ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΩΝ.pdf

1. 1
ΠΡΟ΢ΔΙΟΡΙ΢ΜΟ΢ ΠΟΛΛΑΠΛΑ΢ΙΑ΢ΣΩΝ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΟΤ΢ ΢ΣΟ
ΠΛΑΙ΢ΙΟ IS-LM
Ι. ΠΡΟ΢ΔΙΟΡΙ΢ΜΟ΢ ΠΟΛΛΑΠΛΑ΢ΙΑ΢ΣΩΝ
Α. Ειδική Περίπηωζη
Α1. Υπνζέζηε ην αθόινπζν απιό ππόδεηγκα:
)( TYC   (θαηαλάισζε)
TT  (πάγηνη θόξνη)
II  (απηόλνκε επέλδπζε)
GG  (απηόλνκεο θξαηηθέο δαπάλεο)
Από ηε ζπλζήθε ηζνξξνπίαο θαη ηηο παξαπάλσ ζρέζεηο έρνπκε:
 GITYGITYGICY  )(
GITYGITY













1
1
1
1
11
)1( (1)
Από ηελ (1) κπνξνύκε λα πάξνπκε ηνπο πνιιαπιαζηαζηέο σο ηνπο ζπληειεζηέο ησλ αληίζηνηρσλ
κεηαβαιιόκελσλ κεγεζώλ. Γηα παξάδεηγκα, όηαλ κεηαβάιινληαη νη πάγηνη θόξνη (αιιά δελ
κεηαβάιινληαη ε απηόλνκε θαηαλάισζε α, νη επελδύζεηο θαη νη θξαηηθέο δαπάλεο, δει.
0 GI ) ηόηε ζα έρνπκε:











11 T
Y
TY (πνιιαπιαζηαζηήο πάγησλ θόξσλ) (1α)
Γεληθά, γηα λα βξνύκε έλα πνιιαπιαζηαζηή ζα ζεσξνύκε όηη κεηαβάιιεηαη μόνο ην εηζόδεκα Υ
( 0Y ) θαη ην αληίζηνηρν κέγεζνο ηνπ νπνίνπ ηνλ πνιιαπιαζηαζηή ζέινπκε λα πξνζδηνξίζνπκε
(δει. νη πάγηνη θόξνη παξαπάλσ, 0T ). Τα άιια κεγέζε ζεσξνύληαη ζηαζεξά, δει.
0 GI .
Με ηνλ ίδην ηξόπν κπνξνύκε λα πάξνπκε ηνπο παξαθάησ πνιιαπιαζηαζηέο:
 






1
1
1
1
I
Y
IY (πνιιαπιαζηαζηήο απηόλνκσλ επελδύζεσλ) (1β)
 






1
1
1
1
G
Y
GY (πνιιαπιαζηαζηήο απηόλνκσλ θξαηηθώλ δαπαλώλ)
(1γ)


 






1
1
1
1 Y
Y (πνιιαπιαζηαζηήο απηόλνκεο θαηαλάισζεο) (1δ)
Α2. Υπνζέζηε ην αθόινπζν ππόδεηγκα:
)( TYC   (θαηαλάισζε)
tYTT  (νη θόξνη έρνπλ έλα πάγην κέξνο θαη έλα κέξνο αλαινγηθό πξνο ην εηζόδεκα)

2. 2
II  (απηόλνκε επέλδπζε)
GG  (απηόλνκεο θξαηηθέο δαπάλεο)
Από ηε ζπλζήθε ηζνξξνπίαο θαη ηηο παξαπάλσ ζρέζεηο έρνπκε:
 GItYTYGItYTYGICY  )(
 GITtY  )1(
G
t
I
t
T
tt
Y












1
1
1
1
11
(2)
Φξεζηκνπνηώληαο ηε ζρέζε (2) θαη ην ζθεπηηθό πνπ αλαπηύρζεθε ζηελ πεξίπησζε Α1, παίξλνπκε ηνπ
αθόινπζνπο πνιιαπιαζηαζηέο:
)1(11 tT
Y
T
t
Y











