Dokumen tersebut membahas tentang persamaan-persamaan trigonometri, termasuk penyelesaian persamaan trigonometri sederhana, persamaan yang mengandung fungsi trigonometri, rumus jumlah dan selisih trigonometri, serta latihan soal untuk mempraktikkan konsep-konsep tersebut.

1. PERSAMAAN TRIGONOMETRI 1
Kelompok 8
Tri Kuntoro (1111017000055)
Sari Juniatun Nikmah (11140170000010)
Fitria Maghfiroh (11140170000018)
Putri Eka Nur Oktavia (11140170000022)

2. Peta Konsep
1. Bentuk Dasar Persamaan Trigonometri
2. Persamaan yang mengandung Jumlah
Perbandingan Trigonometri
3. Persamaan Kuadrat Perbandingan
Trigonometri
4. Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = c

3. a) Persamaan Identik atau identitas, jika persamaan ini
dipenuhi oleh semua nilai dari sudut-sudut yang tidak
diketahui dimana fungsi-fungsi tersebut terdefinisi.
b) Persamaan bersyarat, atau persamaan, jika persamaan
ini hanya dipenuhi oleh beberapa nilai dari sudut-sudut
yang tidak diketahui.
Persamaan Trigonometri yaitu persamaan yang
mengandung fungsi-fungsi trigonometri dari sudut-
sudut yang tidak diketahui, dibagi menjadi 2, yaitu:
PERSAMAAN TRIGONOMETRI

4. Contoh
a. sin x csc x = 1 adalahidentitas,
Karenadipenuhiolehsemuanilaix,
dimanacscx terdefinisi
b. sin x = 0
adalahpersamaanbersyaratkarenatid
akdipenuhiolehx = 1
4∏ atau½∏
Dalam bahasan ini kita akan menggunakan
“persamaan” bukan “persamaan identik”

5. Persamaan Trigonometri Sederhana
1. Penyelesaian persamaan sin x˚ = sin ˚ (xϵR)
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sin
x˚ = sin ˚ (xϵR) dapat ditentukan dengan
menggunakan hubungan-hubungan yang berlaku
pada perbandingan trigonometri sudut berelasi
berikut.
a. sin (180˚- ˚) = sin ˚
b. sin ( ˚ + k.360˚) = sin ˚
Dengan menggunakan hubungan-hubungan diatas,
maka penyelesaian persamaan trigonometri sin x˚ =
sin ˚ dapat ditetapkan sebagai berikut.

6. Jika sin x˚ = sin ˚ (xϵR), maka :
x = + k.360˚ atau x = (180˚- ˚) + k.360˚, dengan kϵB
Catatan : x dalam derajat
Jika sin x˚ = sin A˚ (xϵR), maka :
x = A + k.2 atau x = ( - A) + k.2 , dengan kϵB
Catatan : x dalam radian
2. Penyelesaian persamaan cos x˚ = cos ˚ (xϵR)
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri cos x˚ = cos ˚
(xϵR) dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan-
hubungan yang berlaku pada perbandingan trigonometri
sudut berelasi berikut.
a. cos (- ˚) = cos ˚
b. cos ( ˚ + k.360˚) = cos ˚

7. Dengan menggunakan hubungan-hubungan diatas, maka
penyelesaian persamaan trigonometri cos x˚ = cos ˚
dapat ditetapkan sebagai berikut.
Jika cos x˚ = cos ˚ (xϵR), maka :
x = + k.360˚ atau x = (- ) + k.360˚, dengan kϵB
Catatan : x dalam derajat
Jika cos x˚ = cos A˚ (xϵR), maka :
x = A + k.2 atau x = -A + k.2 , dengan kϵB
Catatan : x dalam radian
3. Penyelesaian persamaan tan x˚ = tan ˚ (xϵR)
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri tan x˚ =
tan ˚ (xϵR) dapat ditentukan dengan menggunakan
hubungan-hubungan yang berlaku pada perbandingan
trigonometri sudut berelasi berikut.

