Hasil ukur disajikan dalam bentuk

12.  
 
1
2




N
N
x
x
S
i
x
Yaitu pengukuran yang dilakukan berkali-kali tanpa ada perubahan
setting alat.
Hasil terbaiknya diambil dari nilai rata-rata sampel:
PENGUKURAN BERULANG
N
x
N
x
x
x
x
N
i
i
N






 1
2
1 ...
Dan ralatnya adalah :

13. CONTOH ANALISIS DATA
PENGUKURAN BERULANG
  )
2
2
(cm
i
x
δ
0,2210
0,0169
0,0289
0,0529
0,0009
0,0529
0,0009
0,0289
0,0049
0,0049
0,0289
(cm)
x
x
x
δ i
i 

0,00
0,13
-0,17
0,23
0,03
0,23
0,03
-0,17
-0,07
-0,07
-0,17
(cm)
i
x
154,70
S
15,60
10
15,30
9
15,70
8
15,50
7
15,70
6
15,50
5
15,30
4
15,40
3
15,40
2
15,30
1
i
cm
47
,
15
10
70
,
154
1





N
x
x
N
i
i
 
 
cm
049554
,
0
90
2210
,
0
1
2






N
N
x
x
S
i
x
 
  cm
05
,
0
47
,
15 


 x
S
x
x

14. PENGUKURAN TIDAK
LANGSUNG
Yaitu penentuan nilai suatu besaran dengan cara penghitungan
berdasarkan rumus. Misalnya luas suatu bidang, volume suatu
bangun ruang dsb.
Jika nilai suatu besaran dinyatakan sebagai :
F=f(x,y,z…)
Maka ralatnya diperoleh dengan metode rambatan :
...
2
2
2





























 z
y
x
F S
z
F
S
y
F
S
x
F
S

15. CONTOH PENGUKURAN TIDAK LANGSUNG
1 2,34 5,99 0,000025 0,000009
2 2,32 5,98 0,000225 0,000169
3 2,35 6,00 0,000225 0,000049
4 2,33 5,97 0,000025 0,000529
5 2,32 6,02 0,000225 0,000729
6 2,35 5,99 0,000225 0,000009
7 2,34 5,98 0,000025 0,000169
8 2,35 6,02 0,000225 0,000729
9 2,31 6,01 0,000625 0,000289
10 2,34 5,97 0,000025 0,000529
23,35 59,93 0,001850 0,003210
Misalkan telah dilakukan pengukuran diameter dan tinggi silinder secara
berulang sebagaimana disajikan dalam tabel berikut:
i i
d i
t 2
)
( d
di  2
)
( t
ti 
S
Menentukan volume silinder

16. cm
993
5
10
93
59
10
10
1
,
,





i
i
t
t
Nilai terbaik untuk diameter dan tinggi silinder adalah:
cm
335
,
2
10
35
,
23
10
10
1





i
i
d
d
Sedangkan ralatnya masing-masing adalah :
 
cm
004534
0
90
0,001850
1
2
,
)
(






N
N
d
d
S
i
d
 
cm
005972
0
90
0,003210
1
2
,
)
(






N
N
t
t
S
i
t
Hasil-hasil ini disajikan sebagai berikut :
• d = (2335  4) × 10-3 cm atau d = (23,40  0,04) mm.
• t = (5993  6) × 10-3 cm atau t = (59,90  0,06) mm.

17. Menghitung volume silinder
t
d
π
V 2
4
1

Volume silinder = luas penampang × tinggi silinder
Dengan memasukkan nilai d dan t di atas serta  = 3,14
maka :
3
3
2
cm
6630298
25
mm
0298
25663
90
59
40
23
14
3
4
1
,
,
,
,
,






V
Bagaimanakah dengan ralatnya ?

18. MENGHITUNG RALAT VOLUME SILINDER
2
2
2
2
2
4
4
2


































t
d
t
d
V
S
d
π
S
dt
π
S
t
V
S
d
V
S
t
d
π
V 2
4
1

Terdapat dua variabel yang menentukan nilai V, yaitu d
dan t, V = f(d,t) maka ralatnya ditentukan dengan
menurunkannya terhadap kedua variabel tersebut.
Perhatikan persamaan di samping !

19. 2
2
mm
9812
21
mm
90
59
4
40
23
14
3
2
4
2
,
,
,
,







t
d
π
d
V
2
2
2
2
mm
2822
4
mm
4
40
23
14
3
4
,
,
,





 d
π
t
V
3
3
2
2
cm
10288778
,
0
mm
88778
,
102
)
06
,
0
16865
,
426
(
)
04
,
0
9812
,
21
(






V
S
Jadi hasil pengukuran volume silinder adalah :
V = (25,66 ± 0,10) cm3

20. REGRESI LINIER (LINIERISASI)
Yakni metode penentuan garis lurus pendekatan terbaik untuk
memperoleh nilai suatu besaran berdasarkan pasangan data
pengukuran dengan variabel diubah-ubah.
Ciri-ciri gejala fisika yang bisa dilinierisasi :
 Terdapat variabel (terikat) yang ikut berubah secara beraturan
(bisa berbanding lurus, terbalik, eksponensial atau logaritmis)
ketika variabel lain (bebas) mengalami perubahan,
 Kedua variabel diukur secara simultan dengan alat ukur yang
berbeda
 Ada suatu konstanta yang biasanya menunjukkan gradien
(kemiringan grafik).
 Secara umum (bisa) mengikuti model persamaan : y = ax + b

21. Contoh Pengukuran yang Bisa Dilinierisasi
• Penentuan nilai percepatan gravitasi bumi dengan mengukur
periode osilasi pendulum untuk setiap panjang tali yang berbeda
• Penentuan laju gelombang bunyi dengan mengukur panjang
gelombang untuk setiap frekuensi yang berbeda
• Penentuan nilai modulus elastisitas bahan dengan mengukur
perubahan panjang untuk setiap beban pemberat yang berbeda
• Penentuan resistivitas suatu bahan homogen dengan mengukur
resistansinya untuk setiap panjang bahan
• Dan sebagainya.

