Optimasi jaringan berserta contoh diagram jaringan dan penyelesainnya.

1. N E T W O R K F L O W P R O G R A M M I N G
Optimasi Jaringan
INS Saputra, ST., MTI.
ins.saputra@gmail.com

2. 2 of 18
 Model jaringan terdiri dari dua elemen
utama, yakni:
 Arc adalah garis penghubung antar node
 Node adalah titik hubung antar arc
 Grafik (graph) adalah susunan beberapa arc
dan node yang saling berhubungan.
 Directed graph adalah grafik dimana setiap
arc memiliki arah tertentu (dilambangkan
dengan anak panah)
 Umumnya model jaringan berupa directed
graph
Pendahuluan

3. 3 of 18
Beberapa Contoh Jaringan
 Beberapa contoh jaringan:
Nodes Arcs Flow
cities
call switching centers
pipe junctions
data switching centers
highways
telephone lines
pipes
data channel
vehicles
telephone calls
water
messages
C
ED
B
A
C
ED
BA
(a) a graph (b) directed graph (digraph)

4. 4 of 18
Definisi Dasar
 Source node adalah node yang digunakan sebagai
aliran masuk (input flow) ke dalam suatu jaringan.
 Sink node adalah node yang digunakan sebagai
aliran keluar (output flow) dari suatu jaringan.
 Flow capacity adalah batas atas (kadang bisa
batas bawah) flow yang mampu dialirkan di dalam
sebuah arc.
 Spanning tree adalah jalur di mana setiap node
terhubung dalam suatu jaringan.

5. 5 of 18
Masalah Optimasi Jaringan
 Masalah-masalah yang berhubungan dengan teknik
optimasi pada jaringan adalah:
 Shortest route yakni jalur terpendek yang menghubungkan
titik asal ke titik tujuan dalam suatu jaringan
 Minimum spanning tree yakni jalur terpendek yang dapat
menghubungkan semua node dalam suatu jaringan
 Maximum flow yakni kapasitas maksimum suatu jaringan
untuk mengalirkan data dari source node ke sink node

6. 6 of 18
Program Linier Jaringan
 Program linier jaringan atau program aliran jaringan
(network flow programming) adalah formulasi dan
penyelesaian masalah jaringan menggunakan
program linier.
 Setiap bentuk jaringan dapat diubah ke dalam
program linier dengan bentuk minimum-cost
network flow programming.

7. 7 of 18
Karakteristik Program Linier Jaringan
 Variable, didefinisikan sebagai aliran (data) di dalam
sebuah arc yang tidak diketahui, xi
 Aliran pada sebuah node,
 Total aliran yang masuk ke dalam sebuah node sama dengan total
aliran yang keluar dari node tersebut
 Aliran pada source node dan sink node,
 Konstanta b bernilai positif untuk source node, bernilai negatif
untuk sink node, dan bernilai nol untuk node selain source node
dan sink node
 Bentuk dapat merupakan sebuah persamaan maupun
pertidaksamaan (lebih sering berupa pertidaksamaan)
0inflowsoutflows
 jj
xx
ijj bxx   inflowsoutflows

8. 8 of 18
Karakteristik Program Linier Jaringan (cont’d.)
 Aliran pada node
a + b = c + d
c + d = a + b
c + d - a - b = 0
a + b + e = c + d
c + d = a + b + e
c + d - a - b = e
a + b = c + d + e
c + d + e = a + b
c + d - a - b = -e

9. 9 of 18
Karakteristik Program Linier Jaringan (cont’d.)
 Aliran dalam arc, aliran di dalam sebuah arc
dapat memiliki batas atas maupun batas bawah
(merupakan variabel pada model linier)
 xj ≥ bj adalah lower bound aliran dalam sebuah arc,
 xj ≤ bj adalah upper bound aliran dalam sebuah arc,
 Secara default sebuah arc memiliki batas bawah bernilai
nol dan tidak memiliki batas atas
 Cost per unit of flow, setiap arc terdapat cost
per-unit of flow, cj
 Secara default cj bernilai nol
 Fungsi tujuan, adalah untuk menentukan nilai-
nilai variabel xj sedemikian hingga total cost seluruh
aliran dalam jaringan menjadi minimum
arcs
cminimize jj x

10. 10 of 18
Formulasi Model Program Linier Jaringan
 Ada tiga buah parameter yang berhubungan
dengan setiap arc, yakni lower bound (l), upper
bound (u), dan cost per-unit of flow (c)
 Label untuk setiap arc [l,u,c]
 Source dan sink node ditentukan oleh label
pada node,
 Jika memiliki lower dan upper yang sama, maka bentuknya
adalah persamaan
 Jika memiliki lower dan upper yang berbeda, maka bentuknya
adalah pertidaksamaan
 Setelah diagram jaringan memiliki label untuk
setiap arc dan node, maka diagram tersebut
dapat diubah ke dalam bentuk program linier.