8. a. tan (180˚+ ˚) = tan ˚
b. tan ( ˚ + k.360˚) = tan ˚
Dengan menggunakan hubungan-hubungan diatas, maka
penyelesaian persamaan trigonometri tan x˚ = tan ˚ dapat
ditetapkan sebagai berikut.
Jika tan x˚ = tan ˚ (xϵR), maka :
x = + k.360˚
Catatan : x dalam derajat
Jika tan x˚ = tan A˚ (xϵR), maka :
x = A + k.
Catatan : x dalam radian
Latihan Soal
Tentukan penyelesaian dari tiap persamaan trigonometri berikut ini.
1. a. sin x˚ = sin 25˚
b. sin 2x˚ = sin 40˚, jika x dalam interval 0≤x≤360˚

9. 2. cos 3x = cos 0, jika x dalam interval 0≤x≤ 2
3. tan 2x˚ = tan 20˚, jika x dalam interval 0≤x≤180˚
Jawab :
1. a. sin x˚ = sin 25˚, maka diperoleh :
x = 25˚ + k.360˚ atau x = (180˚-25˚) + k.360˚
x = 155˚ + k.360˚
Jadi, x = 25˚ + k.360˚ atau 155˚ + k.360˚
b. sin 2x˚ = sin 40˚, maka diperoleh :
2x = 40˚ + k.360˚ atau 2x = (180˚-40˚) + k.360˚
x = 20˚ + k.180˚ 2x = 140˚ + k.360˚
x = 70˚ + k.180˚
untuk k=0 x=20˚ atau untuk k=0 x=70˚
k=1 x=200˚ k=1 x=250˚
Jadi , himpunan penyelesaiannya adalah :
HP = {20˚, 70˚, 200˚, 250˚}

10. 2. cos 3x = cos 0, maka diperoleh
3x = 0 + k.2 3x = -0 + k.2
x = 0 + k. x = -0 + k.
untuk k=0 x=0
k=1 x=
k=2 x=
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah :
HP = {0, , }
3. tan 2x˚ = tan 20˚, maka diperoleh
2x = 20˚ + k.180˚
x = 10˚ + k.90˚
untuk k=0 x=10˚
k=1 x=100˚
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah :
HP = {10˚, 100˚}

11. Persamaan Trigonomerti yang Berbentuk
sin x˚=a, cos x˚, dan tan x˚=a
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sin x˚=a,
cos x˚=a, tan x˚=a, kita harus mengubah bagian ruas
kanan, yaitu a dalam bentuk perbandingan
trigonometri dasar. Dengan demikian,
1. sin x˚=a, diubah dahulu menjadi sin x˚= sin
2. cos x˚=a, diubah dahulu menjadi cos x˚= cos
3. tan x˚=a, diubah dahulu menjadi tan x˚= tan
Setelah itu, persamaan-persamaan tersebut
diselesaikan dengan menggunakan cara-cara
persamaan trigonometri dasar.

12. Latihan Soal
Tentukan penyelesaian dari tiap persamaan trigonometri berikut ini.
1. sin x˚=
2. cot (2x˚-6x˚) =
Jawab :
1. sin x˚ =
sin x˚=sin 30˚, maka diperoleh :
x=30˚+k.36 atau x=(180˚-30˚)+k.360˚
x=150˚+k.360˚
2. cot (2x˚-60˚) =
tan (2x˚-60˚) = =
tan (2x˚-60˚+ = tan 30, maka diperoleh :
2x-60˚ = 30˚ + k.180˚
2x = 90˚ + k.180˚
x = 45˚ + k.45˚
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 45˚ + k.90˚

13. Persamaan Trigonometri yang Berbentuk
sin px˚=a, cos px˚=a, tan px˚=a
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri
yang berbentuk sin px˚=a, cos px˚=a, tan px˚=a,
kita dapat melakukannya dengan terlebih dahulu
mengubah bentuk persamaan trigonometri
tersebut menjadi bentuk persamaan trigonometri
sederhana.
Latihan Soal
Tentukan penyelesaian dari tiap persamaan
trigonometri berikut ini.
1. sin 3x˚ = , 0≤x≤360˚
2. cos 2x˚ = , 0≤x≤360˚

14. Jawab :
1. sin 3x˚ =
sin 3x˚ = sin 60˚, maka :
3x = 60˚ + k.360˚ atau 3x = (180˚-60˚) + k.360˚
x = 20˚ + k.360˚ 3x = 120˚ + k.360˚
x = 40˚ + k.360˚
untuk k=0 x=20˚ atau untuk k=0 x=40˚
k=1 x=140˚ k=1 x=160˚
k=2 x=260˚ k=2 x=280˚
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah :
HP = {20˚, 40˚, 140˚, 160˚, 260˚, 280˚}