(πνιιαπιαζηαζηήο πάγησλ θόξσλ) (2α)
)1(1
1
1
1
tI
Y
I
t
Y








(πνιιαπιαζηαζηήο απηόλνκσλ επελδύζεσλ)
(2β)
)1(1
1
1
1
tG
Y
G
t
Y








(πνιιαπιαζηαζηήο απηόλνκσλ θξαηηθώλ δαπαλώλ)
(2γ)
)1(1
1
1
1
t
Y
t
Y










(πνιιαπιαζηαζηήο απηόλνκεο θαηαλάισζεο)
(2δ)
Β. Γενική Μέθοδος
Υπνζέζηε όηη αληί λα έρνπκε εηδηθέο κνξθέο ησλ ζπλαξηήζεσλ θαηαλάισζεο, επελδύζεσλ θαη θόξσλ
(όπσο ζηηο πεξηπηώζεηο Α1 θαη Α2 παξαπάλσ), έρνπκε ηηο παξαθάησ γεληθέο κνξθέο:
)( TYcC  (ζπλάξηεζε θαηαλάισζεο – πξνζνρή, ην c(Y-T) δελ είλαη γηλόκελν αιιά
ζπλαξηεζηαθή κνξθή θαη’ αληηζηνηρία ηεο καζεκαηηθήο δηαηύπσζεο y=f(x), δει. ην
c δείρλεη ηε ζπλαξηεζηαθή κνξθή βάζεη ηεο νπνίαο ε θαηαλάισζε C εμαξηάηαη από
ηελ αλεμάξηεηε κεηαβιεηή Υ-Τ)
)(YtT  (ζπλάξηεζε θόξσλ – ην t είλαη ζπλαξηεζηαθή κνξθή, όρη ζπληειεζηήο)
),,( ZYriI  (ζπλάξηεζε επελδύζεσλ – ην i είλαη ζπλαξηεζηαθή κνξθή, όρη ζπληειεζηήο)
GG  (απηόλνκεο θξαηηθέο δαπάλεο)
Βάζεη ησλ παξαπάλσ ζπλαξηήζεσλ θαη ηεο ζπλζήθεο ηζνξξνπίαο, έρνπκε:
GZYriYtYcGICY  ),,())(( (3)
Γηα λα βξνύκε ηνλ πνιιαπιαζηαζηή θξαηηθώλ δαπαλώλ, ζεσξνύκε όηη μόνο ην εηζόδεκα Υ θαη νη
θξαηηθέο δαπάλεο G κεηαβάιινληαη ζηελ (3), δει. 0Y , 0G θαη 0 Zr . Δπεηδή ην

3. 3
εηζόδεκα είλαη θαη αλεμάξηεηε κεηαβιεηή (δει. επεξεάδεη νξηζκέλα κεγέζε ζηε δεμηά πιεπξά ηεο
ζρέζεο) ζα πξέπεη λα πάξνπκε ην νιηθό δηαθνξηθό ηεο ζρέζεο: 1 2
y
y
itcG
Y
GYitc





)1(1
1
])1(1[ (3α)
όπνπ c
YtY
c



))((
είλαη ε νξηαθή ξνπή πξνο θαηαλάισζε σο πξνο ην δηαζέζηκν εηζόδεκα Y-
t(Y)
t
Y
t



είλαη ν νξηαθόο θνξνινγηθόο ζπληειεζηήο
yi
Y
i



είλαη ε κεξηθή παξάγσγνο ηεο ζπλάξηεζεο επελδύζεσλ σο πξνο ην
εηζόδεκα.
Μπνξείηε λα δείηε όηη νη πνιιαπιαζηαζηέο θξαηηθώλ δαπαλώλ ζηηο εηδηθέο
πεξηπηώζεηο Α1 θαη Α2 αληηζηνηρνύλ ζηε γεληθή κνξθή ηνπ πνιιαπιαζηαζηή (3α).
Δηδηθόηεξα, ν πνιιαπιαζηαζηήο (1γ) αληηζηνηρεί ζηελ πεξίπησζε c , 0t ,
0yi , ελώ ν πνιιαπιαζηαζηήο (2γ) αληηζηνηρεί ζηελ πεξίπησζε c , tt  ,
0yi .
ΙΙ. ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑ΢ΙΑ΢ΣΩΝ ΢ΣΟ ΠΛΑΙ΢ΙΟ IS-LM
Οη πνιιαπιαζηαζηέο δείρλνπλ ην κέγεζνο κεηαβνιήο ηνπ εηζνδήκαηνο Υ αλά κνλάδα
κεηαβνιήο ηνπ αληίζηνηρνπ πξνζδηνξηζηηθνύ κεγέζνπο ηεο δαπάλεο όηαλ δεν
ιακβάλνληαη ππόςε νη επηδξάζεηο από ηπρόλ κεηαβνιέο ζηελ αγνξά ρξήκαηνο. Γηα
παξάδεηγκα ν πνιιαπιαζηαζηήο
G
Y

 δείρλεη πόζν ζα κεηαβιεζεί ην εηζόδεκα αλά
κνλάδα κεηαβνιήο ησλ θξαηηθώλ δαπαλώλ, χωρίς λα ιακβάλεη ππόςε όηη ε
κεηαβνιή ηνπ εηζνδήκαηνο κπνξεί λα επεξεάζεη ηελ αγνξά ρξήκαηνο, δει. λα
κεηαβάιεη ην επηηόθην. Όκσο, αλ κεηαβιεζεί ην επηηόθην ζα έρνπκε επηπηώζεηο ζηελ
επελδπηηθή δαπάλε θαη ηειηθώο ζην εηζόδεκα. Οη ηειεπηαίεο απηέο επηδξάζεηο δελ
απνδίδνληαη από ηνπο πνιιαπιαζηαζηέο.
1
Γεληθά, ην νιηθό δηαθνξηθό κηαο ζπλάξηεζεο y=f(x1,x2,x3) είλαη
3
3
2
2
1
1
dx
x
y
dx
x
y
dx
x
y
dy