22. CONTOH : Eksperimen Ayunan Matematis
Eksperimen
penentuan g
Besaran yang
diukur langsung
adalah panjang
tali, l (var. bebas)
dan periode
osilasi (var.
terikat), T.
i l (cm) T2 (s2)
1 60 15,84
2 55 15,18
3 50 14,59
4 45 13,75
5 40 12,92
6 35 12,28
7 30 11,35
8 25 10,41
9 20 9,35
10 15 8,19
Bagaimana selanjutnya ?

23. Hubungan antara l dan T dinyatakan dalam persamaan :
g
l
π
T 2

Jika antara l dan T diplot ke grafik maka
akan diperoleh kurva parabolik. Untuk
mendapatkan kurva linier maka
persamaan tersebut harus diubah ke
bentuk linier terlebih dahulu.
l
g
π
T
2
2 4

b
ax
y 

Misalkan T2 = y, l = x dan 42/g = a,
maka akan diperoleh sebuah
persamaan garis lurus :
Dalam hal ini b adalah koefisien titik
potong kurva terhadap sumbu y
Selanjutnya untuk mendapatkan nilai a dan b data di
atas diolah sebagai berikut :

24. 1 60 15,84 250,9056 3600 15054,3360
2 55 15,18 230,4324 3025 12673,7820
3 50 14,59 212,8681 2500 10643,4050
4 45 13,75 189,0625 2025 8507,8125
5 40 12,92 166,9264 1600 6677,0560
6 35 12,28 150,7984 1225 5277,9440
7 30 11,35 128,8225 900 3864,6750
8 25 10,41 108,3681 625 2709,2025
9 20 9,35 87,4225 400 1748,4500
10 15 8,19 67,0761 225 1006,1415
S 375 123,86 1592,6826 16125 68162,8045
(cm)
i
x
l 
i
2
i
x i
i y
x
(s)
T i
y
T 
2

25. Nilai a dan b masing-masing adalah:
 
   
cm
/
s
0908
,
4
375
16125
10
6826
,
1592
375
8045
,
68162
10
)
(
2
2
2
2










 
  
i
i
i
i
i
i
x
x
N
y
x
y
x
N
a
 
   
2
2
2
2
2
s
8645
,
5
375
16125
10
8045
,
68162
375
6826
,
1592
16125
)
(










 
  

i
i
i
i
i
i
i
x
x
N
y
x
x
y
x
b
Bagaimana dengan ketidakpastian nilai a dan b ?

26. Sebelum menentukan ralat a dan b,
haruslah dihitung terlebih dahulu nilai
pendekatan terbaiknya (y estimasi)
beserta ralatnya.
Dengan memasukkan nilai-nilai x, a dan b
ke dalam persamaan y = ax+b maka akan
diperoleh nilai-nilai y estimasi. Untuk
membedakan dengan nilai y hasil ukur
maka digunakan simbol ŷ
Hasilnya disajikan dalam tabel berikut :

27. Jika penghitungan
dilakukan dengan benar
maka nilai-nilai antara
keduanya akan saling
berdekatan dan jumlah
keduanya akan tepat
sama.
Hasil plot grafiknya
adalah sebagai berikut :
x
1 60 250,9056 251,3105 0,1640
2 55 230,4324 230,8567 0,1800
3 50 212,8681 210,4028 6,0775
4 45 189,0625 189,9490 0,7859
5 40 166,9264 169,4952 6,5986
6 35 150,7984 149,0413 3,0873
7 30 128,8225 128,5875 0,0552
8 25 108,3681 108,1337 0,0550
9 20 87,4225 87,6798 0,0662
10 15 67,0761 67,2260 0,0225
S 375 1592,6826 1592,6826 17,0921
y
i ŷ  2
ŷ
y 
y
y ˆ
dan
nilai
-
nilai
Perhatikan

28. Grafik Hubungan Panjang Tali terhadap Kuadrat
Osilasi pada Eksperimen Ayunan Matematis
y = 4,0908x + 5,8645
0
50
100
150
200
250
300
0 10 20 30 40 50 60 70
Panjang Tali, l (cm)
Kuadrat
Osilasi,
T
2
(s
2
)
hasil ukur (y) hasil estimasi

29.  
 
cm
/
s
0321852
,
0
375
16125
10
10
46168
,
1
2
2
2
2
ˆ






  i
i
y
a
x
x
N
N
S
S
 
 
2
2
2
2
2
ˆ
s
2924253
,
1
375
16125
10
16125
46168
,
1






 

i
i
i
y
b
x
x
N
x
S
S
46168
,
1
8
0921
,
17
2
)
ˆ
( 2
ˆ






N
y
y
S
i
i
y
b
a
y dan
,
ˆ
ralat
nilai
an
Penghitung

30. Penghitungan Nilai g
Sebagaimana dinyatakan di atas bahwa a
g
π

2
4
  2
m/s
08
,
0
65
,
9 

g
Maka diperoleh :
2
2
2
m/s
9,650615
4,090767
14
,
3
4
4




a
π
g
Sedangkan ralatnya adalah :
   
 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m/s
0759287
,
0
0,0321852
4,090767
14
,
3
4
4








 




















 a
a
g S
a
π
S
a
g
S
Jadi hasilnya adalah :

31. Terima kasih Matur nuwun