15. 2. cos 2x˚ =
cos 2x˚ = cos 60˚, maka :
2x = 60˚ + k.360˚ atau 2x = -60˚ + k.360˚
x = 30˚ + k.180˚ x = -30˚ + k.180˚
untuk k=0 x=30˚ atau untuk k=1 x=150˚
k=1 x=210˚ k=2 x=330˚
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah :
HP = {30˚, 60˚, 210˚, 240˚}

16. Pada bagian ini kita akan menggunakan rumus sinus dan kosinus
jumlah dan selisih dua sudut untuk memperoleh rumus perkalian
sinus dan kosinus. Pada bagian sebelumnya kita memperoleh :
Sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β ......... (1)
Sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β ..........(2)
Penjumlahan kedua persamaan di atas menghasilkan :
* 2 sin α cos β = Sin (α + β) + Sin (α - β)
Pengurangan persamaan 1 oleh persamaan 2 menghasilkan :
* 2 cos α sin β = Sin (α + β) - Sin (α - β)
Persamaan yang mengandung Jumlah
Perbandingan Trigonometri

17. Selanjutnya pada bagian sebeumnya kita memperoleh :
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β ......(3)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β ......4)
Penjumlahan kedua persamaan di atas menghasilkan :
*2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α - β)
Pengurangan persamaan 3 oleh persamaan 4 menghasilkan :
* -2 sin α sin β = cos (α + b) - cos (α - β)
Identitas yang kita peroleh di atas di sebut sebagai
“rumus trigonometri untuk perkalian sinus dan kosinus “
dan kita rangkum sebagai berikut:
2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α ̶ β)
2 cos α sin β = sin (α + β) ̶ sin (α ̶ β)
2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β)
2 sin α sin β = ̶ cos (α + β) + cos (α – β)

18. Rumus trigonometri untuk perkalian sinus dan kosinus yang telah
kita dapatkan tadi, dapat pula kita gunakan pada hal sebaliknya
yaitu menyatakan jumlah atau selisih sinus dan kosinus sebagai
perkalian sinus dan kosinus. Untuk hal tersebut kita lakukan
sebagai berikut:
Misal a + b = A dan a - b= B, maka
½ (α + β) = ½ (α + β + α - β) = ½ (2 α) = α
½ (α - β) = ½ (α + β – α - β) = ½ (2 β) = β
Jika hasil di atas kita substitusikan ke rumus trigonometri untuk
perkalian sinus dan kosinus yang telah kita dapatkan tadi maka
diperoleh :
sin α + sin β = 2 sin ½ (α + β) cos ½ (α ̶ β)
sin α ̶ sin β = 2 cos ½ (α + β) cin ½ (α ̶ β)
cos α + cos β = 2 cos ½ (α + β) cos ½ (α ̶ β)
cos α ̶ cos β = ̶ 2 sin ½ (α + β) sin ½ (α ̶ β)

19. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH PADA SINUS DAN KOSINUS
RUMUS UNTUK 2 SIN α COS β DAN 2 COS α SIN β
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri yang memuat
jumlah , selisih sinus atau kosinus. Maka kita dapat
menggunakan rumus jumlah dan selisih dalam trigonometri.
sin α + sin β = 2 sin ½ (α + β) cos ½ (α ̶ β)
sin α ̶ sin β = 2 cos ½ (α + β) cin ½ (α ̶ β)
cos α + cos β = 2 cos ½ (α + β) cos ½ (α ̶ β)
cos α ̶ cos β = ̶ 2 sin ½ (α + β) sin ½ (α ̶ β)
2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α ̶ β)
2 cos α sin β = sin (α + β) ̶ sin (α ̶ β)
2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β)
2 sin α sin β = ̶ cos (α + β) + cos (α – β)

20. Latihan Soal
Carilah himpunan penyelesaian dari setiap
persamaan trigonometri berikut ini dalam
interval yang diberikan:
a. cos 8x˚ + cos 2x˚ = 0, 0≤x≤180˚
b. sin (x˚+75˚) + sin (x˚-15˚) = , 0≤x≤360˚
Jawab:
a. cos 8x˚ + cos 2x˚ = 0, 0≤x≤180˚
2 cos (8x˚+2x˚) cos (8x˚-2x˚) = 0
2 cos 5x˚ cos 3x˚ = 0
2 cos 5x˚ = 0 atau cos 3x˚ = 0
cos 5x˚ = 0 atau cos 3x˚ = 0