11. 11 of 18
Contoh Formulasi Model Program Linier Jaringan
• Perhatikan gambar diagram jaringan berikut:

12. 12 of 18
Contoh Formulasi Model Program Linier
Jaringan (cont’d.)
 Semua arc pada satu source node dan dua sink
node telah diberikan label secara lengkap.
 Node A adalah source dengan batas atas hingga 12
unit aliran dan biaya (cost) sebesar $5 per unit
aliran.
 Node C adalah sink dengan batas atas hingga 4 unit
aliran dan menghasilkan pendapatan (income)
sebesar $6 per unit aliran – biaya negatif per unit
aliran menunjukkan pendapatan (income).
 Node D adalah sink tepat 8 unit aliran namun tidak
ada biaya atau pendapatan terkait dengan aliran tsb.
 Arc lainnya juga telah memiliki label dengan format
arc n [l,u,c].
 Catatan: arc 4 memiliki positive lower bound.

13. 13 of 18
 Berdasarkan informasi label pada diagram
jaringan tersebut, tuliskan program linier
jaringan, yakni:
• Fungsi kendala berupa persamaan dan
pertidaksamaan untuk tiap-tiap node
• Variable bound untuk tiap-tiap arc flow
• Non-negativity constrains
• Fungsi tujuan untuk menghitung biaya total
minimum seluruh aliran dalam jaringan.
Contoh Formulasi Model Program Linier
Jaringan (cont’d.)

14. 14 of 18
Solusi Formulasi Model Program Linier Jaringan
 Fungsi kendala untuk diagram jaringan di atas:
 Node A : x1+ x2+ x3 ≤ 12
 Node B : x4 – x1 = 0
 Node C lower bound : x2 – x5 ≥ 0  x5 – x2 ≤ 0
 Node C upper bound : x2 – x5 ≤ 4  x5 – x2 ≥ -4
 Node D : x3 + x4 + x5 = 8  – x3 – x4 – x5 = -8
 Variable bound untuk diagram jaringan tersebut:
 Flow bound arc 2 : x2 ≤ 6
 Flow bound arc 3 : x3 ≤ 3
 Flow bound arc 4 : x4 ≥ 4
 Non-negativity : x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
 Fungsi tujuan dari diagram jaringan tersebut:
minimize (5A – 6C + 2.5x3 + 3.7x4 + 0.5x5)

15. 15 of 18
Solusi Formulasi Model Program Linier Jaringan
(cont’d.)
 Variabel A dan C merepresentasikan non-
negative flows pada node A dan node C.
 Nilai A dan C dapat disubstitusi berdasarkan
aliran arc (arc flow) pada node A dan C, sbb.:
• A = x1+ x2+ x3 dan C = x2 – x5
 Sehingga fungsi tujuan sekarang menjadi:
minimize (5x1 – x2 + 7.5x3 + 3.7x4 + 6.5x5)
 Dengan bantuan Microsoft Excel™ Solver
Solution, nilai variabel x1, x2, x3, x4, x5 dan total cost
minimum dari seluruh aliran melalui jaringan dapat
ketahui.

16. 16 of 18
Solusi Formulasi Model Program Linier
Jaringan – Solver Solution

17. 17 of 18
Solusi Formulasi Model Program Linier Jaringan
– Solver Solution (cont’d.)
 Result:
 Variable x1 = 4
 Variable x2 = 6
 Variable x3 = 0
 Variable x4 = 4
 Variable x5 = 4
 Minimum cost:
 $54.80

18. 18 of 18
Referensi
 John W. Chinneck, Practical
Optimization: A Gentle Introduction,
Carleton University, 2015.
 Various sources from the Internet.