 όπνπ ην
x
y


δειώλεη κεξηθή παξάγσγν. Πξνθαλώο, αλ κόλν
ηα x1, x2 κεηαβάιινληαη (δει. dx3=0), ηόηε 2
2
1
1
dx
x
y
dx
x
y
dy






2
Φξεζηκνπνηνύκε θαη ηνλ θαλόλα παξαγώγηζεο ζύλζεηεο ζπλάξηεζεο. Γεληθά, αλ y=f(g(x) ηόηε
x
g
g
f
x
y

















 GYiYtcGY
Y
i
Y
Y
YtY
YtY
c
Y y)1(
))((
))((

4. 4
Αο ππνζέζνπκε όηη ε νηθνλνκία βξίζθεηαη αξρηθά ζε ηζνξξνπία ζην ζεκείν Α ζην
παξαθάησ δηάγξακκα IS-LM, κε επηηόθην r0 θαη εηζόδεκα Υ0. Αλ νη θξαηηθέο
δαπάλεο απμεζνύλ θαηά ΓG, ηόηε ε κεηαβνιή ζην εηζόδεκα ζα είλαη ΓY = (πνι/ηεο)
 ΓG. Ωζηόζν, απηή ε κεηαβνιή αληηζηνηρεί ζην δεδνκέλν επίπεδν επηηνθίνπ r0 θαη
δείρλεηαη από ηελ απόζηαζε ΑΒ (ή Υ0Υ2) ζην δηάγξακκα.
r
Y0
IS
IS΄
LM
Y0 Y1 Y2
A B
Γ
r0
r1
ΓΥ=(πνι/ηεο) ΓG
Πξάγκαηη, ε αύμεζε ησλ θξαηηθώλ δαπαλώλ κεηαηνπίδεη ηελ θακπύιε IS δεμηά θαη,
ζην δεδνκέλν επίπεδν επηηνθίνπ r0, ην εηζόδεκα ζα απμεζεί θαηά Υ0Υ2 = ΓY =
(πνι/ηεο)  ΓG πξνθεηκέλνπ λα έρνπκε ηζνξξνπία ζηελ αγνξά αγαζώλ (πξέπεη δει.
λα πάκε ζ’ έλα ζεκείν ηεο λέαο θακπύιεο IS΄). Όκσο, ζην ζεκείν Β ζα έρνπκε
αληζνξξνπία ζηελ αγνξά ρξήκαηνο (αθνύ ην Β είλαη εθηόο ηεο LM) θαη, εηδηθόηεξα,
ζα έρνπκε ππεξβάιινπζα δήηεζε ρξήκαηνο (αθνύ γηα δεδνκέλν επηηόθην r0 ην
εηζόδεκα Υ2 είλαη κεγαιύηεξν από ην Υ0 πνπ ζα έδηλε ηζνξξνπία ζηελ αγνξά
ρξήκαηνο). Η ππεξβάιινπζα δήηεζε ρξήκαηνο ζα πξνθαιέζεη ξεπζηνπνίεζε ηίηισλ
κε απνηέιεζκα ηε κείσζε ηεο ηηκήο ηνπο θαη ηελ αύμεζε ηνπ επηηνθίνπ (ηηκή θαη
απόδνζε ηίηισλ ζπλδένληαη αληίζηξνθα). Καζώο ην επηηόθην ζα απμάλεηαη, ζα
κεηώλεηαη ε δήηεζε ρξήκαηνο (ιόγσ ηεο κείσζεο δήηεζεο ρξήκαηνο γηα
θεξδνζθνπία) θαη ηαπηόρξνλα ζα κεηώλεηαη ε δήηεζε γηα επελδύζεηο κε απνηέιεζκα
ηε κείσζε ηνπ εηζνδήκαηνο (δει. ζα έρνπκε κεξηθή αληηζηάζκηζε ηεο αξρηθήο
απμεηηθήο επίδξαζεο ησλ θξαηηθώλ δαπαλώλ ζην εηζόδεκα). Πξνθαλώο, ην λέν
ζεκείν ηζνξξνπίαο ζα είλαη ην Γ, κε επηηόθην r1 θαη εηζόδεκα Υ1, πνπ εμαζθαιίδεη
ηζνξξνπία θαη ζηηο δύν αγνξέο.
Μπνξείηε λα αλαθέξεηε κία πεξίπησζε ζηε νπνία ε τελική κεηαβνιή ηνπ
εηζνδήκαηνο (ιακβαλνκέλεο ππόςε θαη ηεο επίδξαζεο από ηελ αγνξά ρξήκαηνο)
κεηά από κηα αύμεζε ησλ θξαηηθώλ δαπαλώλ ζα είλαη ακριβώς ην κέγεζνο ΓY =
(πνι/ηεο)  ΓG ;