21. Dari cos 5x˚ = 0 didapat :
cos 5x˚ = cos 90˚ atau cos 5x˚ = cos (-90˚)
5x˚ = 90˚ + k.360˚ 5x˚ = -90˚ + k.360˚
x˚ = 18˚ + k.72˚ x˚ = -18˚ + k.360˚
untuk k=0 x=18˚ atau untuk k=1 x=54˚
k=1 x=90˚ k=2 x=126˚
k=2 x=162˚
Dari cos 3x˚ = 0 didapat :
cos 3x˚ = cos 90˚ atau cos 3x˚ = cos (-90˚)
3x˚ = 90˚ + k.360˚ 3x˚ = -90˚ + k.360˚
x = 20˚ + k.120˚ x˚ = -30˚ + k.120˚
untuk k=0 x=30˚ atau untuk k=1 x=90˚
k=1 x=150˚
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah :
HP = {18˚, 30˚, 54˚, 90˚, 126˚, 150˚, 162˚}

22. b. sin (x˚+75˚) + sin (x˚-15˚) = , 0≤x≤360˚
2 sin (x˚+75˚+x˚-15˚) cos (x˚+75˚-(x˚-15˚)) =
2 sin (x˚+30˚) cos 45˚ =
sin (x˚+30˚) =
2 cos 45
sin (x˚+30˚) =
2 .
sin (x˚+30˚) = , diperoleh:
sin (x˚+30˚) = sin 30˚ atau sin (x˚+30˚) = sin 150˚
x˚+30˚ = 30˚+k.360˚ x˚+30˚= 150˚+k.360˚
x˚ = 0 + k.360˚ x˚= 120˚+k.360˚
untuk k = 0 x= 0˚ atau untuk k= 0 x= 120˚
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah :
HP = {0˚, 120˚}

23. Persamaan kuadrat dalam sinus, kosinus, dan
tangen.
Persamaan kuadrat dalam sinus, cosinus dan
tangen akar-akarnya dapat ditentukan dengan
cara:
1.Dengan memfaktorkan
2.Dengan melengkapi kuadrat sempurna
3.Dengan menggunakan rumus ABC
Persamaan Kuadrat Perbandingan
Trigonometri

24. Persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat dapat
diselesaikan
menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Nyatakan persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan
kuadrat umum.
2. Tentukan akar-akarnya menggunakan salah cara yang telah
ditentukan
3. Akar-akar yang telah ditentukan harus memenuhi syarat-syarat
sebagai berikut.
a. Nilai sin x, cos x dan tan x, haruslah bilangan real,
sehingga D ≥ 0 (D=b²- 4ac)
b. Nilai sin x = {– 1 ≤ sin ≤ 1}, cos x = {– 1 ≤ cos ≤ 1}.
Jika salah satu syarat diantara kedua itu tidak dipenuhi, maka
persamaan tersebut tidak memiliki penyelesaian atau himpunan
penyelesaianya adalah ∅ (Himpunan kosong).

25. Latihan soal:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin²x = 3 sin x - 1, dengan 0 ≤
x ≤ 360°
Jawab :
2 sin²x = 3 sin x - 1
2 sin²x – 3 sin x + 1 = 0
2p² - 3p + 1 = 0
(2p- 1) (p -1) = 0
p = ½ p = 1
a. Dari persamaan diperoleh sin x = ½
sin x = sin 30°
x = 30° + k . 360° x = (180°- 30°) + k . 360°
k=0  x = 30° k = 0  x = 150°
k=1  x= 390° k = 1  x = 510°
b. Dari persamaan diperoleh sin x =1
sin x = sin 90°
x= 90 + k . 360° atau x = (180 – 90) ° + k.360
k= 0  x = 90° k= 0  x = 90o
k= 1  x = 450° k=1  x = 450o
misal sin x = p
Maka Hp = {30°, 90°,150°}

