Text book for the mechanics of materials Strain Energy ・Strain energy density ・Relation between stress, strain and strain energy ・Calculation of strain energies note: Your feedback is welcome! ひずみエネルギー ・ひずみエネルギー密度関数 ・応力/ひずみとひずみエネルギー ・ひずみエネルギーの計算

1. ひずみエネルギー
3. 各種弾性ひずみエネルギーを求められる
2. ひずみエネルギー密度関数から
応力・ひずみを求められる
1. ひずみエネルギー密度関数を説明できる
目標
1/9

2. ひずみエネルギー密度関数
＝ Uelastic
*
Uplastic
*
＋U
*
τ dγUS
*＝
0
γ
∂
∂
γ
US
*
＝ τ
σ, τ
ε,γO
*Uplastic Uelastic
*
σdεUT
*＝
0
ε
∂
∂
ε
UT
*
＝ σ
2/9
Stress
Strain
変形させたときに蓄えられる
単位体積あたりのエネルギー

3. 補ひずみエネルギー密度関数
σ, τ
ε,γO
U *
U *
ε dσUT
*＝
0
σ
∂
∂
σ
UT
*
＝ ε
γ dτUS
*＝
0
τ
∂
∂
τ
US
*
＝ γ
3/9
荷重を加えたときに蓄えられる
単位体積あたりのエネルギー
補ひずみエネルギー密度関数
ひずみエネルギー密度関数
| |
弾性

4. PT
δT
ℓ
E：ヤング率 A：断面積
P
δO
δT
PT
UT ＝
2
1 σ A εℓ・
V
2
σε＝
UT
*＝ V
弾性ひずみエネルギー密度
弾性ひずみエネルギー（垂直応力）
2
σε
UT
* ＝
＝
2
Eε2
＝
2E
σ2
σ＝E ε
PT δTUT
2
1
＝
PT ＝ σ A
δT ＝ εℓ
4/9

5. 弾性ひずみエネルギー（曲げ）
σ I
M y＝
dUb ＝
A
2E
1
I
M 2
y（ ）dAdx
2EI
M 2
2
y
A
2
dAdx＝
y
A
2
dAI ＝
＝
2EI
M 2
dx
Ub ＝
ℓ
0 2EI
M 2
dx
2E
σ2
dA dx＝ddUb
x
y
M
：はりの長さℓ
5/9
＝ （ ）I
M 2
y dA dx
2E
1

6. 弾性ひずみエネルギー（せん断応力）
PS ＝ τ A
δS ＝ γℓ
PS δSUS
2
1
＝
US ＝
2
1 τ A γℓ・
V
2
τγ＝
US
*＝ V
弾性ひずみエネルギー密度
US
* ＝
＝
2
Gγ2
＝
2G
τ2
2
τγ
τ＝Gγ
変形前 変形後
P
δO
δS
PS
G：横弾性係数 A：断面積
6/9

7. 弾性ひずみエネルギー（ねじり）
dUTS
0
＝
r
GIp
T 2
2
πρ3
dxdρ
2
1
＝
GIp
T 2
2 2
πr4
dx＝
2GIp
T 2
dx
Ip＝
2
πr4
ddUTS
＝
GIp
T 2
2
πρ3 dxdρ
＝
2G
τ2
{ }（ ）π ρ dρ＋
2
− ρπ
2
dx
＝
2G
τ2
（ ）π 2ρ dρ＋ dρdx
~− G
τ2
π ρdρdx
=
ρ
Ip
Tτ
：棒長さℓ
T=const.
＝
2GIp
T 2
ℓ ＝
2
T θ θ：ねじれ角
ℓ
0
dxUTS ＝
2GIp
T 2
7/9

8. 弾性ひずみエネルギーのまとめ
2
σε
UT
* ＝
＝
2
Eε2
＝
2E
σ2
US
* ＝
＝
2
Gγ2
＝
2G
τ2
2
τγ
弾性ひずみエネルギー密度
垂直応力（引張）
せん断応力（せん断）
弾性ひずみエネルギー
Ub ＝
ℓ
0 2EI
M 2
dx
ℓ
0
dxUTS ＝
2GIp
T 2
曲げ
ねじり
：棒の長さℓ
：はりの長さℓ
8/9

9. まとめ
3. 各種弾性ひずみエネルギーを求められる
2. ひずみエネルギー密度関数から応力・ひずみを求められる
1. ひずみエネルギー密度関数を説明できる
垂直応力 せん断応力 曲げ ねじり
9/9