1. 1.1. Дотичні напруження при крученні для стержня круглого чи
кільцевого перерізу
Попередньо розглянемо експериментальні результати кручення стержнів
круглого перерізу. На валу (рис. 1а) відзначимо утворюючі (меридіани) та поперечні
перерізи (паралелі):
Рис. 1
1. При крученні поперечні перерізи стержня повертаються навколо його осі і
відносно один одного.
2. Твірні повертаються на один і той же кут . Квадрати перетворюються в
ромби, прямі кути змінюються, як і у випадку чистого зсуву (рис. 1а). Це свідчить
про те, що виділений елементарний об’єм будь-якого шару вала знаходиться в
умовах чистого зсуву.
3. При крученні стержня круглого перерізу дотримується гіпотеза плоских
перерізів: переріз плоский і нормальний до осі до деформації залишається плоским і
нормальним до осі в процесі деформації.
4. Відстані між перерізами в процесі деформації не змінюються ( consta ), це
підтверджує відсутність у перерізі нормальних напружень.
5. Довжина і прямолінійність радіусів перерізів не порушується, тобто
дотичні напруження у будь-якій точці перерізу перпендикулярні радіусу (рис.
1б).
Розглянемо стержень діаметром d , довжиною , що навантажений моментом
M (рис. 2а). На відстані z виділимо елемент довжиною dz і розглянемо його
рівновагу (рис. 2б). У лівому перерізі прикладемо діючий у ньому крутний момент
кM , а в правому перерізі замінимо кM напруженням, що діє на елементарній
площадці dA з координатами x , y , як показано на рис. 2б.
2. Рис. 2
Вважаючи, що початок координат співпадає з центром ваги О перерізу,
запишемо рівняння статичної рівноваги від елементарної сили dAdF , що діє
на площадці dA (результуюча сила
A
dAF ):
;0sin
A
x dAF (1)
;0cos
A
y dAF (2)
0к
A
z dAMM . (3)
Оскільки невідомі величина і закон розподілу дотичного напруження , кут
кручення, положення нуля напружень, то рівняння рівноваги розв’язати неможливо.
Таким чином, задача є статично невизначеною.