26. Latihan Soal
Jika x memenuhi 2 sin²x – 7 sin x + 3 =0 dan 0≤ x ≤90°, maka cos x
adalah……..
Jawab :
2 sin²x – 7 sin x + 3 =0
⇔2p² - 7xp+3 = 0
⇔ (2p – 1)(p – 3)=0
⇔ p = ½ atau p = 3 (ditolak)
Maka, sin x =½ dan sin x = 3
Sin x = ½ = sin 30°
x = 30° + k . 360° atau x = 150° + k . 360°
Untuk k = 0, maka x = 30° atau x = 150°
dalam interval 0 ≤ x ≤ 90° dipenuhi oleh x = 30°

27. Latihan Soal
Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan cos2 2x + sin 2x -1 = 0 untuk 0o
≤ x ≤ 180o
Penyelesaian :
cos2 2x + sin 2x – 1 = 0
(1-sin2 2x) + sin 2x – 1 = 0
- sin2 2x + sin 2x = 0
sin2 2x – sin 2x = 0
sin 2x (sin 2x - 1) = 0
sin 2x = 0 atau sin 2x = 1
a. Sin 2x = 0 = sin 0o b. Sin 2x = 1 = sin 90o
Penyelesaiannya : Penyelesaiannya :
1. 2x = 0o + k.360 2x = 90o + k.360o
x = 0o + k.360 x = 45o + k.180
k = 0 --> x = 0o k = 0 --> x = 45o
k = 1 --> x = 360o
2. 2x = 180o + k . 360
x = 90o + k . 180o
k = 0 --> x = 90o
k = 1 --> x = 270o
Jadi, Harga x yang memenuhi adalah 0o 45o
90o 180o

28. Tentukan himpunan penyelesaian dari : 3 cos2 2x + 2 cos 2x = 8
Missal cos 2x = q
3q2 + 2q – 8 = 0
(3q-4) (q+2)
q = 4/3 atau q = -2
syarat akar-akar yang ditentukan :
D ≥ 0
D = b2 – 4ac
D = 22 – (4.3.-8)
D = 4 – (-96)
D = 100  Memenuhi
Nilai cos x = {– 1 ≤ cos ≤ 1}
q1 = 4/3 > 1
q2 = -2 < -1
Keduanya tidak memenuhi
Karna salah satu syarat tidak
terpenuhi maka
HP = { }

29. Untuk mengubah suatu persamaan trigonometri menjadi persamaan kuadrat
Dalam sinus, cosinus dan tangen kita dapat menggunakan rumus-rumus sudut
rangkap, dan rumus trigonometri sudut pertengahan.
Perhatikan contoh dibawah ini.
Tentukan penyelesaian dari persamaan cos 2x – 10 sin x = - 11 dalam interval
0 ≤ x ≤ 360°
solusi !
Cos 2x – 10 sin x = -11
⇔1- 2 sin²x – 10 sin x = -11
⇔ 2 sin²x + 5 sin x – 6 = 0
⇔(sin x + 6)(sin x – 1)=0
⇔sin x = -6(ditolak) atau sin x = 1(diterima)
⇔sin x = 1 = 90°
x = 90° + k . 360°
Untuk k = 0 maka x = 90°
Jadi penyelesaianya adalah 90°
Ingat cos 2x = 1 – 2sin²x
Persamaan trigonometri yang dapat diubah menjadi
persamaan kuadrat dalam sinus, cosinus dan tangen.

30. Mengubah Bentuk a cos x˚ + b sin x˚ Menjadi
Bentuk k cos (x - )˚ dan Bentuk k cos (x - )˚
Bentuk a cos x˚ + b sin x˚ dapat diubah menjadi bentuk k
cos (x - )˚ dengan k suatu skalar positif dan 0≤ ≤360˚.
a cos x˚ + b sin x˚ = k cos (x - )˚
a cos x˚ + b sin x˚ = k (cos x˚ cos ˚ + sin x˚ sin ˚)
a cos x˚ + b sin x˚ = k cos x˚ cos ˚ + k sin x˚ sin ˚
a cos x˚ + b sin x˚ = k cos ˚ cos x˚ + k sin ˚ sin x˚
Dari persamaan diatas, koefisien cos x˚ di kiri harus sama
dengan koefisien cos x˚ di ruas kanan, demikian pula
keefisien sin x˚. Dengan demikian, kita dapat hubungkan :
k cos ˚ = a ………………………..(1)
k sin ˚ = b ………………………..(2)

31. 1. Menentukan nilai k
Jika persamaan (1) dan (2) dikuadratkan, diperoleh :
k²cos² ˚= a²
k²sin² ˚= b²
Selanjutnya, kita jumlahkan kedua persamaan, diperoleh :
k²cos² ˚= a²
k²sin² ˚= b²
k²cos² ˚ + k²sin² ˚ = a² + b²
k² (cos² ˚ + sin² ˚) = a² + b²
k² (1) = a² + b²
k² = a² + b²
k = ± , diambil k>0
Jadi, k =

32. 2. Menentukan besar sudut
Jika persamaan (2) dibagi dengan persamaan (1),
diperoleh :
k sin ˚ b sin ˚ b
k cos ˚ a cos ˚ a
tan ˚ =
Berdasarkan nilai k dan besar sudut yang telah
didapat maka dapat kita simpulkan bahwa :
1. a cos x˚ + b sin x˚ = k cos (x - )˚ berlaku hubungan
k = dan tan ˚ =
2. a cos x˚ + b sin x˚ = k cos (x + )˚ berlaku hubungan :
k = dan tan ˚ =
= =

33. Kuadran Tanda a, b b/a Tanda
I a>0, b>0 >0 >0
II a<0, b>0 <0 <0
III a<0, b<0 >0 >0
IV a>0, b<0 <0 <0
(-a,-b)
(a,b)
(a,-b)
(-a,b)
Kuadran I
Kuadran IV
Kuadran III
Kuadran II

34. Latihan Soal
Nyatakan bentuk cos x˚ + sin x˚ ke dalam bentuk k cos (x- )˚
Jawab :
cos x˚ + sin x˚ = k cos (x- )˚
cos x˚ + sin x˚ = k cos ˚ cos x˚ + k sin ˚ sin x˚
Diperoleh :
k cos ˚ = 1 a = 1
k sin ˚ = b =
Nilai k
k = = = = 2
Besar sudut ˚ :
tan ˚ = = dan terletak di kuadran I
(a>0, b<0) , ˚= 60˚
Jadi, cos x˚ + sin x˚ = 2 cos (x-60)˚

35. Persamaan a cos x˚ + b sin x˚ = c
Dalam menyelesaikan persamaan bentuk a cos
x˚ + b sin x˚ = c (a, b, dan c bilangan real yang
tidak nol) diperlukan sejumlah langkah-
langkah, di antara perubahan bentuk a cos x˚ +
b sin x˚ menjadi bentuk k cos (x - )˚ akan di
gunakan pula. Berikut langkah-langkah dalam
menyelesaikan persamaan bentuk a cos x˚ + b
sin x˚ = c (a, b, dan c bilangan real yang tidak
real).

36. Langkah 1
a cos x˚ + b sin x˚ = c
Ubah ruas kiri menjadi bentuk k cos (x- )˚
dengan k = dan tan ˚ =
Langkah 2
Setelah mengganti a cos x˚ + b sin x˚ = c
dengan cos (x- )˚, persamaan menjadi:
k cos (x- )˚ = c
cos (x- )˚ =

37. Langkah 3
Nilai cos (x- )˚ antara -1 dan 1, sehingga cos (x- )˚ =
akan mempunyai penyelesaian jika
memenuhi persyaratan -1≤ ≤ 1
-1≤ ≤1
-k≤ ≤k
- ≤c≤
IcI ≤
Jadi, syarat agar persamaan a cos x˚ + b sin x˚ = c
mempunyai penyelesaian adalah:
- ≤c≤
atau
IcI ≤

38. Langkah 4
Setelah persamaan a cos x˚ + b sin x˚ = c diubah
menjadi:
cos (x- )˚ = , kita lakukan penyelesaiannya
sebagai berikut:
cos (x- )˚ =
cos (x- )˚ = cos p˚
x- = p + k.360˚ atau x- = -p + k.360˚
x = ( +p) + k.360˚ atau x = ( -p) + k.360˚

39. Latihan Soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari cos x˚
- sin x˚ = -1 dalam interval 0≤x≤360˚
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari cos x˚ -
sin x˚ = 1 dalam interval -2 ≤x≤2
Jawab :
1. cos x˚ - sin x˚ = k cos (x- )˚
cos x˚ - sin x˚ = k cos x˚ cos ˚ + k sin x˚ sin ˚
Diperoleh : k cos ˚= b =
k sin ˚= -1 b = -1
Nilai k : k= = = = 2

40. Besar sudut :
tan ˚= = = dan terletak di kuadran IV
(a>0, b<0), ˚ = 330˚
Jadi, cos x˚ - sin x˚ = 2 (cosx-330˚)
Persamaan cos x˚ - sin x˚ = -1 dapat ditulis sebagai :
cos x˚ - sin x˚ = 2 (cosx-330˚) = -1
2 (cos x - 330) = -1
cos (x-330) =
cos (x-330) = cos 120
x-330˚ = 120˚+k.360˚ atau x-330˚= -120˚+k.360˚
x = 450˚+k.360˚ atau x = 210˚+ k.360˚
untuk k = -1 x=90˚ untuk k = 0 x=210˚
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan cos x˚ - sin x˚ = -1
adalah HP = {90˚, 210˚}

41. 2. cos x˚ - sin x˚ = k cos (x- )˚
cos x˚ - sin x˚ = k cos x˚ cos ˚ + k sin x˚ sin ˚
Diperoleh : k cos ˚= 1 a = 1
k sin ˚= -1 b = -1
Nilai k : k = = =
Besar sudut :
tan ˚= = = -1 dan terletak di kuadran IV
(a>0, b<0), ˚=
Jadi, cos x˚ - sin x˚ = cos (x- )
Persamaan cos x˚ - sin x˚ = 1 dapat ditulis sebagai :

42. cos x˚ - sin x˚ = cos (x- ) = 1
cos (x- ) = 1
cos (x- ) =
cos (x- ) = cos
x - = + k.2 atau x-330˚ = + k.2
x = 2 + k.2 atau x- = 210˚ + k.2
untuk k=-2 x=-2 untuk k=-1 x=
k=-1 x=0 k=0 x=
k=0 x=2
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan cos x˚ -
sin x˚ adalah : HP = {-2 , , 0, , 2 )

43. Nilai Minimum dan Maksimum Fungsi
f(x) = a cos x˚ + b sin x˚
Dengan menggunakan aturan pengubahan bentuk
a cos x˚ + b sin x˚ menjadi bentuk k cos (x- )˚, maka
fungsi trigonometri :
y = f(x) = a cos x˚ + b sin x˚
dapat diubah ke dalam bentuk :
y = f(x) = k cos (x- )˚
dengan k = dan tan ˚ =
Berdasarkan bentuk fungsi y = f(x) = k cos (x- )˚,
kita dapat menentukan nilai maksimum dan nilai
minimum (nilai-nilai stasioner)

44. 1. Nilai maksimum
ymaksimum = k = dicapai untuk cos (x- )˚ = 1
cos (x- )˚ = 1
cos (x- )˚ = cos 0˚
x - = k.360
x = + k.360
2. Nilai minimum
yminimum = -k = - dicapai untuk cos (x- )˚ = -1
cos (x- )˚ = -1
cos (x- )˚ = cos 180˚
x - = 180 + k.360
x = (180 + ) + k.360
Berdasarkan uraian tentang nilai maksimum dan minimum
dari fungsi trigonometri dalam bentuk y = f(x) = k cos (x- )˚,
maka dapat disimpulkan bahwa :

45. Fungsi trigonometri y = f(x) = a cos x˚ + b sin x˚
yang telah diubah ke dalam bentuk y = f(x) = k
cos (x- )˚ mempunyai :
1. Nilai maksimum
ymaksimum = k = dicapai untuk cos (x- )˚= 1
2. Nilai minimum
yminimum = -k=- dicapai untuk cos (x- )˚=-1
Latihan Soal
Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum
dari fungsi y = 2 cos x˚ + 3 sin x˚

46. Jawab :
y = 2 cos x˚ + 3 sin x˚ = k cos (x- )˚
a cos x˚ + b sin x˚ = k (cos x˚ cos ˚ + sin x˚ sin ˚)
a cos x˚ + b sin x˚ = k cos ˚ cos x˚ + k sin ˚ sin x˚
k cos ˚ = 2 a = 2
k sin ˚ = 3 b = 3
ymaksimum = k =
= =
yminimum = -k = -
= - = -

47. TERIMA KASIH